le funzioni goniometriche e i triangoli 1 un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta...

Le funzioni goniometriche e i triangoli

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Un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta a che ruota attorno alla sua origine.

Inoltre, poiché la rotazione può avvenire in due modi diversi conveniamo di considerare:

• angoli orientati negativamente se la rotazione avviene in verso orario

• angoli orientati positivamente se la rotazione avviene in verso antiorario

Definizione di angolo

• dalla definizione precedente deriva che è possibile considerare angoli maggiori di un angolo giro: basta continuare a far ruotare la semiretta oltre tale angolo.

L’angolo α supera l’amgolo giro dell’angolo β.


2

Grado sessagesimale: novantesima parte dell’angolo retto.

Il grado non ha multipli, ma ha dei sottomultipli:

Misure di angoli

• il primo, corrispondente a di grado

1

60

• il secondo, corrispondente a di primo, cioè a di grado.

1

60

1

3600

Con gli angoli si possono eseguire le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione per un numero reale.


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Misure di angoli

ESEMPIO

322 5 4 8 124 2 3 6

Sommiamo gradi con gradi, primi con primi e secondi con secondi.

32 12 44

2 5 4 2 6 7

4 8 3 6 8 4

Il valore ottenuto per i secondi supera 60, cioè in esso è contenuto 1 primo, quindi:

8 4 6 0 2 4 1 2 4 aggiungiamo 1 ai primi ottenendo

446 8 2 4

Anche il valore ottenuto per i primi supera 60, quindi in esso è contenuto 1 grado:

6 8 6 0 8 1 8 aggiungiamo 1 ai gradi ottenendo

45 8 2 4

La somma dei due angoli, in forma normale, è quindi:

45 8 2 4


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Misure di angoli

Un radiante è l’ampiezza di un angolo al quale corrisponde un arco AB la cui lunghezza l è uguale al raggio r.

In questo modo, ad esempio, un angolo giro misura:

lunghezza circonferenza rettificata

raggio

2 r

r2

angolo giro

2

angolo piatto

angolo retto

2


ESEMPIO

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Misure di angoli

In generale, per passare dalla misura di un angolo in gradi a quella in radianti, e viceversa, si usa la proporzione

: x 180 : yx : misura nell’angolo in radianti

y : misura nell’angolo in gradi

se vogliamo sapere quanto misura in gradi l’angolo di radianti, basta risolvere la proporzione rispetto a y

5

:5

180 : y

1805

36

oppure più semplicemente attribuire a π il suo valore in gradi:

5

180

536


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Circonferenza goniometrica: circonferenza nel piano cartesiano con centro nell’origine degli assi e raggio unitario.

In una circonferenza goniometrica ad un angolo orientato α possiamo associare un punto P appartenente alla circonferenza stessa.

Circonferenza goniometrica

Se a due angoli α e β è associato lo stesso punto P allora:

k360 k Z

k indica il numero di giri che OP deve compiere per ritornare su se stessa.

Si possono anche descrivere angoli negativi facendo compiere una rotazione oraria a OP.


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Un angolo α, a meno di multipli di 360°, è completamente individuato se sono date le coordinate del punto P sulla circonferenza.

Possiamo allora definire le seguenti funzioni goniometriche:

Definizione

Tracciando la semiretta tangente in A alla circonferenza goniometica e indicando con Q la sua intersezione con la semiretta OP, chiamiamo:

tangente dell’angolo α, e scriviamo tan α, l’ordinata del punto Q: tan α = yQ

seno dell’angolo α, e scriviamo sin α, l’ordinata del punto P: sin α = yP

coseno dell’angolo α, e scriviamo cos α, l’ascissa del punto P: cos α = xP


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la funzione seno e la funzione coseno hanno periodo 360°, cioè:

Caratteristiche

sin k360 sin

cos k360 cos

k Z

la funzione tangente è periodica di periodo 180°, cioè:

tan k180 tan

k Z

Al reciproco della funzione tangente viene dato il nome di cotangente, cioè:

cotan 1tan


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Grafici dellefunzioni goniometriche

y sin x

Insieme di definizione: R

−1 ≤ y ≤ 1

Periodo: 360° (2π)

Il grafico della funzione seno è simmetrico rispetto all’origine

sin sin

Passa per i punti:x y

0°

2π

0

1

0

−1

0

π

π

2

π2

3


10

y cos x

Insieme di definizione: R

−1 ≤ y ≤ 1

Periodo: 360° (2π)

Il grafico della funzione coseno è simmetrico rispetto all’asse y

cos cos

Passa per i punti:x y

0°

2π

1

0

−1

0

1

π

π

2

π2

3

Grafici delle funzioni goniometriche


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y tan x

Periodo: 180° (π)

