laboratorio de anÁlisis y sÍntesis de...

DEPARTAMENTO DE TEORÍA DE LA SEÑAL Y

COMUNICACIONES

DISEÑO DE FILTROS

PRÁCTICA 1:

Filtrado de Señales Periódicas. Diseño de Filtros

ÍNDICE

1. Objetivos. 2

2. Herramientas. 2

3. Introducción teórica. 2

3.1 Análisis de Fourier de señales periódicas. 3

3.2 Visualización con MATLAB. 4

3.3 Filtrado de señales periódicas. 7

3.4 Funciones de cálculo del orden. 8

3.5 Funciones para la obtención de filtros prototipo. 9

3.6 Funciones de transformación y desnormalización. 10

3.7 Otras funciones. 14

4. Desarrollo de la práctica. 16

4.1 Desarrollo en Serie de Fourier. 16

Cuestiones. 16

4.2 Filtrado de señales periódicas. 17

4.3 Filtro para eliminar ruido en una banda de frecuencias. 18

5. Memoria. 20

Práctica 1: Filtrado de señales periodicas. Diseño de filtros. 2

1. Objetivos.

En esta práctica se pretende en primer lugar familiarizarse con el entorno de programación que proporciona Matlab para el manejo de señales y filtros analógicos. Para ello se proponen los dos apartados primeros donde se deberán generar señales y filtrarlas con un filtro proporcionado. Igualmente se analizará el proceso de filtrado analógico a la vez que se aprenderá a caracterizar un filtro dado. Una vez conocidos los procedimientos básicos de análisis y gestión de señales y filtros analógicos, se proponen otros apartados donde será necesario diseñar filtros para eliminar ruido añadido a señales. Con esto se pretende analizar los distintos tipos de filtros que se pueden presentar así como los problemas que pueden surgir del proceso natural de filtrado.

El presente documento está dividido en dos partes fundamentales: por un lado una introducción teórica de las señales, filtrado y las funciones principales que proporciona Matlab para su manejo y por otro lado los apartados de la práctica propiamente dicha.

2. Herramientas.

Será necesario únicamente el programa MATLAB con el toolbox de Señales instalado.

3. Introducción teórica.

Al iniciarse esta práctica el alumno ha de conocer los distintos tipos de filtros en función de su respuesta en amplitud:

• Paso-Bajo.

• Paso-Alto.

• Paso-Banda.

• Banda Eliminada.

También ha de saber que, a partir de una función de transferencia Paso-Bajo y mediante el uso de transformaciones matemáticas, es posible obtener cualquiera otra de las respuestas en amplitud existentes.

Además, se ha visto en la parte de teoría que las distintas respuestas en amplitud no se pueden realizar de manera ideal, sino que se han de implementar mediante aproximaciones. Las aproximaciones de amplitud más utilizadas que se han estudiado son:

• Aproximación máximamente plana o de Butterworth.

• Aproximación con rizado en la banda de paso o de Chebychev directo.

• Aproximación con rizado en la banda eliminada o de Chebychev inverso.

• Aproximación con rizado en ambas bandas, elíptica o de Cauer.

Diseño de filtros Curso 2009/10 Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones


En esta introducción lo que veremos son las funciones que nos permiten realizar los distintos filtros según su aproximación y respuesta en amplitud y algunas otras que nos serán útiles para comprobar algunas características de los filtros.

Las funciones de MATLAB que nos permiten obtener las funciones de transferencia según la aproximación se encuentran en el toolbox de señales y muchas de ellas son válidas para el diseño de filtros analógicos y filtros digitales. Aunque a continuación se hace una pequeña introducción de esas funciones, es conveniente la consulta de la ayuda para ver, en cada caso, los parámetros de entrada y salida.

3.1 Análisis de Fourier de señales periódicas.El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por

hallar la solución a un problema práctico: la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc.

A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas sinusoidales que forman una serie armónica.

