landy unidad 5

8/15/2019 Landy Unidad 5

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Instituto Tecnológico Superior deCoatzacoalcos

Ingeniería en Sistemas Computacionales

Nombre del Alumno: No. De Control

Octavio Contreras Rodríguez 1408208

Nombre del Docente: Blanquet Escobar

Landy______ Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)

UNIDAD 5: InterpolaciónAsignatura:

Métodos Numéricos

Investigacion

!emestre" 4# $ru%o" &


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ÍndiceIntroducción..........................................................................................................3

5.1 Polinomio de interpolación de Newton..................................................................4

5.2 Polinomio de interpolación de Lagrange...............................................................5

5.3 Interpolación segmentada..................................................................................7

5.4 Problemas de aplicación..................................................................................10

Conclusión..........................................................................................................12

Bibliogra!a.......................................................................................................... 13


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Introducción"e denomina interpolación a la obtención de nue#os puntos partiendo delconocimiento de un con$unto discreto de puntos. %n ingenier!a &

algunas ciencias es recuente disponer de un cierto n'mero de puntos obtenidospor muestreo o a partir de un e(perimento & pretender construir una unción )uelos a$uste. Cada unción tiene su m*todo para poder ser resuelta & es lo )ue#amos a #er en este traba$o de in#estigación. +n problema )ue se presenta conrecuencia en las ciencias e(perimentales & en ingenier!a es tratar de construir unaunción ,denominada -unción interpolante/ de la )ue se conoce una serie dedatos ,denominados -datos de interpolación/. %stos datos pueden ser ruto de lasobser#aciones reali0adas en un determinado e(perimento en el )ue se relacionandos o ms #ariables e in#olucran #alores de una unción &o de sus deri#adas. %lob$eti#o ser determinar una unción )ue #erii)ue estos datos & )ue adems sea

cil de construir & manipular. Por su sencille0 & operati#idad los polinomios seusan recuentemente como unciones interpolantes.

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+nidad 5 -Interpolación

5.1 Polinomio de interpolación de Newton%s un m*todo de interpolación polinómica. un)ue sólo e(iste un 'nico polinomio )ue

interpola una serie de puntos e(isten dierentes ormas de calcularlo. %ste m*todo es 'til para

situaciones )ue re)uieran un n'mero ba$o de puntos para interpolar &a )ue a medida )ue

crece el n'mero de puntos tambi*n lo ace el grado del polinomio.

%(isten ciertas #enta$as en el uso de este polinomio respecto al polinomio interpolador de

La6range. Por e$emplo si uese necesario a7adir alg'n nue#o punto o nodo a la unción tan

sólo abr!a )ue calcular este 'ltimo punto dada la relación de recurrencia e(istente &

demostrada anteriormente.

8einición anal!tica

8ados n91 escalares distintos & n+1 escalares ,iguales ó distintos/ w:w1;wn se deine el polinomio interpolador en la orma<

"iendo c:;.cn as coordenadas del polinomio & la e(presión anterior del polinomiointerpolador la conocida como dierencias di#ididas.

=eniendo en cuenta )ue e(iste una unción p tal )ue p,0i/>wi & aciendo sucesi#amente<

"e llega a<

Con los siguientes polinomios<

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Las 8i satisacen la relación de recurrencia<

? inalmente se obtiene el #ector con lo )ue se puede

escribir el polinomio interpolador de Newton en unción de la nue#a base C de la orma )ue

sigue<

5.2 Polinomio de interpolación de Lagrange%n anlisis num*rico el polinomio de Lagrange llamado as! en onor a @osepALouis deLagrange es una orma de presentar el polinomio )ue interpola un con$unto de puntos dado.Lagrange publicó este resultado en 15 pero lo descubrió %dward Daring en 1 & ueredescubierto ms tarde por Leonard %uler en 1E3. 8ado )ue e(iste un 'nico polinomiointerpolador para un determinado con$unto de puntos resulta algo enga7oso llamar a estepolinomio el polinomio interpolador de Lagrange. +n nombre ms apropiado es interpolaciónpolinómica en la forma de Lagrange.

8einición

8ado un con$unto de k 9 1 puntos

8onde todos los x j se asumen distintos el polinomio interpolador en la forma deLagrange es la combinación lineal

8e bases polinómicas de Lagrange

& la #ersión de segundo orden es<

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,24/

al igual )ue en el m*todo de Newton la #ersión de Lagrange tiene un error

apro(imado dado por<

,25/

La ecuación ,21/ se deri#a directemente del polinomio de Newton. "in embargola ra0on undamental de la ormulación de Lagrange se puede comprender directamente notando )ue cada t*rmino Li(X) ser 1 en X=Xi & 0 en todos losdems puntos.

