las integrales de riemann, lebesgue - universidad de … · la integral de riemann se incluye por...

Aromas de una misma Esencia:

Las Integrales de Riemann, Lebesgue

y

Henstock-Kurzweil

Wilman Brito

Dedicatoria

A mis Alejandros:

Sebastian y Rubn

y, por supuesto, a CLAUDIA, por su amor y apoyo . . .

que nos los reparte en porciones no-numerables.

Prlogo

. . . Desde hace mucho tiempo las integrales comenzaron a esparcir sus aromas . . . Con el transcu-rrir del tiempo, un hermoso y frondoso jardn de integrales se ha ido sembrando en la ampliay frtil tierra de las matemticas impregnando con su aroma a casi todas las ramas del cono-cimiento humano. Esta increble y rica diversidad de aromas de integrales no cesa. Un pocoms de 100 integrales han crecido, hasta el momento, en ciertas parcelas de ese extenso terreno,cada una de ellas con uno o varios nombres que las identifican. Mencionemos, por ejemplo,las integrales de Newton, Cauchy, Riemann, Darboux, Harnack, Cauchy-Riemann, Lebesgue,Stieltjes, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, Burkill, Ward, Denjoy, Perron, Henstock-Kurzweil,McShane, C-integral, Pfeffer, BV-integral, Haar, Radon, Daniell, It, Hellinger, Kolmogorov, Khin-chin, Bochner, Dunford, Pettis, Bartle, Gelfand, Wiener, Feynman, Birkhoff, Dinculeanu, Do-brakov, Dunford-Pettis, Gelfand-Pettis, Bartle-Dunford, Henstock-Kurzweil-Dunford, Henstock-Kurzweil-Pettis, Daniell-Bourbaki, Denjoy-McShane, Denjoy-Bochner, Denjoy-Pettis, etc. Unastienen un carcter histrico como las de Newton y Cauchy, algunas fueron absorbidas por otrasque son ms nuevas y mejores, otras tantas son maneras o formas equivalentes de expresar unamisma integral, etc. Por qu tantas integrales? Pues bien, existen, fundamentalmente, varios as-pectos a considerar: algunas de ellas nacieron de un problema particular, otras surgieron de unanecesidad de generalizar una integral a contextos ms amplios o abstractos, algunas otras debensu existencia a un anlisis profundo y exhaustivo de una integral modificando algn aspecto dela misma, etc. Por ejemplo, la integral de Riemann es una generalizacin de la de Cauchy y nacede un problema concreto que Riemann quera resolver, pero es equivalente a la de Darboux; laintegral de Lebesgue generaliza a la de Riemann pues surge de las deficiencias y limitaciones queesta ltima posee, pero es equivalente a las integrales de Daniel y de McShane. Las integralesde Denjoy, Perron y Henstock-Kurzweil se crean a partir de la necesidad de resolver algunosproblemas en Ecuaciones Diferenciales, as como el problema de las primitivas propuesto porNewton-Leibniz. Posteriormente se demostr que ellas tres eran equivalentes y contienen, en suinterior, a la integral de Lebesgue. A su vez, la integral de McShane, cuya definicin es muysimilar a la de Henstock-Kurzweil, se obtiene modificando una cierta condicin en la definicinde Henstock-Kurzweil y que resulta ser equivalente a la de Lebesgue. Las integrales de Bochner,Dunford y Pettis fueron diseadas para trabajar en espacios de Banach, mientras que la de Haarse desarrolla en grupos topolgicos localmente compactos. Por otro lado, la de It se genera apartir de los procesos estocsticos asociados a movimientos Brownianos, etc. Los libros de FrankE. Burk, A Garden of Integrales [44], Stefan Schwabik y Ye Guoju, Topics in Banach Space In-

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tegration, [184], Ivan N. Pesin, Classical and Modern Integration Theories [167], N. Dunfordand J. T. Schwartz, Linear Operators, Part I, [76], el artculo de T. H. Hildebrandt Integrationin Abstract Spaces, etc., poseen abundante y buena informacin de algunas de ellas.

En estas notas desarrollaremos, fundamentalmente, las tres integrales que aparecen en elttulo, aunque se incluyen (al final del libro) y con una presentacin muy breve, las integrales deMcShane, la C-integral y la Distribucional. Por qu nos restringimos a las integrales del ttulo?La respuesta es simple: las dos primeras son ampliamente conocidas pero no as la tercera.La integral de Riemann se incluye por el simple hecho de que las otras dos son aromas de lamisma esencia: generalizaciones de la primera y, por lo tanto, hay que analizar por qu son tanbuena dichas generalizaciones. Por otro lado, la integral de Lebesgue, nacida de las debilidadesde la integral de Riemann, ha sido favorecida por los matemticos como su integral preferidaen el campo de la investigacin por ms de un siglo; mientras que la integral de Henstock-Kurzweil, la menos conocida, pero con un poco ms de 50 aos de existencia y con casi la mitadde la edad de la integral de Lebesgue, ha ido creciendo, fortalecindose y ganando terreno enla preferencia de muchos matemticos. Aunque la integral de Henstock-Kurzweil tambin esheredera de la integral de Riemann, su importancia quedar evidenciada cuando demostremossus poderosos resultados de convergencias que la fortalecen ampliamente, su exquisito TeoremaFundamental del Clculo, sus innegables aplicaciones, y por contener propiamente a las funcionesque son integrables segn Lebesgue. Todas esas bondades la califican como un ejemplar digno deestudio, pero, por qu, siendo la integral de Henstock-Kurzweil ms simple de definir que la deLebesgue, ms amplia y tanto o ms poderosa que ella, no se ensea en nuestras universidades?Tal vez el poco conocimiento de la mayora de nuestros colegas sobre la existencia de la integralde Henstock-Kurzweil y, por supuesto, a la ausencia casi total de textos escritos en espaol sobredicha integral (slo conozco uno: el del Profesor I. L. Iribarren, titulado: Un Segundo Curso deIntegracin - La integral de Henstockk-Kurzweil, [112] y varias tesis (en espaol) que desarrollanciertos aspectos de dicha integral), constituyen, fundamentalmente, la razones que me animarona emprender esta tarea, amplia, pero agradable.

Comenzaremos, como es habitual cuando se intenta comparar integrales, con la integral deRiemann, la cual se mantiene y contina ensendose en todas las universidades del mundo apesar de sus detractores y de los aos transcurridos desde su creacin. Ese estudio ser bre-ve. En su presentacin slo mostraremos alguna de sus propiedades elementales pasando porel formidable Teorema Fundamental de Vitali-Lebesgue que describe cmo son, en realidad, lasfunciones Riemann integrables, pero haciendo mucho nfasis en las deficiencias que posee dichaintegral con el slo propsito de justificar el por qu Lebesgue construy su integral. Por otrolado, la integral de Lebesgue se desarrolla ms ampliamente que las otras dos por las siguientesrazones: en primer lugar, por ser, tal vez, la integral ms importante creada hasta el momentoy, por consiguiente, necesita de una justificada presentacin. Para lograr tal objetivo debemosdesarrollar gran parte del aparataje de la Teora de la Medida y de las Funciones Medibles queson necesarias para la construccin de dicha integral. Luego mostramos sus poderosos teore-mas de convergencia y finalmente extendemos brevemente esa nocin de integral a un contextototalmente abstracto. Ese enfoque, aunque consume una gran parte del texto, nos conduce a lacreacin de una integral que es bastante extensa y medio complicada en su construccin, pe-ro que es totalmente superior a la integral de Riemann en todo sentido. Su amplo abanico deaplicaciones justifican, con creces, ese gran esfuerzo en su construccin. Existen otras integralesequivalentes a la integral de Lebesgue que evitan el uso de la Teora de la Medida tales como lasintegrales de Daniell, de Mikusinski y la de McShane. Sin embargo, es importante aclararlo, laTeora de la Medida Exterior que conlleva a la nocin de Conjunto Medible y luego al de Medida

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de un conjunto, es importante en s misma y no slo por el hecho de servir como un puente en laconstruccin de la integral de Lebesgue. A pesar de las inmensas bondades que posee la integralde Lebesgue, ella no est exenta de sus propias deficiencias: por ejemplo, la integral de Lebes-gue no es capaz de integrar a todas las funciones derivadas, en otras palabras, ella no satisfaceel Teorema Fundamental del Clculo en toda su generalidad; tampoco puede integrar funcionesque poseen en algn punto de su dominio una fuerte oscilacin. Por ejemplo, funciones deltipo x1sen(x3) no son Lebesgue integrales sobre el intervalo (0,+), etc. En cambio, conla integral de Henstock-Kurzweil, que como veremos posteriormente es una extensin propiade la integral de Lebesgue (al menos sobre intervalos cerrados y acotados), se subsanan algu-nas de esas deficiencias. Por ejemplo, el Teorema Fundamental del Clculo para la integral deHenstock-Kurzweil se cumple para toda funcin derivada, cualquier funcin Lebesgue integrales Henstock-Kurzweil integrable con idnticas integrales y tambin posee los poderosos teoremasde convergencia vlidos para la integral de Lebesgue. Adems, otro punto a su favor que es muyimportante, es que dicha integral no usa la Teora de la Medida en su construccin y muy pocode ella en su desarrollo posterior. Cuando intentamos comparar las integrales de Lebesgue conla integral de Henstock-Kurzweil, tenemos que admitir que hay bondades en ambos lados y, porsupuestos, sus respectivas deficiencias. Por ejemplo, la integral de Henstock-Kurzweil no es unaintegral absoluta, es decir, si f es Henstock-Kurzweil integrable, entonces no es cierto, en general,que su valor absoluto | f | sea Henstock-Kurzweil integrable cosa que si ocurre con la integral deLebesgue. Este circunstancia impide que se pueda desarrollar una teora HKp([a, b]) similar a lateora de los espacios Lp([a, b]) para p [1,+]. Sin embargo, a pesar de no ser la integral deHenstock-Kurzweil una integral absoluta, ese hecho, en ciertos aspectos, constituye una enormefortaleza para dicha integral. Por otro lado, no existe una extensin cannica de la integral deHenstock-Kurzweil a espacios abstractos, de modo que la bsqueda de una integral perfecta auncontinua.