Toda función f(t) periódica de periodo T, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,

donde el periodo T=2π/ω, y a0 a1 ...ai ... y b1 b2 .... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Conocida la función periódica f(t), calculamos los coeficientes ai y bi del siguiente modo:

( )2

0

2

2

2

T

T

af t dt

T−

= ∫

( ) ( )2

2

2cos 1, 2,3...

T

nT

a f t n t dt nT

ω−

= =∫

( ) ( )2

2

2 1, 2,3...

T

nT

b f t sen n t dt nT

ω−

= =∫


f t =a0

2∑

n=1

∞

an⋅cosnt bn⋅senn t


Las integrales tienen como límite inferior -T/2 y como límite superior T/2.

Si la función f(t) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

• Si f(t) es una función par, f(t)=f(-t), los términos bi son nulos.

• Si f(t) es impar f(t)=-f(-t), los coeficientes ai son nulos.

3.2 Visualización con MATLAB.Como ya se vio en la práctica de introducción a MATLAB, uno de sus puntos

fuertes es la facilidad con la que se pueden visualizar todo tipo de gráficos en la pantalla. En el desarrollo de esta práctica necesitaremos de esa habilidad y, por ello, vamos a realizar ahora algunos ejemplos.

• Visualización de una sinusoide.

Para la visualización de cualquier señal en el tiempo, lo primero es definir un vector de tiempo que representará el intervalo de visualización de la señal. Posteriormente este vector será el eje de tiempos en la orden plot de visualización. En el siguiente ejemplo se visualiza una sinusoide con f = 100 Hz.

>> t=0:1e-6:4/100; % Definimos el eje de tiempos como un vector de tiempo % que abarca 4 periodos de la señal.

>> y=sin(2*pi*100*t); % Calculamos la función seno de esa pulsación.

>> plot(t,y); % Representación de la función frente al tiempo.

En este caso se ha elegido una definición de visualización de 1 µseg, es decir, se han tomado muestras de la señal cada microsegundo. Esa definición se puede variar pero siempre que mantengamos la suficiente para ver correctamente la señal.



Como vemos, aunque la señal es continua sólo podemos trabajar con muestras de la misma puesto que de otra manera necesitaríamos infinitos puntos para su definición.

Otro punto interesante que vamos a utilizar en la práctica es la suma de señales. Para sumar dos señales y visualizarlas, simplemente hay que sumar los vectores que las definen y utilizar el plot de manera análoga a la anterior. Los vectores han de tener la misma longitud, es decir, las señales deben estar definidas en el mismo intervalo de tiempo.

>> t=0:1e-5:4/100; % Definimos el eje de tiempos como un vector de % que abarca 4 periodos de la señal.

>> y1=sin(2*pi*100*t);

>> y2=sin(2*pi*200*t);

>> y=y1+y2;

>> plot(t,y); % Representación de la función frente al tiempo.

• Visualización de la respuesta en frecuencia de un circuito.

Cuando conocemos la función de transferencia de un circuito, generalmente necesitamos visualizar su respuesta en módulo y fase para saber a priori los efectos que tendrá sobre las señales de entrada. Podremos saber, en el caso de un filtro, el tipo de filtro que es y las características de la aproximación utilizada.

Para la obtención de la respuesta en frecuencia de un sistema utilizaremos la función freqs de MATLAB cuya ayuda se muestra a continuación.



FREQS. Respuesta en frecuencia usando la Transformada de Laplace (dominio s).

H = FREQS(B, A, W) devuelve el vector complejo H de respuesta en

frecuencia del filtro B/A:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2

B s 1 2 ...H s

A s 1 2 ...

nb nb

na na

b s b s b nb

a s a s a na

− −

− −

+ + += =

+ + +

dados los coeficientes del numerador y del denominador en los vectores B y A. La respuesta en frecuencia se evalúa en los puntos especificados en el vector W (en rad/s). La magnitud y la fase pueden ser representadas gráficamente llamando FREQS(B, A, W) sin argumentos de salida.

