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LE CALCUL ALGEBRIQUE EN FRANCE ET AULIBAN ETUDE COMPAREE DE LENSEIGNEMENT

DE LA FACTORISATION ET DES ERREURS DESELEVEs

Nawal Abou Raad

To cite this version:Nawal Abou Raad. LE CALCUL ALGEBRIQUE EN FRANCE ET AU LIBAN ETUDE COMPAREEDE LENSEIGNEMENT DE LA FACTORISATION ET DES ERREURS DES ELEVEs. Analysenumrique [math.NA]. Universit de Provence - Aix-Marseille I, 2006. Franais.

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UNIVERSITE AIX-MARSEILLE I - Universit de Provence

U.F.R. SCIENCES DE LEDUCATION

THESE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE LUNIVERSITE AIX-MARSEILLE I

Formation doctorale : SYSTEME DAPPRENTISSAGE

SYSTEME DEVALUATION

Prsente et soutenue publiquement

Par

Nawal ABOU RAAD

Le 11 octobre 2006

Titre :

LE CALCUL ALGEBRIQUE EN FRANCE ET AU LIBAN

ETUDE COMPAREE DE LENSEIGNEMENT DE LA

FACTORISATION

ET DES ERREURS DES ELEVES

Directeur de thse :

Alain MERCIER

JURY

Mme Sophie Ren DE COTRET Rapporteur

Mme Marie-Jeanne PERRIN-GLORIAN Rapporteur

M. Hicham BANNOUT Examinateur

M. Yves CHEVALLARD Prsident

2

Remerciements

Dans laccomplissement de cette thse, je suis redevable plusieurs personnes

que je tiens remercier tout particulirement.

Mes remerciements vont dabord mon directeur, M. le Professeur Alain

Mercier, pour lhonneur quil ma fait en acceptant de mencadrer pour ce travail. Par

son suivi et ses encouragements constants, il a permis que ce travail aboutisse dans les

meilleurs dlais. Auprs de lui jai approfondi le mtier de chercheur .

Je tiens aussi saluer et remercier M.Hicham Bannout, matre de confrence la

Facult de Pdagogie de Beyrouth, auprs de qui jai appris peu peu lactivit de

chercheur. Il a t lorigine de mon projet et ma incite venir entreprendre un travail

de recherche en France.

Je remercie galement les Professeurs Marie-Jeanne Perrin-Glorian (IUFM

Nord-Pas de Calais), Sophie Ren de Cotret (Universit de Montral) et Yves

Chevallard (IUFM dAix-Marseille) pour lhonneur quils mont fait en acceptant ce

Jury.

Je dois aussi remercier tous les directeurs de collge ainsi que les professeurs de

mathmatiques qui ont bien voulu maccueillir dans leur tablissement et dans leur

classe pour que jy fasse mes observations, aussi bien au Liban quen France. Je ne peux

les nommer ici, ils se reconnatront.

Je tiens remercier pour leurs encouragements une amie libanaise et toutes les

familles que jai connues en France.

Je remercie enfin tous les membres de ma famille, particulirement ma sur

ane et mes parents, ainsi que mes chres amies du Canada et du Liban, pour le soutien

que tous et toutes mont apport ( distance) au cours de cette priode, toujours un peu

dlicate, dlaboration et de rdaction de la thse.

3

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION p. 7

Les objets impliqus dans un travail algbrique..

CHAPITRE I - LE CADRE THEORIQUE

I-1 Introduction...........

I-2 Lhistoire de lAlgbre.....

I-3 Transition de lArithmtique lAlgbre .....

I-4 Lvolution du symbolisme mathmatique...

I-4-i Le signe (=) ou signe deux-traits ..

I-4-ii Les lettres..

I-4- iii Les signes opratoires

I-5 Dialectique Algbrique/Numrique....

I-6 Calcul algbrique formel/Calcul algbrique fonctionnel......................

p. 8

p. 13

p. 13

p. 14

p. 16

p. 16

p. 17

p. 18

p. 19

p. 21

CHAPITRE II - ROLE DES DELIMITANTS DANS LE TRAVAIL

ALGEBRIQUE

II-1 Lhistoire des notations et des symboles mathmatiques.....................

II-2 Registre combinatoire/Registre signifiant..

II-3 Les signes dlimitants...

II- 4 Analyse comparative du rapport des enseignants et des enseigns

aux dlimitants sparateurs et agrgateurs..

II-5 Conclusion

CHAPITRE III - LA FACTORISATION

III-1 Analyse a priori de la factorisation dune expression algbrique III-1-i Polynmes

III-2 Problmatique de la factorisation ........

III-3 Factorisation des expressions algbriques...

III-3-i Quest ce quune expression algbrique

III-3-ii Analyse de la factorisation dune expression

algbrique du point de vue des lves..

III-3-iii Des conceptions de la factorisation des polynmes pour

lenseignement.

A- Un concepteur de logiciel de factorisation..

B- Les professeurs de mathmatiques observs....

III-4 Identits remarquables avec le 2e degr....

III-5 Distributivit....

III-6 Conclusion....................

p. 23

p. 23

p. 24

p. 26

p. 28

p. 31

p. 32

p. 33

p. 33

p. 35

p. 39

p. 39

p. 40

p. 42

p. 44

p. 45

4

CHAPITRE IV - LES SYSTEMES SCOLAIRES LIBANAIS ET

FRANAIS

IV-1 Un cadre thorique......

IV-2 La factorisation : Naissance Vie durable

A - Les objets latents, mais pertinents pour la factorisation

B - Les objets mathmatiques, dans les deux pays, dont la

fonction didactique ncessite les techniques de factorisation

IV-3 Rapport institutionnel lobjet Factorisation dans

lenseignement des mathmatiques au collge des deux pays.

IV-3-1 Comparaison des programmes.....

1 - La codification des classes de collge......

2 Lhoraire hebdomadaire des mathmatiques au collge..

3 Le curriculum et ses objectifs...

4 Dcoupage des programmes de mathmatique au collge...

5 Les contenus des programmes.....

IV-3-2 Conclusion......

IV-3-3 Les manuels scolaires IV-3-3-i Reprsentation.........

IV-3-3-ii Structure.....

IV-3-3-iii Contenus des manuels...

1- Manuel libanais (ML)... 2- Manuel franais (MF)... 3- Manuel franco-libanais (MFL).

IV-3-4 Conclusion......

IV-4-5 Frquence dapparition des diffrents mots du

lexique algbrique conforme la factorisation dans les

manuels

1- Les formules 2- Les codifications. 3- Rptition des mots. 4- Ostensifs et dlimitants...

IV-3-6 Conclusion.......

IV-4 Quest ce que la factorisation ? .

IV-5 Tableau rcapitulatif de la comparaison des deux systmes

systmes scolaires .......

IV-6 Conclusion....

CHAPITRE V - ANALYSE DES SEANCES DENSEIGNEMENT

DANS LES DEUX PAYS

V-1 La problmatique..

V-2 Un cadre didactique pour les analyses........

V-2-i Relation didactique : enseignant, enseign...

V-2-ii Rle de lenseignant........

V-2-iii Rle de lenseign..............

V-2-iv Le socle de nos analyses.....

V-3 Le Choix et le cadre mthodologique..

p. 47

p. 48

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p. 48

p. 49

p. 50

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p. 51

p. 52

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p. 58

p. 59

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p. 60

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p. 62

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p. 67

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p. 75

p. 77

p. 79

p. 80

p. 80

p. 81

p. 81

p. 82

p. 83

5

V-4 Quest ce que nous cherchons ?.......

V-5 Prsentation des donnes.

V-6 Les notes de cours de chaque enseignant....................

V-6-i Expos des notes de cours

V-6-ii Commentaires..........

V-7 Analyse des sances denseignement...

V-7-I La factorisation par un facteur commun monme.............

V-7-I-i Introduction de la factorisation par un facteur

commun monme.

En France A Enseignante EnF1 ;

B Enseignant EnF2

V-7-I-ii Application de la factorisation par un facteur

commun..

En France A Enseignante EnF1..

B Enseignant EnF2

Au Liban C Enseignante EnFL..

D Enseignant EnL..

V-7-I-iii Tableau comparatif de la pratique enseignante.

V-7-I-iv Tableaux comparatifs du discours des enseignants..

V-7-I-v Conclusion.

V-7-II La factorisation par un facteur commun binme.

En France A Enseignante EnF1..

B Enseignant EnF2

Au Liban C Enseignante EnFL

D Enseignant EnL..

V-7-II-i Tableau comparatif de la pratique enseignante.

V-7-II-ii Tableaux comparatifs du discours des enseignants..

V-7-II-iii Conclusion......

V-7-III La factorisation en utilisant les identits remarquables..

En France A Enseignante EnF1...

B Enseignant EnF2

Au Liban C Enseignante EnFL..

D Enseignant EnL..

V-7-III-i Tableau comparatif de la pratique enseignante.......

V-7-III-ii Tableaux comparatifs du discours des enseignants

V-7-III-iii Conclusion.....

p. 85

p. 85

p. 87

p. 87

p. 89

p. 90

p. 91

p. 91

p. 91

p. 96

p.104

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p.112

p.119

p.123

p.131

p.132

p.138

p.138

p.139

p.154

p.163

p.175

p.185

p.186

p.190

p.190

p.190

p.218

p.257

p.292

p.327

p.330

p.343

6

CHAPITRE VI - DES MANQUES THEORIQUES POUR LETUDE

DE LA FACTORISATION

VI- I - Le manque dune thorie dans lenseignement de la factorisation

des identits remarquables

VI-I-1 Introduction..

VI-I-2 Rapport personnel des lves la factorisation de a2 +

2ab + b2...

VI-I-3 Conclusion.

VI-II La dualit absence/prsence du PGCD

VI-II-1 Introduction.

VI-II-2 Le PGCD..

VI.II.3 Le PGCD, objet masqu dans lenseignement de la

factorisation en France??.................................................