Ahora detallaremos brevemente cmo hemos organizado el contenido de este trabajo. Loscaptulos que van del 1 al 4 constituyen los recordatorios bsicos que necesitaremos para los res-tantes captulos: muchas demostraciones de resultados encontrados en estas notas dependen dedichos recordatorios. Sin embargo, el lector est en pleno derecho de saltarse esos captulos siconsidera que tales conocimientos no le son ajenos y comenzar desde el captulo 5 para volver lamirada hacia atrs cada vez que sea necesario recordar un enunciado particular y(o) su prueba.Los captulos que comienzan desde 6 hasta el 13 tratan sobre la medida y la integral de Lebes-gue en R, pasando brevemente por la integral de Riemann, captulo 8. Aunque la integral deLebesgue abarca un poco ms de la mitad del libro, quedan por fuera, sin embargo, un inmensocaudal de conocimientos relativos a dicha integral. Libros tales como [173, 24, 87, 164] etc. tratanmuchos otros tpicos que no consideramos y, por supuesto, tampoco mencionamos en estas no-tas. Los captulos 14, 15 y 16 abarcan slo ciertos aspectos de la nocin abstracta de la medidae integral de Lebesgue. El captulo 16 es interesante en s mismo ya que en l se desarrollan ydemuestran algunos de los teoremas ms importantes sobre la convergencia de medidas. Losresultados demostrados en este captulo no son utilizados en los captulos restantes por lo queel lector, sino est interesados en ellos en este momento, puede evitarlos en una primera lectura.Finalmente, el captulo 17 es una incursin a una integral (o varias integrales) que es fantsticapor todos lados: es muy similar a la definicin de la integral de Riemann, contiene a la integralde Lebesgue, integra cualquier derivada y no usa, para el beneplcito de muchos, la teora de lamedida de Lebesgue en su construccin. Ella es la integral de Henstock-Kurzweil. Una intensay casi febril investigacin se ha desarrollado en los ltimos tiempos en torno a esta integral ysus posibles generalizaciones. Aqu nos restringimos al estudio de funciones integrables segn

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Henstock-Kurzweil cuyo dominio es un intervalo [a, b] R y con valores en R. Los librosde R. A. Gordon [99], D. S. Kurz y C. W. Swartz [127], C. W. Swartz [196], R. G. Bartle [14],B. S. Thomson [205], A. G. Das [60], I. L. Iribarren [112] y muchos otros introducen al lector alestudio de las tres integrales mencionadas en el ttulo pasendose brevemente por las dos pri-meras, pero dedicndole ms espacio a la integral de Henstock-Kurzweil o integral de Henstockcomo la llama Gordon y, por supuesto, estudiando algunos de sus resultados ms fascinantesy espectaculares. El captulo finaliza con una breve exposicin de la integral de McShane y lasdefiniciones descriptivas de las integrales de Denjoy y Perron que son equivalentes a la integralde Henstock-Kurzweil, la C-integral y la integral Distribucional de Denjoy que es ms generalque las anteriores.

A Modo de Advertencia: Estas notas no estn diseadas para el especialista en estos temas, sloes un intento de proponer para el debate y la reflexin algunos aspectos de la Teora de Integra-cin para un posible curso introductorio de Anlisis Real en la licenciatura o en los cursos depostgrado de la carrera de matemticas. Por otro lado, es importante sealar lo siguiente: tra-tndose de una versin preliminar, este trabajo contendr, casi con toda certeza, algunos errores,omisiones, demostraciones medio sospechosas, otras incompletas, insuficiencia de ejercicios y, talvez, algunas otras cosas indeseables, los cuales son de mi entera responsabilidad y que intentarcorregir en la medida de mis posibilidades y, por supuesto, con la oportuna y siempre desinte-resada ayuda de algunos amigos invisibles. Por tal motivo, si algn lector se le ocurre la idea,slo por diversin, de leer cualquier parte del mismo y se tropieza con algunos de esos erroresu omisiones y desea colaborar, hacindome llegar sus opiniones, observaciones o sugerencias, leestara sumamente agradecido. Las gracias, un 1 de ellas, van por delante.

W. BritoJulio, [email protected], [email protected]

ndice general

Prlogo V

1. Un poco de Teora de Conjuntos 11.1. Nociones Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3. Familias Indexadas. Productos Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Conjuntos Numerables y otros ms Numerosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Ejemplos de Conjuntos Numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2. El Teorema de Cantor y Conjuntos no Numerables . . . . . . . . . . . . . . . 421.2.3. Ejemplos de Conjuntos no Numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.2.4. Un Juego Infinito y la no Numerabilidad de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.3. El Axioma de Eleccin y sus Aliados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3.1. El Axioma de Eleccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3.2. El Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.3.3. Principio del Buen-Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.3.4. Nmeros Ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.3.5. Los Ordinales Numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.3.6. El Primer Ordinal No-numerable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.3.7. Nmeros Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.3.8. La Aritmtica de los Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.3.9. La Cardinalidad de R y de algunos otros Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . 751.3.10. La Hiptesis del Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.3.11. Conjunto de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2. Los Nmeros Reales 872.1. Algunas Propiedades de los Nmeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.1.1. Principio de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.1.2. Conjuntos Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1.3. Lmites de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.1.4. El Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

x NDICE GENERAL

2.1.5. Los Nmeros Reales Extendidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.1.6. Limites Superior e Inferior de una Sucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.1.7. Lmites Superior e Inferior de una Funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.1.8. Lmites Superior e Inferior de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.1.9. Series Absolutamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.1.10. Caracterizando Series Absolutamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . 1182.1.11. Familias Sumables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.2. Espacios Topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.2.1. Espacios Mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.2.2. El Teorema de Categora de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.2.3. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.2.4. La Topologa Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1582.2.5. El Espacio de Baire N = NN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3. Funciones Continuas 1693.1. Propiedades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.1.1. Funciones Continuas con Soportes Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.1.2. Ms sobre Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.1.3. Oscilacin y Discontinuidad de una Funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833.1.4. Convergencia de Sucesiones de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903.1.5. Una Funcin Continua Nunca Diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.1.6. Funciones Semicontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983.1.7. Convergencia Puntual en Sc([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.1.8. Funciones Acotadas en Sc([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

4. Desigualdades de Hlder y Minkowski en Rn 2094.1. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

4.1.1. Las Desigualdades AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114.1.2. Las Desigualdades de Hlder y Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5. El Conjunto de Cantor y su Media Hermana 2255.1. Representaciones Ternarias y Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.1.1. Representaciones Ternarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265.1.2. Representaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295.1.3. El Conjunto Ternario de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2305.1.4. Propiedades del Conjunto Ternario de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2345.1.5. Conjuntos Tipo-Cantor de Medida Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.1.6. Conjuntos Tipo-Cantor de Medida Positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2455.1.7. La Funcin de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

5.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

NDICE GENERAL xi

6. La Medida de Lebesgue en R 2556.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.2. La Medida Exterior de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6.2.1. Condiciones bajo la cual es -aditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2686.2.2. Conjuntos de Contenido Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

6.3. La Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746.3.1. La -lgebra de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746.3.2. -lgebra Generada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2816.3.3. Sistemas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2856.3.4. La -lgebra de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2876.3.5. La Cardinalidad de la -lgebra de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2886.3.6. Conjuntos Analticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2926.3.7. La Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.3.8. Los Lemas de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3106.3.9. La Ley 0-1 de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3136.3.10. Un Teorema de Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3166.3.11. Criterios de Medibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3196.3.12. Medida Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

6.4. Conjuntos Medibles con Propiedades Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3296.5. Conjuntos no-medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

6.5.1. Conjunto no-medible de Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3366.5.2. Algunas Propiedades Extraas del Conjunto V . . . . . . . . . . . . . . . . . 3406.5.3. Conjunto no-medible en un Grupo Aditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3466.5.4. Conjunto no-medible saturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3476.5.5. Conjunto no-medible de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3506.5.6. Conjunto no-medible de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3526.5.7. Conjunto no-medible va Ultrafiltros Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3546.5.8. Conjunto no-medible de Lvy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

6.6. Contraejemplos Usando la Funcin de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3756.7. Notas Breves sobre El Problema de la Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

6.7.1. El Problema de la Medida de Lebesgue y El Axioma de Eleccin . . . . . . . 3806.7.2. El Problema de la Medida de Lebesgue y la Hiptesis del Continuo . . . . . 3826.7.3. El Problema de la Medida de Lebesgue y la Aditividad Finita . . . . . . . . . 3856.7.4. El Problema de la Medida de Lebesgue y el Axioma de Determinacin . . . 388

6.8. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3906.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

7. Funciones Medibles 4037.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4037.2. Propiedades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

7.2.1. Aproximacin de Funciones Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4157.2.2. Los Teoremas de Severini-Egoroff y de Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4197.2.3. Convergencia en Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429


xii NDICE GENERAL

8. La Integral de Riemann 4418.1. El Problema de la Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4418.2. La Integral de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4438.3. La Integral de Riemann segn Henstock-Kurzweil, Darboux y McShane . . . . . 446

8.3.1. La Integral de Riemann segn Henstock-Kurzweil . . . . . . . . . . . . . . . 4488.3.2. La Integral de Riemann segn Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4528.3.3. La Integral de Riemann segn McShane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

8.4. Teoremas de Aproximacin para la Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 4638.5. El Criterio de Integrabilidad de Vitali-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

8.5.1. Algunas Consecuencias del Criterio de Vitali-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 4728.6. Propiedades Bsicas de la Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4768.7. El Teorema Fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4808.8. Limitaciones y Deficiencias de la Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 4878.9. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4998.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

9. El Teorema de Diferenciabilidad de Lebesgue-Faber 5039.1. Funciones de Variacin Acotada y Absolutamente Continuas . . . . . . . . . . . . 503

9.1.1. Funciones Lipschitz y la condicin (N) de Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . 5049.1.2. Funciones de Variacin Acotada sobre [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119.1.3. Funciones de Variacin Acotada sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.1.4. Funciones Absolutamente Continuas sobre [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . 525