[H,W ] = FREQS(B, A) escoge automáticamente un conjunto de 200 frecuencias W en las cuales se computa la respuesta en frecuencia.

FREQS(B, A, N) escoge N frecuencias.

Vea también LOGSPACE, POLYVAL, INVFREQS, y FREQZ.

La forma de utilizar esta función cuando lo que se desea es obtener la respuesta en un rango determinado de pulsaciones se muestra a continuación:

>> W = 0:0.001:5; % Definimos el intervalo de pulsaciones donde se calcula la

% respuesta. Definimos también el paso entre muestras

>> NUM = [0 0 0 1], DEN = [1.0000 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000]

>> H=freqs(NUM,DEN,W);

>> plot(W,abs(H)); % Gráfica del módulo

>> figure

>> plot(W,unwrap(angle(H))); % Gráfica de fase



En las órdenes anteriores podemos ver algunas funciones útiles en estos casos:

abs. Calcula el módulo de los números complejos.

angle. Calcula la fase de los números complejos.

unwrap. Evita los saltos de fase (entre -π y π) al trabajar con radianes.

3.3 Filtrado de señales periódicas.La función freqs se puede utilizar para obtener las señales de salida de un filtro

cuando conocemos la entrada y la función de transferencia. Para poder usarla sólo podemos trabajar con señales periódicas y nos basaremos en que cualquier señal periódica se puede obtener a partir de su serie de Fourier.

El filtrado de una sinusoide simple se obtiene simplemente modificando su amplitud y su fase según se obtenga de la respuesta en frecuencia del filtro a la frecuencia de dicha sinusoide. Esto es así porque el resultado de filtrar una señal sinusoidal es también otra señal sinusoidal (autofunción) pero multiplicada por el valor complejo de la función que atraviesa. A continuación se muestra un ejemplo:

>> t=0:1e-3:50;

>> x1=sin(0.5*t);

>> x2=sin(2.5*t);

>> x=x1+x2;

>> NUM = [0 0 0 1], DEN = [1.0000 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000]

>> H=freqs(NUM,DEN,[0.5 2.5])

>> y=abs(H(1))*sin(0.5*t+angle(H(1)))+abs(H(2))*sin(2.5*t+angle(H(2)));

>> subplot(211),plot(t,x),subplot(212),plot(t,y)



Cómo vemos las sinusoides se multiplican por el valor del módulo del filtro a la frecuencia de dicha sinusoide y se les suma un término de fase que es el obtenido de la función a esa frecuencia.

Cuando la señal no es sinusoidal simplemente hemos de descomponerla según su serie de Fourier y aplicar el principio de linealidad. Es decir, filtrar cada sinusoide de la serie por separado, sumándolas al final.

3.4 Funciones de cálculo del orden.Empezaremos por estudiar las funciones de cálculo del orden necesario del filtro

partiendo de sus especificaciones. Estas funciones se caracterizan porque su nombre termina en ord y son las siguientes:

• Buttord. Devuelve el orden necesario y la pulsación de corte a 3 dB de un filtro de Butterworth del que se le han pasado sus pulsaciones de corte de la banda de paso y de la banda eliminada así como las atenuaciones de la banda de paso y eliminada.

• Cheb1ord. Devuelve el orden necesario y la pulsación de corte de la banda de paso de un filtro de Chebychev directo (Tipo I) del que se le han pasado sus pulsaciones de corte de la banda de paso y de la banda eliminada así como las atenuaciones de la banda de paso y eliminada.

• Cheb2ord. Devuelve el orden necesario y la pulsación de corte de la banda eliminada de un filtro de Chebychev inverso (Tipo II) del que se le han



pasado sus pulsaciones de corte de la banda de paso y de la banda eliminada así como las atenuaciones de la banda de paso y eliminada.

