La trigonometra es una rama de la matemtica, cuyo significado etimolgico es "la trig no tringulo y medicin de los tringulos". Deriva de los trminos griegos metron medida.[1] En trminos generales, la trigonometra es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las dems ramas de la matemtica y se aplica en todos aquellos mbitos donde se requieren medidas de precisin. La trigonometra se aplica a otras ramas de la geometra, como es el caso del estudio de las esferas en la geometra del espacio. Posee numerosas aplicaciones: las tcnicas de triangulacin, por ejemplo, son usadas en astronoma para medir distancias a estrellas prximas, en la medicin de distancias entre puntos geogrficos, y en sistemas de navegacin por satlites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robtico gigantesco de laEstacin Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ngulos de sus articulaciones. Calcular la posicin final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonmetricas de esos ngulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

Contenido[ocultar]y y

y y

1 Unidades angulares 2 Las funciones trigonomtricas o 2.1 Razones trigonomtricas o 2.2 Razones trigonomtricas recprocas o 2.3 Otras funciones trigonomtricas o 2.4 Funciones trigonomtricas inversas 3 Valor de las funciones trigonomtricas 4 Sentido de las funciones trigonomtricas o 4.1 Primer cuadrante

y y

y

y y y y y

4.2 Segundo cuadrante 4.3 Tercer cuadrante 4.4 Cuarto cuadrante 5 Representaci n grfica 6 Clculo de algunos casos o 6.1 Para 90o 6.2 Para 90+ o 6.3 Para 180o 6.4 Para 180+ o 6.5 Para 270o 6.6 Para 270+ o 6.7 Para 7 Identidades trigonomtricas o 7.1 Recprocas o 7.2 De di isi n o 7.3 Por el teorema de Pitgoras o 7.4 Suma y diferencia de dos ngulos o 7.5 Suma y diferencia del seno y coseno de dos ngulos o 7.6 Producto del seno y coseno de dos ngulos o 7.7 ngulo doble o 7.8 ngulo mitad o 7.9 Otras identidades trigonomtricas 8 Seno y coseno, funciones complejas 9 Vase tambin 10 Referencias 11 Bibliografa 12 Enlaces externoso o o

[edi

] U idades angulares

En la medida de ngulos, y por tanto en trigonometra, se emplean tres unidades, si bien la ms utili ada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemticas es el Radin la ms utili ada, y se define como la unidad natural para medir ngulos, el Grado centesimal se desarroll como la unidad ms prxima al sistema decimal, se usa en topografa, arquitectura o en construccin.y y y

Radin: unidad angular natural en trigonometra, ser la que aqu utilicemos. En una circunferencia completa hay 2 radianes. Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Transportador en radianes.

Transportador en grados sexagesimales.

Transportador en grados centesimales

[editar Las funciones trigonomtricasArtculo principal: Funcin trigonomtrica

La trigonometra como rama de las matemticas realiza su estudio en la relacin entre los lados y ngulos de un tringulo rectngulo, con una aplicacin inmediata en geometra y sus aplicaciones. Para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones que han sobrepasado su fin original, convirtindose en elementos matemticos estudiados en s mismos y con aplicaciones en los campos ms diversos.

[editar Razones trigonomtricas

El tringulo ABC es un tringulo rectngulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ngulo , correspondiente al vrtice A, situado en el centro de la circunferencia.y

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "s nus" en latn) es la razn entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

y

El coseno (abreviado como cos) es la razn entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

y

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razn entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

[editar Razones trigonomtricas recprocas

y

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razn recproca de seno, o tambin su inverso multiplicativo:

En el esquema su representacin geomtrica es:

y

La Secante: (abreviado como sec) es la razn recproca de coseno, o tambin su inverso multiplicativo:

En el esquema su representacin geomtrica es:

y

La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razn recproca de la tangente, o tambin su inverso multiplicativo:

En el esquema su representacin geomtrica es:

Normalmente se emplean las relaciones trigonomtricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un inters especfico en hablar de ellos o las expresiones matemticas se simplifiquen mucho, los trminos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

[editar Otras funciones trigonomtricasAdems de las funciones anteriores existen otras funciones trigo nomtricas, matemticamente se pueden definir empleando las ya vistas, su uso no es muy corriente, pero si se emplean dado su sentido geomtrico, veamos: El seno cardinal o funcin sinc (x) definida:

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, tambin se denomina sagita o flecha, se define:

El semiverseno, se utiliza en navegacin al intervenir en el clculo esfrico:

El coverseno,

El semicoverseno

El exsecante:

[editar Funciones trigonomtricas inversas

En trigonometra, cuando el ngulo se expresa en radianes (dado que un radin es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,

y es igual al seno de x, la funcin inversa:

x es el arco cuyo seno vale y, o tambin x es el arcoseno de y. si:

y es igual al coseno de x, la funcin inversa:

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y. si:

y es igual al tangente de x, la funcin inversa:

x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangente de y.

[editar Valor de las funciones trigonomtricasA continuacin algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Circunferencia en radianes. Grados Radian sexagesimal es es seno

Circunferencia en grados sexagesimales. coseno tangent cosecan cotangen secante e te te

Para el clculo del valor de las funciones trigonomtricas se confeccionarontablas trigonomtricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Mller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ngulo, calcular los valores de sus funciones trigonomtricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informtica, en prcticamente todos los lenguajes de programacin existen bibliotecas de funciones que realizan estos clculos, incorporadas incluso en calculadoras electrnicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.