VI-II-4 Conclusion...

VI.III Des nombres absents-prsents..

VI-III-1 Introduction...

VI-III-2 Des observations

VI-III-3 Conclusion......

CHAPITRE VII - RAPPORT DE LENSEIGNE A LA

FACTORISATION

VII-I Introduction

VII-II Recueil des erreurs...

VII-III Recueil des questions des lves.

VII-IV Conclusion

CONCLUSION.....

BIBLIOGRAPHIE...

p.345

p.345

p.350

p.351

p.351

p.352

p.354

p.355

p.355

p.356

p.360

p.361

p.362

p.368

p.371

p.373

p.381

7

Introduction

Enseigner les mathmatiques nest pas impossible, mais difficile.

Limportance dune tude approfondie sur le rapport des lves la factorisation

des expressions algbriques, travers leur rapport lalgbrique, sest dgage chez

nous lissue de diffrentes recherches en didactique des mathmatiques sur lalgbre

et plus spcifiquement sur la factorisation. Tonnelle (1980) a soulign que la

factorisation des expressions algbriques constitue un monde clos et fragile pour les

lves de Troisime en France (A9)1. Ceci fut repris dans dautres recherches, comme

celles de Bardini (2001) sur le rapport des lves franais de fin de Troisime la

factorisation, et de Abou Raad (2003) sur les difficults des lves libanais de EB8

(Quatrime)2 la fin de lapprentissage de la factorisation. Les lves franais de

Troisime3 nont pas le moyen de penser avec des thormes en situation de

factorisation, ils pensent avec des outils acquis travers lenseignement (Woillez,

1993 ; Abou Raad, 2004) qui fonctionnent comme des rgles dcrivant les bons

comportements. Les travaux de l'ensemble des auteurs se rejoignent pour montrer que,

pour la majorit des enseignants et des lves, la factorisation est une tche qui mobilise

un ensemble de techniques routinires acquises par rptition des exercices. La russite

de ces techniques est donc proportionnelle la complexit ostensive des expressions

algbriques proposes factoriser : les thormes donneraient des moyens de contrle a

posteriori, mais l'efficacit des routines diminue exponentiellement avec la complexit

de l'algorithme dans lequel elles interviennent (Brousseau, 1973).

Lenjeu de notre tude consiste observer plusieurs classes dans le but de

comparer lenseignement qui sy donne, dans une approche qui concerne

lapprentissage de la factorisation dans deux pays : la France et le Liban.

La factorisation est un objet de savoir fix par les programmes : en France, le contenu

est fix en Troisime (A9) alors quau Liban il est fix en EB8 (Quatrime). Notre

approche a concern lactivit de quatre enseignants, sans ngliger llve dans son

apprentissage. La dfinition de la factorisation donne par les manuels de Troisime

(A9) en France ne parle de la factorisation quen termes formels : Factoriser une

expression algbrique, cest lcrire sous la forme dun produit de facteurs , les

dfinitions donnes par les manuels de EB7 (Cinquime) au Liban nomment la

transformation par lopposition somme/produit : Factoriser : transformer une

expression de la forme dune somme la forme dun produit . Elles portent aussi sur la

description formelle de lexpression algbrique, notion en usage dans les manuels

franais mais qui nest pas dfinie. Ceci nous conduit supposer que le rapport des

lves la factorisation est dpourvu de sens algbrique, puisque les mthodes de

factorisation qui leur sont prsentes semblent applicables sur toutes les expressions

algbriques sans que les lves ne sachent quest ce quune expression algbrique

autrement que par la consigne qui les dsigne : factorise (ou, dveloppe, rduit)

lexpression algbrique .

1 Nous indiquerons, avec le nom traditionnel des classes du secondaire franais (Troisime), l'anne

d'tudes entre parenthses (A9), et pour l'enseignement libanais, avec le nom traditionnel (EB8 pour

Enseignement de Base Huitime anne) l'quivalent franais entre parenthses (Quatrime). 2 Au Liban la factorisation est au niveau de la classe de EB 8 (Quatrime).

3 Etude faite en France dans des collges lyonnais

8

Nos recherches prcdentes (Abou Raad, 2003, 2004) montrent que les erreurs

des lves des deux pays, savoir le Liban et la France, sont les mmes. Nous en avons

donc dduit notre deuxime hypothse de travail : du point de vue des lves, le

problme dans les deux pays est le mme. Cela signifie, soit que lenseignement de

lalgbre est le mme, soit qu'il y a l un obstacle conceptuel universel. Les deux

questions peuvent d'ailleurs tre lies. La thse selon laquelle lenseignement serait

absolument semblable nous intresse parce que les programmes libanais semblent

ressembler trait pour trait aux programmes franais dil y a quelques annes. Nous

avons ainsi la possibilit de montrer que les dernires rformes franaises visant

donner du sens au travail algbrique nont rien chang la situation, tout au moins

du point de vue des lves.

Pour valider nos thses, nous allons ainsi chercher montrer que les lves des

deux pays se trouvent face un mme problme. Nous commencerons par comparer

lenseignement des deux pays autour des questions suivantes : 1) Comment les

professeurs de ces deux pays abordent-ils les objets mathmatiques algbriques ? 2)

Quelles sont les techniques utilises dans un travail algbrique et plus spcifiquement

dans un travail de factorisation ? 3) Que disent les professeurs sur la factorisation 4)

Quelles connaissances font vivre les enseignants en classe dans leurs discours ? Puis

nous rechercherons partir des erreurs, les connaissances que font vivre les lves dans

un travail de factorisation, et partir des questions quils posent comment ils

transforment ce quils pensent. Nous pensons arriver identifier un problme venu de la

manire dont le travail algbrique est enseign et appris, pour rejeter l'hypothse selon

laquelle les difficults des lves relveraient d'un obstacle pistmologique.

Les objets impliqus dans un travail algbrique

Le symbolisme occupe une part trs importante dans le travail mathmatique et

en particulier dans le travail algbrique. Plusieurs tudes de diffrentes disciplines4 ont

abord la fonction symbolique, son volution travers lhistoire, et sa relation avec les

sciences. Nous fonderons notre propre travail sur l'ouvrage de Serfati (2005), qui tudie

l'invention du symbolisme algbrique par Descartes et son tude systmatique par

Leibnitz. Nous renoncerons ainsi produire un travail pistmologique autonome,

partir d'observations didactiques, ce qui n'est pas le choix de la plupart des tudes

didactiques que nous avons consultes. Ainsi Sfard (1991) souligne que dans une

activit mathmatique deux conceptions sarticulent pour une expression algbrique :

procdurale (oprationnelle) et structurale. Elle montre que par exemple, lexpression

5x + 3 est soit un processus opratoire qui consiste prendre un nombre le multiplier

par 5 et lui ajouter 3, soit un objet considr comme un tout, ce processus peut tre

interprt soit comme limage de x par une certaine fonction, soit comme un nombre

congru 3 modulo 5, etc. La question du statut des expressions algbriques a t aussi

aborde par Nicaud (1994), qui a dvelopp le logiciel APLUSIX pour les tches de

factorisation et qui sappuie sur trois niveaux de traitement smantique des expressions

algbriques. Il considre quun travail algbrique seffectue lorsque lorganisation de ce

calcul se fait laide dun raisonnement stratgique qui porte sur la forme des

expressions traites.

Radford (2002) conoit quil est important pour lapprentissage des mathmatiques de

reprsenter un objet mathmatique par un symbole qui merge de lobjet lui-mme. A

4 Psychologique, philosophique, sociologique, linguistique..

9

travers une approche smiotique, il a tudi le rapport des lves au symbolisme, qui se

sont bass sur les deictics5 pour organiser leur travail travers les symboles et les lettres

qui ont un sens indicatif indexical meaning . Arzarello (2001) a analys le sens des

critures symboliques en algbre, comme tant un outil pour dcrire des processus

algbriques. Il a trouv dans ses recherches que le sens sous-jacent des expressions

algbriques constituait une grande difficult pour les lves. Gray et Tall (1994) ont

montr que la dimension processus du procept domine dans les critures symboliques ;

pour les lves lexpression 3 + 2 nest pas une reprsentation symbolique dun

nombre, elle nest quune injonction de calcul. Saenz-Ludlow et walgamuth (1998) ont

tudi les conceptions des enfants du CE1 (Grade III) relatives au signe dgalit. Ce

symbole voque chez les lves une action, il annonce un rsultat. Les lves restent

un stade oprationnel de linterprtation, du fait quils accordent au signe dgalit

le statut dannonce de rsultat dopration . Son tude a montr que les conceptions

oprationnelles devancent gnralement les conceptions structurales. Schliemann,

Carraher & al (2003) ont montr que les lves rsolvent les problmes dans une voie

arithmtique sans se rfrer aux mthodes de lalgbre et leurs symboles. Enfin,

lpistmologie du symbolisme algbrique a t utilise par Bardini (2003) dans une

tude didactique fonde sur ltude de Serfati. Elle a analys le rapport des lves au

symbolisme algbrique en partant du fait que les symboles jouent un rle important

dans la constitution des mathmatiques et elle en a dduit que le rapport des lves aux

symboles est fragile, particulirement concernant les parenthses.

Larithmtique utilise un ensemble doutils smiotiques, trs peu nombreux,

dont le rle est de coder les calculs effectuer : il sagit de la reprsentation des

nombres entiers et dcimaux, qui elle mme est rcente. Par contamination progressive

avec le travail algbrique, elle utilise aussi les symboles comme les signes opratoires,

le signe = pour indiquer le rsultat dun calcul, les parenthses pour grer les

priorits opratoires qui sont emprunts lalgbre. Mais l'usage arithmtique de ces

notations leur fait perdre certaines de leurs proprits initiales. Le signe = devient

pour les lves l'indicateur d'un calcul effectu, ce qui en ferait l'quivalent de la touche

ENTER ou ANSWER des calculatrices comme dans 17 + 5 = 22 + 4 = 26.