• Ellipord. Devuelve el orden necesario y la pulsación de corte de la banda de paso de un filtro elíptico del que se le han pasado sus pulsaciones de corte de la banda de paso y de la banda eliminada así como las atenuaciones de la banda de paso y eliminada.

Estas funciones sirven tanto para diseñar filtros digitales como analógicos y para distinguir unos de otros se les ha de pasar como quinto parámetro de entrada una cadena de caracteres ‘s’ en caso de ser analógico, como es nuestro caso.

Veamos un ejemplo de su funcionamiento:

>> [N, Wn] = BUTTORD(10, 20, 2, 40, 's')

N =

8

Wn =

11.2469

En este ejemplo obtenemos el orden y la pulsación de corte de un filtro de Butterworth donde sus especificaciones nos dicen que ωp=10 rad/seg, ωa=20 rad/seg, αp=2 dB y αa=40 dB. Para los otros tipos de filtros se actuaría de forma similar. Sólo cambiaría la pulsación de corte que se devuelve, y que tiene un significado distinto como ya se vio en cada función.

3.5 Funciones para la obtención de filtros prototipo.Como sabemos, en el diseño de filtros, muchas veces no se diseña directamente un

filtro concreto sino que se utiliza lo que se llaman filtros prototipo y que se obtienen a partir de especificaciones normalizadas en amplitud. También sabemos que otras veces se pueden utilizar tablas de coeficientes una vez conocido el orden de un filtro para obtener la función correspondiente. El filtro obtenido de esas tablas está normalizado y dependerá del tipo de aproximación respecto a que pulsación lo está.

En MATLAB existen unas funciones que nos van a permitir la obtención de esos prototipos y que son las siguientes:

• Buttap. Devuelve los ceros, los polos y la ganancia de un filtro paso-bajo analógico de Butterworth prototipo (Normalizado respecto a ωc). Se le pasa como argumento el orden del filtro deseado.

• Cheb1ap. Devuelve los ceros, los polos y la ganancia de un filtro paso-bajo analógico de Chebychev directo prototipo (Normalizado respecto a ωp). Se le pasan como argumentos el orden del filtro deseado y la atenuación máxima en la banda de paso.



• Cheb2ap. Devuelve los ceros, los polos y la ganancia de un filtro paso-bajo analógico de Chebychev inverso prototipo (Normalizado respecto a ωa). Se le pasan como argumentos el orden del filtro deseado y la atenuación mínima en la banda atenuada.

• Ellipap. Devuelve los ceros, los polos y la ganancia de un filtro paso-bajo analógico elíptico prototipo (Normalizado respecto a ωp). Se le pasan como argumentos el orden del filtro deseado, la atenuación máxima en la banda de paso y la atenuación mínima en la banda atenuada.

Veamos un ejemplo con un filtro de Chebychev directo de orden 5 y atenuación máxima en la banda de paso de 2 dB:

>> [Z,P,K] = CHEB1AP(5,2)

Z =

[]

P =

-0.0675 + 0.9735i

-0.1766 + 0.6016i

-0.2183 + 0.0000i

-0.1766 - 0.6016i

-0.0675 - 0.9735i

K =

0.0817

3.6 Funciones de transformación y desnormalización.Una vez que tenemos un prototipo paso-bajo normalizado debemos, normalmente,

o bien transformarlo en otro tipo de filtro o bien desnormalizarlo para que se adapte a nuestra plantilla inicial. Para ello utilizaremos las funciones de transformación que se encuentran en el toolbox de señales.

• Lp2lp. Esta función desnormaliza una función paso-bajo prototipo. Lo que hace es convertir una función paso-bajo normalizada en otra con pulsación de corte distinta que se le pasa como parámetro. Los parámetros de entrada son el numerador y el denominador de la función normalizada y la pulsación de corte de la nueva función desnormalizada.

• Lp2hp. Esta función convierte un filtro paso-bajo normalizado en un filtro paso-alto con una pulsación de corte que se pasa como parámetro. Los parámetros de entrada son el numerador y el denominador del filtro paso-bajo normalizado y la pulsación de corte del filtro paso-alto que queremos obtener.