[editar Sentido de las funciones trigonomtricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniomtrica (circunferencia de radio la unidad) con centro enO; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo sealamos como punto E. Ntese que el punto A es el vrtice del tringulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

a todos los efectos. La recta r, que pasa por O y forma un ngulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D. Por semejanza de tringulos:

Los puntos E y B estn en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonomtricas:

tenemos:

La tangente es la relacin del seno entre el coseno, segn la definicin ya expuesta.

[editar Primer cuadrante

Para ver la evolucin de las funciones trigonomtricas segn aumenta el ngulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, vindolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada funcin trigonomtrica variaran de longitud, siendo esta variacin funcin del ngulo, partiendo en el primer cuadrante de un ngulo cero. Partiendo de esta representacin geomtrica de las funciones trigonomtricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ngulo . Para , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias progresivamente, mientras que disminuir.

y

aumentarn

Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ngulo aumenta se desplaza sobre ella. El punto E es la interseccin de la circunferencia con el eje x y no varia de posicin. Los segmentos: y estn limitados por la circunferencia y por tanto su mximo valor absoluto ser 1, pero no est limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ngulo rad, la recta r ser la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia ser infinita. El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto ms alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno. Para un ngulo recto las funciones toman los valores:

[editar Segundo cuadrante

Cuando el ngulo supera el ngulo recto, el valor del seno empieza a disminuir segn el segmento , el coseno aumenta segn el segmento , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ngulo sigue creciendo. La tangente para un ngulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ngulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningn valor real, cuando el ngulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongacin de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ngulo aumenta progresivamente hasta los rad. Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno, , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta 1, para rad. La tangente conserva la relacin:

incluyendo el signo de estos valores. Para un ngulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos:

[editar Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ngulo rad a rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para rad:

Cuando el ngulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ngulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento se hace ms pequeo en el lado negativo de las x.

, el coseno,

El punto B, interseccin de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, . Y el punto D, interseccin de la prolongacin de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante Cuando el ngulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdr cero, el segmento ser igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdr 1, la recta r del ngulo y la vertical que pasa por E sern paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y. El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relacin:

que se cumple tanto en valor como en signo, ntese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

[editar Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ngulo entre rad y rad, las variables trigonomtricas varan desde los valores que toman para rad:

hasta los que toman para rotacin:

rad pasando al primer cuadrante, completando una

como puede verse a medida que el ngulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente tambin disminuye en el lado negativo de las y. Cuando , vale al completar una rotacin completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante. Dado el carcter rotativo de las funciones trigonomtricas, se pue afirmar en todos los de casos:

Que cualquier funcin trigonomtrica toma el mismo valor si se incrementa el ngulo un nmero entero de rotaciones completas.

[editar Representacin grfica

Representacin de las funciones trigonomtricas en el plano (x,y), los valores enel eje x expresados en radianes.

[editar Clculo de algunos casos

Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida en cuatro cuadrantes, por dos rectas perpendiculares, que se cortan en el centro de la circunferencia O, estas rectas cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, la recta horizonte AC tambin la podemos llamar eje x y la recta vertical BD eje y. Dada una recta r, que pasa por el centro de la circunferencia y forma un ngulo con OA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos que la vertical que pasa por F corta al eje x en E, la vertical que pasa por A corta a la recta r en G. Con todo esto definimos, como ya se vio anteriormente, las funciones trigonomtricas:

para el seno:

dado que:

Para el coseno:

dado que:

Para la tangente:

dado que:

partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos caso importantes:

[editar Para 90-

Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a un ngulo en el sentido horario, la recta r forma con el eje x un ngulo 90- , el valor de las funciones trigonomtricas de este ngulo conocidas las de sern: El tringulo OEF rectngulo en E, siendo el ngulo en F , por lo tanto:

en el mismo tringulo OEF, tenemos que:

viendo el tringulo OAG, rectngulo en A, siendo el ngulo en G igual a , podemos ver:

[editar Para 90+

Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a un ngulo , medido en sentido trigonomtrico, el ngulo formado por el eje horizontal OA y la recta r ser 90+ . La prolongacin de la recta r corta a la circunferencia en F y a la vertical que pasa por A en G. El tringulo OEF es rectngulo en E y su ngulo en F es , por lo tanto tenemos que:

En el mismo tringulo OEF podemos ver:

En el tringulos OAG rectngulo A y siendo

el ngulo en G, tenemos:

[editar Para 180-

Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a un ngulo , el ngulo entre el eje OA y la recta r es de 180- , dado el tringulo OEF rectngulo en E y cuyo ngulo en O es , tenemos:

en el mismo tringulo OEF:

En el tringulo OAG, rectngulo en A y con ngulo en O igual a , tenemos:

[editar Para 180+

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OC con un ngulo trazados la recta r, el ngulo del eje OA y la recta r es de 180+ , como se ve en la figura. En el tringulo OEF rectngulo en E se puede deducir:

en el mismo tringulo OEF tenemos:

en el tringulo OAG, rectngulo en A, vemos que:

[editar Para 270-

Sobre el eje OD y con un ngulo medido en sentido horario trazamos la recta r. El ngulo entre el eje OA y la recta r es de 270- . En el tringulo OEF, rectngulo en E, tenemos:

por otra parte en el mismo tringulo OEF, tenemos:

en el tringulo OAG rectngulo en A, y siendo

el ngulo en G, tenemos;