9.2. Cubrimientos de Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5399.3. El Teorema de Diferenciabilidad de Lebesgue-Faber . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

9.3.1. El Teorema de Densidad de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5599.3.2. El Teorema de Banach-Zarecki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566


10. La Integral de Lebesgue 58110.1. La Integral de Lebesgue via Particiones en el Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

10.1.1. Propiedades de la Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58810.1.2. Los Poderosos Teoremas de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59610.1.3. El Teorema Fundamental del Clculo de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 603

10.2. Extensiones de la Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60410.2.1. Primera Extensin de la Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60510.2.2. Propiedades de la Integral de Lebesgue Extendida . . . . . . . . . . . . . . . 60910.2.3. Segunda Extensin de la Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

10.3. La Integral de Lebesgue como una Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 62610.4. Integrales Dependiendo de un Parmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63010.5. Breves Comentarios sobre la Integral de Lebesgue sin Medida . . . . . . . . . . . 632

10.5.1. La Integral de Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63210.5.2. La Integral de Mikusinki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

10.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

NDICE GENERAL xiii

11. El Espacio L1(X, ) 64111.1. Densidad en el espacio L1([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65111.2. El Lema de Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65511.3. La Completacin del Espacio (R([a, b]), 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65811.4. Conjuntos Uniformemente Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65911.5. Convergencia al estilo Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66811.6. El TFC para la Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67411.7. Los Teoremas de Vitali-Carathodory y de la Valle-Poussin . . . . . . . . . . . . . 68611.8. Regla de la Cadena e Integracin por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69211.9. Cambio de Variable para la Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69411.10. Un Teorema Fundamental sobre Diferenciabilidad en R . . . . . . . . . . . . . . 69611.11. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69911.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707

12. Los Espacios Lp(X, ), 1 < p < + 71312.1. Las Desigualdades de Hlder y Minkowski en Lp(X, ) . . . . . . . . . . . . . . . 71312.2. Convergencia Fuerte y Dbil en Lp(X, ), 1 p < + . . . . . . . . . . . . . . . . 71812.3. La inclusin Lq(X, ) Lp(X, ) para 1 p < q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72412.4. Conjuntos Uniformemente Integrables en Lp(X, ) para p > 1 . . . . . . . . . . . . 72612.5. Densidad en los Espacios Lp(X, ), p [1,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72812.6. Separabilidad de los Espacios Lp(R, ), p [1,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73012.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731

13. El Espacio L (X, ) 73313.1. Convolucin en Lp(R, ), para p [1,+] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

14. Medida e Integracin Abstracta 75314.1. Espacios de Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

14.1.1. Medidas sin tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76114.1.2. Completacin de una Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76414.1.3. El Teorema de Extensin de Carathodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76714.1.4. La Medida de Lebesgue-Stieltjes en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77314.1.5. Funciones Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78214.1.6. Funciones Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

14.2. Medida Producto y el Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78814.2.1. Clases Montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78814.2.2. Medida Producto y el Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

14.3. La Medida de Lebesgue en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80714.3.1. Cambio de Variable: caso lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81914.3.2. Cambio de Variable: caso no-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82614.3.3. El Teorema de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837

14.4. Medida de Borel sobre el Espacio de Cantor 2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84014.4.1. -lgebra Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84014.4.2. Una Mtrica sobre 2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84314.4.3. Una Medida sobre 2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845


xiv NDICE GENERAL

15. El Teorema de Radon-Nikodm 85515.1. Medidas con Signos e Integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

15.1.1. El Teorema de Drewnowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87015.1.2. Integracin Respecto a una Medida con Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87215.1.3. El Teorema de Radon-Nikodm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874

15.2. Aplicaciones del Teorema de Radon-Nikodm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88415.2.1. Otra Caracterizacin de Funciones Absolutamente Continuas . . . . . . . . . 88415.2.2. El Teorema Fundamental del Clculo de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 88515.2.3. Una Identidad en L1(X,M, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88615.2.4. El Teorema de Descomposicin de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88615.2.5. El Teorema de Representacin de Riesz para Lp(X, ) . . . . . . . . . . . . . 88715.2.6. Existencia de la Esperanza Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89215.2.7. Unicidad de la Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895

15.3. El Teorema Fundamental sobre Diferenciacin en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 89615.3.1. La Funcin Maximal de Hardy-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89815.3.2. El Teorema de Hardy-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89915.3.3. El Teorema Fundamental de Diferenciacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902

15.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905

16. Convergencia en ca(M, R) 90916.1. Convergencia segn Antosik-Mikusinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91016.2. Medidas Uniformemente -aditivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91316.3. Los Teoremas de Nikodm y el de Vitali-Hahn-Saks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920

17. La Integral de Henstock-Kurzweil 92517.1. Construccin de la Integral de Henstock-Kurzweil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926

17.1.1. El Teorema Fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93417.1.2. Propiedades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94017.1.3. El Lema de Saks-Henstock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94617.1.4. El Segundo Teorema Fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 95217.1.5. Integrabilidad Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95417.1.6. La Clase LHK([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95917.1.7. Relacin entre las Integrales de Lebesgue y Henstock-Kurzweil . . . . . . . . 96117.1.8. Los Teoremas de Convergencia en HK([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97017.1.9. La Norma de Alexiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977

17.2. La Integral de McShane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98017.3. La C-integral - Una Extensin Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99017.4. Las Integrales de Denjoy, Perron y Distribucional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994

17.4.1. La Integral de Denjoy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99417.4.2. La Integral de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99617.4.3. La Integral Distribucional de Denjoy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998

17.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002

Bibliografa 1003

ndice Alfabtico 1015

CAPTULO 1Un poco de Teora de Conjuntos

En este captulo se describen algunas de las herramientas bsicas que, con toda seguridad, ellector ya conoce pero que son necesarias recordar para desarrollar y profundizar los resultadosimportantes de estas notas. Hemos insistido en incluir, so pena de parecer un poco, o tal vez,demasiado reiterativo, la casi totalidad de las demostraciones de los resultados que se requeri-rn para entender cabalmente las tres integrales que aparecen en el ttulo. Este enfoque poseeciertas ventajas para un lector principiante ya que puede resultar altamente agradable tener a lamano todos los ingredientes necesarios en cada demostracin lo que conllevara, por supuesto,a una mejor comprensin de lo estudiado. Por otro lado, para un lector aventajado esos detallespudieran parecerle innecesarios y, por consiguiente, pasarlos por alto.

1.1. Nociones Bsicas

En esta seccin revisaremos de manera sucinta algunas nociones de la Teora de Conjuntosla cual, como sabemos, constituye la base de las matemticas modernas. El padre fundador detan fascinante teora fue Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918). A partir de 1874,y por ms de 30 aos, Cantor desarrolla de manera intuitiva una teora general de conjuntoshaciendo nfasis en los conjuntos que poseen infinitos elementos. Con el desarrollo de su visinde la nocin de conjunto infinito, Cantor logra sacar de la oscuridad dicho concepto llevndolo aextremos inconcebibles creando, entre otras cosas, una jerarqua infinita y creciente de infinitos.Muchas de sus ideas chocaron con una resistencia frrea de parte de prominentes matemticoscomo Leopold Kronecker (1823-1891) quien afirmaba:

No se qu predomina en la teora de Cantor: filosofa o teologa, pero de lo que s estoy seguro esque all no hay matemtica.

A pesar de las crticas recibidas sobre su incipiente teora, Cantor logra obtener el respaldo demuchos matemticos, en especial de uno de los ms brillante, prolfico y respetado del momento:David Hilbert (1862-1943) quien afirm, de modo premonitorio, lo siguiente:

Del Paraso creado por Cantor para nosotros, nadie podr expulsarnos.

2 Cap. 1 Un poco de Teora de Conjuntos

Esta afirmacin es compartida por Paul Cohen quien afirma:

Todos coinciden, aun si se cree o no que la Teora de Conjuntos se refiere a una realidad existente,en que hay una belleza en su sencillez y en su mbito de aplicacin

Ms aun, en su libro Naive Set Theory, Paul R. Halmos hace notar que:

Los matemticos estn de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algo de Teora de Conjuntos;el desacuerdo comienza al tratar de decidir qu tanto es algo

Por otro lado, Edwin Hewitt y Karl Stromber afirman, al comienzo del Captulo 1 en su libro Realand Abstract Analysis:

Desde el punto de vista de un lgico, las matemticas son la Teora de Conjuntos y sus conse-cuencias. Para el analista, los conjuntos y conceptos definidos inmediatamente a partir de ellos sonherramientas esenciales, y la manipulacin de conjuntos es una operacin que debe llevar a cabocontinuamente.

1.1.1. Conjuntos

Para hacer matemticas superiores se requiere de una Teora de Conjuntos robusta, prcticay conveniente. Dos de los ms importantes sistemas de axiomas con los cuales se pueden creartal Teora de Conjuntos y que han permitido desarrollar casi toda la matemtica existente hastael presente son: la que se basa en la Axiomtica de Zermelo-Fraenkel, cuyos creadores fueronErnst Zermelo (1871-1953) y Abraham Fraenkel (1891-1965), a la que se le ha aadido un axiomaadicional conocido como el Axioma de Eleccin y que se denota brevemente por ZFC. La otra,es la Teora de Conjuntos sustentada sobre la Axiomtica de Zermelo-Fraenkel-von Neumann-Bernays-Gdel ZFNBG. En la primera axiomtica, los conceptos primitivos corresponden a lasideas intuitivas de conjunto y pertenencia, mientras que en la segunda se parte de las nocionesde clase y pertenencia. En sta ltima teora un conjunto es, por definicin, una clase la cuales un miembro de alguna otra clase, pero donde existen clases que no son conjuntos (vase, [79],[166]). Una buena justificacin para optar por cualquiera de las dos axiomatizaciones es que lasTeoras de Conjuntos que se construye con ellas permiten un desarrollo adecuado del sistema delos nmeros reales, incluyendo sus operaciones aritmticas as como las demostraciones de suspropiedades. Tambin el Anlisis, la Topologa, el lgebra y, en general, casi todas las otras ramasde la matemtica han podido ser desarrolladas gracias a dichas teoras. Puesto que la existenciade clases que no son conjuntos slo aparecen una o dos veces en estas notas, hemos optadopor adoptar la Teora de Conjuntos que se construye con el sistema ZFC. El lector interesadopuede consultar la notas del Prof. Carlos Ivorra Castillo [111] si desea conocer otras Teorasde Conjuntos distintas a las ya mencionadas. En esta seccin no describiremos formalmentela totalidad de los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, tan slo nos ocuparemos de formular ciertasdefiniciones y operaciones usuales entre conjuntos con las que trabajaremos y generar algunasde sus consecuencias. Referencias donde se pueden estudiar tales axiomas y muchas de susconsecuencias son, por ejemplo, [199], [79], [166], [107], [115], etc.