Por lo tanto cada producto Li(X) f(Xi) toma un #alor de f(Xi) en el punto Xi . Por

consiguiente la sumatoria de todos los productos dada por la ecuación ,21/ es el'nico polinomio de nA*simo orden )ue pasa e(actamente por los n91 puntos.

La resolución de un problema de interpolación lle#a a un problema de lgebra lineal en el cualse debe resol#er un sistema de ecuaciones. +sando una base monómicaestndar paranuestro polinomio interpolador llegamos a la matri0 de Fandermonde. %ligiendo una basedistinta la base de Lagrange llegamos a la orma ms simple de matri0 identidad > Gi j )uepuede resol#erse inmediatamente.

%$emplo<

Hsese un polinomio de interpolación de Lagrange de primer & segundo orden parae#aluar ln 2en base a los datos<

i X f(X)

: 1.: :.::: ::::

1 4.: 1.3E 244

2 .: 1.1 55

"olución<

%l polinomio de primer orden es<

& por lo tanto la apro(imación en J > 2 es

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https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_mon%C3%B3mica&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kroneckerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kroneckerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kroneckerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kroneckerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kroneckerhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_mon%C3%B3mica&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kronecker


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de manera similar el polinomio de segundo orden se desarrolla como<

Como se e(presaba ambos resultados son similares a los )ue se obtu#ieronpre#iamente usando la interpolación polinomial de Newton.

%n resumen para los casos en donde el orden del polinomio se descono0ca elm*todo de Newton tiene #enta$as debido a )ue proundi0a en el comportamientode las dierentes órmulas de orden superior. dems la apro(imación del error dada por la ecuación ,2:/ en general puede integrarse cilmente en los clculosde Newton &a )ue la apro(imación usa una dierencia di#idida. 8e esta ormadesde el punto de #ista de clculo a menudo se preiere el m*todo de Newton.

Cuando se #a a lle#ar a cabo sólo una interpolación ambos m*todos el deNewton & el de Lagrange re)uieren de un esuer0o de clculo similar. "in

embargo la #ersión de Lagrange es un poco ms cil de programar. =ambiene(isten casos en donde la orma de Newton es ms susceptible a los errores deredondeo. 8ebido a esto & a )ue no se re)uiere calcular & almacenar dierenciasdi#ididas la orma de Lagrange se usa a menudo cuando el orden del polinomiose conoce a priori .

5.3 Interpolación segmentada.

%sta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines.

La idea central es )ue en #e0 de usar un solo polinomio para interpolar los datos

podemos usar segmentos de polinomios & unirlos adecuadamente para ormar nuestra interpolación. Cabe mencionar )ue entre todas las splines c'bicas an

resultado ser las ms adecuadas para aplicaciones como la mencionada

anteriormente. s! pues podemos decir de manera inormal )ue una uncion

spline est ormada por #arios polinomios cada uno deinido en un inter#alo & )ue

se unen entre si ba$o ciertas condiciones de continuidad.

%l t*rmino KsplineK ace reerencia a una amplia clase de unciones )ue son

utili0adas en aplicaciones )ue re)uieren la interpolación de datos o un sua#i0ado

de cur#as. Los splines son utili0ados para traba$ar tanto en una como en #ariasdimensiones. Las unciones para la interpolación por splines normalmente se

determinan como minimi0adores de la aspere0a sometidas a una serie de

restricciones.

Interpolación segmentaria lineal

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%n *l #amos a interpolar una unción ,(/ de la )ue se nos dan un n'mero N depares ,(,(// por los )ue tendr )ue pasar nuestra unción polinómica P,(/. %staserie de unciones nuestras #an a ser lineales esto es con grado 1< de laorma P(x) = ax + b.

8einiremos una de estas unciones por cada par de puntos ad&acentes asta un

total de ,NA1/ unciones aci*ndolas pasar obligatoriamente por los puntos )ue#an a determinarlas es decir la unción P,(/ ser el con$unto de segmentos )ue

unen nodos consecuti#os es por ello )ue nuestra unción ser continua en dicos

puntos pero no deri#able en general.

Ejemplo : Interpolar con splines ,(/ > 1 ( en los puntos en los )ue ( #ale 1 2 &

4

• ,1/ > 1

• ,2/ > :.5

• ,4/ > :.25

%l primer segmento P1,(/ > a( 9 b deber unir los primeros dos puntos de

coordenadas ,11/ & ,2:.5/. "urge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos

incógnitas<

• ,1/ 1>a9b

• ,2/ :.5>2a9b

8e ,1/ se obtiene<

a>1Ab ,3/

Meempla0ando ,3/ en ,2/ se obtiene<

:.5>2,1Ab/9b

luego

b>1.5

Meempla0ando el #alor de ,b/ en ,1/ se obtiene<

a > A :.5

Por lo tanto se conclu&e )ue< P1,(/ > A :.5( 9 1.5 %l segundo segmento P2,(/ >

a( 9 b deber unir el segundo punto ,2:.5/ con el tercer punto ,4:.25/.