[editar Para 270+

Sobre el eje OD y con un ngulo medido en sentido trigonomtrico, trazamos la recta r. El ngulo entre el eje OA y la recta r es de 270+ . En el tringulo OEF, rectngulo en E, tenemos:

por otra parte en el mismo tringulo OEF, tenemos:

en el tringulo OAG rectngulo en A, y siendo

el ngulo en G, tenemos;

[editar Para -

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OA con un ngulo medido en sentido horario trazados la recta r, el ngulo del eje OA y la recta r es de - , o lo que es lo mismo 360- como se ve en la figura. En el tringulo OEF rectngulo en E se puede deducir:

en el mismo tringulo OEF tenemos:

en el tringulo OAG, rectngulo en A, vemos que:

[editar Identidades trigonomtricasArtculo principal: Identidades trigonomtricas

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometra existen seis identidades fundamentales:

[editar Recprocas

[editar De divisin

[editar Por el teorema de PitgorasComo en el tringulo rectngulo cumple la funcin que:

de la figura anterior se tiene que:

por tanto:

entonces para todo ngulo , se cumple la identidad Pitagrica:

que tambin puede expresarse:

[editar Suma y diferencia de dos ngulos

[edi ar] Suma y di erencia del seno y coseno de dos ngulos

[edi ar] Producto del seno y coseno de dos ngulos

[editar] ngulo doble

[editar ngulo mitad

[editar] Otras identidades trigonomtricas

Vase tambin: Sinusoide

[editar Seno y coseno, funciones complejasEl seno y coseno se definen en matemtica compleja, gracias a la frmula de Euler como:

Por lo tanto, la tangente quedar definida como:

Siendo

(tambin puede representarse como j).

Es preciso destacar, que todas las formulas trigonometricas anteriores, son derivadas del Teorema de Pitgoras. Introduccin En nuestros tiempos de avances tecnolgicos es necesario y casi prioritario el uso de clculos y funciones que a pesar que fueron creadas hace mucho tiempo siempre van a ser informacin y material de vanguardia en el moderno mundo de hoy, es necesario acotar que en el siguiente trabajo abordaremos temas de gran importancia en la matemticas especficamente en el area de trigonometra en donde estudiaremos sus funciones y algo mas. Dentro de los puntos que abordaremos estan los siguientes: Teorema de Pitgoras Ley de los Senos Ley del Coseno Funciones trigonomtricas Funcin Seno y Cosecante Funcin Coseno y Secante Funcin Tangente y Cotangente Frmulas trigonomtricas. 2. Teorema de pitgoras El teorema de Pitgoras es un teorema que se aplica exclusivamente a tringulos rectngulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un tringulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia as: c2 = a2+b2 donde a y b son los lados del tringulo rectngulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado ms grande del tringulo).

El cuadrito rojo en la esquina del tringulo indica solamente que ese ngulo es recto (o sea, mide exactamente 90) Para usar el teorema de Pitgoras, slo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el tringulo rectngulo: Te dan a (que es 3) y b (que es 4), as que sustituimos en la frmula, y eso nos d: c2 = (3)2 + (4)2 elevando al cuadrado, eso da: c2 = 9 +16 = 25 para obtener el valor de c, sacamos ra cuadrada: o sea que c = 5. Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues) , hay que despejar de la frmula la a2 o la b2, la que quieras. as por ejemplo, en el tringulo: hay que despejar la a de la frmula del teorema de Pitgoras, la b2 est sumando, la paso restando: c2- b2 = a2 Luego, como es, una igualdad, puedo escribirla as: a2 = c2 - b2 y ya est despejada. sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12) a2 = (15)2 - (12)2 elevamos al cuadrado y queda: a2 = 225 - 144 = 81 finalmente, sacamos ra al resultado, y ese ser el valor de a: 3. Ley de los senos La ley de los Senos es una relacin de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ngulos de un tringulo cualquiera, y que es til para resolver ciertos tipos de problemas de tringulos. La ley de los Senos dice as: donde A, B y C (maysculas) son los lados del tringulo, y a, b y c (minsculas) son los ngulos del tringulo: Observa que las letras minsculas de los ngulos no estn pegadas a su letra mayscula. O sea, la a est en el ngulo opuesto de A. La b est en el ngulo opuesto de B. Y la c est en el ngulo opuesto de C. Siempre debe ser as cuando resuelvas un tringulo. Si no lo haces as, el resultado seguramente te saldr mal. Resolucin de tringulos por la ley de los Senos Resolver un tringulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolucin de tringulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, slo la ley de los cosenos lo puede resolver. En general, si en un problema de tringulos te dan como datos 2 ngulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ngulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno. Supngamos que te ponen el siguiente problema: Resolver el tringulo siguiente:

Llamemos b al ngulo de 27 porque est opuesto al lado B; a al ngulo de 43 y A al lado de 5. Lo que tenemos entnces es lo siguiente: A=5 B=? C=? a = 43 b = 27 c=? El ngulo c es muy fcil de encontrar, porque la suma de los ngulos internos de un tringulo siempre suma 180. O sea que cuando te den dos ngulos de un tringulo, el tercero siempre sale as: c = 180 - a - b Esta frmula es vlida para cualquier tringulo. As que aprndetela bien o apntala por ah porque la usars muchsimo en matemticas. Sustituimos en sta expresin los ngulos que nos dan y queda as: c = 180 -43- 27 = 180 - 70 = 110 c= 110 Ya tenemos entnces los tres ngulos a, b y c. Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos: sustituyendo queda: Nos fijamos ahora slo en los dos primeros trminos: haremos de cuenta como que el tercer trmino, (la que tiene la C) no existe ahorita, de la igualdad que est en el recuadro se puede despejar la B, (como el sen (27) est dividiendo abajo, pasa del lado i quierdo multiplicando arriba): y calculamos sta expresin: 3.32838 = B y esto es lo que vale B. Ya nada ms falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, pero ahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C: (Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.) Despejemos la C, (como sen (110) est dividiendo abajo, pasa del lado i quierdo multiplicando arriba): hacemos las operaciones y queda: 6.88925 = C y con este resultado ya queda resuelto todo el tringulo. Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiramos usado la de los extremos, el resultado habra sido exactamente el mismo: o escrito ya sin el trmino de en medio: igual despejamos la C, (como sen (110) est dividiendo abajo, pasa del lado i quierdo multiplicando arriba): y si haces las operaciones vers que te d C = 6.88925 igual que antes. 4. Ley del coseno La ley de los Coseno es una expresin que te permite conocer un lado de un tringulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ngulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relacin es til para resolver ciertos tipos de problemas de tringulos. La ley del Coseno dice as:

y si lo que te dan son los lados, y te piden el ngulo que hacen los lados B y C, entnces dice as: donde A, B y C (maysculas) son los lados del tringulo, y a, b y c (minsculas) son los ngulos del tringulo: Observa que las letras minsculas de los ngulos no estn pegadas a su letra mayscula. O sea, la a est en el ngulo opuesto de A. La b est en el ngulo opuesto de B. Y la c est en el ngulo opuesto de C. Siempre debe ser as cuando resuelvas un tringulo. Si no lo haces as, el resultado seguramente te saldr mal. Observa que la ley del coseno es til slo si te dan los dos lados que te faltan y el ngulo opuesto al lado que buscas, o sea estos: Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ngulo que hacen los lados. Si no te dan el ngulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos. Resolucin de tringulos por la ley del Coseno Resolver un tringulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolucin de tringulos se pueden resolver con la ley del coseno. A veces, por los datos que te dan, slo la ley de los senos lo puede resolver. En general, si en un problema de tringulos te dan como datos 2 ngulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ngulo que forman esos lados, usa ley de los cosenos. Supngamos que te ponen el siguiente problema: Resolver el tringulo siguiente: llamemos a al ngulo de 25 porque est opuesto al lado A; C al lado que mide 12 porque est opuesto al ngulo c. y B al lado de 9 porque est opuesto al lado b. Lo que tenemos entnces es lo siguiente: A=? B=9 C = 12 a = 25 b=? c=? Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo: reali ando las operaciones queda: A = 5.4071 Para encontrar los ngulos faltantes usaremos la ley de los senos, : Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos de encontrar queda: Para encontrar el ngulo b, vamos a fijarnos en la primera igualdad: de sta igualdad despeja el ngulo b (una forma rpida de despejar cuando lo que queremos despejar est abajo, es como sigue: invierte primero los quebrados - lo de arriba psalo abajo y lo de abajo psalo arriba-: luego, lo que est dividiendo al sen(b) abajo, psalo multiplicando arriba del otro lado. y as es ms rpido.) haciendo las operaciones nos queda: invirtelo para que quede bien escrito: sen (b) = 0.7034297712 y saca la funcin inversa del seno (el arcoseno): b = sen-1 (0.7034297712) b = 44. 703 = 44 42'

El ngulo c es ahora muy fcil de encontrar, porque la suma de los ngulos internos de un tringulo siempre suma 180. O sea que cuando tengas dos ngulos de un tringulo, el tercero siempre sale as: c = 180 - a - b Esta frmula es vlida para cualquier tringulo. As que aprndetela bien o apntala por ah porque la usars muchsimo en matemticas. Sustituimos en sta expresin los ngulos que nos dan y queda as: c = 180 -25- 4442' = 180 - 6942' = 11017' c= 11017' y con este resultado ya queda resuelto todo el tringulo. 5. Funciones Trigonomtricas Funcin Seno: La funcin Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un tringulo rectngulo, entre su hipotenusa: As por ejemplo, en el tringulo rectngulo siguiente: el seno del ngulo alpha ser: Para obtener el valor de ngulo alpha, hay que sacar la funcin inversa del seno: cualquier calculadora cientfica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra tpicamente en la esquina superior i quierda, y luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no "sen" porque en ingls la funcin seno se escribe "sin"): para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ngulo alpha. Funcin Cosecante La funcin cosecante es parecida a la funcin seno, slo que al revs. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto en principio, para obtener el valor del ngulo alpha, uno debera sacar la funcin inversa de la cosecante: sin embargo, la mayora de las calculadoras no sacan sta funcin (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la funcin inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntndote "Cmo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitucin: y ya. Grfica de la funcin Seno Si graficas la funcin y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendras la siguiente figura: Observa que la funcin no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entnces que la funcin est "acotada" entre -1 y +1. Los valores para los que la funcin llega hasta +1 o -1 son los mltiplos impares de / 2 , o sea: con n entero y mayor que cero. La funcin seno(x) tiene periodo de 2, esto es, que cuando x es igual a 2, la funcin se vuelve a repetir tomando los valores que tom a partir del cero. Funcin Coseno: La funcin Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un tringulo rectngulo, entre su hipotenusa:

As por ejemplo, en el tringulo rectngulo siguiente: el coseno del ngulo alpha ser: Para obtener el valor de ngulo alpha, hay que sacar la funcin inversa del coseno: cualquier calculadora cientfica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra tpicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "cos": para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ngulo alpha. Funcin Secante La funcin secante es parecida a la funcin coseno, slo que al revs. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente: en principio, para obtener el valor del ngulo alpha, uno debera sacar la funcin inversa de la secante: sin embargo, la mayora de las calculadoras no sacan sta funcin (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la funcin inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntndote "Cmo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitucin y ya. Grfica de la funcin Coseno Si graficas la funcin Coseno en un plano cartesiano, sta se vera as: Observa que la funcin se parece muchsimo a la funcin Seno. La diferencia est en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la funcin coseno est desfasada medio perido respecto de la funcin seno. Igual que en la funcin Seno, la funcin coseno slo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice "acotada", que significa que tiene lmites de los cules ya no pasa. La funcin es peridica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2 (o sea que cuando x toma el valor de 2, la funcin vuelve a tomar los valores que tom desde el cero otra vez. Los valores para los que la funcin Coseno se vuelve +1 o -1 son los mltiplos enteros de , o sea: n con n cualquier entero incluyendo el cero. Funcin Tangente: La funcin Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un tringulo rectngulo, entre el cateto adyacente: As por ejemplo, en el tringulo rectngulo siguiente: la tangente del ngulo alpha ser: Para obtener el valor de ngulo alpha, hay que sacar la funcin inversa de la tangente: cualquier calculadora cientfica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra tpicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "tan": para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ngulo alpha. La funcin tangente se puede tambin definir a travs de las funciones seno y coseno como sigue: y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.

Funcin Cotangente La funcin cotangente es parecida a la funcin tangente, slo que al revs. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto hay otras notaciones vlidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas: pero es la misma funcin. En principio, para obtener el valor del ngulo alpha, uno debera sacar la funcin inversa de la tangente (la arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sera: sin embargo, la mayora de las calculadoras no sacan sta funcin (ni siquiera la cotangente) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la funcin inversa del inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntndote "Cmo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitucin: y ya. Grfica de la funcin Tangente Si graficaras la funcin y = tan (x) en un plano cartesiano, sta se vera as: los puntos donde la funcin se va a infinito se llaman "asntotas" y en esos valores la funcin tangente no est definida. Esta funcin tiene periodo (recuerda que en radianes = 180). Es decir que cuando la x toma los mltiplos de , la funcin vuelve a tomar los valores que tom desde el cero, y la funcin se repite as hasta infinito. Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la funcin tangente no est "acotada", o sea limitada en el eje de las y's, sino que puede tomar cualquier valor y no como la funcin seno o coseno que slo pueden tomar valores entre el +1 y el -1. Frmulas e Identidades Trigonomtricas La siguiente es una lista de frmulas trigonomtricas muy tiles para resolver muchos problemas: Fundamentales sen(-x) = -sen(x) cos(-x) = cos(x) tan(-x) = -tan(x) sen2x + cos2x = 1 1 + tan2x = sec2x 1 + cotan2x = csc2x sen ( - x) = sen (x) cos ( - x) = -cos (x) tan ( - x) = -tan (x) Suma y resta de dos ngulos en funciones trigonomtricas sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v) sen (u - v) = sen (u)cos (v) - cos(u)sen(v) cos (u + v) = cos(u) cos(v) - sen(u)sen(v) cos (u - v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v) Frmulas para la suma del doble del ngulo sen(2x) = 2sen(x)cos(x) cos(2x) = 2cos2(x) - 1 cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) cos(2x) = 1 - 2sen2(x)

Frmulas para el cuadrado de la funcin Frmulas para el cuadrado de la funcin con la mitad del ngulo Frmulas para la tangente de la mitad del ngulo Frmulas para el producto de seno y coseno Frmulas para la suma y resta de senos y cosenos Identidades entre funciones trigonomtricas Ley de los seno Ley del Coseno La ley de los Senos y ley del coseno se basan en ste tringulo: Tabla de coseno y seno de los ngulos principales 6. onclusi n A travs del tiempo una gran cantidad de personajes han dedicado su vida para contribuir con la realizacin de clculos que ayuden y nos lleven a encontrar respuestas y resultados exactos para as descubrir el porque de los fenmenos y hechos en la historia humana. Unos de los puntos dentro de la matemtica a resaltar seria las funciones trigonomtricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ngulo. Se dice que un ngulo situado en un plano de coordenadas rectangulares est en su posicin normal si su vrtice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. Estas funciones fueron creadas a partir de la trigonometra plana y esfrica para despus ser perfeccionada y lograr lo que hoy llamamos Funciones Trigonometricas, es necesario dejar claro que es importante ya que forma parte de la matemticas y que es fundamental en el desarrollo de algunas operaciones de clculos para as obtener los resultados de los objetivos trazados. 7. Anexos Problemas tpicos con frmulas trigonomtricas Suponte que te piden demostrar que: El chiste para hacer estos problemas es el siguiente: Escribe el ngulo que te piden (75 en ste caso) como la suma de dos ngulos cuyas funciones trigonomtricas conozcas (osea en trminos de 30, 45, 60 90) Vemos entnces que 75 lo podemos escribir como la suma de 30 + 45. Sustituyendo queda: sen (75) = sen (30 +45) Recordamos ahora la del seno de la suma de dos ngulos: sen(A + B) = sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A) aqu A va a ser 30 y B va a ser 45. sustituyendo queda: sen(30 + 45) = sen(30) cos(45) + sen(45) cos(30) sustitumos ahora a lo que es igual cada seno y coseno: Factorizemos todo lo que podamos:

pero como : entnces queda: si multiplicas los quebrados y el parntesis cuadrado, te da (el parntesis cuadrado slo multiplica a los nmeros de arriba, a los 1's pues) que es lo que queramos demostrar. Problemas tpicos con geometra en el Crculo Unitario Supnte que te piden encontrar el coseno y el seno de 225 por mtodo grfico (geometra) en el crculo unitario. Primero entnces grafcalo en el crculo unitario para ver en hasta dnde llega el ngulo: Lleg hasta el lado negativo de las x's y de las y's. Eso significa que los valores del coseno(225) y del seno(225) van a ser negativos, porque los lados del tringulo estn en la parte negativa de los ejes. Luego trata de ver si puedes encontrar el ngulo del tringulo, pero en trminos de un ngulo que ya conozcas. Por ejemplo, para ste problema, vemos que la mitad del ngulo mide 180: osea que el ngulo que nos piden (225) son 180 + 45 (porque 180 mas 45 nos dan 225) entnces , el ngulo , es 45. Entnces, el coseno de 225 es lo mismo que el coseno de 45 slo que negativo porque el lado de las x's del trangulo qued en los negativos. As tambin, el seno de 225 es lo mismo que el seno de 45 slo que negativo porque el lado de las y's del trangulo qued tambin en los negativos. Y como sabes: osea que: As es cono todos los ngulos bsicos. Titulo: 10 Olimpadas Iberoamericanas de Matemtica . Autor: Eduardo Wagner Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira Patricia Fauring Flora Gutirrez Ana Wykowski ISBN: 84-7666-076-6 Pg. : 290 Edita: Organizacin de Estados Iberoamericanos para la Educacin, la Ciencia y la Cultura (OEI)

Autor:

Felibert Manuel Dvila Glicerly Catia la Mar 18/03/2003. Repblica Bolivariana de Venezuela Ministerio de Educacin Cultura y Deporte El teorema del coseno es una generalizacin del teorema de Pitgoras en los tringulos no rectngulos que se utiliza, normalmente, en trigonometra. El teorema relaciona un lado de un tringulo con los otros dos y con elcoseno del ngulo formado por estos dos lados:Teorema del coseno Dado un tringulo ABC, siendo , , , los ngulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ngulos entonces:

En la mayora de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre deteorema del coseno, denominacin no obstante relativamente tarda. En francs, sin embargo, lleva el nombre del matemtico persa Ghiyath al-Kashi que unific los resultados de sus predecesores.[1]

Fig. 1 - Notacin ms habitual de un tringulo.

Contenido[ocultar]y y y

1 Historia 2 El teorema y sus aplicaciones 3 Demostraciones o 3.1 Por desglose de reas o 3.2 Por el teorema de Pitgoras o 3.3 Por la potencia de un punto con respecto a un crculo o 3.4 Por el clculo vectorial

y

y y y y

4 Generalizacin en geometras no eucldeas o 4.1 Geometra esfrica o 4.2 Geometra hiperblica 5 Generalizacin en el espacio eucldeo 6 Vase tambin 7 Referencias 8 Bibliografa

[editar HistoriaLos Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximacin geomtrica de la generalizacin del teorema de Pitgoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un tringulo obtusngulo y el de un tringulo acutngulo. La formulacin de la poca es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonomtricas y del lgebra oblig a razonar en trminos de diferencias de reas.[2] Por eso, la proposicin 12 utiliza estos trminos: En los tringulos obtusngulos, el cuadrado del lado opuesto al ngulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ngulo obtusoen dos veces el rectngulo comprendido por un lado de los del ngulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ngulo obtuso. Euclides, Elementos.[3] Siendo ABC el tringulo, cuyo ngulo obtuso est en C, y BH la altura respecto del vrtice B (cf. Fig. 2 contigua), la notacin moderna permite formular el enunciado as:

Fig. 2 - Tringulo ABC con altura BH.

Faltaba esperar la trigonometra rabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrnomo y matemtico al-Battani[4] generaliz el resultado de Euclides en la geometra esfrica a principios delsiglo X, lo que permiti efectuar los clculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.[5] [6] Fue durante el mismo perodo cuando se establecieron las primeras tablas trigonomtricas, para las funciones seno y coseno. Eso permiti a Ghiyath al-Kashi,[7] matemtico de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulacin durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por Franois Vite quien, al parecer, lo redescubri independientemente.[8]

Fue a finales del siglo XVII cuando la notacin algebraica moderna, aunada a la notacin moderna de las funciones trigonomtricas introducida porEuler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, [9] extendindose el nombre de teorema (o ley) del coseno.

[editar El teorema y sus aplicacionesEl teorema del coseno es tambin conocido por el nombre de teorema de Pitgoras generalizado, ya que el teorema de Pitgoras es un caso particular: cuando el ngulo es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se reduce a:

que es precisamente la formulacin del teorema de Pitgoras.

Fig. 3 - Utilizacin del teorema del coseno: ngulo o lado desconocido. El teorema se utiliza en triangulacin (ver Fig. 3) para resolver un tringulo, y saber determinary

el tercer lado de un tringulo cuando conocemos un ngulo y los lados adyacentes: .

y

los ngulos de un tringulo cuando conocemos los tres lados:

.