Comnmente, un conjunto se describe como una coleccin (o reunin, o agrupacin, etc) deobjetos de cualquier naturaleza llamados los elementos o miembros del conjunto pero evitandodefinir lo que es una coleccin o lo que es un objeto con el slo propsito de no incurrir enun circulo vicioso. Por tal motivo, los trminos conjunto y elemento permanecern sin serdefinidos y sern aceptados como entidades fundamentales confiando en que el lector poseeuna nocin, o sentimiento intuitivo, de lo que es un conjunto y lo que es elemento de un

Sec. 1.1 Nociones Bsicas 3

conjunto. Los elementos que pertenecen o forman parte de un conjunto particular, digamos X,sern denotados por el smbolo x X que se lee: x es un elemento o miembro de X, otambin se dir que x pertenece a X. Anlogamente, el enunciado x 6 X significa que x nopertenece a X, o bien que x no es un miembro o elemento de X.

En general, usaremos letras minsculas tales como a, b, c, . . . , x, y, z para indicar los miembroso elementos de un conjunto, y letras maysculas A, B, C, . . . , X, Y, Z, A,B, . . ., A,B,C, etc.,para designar conjuntos. Si los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos (los cuales sernrepresentados por letras maysculas), entonces dicho conjunto ser llamado una familia, o unacoleccin de conjuntos e indicado con una letra tipo gtica A,B,C, . . ., o tipo caligrafa A,B,C, . . .Como siempre, usaremos el smbolo N para denotar el conjunto de los nmeros naturales, esto

es, N = {1, 2, 3, . . .}, mientras que Z, Q, I y R representan, respectivamente, el conjunto de losnmeros enteros, los nmeros racionales, los nmeros irracionales y los nmeros reales.

Una de las ideas bsicas de conjuntos es la siguiente.

Definicin 1.1.1. Sean A y B conjuntos. Diremos que A es un subconjunto de B si todo elemento de Apertenece al conjunto B.

Escribiremos A B o A B para denotar que A es un subconjunto de B. En ocasiones,en lugar de decir que A es un subconjunto de B, diremos que A est incluido en B. Lanegacin de A B, en notacin A * B, y que se expresa diciendo que A no es un subconjuntode B, significa que existe al menos un elemento de A que no es miembro de B.

Un mtodo usual de obtener subconjuntos de un conjunto dado es el siguiente: se parte deun conjunto X y se considera una propiedad P(x) referente a los elementos x X la cual puedeo no ser cierta para algunos de sus miembros. En este sentido, cualquier conjunto de la forma

A = {x X : P(x) es verdadera} (1)

define un subconjunto de X. Qu ocurre si a la propiedad P no se le impone ningn tipo delimitaciones? Por ejemplo, suponga que aceptamos la siguiente idea ingenua:

Axioma de Abstraccin. Dada cualquier propiedad P existe un conjunto cuyos elementos sonaquellos que poseen la propiedad dada. De modo ms formal,

( X)( x)[x X P(x)].

Una consecuencia lgica que se deriva de la aceptacin del Axioma de Abstraccin es la exis-tencia del conjunto de todos los conjuntos. En efecto, basta considerar la propiedad P(x) como laafirmacin: x es un conjunto para obtener tal conjunto. Denotemos por U la coleccin de todoslos conjuntos. Lo que Russell demostr, con un argumento enteramente elemental, es que U, co-mo conjunto, no existe, originndose con ello la as llamada Paradoja de Russell. Pero, qu esuna paradoja? Pues bien, una paradoja implica, a menudo, un argumento muy convincente queconduce a una conclusin errnea que parece correcta, o a una conclusin correcta que parece in-correcta o sorprendente. En trminos sencillos, una paradoja es un razonamiento en doble sentido:supone la verdad de algo y concluye su falsedad. Similarmente, si supone su falsedad entoncesse llega a su verdad. Entre 1893 y 1903, Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1884-1925) en un intentopor axiomatizar la incipiente teora de conjuntos de Cantor, tambin llamada la teora de con-juntos ingenua, incluy entre sus axiomas el Axioma de Abstraccin y es aqu donde apareceBertrand Arthur William Russell (1872-1970). Russell razon del modo siguiente: dado cualquierconjunto X y cualquier objeto x, las reglas de la lgica dictan que x X o x 6 X. En particular, un


conjunto X, o es miembro de s mismo, o no lo es. Russell entonces considera la coleccin R constitui-da por los conjuntos que no son miembros de si mismo, es decir, R = {X U : X 6 X}. Puestoque U es, por el Axioma de Abstraccin, un conjunto, resulta que R tambin es un conjunto loque genera la siguiente contradiccin:

R R R 6 R.

Por esto,

Paradoja de Russell. La coleccin U no es un conjunto.

La conclusin fundamental que se extrae del resultado anterior es la siguiente: la no aceptacindel Axioma de Abstraccin impide la construccin de colecciones tan grandes como U, R ymuchas otras. Puesto que la Teora de Conjuntos basada en la axiomtica de ZFC prescindedel Axioma de Abstraccin, colecciones gigantesca como las de Russell estn prohibidas en estaTeora de Conjuntos pues ellas no son conjuntos, por lo que:

Hecho Universal: En ZFC, expresiones del tipo X X no son aceptadas cualquiera sea elconjunto X.

Como suele suceder en muchas partes de las matemticas, existen convenciones que resultanser muy adecuadas. Por ejemplo, en la Teora de Conjuntos, postular la existencia de un conjuntoque no posee elementos es una de ellas. A tal conjunto se le llama el conjunto vaco y denotadopor . El conjunto vaco est caracterizado por la siguiente propiedad: x nunca se satisface,cualquiera sea x. Es importante destacar que, una vez admitido la existencia del conjunto vaco,siempre se cumple que X, para cualquier conjunto X. En efecto, suponer que * X significaque existe algn x tal que x 6 X, pero como x nunca se satisface, entonces ello obliga asentenciar que X. De esto ltimo se deduce que el conjunto vaco es nico.

Definicin 1.1.2. Dos conjuntos A y B son iguales, en notacin, A = B, si ocurre que A B yB A. Si la relacin A = B no se cumple, entonces diremos que A y B son distintos y lo denotaremospor A 6= B.

La notacin A $ B significa que A B pero A 6= B, que se expresa diciendo que A es unsubconjunto propio de B.

Definicin 1.1.3. Dado un conjunto X, indicaremos por P(X) al conjunto potencia o de las partesde X, es decir,

P(X) ={

A : A X}

.

Por ejemplo,P() = {}, P({}) = {, {}}, etc.

En general, si X Z, entonces P(X) P(Z).

Definicin 1.1.4. Dados los conjuntos A y B, la unin e interseccin de ambos conjuntos, denotadospor A B y A B respectivamente, se definen como:

A B = {x : x A x B} y A B = {x : x A y x B}.


En el caso particular en que A B = , entonces se dice que A y B son conjuntos disjuntoso ajenos. Se sigue inmediatamente de la definicin anterior que las operaciones de unin einterseccin son conmutativas, esto es, A B = B A y A B = B A. Adems,

A B A A B y A B B A B.La unin e interseccin de conjuntos se distribuyen segn las siguientes igualdades:

A (B C) = (A B) (A C) y A (B C) = (A B) (A C)Ms aun, la siguiente es una caracterizacin de A B en trminos de la unin y la interseccin.

A B A = A B B = A B.Definicin 1.1.5. Dados los conjuntos A y B, la diferencia A \ B es el conjunto formado por todos loselementos de A que no son miembros de B, esto es,

A \ B = {x : x A y x 6 B}.

Es importante observar las siguientes propiedades simples referente a la diferencia de conjun-tos:

(a) A \ B = si, y slo si, A B.(b) A \ B = A si, y slo si, A B = .(c) A \ B = A \ (A B) y A \ = A.(d) A B = A \ (A \ B).

En el caso particular en que X es un conjunto fijo y A X, entonces a X \ A se le llamael complemento de A (relativo a X) y se denota por A c. Observe que si X es un conjunto yA, B X, entonces A \ B = A B c.

Definicin 1.1.6. La diferencia simtrica de los conjuntos A y B se expresa en la forma

A B =(

A \ B)(B \ A

)

=(

A B)\(

A B).

Algunas de las propiedades que son vlidas con esta operacin de conjuntos son las siguientes:si A, B, C, D son conjuntos arbitrarios, entonces

(a1) A B = B A(b1) A = A(c1) A A = .(d1) A B = A c B c.(e1) (A B) C = A (B C).( f1) A (B C) = (A B) (A C).(g1) (A B C) \ (A B C) = (A B) (B C).(h1) (A B) (C D) (A C) (B D).

Puesto que no existe ninguna limitacin para restringirnos a dos conjuntos en las definicionesde unin e interseccin, podemos considerar uniones e intersecciones arbitrarias de conjuntos.


Definicin 1.1.7. Sea A una familia arbitraria de conjuntos. Definimos la unin e interseccin, res-pectivamente, de dicha familia como

A =

AAA =

{x : x A para algn A A }

y A =

AAA =

{x : x A para todo A A

},

Si A es una familia numerable, digamos A = {A1, A2, . . .}, entonces, en lugar de escribirAA A, usaremos la notacin

n=1 An. Lo mismo se har con la interseccin, es decir, escri-biremos

n=1 An en lugar de

AA A. Ms aun, si A = {Amn : m, n = 1, 2, . . .}, entonces lasnotaciones

m,n=1

Amn =

m=1

n=1

Amn y

m,n=1

Amn =

m=1

n=1

Amn

se usarn frecuentemente. Como antes, si ocurre que A B = para todo par de conjuntos A, Ben A , entonces diremos que A es una familia disjunta o que los conjuntos de A son disjuntosdos a dos.

