Transformada de Laplace

Definición

La transformada de Laplace se define como: )()()(0

sYdtetytyL st

Propiedades

1. Linearidad si a es constante: )()()( saYtyLatyaL

2. Superposición si f1(t) y f2(t) son funciones con Transformada de Laplace entonces: )()()()()()( 212121 sFsFtfLtfLtftfL

3. Traslación en el tiempo si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s) y si ‘a’ es un número real, entonces: )()( sFeatfL as

4. Diferenciación compleja si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s),

entonces: )()( sYds

dtftL

5. Traslación en el dominio s si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s) y si ‘a’ es un número real o complejo, entonces: )()( asFtfeL at

6. Transformada de una derivada:

0

dtedt

dy

dt

dyL st

a. Integrando por partes:

0

0)()( dtetysety stst )0()( ysYs

7. Transformadas de derivadas de orden mayor:

a. )0()0()(2

2

2

ysysYsdt

ydL

b.

n

kk

knn

n

n

gssYsdt

ydL

11)( ,

dónde:

0

1

1

1

t

k

k

kdt

ydg

8. El TEOREMA DEL VALOR INICIAL permite evaluar el valor cuando t=0 en el dominio de frecuencia: )(lim)0( ssFf s

9. El TEOREMA DEL VALOR FINAL permite evaluar la respuesta de estado estable

en el dominio de frecuencia: )(lim)( 0 ssFf s

Transformadas de Laplace para diferentes funciones1:

F(s) f(t), t≥0

1. 1 (t), impulso unitario en t=0

2. 𝟏

𝒔 us(t), escalón unitario

3. 𝒏!

𝒔𝒏+𝟏 𝑡𝑛

4. 𝟏

𝒔+𝒂 𝑒−𝑎𝑡

5. 𝟏

(𝒔+𝒂)𝒏

1

(𝑛 − 1)!𝑡𝑛−1𝑒−𝑎𝑡

6. 𝒂

𝒔(𝒔+𝒂) 1 − 𝑒−𝑎𝑡

7. 𝟏

(𝒔+𝒂)(𝒔+𝒃)

1

𝑏 − 𝑎(𝑒−𝑎𝑡 − 𝑒−𝑏𝑡)

8. 𝒔+𝒑

(𝒔+𝒂)(𝒔+𝒃)

1

𝑏 − 𝑎[(𝑝 − 𝑎)𝑒−𝑎𝑡 − (𝑝 − 𝑏)𝑒−𝑏𝑡]

9. 𝟏

(𝒔+𝒂)(𝒔+𝒃)(𝒔+𝒄)

𝑒−𝑎𝑡

(𝑏 − 𝑎)(𝑐 − 𝑎)+

𝑒−𝑏𝑡

(𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑏)+

𝑒−𝑐𝑡

(𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑐)

10. 𝒔+𝒑

(𝒔+𝒂)(𝒔+𝒃)(𝒔+𝒄)

(𝑝 − 𝑎)𝑒−𝑎𝑡

(𝑏 − 𝑎)(𝑐 − 𝑎)+

(𝑝 − 𝑏)𝑒−𝑏𝑡

(𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑏)+

(𝑝 − 𝑐)𝑒−𝑐𝑡

(𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑐)

11. 𝒃

(𝒔𝟐+𝒃𝟐) sin 𝑏𝑡

12. 𝒔

(𝒔𝟐+𝒃𝟐) cos 𝑏𝑡

13. 𝒃

((𝒔+𝒂)𝟐+𝒃𝟐)

𝑒−𝑎𝑡 sin 𝑏𝑡

14. 𝒔+𝒂

((𝒔+𝒂)𝟐+𝒃𝟐)

𝑒−𝑎𝑡 cos 𝑏𝑡

15. 𝒏

𝟐

𝒔𝟐+𝟐𝒏𝒔+𝒏𝟐

𝒏

√𝟏 − 𝟐

𝑒− 𝒏 𝑡 𝑠𝑖𝑛 [(𝒏√𝟏 − 𝟐) 𝑡] , < 1

16. 𝒏

𝟐

𝒔(𝒔𝟐+𝟐𝒏𝒔+𝒏𝟐)

𝟏 −1

√𝟏 − 𝟐

𝑒− 𝒏 𝑡 𝑠𝑖𝑛 ((𝒏√𝟏 − 𝟐) 𝑡 + ) , < 1

= tan−1√𝟏 −

𝟐

1 Porción de la Tabla 2.1.1 del texto