Estas frmulas son difciles de aplicar en el caso de mediciones de tringulos muy agudos utilizando mtodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeo respecto los lados a y b o su equivalente, cuando el ngulo es muy pequeo. Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos tringulos semejantes ABC y A'B'C' .

[editar Demostraciones[editar Por desglose de reas

Fig. 4a - Demostracin del teorema del coseno por desglose de reas, cuando elngulo es agudo. Un cierto nmero de las demostraciones del teorema hacen intervenir un clculo de reas. Conviene en efecto remarcar quey y

a, b, c son las reas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c. ab cos( ) es el rea de un paralelogramo de lados a y b que forman un ngulo de 90- (para una prueba, ver el apndice).

Dado que cos( ) cambia de signo dependiendo de si es mayor o menor a 90, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos La figura 4a (contigua) divide un heptgono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ngulo agudo. La divisin es la siguiente:y y y

En verde, las reas a, b la izquierda, y el rea , c a la derecha. En rojo, el tringulo ABC en ambos diagramas y en amarillo tringulos congruentes al ABC. En azul, paralelogramos de lados a y b con ngulo 90- .

Igualando las reas y cancelando las figuras iguales se obtiene que , equivalente al Teorema del coseno.

Fig. 4b - Demostracin del teorema del coseno por desglose de reas, cuando el ngulo es obtuso. La figura 4b (contigua) desglosa un hexgono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ngulo obtuso. La figura muestray y y

En verde a, b la izquierda y c a la derecha. En azul -2ab cos( ), recordando que al ser cos( ) negativo, la expresin completa es positiva. En rojo, dos veces el tringulo ABC para ambos lados de la figura. , como

Igualando reas y cancelando las zonas rojas da queramos demostrar.

[editar Por el teorema de PitgorasNotemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitgoras cuando el ngulo es recto. Por tanto slo es necesario considerar los casos cuandoc es adyacente a dos ngulos agudos y cuando c es adyacente a un ngulo agudo y un obtuso. Primer caso: c es adyacente a dos ngulos agudos.

Caso 1: c es adyacente a dos ngulos agudos Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitgoras, la longitud c es calculada as: (left) Pero, la longitud h tambin se calcula as:

(left) Combinando ambas ecuaciones y luego sim plificando obtenemos:

Por la definicin de coseno, se tiene:

y por lo tanto:

Sustituimos el valor de u en la ecuacin para c2, concluyendo que:

con lo que concluye la prueba del primer caso. Segundo caso: c es adyacente a un ngulo obtuso.

Caso 2: c es adyacente a un ngulo obtuso Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitgoras establece nuevamentec2 = h2 + u2 pero en este caso h2 = a2 (b + u)2. Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2 + a2 b2 2bu u2 y de este modo: .

De la definicin de coseno, se tiene .

y por tanto:

Sustituimos en la expresin para c y simplificamos c = a-b -2b(a cos( )-b), concluyendo nuevamente

. Esto concluye la demostracin. Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces slo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.

[editar Por la potencia de un punto con respecto a un crculo

Fig. 6 - Demostracin del teorema del coseno utilizando la potencia de un punto con respecto a un crculo. Consideremos un crculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6. Si AC es tangente al crculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitgoras. CuandoAC no es tangente, existe otro punto K de corte con el crculo. LA potencia del punto A con respecto a dicho crculo es . Por otro lado, AL = c+a y AP = c-a de modo que . Adems, CK= -2a cos( ) (ver el apndice) por lo que . Igualando las expresiones obtenidas se llega finalmente a:

Contrariamente a las precedentes, para esta demostracin, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ngulo agudo.

[editar Por el clculo vectorial

Utilizando el clculo vectorial, ms precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas lneas:

[editar Generalizacin en geometras no eucldeas

Fig. 7 - Tringulo esfrico: dimensiones reducidas a, b y c ; ngulos ,

y .

Para una superficie no eucldea de curvatura K, sealamos con R el radio de curvatura. Este verifica . Definimos entonces las dimensiones reducidas del tringulo: , , . En el caso de un tringulo esfrico, a, b y c corresponden a la medida angular de los segmentos de circunferencia maximal[10] [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 7).

[editar Geometra esfricaArtculo principal: Geometra esfrica

Cuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del tringulo, es decir cuando , esta expresin se simplifica para dar la versin eucldea del teorema del coseno. Para hacerlo, : , etc.

Existe una identidad similar que relaciona los tres ngulos:

[editar Geometra hiperblicaArtculo principal: Geometra hiperblica

En un tringulo hiperblico ABC, el teorema del coseno se escribe . Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del tringulo, encontramos el teorema del coseno eucldeo a partir de los desarrollos limitados , etc., , etc.

[editar Generalizacin en el espacio eucldeo

Fig. 8 - Tetraedro: vrtices, caras y ngulos. Consideremos un tetraedro A1A2A3 A4 del espacio eucldeo, siendo: la cara opuesta al vrtice la superficie de ; ;

el plano que contiene a la cara el ngulo diedral .

;

(La figura 8, contigua, presenta la notacin de los vrtices, caras y ngulos del tetraedro). Entonces, las superficies y ngulos verifican:

.

