lab 9 de dinamica
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Universidad Tecnología de Panamá
Facultad de Ingeniería Industrial
Lic. En Ingeniería Industrial
Materia:
Dinámica aplicada y teoría de control
Laboratorio #9
Vibración Armónica de Sistemas Dinámicos de Segundo Orden
Profesora:
Ing. Jacqueline Quintero
Estudiante:
Cristhian Vargas
Cédula:
4-764-745
2015
Introducción
Se dice que un sistema mecánico o estructural experimenta vibración forzada siempre que se suministra energía externa al sistema durante la vibración (Singiresu, 2012).
Esta energía puede ser aplicada mediante una fuerza o mediante un desplazamiento impuesto. Si esta excitación es armónica la respuesta del sistema se llama respuesta armónica.
La respuesta armónica total puede obtenerse como la suma de la respuesta homogénea (respuesta a entrada cero) y la respuesta particular (respuesta a condiciones iniciales cero).
En el laboratorio 6 obtuvimos mediante simulink la respuesta libre de los sistemas de primer orden, como asignación se pidió al estudiante que investigara las funciones de la paleta sources, entre las que se encuentra la función senoidal que utilizaremos en este laboratorio. Por medio de un procedimiento similar al utilizado en el laboratorio 6, se modelará el sistema de segundo orden mediante bloques de simulink, pero esta vez sí existirá una entrada para el puerto del sumador destinado a la función excitatriz (la función armónica). Se podrá observar la respuesta ante esta entrada y como es el comportamiento de esta respuesta ante las variaciones de los parámetros del sistema.
Objetivos
Simular sistemas lineales de segundo orden. Analizar la respuesta armónica de sistemas de un solo
grado de libertad. Investigar como influyen los parámetros del sistema en
las características de la respuesta.
Fundamento Teórico
Ecuación de Movimiento
Si una fuerza F(t) = P cos ωt actúa en un sistema masa resorte viscosamente amortiguado, la ecuación de movimiento es:
Como esta ecuación es no homogénea la suma de la solución homogénea y la solución particular proporciona su solución general. La ecuación homogénea representa la vibración libre del sistema. Esta vibración libre siempre se reduce a cero, siempre que exista amortiguamiento, es por ello que se llama transitoria; la solución particular, que permanece mientras la excitación permanezca, representa la respuesta de estado estable.
La respuesta de estado estable, puede ser asumida de la forma
como se observa la respuesta de estado estable tendrá la misma frecuencia que la señal excitatriz. No se suministra aquí las ecuaciones para el cálculo de las constantes de esta ecuación, si lo necesita refiérase al libro te texto (Singiresu, 2012).
En la sección experimental (9.4) podrá observar y comparar las respuestas armónicas de sistemas no amortiguados y
amortiguados, para diferentes frecuencias de entradas y factores de amortiguamiento.
Procedimiento experimental
Vibración Armónica de Sistemas no amortiguados
Modele en Simulink un sistema de segundo orden no amortiguado, para m = 10 kg, k = 4000 N/m; F(t) = 200senωt N, x 0 = 0,1 m y ˙x 0 = 10 m/s.
Al ser un sistema no amortiguado no habrá C x=0
M x+C x+kx=f (t )
M x+kx=Psenωt
x+ kMx= PMsenωt
x=−kMx+ PMsenωt
Sistema Armado
La frecuencia natural será
ω=√ kM=√ 400010 =20 rads
Sustituyendo en la ecuación tenemos:
x=−400 x+200sin 20 t
Utilizando las condiciones iniciales en 0 para comenzar se obtiene
Cuando ω>ωn se obtiene
Cuando ω<ωn se obtiene
Script para ω=20 rads
x=−400 x+200sin 20 t
Función de transferencia: X ( s)=0.1 s3+10 s2+40 s+4400
( s4+800 s2+160000 )
Modele en Simulink un sistema de segundo orden amortiguado, si la m = 10 kg, k = 1000 N/m; F(t) = 100senωt N, ω = 20 rad/s y factor de amortiguamiento ζ
La frecuencia natural de este sistema es: .
Obtenga la curva de respuesta para valores de ς, de 0,1, 0,3, 0,5, 1,0, 2,0.
Muestre todas las curvas en una sola figura. Edite.
Calculando la frecuencia natural ωn=√ KM=√ 100010 =10 rads
Con la ecuación
M x+C x+Kx=f (t)
x=−CMx− KMx+ PMsenωt
Para cada uno de los casos haremos lo siguiente
Para
ς=0.1
C=ς∗2√Km
C=0.1∗2√1000(10)
C=20 Nsm
Reemplazando en la ecuación se obtiene lo que siguiente
x=−CMx−Kmx+ Pmsenωt
x=−2010
x−100010
x+ 10010sen20 t
x=−2 x−100 x+10 sen20 t
Se realiza el mismo procedimiento para los demás valores de ς obteniendo así los siguientes resultados:
Para ς=0.3
C=60 Nsm
x=−6 x−100 x+10 sen 20t
Para ς=0.5
C=100 Nsm
Reemplazando en la ecuación obtenemos
x=−10 x−100 x+10 sen20 t
Para ς=1.0
C=200 Nsm
Reemplazando en la ecuación obtenemos:
x=−20 x−100 x+10 sen20 t
Para ς=2.0
C=400 Nsm
Reemplazando en la ecuación obtenemos:
x=−40 x−100x+10 sen20 t
Diagrama para todas las ecuaciones
Se obtiene la siguiente grafica
Conclusión
Este laboratorio ha sido de mucha ayuda para entender las funciones de los modelo de diagrama de bloques de Simulink que no son más una representación gráfica del modelo matemático de un sistema dinámico.
Simulink es una herramienta que nos ayuda a comprender mejor por medio de diagramas y graficas que nos permiten ver el funcionamiento o el comportamiento de los sistemas amortiguados y no amortiguados y modificarlos para poder ver ya sea el comportamiento con distintos valores o cómo se comporta un sistema con respecto a otro.
Bibliografía
Rao Singiresu. Vibraciones Mecánicas. PEARSON EDUCACIÓN, México, quinta edition, 2012.