Il grafico della funzione tangente è simmetrico rispetto all’origine

tan tan

Insieme di definizione: la tangente non è definita in

x =

2+ k

Gli angoli compresi tra 0 e hanno la tangente positiva che cresce molto rapidamente al crescere di xπ

2

Gli angoli compresi tra e 0 hanno la tangente negativa che diminuisce molto rapidamente

quando x si avvicina a

π

2−π

2−

Grafici delle funzioni goniometriche


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Tra le funzioni che abbiamo definito esistono delle relazioni:

• Prima relazione fondamentale della goniometria

Relazioni fondamentali

Deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo OHP nella circonferenza goniometrica.

sin2 cos2 1

• Seconda relazione fondamentale della goniometria

tan sincos

Deriva dalla similitudine dei triangoli OHP e OKQ nella circonferenza goniometrica.


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Dalle due relazioni fondamentali si possono ricavare le formule che permettono di calcolare le funzioni goniometriche di un angolo a partire dal valore di una di esse.

Relazioni fondamentali

sin α cos α tan α

sin α

cos α

tan α

sin α

cos α

tan α

1 cos2

1 sin2

sin

1 sin2

tan

1 tan2

1

1 tan2

1 cos2

cos

Il segno ± viene attribuito in funzione del quadrante in cui cade α.


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Con considerazioni di carattere geometrico si possono ricavare i valori delle funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari.

Valori delle Funzionigoniometriche

x (in gradi) 30° 45° 60°

x (in radianti)

sin x

cos x

6

4

tan x

3

1

2

2

2

3

2

3

2

3

3

2

2

1

2

1

3


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Risolvere un triangolo significa trovare le lunghezze di tutti i suoi lati e le misure di tutti i suoi angoli.

I triangoli rettangoli

Per il triangolo rettangolo valgono i seguenti due teoremi.

b a sin

c a sin

b a cos

c a cos

Primo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale:

al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto (al cateto che si deve trovare),

oppure

al prodotto della misura dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente (al cateto che si deve trovare).


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b c tan

c b tan

b c cotan

c b cotan

Secondo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di ciascun cateto è uguale:

al prodotto della misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto (al cateto che si deve trovare),

al prodotto della misura dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente (al cateto che si deve trovare).


ESEMPIO

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Di un triangolo rettangolo sono note le misure in cm di due cateti: b = 12,4, c = 9,6. Vogliamo risolvere il triangolo e determinare la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa.

Con il teorema di Pitagora possiamo subito determinare la misura dell’ipotenusa:

a b2 c2 12,42 9,62 15,68

Dalle relazioni della slide precedente ricaviamo che:

tan bc

tan 12,49,6

521 5 1 2

Possiamo ora calcolare

90 521 5 1 2 374 4 4 8

Per trovare l’altezza relativa all’ipotenusa, basta applicare il primo teorema ad uno dei triangoli rettangoli indicati in figura; relativamente al triangolo arancio, dove c rappresenta la misura dell’ipotenusa, si ha che:

h c sin 9,6 sin 521 5 1 2 7,6 cm


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Area di un poligono

I teoremi sui triangoli rettangoli permettono di risolvere il problema del calcolo dell’area di un poligono.

Il calcolo dell’area di un poligono può sempre essere ricondotto al calcolo dell’area di un triangolo, per esempio tracciando le diagonali uscenti da un vertice.

La misura dell’area di un triangolo è data dal semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.

S 12

ab sin


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Triangoli qualsiasi

Teorema della corda. In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda.

Applicando il teorema della corda a un triangolo qualsiasi:

a 2r sin

asin

2r

b 2r sin

bsin

2r

c 2r sin

csin

2r

Teorema dei seni. In ogni triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

asin

bsin

csin

2rUguagliando i rapporti otteniamo:


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Triangoli qualsiasi

Teorema di Carnot. In ogni triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell’angolo fra essi compreso.

a2 b2 c2 2bc cos

b2 a2 c2 2ac cos

c2 a2 b2 2ab cos

Questo teorema è anche noto come teorema del coseno.


ESEMPIO

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Triangoli qualsiasi

L’applicazione del teorema dei seni e del teorema di Carnot permette di risolvere qualunque triangolo.

Risolviamo il triangolo sapendo che

60 45b 15

Usiamo poi il teorema dei seni per calcolare le misure degli altri due lati a e c:

bsin

asin

06sin 57sin

15 a 45,1375sin

60sin 15 a

bsin

csin

54sin 57sin

15 c 98,1075sin

45sin 15 c

Calcoliamo β = 180° − (60° + 45°) = 75°

le funzioni goniometriche e i triangoli 1 un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta...

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