L. D. L A N D A U -E . M. LIFSIC

ELMLETI FIZIKA III

L. D. L A N D A U -E . M. LIFSIC

KVANTUMMECHANIKA

Nemrelativisztikus elmlet

T A N K N Y V K IA D , BUDAPEST, 1978

E G Y E T E M I S E G D K N Y VK I A D S T A Z O K T A T S I M I N I S Z T E R R E N D E L T E E L

A M E R E D E T I C M E :

T E O P E T W H E C K A fl O M 3M K A K B A H T O B A M E X A H H K A

H E P E JT T H B M C T C K A ^ T E O P M flH3flATEJTfeCTBO H AYKA

MOCKBA, 1974

H 3 A T E JII> C T B O H A Y K A M O C K B A , 1974

A F O R D T S jA M H A R M A D I K ,L. P P I T A J E V S Z K I J K Z R E M K D S V E L

T D O L G O Z O T T S B V T E T T O R O S Z K I A D S A . A L A P J N K S Z L T

F O R D T O T T A :

B O S C H N P T E RT U D O M N Y O S M U N K A T R S ,

A F I Z I K A I T U D O M N Y O K K A N D I D T U S A

K O N T R O L L S Z E R K E S Z T :

N A G Y T IB O RT U D O M N Y O S M U N K A T R S .

A F I Z I K A I T U D O M N Y O K K A N D I D T U S A

S Z E R K E S Z T E T T E :

M O L D O V N Y 1 G Y U L A

ISBN 963 17 3259 2

L. D. L A N D A U S E. M. L 1 F S I C , M O S Z K V A , 1 9 7 #

B O S C H N P T E R . B U D A P E S T , 197 8 , H U N G A R I A N T R A N S L A T I O N

I

E L SZ A H A R M A D IK K IA D S H O Z

E ktet megelz kiadsa volt az utols knyv, amelyen egytt dolgozhattam mesteremmel, L. D. Landauval. A kkor a ktet csaknem valamennyi fejezett tdolgoztuk s kibvtettk.

Termszetes, hogy ez az j kiads lnyegesen kevesebb tdolgozott rszt tartalmaz. M indazonltal gy sok j anyag kerlt a knyvbe (gyakran feladat formjban): rszben az utbbi vekben elrt egyes eredmnyek, rszben pedig nhny olyan rgebbi eredmny, mely az utbbi vekben kerlt az rdeklds kzppontjba.

A z elmleti fizika fegyvertrnak csodlatos ismerete lehetv tette Landau szmra, hogy az eredmnyek egsz sort, az eredeti munkktl fggetlenl, a sajt eszkzeivel kapja meg. Ez az oka annak, hogy a knyvbl hinyoznak bizonyos igen fontos hivatkozsok; it t m ost megksreltem ezek ptlst. Ugyanakkor magra L. D. Landaura is hivatkoztam olyan helyeken, ahol tle szrmaz, mshol nem publiklt eredmnyek vagy mdszerek kerlnek eladsra.

M int a sorozat tbbi ktetnek j kiadsnl, most is sok bartom nyjtott segtsget, rm utatva a korbbi kiadsokban elfordul pontatlansgokra vagy valamilyen kiegszts szksgessgre. E ktetben tbb helyen figyelembe vettem A. M. Brodszkij, G. F. Drukarjov, I. G. Kaplan, V. P. Krajnov, J. B. Levinszon, P. E. Nyemirovszkij, V. L. Pokrovszkij, 1 .1. Szobelman s I. Sz. Sapiro tancsait; valamennyiknek szinte ksznett mondok.

A ktet j kiadsval kapcsolatos m unkt L . P . Pitajevszkij szoros k z r e m k dsvel vgeztem. Szemlyben olyan m unkatrsra talltam , aki ugyancsak a Landau- iskolhoz tartozik, s akivel ugyanazokrt a tudomnyos idelokrt lelkesednk.

A Szovjetuni Tudomnyos Akadmijnak Fizikai Kutat Intzete,Moszkva, 1973 novemberben

E. M . L ifsic

AZ ELS K IA D S ELSZAVBL

Az Elmleti fizika sorozat jelen ktetnek trgya a kvantummechanika. A tma hatalmas terjedelme miatt clszernek ltszott az anyagot kt rszre osztani. A most megjelen els rsz a nemrelativisztikus elmletet tartalmazza, a relativisztikus elmlet a msodik rsz trgya lesz.

A relativisztikus elmlet kifejezst a legtgabb rtelemben hasznljuk: ide tartozik minden olyan kvantumos jelensg, mely lnyegesen fgg a fnysebessgtl. Ennek megfelelen a trgyals nemcsak a Dirac-elmletet s az azzal kapcsolatos problmkat leli fel, hanem a sugrzs teljes kvantumelmlett is.

A kvantummechanika alapjainak ismertetsn kvl a knyvben sok alkalmazst is adunk jval tbbet, mint ltalban az kvantummechanikai knyvekben szoksos. Kihagytuk azonban azokat a krdseket, amelyeknek trgyalsa sorn a ksrleti adatok rszletes analzisre lenne szksg; ez elkerlhetetlenl tlvezetne a knyv keretein.

A felvetett konkrt krdseket a lehet legrszletesebben trgyaljuk. Ezri feleslegesnek tartjuk az eredeti mvekre val hivatkozst, megelgsznk a szerz nevnek feltntetsvel.

M int az elz ktetben, most is arra treksznk, hogy az ltalnos krdsek t rgyalsa sorn a lehet legvilgosabban kidombortsuk az elmlet fizikai lnyegt, s ennek alapjn dolgozzuk ki a matematikai mdszereket. Ez klnsen a knyv els szakaszaira vonatkozik, melyekben a kvantummechanikai opertorok ltalnos tulajdonsgait taglaljuk. A lineris opertorokra rvnyes matematikai ttelekbl kiindul, szoksoss vlt trgyalsi mddal ellenttben a fizikai krdsfeltevsbl szrmaztatjuk az opertorokra s sajtfggvnyekre vonatkoz matematikai kvetelmnyeket.

Lehetetlen nem szrevenni, hogy sok kvantummechanika tanknyv trgyalsmdja lnyegesen bonyolultabb, mint az eredeti munkk. Br az ilyen trgyalsmdot az ltalnossg s szigorsg hangoztatsval vdik, figyelmesen vizsglva knnyen belthat, hogy mindkt indok olyan mrtkben illuzrikus, hogy a szigor

ttelek jelents rsze egyszeren hibs. Az eladsmd ilyenfle elbonyoltst teljesen indokolatlannak tekintjk, ezrt mi, ezzel ellenttben, egyszersgre treksznk, s sokszor visszanylunk az eredeti munkkhoz.

Nhny pusztn matematikai rszletet a knyv vgn a Matematikai kiegsztsben foglalunk ssze, hogy ezzel lehetleg ne trjk meg a trgyals folyamatossgt. Ez a kiegszts kziknyvptl clokat is szolgl.

Moszkva, 1947. mjus.

L. D. L a n d a u , E. M. L ifsic

N H N Y JE L L S

Az opertorok betje fl kalapot tesznk :/ .Trfogatelem :

a koordintatrben dV, a konfigurcis trtin dq, az impulzustrben cPp. A z / mennyisg mtrixeleme (defincija a 44. oldalon tallhat): vagy ( | / | tmenet frekvencija:K t opertor kom m uttora: { /,g} = f g gf- H am ilton-opertor: f t .A hullmfggvny fziseltoldsa: 6 /.Az atom i s a Coulomb-egysgek defincijt 1. a 150. oldalon.A vektor- s tenzorindexeket az i, k , I latin betkkel jelljk.Antiszimmetrikus egysgtenzor: em (defincijt lsd a 110. oldalon). Nagysgrendi egyenlsg je le : ~Arnyossg je le : co Kzelt egyenlsg je le : as

. F E J E Z E T

A K V A N T U M M E C H A N IK A A L A PF O G A L M A I

1. . A hatrozatlansgi elv

A klasszikus mechanikt s elektrodinam ikt atom i jelensgekre alkalmazva, lesen szembekerlnk a tapasztalattal. Ez vilgosan lthat mr abbl az ellentmondsbl is, amely akkor addik, ha a klasszikus elektrodinam ikt a mag krl klasszikus plyn kering elektronokkal modellezett atom ra alkalmazzuk. Ilyen mozgs esetn, mint tltsek gyorsul mozgsnl ltalban, az elektronoknak llandan elektromgneses sugrzst kellene kibocstaniuk. A sugrzs kvetkeztben az elektronok energit vesztennek, s vgl is a magba esnnek. gy teht a klasszikus elektrodinamika szerint az atom instabil lenne, ami semmikppen sem felel meg a valsgnak.

Az elmlet s a tapasztalat kztt fennll ilyen mly ellentmonds azt mutatja, hogy az atom i jelensgeket a tr nagyon kis tartomnyban lejtszd, nagyon kis tmeg rszecskkkel kapcsolatos jelensgeket ler elmlet kidolgozsa a klasszikus alapfogalmak s trvnyek mlyrehat megvltoztatst teszi szksgess.

E vltoztatsok megvilgtsra egy ksrletileg megfigyelhet jelensgbl, az n. elektrondiffrakcibl clszer kiindulni.1 A tapasztalat szerint egy homogn elektronnyalbot kristlyon tbocstva, a tovbbhalad nyalbban intenzitsminimumok s -maximumok vltakoznak, pontosan gy, mint az elektromgneses hullmok elhajlsa sorn. gy teht, bizonyos esetekben, anyagi rszecskk elektronok hullmjelensgekre jellemz tulajdonsgokat mutatnak.

Hogy ez a jelensg milyen mly ellentmondsban ll a mozgsrl alkotott szoksos elkpzelssel, mindennel vilgosabban lthat a kvetkez gondolatksrletbl, mely az elektron kristlyrcson val elhajlsnak leegyszerstett modellje. Vegynk egy, az elektronok szmra tjrhatatlan ernyt, melyen kt nyls van. Az ernyre elektronnyalbot2 bocstunk, s az egyik rst elzrjuk. Az erny m gtt elhelyezett

1 A z elektronelhajls jelensgt a valsgban a kvantummechanika megalkotsa utn fedeztk fel. Mi azonban nem ragaszkodunk az elmlet fejldsnek trtnelmi sorrendjhez, hanem gy fogjuk azt felpteni, hogy a lehet legvilgosabban megmutassuk, hogyan kapcsoldnak a kvantummechanika elvei a ksrletileg megfigyelhet jelensgekhez.

2 Felttelezzk: a nyalb olyan ritka, hogy a rszecskk klcsnhatsa nem jtszik szerepet.

12 I. FEJEZET. A K VANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALMAI

msodik ernyn valamilyen intenzitseloszlst figyelhetnk meg; ms intenzitseloszls addik, ha a msodik rst zrjuk el, s az elst nyitjuk ki. A mindkt rs kinyitsakor kialakul elhajlsi kpet vizsglva, egyszer megfontolsok alapjn azt vrjuk, hogy a kialakul kp a kt megelznek egymsra helyezsvel addik: a sajt plyjn mozg elektron thalad az egyik rsen, s nem fejt ki semmilyen hatst a msik nylson thalad elektronra. Az elektronelhajls jelensge abban ll, hogy a valsgban az ernyn kialakul kp az interferencia m iatt lnyegesen eltr az egyes rsek ltal adott kpek sszegtl. Nyilvnval, hogy ez az eredmny sehogy sem egyeztethet ssze az elektronok m eghatrozott plyn val mozgsrl alkotott elkpzelsekkel.

gy teht az atomi jelensgeket ler mechanika az gynevezett hullm- vagy kvantummechanika a klasszikus mechanikai elkpzelsektl jelentsen eltr mozgsfogalombl kiindulva ptend fel. A kvantummechanikban nem ltezik a rszecskk plyjnak fogalma. Ez a krlmny a lnyegi tartalm a a W. Heisenberg ltal 1927-ben fellltott hatrozatlansgi elvnek, mely a kvantummechanika egyik alapelve.3

A klasszikus mechanika szoksos fogalmait elutast hatrozatlansgi elvnek negatv a tartalm a; nmagban nem lehet elegend arra, hogy a rszecskk j mechanikjnak alapjul szolgljon. Termszetes, hogy egy ilyen elmlet csak pozitiv lltsokra pthet, ezeket a kvetkezkben (2,) fogjuk vizsglni. Ahhoz azonban, hogy lltsainkat megfogalmazhassuk, elzetesen tisztznunk kell a kvantummechanikai krdsfeltevs jellegt. E clbl mindenekeltt a kvantum- s a klasszikus mechanika egymshoz val viszonynak sajtos jellegvel kell foglalkoznunk.

Egy ltalnos elmlet rendszerint logikailag zrt mdon megfogalmazhat, a sz- kebb rvny, belle hatresetknt add elmlettl fggetlenl. gy pldul a relativisztikus mechanika felpthet a sajt elvei alapjn, a newtoni mechanikra val utals nlkl. A kvantummechanika alaptteleinek megfogalmazsa azonban elvileg lehetetlen a klasszikus mechanikra val hivatkozs nlkl.

Az, hogy az elektronnak4 nincs m eghatrozott plyja, m r magban azt jelenti, hogy ms dinamikai jellemzi sem lehetnek .5 Nyilvnval ezrt, hogy tisztn kvantu

3 rdekes, hogy a kvantummechanika teljes matematikai appartust W. Heisenberg s . Sclu- dmger az 1925 1926-os vekben alkotta meg, teht a komplementarits elvnek felfedezse eltt, mely feltrta e matematikai appartus fizikai tartalmt.

4 Ebben a paragrafusban ppgy, mint a kvetkezkben, a rvidsg kedvrt elektronrl beszlnk, tetszleges kvantumobjektumot, teht olyan rszecskt vagy rszecskerendszert rtve ezen, mely a kvantummechaniknak, nem pedig a klasszikus mechaniknak engedelmeskedik.

Az elektron mozgst jellemz mennyisgekrl van sz, nem pedig azokrl a mennyisgekrl paramterekrl , amelyek az elektront mint rszecskt jellemzik (tlts, tmeg).

l. . A HATROZATLANSGI ELV 13

mos objektumokbl ll rendszer esetn nem lehetne egy logikailag zrt mechanikt felpteni. Az elektron mozgsnak szmszer lersra csak akkor van lehetsg, ha lteznek a klasszikus mechanika trvnyeinek elegend pontossggal eleget tev trgyak is. Ha az elektron klcsnhatsba lp egy klasszikus trggyal , akkor ez utbbi llapota ltalban megvltozik. E vltozs jellege s nagysga fgg az elektron llapottl, ezrt annak mennyisgi jellemzsre hasznlhat.