Lalgbre est aussi un domaine o nous codons les calculs, mais c'est pour

travailler ce codage sans qu'il soit ncessaire d'effectuer ces calculs. De plus, elle fournit

un moyen puissant de modlisation, li lusage des lettres pour dsigner les constantes

et les variables. Elle permet encore dexprimer des relations entre le connu et linconnu,

qui sont ensuite traites laide de procdures spcifiques pour trouver une expression

de l'inconnu, par usage des symboles et des signes dj connus. Le changement de

questions li au passage de l'arithmtique l'algbrique est souvent trait dans une

continuit illusoire dont nous pensons qu'elle fait problme plus qu'elle ne viabilise le

chemin.

Pour travailler ces questions d'un point de vue didactique, et observer ce qu'il en

est dans les classes, nous avons dcid d'utiliser un systme de description qui nous

permet de nous librer des mots mmes des institutions que nous observons tout autant

que des termes mathmatiques. Nous pensons en effet, l'image de Serfati qui a invent

un lexique particulier pour dcrire le travail d'tude du symbolisme algbrique par

Leibniz, considrant par lui-mme que le symbolisme algbrique ne donnait pas les

5 Radford appelle dectics les termes dont la fonction est de pointer une forme visuelle, ils sont des

rfrentiels mcaniques, comme top row , bottom row , that , this , etc. (Radford, 2002, p17).

10

moyens de sa description, que les mathmatiques ne sont pas un outil pertinent pour

dcrire les pratiques d'tude des mathmatiques.

Dans le cas des mathmatiques il y manque la langue naturelle bien sr, et les gestes qui

accompagnent le travail et permettent la communication entre lves et professeur. Les

notions d'ostensif et de non ostensif associ sont particulirement utiles ce propos.

Dans le cas du symbolisme algbrique nous utiliserons donc les outils proposs par

Serfati lorsque nous chercherons traiter des manipulations formelles et les outils

proposs par Bosch et Chevallard (1999), lorsque nous chercherons traiter de leur sens

mathmatique. La fonction smiotique des ostensifs, leur capacit produire du sens,

ne peut en effet tre spare de leur fonction instrumentale, de leur capacit sintgrer

dans les manipulations techniques, technologiques, thoriques, []. Lostensivit dun

objet lui permet en effet de fonctionner comme signe ou plutt comme signifiant (p 95

et p 109). Bosch et Chevallard ont montr encore que tout objet ostensif est un

ingrdient ncessaire au fonctionnement cognitif dune activit mathmatique. Il a

une valence instrumentale qui existe dans les symboles crits, dans les mots dits, et

aussi dans les gestes faits, et une valence smiotique dans un fonctionnement comme

signe dautres objets. Tout ostensif ne peut pas vivre sans son non ostensif, sinon

chacun sera dpourvu de sens. Par exemple, la recherche dun facteur commun pour la

factorisation de lexpression algbrique 4x 16, suppose la manipulation dostensifs

gestuels sonores quatre et seize sont divisibles par quatre (et cela suppose que l'on

pointe du doigt 4 et 16), alors je prends 4 en facteur (et l'on crit 4(.....) et le facteur

est.. Ces ostensifs voquent deux objets non ostensifs : la division qui

correspond lide de partage gal et la multiplication qui correspond lide de

laddition rpte. Alors lcriture 4x - 16 = 4(x 4) est vue comme un travail de

transformation rgl par un systme dostensifs. Les auteurs ont montr la co-activation

de ces deux types dobjets dans toute activit mathmatique et que lensemble

fonctionne comme lments implicites des savoirs mathmatiques de linstitution.

Ainsi, parmi les systmes dostensifs, il en est qui sont reconnus en mathmatique,

comme le systme de notation en algbre ; mais tous sont des dispositifs qui rglent

laction. Ce sont des techniques de pense sous le contrle dune thorie qui en validera

la pertinence. La cration didactique d'ostensifs rpond aux besoins de lenseignement

de toute matire mathmatique (on se rappelle par exemple les arbres de calcul de

l'cole lmentaire) et on en trouve dans le cas de la factorisation o ils sont supposs

aider lapplication des mthodes enseignes. Mais les ostensifs invents usage

didactique n'auront jamais un statut mathmatique et cela comporte un risque : ces

ostensifs ne peuvent relever que des rgles daction, ce qui enferme llve dans un

monde dinterprtations personnelles sans contrle. Lusage des ostensifs dans

lenseignement dirige laction de llve qui les reproduit sans y penser : Llve na

qu vrifier lexcution des gestes partiels dune liste cocher fournie par

lenseignant (Mercier 1995a). Ainsi la factorisation , telle quelle fonctionne dans

lenseignement de lalgbre ne peut gure se ramener une notion mathmatique stricto

sensu6.

Tonnelle a montr, dans le dveloppement des produits de deux sommes et des identits

remarquables que le rapport au travail algbrique se rduit souvent un rapport des

ostensifs non pertinents d'un point de vue mathmatique, ce qui nous conduira

prolonger notre description par une analyse de ce que Serfati appelle le registre

combinatoire qu'il lie au registre signifiant , pour que lcriture mathmatique

soit le moyen de construire des preuves et de crer des objets. Les signes comme les

6 Le passage dun contenu de savoir prcis une version didactique de cet objet peut tre appel

justement transposition didactique stricto sensu Chevallard 1991

11

lettres, les chiffres, les figures multiples : =, +, -, , etc sont les lments

constituants du premier registre qui nest autre quun registre purement formel de signes

dont linterprtation se fait dans le second registre. La factorisation place les lves face

un problme combinatoire, il sagit de faire des transformations combinatoires

dcritures formelles

() : Somme (de produits) Produit.(de sommes)

Forme-nonc Forme-produit

La combinatoire des expressions assure la solidarit entre ces deux formes . Un

jeu de calcul , permet au signe deux traits , qui spare les deux critures, dassurer

quelles ont la mme substance, en dautres termes elles sont qui-valentes (qui-

substanties)7.

La confusion entre ces deux registres est claire. Nous ne donnerons comme exemple

que le cas des parenthses rondes, signe de dlimitation (nomm ainsi par Serfati) qui

sont reconnues, dans le problme qui nous intresse, comme signe dagrgation (des

sommes, qui deviennent ainsi des objets lmentaires), mais qui ont aussi un rle de

sparateur (des facteurs du produit) dans un assemblage d'expressions agrges sur

lesquelles nous avons opr.

Notre tude est donc mene avec une double approche, une approche qui

concerne le Savoir et sa transposition (Chevallard, 1991; Mercier, 2002) ainsi que le

symbolisme algbrique (Serfati, 2005) et une approche qui concerne lEnseignant et

lEnseign dans un double cadre : le modle de l'action du professeur Sensevy, Mercier,

Schubauer-Leoni (2000, 2005) et lapproche anthropologique dveloppe par

Chevallard (1995).

Dans le premier chapitre, nous nous intressons aux deux composantes

mathmatiques, l Arithmtique et l Algbrique au sein de diffrentes recherches

menes en didactique de lalgbre. Puisque lalgbre est un domaine de codage et un

moyen puissant de modlisation, nous tudions lvolution du symbolisme

mathmatique et son rle en nous appuyant, en plus du travail de Serfati, sur plusieurs

recherches dont le travail sest bas sur le symbolisme et les critures algbriques. Pour

pouvoir montrer que la factorisation nest quun travail combinatoire formel, nous

faisons dans le second chapitre, un panorama des lments du travail de Serfati qui nous

servent ici, sur linterprtation dune criture algbrique dans les deux registres

combinatoire et signifiant. Bien que les symboles aient un rle important dans le

processus de lapprentissage de lalgbre, dans le prsent travail, nous nous limitons aux

symboles les plus frquents dans une situation de factorisation, les signes deux traits

(=), et croix (+), enfin les parenthses rondes [ ( ] et [ ) ] et les crochets ( [ ) et ( ]

), que Serfati nomme des dlimitants .

En second temps nous analysons dans une tude comparative, le rapport des enseignants

et des enseigns aux dlimitants : les parenthses rondes et les crochets qui ont un

double rle dans les diffrentes critures algbriques et en particulier dans celles qui

reprsentent une factorisation. Pour raffiner notre questionnement sur la factorisation,

une tude a priori de cette notion la base des deux registres de Serfati fait lobjet du

troisime chapitre. Nous essayons de montrer la difficult de la factorisation par la

transformation ( ) en dtaillant les procdures de factorisation sur des exemples

travaills dans les classes o ont eu lieu nos observations.

7 Serfati (2005), chapitre XIII, p 299

12

Une tude comparative sur les apprentissages scolaires de la factorisation, travers les

curriculums et les manuels scolaires adopts par les coles o ont lieu nos observations,

est lenjeu du quatrime chapitre. Cette tude cherche trouver, si dans les deux pays,

la factorisation est une combinatoire de transformation dcriture, et dterminer

quelles sont les bases de son enseignement. Ceci nous a incite passer dans les classes

pour voir de prs comment les enseignants de chaque pays prennent en compte dans

leur enseignement la question de la factorisation. Diffrents pisodes didactiques pour

chaque mthode de factorisation sont analyss pour les quatre enseignants. Notre but est

de voir comment les enseignants des deux pays prsentent la factorisation aux lves et

avec quels outils denseignement. Pour ceci, nous suivons la transmission du savoir

Factorisation , dans quatre classes de trois collges des deux pays : la France (deux

classes de troisime) et le Liban (deux classes de EB8). Et puisque notre tude est

comparative, nous relevons dans le cinquime chapitre les discours des quatre

enseignants en suivant les moments o ils traitent dune mme ide.

Dans le sixime chapitre, nous montrons lalgorithmisation de lenseignement, dans les

deux pays, de la factorisation en utilisant les identits remarquables carres et la

factorisation par un facteur commun. Nous ne ngligeons pas le comportement des

lves dans nos analyses de ce chapitre et pour les enrichir, nous recherchons le rapport

personnel de six lves franais8 - de niveaux scolaires diffrents (3

me, Seconde,

premire S, Terminale (ES))- la factorisation de lidentit a2 + 2ab + b

2.