• Lp2bp. Esta función convierte un filtro paso-bajo normalizado en un filtro paso-banda con una pulsación central y un ancho de banda determinados que se pasan como parámetros. Los parámetros de entrada son el numerador



y el denominador del filtro paso-bajo normalizado, la pulsación central y el ancho de banda del filtro (B) que queremos obtener. Cuando se dice pulsación central nos referimos a la media geométrica de las pulsaciones extremo de la banda de paso. Se corresponde con la ω0 de la función de transformación paso-bajo paso-banda:

2 20s

B

λ ωλ

+=

• Lp2bs. Esta función convierte un filtro paso-bajo normalizado en un filtro banda eliminada con una pulsación central y un ancho de banda determinados que se pasan como parámetros. Los parámetros de entrada son el numerador y el denominador del filtro paso-bajo normalizado, la pulsación central y el ancho de banda del filtro (B) que queremos obtener. La pulsación central se corresponde con la ω0 de la función de transformación paso-bajo banda eliminada:

2 20

Bs

λλ ω

=+

Como ejemplo de aplicación de estas funciones, veamos el efecto que tienen sobre una función de transferencia normalizada de Chebychev de orden 5 con αp=2 dB que tiene la siguiente expresión:

( ) 5 4 3 2

0.0817

0.7065 +1.4995s +0.6935s 0.4593s+0.0817H s

s s=

+ +

En primer lugar queremos desnormalizar dicho filtro y llevarlo a una pulsación de corte de 5 radianes/segundo. Para ello utilizamos los siguientes comandos:

>> NUM=[0 0 0 0 0 0.0817]

NUM =

0 0 0 0 0 0.0817

>> DEN=[1.0000 0.7065 1.4995 0.6935 0.4593 0.0817]

DEN =

1.0000 0.7065 1.4995 0.6935 0.4593 0.0817

>> [NUMT,DENT] = LP2LP(NUM,DEN,5) % Desnormalizamos a 5 rad/seg

NUMT =

255.3125

DENT =

1.0000 3.5325 37.4875 86.6875 287.0625 255.3125



>> W=0:0.01:10;


>> HT=freqs(NUMT,DENT,W);

>> plot(W,abs(H),W,abs(HT))

Ahora, sobre ese mismo filtro queremos obtener un filtro paso-alto con pulsación de corte de 5 rad/seg.

>> [NUMT,DENT] = LP2HP(NUM,DEN,5) % Transformamos a 5 rad/seg

NUMT =

1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

DENT =

1.0e+004 *

0.0001 0.0028 0.0212 0.2294 0.5405 3.8250





Como último ejemplo veamos el caso de un filtro paso-banda que queremos obtener a partir del paso-bajo anterior. Este paso-banda tiene como pulsaciones de corte de la banda de paso ω1=3 rad/seg y ω2=5 rad/seg. Los comandos que permiten su obtención se muestran a continuación:

>> [NUMT,DENT] = LP2BP(NUM,DEN,sqrt(3*5),5-3)

NUMT =

2.6144 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000

DENT =

1.0e+005 *

Columns 1 through 9

0.0000 0.0000 0.0008 0.0009 0.0253 0.0208 0.3791 0.2032 2.7337

Columns 10 through 11

0.7153 7.5937

>> W=0:0.01:10;






3.7 Otras funciones.En este punto vamos a presentar una serie de funciones que, o bien no pertenecen a

ninguno de los apartados anteriores o bien siendo de diseño de filtros no van a ser utilizadas en el desarrollo de esta práctica.

a) zp2tf. Como hemos visto en un apartado anterior, las funciones que permiten la obtención de filtros normalizados devuelven los polos, los ceros y la ganancia de esas funciones. Sin embargo, las funciones de transformación necesitan como entrada el numerador y el denominador de la función. La función zp2tf nos va a permitir realizar ese cambio. Esta función tiene como entrada los ceros, polos y la ganancia, tal y como los devuelven las funciones de filtros normalizados y devuelven el numerador y denominador correspondientes.