Suponga que X es un conjunto no vaco y que A es una familia de subconjuntos de X. SiX =

AA A, entonces diremos que A es un cubrimiento de X. Si, adems, la familia A es

disjunta, entonces se dice que A es una particin de X o que X es una unin disjunta de A .A diferencia de los elementos de la unin y de la interseccin, los del producto cartesiano son

de naturaleza distinta a los elementos de A y de B.

Definicin 1.1.8. Sean X, Y conjuntos no vacos. El producto cartesiano X Y se define por

X Y ={(x, y) : x X, y Y

}.

Recuerde que todo par ordenado (x, y) se define como (x, y) = {{a}, {a, b}}. De esto e sigue(x, y) P({x, y}). Algunas propiedades importantes sobre familias de conjuntos y que se usanfrecuentemente son las siguientes. Sean A , B familias de conjuntos. Entonces se verifica que:

(

AAA

)(

BBB

)=

(A,B)AB

(A B

)

y (

AAA

)(

BBB

)=

(A,B)AB

(A B).

Tambin se cumplen las Leyes de Morgan: si X es un conjunto no vaco y A P(X), entonces

X \

AAA =

AA

(X \ A) y X \

AAA =

AA

(X \ A).

lo que comnmente se escribe como(

AAA

) c=

AAA c y

(

AAA

) c=

AAA c


1.1.2. Funciones

Sean X, Y conjuntos no vacos. Una relacin de X en Y es cualquier subconjunto R de X Y.En lo que sigue, cualquier elemento (x, y) de R se indicar por el smbolo xR y. Si X = Y,entonces a la relacin R se le llama relacin binaria.

Definicin 1.1.9. Una funcin, o aplicacin, de X en Y es una relacin f de X en Y que posee lasiguiente propiedad adicional: si (x, y) f y (x, z) f , entonces y = z.

Siguiendo la tradicin, a la funcin f de la definicin anterior la denotaremos, en lo sucesivo,por el smbolo f : X Y. As, toda funcin f : X Y asigna a cada uno de los elementosx X, un nico y Y al que designaremos por f (x). Al conjunto X se le llama el dominio dela funcin f , mientras que a Y se le llama el contradominio de f .

Definicin 1.1.10. Dos funciones f : X Y y g : X Y son iguales si X = X, Y = Y yf (x) = g(x) para todo x X.

Una funcin f : X Y se llama inyectiva o uno a uno si dados x, y X arbitrarios,la igualdad f (x) = f (y) implica que x = y. La funcin f se dice que es sobreyectiva, osimplemente sobre, si Y = f (X), es decir, si para cada y Y existe un x X tal que y = f (x).Si f es tanto inyectiva as como tambin sobreyectiva, entonces la diremos que es biyectiva. Parauna funcin f : X Y, el conjunto

Gra( f ) ={(x, f (x)) X Y : x X

}

es llamado el grfico de f . Si f : X Y es una funcin y A X, entonces la imagen de A por fes el conjunto

f (A) ={

f (x) Y : x A}

.

Por otro lado, si B Y, la imagen inversa de B por f es el conjunto

f1(B) ={

x X : f (x) B}.

Es fcil ver que si A P(X), entonces

f

(

AAA

)=

AAf (A) y f

(

AAA

)

AAf (A).

Observe que la ltima inclusin puede ser propia. En efecto, si existen elementos x, y X conx 6= y para los cuales f (x) = f (y), entonces tomando A = {x} y B = {y}, se tiene queA B = , de donde f (A B) = , mientras que f (A) f (B) = { f (x)}. La construccin deeste ejemplo slo es posible si nuestra funcin f no es inyectiva, de modo que si f es inyectiva,entonces

f

(

AAA

)=

AAf (A).

Para la imagen inversa se cumple que si B P(Y), entonces

f1(

BBB

)=

BBf1(B) y f1

(

BBB

)=

BBf1(B).


Si B Y, tambin es vlida la siguiente igualdad:

f1(Y \ B

)= X \ f1(B).

Ms aun, dado A X, se tiene queA f1

(f (A)

),

mientras que si B Y, entoncesf(

f1(B)) B.

Ya hemos visto que A f1(

f (A)). Bajo qu condiciones f1( f (A)) = A? Para que ocurra la

igualdad f1( f (A)) = A cualquiera que sea A X, es necesario y suficiente que f sea inyectiva.Similarmente, f es sobreyectiva si, y slo si, f ( f1(B)) = B para todo B Y.

Si f : X Y y g : Y Z son funciones, entonces podemos definir la funcin compuestag f : X Z como (g f )(x) = g( f (x)) para todo x X. Sea A un subconjunto de X. Laaplicacin iA : A X, definida por i(x) = x para todo x A, se llama la aplicacin inclusinde A en X. En el caso particular cuando A = X, la aplicacin inclusin de X en X se llamala funcin identidad y ser indicada por Id : X X. Cada funcin biyectiva f : X Y daorigen a otra funcin biyectiva, llamada la inversa de f y denotada por f1 : Y X tal quef f1 = f1 f = Id.

Sean f : X Y una funcin y A un subconjunto no vaco de X. La restriccin de f alsubconjunto A es la aplicacin f |

A: A Y definida por ( f |

A)(x) = f (x) para todo x A.

Ntese que f |A= f iA, donde iA es la inclusin de A en X. Por otro lado, dada una funcin

g : A Y, toda aplicacin f : X Y tal que g = f |A

se llama una extensin de g al conjuntoX. La funcin

A: X R definida por

A(x) =

{1 si x A,0 si x 6 A

se le denomina la funcin caracterstica de A. En el caso particular cuando X = R y A = Q,entonces a

Qse le llama la funcin de Dirichlet.

Sea f : X R una funcin. Diremos que f es no-negativa sobre X si f (x) 0 para todox X. Similarmente, decir que f es no-positiva sobre X significa que f (x) 0 para todox X. De modo ms general, si f , g : X R son funciones, entonces f g sobre X, significaque (g f )(x) 0 para todo x X.

Si f : X R es una funcin, entonces f se puede escribir en la forma f = f+ f donde,para cada x X,

f+(x) =

f (x) si f (x) 00 si f (x) < 0

y f(x) =

f (x) si f (x) 00 si f (x) > 0

Observe que tanto f+, as como f, son ambas no-negativas. A f+ y f se les llaman la partepositiva y la parte negativa de f , respectivamente. El valor absoluto de f se define entoncescomo | f | = f+ + f.

Si X y Y son conjuntos arbitrarios, la proyeccin de X Y sobre X es la aplicacin prX :X Y X definida por prX(x, y) = x para todo (x, y) X Y. Similarmente, la proyeccinde X Y sobre Y es la aplicacin prY : X Y Y definida por prY(x, y) = y para todo(x, y) X Y.


Definicin 1.1.11. Sea X un conjunto no vaco. Una relacin de equivalencia sobre X es una relacinbinaria R sobre dicho conjunto que es

(a) reflexiva: xR x para todo x X,(b) simtrica: xR y yR x, para todo x, y X, y(c) transitiva: xR y y yR z xR z, para todo x, y, z X.

Frecuentemente usaremos el smbolo en lugar R. En consecuencia, escribiremos x y enlugar de xR y y diremos que x y y son equivalentes. La clase de equivalencia de x mdulo es el conjunto

Cx ={

y X : x y}

.

Observe que cualesquiera sean x, y X, se verifica que Cx = Cy o bien Cx Cy = . Ms aun,puesto que x Cx para todo x X, resulta que las clases de equivalencias forman una particinde X, es decir, X =

xX Cx. Al conjunto

X/ = {Cx : x X}

,

se le llama el cociente de X por la relacin .La funcin Q : X X/ definida por Q(x) = Cx para cada x X, es claramente sobreyec-

tiva y se le llama la aplicacin cociente o cannica sobre X.

1.1.3. Familias Indexadas. Productos Cartesianos

Todo conjunto no vaco X puede ser considerado como una familia indexada por sus propioselementos, es decir, X = {zx : x X}, donde zx = x para cada x X. Con frecuencia, resultams prctico y til asignarle a cada elemento x X una etiqueta distinta. Un modo de haceresto es como sigue: se considera un conjunto no vaco I (cuyos elementos llamaremos ndices) demodo que exista una aplicacin biyectiva x() : I X. La imagen de cada elemento I pormedio de x(), es decir, x(), se denotar por x y entonces el conjunto X se identificar con{x : I}, al que denotaremos por el smbolo (x)I y se dir que X est indexado por elconjunto I. Cuando I es un conjunto dirigido, lo cual significa que sobre I existe una relacin entre sus elementos que es reflexiva, transitiva y verificando la propiedad: para cada par deelementos , I, existe I tal que

y ,entonces diremos que (x)I es una red en X. Si I = N, entonces a (xn)n=1 la llamaremosuna sucesin en X.

En general, si A es una familia de conjuntos y si suponemos que I es un conjunto no vacoy x() : I A es una aplicacin biyectiva, entonces la coleccin A se identifica con la familiade conjuntos {A : I}, lo que frecuentemente escribiremos como A = (A)I . En estecaso, la unin de los elementos de la familia A se escribir como

I A en lugar de

AA A,

y lo mismo para la interseccin. Si I = N, entonces a la familia A = (An)n=1 se le llama unasucesin de conjuntos. Si A = (A)I es una familia de conjuntos donde I es un conjuntodirigido, entonces diremos que (A)I es una red de conjuntos. La red (A)I se llamacreciente (respectivamente, decreciente) si A A (respectivamente, A A) siempre que . Cuando I = N entonces hablaremos de una sucesin creciente o decreciente de conjuntos.Si las inclusiones son todas estrictas, entonces diremos que la sucesin es estrictamente creciente(respectivamente, estrictamente decreciente).