Ebben az sszefggsben a klasszikus trgyat ltalban mszernek , a trgy s az elektron klcsnhatsnak folyamatt pedig mrsnek szoks nevezni. Hangslyozni kell azonban, hogy semmikppen sem olyan mrsi folyamatra gondolunk, amelyben fizikus-megfigyel rszt vesz. A kvantummechanikban minden olyan folyamat mrsnek szmt, amely klasszikus s kvantumos objektum kztti klcsnhatssal jr, fggetlenl attl, hogy tudom st vesz-e rla, vagy kzremkdik-e benne brmifle megfigyel. A mrs fogalmnak a kvantummechanikban jtszo tt rendkvl fontos szerept N. Bohr tisztzta.

A mszert gy definiltuk, mint a klasszikus mechanika trvnyeinek elegend pontossggal engedelmesked fizikai objektum ot. Ilyen pldul egy elegenden nagy tmeg test. Nem szabad azonban azt gondolnunk, hogy a mszer okvetlenl makroszkopikus. Bizonyos krlmnyek kztt a mszer szerept mikroszkopikus objektum is betltheti, minthogy az elegend pontossg fogalma a konkrt feladattl fgg. Pldul egy elektron Wilson-kamrban val mozgst az ltala kivltott kdnvom megfigyelsvel kvetjk, amelynek vastagsga nagy az atomi mretekhez kpest; a plynak ilyen pontossggal val meghatrozsa esetn az elektron klasszikus objektum nak tekinthet.

A kvantummechanika teht sajtos helyet foglal cl a fizikai elmletek kztt a klasszikus mechanikt hatresetknt tartalmazza, ugyanakkor mr megalapozsnl szksg van erre a hatresetre.

Most m r meghatrozhatjuk a kvantummechanika feladatkrt. A tipikus feladat egy megismtelt mrs eredmnynek megjslsa a korbbi mrsek eredmnyeinek ismeretben. Ezenkvl, mint a ksbbiekben ltni fogjuk, a kvantummechanika, a klasszikushoz kpest, ltalban korltozza a klnbz fizikai mennyisgek (pl. energia) lehetsges rtkeinek tartom nyt, vagyis az illet fizikai mennyisg mrsekor kapott lehetsges eredmnyeket. A kvantummechanika matematikai apppartus- tl elvrjuk, hogy lehetv tegye e megengedett rtkek meghatrozst.

A kvantummechanikban a mrsi folyamat rendkvl lnyeges sajtsga, hogy mindig hatssal van a mrsnek kitett elektronra, s ez a hats, elrt mrsi pontossg mellett, elvileg sem tehet tetszlegesen kicsiv. Minl pontosabb a mrs, annl ersebb az ltala kifejtett hats, s csak nagyon kis mrsi pontossg megkvetelse esetn lehet gyenge a mrsnek a trgyra val hatsa. A mrs e sajtsga logikai kapcsolatban ll azzal, hogy az elektron dinamikai jellemzi csak m agnak a mrsnek eredmnyeknt jelennek meg; nyilvnval, hogy ha a mrsi folyamatnak az

14 I. FEJEZET. A KVANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALM AI

objektum ra val hatst tetszs szerint kicsiv tehetnnk, ez azt jelenten, hogy magnak a mrt mennyisgnek a mrstl fggetlenl m eghatrozott rtke van.

A klnbz tpus mrsek kztt lnyeges szerepet jtszik az elektron koordintinak meghatrozsa. A kvantummechanika alkalmazhatsgnak hatrain bell az elektron koordintinak mrst tetszleges pontossggal elvgezhetjk.6

Tegyk fel, hogy meghatrozott A t idnknt megmrjk az elektron koordintit. Az eredmnyek ltalban nem fekszenek egy sima grbn. Ellenkezleg, minl pontosabb a mrs, az eredmnyek annl jobban szrnak, annl rendezetlenebbek, annak megfelelen, hogy az elektronplya fogalom nem ltezik. Tbb-kevsb sima plya csak abban az esetben addik, ha az elektron koordintit kis pontossggal hatrozzuk meg, m int pldul a Wilson-kamrban kicsapdott pracseppek megfigyelse esetn.

H a lland mrsi pontossg mellett a mrsek kztt eltelt At idtartam ot cskkentjk, akkor a szomszdos mrsek eredmnye termszetesen kzel esik egymshoz. Azonban, br az egymst kvet mrsek sorozatnak eredmnyei kis trrszbe esnek, e trrszen bell teljesen rendezetlenl helyezkednek el, semmikppen sem rajzolnak ki egy sima grbt. Specilisan, ha At ta rt nullhoz, a kzeli mrsek eredmnyei egyltaln nem tartanak egy egyeneshez.

Ez utbbi krlmny azt m utatja, hogy a kvantummechanikban nem ltezik a rszecske sebessgnek fogalma a sz klasszikus rtelmben, azaz mint az a hatrrtk, amelyhez kt idpillanatban mrt koordinta klnbsgnek s az idpillanatok kzt eltelt idtartam nak a hnyadosa tart. A tovbbiakban ltni fogjuk azonban, hogy a kvantummechanikban sszer mdon definilhat a rszecske sebessge adott idpillanatban gy, hogy az a klasszikus mechanikra val ttrs sorn tm enjen a klasszikus sebessgbe.

Mg azonban a klasszikus mechanikban egy rszecske brmely adott idpontban meghatrozott koordintkkal s sebessggel rendelkezik, a kvantummechanikban egszen ms a helyzet. Ha az elvgzett mrs eredmnyeknt az elektron koordinti m eghatrozott vlnak, akkor nem lesz meghatrozott sebessge. Fordtva, ha az elektron sebessge m eghatrozott, nem lehet a trben meghatrozott helyzete. Valban, ha brmely idpontban az elektronnak egyszerre lenne helye s sebessge, ez meghatrozott plya ltt is jelenten, amivel az elektron nem rendelkezik. A kvantummechanikban teht az elektron koordintja s sebessge nem mrhetk meg egyidejleg pontosan, azaz nem lehet egyidejleg meghatrozott rtkk. Azt mondhatjuk, hogy az elektron koordinti s sebessge olyan mennyisgek, amelyek nem

6 Mg egyszer hangslyozzuk, hogy elvgzett mrsrl beszlve, mindig az elektron s a klasz- szikus mreszkz klcsnhatsra gondolunk, fggetlenl brmifle kvlll megfigyel jelenlttl.

l . . A HATROZATLANSGI ELV 15

lteznek egyszerre. Ksbb levezetjk az egy idpontban elvgzett koordinta- s sebessgmrs lehetsges pontossga kztti sszefggst.

A fizikai rendszer teljes lersa a klasszikus mechanikban az sszes koordinta s sebessg egyidej megadsval valsthat meg; a kezdrtkek alapjn a mozgsegyenletek teljesen meghatrozzk a rendszer viselkedst minden ksbbi idpontban. A kvantummechanikban ilyen lers elvileg lehetetlen, minthogy a koordintk s a nekik megfelel sebessgek nem lteznek egyidejleg. gy egy kvantummechanikai rendszer llapott kevesebb mennyisg rja le, mint a klasszikust, a lers kevsb rszletes, mint a klasszikus esetben.

Ennek nagyon fontos kihatsai vannak a kvantummechanika kvetkeztetseinek jellegt illeten. Mg a klasszikus lers lehetv teszi, hogy teljes pontossggal megjsoljuk a mechanikai rendszer tovbbi mozgst, a kvantummechanika kevsb rszletes lersa nyilvnvalan nem lehet elegend erre. Ez azt jelenti, hogy ha az elektron a kvantummechanikban lehetsges legteljesebb mdon lert llapotban van, a kvetkez idpillanatokban val viselkedse elvi okokbl nem egyrtelm. A kvantummechanika ezrt nem tehet szigor kijelentseket az elektron jvbeni viselkedsre vonatkozan. Ha az elektron kezdeti llapota adott, a ksbb elvgzett mrsek klnbz eredmnyre vezethetnek. A kvantummechanika feladata csupn a mrs sorn add egyik vagy msik eredmny valsznsgnek meghatrozsa. Termszetes, hogy bizonyos esetekben egy mrs valamelyik eredmnynek valsznsge egysgnyi is lehet, azaz bekvetkezse bizonyos lehet, ilyenkor az adott mrs eredmnye egyrtelm.

A kvantummechanikai mrsi folyamatok kt csoportra oszthatk. Az egyikbe, mely a mrsek nagy rszt magban foglalja, azok tartoznak, amelyek a rendszer semmilyen llapotban sem vezetnek biztosan egyrtelm eredmnyre. A msodikba azok a mrsek tartoznak, amelyek esetben minden lehetsges eredmnyhez van olyan llapot, melyben biztosan az illet eredmnyt kapjuk. ppen ez utbbi mrsek, amelyeknek az eredmnye elrelthat, jtszanak igen lnyeges szerepet a kvantum- mechanikban. Az llapotnak ilyen mrsekkel meghatrozott kvantitatv jellemzi testestik meg azt, amit a kvantummechanikban fizikai mennyisgnek neveznk. Ha egy bizonyos llapotban a mrs biztosan egyrtelm eredmnyre vezet, akkor azt mondjuk, hogy ebben az llapotban az illet fizikai mennyisgnek meghatrozott rtke van. A kvetkezkben a fizikai mennyisg kifejezst mindentt a fenti rtelemben hasznljuk.

Ksbb ltni fogjuk, hogy a kvantummechanikban tvolrl sem teljesl az, hogy a fizikai mennyisgek brmely csoportja egyidejleg mrhet, azaz egyidejleg meghatrozott az rtke (egy pldrl az elektron sebessgrl s koordintirl mr beszltnk).

A kvantummechanikban fontos szerepet jtszanak a fizikai mennyisgek albbi tulajdonsg rendszerei: a rendszert alkot mennyisgek egyidejleg mrhetk, s ha

16 ], FEJEZET. A K V A N T U M ME C H A N I K A A LA P FO GA LM AI

egyidejleg m eghatrozit az rtkk, akkor mr ms fizikai mennyisgnek (mely nem a fentiek fggvnye) nem lehet meghatrozott rteke az adott llapotban. A fizikai mennyisgek ilyen egyttest a fizikai mennyisgek teljes rend szernek nevezzk.

Az elektron llapotnak minden lersa valamilyen mrsi folyamat eredmnye. Most megfogalmazzuk, mit jelent az llapot teljes lersa a kvantummechanikban. A fizikai llapotot teljesen a fizikai mennyisgek teljes rendszernek egyidej mrsvel rjuk le. Specilisan, egy ilyen mrs eredmnyei alapjn megadhat minden ksbbi mrs lehetsges eredmnyeinek valsznsge, fggetlenl mindattl,, ami az elektronnal az els mrs eltt trtnt.

A ksbbiekben a kvantummechanikai rendszer llapotn mindentt (a 14. kivtelvel) a fenti rtelemben teljesen lert llapotokat rtjk.

2. . A szuperpozci elve

A mozgsrl alkotott elkpzelsnek a klasszikusrl a kvantummechanikra val ttrssel kapcsolatos gykeres vltozsa megkveteli az elmlet matematikai appartusnak ugyanilyen mlyrehat vltoztatst. Ezzel kapcsolatban elszr is felmerl a kvantummechanikai llapotlers mdjnak krdse.

Jelljk g-val a kvantummechanikai rendszer koordintinak sszessgt. dq-\al pedig e koordintk differenciljainak szorzatt (ezt a rendszer konfigurcis trbeli trfogatelemnek nevezzk); egyetlen rszecske esetn ckf megegyezik a dV kznsges trfogatelemmel.

A kvantummechanika matematikai appartusnak alapja az az llts, hogy a rendszer llapota lerhat a koordintk meghatrozott (ltalban komplex) KI \q \ fggvnyvel, s ennek abszoltertk-ngyzete meghatrozza a koordintartkek valsznsgnek eloszlst: j lP[- dq annak a valsznsge, hogy a rendszeren vgrehajtott mrs a koordintartkeket a konfigurcis tr dq elemben tallja. A V' fggvnyt a rendszer hidlmj'ggvnynek (vagy llapotfggvnynek) nevezzk.7

A hullmfggvny ismeretben elvben kiszmthat brmely mrs (nem okvetlenl koordintamrs) eredmnynek valsznsge. Valamennyi valsznsg V/-ben s '//4,-ban bilineris kifejezs formjban addik. Egy ilyen kifejezs legltalnosabb a lakja:

j J Hf{q) HJ*(q)

2.. A SZUPERPOZCI ELVE 17

gurcis trre ki kell terjeszteni. A klnbz koordintartkek valsznsge maga is ilyen tpus kifejezs.8

A rendszer llapota s vele egytt a hullmfggvny is ltalban idben vltozik. Ebben az rtelemben XP az idtl is fgg fggvnynek tekinthet. Ha a hullmfggvny ismert valamilyen kezdeti idpillanatban, akkor a teljes llapotlers fogalmnak neim bl kvetkezen, elvben minden ksbbi idpontban is meghatrozott. A hullmfggvny tnyleges idfggst ksbb levezetend egyenletek hatrozzk meg.

A koordintk valamennyi lehetsges rtknek valsznsgre vett sszeg definciszeren egysgnyi. Ezrt !V/ |2-nek az egsz konfigurcis trre vett integrlja eggyel egyenl;

j \ ' l ' [ * d q = 1. (2,2)Ez az egyenlsg a hullmfggvny normlsi felttele, Ha ! 'Z7!2 integrlja konvergl, akkor megfelel lland szorz megvlasztsval elrhet, hogy a ^ fggvny , mint mondani szoks, normlt legyen. Ltni fogjuk azonban, hogy \ W\- integrlja diverglhat, ekkor a (2 ,2 ) felttellel nem normlhat. Ilyen esetekben termszetesen p / 'j2 nem adja meg a koordintk valsznsgnek abszolt nagysgt, a konfigurcis tr kt klnbz pontjban kiszmtott \ '*\- rtekek hnyadosa azonban meghatrozza a megfelel koordintk relatv valsznsgt.