b) zplane. Esta función nos permite obtener el diagrama de polos y ceros de una función de transferencia, bien a partir del numerador y el denominador o usando los polos y ceros ya calculados. A esta función se le pasan, por tanto, el numerador y denominador o los polos y los ceros y los representa en un gráfico. A continuación se muestra un ejemplo:

>> NUM = 0 0 0 0 0 32

NUM =

0 0 0 0 0 32

>> DEN = 1.0000 6.4721 20.9443 41.8885 51.7771 32.0000



DEN =

1.0000 6.4721 20.9443 41.8885 51.7771 32.0000

>> zplane(NUM,DEN)

Vemos que este es un filtro de Butterworth puesto que sus polos están colocados en una circunferencia. El radio de esa circunferencia será igual a la pulsación de corte a 3 dB de dicho filtro. En la representación vemos también un circulo de trazado discontinuo, este circulo tiene por radio la unidad y es de importancia en el diseño de filtros digitales.

Existe una función similar llamada pzmap que también representa los polos y los ceros, pero en este caso no representa el circulo unidad puesto que no está enfocado a los filtros digitales como el anterior.

c) Funciones directas para el diseño de filtros. Butter, Cheby1, Cheby2, Ellip. Estas funciones permiten el diseño de filtros según la aproximación elegida pero tienen la particularidad de que devuelven directamente el numerador y el denominador del filtro. Y no sólo de filtros paso bajo, sino de cualquier tipo y con cualquier pulsación de corte. Sin embargo, nosotros no vamos a utilizar estas funciones en el desarrollo de la práctica porque queremos realizar el proceso de diseño completo desde el prototipo al filtro final. Esta función sirve tanto para diseñar filtros analógicos como digitales y hay que indicar de alguna manera que tipo queremos obtener, esto se hace añadiendo un último parámetro de entrada que es una letra ‘s’.



4. Desarrollo de la práctica.

En la primera parte de la práctica se generará una señal periódica por medio de suma de sus armónicos, para, en el apartado siguiente ser filtrada con un filtro proporcionado. En este apartado se analizará el filtro proporcionado y se comprobará el efecto de filtrado sobre la señal.

Posteriormente en los apartados siguientes vamos a diseñar dos filtros para unas aplicaciones específicas. Se tratará de eliminar señales indeseadas que se han sumado como ruido a otras que sí son útiles. Para ello debemos definir la plantilla de especificación del filtro, obtener el orden necesario, calcular la función de transferencia normalizada y desnormalizar o transformar para obtener el filtro final.

4.1 Desarrollo en Serie de Fourier.De una señal par, de periodo T=1/20 segundos, conocemos los coeficientes de su

desarrollo en serie de Fourier, que vienen dados por la expresión:

an=12⋅sinc

n2

Podemos representar la señal según una serie de Fourier de la siguiente forma:

x t =a0∑n=1

∞

2⋅an⋅cos2⋅T

⋅nt

Se pide representar las distintas aproximaciones a x(t) que se obtienen de sumar un número finito de armónicos, en los siguientes casos y comentar los resultados. Se sugiere representar un número pequeño de periodos de la señal para mejorar la visualización, por ejemplo 2 ó 3 periodos. Represente también todos los casos en una misma gráfica. Utilice una resolución de 10-3 segundos.

a) 1 armónico.

b) 2 armónicos.

c) 10 armónicos.

d) 100 armónicos.

Cuestiones.1) ¿Qué observa al aumentar el número de armónicos? .

2) ¿Qué diferencia observa entre la primera y segunda gráfica?. ¿A qué se debe esto?.



3) ¿Qué señal se consigue con 100 armónicos?. ¿Qué diferencia hay entre esta señal con 100 armónicos o con más?.

