le derivate (sintesi)
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1
1. Il rapporto incrementale
2. La derivata di una funzione
3. Il significato geometrico della derivata
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2
Il rapporto incrementale
Consideriamo la funzione y = x2+1 e un punto del suo grafico A(3; 10) f(3)= 32+1 = 10Incrementando l’ascisse di 0,1 si ottiene il punto B di coordinate: xB=3+0,1=3,1 yB= f(xB) = 3,12+1=10,61Chiamiamo xB - xA= 0,1 l’incremento di x e yB - yA=10,61-10 = 0,61 l’incremento di y.Il rapporto tra questi due valori sarà chiamato rapporto incrementale
1,631,3
1061,10
AB
AB
xx
yy
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3
Coefficiente angolare della retta passante per AB
Consideriamo la retta passante per AB e calcoliamo la sua equazione.La retta ottenuta ha coefficiente angolare uguale al rapporto incrementaleRicordiamo che …l’equazione esplicita della retta è y = mx + q m è chiamato coefficiente angolare della retta
3,81,6103,181,6
)3(1,610)(
xyxy
xyxxmyy
xx
yym
AA
AB
AB
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4
Definizione di rapporto incrementale
Data una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a; b], e due numeri reali c e c + h interni all’intervallo, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c), il numero
Infatti se consideriamo A(c; f(c)) B(c+h; f(c+h)) xB = c + h yB = f(xB)= f(c + h) Si ottiene
h
cfhcf
chc
cfhcf
xx
yy
AB
AB )()(
h
cfhcf )(
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5
Esempio. Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione y = 2x2 - 3x relativo al suo punto A di ascissa 1.
Applichiamo la formula e troviamo
12
12211
211211
113121
1233242
3321213121
11
2
22
2
22
22
hh
hh
h
hh
h
fhf
h
cfhcf
hhhhfhf
f
hhhhh
hhhhhhfh
fhf
h
cfhcf
)()()(
)()(
)(
)()()()(
)()(
In generale, il valore del rapporto incrementale dipende dal valore di h. Nell’esempio, se h=0,2 il rapporto incrementale vale 2(0,2)+1=1,4… con h=0,1 allora il rapporto vale 1,2
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6
Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione nel punto c = -1 e con h = 0,25
3
44
3
1
4
13
1
25,0
13
2
11
12
1
1)1(2)1(
3
2
75
50
75,0
50,0
75,0
150,1
75,0
1)75,0(2)75,0(
75,025,01)(
12)(
f
f
hchch
cfhcfx
xxf
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7
)1(3
41
3
475,025,01
3
2;75,0)1;1(
12)(
xy
mhchc
BA
x
xxf
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8
Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione nel punto c = -3 e con h generico.
10
)10(292910)(
2981298)3(4)3()3(
29108412698)3(4)3()3(
33)(
84)(
2
2
222
2
hh
hh
h
hh
h
cfhcf
f
hhhhhhhhf
hhcgenericohch
cfhcf
xxxf
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9
Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione in un punto generico c e un incremento generico h.
22)22(22
2222)(
2)(
222)(2)()(
)(
2)(
2
222
2
222
2
chh
chh
h
hhch
h
cchchchc
h
cfhcf
cccf
hchchchchchcf
genericihech
cfhcf
xxxf
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10
Il rapporto incrementale
Il rapporto
incrementale si
indica in generale
con i simboli
yx
f (c h) f (c)
h
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11
La derivata di una funzione
f '(c) limh 0
f (c h) f (c)h
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12
La derivata di f in un punto c
rappresenta il coefficiente
angolare della retta tangente al
grafico di f nel suo punto di
ascissa c.
Significato geometrico della derivata
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13
Significato geometrico della derivata
Quando h 0
la retta secante s
tende alla tangente t
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18
Il calcolo della derivata in un punto particolare
6)6(
lim6
lim
8169lim
)19(13lim
)3(3lim)3(
31)()(
lim)(
0
2
0
2
0
2
0
0
'
2
0
'
h
hh
h
hh
h
hh
h
h
h
fhff
cexxfconh
cfhcfcf
hh
h
h
h
h
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19
)3(68 tangente
6)3(')(
6)3('83)8;3(1)( 2
xyretta
fmxxmyyrettedifascio
fyxAxxf
AA
AA
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20
Il calcolo della derivata in un punto generico
46)463(lim
)463(lim
463lim
4344363lim
)43()(43lim
)(lim)(
43)()(
lim)(
0
0
2
0
222
0
22
0
0
'
2
0
'
cchh
chh
h
hchh
h
cchchchc
h
cchchc
h
cfhcfcf
xxxfconh
cfhcfcf
h
hh
h
h
h
h
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21
F’ (c) = 6c - 4 è la derivata della
funzione f(x) = 3x2 - 4x .
Al variare di c si ottengono i
coefficienti angolari delle rette
tangenti nel punto c.
