l_bode10
TRANSCRIPT
-
8/9/2019 l_bode10
1/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 1
XIII. ANALYSE DES FONCTIONS DE
TRANSFERT EN REGIME HARMONIQUE
LE DIAGRAMMME DE BODE
A. ANALYSE D'UNE FONCTION DE TRANSFERTForme canonique ; Exemple ;
Limites ; Frquence de Coupure ; Bande Passante ; Transition
B. LE DIAGRAMME DE BODE
Les chelles logarithmiques
Les filtres du premier ordre
Les oprateurs idaux de base
-
8/9/2019 l_bode10
2/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 2
A. ANALYSE D'UNE FONCTION DE TRANSFERT
1. Rappel : Forme canonique d'une fonction de transfert
Une fonction de transfert est une fraction de 2 polynmes :
T(x) = AN(x)
D(x)= A
a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
b0 + b1x + b2x2 + ... + bmxm
m, l'odre du dnominateur D(x) est l'ordre du filtre correspondant
A est l'attnuation (A < 1) ou l'amplification (A > 1) du filtre.
Si b0 0, alors b0 est imprativement impos gal 1. De mme pour a0.
-
8/9/2019 l_bode10
3/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 3
T(X) PEUT SERVIR DANS DEUX TYPES D'ANALYSE :
1. x = p : Transforme de Laplace
analyse du rgime transitoire,rponse incrmentielle ( ) ou
rponse impulsionnelle ( ).
2. x = j : Transforme de Fourier
analyse du rgime harmonique (~).
-
8/9/2019 l_bode10
4/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 4
Fonction de transfert en rgime permanent de signaux sinusodaux
T(j) = Re(T(j)) + j Im(T(j))
T(j) nous renseigne sur deux proprits du systme en rgime sinusodal :
1. L'attnuation (amplification) ou rapport des amplitudes entrel'entre et la sortie en fonction de la frquence :
|T(j)| =U2p()U1p()
=U2pp()U1pp()
=U2rms()U1rms()
2. Le dphasage entre u2(t) et u1(t) :
= Arg(T(j)) = Arg(N(j)) - Arg(D(j))
= ArcTan
Im(N(j))
Re(N(j)) - ArcTan
Im(D(j))
Re(D(j))
-
8/9/2019 l_bode10
5/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 5
Exemple d'un filtre passif.
R1
u1
R2
u2
C
-
8/9/2019 l_bode10
6/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 6
Observations avant calcul
BF (Basses Frquences) :
Le condensateur C se comporte comme un circuit ouvert.
R1
u1
R2
u2
Le filtre est quivalent un pont
diviseur R1, R2, soit donc,
u2(t) =R2
R1 + R2 u1(t)
le signal passe et
u2
u1 < 1
-
8/9/2019 l_bode10
7/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 7
HF (Hautes Frquences) :
C est quivalent un court-circuit :
u2
(t) = 0
Le signal ne passe pas.
R1
u1
u2
Sans calcul, nous pouvons dire que ce filtre est un passe-bas attnuateur.
Remarque : un seul composant impdance complexe premier ordre
-
8/9/2019 l_bode10
8/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 8
CALCUL D'UNE FONCTION DE TRANSFERT
Ce filtre est quivalent au schma suivant :
avec : Z2 =R2
1 + jCR2
T(j) =u2(j)u1(j) =
Z2R1 + Z2 = ...
R1
u1
Z2
u2
T(j) =R2
R1 + R2
1
1 + jC R1 R2R1 + R2
-
8/9/2019 l_bode10
9/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 9
INDENTIFICATION A UNE FORME CANONIQUE
T(j) doit tre identifie terme terme la forme canonique de la fonctionde transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre :
T(j) = A1
1 +j0
Avec : A =R2
R1 + R2< 1 : attnuation dans la bande passante
f0 =02 =
R1 + R22 C R1 R2
: frquence propre ou ici frquence de coupure.
La pulsation propre est l'inverse de la constante de temps : 0 = 1/
-
8/9/2019 l_bode10
10/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 10
RECHERCHE DES LIMITES DE T(j)
(Nous continuons avec l'exemple prcdent)
BF : T(j) est une constante relle dans la BP (bande passante).
lim
0 T(j) =R2
R1 + R2 = A = 0 (pas de dphasage)
HF : T(j
) est un imaginaire pur ngatif dcroissant en 1/
.
lim
T(j) =1
R1C1
j = -j0 = -2
Remarque 1 : ' = 10 |T(j')| = |T(j)|/10
Remarque 2 : 1/j est l'oprateur intgration en rgime harmonique.