A hullmfggvny segtsgvel kiszmthat, kzvetlen fizikai jelentssel br valamennyi mennyisg (2 ,1) alak, vagyis V* mindig V/+-gal szorozva jelenik meg; ezrt nyilvnval, hogy a normlt hullmfggvny csak egy e,% fzisszorz erejig hatrozott, ahol y. tetszleges vals szm.

A kvantummechanika pozitv tartalm nak alapjul egy sor, a hullmfggvny tulajdonsgaira vonatkoz llts szolgl. Ezek az albbiakban foglalhatk ssze.

Tegyk lel, hogy a hullmfggvnnyel jellemzett llapotban elvgzett mrsbiztosan m eghatrozott eredmnyre jelljk l-gyel vezet, a xP

18 I. FEJEZET. A K VANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALMAI

hogy a hullmfggvnyre vonatkoz valamennyi egyenlet szksgkppen lineris '-ben .

Tekintsnk egy kt rszbl ll rendszert, s tegyk fel, hogy llapott a kt rsz llapotnak teljes lersval adtuk meg.9 Ekkor belthat, hogy az els rsz q x koordintinak valsznsge fggetlen a msodik rsz q 2 koordintinak valsznsgtl, s ezrt a rendszer egsznek valsznsgeloszlsa egyenl a rszek valsznsgeloszlsainak szorzatval. Ez azt jelenti, hogy a rendszer W-ufau is ) hullmfggvnye a kt rsz, '1(171) s ^ ( t fa ) hullmfggvnynek szorzataknt rhat fel:

V n iq u

3. . OPERTOROK 1 9

foglalkozunk; a folytonos spektrum esett az 5.-ban vizsgljuk meg. A z/ mennyisg sajtrtkeit /,-n e l jelljk, ahol n a 0 , 1, 2, 3, . . . rtkeket veszi fel. Jelljk ^-nel a rendszer hullmfggvnyt abban az llapotban, am elyben/rtke Jn. A Wn hullm- fggvnyt az adott /f iz ik a i mennyisg sajtfggvnynek nevezzk. Feltesszk, hogy az sszes ilyen fggvny norm lt, vagyis

Ha egy rendszer tetszleges, F hullmfggvnnyel jellemzett llapotban van, s a rendszeren az / mennyisg meghatrozsa cljbl mrst hajtunk vgre, eredmnyl az f n sajtrtkek egyikt kapjuk. A szuperpozci elvnek megfelelen azt mondhatjuk, hogy a W hullmfggvny azoknak a W sajtfggvnyeknek lineris kombincija, amelyeknek megfelel f n sajtrtk a F llapotban lev rendszeren elvgzett mrs sorn nulltl klnbz valsznsggel addik. Ezrt a tetszleges llapotnak megfelel ltalnos esetben a W fggvny sor alakjban llthat el:

ahol az sszegezst minden H-re ki kell terjeszteni, az fl-ek pedig valamilyen lland egytthatk.

Arra a kvetkeztetsre ju tunk teht, hogy minden hullmfggvny, ahogy m ondani szoks, sorbafejthet egy tetszleges fizikai mennyisg sajtfggvnyei szerint. Azt a fggvnyrendszert, amely szerint ilyen sorfejts elvgezhet, teljes fggvnyrendszernek nevezzk.

A (3,2) sorfejts lehetsget nyjt arra, hogy megadjuk, milyen valsznsggel kapjuk (a mrs sorn) egy rendszer W hullmfggvnnyel lert llapotban az / mennyisg egyik vagy msik f n sajtrtkt. Valban, az elz szakaszban m ondottak alapjn, e valsznsgeket XF s W* fggvnyekben bilineris kifejezs hatrozza meg, ezrt azok a s a* llandkban is bilinerisak. Ezek a kifejezsek ezenkvl nyilvnvalan pozitvak. Vgl az / rtk valsznsge 1-gy vlik, amennyiben a rendszer a W W llapotban van, s nulla, ha a XF hullmfggvny (3,2) sorban az: adott xF n tag nem szerepel. E felttelnek eleget tev egyetlen pozitv definit mennyisg az an egytthat abszolt rtknek ngyzete. Eredmnynk teht, hogy a (3,2) sor egyes egytthatinak abszoltrtk-ngyzete, \an\2, meghatrozza az / mennyisg megfelel f rtknek valsznsgt a W hullmfggvnnyel jellemzett llapotban- Az sszes lehetsges / rtk valsznsgnek sszege szksgkppen eggyel egyenl; ms szval teljeslnie kell a

$ \y r -d q = i. (3,1)

xP = l i axFn (3,2)

(3,3>n

sszefggsnek.

2*

H a a ! P fggvny nem lenne norm lt, a (3,3) sszefggs sem teljeslne. A | an\2n

sszeget ekkor valamilyen, a W s XF* fggvnyekben bilineris kifejezs hatrozn meg, mely W norm lsakor egybe megy t. Ilyen a J lF xF* dq integrl. Fennll teht a

Yj J = J W dq (3,4)n

egyenlsg.Msrszt megszorozva iP-t komplex konjugltjnak XF* = a*nxF'n sorval, s

integrlva: "j W ^ t d q = ^ a * j W * xF d q .

Ezt (3,4)-gyel sszevetve addik, hogy

= ^a*n jW*nxF d q ,n n

am ibl a W fggvny W sajtfggvnyek szerinti sornak az egytthatit meghatroz

an = J K dq (3,5)

kpletet kapjuk.A (3,2) sor behelyettestsvel:

an = a>n J F,XF* dq,m

am ibl azonnal lthat, hogy a sajtfggvnyek eleget tesznek az

J WmW : dq = nm (3,6)

sszefggsnek, ahol nm = 1, ha n = m, s nm = 0; ha n m. A zt, hogy a F JF * szorzatok integrlja n ? m esetn eltnik, gy szoks kifejezni, hogy a xF n fggvnyek klcsnsen ortogonlisak. A xF n sajtfggvnyek sszessge teht normlt, klcsnsen ortogonlis (egy szval kifejezve ortonormlt) teljes fggvnyrendszert alkot.

Vezessk be az / mennyisg adott llapotban vett / tlagrtknek fogalmt. Az tlagrtk szoksos defincijnak megfelelen J-t gy kapjuk, hogy az adott mennyisg sszes f n sajtrtkt szorozzuk a megfelel |a [2 valsznsggel, s a szorzatokat sszeadjuk:

/ = i / K r - (3 ,7 )/X

A z/ tlagrtket most olyan alakba rjuk, mely nem a XF fggvny sorfejtsi egytthatit, hanem magt a fggvnyt tartalmazza. Minthogy (3,7)-ben aa* szorzatok

20 I. FEJEZET. A KVANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALMAI

3. . OPERTOROK 21

szerepelnek, nyilvnval, hogy a keresett kifejezs F-ben s W *-ban bilineris. Vezessnk be egy matematikai opertort, melyet /-fe l jellnk ,10 s a kvetkezkppen rtelmeznk. Legyen { f xF ) az a fggvny, amelyet az / opertornak a W fggvnyre val alkalmazsval kapunk. Az / opertort gy definiljuk, hogy ( fW ) s a W* komplex konjuglt fggvny szorzatnak integrlja az/ tlagrtkkel legyen egyenl:

J = \ V ' { f W ) d q . (3,8)

Knnyen belthat, hogy az ltalnos esetben az / opertor valamilyen lineris11 integrlopertor. Valban, an (3,5) alatti kifejezst felhasznlva, felrhatjuk az tlagrtk (3,7) defincijt az

/ = X/AA* = J !?* (I a,,/,,*,,) dq

alakban. Ezt (3,8)-cal sszehasonltva, ltjuk, hogy a z / opertorral a W fggvnyre hatva, az

( f ' P ) = Z a nf'F (3,9)n

eredmny addik. Ha ide behelyettestjk, an (3,5) alatti kifejezst azt kapjuk, hogy/ a kvetkez alak integrlopertor:

( / * ) = j K ( q , q 'm < t ) d q ' , (3,10)

ahol a K(q, q') fggvny (melyet az opertor magjnak neveznk), gy rhat:

K(q, q') = Z f .W i q V K i q ) . (3,11)n

gy teht a kvantummechanikban minden fizikai mennyisghez tartozik egy meghatrozott lineris opertor.

A (3,9) kpletbl lthat, hogy ha a ^ fggvny a Wn sajtfggvnyek egyike (gyhogy egy kivtelvel valamennyi an nulla), akkor az/ opertor hatsa egyszeren a megfelel / sajtrtkkel val szorzsban ll :12

fV = f W . (3,12)

10 A z opertorokat mindentt kalappal elltott betvel jelljk.11 Linerisnak nevezzk a kvetkez tulajdonsgokkal rendelkez opertort: W2) =

= / + / 2 >P, f ( a *P) = o/iP , ahol *Plt tetszleges fggvny, a pedig tetszleges lland.n Az albbiakban mindentt, ahol ez nem vezethet flrertsre, az ( / /) tpus kifejezsekben

elhagyjuk a zrjelet, s az opertor a tle jobbra ll kifejezsre hat.

2 2 I. FEJEZET. A K VANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALMAI

Egy adott / fizikai mennyisg sajtfggvnyei teht az

f xF = j xP

egyenlet megoldsai, ahol / egy lland, a sajtrtkek pedig az / lla n d n a k azok az rtkei, melyek mellett a felrt egyenletnek van bizonyos feltteleknek eleget tev megoldsa. Mint albb ltni fogjuk, klnbz fizikai mennyisgek opertorainak alakja kzvetlenl meghatrozhat fizikai megfontolsok alapjn, s akkor az oper to rok em ltett tulajdonsga lehetv teszi a sajtfggvnyek s sajtrtkek kiszm tst az f lF = / W egyenlet megoldsval.

Egy vals fizikai mennyisg sajtrtkei s tlagrtke minden llapotban valsak. Ez a krlmny meghatrozott megszortst jelent a megfelel opertorok tulajdonsgaira nzve. Egyenlv tve a (3,8) kifejezst annak komplex konjugltjval, az

J F * ( fF ) dq = J dq (3,13)

sszefggst kapjuk, ahol / * a z / opertor komplex konjugltjt jelli.-13 Tetszleges lineris opertor esetn ltalban ilyen sszefggs nem ll fenn, ezrt ez megszokst jelent a z / opertor lehetsges alakjra. Tetszleges /o p e r to r ra bevezetjk az /

ranszponlt opertort, melyet az

j 0 ( / F ) dq = J F (f& ) dq (3,14)

egyenlsggel definilunk, ahol XF s (1> kt klnbz fggvny. Ha fggvnyknt *F komplex konjugltjt, a F* fggvnyt vesszk, akkor a (3,13)-mal val sszehasonlts azt mutatja, hogy

/ = / * (3,15)

A (3,15) felttelnek eleget tev opertorokat hermitikusnak mondjuk .14 A kvantum- mechanika matematikai appartusban teht a vals fizikai mennyisgeknek megfelel opertorok hermitikusak.

Formlisan vizsglhatunk komplex fizikai mennyisgeket is, azaz olyanokat, melyeknek sajtrtkei komplexek. Legyen / egy ilyen mennyisg. Bevezethetjk ekkor a megfelel komplex konjuglt mennyisget, /* - ot is, melynek sajtrtkei / sajtrtkeinek komplex konjugltjai. Jelljk a z / * mennyisgnek megfelel opertort

13 Definciszeren: ha a z / opertorra teljesl az ftp = (f, akkor a z / * komplex konjuglt az az opertor, melyre fennll, hogy f*y>* =

y +-szal. Ezt az opertort / adjungltjnak nevezzk, s ltalban meg kell klnbztetnnk az opertor / * komplex konjugltjtl. Valban, az / + opertor defincija szerint az f * mennyisg tlagrtke valamilyen W llapotban:

/ * = j'V f + V d q .

M srszrl viszont rhatjuk, hogy

(/)* = [ J W 'fV dq\* = J 1P f txlJ* d q = \ 'F*f*W dq.

A kt kifejezst egyenlv tve, azt kapjuk, hogy

/ + = A (3,16)amibl nyilvnval, hogy / + ltalban nem egyezik meg /*-gal. A (3,15) felttelt most az

/ = / + (3,17)

alakba rhatjuk, azaz vals fizikai mennyisg opertora megegyezik a sajt adjunglt- jval (a hermitikus opertorokat nadjitngltaknak is szoks nevezni).

M ost megmutatjuk, hogyan lehet kzvetlenl bebizonytani egy hermitikus operto r klnbz sajtrtkeihez tartoz sajtfggvnyek klcsns ortogonalitst. Legyen J n s /, az / vals mennyisg kt klnbz sajtrtke, Wn s pedig a megfelel sajtfggvnyek:

Szorozzuk meg az els egyenlet mindkt oldalt 5F,*-gal, a msodik egyenlet komplex konjugltjt pedig ,//)1-nel. Tagonknt kivonva egymsbl a kapott egyenleteket, azt kapjuk, hogy

n / V - V n f " K = (/;, .

Integrljuk az egyenlet mindkt oldalt tfy szerint. M inthogy/* = / , (3,14) rtelmben a bal oldal integrlja eltnik, ezrt

\ V , } n d q = 0 ,

am ibl f tt 9^ /, m iatt kvetkezik a Wn s Wm fggvnyek ortogonalitsa.Itt mindig csak egy / fizikai mennyisgrl beszlnk, br, m int a szakasz elejn

megjegyeztk, az egyidejleg mrhet fizikai mennyisgek teljes rendszerrl kellene

3. . OPERTOROK 23

24 I. FEJEZET. A KVANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALMAI

beszlnnk. A kkor azt kapnnk, hogy valamennyi / , g, . . . mennyisghez tartozik egy / , g, . . . opertor. A Wn sajtfggvnyek olyan llapotnak felelnek meg, melyben a vizsglt mennyisgeknek meghatrozott rtkk van, vagyis az sszes / , gn, . . . sajtrtk meghatrozott, s W az

f 'F = f V , g 'I' = g V , . . .

egyenletrendszer szimultn megoldsa.

4. . Opertorok sszeadsa s szorzsa

Ha / s g a z / , illetve g fizikai mennyisgnek megfelel opertor, akkor az f + g sszegnek az f + g opertor felel meg. Klnbz fizikai mennyisgek sszegnek rtelme a kvantummechanikban azonban lnyegesen klnbz lehet att l fggen, hogy mrhet-e ez a kt mennyisg egyidejleg vagy nem. H a az / s g mennyisgek egyszerre mrhetk, akkor az / s g opertoroknak vannak kzs sajtfggvnyeik, melyek ugyanakkor az f+ g opertornak is sajtfggvnyei, f+g sajtrtkkel.