4) Repita el apartado anterior pero con una resolución de 10-4 segundos. ¿Qué está ocurriendo?.

4.2 Filtrado de señales periódicas.

Tenemos un sistema que viene dado por la siguiente función transferencia:

4 2

4 3 2

0.0178s s( )

s s s s+174565825.98

+3733.11 +123583140.6+89.71 +32042.69 +1835977.27

=H s

Se pide:

a) Obtener el diagrama polo-cero y discutir en función de éste el tipo de filtro en función de su respuesta en amplitud.

b) Representar la respuesta en amplitud y en fase del sistema. Para ello usar la función freqs(). Además decir:

1. Tipo de aproximación.

2. Obtener los valores de p p a, ,ω α α utilizando Matlab. Comentar el procedimiento seguido. Puede utilizar la función “ginput” de Matlab o bien obtener los valores exactos examinando las variables creadas en Matlab.

3. ¿Presenta distorsión de fase en la banda de paso?.¿Por qué?.

4. ¿A qué son debidos los saltos en la fase?.

c) Para comprobar el efecto que produce esta función de transferencia sobre nuestra señal original x(t), vamos a hacer que una aproximación a ésta, compuesta por 40 armónicos, pase por el sistema representado por dicha función. Usaremos para ello la función freqs() de nuevo y aplicaremos la propiedad de linealidad, calculando el efecto sobre cada uno de los armónicos, para sumarlos finalmente a la salida. Representar la señal de salida.

d) ¿Es la señal de salida que esperaba?¿Por qué?. Dibujar en una misma gráfica el espectro de la señal de entrada y la respuesta en amplitud del filtro y relacionar la señal de salida obtenida con la información de esta gráfica. Para que se pueda ver mejor, represente únicamente los primeros 8 armónicos. (Utilizar la función LINE de Matlab para dibujar líneas y la función STEM para el espectro de la señal).



e) Usando la función lp2hp() sobre el anterior sistema, con el parámetro ω0=300⋅π2 , obtendremos una nueva función de transferencia. Representar su respuesta en amplitud y en fase. ¿Qué tipo de filtro es según la respuesta en amplitud?. Hallar la nueva frecuencia de corte de la banda de paso de forma teórica y gráficamente mediante Matlab.

f) Al igual que en el apartado c) haremos que una señal compuesta de 40 armónicos de la señal original pase por nuestro nuevo sistema (apartado anterior) con las siguientes restricciones:

1. La respuesta en fase se supone nula para todas las frecuencias. Representar en la misma gráfica la señal de entrada y de salida. Comentar los resultados.

2. Consideramos que el filtro presenta un retardo de grupo constante e igual a ¼ del periodo de la señal de entrada. Representar en la misma gráfica tanto la señal de entrada como la de salida. Comentar los resultados.

3. Consideremos la respuesta en amplitud y fase del filtro.

Comentar la salida obtenida en cada uno de estos tres casos del apartado f.

4.3 Filtro para eliminar ruido en una banda de frecuencias.Tenemos una señal x(t) periódica de periodo T=1/20 segundos de la que conocemos

su desarrollo en serie de Fourier. Sabemos además que sólo son necesarios 40 armónicos de dicha señal para aproximarla de manera aceptable.

a n=12⋅sinc2 n

2 12⋅sinc n

3 x t =a0∑

n=1

40

2⋅a n⋅cos 2⋅T

⋅n⋅t A esta señal se le suma un ruido n(t) proveniente de la alimentación de alterna, de

manera que el resultado es una señal con ruido y deformada que llamaremos y(t).

n t =cos5T ⋅t ; y t= x t n t

Se pide:

1. Representar en gráficas separadas la señal de entrada sin ruido, la señal de entrada con el ruido añadido y en una tercera gráfica representar el espectro de la señal de entrada con el ruido añadido. En este último caso pintar con otro color el espectro del ruido.