Definicin 1.1.12. Sea (A)I una familia cualquiera de conjuntos. Se define el producto cartesianode esta familia como el conjunto

IA =

{x() : I

IA

x() = x A para cada I}

.

Segn lo expresado anteriormente, podemos tambin escribir

IA =

{(x)I : x A para cada I

}.

Si cada conjunto A es no vaco, entonces toda funcin x

I A es llamada una funcinde eleccin para la familia (A)I . Si ocurre que todos los A son iguales, digamos, A = Apara todo I, entonces el producto cartesiano I A se denotar brevemente por AI . Enel caso particular en que I = {1, . . . , n} para algn n N, escribiremos An en lugar de AI . Engeneral, escribiremos

n=1 An como sinnimo de

nN An. El conjunto Kn es llamado el espacio

Euclidiano de dimensin n (o n-dimensional). Observe que si X es un conjunto arbitrario,entonces RX constituye el conjunto de todas las funciones f : X R. De inters es el productocartesiano

n=1 An donde An = {0, 1} para todo entero n 1. A ste producto lo denotaremospor 2N, el cual consiste de todas las sucesiones (xn)n=1 donde cada xn {0, 1}. Finalmente,para cada I se considera la aplicacin p :

I A A definida por p((x)I) = x. A

p se llama la -sima proyeccin. Claramente p es una aplicacin sobreyectiva.Si (A)I y (B)J son familias de conjuntos, entonces el producto de sus uniones e inter-

secciones satisfacen:(

IA

)(

JB

)=

(,)IJA B,

(

IA

)(

JB

)=

(,)IJA B.

1.2. Conjuntos Numerables y otros ms Numerosos

En esta seccin introduciremos un mtodo para comparar el nmero de elementos queposeen dos conjuntos. Esto se har a travs de la nocin de cardinalidad. Posteriormente, si losconjuntos poseen un cierto orden, entonces, adems de comparar el nmero de elementos queellos poseen, tambin estaremos interesados en preservar la posicin que ellos ocupan en cadaconjunto.

En el ao 1874 Cantor demostr que exista una correspondencia uno-a-uno entre N y elconjunto de los nmeros algebraicos (en realidad fue Dedekind quien lo hizo). Posteriormente,demuestra que no existe correspondencia uno-a-uno entre N y el conjunto de los nmeros reales.Estos hechos le permiti considerar la existencia de una correspondencia uno-a-uno como uncriterio para comparar el tamao de dos conjuntos infinitos.

Definicin 1.2.1. Dos conjuntos A y B se dice que son equipotentes, o biyectables, si existe unafuncin biyectiva f : X Y.

Sec. 1.2 Conjuntos Numerables y otros ms Numerosos 11

Escribiremos A B para abreviar la expresin A y B son equipotentes. Esta relacin,evidentemente, nos muestra que los conjuntos A y B poseen el mismo nmero de elementos. Estaidea permite que intentemos asignar a cualquier conjunto A un objeto de la Teora de Conjuntos,al que llamaremos nmero cardinal y denotado por card(A), de modo que

X A card(X) = card(A).

Una motivacin para esto es observar, usando la nocin de conjuntos equipotentes, que:

(a) A A para cualquier conjunto A,(b) si A B, entonces B A y(c) si A B y B C, entonces A CNtese que la relacin se comporta como una relacin de equivalencia sobre la coleccin U detodos los conjuntos. Sin embargo, como U no es un conjunto y puesto que la definicin derelacin de equivalencia, Definicin 1.1.11, se formul slo para conjuntos, tropezamos con unserio problema: no es una relacin de equivalencia sobre U. Cmo resolver este impasse? Unopuede intentar manejar esta situacin definiendo el cardinal del conjunto X del modo siguiente:

card(X) = CX

donde CX = {A U : A X}. Observe que con esta definicin

X A card(X) = card(A).

Sin embargo, como estamos trabajando en la Teora de Conjuntos basada en la axiomtica deZFC, resulta que tal definicin no es apta desde nuestro punto de vista ya que card(X) = CXdebe ser un conjunto y no tenemos certeza de que CX lo sea. Cmo definir, entonces, la cardi-nalidad de un conjunto en nuestra teora? Pues bien, para dar una definicin precisa de cardina-lidad debemos apoyarnos en el Axioma de Eleccin y la Teora de Ordinales que desarrollaremosbrevemente en las prximas secciones. Sin embargo, para ciertos tipos de conjuntos podemosaproximarnos a una tal definicin.

Definicin 1.2.2 (Bolzano). Diremos que un conjunto A es finito si ocurre que A = , o existe unn N tal que A {1, 2, . . . , n}. En este caso se dice que A posee n-elementos y escribiremoscard(A) = n.

Es importante destacar que en base a esta definicin se tiene que: si A y B son conjuntosfinitos, entonces:

A B card(A) = card(B)Ntese que si A y B son conjuntos finitos con card(A) = m, card(B) = n y, adems, m 6= n,entonces A 6 B. Esta observacin nos dice, en particular, que un conjunto finito no puede serequipotente a ningn subconjunto propio de s mismo.

Definicin 1.2.3 (Bolzano). Un conjunto A se llama infinito si l no es finito. Un conjunto infinito Ase dice que es numerable si A N, en caso contrario diremos que A es no-numerable. La expresin A es a lo ms numerable significa que A, o es finito, o es infinito numerable.


Fijemos un conjunto no vaco A y sea

Bi(N, A) ={

f : N A | f es biyectiva}

.

Con la notacin anterior, nuestra definicin de conjunto infinito numerable se puede expresar deesta forma:

A es numerable si, y slo si, A es infinito y Bi(N, A) 6= .Ntese que si A es infinito numerable, entonces siempre podemos hacer una lista infinita delos elementos de A y escribir a A, por ejemplo, como A = {a1, a2, a3, . . .}. En efecto, comoBi(N, A) es un conjunto no vaco, basta elegir cualquier funcin f Bi(A, N) y luego definiran = f (n) A para cada n N. Ntese que al ser f inyectiva, todos los an so distintos dosa dos y puesto que ella tambin es sobreyectiva, cada elemento de A es de la forma an para unnico n N. En este caso diremos que {a1, a2, a3, . . .} es una enumeracin de A. Por supuesto,A puede ser enumerado de muchas formas diferentes pues ello depende de la eleccin de la funcin fen Bi(A, N). Por otro lado, decir que un conjunto A es no-numerable significa que A es infinito yno existe ninguna biyeccin de A en N, lo que tambin se puede expresar en la forma:

A es no-numerable si, y slo si, A es infinito y Bi(N, A) = .

Un principio que es fundamental en matemticas es el siguiente:

Definicin 1.2.4 (Principio del Buen-Orden). Si A es cualquier subconjunto no vaco de N, enton-ces A posee un primer elemento, esto es, existe un n0 A tal que n0 n para todo n A.

El Principio del Buen-Orden es el responsable del siguiente hecho: cualquier subconjunto deN es a lo ms numerable.

Teorema 1.2.5. Si A es un subconjunto no vaco de N, entonces A es a lo ms numerable. Enparticular, si A es infinito, entonces l se puede representar por medio de una sucesin estrictamentecreciente, es decir, A =

{mn : n N

}, donde

m1 < m2 < m3 < < mn <

Prueba. Si A es finito, la conclusin es obvia. Suponga entonces que A es infinito. Puesto queA es no vaco, el Principio del Buen-Orden garantiza que A posee un primer elemento, es decir,existe un m1 A, tal que

m1 a para todo a A.Ahora bien, como A es infinito, el conjunto A1 = A \ {m1} es no vaco y, de nuevo, por elPrincipio del Buen-Orden, existe un m2 A1 tal que

m2 a para todo a A1.

Por supuesto, como m1 6 A1, resulta que

m1 < m2.

Sea A2 = A1 \ {m2} = A \ {m1, m2}. Entonces A2 es no vaco y se repite, como antes, elprocedimiento anterior para hallar un m3 A2 tal que

m1 < m2 < m3.


En definitiva, teniendo en cuenta que A es infinito, podemos continuar indefinidamente con elargumento antes descrito para concluir que el conjunto A se puede escribir en la forma A ={

mn : n N}

, dondem1 < m2 < m3 < < mn <

La aplicacin f : N A definida por f (n) = mn es claramente biyectiva y termina la prueba.

Algunas consecuencias tiles que se derivan inmediatamente de la definicin de conjuntosinfinitos son las siguientes:

Teorema 1.2.6. Sean A y B conjuntos no-vacos.

(Nu1) Si A es a lo ms numerable (respectivamente, no-numerable) y B es equipotente con A,entonces B es a lo ms numerable (respectivamente, no-numerable).

(Nu2) Si A es numerable y B A, entonces B es a lo ms numerable.(Nu3) Si B es no-numerable y B A, entonces A es no-numerable.

Prueba. (Nu1) sigue del hecho de que la composicin de dos funciones biyectivas es biyectiva.

(Nu2) Observe que la numerabilidad de A nos garantiza la existencia de una funcin biyectivaf : A N. El conjunto A = f (B) N es, por el Teorema 1.2.5, a lo ms numerable y, enconsecuencia, la funcin g : B A definida por g(b) = f (b) para todo b B es biyectiva. Elresultado ahora sigue de (Nu1).

(Nu3) Es consecuencia inmediata de (Nu2).

El siguiente resultado nos provee de una de las caracterizaciones ms til y prctica referentea los conjuntos infinito numerables.

Teorema 1.2.7. Sea A un conjunto infinito. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(1) A es numerable.

(2) Existe una funcin sobreyectiva f : N A.(3) Existe una funcin inyectiva g : A N.

Prueba. (1) (2). Suponga que A es numerable y escoja una funcin f Bi(N, A). Puestoque f es sobreyectiva, (2) sigue.

(2) (3). Suponga que f : N A es una funcin sobreyectiva y observe que f1({a}) 6= para todo a A. Puesto que f1({a}) N el Principio del Buen-Orden nos garantiza quemn f1({a}) existe y es nico. Esto permite definir la funcin g : A N por

g(a) = mn f1({a}) para cada a A.