Ha viszont f s g rtke nem lehet egyszerre m eghatrozott, akkor az f + g sszeg rtelme korltozottabb. Ilyenkor csak annyi igaz, hogy e mennyisg tlagrtke tetszleges llapotban megegyezik az sszeadandk tlagrtknek sszegvel:

f + g = f+ g -

Ami az f+ g opertor sajtrtkeit s sajtfggvnyeit illeti, ezek ltalban nincsenek semmilyen kapcsolatban az / s g mennyisgek sajtfggvnyeivel s sajtrtkeivel. Nyilvnval, hogy ha a z / s g opertor hermitikus, az f+ g opertor is az, gyhogy sajtrtkei valsak, s ezek az jonnan bevezetett f + g mennyisg lehetsges rtkei.

Megemltjk a kvetkez ttelt. Legyen rendre /, go s (f+ g)o az / , g s f + g mennyisgek legkisebb sajtrtke. Ekkor fennll, hogy

(f+ g)o S /o + g o * (4,2)

Az egyenlsg akkor teljesl, ha / s g egyidejleg mrhet. A bizonyts abbl a nyilvnval tnybl kvetkezik, hogy egy mennyisg tlagrtke mindig nagyobb a legkisebb sajtrtknl, vagy azzal egyenl. Abban az llapotban, amelyben az f + g mennyisg rtke ( f+ g )o, termszetesen ( f+ g ) = ( f+ g ) o, s minthogy msrszt ( f+ g ) = f + g = fo+ go , a (4,2) egyenltlensgre jutunk.

4. . OPERTOROK SSZEADSA S SZORZSA 25

Tegyk fel ismt, hogy / s g egyidejleg mrhet mennyisgek. sszegkkel egytt bevezethetjk szorzatuk fogalmt is, melynek sajtrtke a z / s g mennyisgek sajtrtkeinek szorzatval egyenl. Knnyen belthat, hogy ennek a mennyisgnek olyan opertor felel meg, melynek hatsa a fggvnyre az egyik, majd a msik opertor egymst kvet hatsban ll. Ezt az opertort matematikailag az / s g opertorok szorzatval brzoljuk. Valban, ha xP n az opertorok kzs sajtfggvnye, akkor

fP n = f(g V n ) = = gnfV 'n

(az fg szimblum olyan opertort jelent, mely a W fggvnyre gy hat, hogy elszr hat a g opertor, majd a g*IJ fggvnyre az / opertor). Ugyanerre az eredmnyre jutunk, ha az fg opertor helyett a g f opertort vesszk, amely az elstl csak a tnyezk sorrendjben klnbzik. Nyilvnval, hogy e kt opertornak a Wn fggvnyre val hatsa ugyanaz. Minthogy azonban minden W hullmfggvny elllthat a xF n fggvnynek lineris kombincijaknt, az fg s g f opertorok brmely fggvnyre val hatsa azonos. Ezt a tnyt szimbolikusan az fg = g f egyenlsggel fejezhetjk ki, amibl

f g - g f = 0. (4,3)

Az ilyen f s g opertorokrl azt mondjuk, hogy felcserlhetk (kommutlnak). gy teht a kvetkez fontos eredmnyt kapjuk: ha az / s g mennyisgnek egyidejleg lehet meghatrozott rtke, akkor opertoraik egymssal felcserlhetk.

Bebizonythat a fordtott ttel is (1. 11. ): ha az / s g opertor felcserlhet, akkor valamennyi sajtfggvnyket megvlaszthatjuk gy, hogy kzs sajtfggvnyk legyen, ami fizikailag azt jelenti, hogy a megfelel fizikai mennyisgek egyidejleg mrhetk. Az opertorok felcserlhetsge teht szksges s elgsges felttele a fizikai mennyisgek egyidej mrhetsgnek.

Az opertorszorzat specilis esete egy opertor hatvnyozsa. A m ondottak alapjn megllapthatjuk, hogy az f p opertor sajtrtkei (p egsz szm) egyenlk az / opertor /?-edik hatvnyra emelt sajtrtkeivel. ltalban, egy opertor tetszleges (p(f) fggvnye definciszerleg olyan opertor, melynek sajtrtkei az / opertor sajtrtkeinek ugyanolyan

f g opertor nem lesz hermitikus, ezrt nem felelhet meg vals fizikai mennyisgnek. Valban, a transzponlt opertor defincija rtelmben rhatjuk, hogy

J WfgOdq = J xFf(g /') (g0>) dq = J $ f W dq.

Egy olyan integrlt kapunk teht, melyben az eredetihez kpest a W s 0 fggvnyek helyet cserltek. Ms szval, a J f opertor az fg opertor transzponltja, vagyis

fg = i f (4,4)

gy az fg szorzat transzponltja a tnyezk transzponlnnak fordtott sorrendbe rt szorzata. A (4,4) egyenlsg mindkt oldalnak komplex konjugltjt vve, azt kapjuk, hogy

g y = r f +. (4 ,5)

26 I. FEJEZET. A KVANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALMAI

Ha az f s g opertor hermitikus, akkor (fg )+ gf. Ebbl kvetkezik, hogy az fg opertor csak akkor hermitikus, ha tnyez i,/s g, felcserlhetk.

Megjegyezzk, hogy kt nemfelcserlhet hermitikus oper to rig s g f szorzatbl kszthetnk egy hermitikus o p e r to rt ,/ s g szimmetrikus szorzatt:

j i fg + g f) - (4,6)

Knnyen meggyzdhetnk arrl is, hogy az f g g f klnbsg antiherm itikus opertor (azaz olyan, melynek transzponlt opertora a negatv eljellel vett komplex konjugltjval egyezik meg). A klnbsg /-vei val szorzssal hermitikuss tehet;gy

K f g - g f ) (4,7)hermitikus opertor.

A kvetkezkben a rvidsg kedvrt nha hasznljuk az opertorok n. kommuttorra az

{/> } = fg ~ g f (4,8)jellst.

5. . A FOLYTONOS SPEKTRUM 27

Knnyen belthat, hogy fennll az

{ fg , h) = { f , h) g + f{g , fi) (4,9)

sszefggs. Megjegyezzk,hogy ha { /, fi) = 0 s {, h) = 0, akkor ebbl semmikppen sem kvetkezik, hogy f s g is felcserlhet.

5.. Folytonos spektrum

A diszkrt spektrum sajtfggvnyeire a 3. s 4. -ban levezetett sszefggsek minden tovbbi nlkl ltalnosthatk a folytonos spektrum sajtfggvnyeire.

Legyen / egy folytonos spektrum fizikai mennyisg. Sajtrtkeit egyszeren ugyanazzal az index nlkli / betvel jelljk s a megfelel sajtfggvnyt ^-fel. Ahogy egy tetszleges F hullmfggvny, (3,2)-nek megfelelen, sorbafejthet diszkrt spektrum mennyisgek sajtfggvnyei szerint, kifejezhet ezttal integrlalakban folytonos spektrum mennyisgek sajtfggvnyeinek teljes rendszere szerint is. Ez a sorfejts

F(q) = J af Ff (q )d f (5,1)

alak, ahol az integrlst az / mennyisg egsz rtkkszletre ki kell terjeszteni.A folytonos spektrum hullmfggvnyei normlsnak krdse bonyolultabb,

mint a diszkrt spektrum esetn volt. M int albb ltni fogjuk, most nem kvetelhet meg, hogy a fggvny abszoltrtk-ngyzetnek integrlja 1 legyen. Ehelyett megksreljk gy normlni a / ^ fggvnyt, hogy a F hullmfggvny ltal lert llapotban a vizsglt fizikai mennyisg rtke \af \-d f valsznsggel essk az / s f + d f kztti intervallumba. Minthogy a z / s sz e s lehetsges rtkhez tartoz valsznsgek sszege szksgkppen 1, rhatjuk, hogy

j \o /\2d f = 1 (5,2)

[hasonlan a diszkrt spektrum esetben rvnyes (3,3) sszefggshez].Pontosan megismtelve a (3,5) kplet levezetse sorn kvetett eljrst, ugyan

azokkal a megfontolsokkal egyrszrl kapjuk, hogy

msrszrl pedig

j F F * d q = j | / | 2 df,

J F F * dq = JJ a* F / F d f dq.

A kt kifejezst sszevetve, megkapjuk a sorfejtsi egytthatkat meghatroz sszefggst:

fl/ = J V{q)V}(q)dq, (5,3)mely (3,5)-tel analg.

A normlsi felttel levezetse cljbl helyettestsk most (5,l)-et (5,3)-ba:

/ = J ar ( j Wf ^ d q ) d f .Ez az sszefggs tetszleges ^ese tn rvnyes, gy szksgkppen azonosan teljesl. Ehhez elszr is az kell, hogy az integrljel alatt af , szorzja (vagyis az J dq integrl) minden f ^ f mellett eltnjn. Az f = / helyen ez az egytthat vgtelenn vlik (ellenkez esetben a d f ' szerinti integrl egyszeren nullt ad). Az J xF jW f dq integrl teht az f ' f klnbsg olyan fggvnye, mely vgtelen, ha argumentuma nulla, egybknt eltnik. Jelljk ezt a fggvnyt ( / '/ ) - fel:

$'F/ . y ? d q = ( f ' - f ) . (5,4)Az, hogy miknt vlik a ( / '/ ) fggvny vgtelenn az J ' f = 0 helyen, az

J ( f - f ) a r d f = afegyenlsgbl hatrozhat meg. Nyilvnval ebbl, hogy

\ j ( f ' - f ) d f ' = 1.

Az gy definilt fggvnyt -fggvnynek15 nevezzk. rjuk fel mg egyszer a defincis kpleteket:

(.v) = 0 , ha x 0 , (0 ) = oo, (5 ,5)s

j (x)dx= 1. (5,6) oo

Integrcis hatr gyannt brmely ms, az x = 0 pontot kzrefog rtkeket is berhatunk. Ha f ( x ) valamilyen x = 0-ban folytonos fggvny, akkor

J ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) . (5,7) oo

16 A delta-fggvnyt az elmleti fizikban P. A. M. Dirac vezette be.

28 I. FEJEZET. A K VANTUM M ECH ANIK A ALAPFOGALMA)

ltalnosabban ez a kplet gy rh a t :

J

30 I. FEJEZET. A KVANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALMAI

msrszt az (5,3) kpletet gy tekinthetjk, mint az af = a ( f) fggvnynek a 'F}(q) fggvnyek szerinti, az elbbihez teljesen hasonl sorfejtst; az egytthatk szerept m ost 'f'iq) jtssza. A z a ( f) fggvny, ppen gy, mint W(q), teljesen meghatrozza a rendszer llapott; a(f)-e ta z f reprezentciban felrt hullmfggvnynek nevezzk VFiq) pedig a q reprezentciban felrt hullmfggvny]. Ahogyan \W(q)\2 meghatrozza annak valsznsgt, hogy a rendszer koordinti adott dq intervallumba essenek, gy hatrozza meg | ( / ) | 2 annak valsznsgt, hogy a z / meny- nyisg rtke df-be essen. A xFf (q) fggvnyek egyrszrl az /m enny isg sajtfggvnyei q reprezentciban, msrszrl pedig a lF*(q) komplex konjugljaik a q koordinta sajtfggvnyei /reprezen tciban .

Legyen .

(5,10) rtelmben ezrt rhatjuk, hogy10

\ M f ) d f

% ( / ' ) - ? ( / ) ] = n J - T v ( f - /) (5,13)

(5,13) s (5,4) sszehasonltsbl nyilvnval, hogy a W s {Jf fggvnyek egymssal a kvetkez kapcsolatban llnak:

^ = - 7 7 = ^ - (5-,4 >\d

5. . A FOLYTONOS SPEKTRUM 31

Vannak olyan fizikai mennyisgek is, amelyek rtelmezsi tartom nyuk egy rszben diszkrt, mshol folytonos spektrum ak. Ilyen mennyisg sajtfggvnyeire magtl rtetdik, hogy ugyancsak rvnyesek az itt s a megelz szakaszban levezetett sszefggsek. Megjegyzend, hogy csak a kt spektrum hullmfggvnyeinek sszessge alkot teljes fggvnyrendszert. Ezrt egy tetszleges fggvny ilyen meny- nyisg sajtfggvnyei szerint a kvetkezkppen fejthet k i:

((/)+ OfVfiq) df, (5,15)n

ahol az sszegezst a diszkrt spektrumra, az integrlst pedig a folytonosra kell kiterjeszteni.

Folytonos spektrum mennyisgre j plda maga a q koordinta. Knnyen belthat, hogy a neki megfelel opertor egyszeren a

32 I. FEJEZET. A K VANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALMAI

6. . Hatrtmenet

A kvantummechanika hatresetknt magba foglalja a klasszikus mechanikt. Felmerl a krds, hogyan lehet vgrehajtani ezt a hatrtm enetet.

A kvantummechanikban az elektront hullmfggvny rja le, mely meghatrozza koordintinak klnbz rtkeit; errl a fggvnyrl egyelre csak annyit tudunk, hogy valamilyen lineris parcilis differencilegyenlet megoldsa. A klasszikus mechanikban az elektront a mozgsegyenletek ltal maradktalanul meghatrozott plya mentn mozg anyagi pontnak tekintjk. A kvantummechanika s a klasszikus mechanika sszefggshez bizonyos rtelemben hasonl az elektrodinamikban a hullm- s a geometriai optika kapcsolata. A hullmoptikban a hullmokat az elektromos s mgneses tr vektoraival rjuk le, amelyek meghatrozott parcilis differencilegyenlet-rendszernek tesznek eleget (a Maxwell-egyenleteknek). A geometriai optikban viszont a fny m eghatrozott plyk mentn, sugarakban terjed. Ez az analgia lehetv teszi azt a kvetkeztetst, hogy a kvantummechanikrl gy trhetnk t a klasszikusra, ahogyan a hullm optikrl a geometriaira.