-
8/9/2019 l_bode10
11/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 11
FREQUENCE DE COUPURE
c = 2fc est la limite de la bande passante.
Pour les filtres du premier ordre :
c =
0, pulsation propre (fc = f0, frquence propre).
La frquence de coupure fc spare BF et HF.
A fc, P2(c) la puissance de sortie est divise par 2 :
P2(c) = P2(BP)/2, soit donc : U2(c) = U2(BP)/ 2.U1tant suppos constant, indpendant de :
La pulsation de coupurec est telle que : |T(jc)| =|T(BP)|
2
Pratiquement : G(c) = 20 log|T(jc)| = G(BP) - 3 (en dB)
-
8/9/2019 l_bode10
12/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 12
BANDE PASSANTE
C'est le domaine des frquences
comprises entre les frquences de coupures
BP = f = fcHF - fcBF (filtre passe-bande),
ou entre 0 Hz et fc (passe-bas),
ou entre fc et (passe haut).
FREQUENCE DE TRANSITION
C'est la frquence du gain unit,
laquelle |T(jT)| = 1 G(T) = 0 dB.Remarque : Notre exemple de filtre n'a pas de frquence de transition.
-
8/9/2019 l_bode10
13/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 13
REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
D'UNE FONCTION DE TRANSFERT
Le diagramme de Nyquist, Im(Re)
est la reprsentation paramtrique de Im(T(j)) en fonction de Re(T(j)).La pulsation (ou la frquence f) y joue le rle du paramtre (variable donttout dpend, mais qui n'est pas reprsente).
Le diagramme de Bode est la double reprsentation
de G(f) = 20 log|T(j)|
et de (f) = Arg(T(j))
en dB et en degrs, respectivement.Une chelle logarithmique est prise pour f.
-
8/9/2019 l_bode10
14/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 14
Les chelles logarithmiques
(Abscisses du diagramme de Bode)
Elles servent reprsenter des valeurs trs diffrentes sur un mme graphe.
101
102
103
104
105
106
106
105
104
2.105 5.105
2.105
5.105
Comparaison d'une chelle linaire et d'une chelle logarithmique
-
8/9/2019 l_bode10
15/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 15
PROPRIETES DES ECHELLES LOGARITHMIQUES
1. log(a.b) = log(a) + log(b) : sur une chelle log, un produit apparat
comme une somme simple (graphiquement, c'est une translation).
10 +1 module (ou dcade)
2. /!\ Une chelle log ne comporte pas de zro, les graduations
principales correspondent des puissance de 10 (log-dcimal).
3. Pour placer une valeur sur une chelle log, toujours la mettre sous la
forme 5,2.103
: Un chiffre significatif non nul et un seul avant la virgule.4. Si deux valeurs sont spares par plus d'un module, la plus petite est
pratiquement ngligeable.
-
8/9/2019 l_bode10
16/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 16
PROPRIETES DES ECHELLES EN DECIBEL
(Ordonne de la courbe de gain du diagramme de Bode)
Le graphe dB-log(f) est un graphe log-log
Cela a un effet remarquable sur l'allure les courbes :
Soient X = log(x) l'abscisse et Y = log(y) l'ordonne.
Une parabole y = xn devient une droite de pente n : Y = nX
Une droite y = ax reste une droite : Y = log(a)+X
Une hyperbole y = 1x
devient une droite de pente -1 : Y = -X
Une pente 1 (y=x) correspond 20 dB/dcade (= 6 dB/octave)Une pente -1 (y=1/x) correspond -20 dB/dcade (= -6 dB/octave)
Une pente -2 (1/x2) correspond -40 dB/dcade (= -12 dB/octave)...
Remarque : Une octave correspond 2 ou 6 dB.
-
8/9/2019 l_bode10
17/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 17
Points remarquables du diagramme de Bode
Quelques valeurs de la courbe de gain d'un fltre passe-bas du 1er ordre :
x=/0 1/10 1/5 1/2 1 2 5 10
G (dB) 0 -0.458 -1 -3 -4.77 -7 -20
Fonction 20 log
1/ 1 + (/0)2
Quelques valeurs de la fonction ArcTangente entre 0 et :
x=/0 0 1/10 1/5 1/3 1/2 1/ 2 1
atg(x) () 0 5.7 11.3 18.4 26.5 35.3 45
x=/0
10 5 3 2 2
atg(x) () 90 84.3 78.7 71.6 63.4 54.7
-
8/9/2019 l_bode10
18/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 18
Formes cananiques des fonctions de transfert
Lors de l'tude d'une fonction de transfert T(j), il est possible de retrouverrapidement ses paramtres, A et 0, en identifiant T(j) terme terme laforme canonique correspondante.