nlogamente a lo eco para P1,(/ en el caso de P2,(/ se obtiene<

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1. ,1/ :.5 > 2a 9 b

2. ,2/ :.25 > 4a 9 b

a > A :.125 b > :.5

Luego P2,(/ > A :.125( 9 :.5

Interpolación segmentaria cuadrática

%n este caso los polinomios P,(/ a tra#*s de los )ue construimos el "pline tienengrado 2. %sto )uiere decir )ue #a a tener la orma P(x) = ax² + bx + c

Como en la interpolación segmentaria lineal #amos a tener NA1 ecuaciones

,donde N son los puntos sobre los )ue se deine la unción/. La interpolación

cuadrtica nos #a a asegurar )ue la unción )ue nosotros generemos a tro0os con

los distintos P,(/ #a a ser continua &a )ue para sacar las condiciones )ue a$usten

el polinomio #amos a determinar cómo condiciones<

• ue las partes de la unción a tro0os P,(/ pasen por ese punto. %s decir

)ue las dos Pn,(/ )ue rodean al ,(/ )ue )ueremos apro(imar sean igual a ,(/

en cada uno de estos puntos.

• ue la deri#ada en un punto siempre coincida para ambos KladosK de la

unción deinida a tro0os )ue pasa por tal punto com'n.

%sto sin embargo no es suiciente & necesitamos una condición ms. OPor )u*.

=enemos 3 incógnitas por cada P,(/. %n un caso sencillo con ,(/ deinida en trespuntos & dos ecuaciones P,(/ para apro(imarla #amos a tener seis incógnitas en

total. Para resol#er esto necesitar!amos seis ecuaciones pero #amos a tener tan

sólo cinco< cuatro )ue igualan el P,(/ con el #alor de ,(/ en ese punto ,dos por

cada inter#alo/ & la )uinta al igualar la deri#ada en el punto com'n a las dos P,(/.

"e necesita una se(ta ecuación Ode dónde se e(trae %sto suele acerse con el

#alor de la deri#ada en alg'n punto al )ue se uer0a uno de los P,(/.

Interpolación segmentica cubica

%n este caso cada polinomio P,(/ a tra#*s del )ue construimos los "plines en

QmnR tiene grado 3. %sto )uiere decir )ue #a a tener la orma P(x) = ax³ + bx² + cx

+ d

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%n este caso #amos a tener cuatro #ariables por cada inter#alo ,abcd/ & una

nue#a condición para cada punto com'n a dos inter#alos respecto a la deri#ada

segunda<

• ue las partes de la unción a tro0os P,(/ pasen por ese punto. %s decir

)ue las dos Pn,(/ )ue rodean al ,(/ )ue )ueremos apro(imar sean igual a ,(/

en cada uno de estos puntos.

• ue la deri#ada en un punto siempre coincida para ambos KladosK de la

unción deinida a tro0os )ue pasa por tal punto com'n.

• ue la deri#ada segunda en un punto siempre coincida para ambos KladosK

de la unción deinida a tro0os )ue pasa por tal punto com'n.

Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadrticos aora no

nos #a a altar una sino dos ecuaciones ,condiciones/ para el n'mero de

incógnitas )ue tenemos.

La orma de solucionar esto determina el carcter de los splines c'bicos. s!

podemos usar<

• Splines cúbicos naturales< La orma ms t!pica. La deri#ada segunda de

P se ace : para el primer & 'ltimo punto sobre el )ue est deinido el con$unto

de "plines esto son los puntos m & n en el inter#alo QmnR.

• 8ar los #alores de la deri#ada segunda de m & n de orma KmanualK en el

con$unto de splines deinidos en el inter#alo QmnR.

• Sacer iguales los #alores de la deri#ada segunda de m & n en el con$unto

de splines deinidos en el inter#alo QmnR

• Splines cúbicos sujetos< La deri#ada primera de P debe tener el mismo

#alor )ue las deri#ada primera de la unción para el primer & 'ltimo punto sobre

el )ue est deinido el con$unto de "plines esto son los puntos m & n en el

inter#alo QmnR.