Emlkeztetnk r, hogyan valsul meg matematikailag az utbbi hatrtm enet (1. II. 53.). Legyen u az elektromgneses tr valamelyik komponense. Ez u = ae"p alakban rhat vals a amplitdval s (p fzissal (ez utbbit nevezik eikonlnak a geometriai optikban). A geometriai optika hatresete kis hullmhosszak esetn valsul meg, ami matematikailag gy fejezhet ki, hogy

6. . HATRTM ENET 33

gy teht egy majdnem klasszikus (ahogy mondani szoks kvziklasszikus) fizikai rendszer hullmfggvnye

xjj _ aeisr, (6,1)alak.

A Planck-lland valamennyi kvantumos jelensgben alapvet szerepet jtszik. Relatv nagysga (ms, hasonl dimenzij mennyisghez kpest) meghatrozza egy rendszer kvantumossgnak mrtkt . A kvantummechanikrl a klasszikusra val ttrs, mely nagy fzisnak felel meg, formlisan gy rhat le, mint fi -* 0 hatrtm enet (ahhoz hasonlan, ahogy a hullmoptikrl a geometriaira val ttrs a X 0 hatrtm enetnek, a nulla hullmhossz hatresetnek felel meg).

Megadtuk a hullmfggvny alakjt a hatresetben, htra van mg azonban annak megbeszlse, hogy ez milyen kapcsolatban ll a klasszikus plyn val mozgssal. Az ltalnos esetben a hullmfggvny ltal lert mozgs nem megy t egy plya mentn val mozgsba. A klasszikus mozgssal val kapcsolata abban ll, hogy ha egy kezdeti idpillanatban a hullmfggvny s vele a koordintk valsznsgi eloszlsa adott, akkor a tovbbiakban ez az eloszls a klasszikus mechanika trvnyei szerint vltoztatja helyt (errl rszletesebben a 17. vgn lesz sz).

Ahhoz, hogy m eghatrozott plya mentn val mozgst kapjunk, specilis alak hullmfggvnybl kell kiindulnunk, mely csak a tr egy kis rszn klnbzik szreveheten nulltl (gynevezett hullmcsomag); a trrsz mretei /i-sal egytt nullhoz tarthatnak. Ekkor azt mondhatjuk, hogy a kvziklasszikus esetben a hullm- csomag a trben klasszikus rszecskeplya mentn vltoztatja a helyt.

Vgl a kvantummechanikai opertorok hatsa a hatresetben szksgkppen a megfelel fizikai mennyisggel val szorzsra redukldik.

7. . A hullmfggvny s a mrs

M ost visszatrnk a mrsi folyamathoz, melynek tulajdonsgait az l.-ban t rgyaltuk, s megmutatjuk, milyen kapcsolatban llnak ezek a tulajdonsgok a kvantummechanika matematikai appartusval.

Tekintsnk egy kt rszbl, a klasszikus mszerbl s a kvantumobjektumnak tekintett elektronbl ll rendszert. A mrsi folyamat abban ll, hogy ez a kt rsz egymssal klcsnhatsba lp, aminek eredmnyeknt a mszer tmegy a kezdeti llapotbl valamilyen ms llapotba, s a mszer megvltozott llapotbl kvetkeztetnk az elektron llapotra. A mszer llapota valamilyen jellemz fizikai mennyisg (vagy mennyisgek) rtkben klnbzik az eredetitl a mszer kitr . Jelljk ezt a mennyisget g-vel, sajtrtkeit pedig g-nel; ezek, klasszikus

34 I. FEJEZET. A KVANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALM AI

mszerrl lvn sz, ltalban folytonos sort alkotnak. Megtehetjk azonban, hogy formlisan kizrlag az albbi kpletek rsm djnak egyszerstse cljbl a spektrum ot diszkrtnek vesszk. A mszer llapott kvziklasszikus hullmfggvnynyel rjuk le, melyet 0 (|)-vel jellnk, ahol n a mszer ltal m utato tt n-nek felel meg, pedig koordintinak sszessgt jelli. A mszer klasszikus volta abban nyilvnul meg, hogy minden ado tt idpillanatban biztosak lehetnk afell, hogy a mszer az egyik ismert llapotban van, s a g mennyisg rtke valamilyen adott szm ; kvantummechanikai rendszer esetben, rthet mdon, ilyen kijelents nem tehet.

Legyen 0o(i) a mszer kezdeti (a mrs eltti) llapotnak hullmfggvnye, !*P(q) pedig az elektron normlt kezdeti hullmfggvnye (q az elektron koordintit jelli). Ezek a fggvnyek egymstl fggetlenl lerjk a mszer s az elektron llapott, ezrt az egsz rendszer kezdeti llapotnak hullmfggvnye a

n q ) 0(9 (7,1)

szorzat. Azutn az elektron s a mszer klcsnhatsba lpnek egymssal. Elvben a kvantummechanika egyenletei alapjn nyomon kvethet a rendszer hullmfggvnynek idvel val vltozsa. A mrsi folyamat utn a hullmfggvny nyilvnvalan mr nem lesz a q s vltozk fggvnyeinek szorzata. A mszer

7. . A HULLM FG GV NY S A MRS 35

kezdeti hullmfggvnye kztti kapcsolatot ltalban valamilyen integrlopertor adja meg:

A(q) = J K(q, q') 'F(q') dq'. (7,4)

A Kn(q, q') mag az adott mrsi folyamatot jellemzi.Felttelezsnk szerint az elvgzett mrs olyan, hogy az elektron llapotnak teljes

lerst adja. Ms szval (1. 1. ), az j llapotban valamennyi mennyisg valsznsge szksgkppen fggetlen az elektron korbbi (a mrs eltti) llapottl. M atematikailag ez azt jelenti, hogy az A n(q) fggvny alakjt a mrsi folyamat hatrozza meg, s nem fgghet az elektron kezdeti W(q) hullmfggvnytl,

gy teht A n szksgkppen a kvetkez alakot lti:

A(q) = aq>n(q), (7,5)

ahol qtyek meghatrozott fggvnyek, melyekrl felttelezzk, hogy norm ltak, a xF(q) kezdeti llapottl pedig csak az an llandk fgghetnek. A (7,4) integrlsszefggsben ennek az felel meg, hogy a K n(q, q') mag sztesik csak q-ti s csak

36 I. FEJEZET. A KVANTUM M ECHANIKA ALAPFOGALMAI

akkor nyilvnval, hogy a megfelel' a lland 1, a tbbi pedig nulla. Ms szval, a Wn(q) llapotban lev elektronon elvgzett mrs biztosan a m eghatrozott n-edik eredmnyre vezet.

A lF n(q) fggvnyek e tulajdonsgai azt mutatjk, hogy azok az elektront jellemz valamilyen fizikai mennyisg (jelljk /-fel) sajtfggvnyei; az emltett mrst e mennyisg mrsnek tekinthetjk.

Nagyon lnyeges, hogy a xP(q) fggvnyek ltalban nem egyeznek meg a n(q) llapotba kerl, amelyben az / mennyisgnek m r nincs m eghatrozott rtke. Ezrt az elektronon kzvetlenl az els utn vgrehajtott msodik mrs az / mennyisgre az elsben kapottl klnbz rtket szolgltatna .20 Ahhoz, hogy az els mrs eredmnynek birtokban (valsznsgi rtelemben) megjsoljuk a msodik mrs eredmnyt, az els mrsbl az ltala kialaktott llapot

III. F E J E Z E T

E N E R G IA S IM P U L Z U S

8. . A Hamilton-opertor

Egy fizikai rendszer llapott a kvantummechanikban a W hullmfggvny m aradktalanul meghatrozza. Ez azt jelenti, hogy e fggvny valamilyen idpontban val megadsa nemcsak ebben a pillanatban hatrozza meg a rendszer llapott, hanem a ksbbiekben is termszetesen, csak a kvantummechanikban ltalban lehetsges teljessggel. Ez a krlmny matematikailag gy ju t kifejezsre, hogy a hullmfggvny dW /dt id szerinti derivltjt minden adott idpillanatban meghatrozza az illet idpontban megadott W fggvny, s ez a kapcsolat a szuperpozci elvnek megfelelen lineris. Az sszefggs lehet legltalnosabb alakja

Ide behelyettestjk (B,l)-et, s az els integrlban felhasznljuk a transzponlt opertor defincijt. Az ijh kzs szorzt elejtve:

Minthogy ez az egyenlsg tetszleges XF fggvny esetn teljesl, levonhatjuk azt a

(8,1)

ahol H valamilyen lineris opertor; az ifi szorz bevezetsnek rtelme ksbb fog kiderlni.

Az J dq integrl idtl fggetlen lland. Ezrt rhatjuk, hogy

\ XF U *XF* dq J F * H F dq =

= J lF *l*xF d q - ] F * f lxF dq =

- ] 'F * ( n * - f l ) W dq = 0.

38 II. FEJEZET. ENERGIA S IM PULZUS

kvetkeztetst, hogy a f t + = f t egyenlsg azonosan teljesl, vagyis a f t opertor hermitikus.

Vizsgljuk meg, milyen fizikai mennyisgnek felel meg ez az opertor. Ehhez felhasznljuk a hullmfggvny kvziklasszikus hatresetben rvnyes (6 , 1) alatti alakj t, amivel

d'F j dS 8t ~ h 8t

(a lassan vltoz a amplitd a differencilsnl llandnak tekinthet).E zt az egyenlsget a (8,1) defincival sszevetve, ltjuk, hogy a klasszikus hatr

esetben a f t opertor a dS/d t mennyisggel val szorzsra redukldik. Ez azt jelenti, hogy a f t hermitikus opertor tmegy a dS /d t mennyisgbe. Ez utbbi azonban nem ms, mint a mechanikai rendszer Hamilton-fggvnye. gy teht f t a kvantummechanikban a Hamilton-fggvnynek megfelel opertor, amelyet a rendszer Hamilton-opertornak fogunk nevezni. H a a Ham ilton-opertor alakjt ismerjk, a (8,1) egyenlet meghatrozza az illet rendszer hullmfggvnyt. Ezt a kvantummechanikai alapegyenletet hullmegyenletnek nevezzk.

9. . Opertorok id szerinti differencilja

Fizikai mennyisgek idderivltja a kvantummechanikban nem definilhat a klasszikus mechanikban megszokott rtelemben. A klasszikus mechanikban ugyanis az idderivlt az illet mennyisg kt kzeli, de klnbz idpontban felvett rtkvel kapcsolatos. A kvantummechanikban azonban, ha egy mennyisg m eghatrozott rtkkel rendelkezik valamilyen idpillanatban, a r kvetkezben mr nincs meghatrozott rtke; errl rszletesen beszltnk az l.-ban.

Ezrt a kvantummechanikban mskppen kell definilnunk az idderivlt fogalm t. Termszetesnek ltszik gy definilni a z /m e n n y is g / derivltjt, hogy tlagrtke egyenl legyen az / tla g rtk idderivltjval. Definciszerleg teht

/ = / (9,1)

Ebbl a defincibl kiindulva, knnyen megkaphatjuk az / mennyisgnek megfelel / kvantummechanikai opertort:

I tt d f/d t az / opertor id szerinti differencilsakor add opertor. / az idtl m int paramtertl fgghet. A dW jdt s dW*/dt derivltakat (8,1) alatti kifejezskkel helyettestve, azt kapjuk, hogy

/ = dq + j ^ { H " n p F d q - L | dq.

Minthogy a f i opertor hermitikus,

J ( H ^ m m d q = j 'F 't /W dq-

gy teht az addik, hogy

9. . OPERTOROK ID SZERINTI DIFFERENCILJA 39

Msrszrl viszont a definci szerint ez az tlagrtk / = J *P*f W dq f kt kifejezsnek sszehasonltsbl lthat, hogy az integrl alatt a zrjelben ll kifejezs ppen a keresett f oper to r :1

1 A klasszikus mechanikban az ltalnos q, helykoordintktl s a p, impulzusoktl fgg / mennyisg id szerinti teljes differencilhnyadosa a kvetkez:

^ _ 9/ + W 9 / , , W z 'dt dt

V ( K a J - K - \ ? \dq , dp, )

A Hamilton-egyenleteknek megfelelen q, = P, = - . Ezeket behelyettestve azt kapjuk, hogydp, dq.

ahol

V - K + t u n

m n = T i K & L - K1 dp, dp, d q j

a z / s H mennyisgre felirt gynevezett Poisson-zrjel (1 .1. ktet, Mechanika, 42. ). sszehasonltva a (9,2) kifejezssel, ltjuk, hogy a klasszikus hatresetre val tmenetnl az i ( f i / / f i ) opertor els kzeltsben zrust ad (ahogy annak lennie is kell), a kvetkez (fi szerinti) kzelts pedig h [H ,f ] . Ez az eredmny tetszleges / s g mennyisgre is igaz: az i ( f g - g f ) opertor hatresete a h [f, g ] mennyisg, ahol [/,] a Poisson-zrjel:

dg d f dg d f \r f -l = V (l- L\U ' gl ~ 4 VS?, dp, dp, d q j

I

40 II. FEJEZET. ENERGIA S IM PULZUS

/ = | f + (9,2)

Ha a z /o p e r to r nem fgg expliciten az idtl, akkor / 'eg y lland szorz erejig megegyezik az /o p e r to rn ak a Ham ilton-opertorral val kommuttorval.

A fizikai mennyisgek nagyon fontos csoportjt kpezik azok, amelyeknek opertora nem fgg expliciten az idtl, s ezenkvl felcserlhet a Ham ilton-opertorral, gyhogy / = 0. Ezeket megmarad mennyisgeknek nevezzk. Egy ilyen mennyisg esetben / = / = 0, azaz / = const. M s szval, e mennyisgek tlagrtke idben lland. Az is igaz, hogy ha az adott llapotban / m eghatrozott rtk (vagyis a hullmfggvny az / opertor sajtfggvnye), akkor a tovbbiakban is ugyanazzal a m eghatrozott rtkkel fog rendelkezni.

10. . Stacionrius llapotok

Z rt rendszerek (vagy idben nem vltoz kls trben lev rendszerek) Hamilton- opertora nem tartalmazhatja expliciten az idt. Ez abbl kvetkezik, hogy egy ilyen fizikai rendszer szempontjbl minden idpillanat egyenrtk. Msrszrl azonban termszetes, hogy minden opertor felcserlhet nmagval. Ebbl arra kvetkeztetnk, hogy olyan rendszer Hamilton-fggvnve, amelyre nem hat idben vltoz kls tr, megmarad. Mint ismeretes, a megmarad Hamilton-fggvny nem ms, m int az energia. Az energiamegmarads trvnynek jelentse a kvantummechanikban az, hogy ha egy adott llapotban az energia m eghatrozott rtk, ez az rtk idben nem vltozik.