Le septime chapitre, porte sur une tude comparative des erreurs identiques des lves

des deux pays, et sur leurs questionnements dune mme ide.

Et pour clore ce travail, une conclusion donne un aperu sur tout le travail et une

ouverture pour une recherche sur un travail de facettes.

8 Nos tudes de cas se limitent aux lves franais cause de notre prsence en France aux moments de la

rdaction de la thse.

13

Chapitre I

Cadre Thorique

Lalgbre indique, elle ne prononce pas ; sa gnralit est pour Condillac un modle :

Gnraliser () est un cueil dans les langues vulgaires ; mais cest un grand art

dans lalgbre, et cest l proprement tout lartifice de lanalyse . Or la gnralit de

lalgbre lui vient de son indtermination, chaque lettre dsigne (..) en gnral tous

les nombres possibles (Condillac, cit par Serfati p.315)

I - 1 Introduction

La majorit des collgiens et des lycens prouve des difficults relles pour

saisir la notion de factorisation. Notre exprience empirique dans les deux pays, la

France (enseignement des mathmatiques domicile pour des lves du collge et du

lyce) et le Liban (enseignement des mathmatiques au collge, et domicile pour des

lves du collge et du lyce), nous conduit dire que lun des premiers blocages des

lves dans lapprentissage des mathmatiques est la confrontation ce qui est appel

Algbre mais qui n'a aujourd'hui que fort peu voir avec ce que ce terme dsigne en

mathmatiques puisqu'il ne s'agit que du calcul dit algbrique ; il porte sur des critures

comportant des paramtres, des inconnues, des constantes et des variables, critures qui

peuvent tre des formules d'une ou plusieurs variables, des quations, des identits

conditionnelles ou non, etc.

I - 2 - Lhistoire de lAlgbre

Avant de parler du couple Arithmtique, Algbre dans l'enseignement, nous

avons trouv quil tait ncessaire de faire un aperu sur lalgbre dans lhistoire partir

du travail de Serfati9, qui parle de trois grandes tapes historiquement et

fondamentalement distinctes dans le dveloppement historique de lalgbre :

1. Lalgbre rhtorique (avant Diophante, 425 - 410) : il sagit de calcul entirement exprim en mots, ce qui, en labsence de tout signe, consiste

dtailler en langue ordinaire le droulement complet du calcul.

2. Lalgbre syncope (de Diophante la fin du XVIe sicle) : lexpos de la solution est de nature rhtorique, mais utilise les abrviations

introduites par Diophante pour dsigner les inconnues.

3. Lalgbre symbolique ( partir de Vite) : elle reprsente toutes les formes et oprations possibles dans une langue de signes entirement

constitue et indpendante de lexpression orale (nous nous intressons

dans ce travail cette partie)

LAlgbre, partir de Vite, est devenue un outil pour prouver des rgles en

utilisant les lettres non seulement pour dsigner des inconnues, mais aussi pour dsigner

des donnes. Lalgbre fournit un moyen plus puissant, essentiellement li lusage

des lettres (pour dsigner des variables) et la possibilit de calculer sur les expressions

littrales quelle conduit former 10

. De Larithmtique des coles (1927), Bernadz

(2001) a cit la formule suivante. Algebra is a science which simplifies problem

9 Serfati (2005,chap I, p. 38 39)

10 Chevallard (1989, p 64)

14

solving and generalizes solutions by establishing formulas to solve problems of the

same type . Mais lutilisation des symboles pour dsigner des inconnues et des

donnes afin de rsoudre des problmes rend le calcul plus difficile, preuves en sont les

erreurs des lves, tous les niveaux partir du collge. Sfard (1994) considre que

lalgbre est une arithmtique gnralise qui a deux phases : oprationnelle et

structurale. Lalgbre ancienne, mdivale et rhtorique a une structure oprationnelle

du fait quelle opre verbalement pour trouver la valeur de linconnue. Diophante le

premier a assur le passage de lalgbre oprationnelle lalgbre structurale en

construisant des expressions comme 10 x. Et Vite (1540 1603)11

a t le premier

faciliter la recherche de linconnue au moyen des symboles. Mais lvolution de

lalgbre ne sest pas arrte ce point. Sfard (1994) cite pour Gregory (1840 ; as

quoted by Novy, 1973, p194) : Algebra was to become a science which treats the

combinations of operations defined not by their nature, that is by what they are or what

they do, but by the laws of combinations to which they are subject . Donc, selon

Gregory, lalgbre est une science qui traite des oprations combinatoires. Toutes ces

dfinitions de l Algbre montrent que, grce aux formules et lusage des

symboles, la rsolution des problmes par une mthode algbrique est plus facile que la

rsolution des mmes problmes par une mthode arithmtique.

I - 3 - Transition de lArithmtique lAlgbre

Plusieurs recherches ont t faites sur la comparaison du couple Arithmtique,

Algbre afin de mieux cerner ce qui pose problme aux lves dans lapprentissage de

lalgbre. Les ides se contredisent, certaines parlent dune continuit entre les deux

lments du couple, par contre dautres parlent de discontinuit.

Le passage de lArithmtique lAlgbre est marqu par lintroduction des

signes algbriques ou symboles algbriques qui ont un sens prcis en langage

arithmtique et cela sera modifi dans le langage algbrique . Ce passage a t

souvent envisag comme une gnralisation des procdures arithmtiques, ce qui peut

expliquer probablement pourquoi les lves ont des difficults donner du sens aux

nouveaux outils proposs. Or, si lalgbre permet de rsoudre les problmes de

larithmtique lmentaire, elle nest pas une simple gnralisation. Gascon (1993-

1994) et Chevallard (1989) combattent le modle pistmologique de lalgbre comme

arithmtique gnralise. Gascon propose un modle alternatif larithmtique

gnralise, lalgbre lmentaire. Celle-ci est une activit mathmatique caractrise,

entre autres, par une symbolisation globale de la relation entre les donnes et les

inconnues du problme. Le langage utilis contient des variables, des paramtres qui

constituent des formules qui sont des modles algbriques. Pour Chevallard, la

rsolution de problmes dans larithmtique lmentaire relve essentiellement du

champ du discours oral alors que la rsolution algbrique sinscrit dans le champ de

lcriture symbolique. Lalgbre est un domaine o lon code les calculs dans des

ensembles de nombre, mais elle fournit un moyen plus puissant li lusage des lettres

pour dsigner des variables et la possibilit de calculer sur des expressions littrales ;

ce qui fait la force de lalgbre, c'est lemploi des paramtres . Lutilisation de

lalgbre est lgitime par la modlisation des systmes mathmatiques. Mercier

(1999b) a parl dun manque de thorie du ct de la numration pour parler de la

difficult de lintroduction de lalgbre. Il a montr que les lves utilisent des

techniques sans technologies (au sens de Chevallard), dans le domaine de la

11

Voir Serfati (2005)

15

numration. Ils ne sont pas capables de faire des gnralisations ni dorganiser leurs

techniques. Woillez (1993) a montr que la modlisation des raisonnements

arithmtiques par lalgbre ne pourra avoir lieu en labsence de rfrence (p 104). La

pense arithmtique est ncessaire la construction de la pense algbrique

Larithmtique lmentaire nest pas seulement un ensemble de connaissances

procdurales ; certaines des connaissances dveloppes dans larithmtique lmentaire

sont aussi des connaissances relatives aux relations. De plus, certains des raisonnements

mis en uvre vont tre modliss par lalgbre . Pour Tall (1999) le passage de

larithmtique lalgbrique, et de lalgbre au calcul, a t cause dun changement

dans la nature du procept12

, les symboles nont plus la mme signification. En

arithmtique, tous les symboles induisent une rponse, alors quen algbre, ils forment

des expressions algbriques qui induisent des processus potentiellement excutables.

Pour Sfard (1994), lalgbre est en continuit avec larithmtique. Lalgbre,

identiquement larithmtique, manipule des nombres et des relations numriques, mais

elle pose des questions de types diffrents pour traiter des algorithmes Arithmetic

algebraic to the extent that it provides opportunities for making and expressing

generalizations (Carraher, 2001).

Ainsi, nous pouvons dire que la continuit apparente entre Arithmtique et Algbre

est marque par lutilisation des lettres, qui seront des variables, des paramtres ; le

signe gal (=) et les signes opratoires (+, -,

). Alors que, la discontinuit se marque

par la cration de nouveaux objets mathmatiques (quations, expressions, fonctions)

qui se servent des signes usuels de larithmtique en se donnant du sens indpendant des

procdures quils reprsentent dans la rsolution de problmes. Une fausse continuit et

une discontinuit sont marques par Kieran (1994). La premire rside dans le partage

des mmes symboles et signes, et aussi par la prsence des lettres dans des

significations diffrentes. Alors que le dplacement de conceptions procdurales vers

des conceptions structurales, lutilisation de nouveaux objets (expressions, quations,

inquations,...), la mise en uvre des dmarches de rsolution diffrentes du travail

arithmtique, la reprsentation formelle des problmes et lutilisation des procdures

formelles pour les rsoudre, tous marquent la discontinuit entre larithmtique et

lalgbre.