Forme canonique d'un Filtre Passe-bas du premier ordre :
Forme canonique : T(j) = A1
1 +j0
A : Amplification ou attnuation dans la bande passante
0 = c : pulsation de coupure
-
8/9/2019 l_bode10
19/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 19
Courbe de Gain d'un Filtre passe-bas du premier ordre.
100 1000
Gain(1dB/div)
Frquence (Hz)
0
10k 100k 1M
12
9
-8
-28
fc
fT
Exemple choisi : A = 4 G(BP) = 12 dB ; fc = 2 kHz ; fT = 8 kHz
-
8/9/2019 l_bode10
20/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 20
Courbe de dphasage d'un Filtre passe-bas du premier ordre.
100
Dphasage()
Frquence (Hz)
0
-90
-45
1000 10k 100k 1M
-65
-25
fc
L'allure de -log(f) en est dforme par l'chelle log des frquences
-
8/9/2019 l_bode10
21/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 21
Formes canoniques des fonctions de transfert
Une fois tablie la fonction de transfert T(j) d'un filtre,l'identification terme terme de T(j) la forme canonique correspondantepermet de retrouver rapidement ses paramtres, A et 0,
Forme canonique d'un Filtre Passe-haut du premier ordre :
Forme canonique : T(j) = A
j0
1 +j0
A : Amplification ou attnuation dans la bande passante
0 = c : pulsation de coupure
-
8/9/2019 l_bode10
22/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 22
Courbe de Gain d'un Filtre passe-haut du premier ordre.
100 1000
Gain(1dB/div)
Frquence (Hz)
0
10k 100k 1M
18
15
-2
-22
fcfT
Exemple choisi : A = 8 G(BP) = 18 dB ; fc = 50 kHz ; fT = 6 kHz
-
8/9/2019 l_bode10
23/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 23
Courbe de dphasage d'un Filtre passe-bas du premier ordre.
100
Dphasage()
Frquence (Hz)
0
90
45
1000 10k 100k 1M
65
25
fc
-
8/9/2019 l_bode10
24/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 24
DIAGRAMMES DE BODE DES OPERATEURS DE BASE
1. La constante
2. Le dphaseur idal
3. L'intgrateur
4. Le drivateur
5. Le double intgrateur6. Le double drivateur
-
8/9/2019 l_bode10
25/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 25
La constante
T(j) = A Rel
G() = 20 log|A| = 0
0
G(dB)
f(Hz)
20log|A|
0f(Hz)
()
-
8/9/2019 l_bode10
26/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 26
Le dphaseur idal
T(j) = ej Complexe de norme unit
G() = 0 dB ajust
0
G(dB)
f(Hz)
0f(Hz)
()
IUT 1 U i it d CAEN
-
8/9/2019 l_bode10
27/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 27
L'intgrateur
T(j) = K1
j = - jK1
Imaginaire ngatif
G() = -20 log ()
= -
2
0
G(dB)
f(Hz)
fT
-20 dB/dec
-6 dB/oct
0f(Hz)
()
-90
Instable : Gain infini frquence nulle
IUT 1re anne Uni ersit de CAEN
-
8/9/2019 l_bode10
28/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 28
Le drivateur
T(j) = K j Imaginaire positif
G() = 20 log () =
2
0
G(dB)
f(Hz)
fT
20 dB/dec
6 dB/oct
0f(Hz)
()
90
Instable en HF : G() =
IUT 1re anne Universit de CAEN
-
8/9/2019 l_bode10
29/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 29
Le double intgrateur
T(j) = K1
(j)2 = - K1
2 Rel ngatif
G() = -40 log () = -
0
G(dB)
f(Hz)
-40 dB/dec
-12 dB/oct
fT
0
f(Hz)
()
-180
Instable : Gain infini frquence nulle
IUT 1re anne Universit de CAEN
-
8/9/2019 l_bode10
30/30
IUT 1re anne Universit de CAEN
Mesures Physiques Cours d'lectronique 30
Le double drivateur
T(j) = K (j)2 Rel ngatif
G() = 40 log () =
0
G(dB)
f(Hz)
fT
40 dB/dec
12 dB/oct
0
f(Hz)
()
180
Instable en HF : G() =