Azokat az llapotokat, amelyekben az energia meghatrozott rtk, a rendszer stacionrius llapotainak nevezzk. Az ilyen llapotokat ler hullmfggvnyek, a Hamilton-opertor sajtfggvnyei, kielgtik a i xl , E*If egyenletet, ahol En az /7-edik energia-sajtrtk. Ennek megfelelen a W fggvnyre felrt (8,1) hullmegyenlet :

fjlVih -- = H'F =

ft

Ez abbl kvetkezik, hogy formlisan mindig elkpzelhet egy olyan rendszer, amelynek Hamilton- fggvnye megegyezik ^-pal.

10. . STACIONRIUS LLAPOTOK 41

ami azonnal integrlhat id szerint:

(10,1)

ahol yj csak a koordintk fggvnye. Ezzel meghatroztuk stacionrius llapotok hullmfggvnynek idfggst.

Kis y> betvel stacionrius llapotoknak idtl fgg szorzt nem tartalm az hullmfggvnyt fogjuk jellni. E fggvnyek, az energia-sajtrtkkel egytt, a

egyenletbl hatrozhatk meg.A lehet legkisebb energij stacionrius llapotot a rendszer norml- vagy alap

llapotnak nevezzk.Tetszleges W fggvny stacionrius llapotok hullmfggvnyei szerinti sora

alakban rhat. A sorfejtsi egytthatk \a\2 ngyzete, mint eddig is, meghatrozza a rendszer klnbz energiartkeinek valsznsgt.

A koordintk valsznsgeloszlst stacionrius llapotban a I ^ J 2 = \ f \z mennyisg hatrozza meg; ltjuk, hogy ez az idtl fggetlen. Ugyanez rvnyes brmely fizikai mennyisg tlagrtkre is (ha a megfelel opertor nem fgg explicit mdon az idtl):

Mint em ltettk, brmely megmarad mennyisg opertora felcserlhet a Hamilton-opertorral. Ez azt jelenti, hogy minden megmarad mennyisg az energival egyidejleg mrhet.

A klnbz stacionrius llapotok kztt lehetnek olyanok is, melyek ugyanahhoz az energia-sajtrtkhez (vagy ahogy mondani szoks, a rendszernek ugyanahhoz az energiaszintjhez) tartoznak, s valamilyen ms fizikai mennyisg rtkben klnbznek. Azokat a szinteket, amelyekhez tbb klnbz stacionrius llapot tartozik, elfajultnak mondjuk. Az elfajult szintek ltezsnek lehetsge fizikailag azzal kapcsolatos, hogy ltalban az energia magban nem merti ki a fizikai meny- nyisgek teljes rendszert.

Egy rendszer energiaszintjei ltalban akkor elfajultak, ha van kt olyan megmarad fizikai m ennyisg,/sg,am elyeknekopertorainem felcserlhetk. Valban,

(10,2)

v= >(q) (1 0 ,3 )n

f = J y * J V f dq = J dq.

42 II. FEJEZET. ENERGIA S IMPULZUS

legyen ip egy olyan stacionrius llapot hullmfggvnye, melyben az energin kvl az / mennyisgnek is meghatrozott rtke van. Ekkor bizonyos, hogy agip fggvny nem egyezik meg (egy lland szorz erejig) yi-vel; ennek ellenkezje ugyanis azt jelenten, hogy a g mennyisgnek is meghatrozott rtke van, ami nem lehetsges, m ert/ s g nem mrhet egyszerre. Msrszrl viszont gy> a Hamilton-opertor ugyanazon E energihoz tartoz sajtfggvnye, mint y>:

f i (r) = = E(gy').

Ltjuk teht, hogy az E energihoz egynl tbb sajtfggvny tartozik, vagyis a szint elfajult.

Nyilvnval, hogy egy adott elfajult energiaszinthez tartoz hullmfggvnyek tetszleges lineris kombincija is ugyanahhoz az energiartkhez tartoz sajt- fggvny. Ms szval, az elfajult energiartkhez tartoz sajtfggvnyek megvlasztsa nem egyrtelm. Az elfajult szintekhez tartoz tetszlegesen vlasztott sajtfggvnyek ltalban nem ortogonlisak egymsra. Lineris kombincijuk alkalmas megvlasztsval azonban mindig elrhet, hogy a sajtfggvnyek klcsnsen ortogonlis (s normlt) rendszert alkossanak .2

Az elfajult szint sajtfggvnyeire vonatkoz fenti lltsok magtl rtetden nemcsak az energia-sajtfggvnyekre rvnyesek, hanem brmely ms opertor sajtfggvnyeire is. Automatikusan csak azok a fggvnyek ortogonlisak, amelyek egy adott opertor klnbzsajtrtkeinck felelnek meg; ugyanakkor az elfajult sajtrtkhez tartoz fggvnyek ltalban nem ortogonlisak.

Ha egy rendszer Hamilton-opertora kt (vagy tbb) rszbl ll, f t = f t i + f t 2, melyek kzl az egyik csak a q1, a msik csak a qt koordintt tartalmazza, akkor a f t opertor sajtfggvnyei felrhatok a f t i s f t 2 opertorok sajtfggvnyeinek szorzataiknt, az energia-sajtrtk pedig e kt opertor sajtrtkeinek sszege.

Az energia sajtrtkspektruma egyarnt lehet diszkrt vagy folytonos. A diszkrt spektrum egy stacionrius llapota mindig a rendszer vges mozgsnak felel meg, azaz olyan mozgsnak, melynek sorn a rendszer vagy annak valamilyen rsze nem fut ki a vgtelenbe. Valban, a diszkrt spektrum sajtfggvnyeivel kpzett, az egsz trre kiterjesztett J | y |2 dq integrl vges. Ez mindenesetre azt jelenti, hogy a \XP \- mennyisg elg gyorsan tnik el, s a vgtelenben nulla. Ms szval, a koordintk vgtelen rtknek valsznsge nulla, a rendszer vges mozgst vgez, vagy, m int mondani szoks, kttt llapotban van.

A folytonos spektrum hullmfggvnyeinek behelyettestsvel szmtott J \W \2dq integrl divergl. A hullmfggvny | l/ y |2 ngyzete itt nem hatrozza meg kzvetlenl

2 Ezt vgtelen sokfle mdon megtehetjk; valban, n fggvny lineris transzformcijnl fellp fggetlen egytthatk szma n2, az n fggvny ortogonalitsra s normltsgra vonatkoz felttelek szma n (n + 1)/2, azaz >i2-nl kisebb.

10. . STACIONRIUS LLAPOTOK 43

a klnbz koordintartkek valsznsgt, csak ezzel arnyos mennyisgnek tekinthet. Az, hogy az J l ^ p dq integrl divergl, mindig azzal kapcsolatos, hogy | y |2 nem tnik el a vgtelenben (vagy nem elg gyorsan tnik el). Ezrt azt mondhatjuk, hogy egy tetszlegesen nagy, de vges zrt felleten kvli trrszre kpzett J ! W \2 dq integrl mg mindig divergl. Ez azt jelenti, hogy a vizsglt llapotban a rendszer (vagy annak egy rsze) a vgtelenben van. A folytonos spektrumhoz tartoz klnbz stacionrius llapotok hullmfggvnyeinek szuperpozcijaknt ellltott hullmfggvny esetn az | W 2 dq integrl konverglhat, gyhogy a rendszer vges trrszben helyezkedik el. Idvel azonban ez a trrsz minden hatron tl tvolodik, vgl a rendszer kifut a vgtelenbe.

Valban, a folytonos spektrum hullmfggvnyeinek egy tetszleges szuperpozcija az albbi alak:

XF = J aEe~h C,fEq) dE.

W abszolt rtknek ngyzete ketts integrl alakjban rhat:

| n 2 = J J aEa%'e*{E' - E)' fE (q) ipHq) dE dE ' .

Ezt a kifejezst valamilyen T idtartam ra tlagolva, majd 7-vel tartva a vgtelenhez, az oszcilll exp {)( 'E)tjh) szorz tlaga s vele egytt az egsz integrl nullhoz tart. Ms szval, annak a valsznsgnek idtlaga, hogy a rendszer a konfigurcis tr valamilyen adott helyn legyen, eltnik; ez csak akkor lehetsges, ha a mozgs az egsz vgtelen trre kiterjed .3

A folytonos spektrum stacionrius llapotai teht a rendszer vgtelen mozgsnak felelnek meg.

3 Megjegyezzk, hogy olyan'/' fggvnyre, amely a diszkrt spektrum fggvnyeinek kombincija

= aa* exp - aHy>n((j) ;2

lenne, azaz a keresett valsznsgnek a teljes idintervallum szerinti tlaga vges marad.

44 n. FEJEZET. ENERGIA S IM PULZUS

11. . Mtrixok

A knyelem kedvrt felttelezzk, hogy a vizsglt rendszernek diszkrt energia- spektruma van (az albbiakban levezetsre kerl valamennyi sszefggs kzvetlenl ltalnosthat a folytonos spektrum esetre). Legyen W egy tetszleges hullm- fggvny, melynek stacionrius llapotok xF n hullmfggvnyei szerinti sora XF- YJ an^>n- Ezt a kifejezst valamilyen /m enny isg tlagrtknek (3,8) defincijba helyettestve, azt kapjuk, hogy

/- (H,l)n m

aho l/ , m( 0 az

= J' F ; J xF m dq ( 1 1,2)

integrlokat jelenti. A valamennyi lehetsges n, m mellett kpzelt /,(/) mennyisgek sszessgt az / mennyisg mtrixnak, az egyes /,,(/)-kt pedig az ni llapotbl az n llapotba val tmeneti mtrixelemnek szoks nevezni.4

Az f nm{t) mtrixelem idfggst (ha az / opertor nem fgg expliciten az idtl) a xF n fggvnyek idfggse hatrozza meg. Ezek (10,1) kifejezsnek helyettestsvel azt kapjuk, hogy

fn , t) = fme ^ , (11,3)

ahol

E - E h

(11.4)

az n s m llapotok kztti tmenet frekvencija, az

f nm= \ F * f xF m dq (11,5)

integrlok pedig ?./m ennyisg idtl fggetlen mtrixt alkotjk: a legtbb esetben ez utbbit hasznljuk .5

Tetszleges/m ennyisg m trixelem eit/m trixelem einek id szerinti diflercncil-

4 A fizikai mennyisgek nitrixclllitst W. Heisenberg vezette be 1926-ban, mg mieltt Schrdinger a hullmegyenletet felfedezte. A mtrixmechanikt ksbb M. H orn , W. Heisenberg s P. Jordan fejlesztette tovbb.

Mivel a normlt hullmfggvnyekben a fzisszorz hatrozatlan (1. 2. ), az f, [ s /(/)] mtrixelemek csak egy -* alak szorz erejig vannak definilva. Ez a hatrozatlansg a fizikai eredmnyekben nem jelentkezik.

11. . M TRIXOK 45

sval kaphatjuk meg; ez kzvetlenl kvetkezik abbl, hogy

(11,6)n m

(11,3) rtelmben te h t/ mtrixelemei:

fitnt(j) ~~ WmhJ'h,h(,Oi (11,7)

vagy (mindkt oldalt e'w -vel osztva) az idtl fggetlen mtrixelemekre az

(/)wm to>nmfnm ~ ^ En;)ftihi (1 1,8 )

sszefggst nyerjk.Az rsmd egyszerstse vgett az albbi kpleteket az idtl fggetlen mtrix

elemekre vezetjk le; pontosan ugyanilyen sszefggsek rvnyesek az idtl fgg m trixokra is.

A z /m en n y isg /* komplex konjugltjnak mtrixelemeire, az adjunglt opertor defincijnak felhasznlsval, azt kapjuk, hogy

( / )nm j* *'nj ' lj'm dq j* *pnj dq = J Ipn dq,azaz

(/*) = (/,)*- (11,9)

Az ltalunk ltalban vizsglt vals fizikai mennyisgek esetn, ennek megfelelen

f nm= f L ( 1U10)

[(/,)* helyett /?-ot rtunk]. Az ilyen mtrixokat, ppen gy, mint a megfelel opertorokat, hennitikusnak nevezzk.

Az n = m mtrixelemeket diagonlis vagy tls elemeknek nevezzk. Ezek ltalban nem fggnek az idtl, s (11,10)-bl lthat, hogy valsak. Az f nn mtrixelemek megadjk az / mennyisg tlagrtkt a y> llapotban.

Knnyen levezethetjk a mtrixszorzs szablyait. Ehhez elzetesen megjegyezzk, hogy fennll az

h n = ( n , u )m

sszefggs. Ez nem ms, mint az fggvny rpm szerinti sora, melynek egytt

46 II. FEJEZET. ENERGIA S IM PULZUS

hatit, mint szoksos, a (3,5) szably segtsgvel hatrozzuk meg. E kplet tekintetbevtelvel kt opertor szorzatnak a y> fggvnyre val hatst gy rhatjuk:

fg y n = f (&!>) = / X gkpk = gkn /fk = gk/kWm-k k k. m

Msrszrl viszont

fgH> = Z U'g)Wm >m

ezrt arra az eredmnyre jutunk, hogy az f g szorzat mtrixelemeit az

( f g ) m n = Y < f" 'k g k > ( 1 1 , 1 2 )k

kplet hatrozza meg. Ez a szably megegyezik a mtrixszorzsnak a matematikban elfogadott szablyaival: a szorzat els m trixnak sorait a msodik oszlopaival szorozzuk.

A mtrix megadsa egyenrtk magnak az opertornak a megadsval, 'l'bbek kztt, adott fizikai mennyisg mtrixnak ismerete elvben lehetv teszi a megfelel sajtfggvnyek meghatrozst.