Les difficults des lves en algbre proviennent en partie des reprsentations de

lalgbre comme une gnralisation de larithmtique. Lenseignement ne donne aucune

place la difficult des lves dans la transition de larithmtique lalgbrique. Les

enseignants estiment que montrer le fonctionnement est suffisant pour lapprentissage ;

lalgorithmisation de la factorisation des expressions algbriques et de la rsolution des

quations et des inquations en sont la preuve. Mais les erreurs rcurrentes des lves et

mme persistantes chez certains montrent bien la difficult de matriser le calcul

algbrique dpourvu de sens, puisqu travers la pratique dun calcul algbrique, ils

doivent contrler les rsultats obtenus. Ce contrle impose de comprendre les rgles qui

gouvernent la formation et le traitement des expressions algbriques En termes de modlisation, lintroduction des paramtres fait passer dune modlisation

arithmtique , o les noncs du langage ordinaire, , une modlisation

12

Le procept est une collection de procepts lmentaires dun mme objet A procept conists of a

collection of elementary procepts that have the same object . Ils dfinissent un procept lmentaire par

lamalgame de trois composantes : le processus, lobjet et le symbole An elemntary procept is the

amalgam of three components : a process that produces a mathematical object, and a symbol that

represents either the process or the object (Gray and Tall 1994, p 121)

16

algbrique o les noncs cdent la place des expressions littrales sur lesquelles

opre le calcul algbrique et quon pourra valuer en fin de calcul, en revenant alors aux

nombres particuliers dfinissant ltat du systme auquel on sintresse 13

I - 4 - Lvolution du symbolisme mathmatique

La plupart des symboles du calcul ont t invents entre la fin du XVe sicle et la

fin du XVIIIe sicle, pour symboliser une ide ou une chose (Radford, 2002), alors que

larithmtique existait depuis toujours. Lhistoire nous montre comment le symbolisme

a volu dans une qute de prcision et de simplicit des formes et des calculs. Nous

nous intressons aux symboles algbriques qui outillent un travail de factorisation.

Notre tude sera chronologique et pistmologique, en se guidant sur le travail de

Serfati.

I - 4 - i - Le signe (=) ou signe deux-traits 14

L'galit est marque en Europe au XVIIe sicle par le symbole par lequel

les astronomes dsignent la constellation du Taureau. Mais le mot latin "aequalis" en toutes lettres se rencontre aussi, il est progressivement abrg en et devient,

finalement, le signe "=". Il semble avoir t invent par le mathmaticien anglais Robert

Recorde15

(1510-1558), professeur Oxford et Londres. Le symbole dsigne alors

le nombre 1000. C'est J. Wallis qui, vers 1660, l'lve au rang "d'infini" ; auparavant,

cette notion d'infini n'avait pas d'existence (site Nedstat Basic).

Le signe deux traits cra, depuis Recorde16

dans une ligne, deux places fixes,

pouvant tre occupes de la mme faon par une forme en amont diffrente de celle

en aval. Il a t la constitution dune criture mathmatique autonome, spare du

langage rhtorique. Serfati considre17

tout comme Descartes que lnonc galer les

rsultats des deux instructions prcdentes18

est mathmatiquement accompli . Dans

les textes rhtoriques, depuis les mathmatiques grecs, une mise en galit entre

rsultats avait constitue une procdure constante (deux plus trois font cinq, la racine

carre de 144 vaut 12, etc), elle tait exprime par les verbes daction font, galent,

valent, aequales, aeaquari, esgale, faciunt, ghelicjk, gleicht, fara, etc. (Serfati p. 130).

Dans les exemples prcdents, les verbes font et vaut affectent un attribut (cinq,

12) un sujet, qui est lui mme le rsultat dune instruction lmentaire (ajouter deux

trois, extraire la racine carre de 144). Comme la proposition mathmatique est une

proposition de la langue naturelle, la procdure de la mise en galit, qui se limite des

instructions opratoires, est considre comme inacheve, puisque la rciproque est

invalide dans ce langage.

Le signe (=) comprend, comme lobserve Serfati, non seulement, la mise en relation

dgalit des rsultats, mais aussi le jugement de la validit de lgalit. Ce signe est une

figure qui comme tous les signes opratoires a une fonction combinatoire : crer

deux places, amont et aval, de niveaux diffrents. En arithmtique, il marquait le

rsultat dun calcul : 2 + 3 = __, et 2 + __ = 5, dans le premier il indique le rsultat de la

13

Chevallard (1989, p 65) 14

Nous adopterons cette notation tout le long de ce travail conformment Serfati 15

Le signe (======) a paru en 1557 dans son ouvrage Whetstone of white ( Serfati p 131) 16

Le signe gal de Record tait plus long que lusuel de nos jours : ====== (Serfati p 133) 17

Serfati chap VI, p. 129 18

Soit z le signe dune grandeur inconnue ; effectuer le carr de b, moins a, multipli par z et constituer

son rsultat est la premire instruction. Retrancher 2 de z et constituer son rsultat est la deuxime

instruction.

17

somme de 2 et de 3, dans le second le rsultat est un nombre ajouter 2 pour avoir 5.

Par contre en algbre, il a diffrents sens : dans x2 + 2x + 1 = (x + 1)

2 le signe (=)

indique une galit pour toutes les valeurs de x alors que dans x2 + 2x + 1 = 0 lgalit

est vraie uniquement pour deux valeurs de x.

Dans lcriture 3 + 5 = 7 + 1, les lves ne voient pas que le signe (=) indique

lidentit quantitative19

de lamont et de laval. Ils le voient comme un sparateur

entre deux oprations. Cest ce que Serfati20

voit aussi, il dit que le deux-traits a un

pouvoir plutt sparateur quagrgateur, et il est plus lev que celui de tous les autres

signes opratoires.

Selon Sfard (1991), les lves sont incapables dinterprter la division de deux entiers

comme une fraction, ils la voient uniquement comme un processus et non comme une

entit statique (p 11). La dualit oprationnel/structural pour tout concept mathmatique

se manifeste, dans le sens du signe (=) qui peut tre la fois un signe dopration faite

et un symbole de relation entre deux quantits This duality of interpretation corresponds to the already noticed and discussed dual meaning of

the equality sign = can be regarded as a symbol of identity or as a command of executing the

operations appearing at its right side (Sfard 1991, p 6])

Cette dualit indique que le signe (=) en algbre peut signifier aussi bien une action (x +

2x = 3x), quune quivalence ((a+ b)2

= a2 + 2ab + b

2).

Pour Kieran (1981), les lves donnent au symbole (=) le sens dannonce dun rsultat

quil a dans un calcul arithmtique. Elle a men une exprimentation sur des lves du

collge et du lyce, dans le but de changer leur conception sur le signe (=). Son travail

atteste que ces lves trouvent toujours dans le signe (=) un sparateur et non un

symbole dune relation symtrique et transitive. En revanche, ils acceptent doprer sur

des noncs tels que 4 + 5 = 3 + 6, ils justifient cette galit en disant que les deux

membres, comme ils ont la mme valeur, sont gaux.

De mme, Saenz-Ludlow et Walgamuth (1998) ont analys les interprtations du signe

(=) par des lves du primaire (3-8ans). Les lves ne voient pas que le symbole (=)

reprsente une relation dquivalence, il est rarement interprt comme tel. Dans

lcriture 6 + 6 = 6 + 6 ou 6

6 = 6 6, ils naccordent au signe (=) que le rsultat de

lopration, ils ne voient pas le sens de ce symbole. Les auteurs ont suivi, tout le long de

lanne scolaire, lvolution de la conception du signe (=) chez les lves de la classe

CE2 (grade III). Ils ont trouv quau dbut de lanne, le signe (=) est pour les lves le

rsultat des oprations arithmtiques (10 + 5 = 15). Il leur tait difficile daccepter

lgalit entre deux quantits crites diffremment (6 + 6 = 5 + 7 ou 50 + 53 = 53 + 50),

ils nacceptaient pas de dire verbalement que : cinq plus sept et six plus six sont

gaux, ou dsignent le mme nombre .

Woillez (1993), dans un travail sur la transposition, a montr que le sens arithmtique

du signe (=), parat non pertinent dans un contexte algbrique. Ce symbole prend un

sens local, du fait quen transposant, les termes dune galit changent. Cette galit

parat fausse pour les lves. Ils traitent les termes de chaque ct de lgalit comme

tant les termes dune mme somme.

I - 4 - ii - Les lettres

Dans lhistoire les experts ont catgoris les lettres de diffrentes faons dans des

travaux mathmatiques. Vite, linventeur du langage algbrique, fut le premier

19

Saenz-ludlow (1998) 20

Serfati (2005, chap VI, p. 133)

18

introduire les lettres pour des notations mathmatiques, partir desquelles, il forme des

mots, puis des formules sur lesquelles il opre. Il a propos une codification littrale

pure, au moyen des voyelles majuscules A, E, I, O, etc. Descartes a utilis les lettres

dans deux sens : 1) les lettres a, b, c pour dsigner les donnes , 2) les lettres x, y, z

pour des inconnues. Ceci entrane que les lettres seront interprtes comme substances.

En arithmtique, nous utilisons les lettres, mais dans un but de dsigner des mesures

comme 3 m pour dire trois mtres, ou des tiquettes comme 3 m pour dire 3 mobylettes.

Cette diffrence a t tudie par Kieran (1990). En probabilit si je compte des tirages

pile ou face : tirer six fois une pice , nous permet dcrire (p + f) 6 = pppppp +

fppppp + pfpppp+ ppfppp+ pppfpp + etc, signalons que p dsigne PILE et f

FACE , qui sont loin dtre des nombres ! Alors que, la proposition (a + b)2 = a

2 +

2ab + b2 est une proprit tablir pour toutes les valeurs des grandeurs donnes a et b.

Aucun intrt nest donn la nature de ces critures ( ce quelles dsignent). Nous

pensons que l'apprentissage de routines rgles est lent et soumis aux lois en la matire

(Brousseau, 1973) : le rsultat ressemble un dveloppement parce qu'il est fond sur le

corps d'expriences que les lves forment durant leur passage l'cole. Plusieurs

tudes ont montr que les volutions des conceptions des lves sont des effets de

l'enseignement et non pas lies un dveloppement cognitif naturel (Pascal, 1980).