5.4 Problemas de aplicación

Desde tiempos ancestrales el papel del ingeniero ha sido básicamente el mismo, tratar de

conocer e interpretar los mecanismos de la naturaleza para así poder modificarla al servicio

del hombre. Para ello ha utilizado sus conocimientos, intuición, experiencia y los medios

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naturales a los que en cada momento ha tenido disponibles. on el gran poder de cómputo

que se tiene en estos días, el ingeniero dispone de grandes venta!as para poder llevar a cabo

su misión y abordar cada día retos más ambiciosos en la solución de nuevos problemas,

cuyos aspectos políticos, económicos, científicos o tecnológicos pueden tener un mayor

impacto en la me!ora de la calidad de vida del hombre. "ncontramos así aplicaciones de los

m#todos num#ricos en los ámbitos más diversos desde sectores tecnológicos tan clásicos

como la ingeniería estructural o la aerodinámica de aviones, hasta aplicaciones más

sofisticadas como ingeniería de alimentos, ingeniería m#dica, dise$o de fármacos, biología,

etc.. "n la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los m#todos num#ricos y

su implementación en potentes computadoras, es posible, por e!emplo, modelar el choque

de un vehículo o hacer el análisis aerodinámico estructural de un avión, resolviendo en cada

caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varios cientos de miles %a veces de millones&

de incógnitas. 'e presentan a continuación algunas aplicaciones de los m#todos num#ricos

a diversos problemas de ingeniera. (odos estos m#todos los podemos ocupar para diferentes

áreas de la ingeniería como pueden ser en)

Mecánica de Fluidos) *na rama muy importante de la ingeniería, es el estudio de la

mecánica de fluidos, en donde las ecuaciones que gobiernan el fenómeno físico tienen

ciertas peculiaridades que las hacen difíciles de abordar desde el punto de vista num#rico.

+quí se presentan problemas de bloqueo num#rico de la solución y deben seguirse ciertas

alternativas para hacer abordable el problema. *n tipo de problemas que es interesantes

resolver es por e!emplo determinar las presiones que provoca el viento sobre

una estructura determinada.

*n estudio de ese tipo se realizó en el

observatorio astronómico de ran

anarias, construido por la

omunidad "conómica "uropea en

las -slas anarias 'e requería poder

determinar qu# deformaciones

produciría el viento sobre la estructura

del telescopio, pues se afectaría

seriamente la calidad de las observaciones que se realizarían. "n la igura pueden

observarse las líneas de corriente que sigue el viento al entrar en la estructura que cubre el

telescopio.

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Medios de Transporte: "n general, para la concepción y producción de un vehículo %ya

sea un automóvil, un avión o un barco& es muy com/n utilizar modelos num#ricos de

dinámica de fluidos para simular el comportamiento del vehículo en movimiento %ya sea en

tierra, en aire o en ambos&. "sto permite optimizar la forma geom#trica exterior del mismo

de manera que su resistencia al avance sea la mínima posible, lo que permitirá tener una

vida /til más larga, menor consumo de combustible, que sea menos contaminante, que sea

más ligero %más barato de producir&. Pero el estudio no termina ahí. 0os modelos

anteriormente descritos deben acoplarse con estudios que permitan el modelado de

situaciones extremas de servicio del vehículo que podrían afectar la seguridad de sus

ocupantes, tales como) choque, vuelco, aterriza!e forzoso, etc., lo que exige hacer uso de

modelos avanzados de dinámica estructural no lineal. Por otra parte, cada vez es más usual

utilizar simulaciones num#ricas para reproducir el ciclo de dise$o y fabricación de piezas

de los vehículos. "!emplos de estos procesos pueden encontrase en) la embutición, el

doblado y el corte de piezas de chapa para carrocerías y fusela!es1 el modelado de la

fabricación del monobloc2 de un motor, de una biela o de un pistón %problema termo3

mecánico con cambio de fase para modelar la solidificación del colado de la pieza&1 el

dise$o de me!ores sistemas de seguridad activos y pasivos en caso de colisión %refuerzos

estructurales, bolsas de aire, etc.&.

ConclusiónLos m*todos num*ricos & su aplicación computacional permite resol#er di#ersosproblemas !sicos en orma eiciente. La cantidad de problemas )ue se abordanaumenta d!a a d!a & la calidad de los resultados se a$usta ms a la realidad. Lacon$unción de las matemticas & los m*todos num*ricos a permitido abordar problemas de muco intereses tanto para la comunidad cient!ica como para )uela sociedad se #ea beneiciada de la aplicación de simulaciones num*ricas. Cadam*todo num*rico in#olucra unciones a las cuales nosotros debemos ele#ar a -ne(ponente as! poder saber lo )ue se est proponiendo dentro del problema en s!gracias a todos estos m*todos podemos encontrar respuestas a ciertas incógnitasas! poder satisacer tal necesidad. lo largo de este traba$o de in#estigaciónpodremos darnos cuenta de )ue cada uno de los temas son algo laboriosos eincluso aburridos pero cuando tenemos dicas #ariables listas para sustituirlas

dentro de la ormula podremos darnos cuenta de )ue es ms cil de lo )ueesperbamos. %speremos )ue este contenido a&a ser#ido para ustedes.

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Bibliogra!a

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