Tekintsk minden mennyisg egy adott idpillanatbeli rtkt, s fejtsk sorba a tetszleges W hullmfggvnyt (ebben az idpillanatban) a Hamilton-opertor sajtfggvnyei, vagyis a stacionrius llapotok idtl fggetlen f hullmfggvnyei szerint:

'P = Z tW V m , (11,13)m

a sorfejtsi egytthatkat c,-mel jelltk. Helyettestsk ezt a sort az J' mennyisg sajtrtkeit s sajtfggvnyeit m eghatroz / ! / 7 = J W egyenletbe. Azt kapjuk, hogy

y, Cmif Vnt) = / Z m ni

Szorozzuk meg az egyenlet mindkt oldalt i/;*-gal, s integrljunk dq szerint. A bal oldalon megjelen y> * f y>mdq integrlok az f nm mtrixelemek. A jobb oldalon ll valamennyi J )/y/;m dq integrl az m y n esetben a y>, fggvnyek ortogonalitsa m iatt eltnik, s a normltsg m iatt J" y*y> dq = 1 . Ezrt6

Z / , , c n, = / c , (11,14)m

c Az ltalnos szablynak (5. ) megfelelen a ( 11,13) sorfejts c egytthatinak egyttest ener- giareprezentcibeli hullmfggvnynek tekinthetjk (a vltoz szerept az energiartkeket szmoz n index jtssza). Az fm mtrix az /op ertor megfelelje ebben a reprezentciban, melynek a

I l . . MTRIXOK 47

vagy

(/ -ft>n,n)cm = 0,m

ahol

. _ 0 , ha ?i ni,O fim fggvnyek helybe ugyanannak a mennyisgnek a sajtfggvnyeit helyettestjk, akkor az

fw n = egjenlet rtelmben

fnm = J ip*ftpmdq = f m \y*ymdq.

A y m fggvnyek ortonorm ltsga miatt lthat, hogy/,,,,, - 0 , ha n ^ m s f mm - f m. gy teht csak a ftlban ll elemek klnbznek nulltl, s ezek mindegyike megegyezik az /m ennyisg egy sajtrtkvel; ha egy mtrix ftlbeli elemei klnbznek csak nulltl, azt mondjuk, hogy a mtrix tls alak. Pldul a szoksos reprezentciban, am ikor c.-ek gyannt stacionrius llapotok hullmfggvnyeit vesszk, az energia m trxa tls alak (s minden olyan fizikai mennyisg mtrixa is, amelynek stacionrius aapotban meghatrozott rtke van). ltalban, az / mennyisg valamilyen g opertor sajtfggvnyei segtsgvel meghatrozott mtrixrl azt mondjuk, hogy j mtrixa olyan reprezentciban, me'- jen g tls alak. M indentt, ahol errl kln nem beszlnk, egy fizikai mennyisg mtrixn a szoksos reprezentciban (melyben az energia diagonlis) meghatrozott mt-

hullmfggvnyre val hlst a (11,14) egyenlet jobb oldaln ll kifejezs adja meg. A z / kplet egy mennyisg tlagrtkt adja meg opertorval s az adott llapot hullm-

fggvnyvel kifejezve.

4 8 TI. FEJEZET. ENERGIA S IMPULZUS

rixot rtnk. A mtrixok idfggsrl m ondottak termszetesen csak ebben aspecilis reprezentciban rvnyesek.7

Opertorok mtrixreprezentcijnak felhasznlsval bebizonythat a 4. -ban em ltett ttel: ha kt opertor felcserlhet egymssal, sajtfggvny-rendszerk kzs. L eg y e n /s g kt ilyen o p e r t o r . = g f-bl s a mtrixszorzs (11,12) szablybl kvetkezik, hogy

A mtrixelemek kiszmtsnl felhasznlt f n fggvnyrendszerknt az / opertor sajtfggvnyeit vlasztva, f mk = 0 addik az m k esetben, gyhogy a felrt egyenlsg az j mmgm = g J m vagy a

sszefggsre vezet. Ha az j mennyisg valamennyi/ , sajtrtke klnbz, akkor m ? H, azaz / , , / , = 0 esetn a gnm = 0 egyenlsg teljesl. A gIIIH mtrix teht szintn tls alak, vagyis a y>n fggvnyek a g fizikai mennyisgnek is sajtfggvnyei. Ha pedig a z / , sajtrtkek kztt egyenlk is vannak (azaz ha van olyan sajtrtk, melynek tbb sajtfggvny felel meg), akkor az egyes csoportoknak megfelel ipn fggvnyek kztti gmn mtrixelcmek ltalban nem tnnek el. De az

f mennyisg egy sajtrkhez tartoz y>n fggvnyek lineris kombincija is sajt- fggvny; mindig megvlaszthatjuk ezeket a lineris kombincikat gy, hogy a g,mi mtrix ftln kvli elemeit nullv tegyk, s gy ebben az esetben is olyan fggvnyrendszert kapunk, amelynek tagjai a z / s g opertoroknak egyarnt sajtfggvnyei.

Az alkalmazsokban hasznosnak bizonyul a

sszefggs, ahol /. valamilyen paramter, amelytl a H Hamilton-opertor (s vele egytt az E n sajtenergia is) fgg. Valban, a (H En)y>n = 0 egyenletet /. szerint differencilva, majd balrl megszorozva y>*-ga\, azt kapjuk, hogy

J '. f m k g k n ' ^ g m k f k u li k

gmnifn, - fn ) = 0

( 11, 16)

Figyelembe vve az energiamtrix diagonlis voltt, knny beltni, hogy a (11,8) egyenlsg valjban az opertorokra felrt (9,2) sszefggs mtrixalakban.

11. . M TRIXOK 49

A dq szerinti integrls utn az egyenlsg bal oldala eltnik, ugyanis

| y*n(fl E) d^ d q = dq,

a H opertor hermiticitsa miatt. A jobb oldal adja a keresett egyenlsget.A modern irodalomban ltalnosan elterjedt egy (Dirac ltal bevezetett) msik

jellsrendszer hasznlata, melyben az f nm mtrixelemeket az

< l/l > (11,17)

alakban rjuk .8 Ezt a szimblumot felfoghatjuk, m int az / mennyisgbl, valamint az | m) s (n\ szimblumokbl sszetett jellst. Ez utbbiak a kezdeti s a vgllapoto t jellik (fggetlenl attl, milyen reprezentciban tekintjk az llapotok hullm- fggvnyeit). Ugyanezek a szimblumok felhasznlhatk a hullmfggvny sorfejtsi egytthatinak jellsre: ha az |m ), |/j2), . . . llapotoknak megfelel teljes hullmfggvny-rendszernk van, akkor valamilyen |m ) llapot e fggvnyek szerinti kifejtsnek egytthatit (n t-1 m)-mel jelljk, s

(m !> = /'VnfPm dq. (11,18)

12. . Mtrixok transzformcija

Egy fizikai mennyisg mtrixelemeit kiszmthatjuk a hullmfggvnyek klnbz egytteseinek segtsgvel. Vehetjk pldul a fizikai mennyisgek klnbz csoportjaival jellemzett stacionrius llapotok hullmfggvnyeit vagy ugyanazon rendszer stacionrius llapotainak hullmfggvnyeit, klnbz kls tereket felttelezve. Ezzel kapcsolatban felmerl az a problma, hogy hogyan transzformldik egy mtrix, amikor egyik reprezentcirl egy msikra trnk t.

Legyen y>(q) s f{q) (n 1 ,2 , . . . ) kt teljes ortonorm lt fggvnyrendszer. A kt rendszert egy lineris transzformci kapcsolja ssze,

fy'/l Z Snuilpm , ( 12, 1)m

8 Ebben a ktetben a mtrixelemek mindkt jellsi mdjt hasznljuk. A (1 1,7) jells klnsen knyelmes, amikor az indexeket tbb bet egyttesvel tudjuk csak lerni.

50 II. FEJEZET. ENERGIA S IM PULZUS

mely nem egyb, m int a y>' fggvnyeknek a teljes y> fggvnyrendszer szerinti kifejtse. A transzformcit opertoralakban is rhatjuk:

Y> = ( 12,2 )

Annak megkvetelse, hogy a y>' fggvnyrendszer ortonorm lt legyen, ha y> is az, bizonyos feltteleket r az S opertorra. Valban, (12 ,2 )-t az J dq = bmn felttelbe helyettestve s figyelembe vve a transzponlt opertor (3,14) defincijt, azt kapjuk, hogy

J ( % ) dq = J y?S*St? dq =

Ez az egyenlsg akkor teljesl minden m -re s n-re, ha S*S = 1, vagy

* = $ + = S - * , (1 2 ,3 )

azaz az inverz opertor megegyezik az adjunglttal. Az ilyen tulajdonsg opertorokat unitr opertoroknak nevezzk. A fenti tulajdonsg rtelmben (12,1) fordtott transzformcija, y> = S-1)//, a

V" = Z Samfm (12,4)m

kplet alapjn vgezhet e l.Az S ^ S = 1, vagy S S = 1 egyenleteket mtrixokkal felrva, az unitaritsi felttel

a kvetkez alakot lti:

X S*mSi,< = , (12,5)i

vagy

^ S * mlS, = )mi. (12,6)/

Tekintsnk most egy f fizikai mennyisget, s rjuk fel mtrixelemeit az j" reprezentciban, azaz a y>'n fggvnyek hasznlatval. E mtrixelemek az albbi integrl segtsgvel szmthatk ki:

J dq = J ('ip*,,)(/S>j>) dq = J >p*,S* fSip,, dq = j

12. . MTRIXOK TRANSZFORMCIJA 51

Ebbl kitnik, hogy az / opertor mtrixa az j reprezentciban megegyezik az

/ ' = S - ' / S (12,7)

opertor mtrixval a rgi reprezentciban .11 A mtrix tls elemeinek sszegt a mtrix nyomnak10 nevezzk, jellse Sp/ :

S p / = I / ( 12,8 )n

Mindenekeltt megjegyezzk, hogy kt mtrix szorzatnak nyoma nem fgg a tnyezk sorrendjtl:

Sp (fg ) = Sp(g f). (12,9)

Valban, a mtrixszorzs szablyai szerint:

Sp (fg ) = E E fk8k = I Z = Sp(g/)." & k n

Hasonlan jrhatunk el annak bizonytsnl, hogy tbb mtrix szorzatnak nyoma nem vltozik a tnyezk ciklikus felcserlsekor; gy

Sp (fgh) = Sp (hfg) = Sp (ghf). (12.10)

A mtrix nyomnak legfontosabb tulajdonsga a mtrixelemek kiszmtsnl alkalmazott fggvnyrendszer megvlasztstl val fggetlensge. Valban,

S p / ' = Sp ( S - ' fS ) = Sp (6 5 - f ) = S p / (12,11)

Megjegyezzk tovbb, hogy az unitr transzformci vltozatlanul hagyja a transzformcinak alvetett fggvnyek abszoltrtk-ngyzetnek sszegt. Valban,

a Ha az f s g opertorok felcserlsi trvnye { /,,? } = - ihc, akkor a (12,7) transzformci utn azt kapjuk, hogy { / , g } ~ - ihc , azaz a felcserlsi trvny nem vltozik. A II. fejezet I. lbjegyzetben emltettk, hogy c az [ / , ] Poisson-zrjel kvantummechanikai megfelelje. A klasszikus mechanikban a Poisson-zrjelek invarinsak a vltozk (ltalnos koordintk s impulzusok) kanonikus transzformciival szemben (1. I. 45. ). Ebben az rtelemben mondhatjuk, hogy az unitr transz- formcik a kvantumelmletben ugyanazt a szerepet jtsszk, mint a kanonikus transzformcik a klasszikus mechanikban.

10 A nmet Spur sz nyomot jelent. Hasznljk egybknt az angol trace sz alapjn a Tr jellst is. Magtl rtetdik, hogy a nyomnak csak akkor van rtelme, ha az n szerinti sszeg konvergl, gyhogy mindig felttelezzk, hogy ez a felttel teljesl.

( 12 ,6) figyelembevtelvel rhatjuk, hogy

| w'i I2 = Skiy kS fM = W i h , = 11 Wk |2. (12,12)i k, l, i kJ kMinden unitr opertor felrhat az

S = (12,13)

alakban, ahol R hermitikus opertor; valban az fc+ = R egyenlsgbl kvetke- zik, hogy

+ = e ~in+ =

dinger-kptl val megklnbztetsl), a relativisztikus elmletben jtszott szerepe m iatt most kitrnk ismertetsre.

Bevezetnk egy unitr opertort [v. (12,13)] az

xi HtS = e * (13,2)

defincival, ahol f i a rendszer Ham ilton-opertora. S sajtfggvnyei definciszeren megegyeznek a f i opertor sajtfggvnyeivel, azaz a stacionrius llapotok f n(q) hullmfggvnyeivel, s

S f q ) = e k E"y>(q). (13,3)

Ebbl kvetkezik, hogy tetszleges W fggvny stacionrius llapotok szerinti (10,3) sorfejtse felrhat a

m 0 = Sn < l, 0 ) (13,4)

opertoralakban, teht az S opertor tviszi a rendszer valamilyen kezdeti idpillanatban rvnyes hullmfggvnyt tetszleges idpontbeli hullmfggvnybe.

(12,7)-nek megfelelen bevezetve az idtl fgg

/ ( / ) = S - ' f S (13,5)opertort, azt kapjuk, hogy

7 ( 0 = J W {q , 0 ) / ( 0 y ( 9 , 0 ) dq, (13,6)

vagyis az / mennyisg tlagrtkre vonatkoz kpletet (melyet az opertorok definilsra hasznlunk) olyan alakra hoztuk, amelyben az idfggst teljes egszben az opertor tartalmazza.

Nyilvnval, hogy a (13,5) opertornak stacionrius llapotuk hullmfggvnyei segtsgvel kpzett mtrixelemei megegyeznek a (11,3) kplet szerint meghatrozott

idtl fgg mtrixelemekkel.Vgl a (13,5) kifejezst id szerint differencilva (felttelezve, hogy maguk a z / s

H opertorok nem tartalmazzk a t idt), a

= (13.7)

egyenletet kapjuk, mely hasonl a (9,2) kplethez, de kiss ^ eltr jelentse van, ugyanis a (9,2) kifejezs az / fizikai mennyisgnek megfelel / opertor defincija, a (13,7) egyenlet bal oldaln viszont az / mennyisg opertornak idderivltja ll.

13. . OPERTOROK HEISENBERG-KPBEN 53

54 rr. FEJEZET. ENERGIA S IM PULZUS

14. . A srsgmtrix

Egy rendszer hullmfggvny segtsgvel val lersa a lehet legteljesebb kvantummechanikai lers az f. vgn kifejtett rtelemben.