Veamos ahora que g es inyectiva. En efecto, suponga que a, a A con a 6= a. Entoncesf1({a}) f1({a}) = , lo cual implica que mn f1({a}) 6= mn f1({a}). Por esto g(a) 6=g(a) y g es inyectiva.

(3) (1). Suponga que g : A N es una funcin inyectiva. Puesto que A es infinito yg(A) N, resulta que g(A) tambin es numerable. Sea h : g(A) N una biyeccin. Teniendo


en cuenta que g : A g(A) es una biyeccin, se tiene que f = h g es una biyeccin y terminala prueba.

Siguiendo la tradicin, usaremos el smbolo 0 para designar el nmero de elementos de N, esdecir, escribiremos

card(N) = 0.La cardinalidad de un conjunto numerable se puede definir sin ambigedad del modo siguiente:

Definicin 1.2.8. Si A es cualquier conjunto numerable, definimos la cardinalidad de A por

card(A) = 0.

Observe que, similar al caso finito, si A y B son conjuntos numerables, entonces

A B card(A) = card(B).Cmo definir card(A) si A es no-numerable? Pues bien, es aqu donde se presenta el meollodel asunto. A diferencia de la familia de los conjuntos numerables en donde existe un nico objeto,al que hemos denotado por 0, y que los identifica a todos; en el caso de la coleccin de losconjuntos no-numerables no hay tal objeto. En realidad, existe una cantidad infinita de objetos enorden estrictamente creciente para conjuntos no-numerables. Sin embargo, la relacin anteriorpermite que podamos introducir una definicin (incompleta) de cardinalidad del modo siguiente:

Definicin 1.2.9 (incompleta). A cada conjunto A se le asigna un nico objeto, al que llamaremos lacardinalidad de A, card(A), tal que:

A B card(A) = card(B).

El problema con esta definicin es que no se especifica qu cosa es card(A) o cmo se escogey, por lo tanto, se le considera incompleta. Ms adelante veremos, cuando hallamos introducidola nocin de nmero cardinal, que sta definicin incompleta es, en realidad, una buena definicin,es decir, usando el Axioma de Eleccin y la Teora de Conjuntos Bien-Ordenados se demuestraque existe una operacin que es compatible con la relacin .

Teorema 1.2.10. Sean A y B conjuntos no vacos con A finito y B numerable. Entonces A B esnumerable.

Prueba. Es suficiente suponer que A y B son disjuntos. En primer lugar, suponga que A esfinito. Entonces existe un n N y una funcin biyectiva : Nn A, donde Nn = {1, 2, . . . , n}.Similarmente, existe una funcin biyectiva g : N B. Considere la funcin

h : N \ Nn Ndefinida por

h(i) = i n, para todo i N \ Nn.Claramente h es biyectiva. Finalmente, la funcin : N A B definida por

|Nn

= , |N\Nn = g h

es biyectiva y termina la prueba.

Uno de los resultados fundamentales acerca de la nocin de conjuntos numerables es el si-guiente el cual se puede demostrar por del medio del genial Mtodo de la Diagonal de Cantor.


Teorema 1.2.11. Sea (An)n=1 una coleccin infinita numerable y disjunta de conjuntos a lo msnumerables. Entonces

n=1 An es numerable.

Prueba. En vista del Teorema 1.2.10 es suficiente suponer que cada An es infinito numerable.Puesto que cada conjunto An es numerable, podemos hacer una lista de sus elementos, porejemplo, del modo siguiente:

An ={

anj : j = 1, 2, . . .}

.

Disponga ahora todos los elementos de cada uno de los conjuntos An en el siguiente arreglo ma-tricial infinito (los puntos suspensivos indican que las sucesiones se prolongan indefinidamentea la derecha y hacia abajo):

A1 a11 a12 a13 A2 a21 a22 a23 A3 a31 a32 a33 ...

......

.... . .

An an1 an2 an3 ...

......

.... . .

y haga una lista de ellos siguiendo las diagonales sucesivas come se muestra en la figura adjunta:

a11 a12 a13 a14 a15

a21 a22 a23 a24 a25

a31 a32 a33 a34 a35

a41 a42 a43 a44 a45

......

......

...

Ahora bien, como la coleccin(

An)

n=1 es disjunta, resulta que los aij son todos distintos entres, lo cual permite que se pueda establecer una correspondencia biunvoca entre N y

n=1 Antal como se muestra en la figura adjunta.

a11 a12 a21 a31 a22 a13 a14 a23 a32 a41 . . .

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .

Esto establece la numerabilidad de

n=1 An y termina la prueba.

La demostracin del resultado anterior posee una pequea sutileza que con mucha frecuen-cia pasa desapercibida. En efecto, aunque dicha prueba pareciera, en una primera mirada, serconstructiva, ella no lo es. La razn es la siguiente: considere la coleccin

B ={Bi(N, An) : n N

}.


Como cada conjunto Bi(N, An) es no vaco, podemos seleccionar una funcin fn Bi(N, An)para producir una enumeracin de An. Por supuesto, existen muchas otras formas diferentes deenumerar los elementos de An. Sin embargo, una vez que los conjuntos An han sido expresadosen la forma An =

{anj : j = 1, 2, . . .

}, el resto de la prueba es, efectivamente, constructiva. Pero,

como acabamos de ver, para poder elegir una funcin en cada uno de los conjuntos Bi(N, An)debemos hacer uso del enigmtico y necesario Axioma de Eleccin, en su versin numerable, quediscutiremos un poco ms adelante.

Corolario 1.2.12. Si i A1, . . . , An es una coleccin finita y disjunta de conjuntos infinitos numera-bles, entonces A1 An es infinito numerable.

Prueba. Basta tomar, en el resultado anterior, Am = para m = n + 1, n + 2, . . .

Corolario 1.2.13. Sea (An)n=1 una familia infinita numerable de conjuntos numerables. Entoncespara cualquier entero k 2,

n=1

An yk

n=1

An

son numerables. Ms aun, si A es cualquier conjunto numerable, entonces tambin es numerable lacoleccin

Pfin(A) ={

F A : card(F) es finito}.

Prueba. Si la sucesin(

An)

n=1 es disjunta, el resultado sigue del teorema anterior. Supongaentonces que la sucesin

(An)

n=1 no es disjunta y considere la sucesin(Bn)

n=1 definida por:

B1 = A1 y Bn = An \(

A1 An1)

para n 2.

Es claro que dicha sucesin posee las siguientes propiedades: (i) cada Bn An y, en consecuen-cia, es a lo ms numerable, (ii) la familia

(Bn)

n=1 es disjunta y (iii)

n=1 Bn =

n=1 An. Sesigue del Teorema 1.2.11 que

n=1 An es numerable.Para demostrar que

kn=1 An es numerable, es suficiente comprobar que N N es numera-

ble. Veamos esto. Para cada n N escribamos An = {(m, n) : m N}. Puesto que los conjuntosAn son infinitos y disjuntos dos a dos, el Teorema 1.2.11 nos garantiza que

n=1 An = N N esnumerable.

Finalmente, para verificar que Pfin(A) es numerable, suponga que A es un conjunto nume-rable y sea A = {a1, a2, . . .} una enumeracin de A. Para cada n N, considere el conjunto

An = P({a1 , . . . , an}) ={

F : F {a1, . . . , an}}

.

Claramente An es finito y, por consiguiente,

n=1 An es numerable. Observe ahora que

n=1

An = Pfin(A)

y termina la prueba.

Tal vez el lector sienta curiosidad en saber por qu, en el Corolario 1.2.13 (b), no se incluyla afirmacin: el producto numerable de conjuntos numerables es numerable. La razn es simple: tal


afirmacin es falsa. Por ejemplo, si tomamos An = {0, 1} para todo n N, entonces, comoveremos ms adelante,

n=1 An = 2N es no-numerable.

Un hecho fundamental que se deriva de la parte (a) del Corolario 1.2.13 es el siguienteprincipio conocido con el nombre de:

Principio del Palomar c-Infinito (PPc). Sea A un conjunto no-numerable. Si todos loselementos de A se distribuyen en una coleccin infinita numerable

(An)

n=1 de conjuntos, entoncesexiste al menos un conjunto, digamos An0 , que es no-numerable.

Si en el principio anterior el conjunto A es infinito numerable y si consideramos slo una co-leccin finita {A1, A2, . . . , An} de conjuntos, se tiene esta otra versin infinita del Principio delPalomar.

Principio del Palomar 0-Infinito (PP0). Sea A un conjunto infinito numerable. Si todoslos elementos de A se distribuyen en una coleccin finita {A1, A2, . . . , An} de conjuntos, entoncesal menos uno de los conjuntos, digamos An0 , es infinito numerable.

Otro hecho interesante que poseen los conjuntos infinitos numerables es que ellos pueden serparticionados en infinitos conjuntos cada uno de los cuales es infinito numerable. Esta afirmacines suficiente demostrarla para N.

Teorema 1.2.14 (Particin de N). Existe una sucesin (An)n=0 de subconjuntos de N tal que:

(a) cada An es infinito,

(b) Am An = si m 6= n y

(c) N =

n=1

An.

Prueba. Slo por conveniencia, trabajaremos con N0 en lugar de N. Considere, como se muestraen la figura adjunta, el siguiente arreglo matricial de N0 siguiendo las diagonales:

0 2 5 9 14 20 A0

1a - diagonal 1 4 8 13 19 A1

2a - diagonal 3 7 12 18 A2

3a - diagonal 6 11 17 A3

4a - diagonal 10 16 A4

5a - diagonal 15

A5...

...

Si f (n, i) denota la entrada sobre la n-sima fila y la i-sima columna, entonces es fcil demostrarque

f (n, i) =(n + i)(n + i + 1)

2+ i


para todo n, i N0. En efecto, observe que para cada k 1, existen k + 1 elementos en lak-sima diagonal. De aqu se sigue que, para cada m 1, el nmero total de elementos que seencuentran por arriba de la m-sima diagonal es:

m1

k=0

(k + 1) =m

k=1

k =m(m + 1)

2.