Kuchman a montr que les lettres ont le statut dun objet pour la majorit des lves

puisque dans leur livre dalgbre, en premire leon, nous retrouvons cet exemple 5x

+ 8x = 13x is justified by analogy with 8 minutes added to 5 minutes equals 13

minutes 21

. Il a trouv dans une de ses tudes que plus que 75% lves anglais traitent

les lettres dans des quations comme des objets et plus spcifiquement lettre-objet

en utilisant les premires lettres des mots de la consigne22

. Pour cette tude, il a propos

une classification des diffrents statuts des lettres :

1. Lettre value : la lettre est remplace par une valeur numrique 2. Lettre non considre : la lettre est ignore dans le calcul 3. Lettre-objet : la lettre est un objet concret, cest une tiquette 4. Lettre comme inconnue spcifique : la lettre dsigne un nombre inconnu 5. Lettre comme un nombre gnralis : la lettre peut prendre plusieurs

valeurs

6. La lettre-variable : la lettre est utilise dans un contexte fonctionnel

I - 4 - iii - Les signes opratoires

Cest la fin du XVe sicle que les premiers signes opratoires comme la

croix (le signe de laddition (+) de nos jours) et le trait (le signe de la diffrence

(-) de nos jours), parurent. Les quatre signes dopration (laddition, la soustraction, la

division, et la multiplication) furent connues la fin du XVIIe sicle. Dans le registre

combinatoire, chaque signe opratoire est une figure dont la fonction est de crer

deux places ouvertes, avant et aprs lui. Ces signes sont appels assembleurs dont

lordre fixe lordre dexcution des instructions : (2 + x) . 3,5 sinterprte ainsi ajouter

lentier de signe 2 au nombre inconnu de signe x. Constituer le rsultat. Multiplier

ensuite le rsultat obtenu par le nombre de signe 3,5 (Serfati pp 88-89). Plusieurs

recherches didactiques ont tudi la conception des lves des signes opratoires en

algbre et surtout le signe de laddition, puisque la croix , en arithmtique, traduit

21

Review of Orleans-Hanna Algebra Prognosis Test by DIETMAR KUCHEMANN, Lecturer in Mathematics Education, University of London Institute of Education, Bedford Way, London, United

Kingdom, 1980 22

http://www.swan.ac.uk/education/pgcemaths/pk/difficulties/algebra/s_ane1.html

http://www.swan.ac.uk/education/pgcemaths/pk/difficulties/algebra/s_ane1.html

19

lopration de laddition de deux nombres a et b, et en algbre, elle est le rsultat de la

somme de a et de b. Dans 2 + 3 qui voque la fois le processus de laddition de

deux nombres, et le concept de la somme, les lves y voient un calcul dont le rsultat

est 5 , et non une des reprsentations du nombre 5 [Gray et Tall (1994), Tall & al.

(1999), Sfard (1991)].

I - 5 - Dialectique Algbrique/Numrique

Lanalyse du couple Arithmtique-Algbre fait apparatre un autre couple

Algbrique-Numrique . La relation entre les lments de ce deuxime couple

provient de la relation entre l Arithmtique et la Thorie des nombres . Le calcul

numrique a pour caractre lachvement des calculs, par exemple, une rponse tel que

4 + 8 nest pas accepte, puisquil y a un calcul encore faire. Dans la thorie des

nombres, c'est--dire ltude de la factorisation des nombres, du PGCD, etc, un recours

aux reprsentations gomtriques des nombres se fait jour avec les Pythagoriciens : par

un travail arithmo-gomtrique, ils ont dmontr que la somme de deux nombres

impairs 5 et 7 est un multiple de quatre et aussi quelle est la diffrence de deux carrs 5

+ 7 = 4 3 = 42 2

2. Soit 5 ronds et 7 ronds

O O O O O

O O O O O O O

En runissant ces ronds, nous obtenons une reprsentation de 5 + 7

O O O O O O O O O O O O

Nous pouvons les grouper en trois groupes de quatre

O O

O O

O O

O O

O O

O O

Si nous les disposons en une forme carre, nous observons quil manque un carr de

quatre ronds, ce qui prouve que 5 + 7 = 42 2

2.

O O

O O

O O

O O

O O

O O W W W W

Alors quaujourdhui, en utilisant le langage algbrique, nous dmontrons la

mme proprit par formulation du problme en premier, puis par rsolution de manire

systmatique, (2p + 1) + [2(p + 1) + 1] = 4p + 4 = 4(p + 1) que Leibniz appelle

combinatoire 23

, cest--dire systmatique sous la forme normalise (2p 1) + (2p +

1) = 4p. Le langage numrique donne pour un mme nombre deux noms diffrents 4 +

23

Serfati (2005, chap XI, p. 254)

20

8 , et 12 , qui sont quivalents, ils dsignent le mme nombre, mais ils diffrent par

leur nom, alors que larithmtique algbrique distingue ces noms puisquils ne

montrent pas la mme chose. 4 + 8 = 22 + 2

3 montre que 12 est une somme de

puissances de deux. Le langage algbrique permet de former linformation monstrative

pertinente de lexpression par effet de simplification : (2p 1) + (2p + 1) = 4p (dsigne

un multiple de 4), ou de complexification : 4p = (p + 1)2 (p 1)

2 (est une diffrence de

deux carrs).

Lcologie des savoirs tudie par Chevallard24

lui a permis dtablir que, dans

le monde mathmatique, lalgbre se construisait dans le prolongement de

larithmtique, tout en sy opposant. Il a mis en vidence que lalgbrique est un outil de

ltude du numrique, et inversement, pour que le fonctionnement de cet outil soit

efficace, quil faut tudier cet outil, par exemple se poser les problmes de factorisation

des expressions algbriques pour pouvoir rsoudre les quations algbriques. Dans ce

mme travail sur les curriculums, il a montr que le numrique concret doit permettre

llve dacqurir lalgbrique abstrait. Lalgbrique apparat comme la thorie de

cette ralit que serait le numrique 25

. Les problmes concrets jouent encore, dans

lenseignement de lalgbre, le rle de relais entre larithmtique et lalgbrique. Pour

faire comprendre llve que x y = x + (-y), des exemples numriques tel que 13 - 7

= 13 (+7) lui viennent en aide. Ceci se voit clairement dans lenseignement de la

distributivit de la multiplication par rapport laddition, o le passage labstraction

est considr facile. Lalgbrique nest quune stnographie essentialisante, qui dcrit,

rsume et spare lessence de laccident 26

.

Kieran27

suggre que larithmtique sert le plus souvent de point de dpart pour la

prsentation des notions algbriques. Elle pointe aussi une rupture entre les deux, quand

elle affirme: The cognitive demands involved in operating on algebraic expressions as

objects with operations are quite unlike the operations of arithmetic .

Broin (2002) dit que cest par la voie de larithmtique que les lves rentrent dans

lalgbre. Le passage se fait, non en rupture avec larithmtique, mais dans une fausse

continuit, puisque les nombres dont disposent les lves sont des nombres

arithmtiques .

Pour les professeurs, lAlgbre au collge apparat comme laccomplissement de

lArithmtique dans les classes primaires. Le travail algbrique exige de llve du

collge le savoir pratique des symboles comme les signes opratoires, le signe gal, les

parenthses, les lettres. Ces objets sont connus en primaire. Car progressivement nous

observons l'introduction de symboles algbriques dans le travail arithmtique mme du

primaire, comme le signe = mais aussi les signes + et - qui n'appartenaient

pas l'arithmtique il n'y a pas un demi sicle. L'usage naturalis de ces signes ne se

fait pas dans le monde algbrique et produit sans doute un grand nombre de problmes

que nous observons ensuite, puisqu'ils doivent tre rinterprts. De ce fait, les

connaissances arithmtiques des lves peuvent tre des obstacles pour les savoirs

algbriques, d'autant plus que ces deux mondes sont aujourd'hui mlangs troitement.

Car nous connaissons aussi les symboles algbriques, lorsque nous les pratiquons

depuis cinq ans l'cole, mais nous les connaissons selon la pratique que nous en avons.

Ces obstacles se manifestent par le passage rapide 1) des problmes darithmtique de

lcole primaire des problmes de combinatoire dont la difficult augmente trs vite28

24

Chevallard, La transposition didactique (1991) 25

Chevallard (1984, p 78) 26

Chevallard (idem, p 81) 27

Kieran (1992, p 392) 28

Chevallard (1989, p 62)

21

2) du langage rhtorique en arithmtique au langage symbolique, donc lcriture des

relations littrales qui mettent en jeu des nombres rels en algbre 3) du particulier au

gnral en utilisant des symboles algbriques.

I - 6 - Calcul algbrique formel/Calcul algbrique fonctionnel

Les expressions algbriques sont de nouveaux objets introduits par lalgbre qui

constitue un apprentissage nouveau lentre au collge. Ces objets sont construits sans

aucune explication, avec des nombres, des signes opratoires qui appartiennent aussi

larithmtique. Ils sont alors prconstruits et llve doit les apprendre comme tel, il est

guid par un code de bonne conduite du calcul algbrique parce que lenseignement

du calcul algbrique au niveau du collge est formel (Tonnelle, 1980 ; Bardini 2001).

Cette ide est soutenue par Chevallard (1989), il donne la diffrence entre calcul formel

et calcul fonctionnel en opposant leur cadre. Le cadre formel, est le cadre

denseignement dans lequel se placent les premiers exercices de manipulations

algbriques au collge comme exemple les exercices de dveloppement, de factorisation

et de simplification des expressions. Dans ce cadre, les comportements de llve ne

sont pas guids par un but, son travail est automatique, il se prsente comme une liste

dtapes enchaner. Lapprentissage formel met aisment llve en chec, il ne lui

donne quun savoir sans puissance de ralisation. Alors que le cadre fonctionnel

suppose de llve des prises des dcisions en fonction dun but clair et de recherche de

diffrentes formes des expressions, il est le vritable lieu de lapprentissage. Ltude de

Julien29

sur un exercice extrait dune preuve du brevet en est la preuve.

a) x dsignant un nombre rel quelconque, dvelopper (x + 5)2

b) Expliquer pourquoi (x + 5)2 est toujours strictement suprieure 10x

75% des lves ont russi la premire question, pour 9% pour la deuxime qui demande

un emploi fonctionnel du calcul algbrique.