2ab+a.b(.b)= AC*AS"

[editar] Vase tambiny

y

y

Trigonometra o Triangulacin o Trigonometra esfrica o Funcin trigonomtrica Geometra del tringulo o Teorema de Pitgoras o Teorema del seno Matemticos o Euclides o al-Battani o Ghiyath al-Kashi o Franois Vi te

[editar] Referencias 1. Kennedy, E S ; Debarnot, M.- T (1979). Al-Kashi's Impractical Method of Determining the Solar Altitude. Journal for t History of Arabi Sci nce Aleppo 3 (2). pag 219-227. http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=12569968. Heath, Sir Thomas (1921) (en ingls). A history of Greek Mathematics vol 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918. Proposicin 12 del libro II de Los Elementos de Euclides. Esquema del desarrollo histrico de la matemtica pgs. pg. 6. Universidad Nacional del Nordeste. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Biografa de Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani (en ingls), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Abu%27l-Wafa.html, consultado el 08-06-2008

3. 4. 5.

2.

La trigonometria rab, Al-Battani, Abu l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi (en cataln) (html). Consultado el 08-06-2008 7. Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud (en francs). Vi te, Franois (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia 8. Mettayer. OCLC 165919384. 9. Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439445. ISBN 0-471-54397-7. 10. En geometra esfrica el concepto de lnea recta es reemplazado por el de geodsica la cual es la distancia ms corta entre dos puntos dados de la misma y sta es siempre una lnea que debe pertenecer a una circunferencia mxima (tambi n llamada maximal). Las circunferencias mximas son las lneas de interseccin entre la superficie esfrica y cualquier plano que pase por el centro de la misma, con estas restricciones se puede hablar an de tringulos de lados geodsicos. Los tringulos esfricos no cumplen con que la suma de sus ngulos internos sea 180, sin embargo la desigualdad triangular sigue vigente en geometra esfrica. 6. U.E.I.P. Romulo Betancourt .- Determine cual es el valor del otro lado dado que Considerando la ley de cosenos, ya que tenemos el valor de dos lados y un ngulo, tenemos:

2.-

Considerando

la

misma

figura

pero

ahora

los

siguiente

datos

determine el valor del ngulo. Utilizando la expresin de la ley de cosenos tenemos:

Sustituyendo los valores dados tenemos:

1.- Utilizando la ley de cosenos determine el valor deseado.

2.- Se puede determinar el valor de el lado C, si se conoce el valor de B, A y Cul ley deberamos utilizar? 4.- Grficas de las funciones trigonomtricas

?

Resulta de gran utilidad conocer el grfico de las funciones trigonomtricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Iniciemos por las funciones seno y coseno cuyo periodo es un ngulo cada .

, es decir, dado

En el grfico mostrado tenemos solo un solo periodo, en el siguiente grfico tenemos la misma funcin seno pero como veremos es la misma funcin seno pero con mas periodos.

Ntese en el siguiente grfico, que el codomio de la funcin seno esta definida en el intervalo , adems vemos que existen dos lneas que no forman parte de la

funcin pero que estamos utilizando para indicar que los puntos que intersecan dichas lneas tienen el mismo valor.

Su dominio para la funcin seno es

.

Analicemos ahora la funcin coseno

La funcin coseno tiene periodicidad

con dominio

con codominio

.

Funciones trigonomtricas elementales e Identidades trigonomtricas.

Las funciones trigonomtricas se construyen a partir del estudio de los tringulos rectngulos, existiendo seis funciones elementales, tres de ellas consideradas como primordiales bsicas (funciones seno, coseno y tangente) y las otras como reciprocas de las segundas (funciones cosecante, secante y cotangente).

Identifiquemos como distinguir los llamados catetos opuesto y adyacente, as como la hipotenusa (propia de los tringulos rectngulos). La determinacin de cul es el cateto opuesto y cul el cateto adyacente, en ocasiones resulta un poco enredosa, sobre todo para los estudiantes nuevos en el tema. Sin embargo, como veremos es bastante sencillo. Se realiza la eleccin de un ngulo antes de pensar en catetos e hipotenusa, por ejemplo elijamos en el tringulo rectngulo anterior el ngulo ,

coloreado por rojo, para dicho tringulo el cateto opuesto ser el lado que se encuentra enfrente de la letra griega , que en este caso es la letra A, la hipotenusa ser siempre

el lado que se encuentra enfrente del ngulo recto, en este caso denotado por la letra C, por ltimo el lado que resta ser el cateto adyacente, en este caso el lado denotado por la letra .

Si por el contrario hacemos la eleccin del ngulo

. El cateto opuesto ser

precisamente el lado opuesto o enfrente de dicho ngulo en este caso el lado denotado con la letra B; la hipotenusa, como ya mencionamos, ser siempre el lado que se encuentra enfrente del ngulo recto, en este caso denotado por la letra C; y el cateto adyacente ser el lado restante, denotado por la letra A. La tercera funcin trigonomtrica a estudiar es la funcin tangente, en espaol la abreviaremos con la palabra tan o tg seguido del ngulo al que haremos referencia, en este caso con el uso de calculadoras o software no hay mayor problema al hacer uso de este ya que en ingls su expresin es tangent teniendo la misma abreviacin tan. La funcin tangente es una funcin que relaciona los catetos de la siguiente forma

Realizando el anlisis expuesto para las otras dos funciones trigonomtricas

Elecci n del ngulo

Elecci n del ngulo

(Los lados relacionados son aquellos en (Los lados relacionados son aquellos en color azul) color azul)

De analizar los dos tringulos anteriores podemos definir lo siguiente

La siguientes tres funciones son reciprocas de las expuestas.