1)-10(x7-yè)7(-1;in tangente
104)1(6)1('7)1(1
2)-8(x4-yè4)(2;in tangente
84)2(6)2('4812)2(2
46)('46)('43)( 2
rettaLa
ffyxSe
rettaLa
ffyxSe
xxfccfxxxf
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22
03
4
3
20
3
4
3
4;
3
2in tangente
043
26
3
2'
3
4
3
8
3
4
3
24
9
43
3
24
3
23
3
2
3
2 xSe
2
yxyèrettaLa
f
fy
La retta tangente calcolato
in quest’ultimo esempio è
parallela all’asse delle x e
individua un punto
particolare della funzione:
un punto di minimo
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23
Negli esempi rappresentati la retta tangente al grafico è orizzontale ed ha come equazione y = k, ossia il suo coefficiente angolare è uguale a 0. Quindi la derivata in quei punti è uguale a 0. m = f ‘ (x) = 0
minimo massimo punti di flesso
I PUNTI STAZIONARIData una funzione y = f(x) e un punto x = c, se f ’(c) = 0, allora x = c si dice punto stazionario o punto a tangenza orizzontale.
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24
Una funzione è derivabile in un intervallo [ a ; b ] :
- è derivabile in tutti i punti interni dell’intervallo;
- le derivate sono valori finiti;
- la derivata destra è uguale alla derivata sinistra.
Inoltre se una funzione è derivabile in un punto essa è anche
continua in quel punto
La derivata destra e la derivata sinistra
h
cfhcfcfistraderivatala
h
cfhcfcfdestraderivatala
h
cfhcfcfderivatala
h
h
h
)(lim)(sin
)(lim)(
)(lim)(
0
'
0
'
0
'
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25
Esempio in cui la derivata destra non è uguale alla derivata sinistra
La funzione valore assoluto non è derivabile nel punto x=0
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26
Le derivate fondamentali
5 35
35
31
5
2
5
25 2
3 23
23
21
3
13
1
22111
2
12
11
2
1
2
1
267341
5
2
5
2
5
2
5
2
3
1
3
1
3
1
3
1,0
1
11
1
02
1
2
1
2
1
2
1
1;2;7;4
04
3;030
xx
xxDxxD
xx
xxDxDNnxconxn
xD
xxxDx
xD
xconx
x
xxDxxD
DxxDxxDxxDxnxDx
DDDk
esempion n
n
esempinn
esempi
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27
Le derivate fondamentali
22
22
22
22
2
2
2
2
22
2
22
1
1
1
11
1
1
1
11
11
1111
1333
xxD
xxarcsenD
xxD
xxarctgD
inversefle
xxsen
xD
xtgx
x
x
xsen
x
xxsen
xxtgD
senxxD
xsenxD
richetrigonometflex
ex
xDex
xDex
xD
eeeeDeDaaDa
fLe
eesempioaa
xxxxxesempi
xx
arccosen
arccotg
cotgcotg
helogaritmiceliesponenzia
.
)(
coscos
coscoscos
cos
cos
cos
.
logln;loglogloglog
)(lnln;lnln
.
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28
Le regole di derivazione
La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione
55634' 962
3
2
3433 xxxDxxDxfkxfkD
esempio
La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni
5121245324532
25
)(
354646
42525
''
xxDDxDxDxxxxD
xxDxDxxxD
xgxfxgxfD
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29
Le regole di derivazione
xxxsenxDsenxxsenDxxsenxD
xx
xx
xxxDxxDxxxD
xgxfxgxfxgxfD
cos
2
3
22
11
)( ''
La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma della derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata con la prima funzione non derivata per la seconda derivata
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30
Le regole di derivazioneLa derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione che ha:
• Per numeratore la differenza fra la derivata della funzione al numeratore per la funzione al denominatore e la funzione al numeratore per la derivata della funzione al denominatore
• Per denominatore il quadrato della funzione al denominatore
2
2
2
22
2
22
2
''
52
8102
52
82104
52
24522
52
4
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xD
xg
xgxfxgxf
xg
xfD
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31
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32
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33
2
2
2
2
2
''
22
'
2223
'1
''
42525''
34'
52
1062.....
52
252522
52
4
2
2
52
11
231232232
2
3
22
11
)(
25)(
433
x
xx
x
xxx
x
xD
xg
xgxfxgxf
xf
xgD
xxD
xf
xf
xfD
xxxDxxD
xfxfnxfD
xx
xx
xxxDxxDxxxD
xgxfxgxfxgxfD
xxDxDxxxDxgxfxgxfD
xxDxfkxfkD
esempio
esempio
esempio
nn
esempio
esempio
esempio
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34
2
2
2
2
2
''
22
'
2223
'1
''
42525''
34'
52
1062.....
52
252522
52
4
2
2
52
11
231232232
2
3
22
11
)(
25)(
433
x
xx
x
xxx
x
xD
xg
xgxfxgxf
xf
xgD
xxD
xf
xf
xfD
xxxDxxD
xfxfnxfD
xx
xx
xxxDxxDxxxD
xgxfxgxfxgxfD
xxDxDxxxDxgxfxgxfD
xxDxfkxfkD
esempio
esempio
esempio
nn
esempio
esempio
esempio
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35