2. Diseñar razonadamente la plantilla del filtro que permita eliminar el ruido de la señal y(t) y recuperar la original x(t). Como condiciones para el diseño se pide:



• La atenuación máxima que sufran los armónicos de la señal será de 1 dB .

• La atenuación mínima para que una señal sea eliminada será de 40 dB.

• Se ajustarán las frecuencias de corte para que se cumplan las especificaciones con el mínimo orden posible y para que la banda de frecuencias eliminadas sea, al menos, de 10 Hz de ancho.

Representar en una figura la plantilla de atenuación diseñada utilizando la función LINE que proporciona Matlab.

3. Obtener el mínimo orden necesario del filtro de Butterworth que cumpla las especificaciones anteriores. Comentar el procedimiento seguido detallando las funciones utilizadas, sus parámetros y razonar los valores obtenidos.

4. Obtener la función paso-bajo normalizada correspondiente al orden anterior. Representar el diagrama de polos y ceros de dicho filtro.

5. Transformar el filtro paso-bajo de normalizado para que cumpla con la plantilla inicial. Representar el diagrama de polos y ceros resultante y deducir si representa el tipo de filtro que se buscaba. Comentar el procedimiento seguido detallando las funciones utilizadas, sus parámetros y razonar los valores obtenidos.

6. Representar las respuestas en amplitud y fase del filtro transformado. Mostrar, de manera gráfica, que se cumplen, con el filtro diseñado, las especificaciones de atenuación del enunciado (pintar la plantilla de atenuación o ganancia con la función de transferencia para comprobar que el filtro diseñado es válido). Además obtener gráficamente los valores de las atenuaciones a las pulsaciones límite en la banda de paso y atenuada, confirmando así que cumplen la plantilla diseñada.

7. Representar en una misma gráfica el espectro de la señal de entrada y la respuesta en amplitud del filtro diseñado. Comentar el efecto que producirá el filtro sobre la señal de entrada.

8. Por último filtraremos la señal y(t) con el filtro diseñado. Comentar la salida obtenida. Realizar también el filtrado de la señal sin tener en cuenta el efecto de la fase del filtro y representar la señal de salida y la salida ideal en una nueva gráfica. Comentar el resultado obtenido.

9. Repetir los puntos 3 al 8 para las siguientes aproximaciones:

• Chebychev directo.

• Chebychev Inverso.

• Elíptica.

Se recomienda reutilizar el código desarrollado para el filtro de Butterworth cambiando únicamente lo que sea necesario para cada aproximación. Se puede seleccionar el código para cada aproximación mediante un SWITCH.

10. Comentar las diferencias entre aproximaciones y si coinciden con lo esperado según la teoría conocida.



11. Diseñar el filtro necesario para obtener únicamente el ruido añadido a la señal original. Igualmente considerar un ancho de banda de 10 Hz y las atenuaciones en banda de paso y eliminada igual al filtro diseñado en el apartado 2. En este caso igualmente obtener el filtro con las cuatro aproximaciones estudiadas, sus diagramas polo-cero y respuestas en amplitud, atenuación y fase. Comprobar el proceso de filtrado y que la señal obtenida coincide con el ruido añadido. Para reutilizar el código de apartados anteriores, se puede hacer este filtro con la misma aproximación que la utilizada para el filtro anterior.

5. Memoria.

La memoria de esta práctica incluirá un(os) programa(s) de Matlab (comentados) en los que se calcule y visualice lo pedido en las cuestiones del apartado 4. Además se proporcionará una explicación y comentario de cómo se ha realizado la práctica y porqué se ha realizado de esa forma.

Se debe añadir en cada punto un apartado de conclusiones donde se comentarán los resultados en relación con la teoría ya conocida. Siempre que se pueda, se añadirán las gráficas necesarias para poder seguir las explicaciones.

NOTA: Para la realización de los filtros no se permite utilizar las funciones butter, cheby1, cheby2 y ellip.


laboratorio de anÁlisis y sÍntesis de...

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