Olyan llapotokkal, amelyek esetben ilyen lers nem lehetsges, akkor tallkozunk, ha egy nagyobb zrt rendszer valamely rszrendszert tekintjk. Tegyk fel, hogy a zrt rendszer mint egsz, valamilyen ll \ q , a) hullmfggvnnyel lert llapotban van, ahol x a vizsglt rendszer koordintinak sszessgt jelli, q pedig a zrt rendszer tbbi koordintjt. Ez a fggvny ltalban nem esik szt csak az x s csak a q koordintktl fgg fggvnyek szorzatra, gyhogy a vizsglt rendszernek nincs hullmfggvnye.11

L e g y e n /a rszrendszernkre vonatkoz valamilyen fizikai mennyisg. Opertora ekkor csak az x koordintkra hat, a 9 -kra nem. E mennyisg tlagrtke a vizsglt llapotban

/ = { J V \ q , x ) fV ( q , x) dq dx. (14,1)

Vezessk be a g(x, x ') fggvnyt

Q(x, x ) = J F (q , a ) *P*(q, x ') dq (14,2)

defincival, ahol csak a q koordintkra integrlunk; o(x, x ')-t a rendszer srsgmtrixnak nevezzk. A (14,2) defincibl nyilvnval, hogy a mtrix hermitikus:

o * ( x ,x ) = e(x,x ) . (14,3)

A srsgmtrix

o(x, x) = J I x) 2 dq

tls elemei meghatrozzk a rendszer koordintinak valsznsgeloszlst.A srsgmtrix segtsgvel a z / tla g r t k az

/ = J [/(?(*, *')].,-=, dx (14,4)

alakban rhat. Itt / csak a p(x, x ) fggvny x vltozjra hat, az eredmny kisz-

11 Ahhoz, hogy adott pillanatban 'F(q, x) ilyen szorzatra essk szt, arra van szksg, hogy az a mrs, amelynek kvetkeztben az adott llapot ltrejtt, kln-kln teljesen lerja a vizsglt rendszert s a zrt rendszer tbbi rszt. 'f(q , x)-nek ez a jellege a tovbbiakban csak akkor marad meg, ha a zrt rendszer szban forgrszei kztt nincs klcsnhats (1. 2.). A jelen esetben egyik felttelt sem ktttk ki.

14. . A SRSGM TRIX 55

mtsa utn x = x-ct kell helyettesteni. Ltjuk, hogy a srsgmtrix ismeretben a rendszert jellemz brmely fizikai mennyisg tlagrtke kiszmthat. Ebbl kvetkezik, hogy o(x, x ') segtsgvel a fizikai mennyisgek klnbz rtkeinek valsznsgt is meg lehet hatrozni. gy teht hullmfggvnnyel nem rendelkez rendszer llapott a srsgmtrix segtsgvel rhatjuk le. A srsgmtrix nem tartalmazza a rendszerre nem vonatkoz q vltozt, br magtl rtetdik, hogy lnyegben fgg a zrt rendszer egsznek llapottl.

A srsgmtrix segtsgvel val jellemzs a rendszerek kvantummechanikai lersnak legltalnosabb formja. Maga a hullmfggvnnyel val lers a g(x, x ') = = xF{x) W*(x') alak srsgmtrixnak megfelel specilis eset. Ez utbbi s az lta

lnos eset kztt a kvetkez lnyeges klnbsg ll fenn. Hullmfggvnnyel rendelkez llapotok (ezeket tiszta llapotoknak nevezzk) esetn mindig megadhat biztosan m eghatrozott eredmnyre vezet mrsi folyamatok teljes rendszere (matematikailag ez azt jelenti, hogy F valamilyen opertor sajtfggvnye). Csak srsgmtrixszal rendelkez llapotok (kevert llapotok) esetben viszont nincs egyrtelmen m eghatrozott eredmnyre vezet teljes mrsrendszer.

Tegyk fel, hogy a vizsglt rendszer zrt, vagy valamilyen idpontban zrtt vlt, s vezessk le a srsgmtrixnak idbeli vltozst ler egyenletet, mely analg a W fggvnyre vonatkoz hullmegyenlettel. A levezetst egyszersthetjk, szrevve, hogy a o(x, x \ /)-t meghatroz lineris differencilegyenlet teljesl abban a specilis esetben is, am ikor a rendszernek van hullmfggvnye, azaz

o(x, x ', t) - W (x,t)W *(x, t).

Id szerint derivlva, a (8,1) hullmegyenlet figyelembevtelvel:

* * - 0 ^

szerint; a kvetkez ketts sorhoz ju tunk:

(x ,x \ 0 = X Z amn'*(x', t)W m(x, t) =m n

= amnWn(x') fm (x) C h ^ ^ '. (14,6)m n

E z a sorfejts ugyanolyan szerepet jtszik a srsgmtrix esetn, mint (10,3) a hullmfggvnynl. Az an egytthatk egyttese helyett most ktindexes amn egytthatkkal van dolgunk. Ezek a mennyisgek, mint maga a srsgmtrix, hermitikusak:

run = dmn (14,7)

Valamilyen/ mennyisg tlagrtkt megkapjuk, ba (14,6)-ot (14,4)-be helyettestjk:

/ = anm J lF*(x, t)P P m{x, t) dx,m n

vagy

/ = I Z = , < ? * ^ ^ ' , (14,8)m m n

ahol f nm az / mennyisg mtrixeleme. Ez a kifejezs analg a (11,1) kplettel.12Az amn mennyisgek bizonyos egyenltlensgeknek tesznek eleget. A srsg-

mtrix q ( x , x ) tls elemei, melyek a koordintk valsznsgeloszlst hatrozzk meg, nyilvnvalan pozitv mennyisgek. A (14,6) kifejezsbl (x = x mellett) ezrt kvetkezik, hogy az amn egytthatk

I X ,n )n

kvadratikus kifejezse (a f-ek tetszleges komplex szmok) pozitv definit. Ez az amn mennyisgekre a kvadratikus kifejezsek elmletbl ismert feltteleket rja ki. Specilisan, valamennyi tls elem pozitv kell, hogy legyen:

ann S 0, (14,9)

5 6 II. FEJEZET. ENERGIA S IMPULZUS

12 Az amn mennyisgek a srsgmtrixot adjk meg energiareprezentciban. Egy rendszer ilyen mtrixszal val lerst 1927-ben egymstl fggetlenl L. Landau s F. Blocli alkalmazta elszr.

s brmely ann, amm, amn elemhrmas kielgti az

QnnPmm I Qmn ' (14,10)egyenltlensget.

Tiszta llapotban , am ikor a srsgmtrix fggvnyek szorzatra esik szt, az amn mtrix

a, = a, a* (14,11)alak.

Az amn mtrix ismeretben egyszer kritrium alapjn aldnthetjk, vajon tiszta , vagy kevert llapottal van-e dolgunk. Tiszta llapot esetn

(^)mrt = = = a,an j @k = Ctfnnk k k

vagy()l/l ~ a in n, (14,12)

azaz a srsgmtrix megegyezik nmaga ngyzetvel.

14. . A SRSGM TRIX 57

15. . Az impulzus

Tekintsnk egy zrt rszecskerendszert, melyre semmifle kls ertr sem hat. Mivel egy ilyen rendszer egsznek a trben felvett minden helyzete egyenrtk, Hamilton-opertora nem vltozik, ha a rendszert tetszleges tvolsgra prhuzamosan eltoljuk. Elegend e felttel teljeslst tetszleges, vgtelen kis eltols esetre megkvetelni; ekkor minden vges eltolsra is teljesl.

A vgtelen kis r tvolsgra val prhuzamos eltols olyan transzformci, amelynek sorn minden rszecske ra helyvektora (a a rszecske sorszma) ugyanazzal a r vektorral vltozik: ra ra+ r. A rszecskk koordintinak tetszleges y (ri, r>, . . ) fggvnye ilyen transzformci sorn tmegy a

y (r i+ r,r2+r, . . . ) = yi(ru r 2, . . . ) + r V ay> =a

= ( l + r vW (r,, r2 )

fggvnybe (v B az ra szerinti differencils opertora). Az

l +

58 II. FEJEZET. ENERGIA S IMPULZUS

kifejezs az infinitezimlis eltols opertora, mely a y (ri, r 2, . . . ) fggvnyt tviszi a ip(ri+r, r 2+ r, . . . ) fggvnybe.

Az, hogy bizonyos transzformci nem vltoztatja a H am ilton-opertort, annyit jelent, hogy a transzformit fiy> fggvny megegyezik a transzformit fggvnyre alkalm azott f i opertor hatsnak eredmnyvel. Matematikailag ezt a kvetkezkppen fejezhetjk ki. Legyen a vizsglt transzformcit megvalst opertor. Ekkor ( f i f ) fi(yi), amibl

H -H = 0,

vagyis a Hamilton-opertor felcserlhet -val.Az adott esetben a vgtelen kis eltols opertora. Minthogy az egysgopertor

(az 1-gyel val szorzs opertora) termszetesen minden opertorral felcserlhet, a r lland szorz pedig kihozhat a f i opertor jele all, az fi fi = 0 felttel a

V a) = 0 ( |5 ,1)

egyenlsgre vezet.M int m r tudjuk, egy (az idt expliciten nem tartalmaz) opertornak a Hamilton-

opertorral val felcserlhetsge azt jelenti, hogy az opertornak megfelel fizikai mennyisg megmarad. Az a mennyisg, amelynek megmaradsa zrt rendszer esetn a tr homogenitsbl kvetkezik, a rendszer impulzusa (v. I. 7.). A (15,1) sszefggs teht az impulzusmegmarads trvnye a kvantummechanikban; a opertor egy lland szorz erejig meg kell, hogy egyezzk a rendszer teljes impulzusval, az sszeg tagjai pedig az egyes rszecskk impulzusai.

A p impulzusopertor s a v opertor kztti arnyossgi tnyezt a klasszikus mechanikra val hatrtm enet segtsgvel lehet m eghatrozni; rtke ifi, gy

vagy komponensekbenp = - i h v , (15,2)

., S d 8Px = ~ l h V x = p * = - l h e r

Valban, felhasznlva a hullmfggvnynek a hatresetben rvnyes (6,1) kifejezst:

p W = - ih 4 - V v s = V v s ,n

azaz klasszikus kzeltsben a p opertor hatsa vS-sel val szorzsra korltozdik. A hats gradiense azonban ppen a rszecske klasszikus p impulzusa (1. I. 43. ).

15.. AZ IMPULZUS 59

Knnyen belthat, hogy a (15,2) opertor, ahogyan annak lennie kell, hermitikus. Valban, tetszleges, a vgtelenben eltn y>(x) s q>(x) fggvnyek esetn igaz, hogy

j* x)

60 II. FEJEZET. ENERGIA S IM PULZUS

[ugyanis a hromdimenzis -fggvnyt elllt tnyezk mindegyikre ((p'x- p x)l2^ ) = 2 ^* KPX- P X) stb.].

Az integrlst az

rf| = () (15,7)

kplet szerint vgezzk.14 Ebbl nyilvnval, hogy a (15,6)-nak megfelel normls- hoz a (15,5)-ben szerepl llandt 1-nek kell vlasztani:15

= eivrih. (15,8)

Tetszleges y>(r) hullmfggvny impulzus-sajtfggvnyek szerinti sorfejtse nem ms, mint a Fourier-integrl:

y (r) = = J a(p)M * ^ (15,9)

t(d3p = dpx dpy dpz). Az (5,3) kpletnek megfelelen a sorfejtsi egytthatk:

a(p) = J tp(r) ip*p(r) dV = j y>(r) c/K. (15,10)

Az a(p) fggvnyt a rszecske impulzusreprezentcibeli hullmfggvnynek tekinthetjk (I. 5.):

IQ & P

(2n,hf

annak a valsznsge, hogy az impulzus rtke ^p-ben van.Ahhoz hasonlan, ahogy az impulzus p opertornak sajtfggvnyeit defini-

14 A fenti kplet rtelme az, hogy az egyenlsg bal oldaln ll fggvny kielgti a

15. . AZ IM PULZUS 61

ltuk a koordintatrben, bevezethetjk a rszecske koordintjnak f opertort impulzusreprezentciban. Megkveteljk, hogy a koordinta tlagrtke

*(p)ra(p ) {^ y t (15,11)

alakban legyen felrhat. Msrszrl viszont gyanezt az tlagrtket a y.(r) hullm- fggvny segtsgvel is meghatrozhatjuk:

r = J y>*rip dV.

>p(r) (15,9) alatti alakjt berva s parcilisn integrlva, azt kapjuk, hogy

, 3a(p) cPp

'rV'(r) = | ro(p)e'pr/ ^ - = ifieiprl,

0 p { I z ih f '

Ennek s a (15,10) kifejezsnek a felhasznlsval

da( p) /:/j Sp (2 nr/i):i

addik. Ezt (15,ll)-gyel sszevetve ltjuk, hogy a helyvektor opertora impulzus reprezentciban:

f = ih S - (15,12)0p

Az impulzusopertor ebben a reprezentciban egyszeren a p-vel val szorzs.Befejezsl levezetjk tetszleges vges (nemcsak infinitezimlis) a tvolsgra

val eltols opertornak p segtsgvel kifejezett alakjt. A keresett opertor (jelljk 7 .,-val) defincija szerint

7 > ( r ) = V(r + a).

A i/'(r+ a) fggvnyt Taylor-sorba fejtve, rhatjuk, hogy

y>(r+a) = ip(r) + a ------h . .

vagy a p = ih v opertor bevezetsvel:

62 II. FEJEZET. ENERGIA S IM PULZUS

v(r + ) [ 1 + ^ aP + y ( ^ 3 p)

A szgletes zrjelben ll kifejezs a

T = exP ( J p)

opertor. Ez a vges eltols opertora.

+ >( = - ih -gr- (xip) + ihx = ihip.

v x

Ltjuk, hogy a pxx xpx opertor hatsa egyszeren -ih -sa l val szorzs; ugyanez rvnyes termszetesen />,-nak j'-nal /5.-nek 2 -vel val felcserlsre is. Azt kaptuk teht, hogy16

PxX -V/3 v = - ih , pyy ypy = - ih , pzz - z p z = - ih . (16,2)

A (16,1) s (16,2) sszefggseket egytt a kvetkez alakban rhatjuk:

Pixk - x kpi = -ihb ik (i , k = x , y , z ). (16,3)

16 Ezek az sszefggsek, amelyeket mtrixalakban Heisenberg rt fel elszr 1925-ben, a modern kvantummechanika megalkotsnak kiindulpo