Por consiguiente, si denotamos por f (m, 0) la entrada inicial sobre la m-sima diagonal, tendre-mos que

f (m, 0) =m(m + 1)

2,

la cual tambin se cumple si m = 0. Sean ahora n, i N0 con n + i > 0. Entonces f (n, i) esten la (n + i)-diagonal y es el i-simo elemento en dicha diagonal comenzando desde f (n + i, 0).De all que, tomando m = n + i en la igualdad anterior resulta que

f (n, i) = f (n + i, 0) + i =(n + i)(n + i + 1)

2+ i.

La sucesin (An)n=0 definida por An ={

f (n, i) : i N0}

para cada n N0, cumple con laspropiedades deseadas.

Ya hemos visto que 2N N, es decir, N contiene un subconjunto propio biyectable con lmismo. Similarmente, N Pri(N), donde Pri(N) es el conjunto (infinito) de todos los nmerosprimos. Tal vez una de las caractersticas ms sobresaliente que definen a los conjuntos infinitosy que ningn conjunto finito la posee viene dado por el siguiente:

Teorema 1.2.15 (Dedekind). Un conjunto X es infinito precisamente cuando X es equipotente a unsubconjunto propio de s mismo.

Prueba. Si X es infinito numerable, entonces (Nu2) nos dice que cualquier subconjunto infinitode X es numerable y, en consecuencia, equipotente a X. Suponga ahora que X es no-numerabley sea a1 X. Como X es infinito, X \ {a1} es no vaco. Seleccione a2 X \ {a1}. En general,sea n N con n 1 y suponga que los trminos a1, . . . , an1 han sido escogidos. De nuevo,como X \ {a1, . . . , an1} es infinito, elija un an en dicho conjunto. De este modo se construye unsubconjunto infinito numerable A = {a1, a2, . . . , an , . . .} de X. Puesto que X es no-numerable,se sigue del Corolario 1.2.12 que X \ A es infinito no-numerable. Sea f : X X definida por

f (x) =

{x si x 6 Aan+1 si x = an, n = 1, 2, . . ..

Claramente f es inyectiva. Si tomamos Y = f (X), resulta que Y = X \ {a1} es un subconjuntopropio de X y se cumple que Y X. Fin de la prueba.

Del resultado anterior se concluye que:

Corolario 1.2.16. Si X es un conjunto infinito, entonces X contiene una copia de N, es decir, existeun subconjunto A de X tal que A N.


1.2.1. Ejemplos de Conjuntos Numerables

Nuestra definicin de conjunto numerable establece la existencia de una correspondencia bi-unvoca entre el conjunto numerable, digamos A, y N. Esta definicin, por supuesto, est atadaa un problema de existencia y, por consiguiente, no siempre es fcil determinar una tal biyeccinaun estando en conocimiento de que nuestro conjunto es numerable. El siguiente ejemplo expone,de manera contundente, esta situacin.

(N0) Pri(N), el conjunto de todos los nmeros primos, es numerable. Existen muchas y varia-das maneras de demostrar este resultado. La siguiente es la siempre elegante, hermosa, simpley viejita prueba dada por el propio Euclides. Suponga, para generar una contradiccin, que latotalidad de los nmeros primos es finito, digamos

Pri(N) ={

p1, p2, . . . , pn}

y considere el nmero natural q = p1 p2 pn + 1. Claramente q > pi para todo i = 1, . . . , n porlo que q 6 Pri(N). Veamos de inmediato que esto conduce a una contradiccin. En efecto, comoq no es un nmero primo, resulta, por el Teorema Fundamental de la Aritmtica, que l es divi-sible por algn pi y como p1 p2 pn tambin es divisible por pi, tenemos que q p1 p2 pnes divisible por pi > 1 lo cual es imposible ya que q p1 p2 pn = 1. Por consiguiente, lasuposicin asumida de que Pri(N) era finito conduce a una contradiccin por lo que debemosconcluir que Pri(N) es infinito numerable.

Por siglos los matemticos han intentado, sin xito hasta ahora, conocer de algn medio ofrmula que le permita generar todos los nmeros primos. En el momento en que el hombreest en posesin de una tal frmula o procedimiento, muchos de los problemas difciles que aunpermanecen confusos y sin resolver en el mbito de la Teora de Nmeros se podrn aclarar ysolucionar (y, por supuesto, sus tarjetas de crditos y sus cuentas bancarias estaran en peligro).Por tal razn, el ejemplo anterior nos revela que aunque sepamos que un determinado conjuntoes numerable, en nuestro caso Pri(N), puede ser una tarea ardua y tremendamente difcil exhibirexplcitamente una funcin biyectiva entre dicho conjunto y N.

(N1) N0 es numerable. La aplicacin f : N N0 definida porf (n) = n 1 para todo n N,

es biyectiva. Esto sigue tambin del Teorema 1.2.10.

(N2) 2N = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . .} es numerable. La funcin f : N 2N dada por f (n) = 2n paratodo n N es claramente una biyeccin. Similarmente, el conjunto N2 = {1, 4, 9, . . . , n2, . . .} esnumerable. En general, kN = {kn : n = 1, 2, . . .} es numerable para cualquier k N.

(N3) Z es numerable. En efecto, la funcin f : Z N definida por

f (n) =

{2n si n = 1, 2, . . .1 2n si n = 0,1,2, . . ..

es biyectiva.

(N4) Nn y Zn son numerables para cada n N. Esto es consecuencia de (b) del Corola-rio 1.2.13. Por lo tanto,

card(Nn) = card(Zn) = 0


para cualquier n N.

(N5) Q es numerable. Recordemos que

Q =

{m

n: m, n Z, n 6= 0

}.

Tal vez una de las primeras sorpresas acerca de la numerabilidad de un conjunto lo constituye,sin duda alguna, la demostracin de Cantor de que el conjunto Q de los nmeros racionaleses numerable. Este conjunto, como sabemos, tiene una sorprendente e increble propiedad - sudensidad: entre dos nmeros racionales distintos, no importa cuan cercano estn, existe entre ellos unacantidad infinita numerable de racionales distintos. Este hecho pudiera hacer pensar que Q es msnumeroso que N: entre dos nmeros naturales distintos habitan, a lo sumo, slo una cantidad finita deellos, pero infinitos racionales. Y, sin embargo, como veremos de inmediato, ambos conjuntos N yQ son biyectables.

Una manera simple de demostrar la numerabilidad de Q, usando el Teorema 1.2.7, es consi-derar la aplicacin f : Z N Q definida por

f (m, n) =m

npara todo m Z, n N

la cual es claramente sobreyectiva. En efecto, como Z N es numerable, escoja una funcinbiyectiva g : N Z N. Se sigue entonces que la composicin f g : N Q es sobreyectivay entonces el Teorema 1.2.7 termina la prueba.

Se sigue de (b) del Corolario 1.2.13 que

(N6) Qn es numerable para todo entero n 1. Por lo tanto, card(Qn) = 0.

Existen, por supuesto, muchas otras formas distintas de demostrar que Q es numerable. Enlos siguientes ejemplos veremos algunas maneras diferentes y, a veces sorprendentes, de contara Q. Tambin, el artculo de David M. Bradley, Counting the Positive Rationals: A Brief Survey,disponible en Internet, contiene otros ejemplos que ilustran la numerabilidad de Q.

(N05) Numerabilidad de Q segn Cantor (1873). La prueba que sigue fue ofrecida por Cantorusando su famoso Mtodo del Zig-Zag a travs una matriz triangular infinita de racionales.Puesto que Q = Q {0} Q+, donde Q+ = {q Q : q > 0} y Q = {q Q : q < 0},es suficiente demostrar que Q+ es numerable. Es importante destacar que, para contar a Q+,es conveniente que sus fracciones estn escritas en forma irreducibles, esto quiere decir que, sim/n Q+, entonces m y n son primos relativos; en otras palabras, que m y n no tienen undivisor en comn. Denote por Q+irre las fracciones de Q

+ que son irreducibles. Sea A1 = N ypara cada entero n 2, considere el conjunto

An =

{m

n Q+irre : m N

}\

n1

k=1

Ak.


B111

21

31

41

51 A1

B212

22

32

42

52 A2

B313

23

33

43

53 A3

B414

24

34

44

54 A4

B515

25

35

45

55

...

A5...

......

......

. . ....

Como los conjuntos An son disjuntos dos a dos y cada uno de ellos es numerable, se sigueentonces del Teorema 1.2.11 que

n=1 An = Q+irre es numerable. Esta es la demostracin clsica

de que Q+ es numerable dada por G. Cantor en 1873. En efecto, Cantor dispuso los elementosde cada conjunto Bn = {m/n : m N}, con n N, en un arreglo matricial infinito como sesugiere en el grfico adjunto y luego seleccion las fracciones que all aparecen, siguiendo lasdiagonales, pero teniendo la precaucin de omitir todos aquellas fracciones que ya haban sidoencontradas en las diagonales anteriores; esto, por supuesto, no es otra cosa que la definicin delos conjuntos An:

11

21

12

13

31

41

32

23

14

15

51

. . .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .

l l l l l l l l l l l . . .

De esta forma se concluye que Q+ es numerable. Aunque tal razonamiento no genera dudaalguna, sin embargo, no es claro determinar, con exactitud, cul es el nmero natural asignado acada fraccin. Por ejemplo, a cul nmero natural corresponde la fraccin 123/123321123111?Otra pregunta difcil de responder es: cul es el nmero racional que sigue, usando el argumentode la diagonal de Cantor, inmediatamente despus de uno dado? Por esto, el procedimientosugerido por Cantor, si bien cuenta a todos los nmeros racionales positivos no permite, demanera explcita, establecer cul es nmero natural que corresponde a cada fraccin en Q+.

(N15) Numerabilidad de Q segn Lauwerier (1991). La idea de Hans Lauwerier consiste en haceruna lista de los nmeros racionales en (0, 1] comenzando con la fraccin 1/1 y considerando,para cada n N con n 2, todas las fracciones m/n escritas en forma irreducibles quesatisfacen la condicin 1 m < n. Colquelas en ord

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