Nous allons essayer de montrer dans cette tude que la factorisation qui na

quun usage fonctionnel au lyce o son emploi est ncessaire pour le calcul des limites

des fonctions, au collge son emploi est formel.

29

Jullien M.(1989-1990)

22

23

Chapitre II

Rle des dlimitants dans le travail algbrique

Grce aux signes dlimitants, il est possible en algbre de distinguer processus

et rsultat dune expression (Serfati)

Lapproche historique permet de faire mieux connatre les apports des

diffrentes cultures et civilisations la construction des mathmatiques. Dans le cadre

de son ouvrage La rvolution symbolique, Serfati dcrit toute lhistoire du symbolisme

mathmatique et son rle dans les mathmatiques. Nous avons choisi de le suivre dans

son tude pistmologique de lvolution de lcriture symbolique mathmatique pour

montrer que le travail algbrique, entre autre la factorisation, nest quun travail

combinatoire formel.

II - 1 - Lhistoire des notations et des symboles mathmatiques

Le langage mathmatique a subi des changements fondamentaux tout au long de

lhistoire. Lintroduction des grandeurs symboliques est reprsente par des variables ;

le travail mathmatique ncessite de combiner ces variables dans des formules pour

faire des calculs et rsoudre des quations.

Selon Serfati (2005) : Diophante fut le premier symboliser linconnue quil a

utilis pour rsoudre des problmes dont la solution nest quun entier ou un dcimal.

Par contre Al-Khawarizmi, le crateur de lalgbre, a introduit la rsolution des

quations sans utiliser aucun symbole, uniquement du discours. Il nomma linconnue

par chose (say). Plus tard, les italiens parlent de cosa et les allemands de

coss , etc. Donc, tout problme inconnue ne peut tre rsolu sans symboliser cette

inconnue qui fut reprsente par (signe pour la chose ) avant Vite qui en 1591 reprsenta linconnue par un symbole constant. Il a constitu le premier apport

symbolique, il a utilis, en criture majuscule, les voyelles pour dsigner les grandeurs

cherches (A, E, I, O, U, Y), et les consonnes pour dsigner les grandeurs donnes (B,

C, D, F, etc), il a ralis des progrs en matire de calcul algbrique et dapplication de

celui-ci la gomtrie des Grecs. Dans la premire moiti du dix septime sicle,

Fermat, et plusieurs autres mathmaticiens, simplifirent les notations de Vite en

remplaant les majuscules par des minuscules. Et cest Descartes, qui a introduit les

dernires lettres minuscules x, y, z dans sa gomtrie. Notons que ces lettres sont encore

en vigueur aujourdhui.

Cette tude montre que larithmtique existe depuis trs longtemps, puisque les

symboles algbriques et les lettres ont t invents partir du dbut du XVIe sicle.

Donc, les hommes davant ont fait pendant des sicles de larithmtique pure. Et de nos

jours les mathmatiques ne peuvent pas se passer des symboles et des notations,

tellement ceux-ci sont ncessaires pour le travail algbrique.

II - 2 - Registre combinatoire/Registre signifiant

Que dsigne x2 + 3 ? Rien, car la lettre x indique un nombre, mais ne le

dsigne pas. Serfati (2005) dit que Leibniz fut le premier dgager lexistence des deux

24

registres, combinatoire (symbole) et signifiant (chose), pour conclure que lcriture

mathmatique est le moyen de construire des preuves et de crer des objets. Dans son

ouvrage, Serfati a dcrit les liaisons entre ces deux registres. Le premier est un registre

purement formel des signes, il sorganise autour des signes de diverses sortes : lettres,

chiffres, figures multiples : =, +, -, , etc. Alors que le second registre est celui de

laffectation, de linterprtation des signes exposs. Le discours mathmatique crit ou

parl, saccompagne dune certaine confusion entre combinatoire et signifiant : cest le

reprsentant qui est confondu avec le reprsent. Le lexique ne connat que le terme du

registre signifiant, comme exemple : le couple des parenthses rondes, ouvrante et

fermante, qui est un signe dune criture symbolique, est reconnu comme signe

dagrgation dans le registre signifiant (sa fonction est de constituer des blocs de termes

pour tre calculs ensemble). Et il est aussi dnomm : signe de dlimitation (nomm

ainsi par Serfati) dans le registre combinatoire (il a une fonction consistant jalonner le

texte symbolique). La confusion entre signifiant-signifi se remarque dans plusieurs

autres signes, comme le signe de la croix (+), il a des significations diverses, il

dsigne une addition pour toujours, mais combinatoirement, cest un signe qui cre

deux places, avant (amont) et aprs lui (aval), dans la ligne du texte. Ses places seront

occupes par des chiffres et/ou des lettres . Il en est de mme pour les autres

signes opratoires et notamment le signe les deux-traits (=). Devant un texte

mathmatique, nous nous trouvons placs devant un ensemble structur de signes pour

lesquels il faut rechercher une interprtation, cest--dire une signification ayant un

rfrent pour dchiffrer les oprations afin de les effectuer. Ainsi dchiffrer

lassemblage 4 + 5, cest reconnatre sa structure combinatoire, cest--dire, reconnatre

la figure , qui est le signe de la croix , et les chiffres qui occupent les places de

lamont et de laval, puis interprter ce dchiffrage, cest--dire lui apporter une

signification. Comme la croix traduit une addition, alors linterprtation significative

est ajouter le nombre de signe 4 celui de signe 5 .

Linterprtation dune criture mathmatique, peut donner place une procdure autant

qu un rsultat. Interprter lassemblage 4 + 5, cest oprer, cest--dire excuter une

action, ceci nous amne dire que cest une procdure, et que leffectuation est lentier

de signe 9. Ce mme signe est le rsultat des instructions 11 2, 3 3, 72

8 dont les

procdures sont diffrentes. Sur le plan combinatoire, ces quatre critures sont

diffrentes, mais sur le plan signifiant, elles sont toutes des critures arithmtiques de

lentier de signe 9.

II - 3 - Les signes dlimitants

Crochets et parenthses se partagent, en mathmatique des rles successifs ou

simultans. En gomtrie leur rle est explicit. Plusieurs notions ont chacune une

notation par exemple : (AB) est la notation dune droite alors que [AB] est la notation

dun segment ; [Ax) est la notation dune demi-droite, etc. En algbre, les crochets et les

parenthses ne dnotent pas des notations, leur rle est plutt enseign. Dans les petites

classes, comment se dbarrasser des parenthses est enseigner, alors quau collge, en

plus de cela, il est enseign aussi comment se dbarrasser des crochets aussi. Pour cela

il est trs important de connatre lutilisation des crochets et des parenthses dans les

critures. Signalons que les parenthses en algbre sont, gnralement, plus utilises

individuellement comme (a + b)2, alors que la prsence des crochets est lie celle des

parenthses comme [2(a + b)]2.

25

Dans ce qui suit, nous allons explorer le travail de Serfati sur lhistoire des

parenthses et crochets quil appelle dlimitants . Il entend par dlimitants

lensemble des signes associs un mme assembleur. Les signes de dlimitation

structurent le texte en prescrivant un ordre squentiel toute liste dinstructions

constitutives du texte symbolique mathmatique. Les principaux signes, dont la fonction

est combinatoire sont : la barre horizontale ou vinculum (le lien), soulignant ou

surlignant, les points sparateurs, les parenthses rondes qui sont toujours en vigueur et

qui tayent la factorisation.

Nous allons exposer lusage de ces signes sur un exemple de Bombelli cit par Serfati

(2005, p 86): Le vinculum (ou lien) soulignant tait prsent dans son manuscrit

lAlgebra, il a crit 2px .3,5, alors que Leibniz (qui appelle les signes dlimitant

comprehensio, op. cit p 87 et 91) a utilis le surlignant pour le mme exemple 2+x .3,5.

Descartes (op.cit p 87) a employ les points sparateurs 2 + x . . 3,5, et partir du XVIe

sicle jusqu nos jours ces signes furent remplacs par les parenthses (2 + x) . 3,5.

Le couple de parenthses rondes, ouvrantes et fermantes, est un signe de lcriture

mathmatique symbolique, dnomm par Serfati, 1) selon le registre combinatoire,

signe de dlimitation ou dlimitant, dans sa fonction combinatoire de jalonner le texte

symbolique, il conduit la description non ambigu dune suite ordonne dinstructions

lmentaires, lordre de lexcution des instructions va de soi et les rsultats seront

immdiatement distingus 2) selon le registre signifiant, signe dagrgation dans sa

fonction de constituer des blocs de termes qui doivent tre calculs ensemble. Dans ce

mme registre, ce signe a une seconde fonction, lobjectivation des rsultats. Signalons

que dans toute criture symbolique mathmatique, il doit y avoir autant de parenthses

ouvrantes que de fermantes. Mais dans certaines expressions, les parenthses en signe

dagrgation chargent lcriture, Andr en a parl et les a listes en tant que

plonasmes

Chacune des expressions (a-b) a - b

, (c-d) c - d

reprsente le quotient de a b

par c d. Mais, les parenthses sont inutiles, la barre horizontale du rapport remplissant fort bien, outre son rle habituel, celui de signe de groupement. Toutefois ces parenthses

nont dautre inconvnient que de charger lcriture ; lemploi quon en fait nest point

fautif ; il ne constitue quun plonasme (cit par Serfati, La rvolution

symbolique, 2005, p 104)

Leibniz (1646-1716)30

a prconis lemploi des parenthses la place de la barre

horizontale pour connatre la priorit du calcul, en dautres termes savoir quels sont les

termes qui oprent ensemble. Par exemple : lcriture a, bc + e f + g , fut remplace par

a(bc + e(f + g))

Andr (1909) a utilis un jeu de dlimitant ordonn en trois niveaux, toujours en

vigueur en nos jours : parenthses, crochets, accolades. Il dit dans son livre Choix des

Signes de Coordination :

Lorsque nous aurons superposer des signes de groupement, nous devrons, en allant du dedans au dehors, les placer toujours dans cet ordre : barre horizontale,

parenthses, crochets, systmes daccolades. Ce nest que dans le cas o il faudrait

en superposer un plus grand nombre que nous serions forcs de crer des signes

nouveaux (op cit en bas de la page 99)

Donc, les parenthses servent constituer de nouvelles units de signification.

Par exemple a + b est une somme de deux termes, par contre (a + b) est un terme

30

Baruk (1992), Dictionnaire des Mathematiques

26

constitu par la somme de a et de b (les parenthses ici agrge le nombre). Les crochets

remplacent les parenthses dans leur rle dagrgateur, quand ces dernires ont un rle

de sparateur. Comme exemple : pour calculer (a + b+ c) 2

, nous sommes amens

lcrire [(a + b) + c]2 pour pouvoir appliquer la formule du carr dune somme (a + b)

2,

ce qui fait que : (a + b+ c)2 = [(a + b) + c]

2 = (a + b)

2 + 2 (a + b) c + c

2

La prsence des parenthses, nous ramne un nouveau calcul qui nous donne a2 + 2ab

+ b2 + 2ac + 2bc + c

2, par suite (a + b+ c)

2 = a

2 + 2ab + b

2 + 2ac + 2bc + c

2.

II - 4 - Analyse comparative du rapport des enseignants et des enseigns aux

dlimitants sparateurs et agrgateurs

Observons dans ce tableau31

comment les enseignants avec le jeu des

dlimitants, parenthses rondes et crochets, qui rpondent au besoin de lenseignement

de la factorisation, hirarchisent des assemblages dment complts.

Nous avons utilis les abrviations suivantes pour les enseignants.

EnL Lenseignant libanais

EnFL Lenseignante libanaise qui travaille avec le manuel MFL

EnF1 Lenseignante franaise de la classe normale

EnF2 Lenseignant franais de la classe daccueil

EnL EnFL ENF1 EnF2

(x + 3)2 + (5x 7)

2

= [(x + 3) + (5x

7)] [(x + 3) (5x

7)]

On utilise les

crochets ici, parce

que, dans a et b il

y a des

parenthses

(3, 48)

(x + 3)2 9= [(x + 3)

3][(x + 3) + 3]

Je mets des

crochets, car, jai eu

besoin lintrieur,

des parenthses

(5, 164)

(2a 5)(4a 3) (2a

5)(3a 1) =

(2a 5)[(4a 3) (3a

1)] Il y a des fois des

parenthses, donc, il

faut mettre un tage

de plus, alors vous

pouvez mettre des

grandes parenthses,

si vous voulez. Mais il

faut faire apparatre,

le deuxime facteur de

mon produit. Donc,

entourer mes

expressions entre

parenthses, deux

parenthses ou deux

crochets. (4, 3)

((2x + 1) (x

1))((2x + 1) + (x 1))

Entre parenthses

ou entre crochets, a

revient au mme.

(7, 263)

Nous voyons bien que le travail des quatre enseignants a la mme structure

combinatoire. Ils font appel aux crochets pour faire des assemblages dment complts.

EnF2 utilise les parenthses rondes la place des crochets, il fait comprendre aux

31

Cette prsentation facilite la description compare de laction de chaque professeur. Les nombres entre

parenthses reprsentent par ordre (de mme pour les restes des tableaux): le numro de la sance

denseignement, le (ou les) tour(s) de parole.

27

lves quil ny a aucune diffrence entre les dlimitants, contrairement Andr32

qui a

class les crochets un niveau suprieur aux parenthses. Ce niveau, que EnF1

symbolise par des grandes parenthses et quelle caractrise dans un sens

mtaphorique par tage , avait pour fonction de faire comprendre aux lves lutilit

et lutilisation des dlimitants : ils sont utiles pour faire apparatre les facteurs du

transform et nous les utilisons chaque fois quil y aura dans un mme assemblage

plus quun couple de parenthses rondes.

Observons encore une fois EnF1 dans une autre situation o elle suit le

classement des dlimitants propos par Andr.

(5, min 6 sec 3, p2) Factorisation de lexpression (2x 1)2 (x + 3)

2

17 En Alors, quand on dmarre dune expression dveloppe, o il y a rien, on a une expression

factorise avec des parenthses. Quand je factorise, je passe de rien une parenthse. Je

rajoute une couche de parenthses. Si, jai dj une couche de parenthses, je vais en

rajouter une deuxime, et donc cette fois ci, je vais factoriser laide, de, cro, chets. .

Alors, attention, cest l, le point o en gnral a accroche. Quand jai rien, jai des

parenthses, quand jai dj des parenthses, je mets des crochets. Mes crochets ici (elle

trace en jaune [ ])

Dans ce tour de parole, lenseignante explique aux lves la superstructure (des

assemblages de plus haut niveau, Serfati, p 101) des expressions factorises. Elle

parachve lassemblage par des dlimitants initialement absents : quand jai dj des

parenthses, je mets des crochets .

Observons maintenant le comportement de quelques lves libanais (ce sont les

lves de EnFL) avec les dlimitants dans la factorisation de A= (x + 4)(x 2) + 3(x +

4).

(4, min 25 sec 20)

..//.. 56 Ma ..//..

(elle crit A =(x + 4)(x 2) + 3 )

57 En Et comment tu cris le x moins deux ?

58 Be Il faut des parenthses

59 En x moins deux plus trois, alors, quest ce que je dois ajouter l Ma ? (elle montre la partie

entre (x + 4) et (x 2))

60 Be Parenthses

61 Da Crochets

62 Ma Crochets

63 En Des crochets, mets tes crochets (Ma trace les crochets ainsi A = [(x + 4) (x 2) + 3])

O tu mets les crochets (dun ton fort)

(Ma la regarde ne sachant quoi faire, alors lEn efface le premier crochet et le trace ainsi A

= (x + 4) [(x 2) + 3])

Nous nous sommes approche de Da pour voir son cahier, et nous avons trouv

quil a fait ses assemblages correctement, en se servant des crochets et des parenthses

rondes. En revanche Be, ct de qui nous tions place, avait trac les crochets sur son

cahier correctement aussi, et il a cri deux fois parenthses . Ceci nous permet de

32

Lorsque nous aurons superposer des signes de groupement, nous devrons, en allant du dedans au

dehors, les placer toujours dans cet ordre : barre horizontal, parenthses, crochets, systme daccolades.

(Choix des Signes de Coordination, Andr 1909 ; cit par Serfati, La rvolution symbolique, 2005, p 99)

28

dire que le travail de factorisation est bas sur les objets visuels, les lves savent

reproduire les mmes critures et dessiner les mmes figures, sans connatre ni leur

nom, ni leur usage. Preuve en est le trac des crochets de Ma (TP 63). Elle trace le

dlimitant signal par son camarade et, sous la demande de lenseignante, sans aucun

respect de la hirarchisation des dlimitants qui semble navoir aucun sens pour elle.

Lattitude de lenseignante est signaler, il ne faut pas changer le paysage quelle a

trac pour les lves pendant lexplication. Implicitement, elle dclare : Les crochets

ne doivent pas tre remplacs par les parenthses, chacun a sa place et il faut respecter

lordre de ces critures .

Dans ce qui suit, nous exposons un corpus dune observation de classe faite dans

une cole franaise (lenseignante est EnF1)

(5, min 23 sec 5, p2) Factorisation de (7x + 3)2 25x

2

61 En ..//..

Bon, alors, le sept x plus trois au carr moins vingt cinq x au carr, (elle crit : (7x + 3)2

25x2) a vous inspire quoi ?

62 An On peut mettre des parenthses

63 En On peut mettre des parenthses, mais autour de quoi tu veux mettre des parenthses ?

64 Pi Autour du moins vingt cinq x deux

65 En Pas autour du moins, on peut mettre des parenthses l, si on veut (elle trace les

parenthses : (25x2)). Alors a vous inspire quoi a ?

66 Ch La dernire

67 En La dernire identit remarquable. Jai deux termes, jai deux termes. Jai un moins, a ne

peut tre que la dernire. Alors, une parenthse, un

68 An [il y a une parenthse ?

69 En Un crochet, pardon, il faut que je reste logique avec moi-mme. Et un deuxime crochet

(elle trace : [ ][ ]). Dans un des deux crochets on met plus, dans lautre crochet, on

met moins (elle trace : [ + ][ ]). Alors, sept x plus trois au carr, cest le carr de

quoi ?

An demande de tracer des parenthses Autour du moins vingt cinq x deux ,

dans un but de reconnatre la mthode de factorisation convenable. Une question

didactique se pose : Si lenseignante avait trac les parenthses autour du moins vingt

cinq x deux, comme le voulait An, est ce que cet assemblage lui avait permis de

reconnatre lidentit correspondante ? Dsormais, lenseignante agrge vingt cinq x

deux ainsi (25x2) en laissant le moins devant la parenthse, pour avancer son temps

didactique et ne pas expliquer ce qui est suppos acquis. Ce nouvel assemblage a aid

Ch reconnatre lidentit remarquable carre utile pour la factorisation de (7x + 3)2

25x2.

Par contre, pour hirarchiser les niveaux des assemblages dment complts,

lenseignante propose des parenthses pour agrger les facteurs. Mais pour An, il doit y

avoir des crochets, cest le paysage quil a en mmoire visuelle. Lenseignante qui

se trouve en rupture de contrat avec elle-mme, agit rapidement et trace les crochets et

les signes lintrieur pour complter son paysage ([ + ][ - ]). Pour elle, ce

jeu des dlimitants est important pour que laction de factorisation soit russie

II - 5 - Conclusion

Lusage des dlimitants est un bricolage autant pour les enseignants que pour

les lves. Cet usage est une technique pragmatique pour