la numeración grieg1 - copia

5/10/2018 La numeraci n grieg1 - copia - slidepdf.com

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La numeración griega

Conozcamos la estructura general de los distintos sistemas denumeració de la Grecia del primer milenio antes de Cristo.

En el primer milenio antes de Cristo, no había un sistema griego demedidas estándar ya que los diversos estados helénicos seenorgullecían de su independencia respecto a los demás. Estoimplicaba que cada estado tenía su propia moneda, sus propios pesosy medidas, etc. A su vez, esto llevaba a que hubiera pequeñasdiferencias entre los sistemas numéricos ya que una de las principalesfunciones de un sistema numérico en la antigüedad era ayudar en lastransacciones comerciales. Sin embargo en este artículo noentraremos en este tema con suficiente detalle como para examinar

esas pequeñas diferencias sino que trataremos solamente laestructura general. Debemos de decir lo primero que los antiguosgriegos tenía sistemas diferentes para los números cardinales y losordinales así que hay que ser cuidadosos con lo que queremos decir por sistemas numéricos griegos. También veremos brevementealgunos de los sistemas que fueron propuestos por algunosmatemáticos griegos pero que no fueron aceptados ampliamente.

El primer sistema numérico griego que examinaremos es su sistemaacrofónico, el cual fue utilizado en el primer milenio antes de Cristo.'Acrofónico' quiere decir que los símbolos para los números vienen dela primera letra del nombre del número, así que el símbolo se derivade una abreviación de la palabra que se usa para ese número. Lasiguiente figura contiene los símbolos para los número 5, 10, 100, 1000 y 10 000.

5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

Hemos omitido el símbolo para 'uno', una simple '|', que es unanotación obvia que no viene de la letra inicial del nombre. Para 5, 10,100, 1 000 y 10 000 habrá solo un rompecabezas para el lector y esque el símbolo para 5 que debería ser P si esa es la primera letradePente. Sin embargo, esto es una simple consecuencia de loscambios que sufrió el alfabeto griego después de que se habían ya

fijado los símbolos para las cifras. Para ese entonces ya no sepensaba en los símbolos como provenientes de las iniciales así es que



no se les hicieron cambios junto con los de los símbolos para lasletras. La forma original de π era G y Pente era Gente.

Ahora bien, el sistema se basaba en el principio de adición de manera

parecida a los números romanos. Esto significa que 8 essencillamente V|||, el símbolo para cinco seguido de tres símbolospara uno. La siguiente figura muestra los números del uno al diez enacrofónicos griegos.

Uno al diez en números acrofónicos griegos

Si se usa la base 10 en un sistema aditivo sin símbolos intermedios,entonces se requieren muchos caracteres para expresar ciertosnúmeros. El 9999 requeriría 36 símbolos es este sistema lo que esmuy trabajoso. Ya hemos visto que los números acrofónicos griegostenían un símbolo especial para 5. Esto no es sorprendente ya quedisminuye la cantidad de caracteres que se requiere y también surge,presumiblemente, de contar con los dedos; tenemos 10 pero hay 5 encada mano. Lo que es un poco más sorprendente es que el sistematenía símbolos intermedios para 50, 500, 5000 y 50000 pero no erancaracteres nuevos sino símbolos compuestos conformados por un 5 ylos símbolos para 10, 100, 1000 ó 10000 respectivamente. Lasiguiente figura muestra cómo se formaban los símbolos compuestos.

Números acrofónicos combinados

Es de notar que ya que el sistema no es posicional, no habíanecesidad para un cero que señalara un espacio vacío. Elsímbolo H representaba 100 ya que no se crea un problema en larepresentación cuando el número no tiene decenas o unidades.

Claro que esta no es la única manera en la que se creaban lossímbolos compuestos. Ya hemos mencionado que diferentes estadosusaron variaciones del sistema numérico y, aunque no los vamos aexaminar en detalle, vamos al menos a dar algunos indicios quemuestran algunas de las 50 variaciones que se han encontrado. La

mayor parte de ellas son más antiguas que la forma principal de los

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números que hemos considerado la más típica del periodo 1500 a.C. a1000 a.C.

Formas diferentes de escribir 50 es distintos estados griegos

El siguiente punto a recalcar es que este sistema numérico noconsistía realmente en números abstractos en la manera en la quepensamos en ellos en la actualidad. Hoy el número 2 lo aplicamos acualquier colección de dos objetos y pensamos en el 2 como una

propiedad abstracta que es común a todas las colecciones quecontienen dos objetos. Sabemos que los antiguos griegos pensabande manera distinta ya los números se usaban de maneras un tantodiferentes dependiendo de a qué se referían. El uso más frecuente deeste sistema numérico era para cantidades monetarias. La unidadmonetaria básica era el dracma y había una unidad mayor llamada talento equivalente a 6000 dracmas. El dracma a su vez sesubdividía en óbolos, que valían 1/6 de dracma, y en chalcos, queeran 1/8 de óbolo. También se usaban medios óbolos y cuartos deóbolo. Debe notarse que este sistema monetario no era decimal

aunque el sistema numérico sí tenía al 10 como base y al 5 comobase secundaria.

Las diferentes unidades monetarias se denotaban modificando lanotación para las unidades en el número, como se muestra en lassiguiente figuras.

Forma de escribir 5678 dracmas

La forma de las unidades denotaría dracmas.

Escritura de 3807 talentos



En la figura anterior, las unidades ahora aparecencomoT (T de talento) mientras que una suma de dinero queinvolucrara tanto dracmas como óbolos se escribiría como se muestraen la siguiente figura.

3807 dracmas y 3 óbolos:

Este sistema acrofónico fue usado para otras cosas además dedinero. Un sistema muy similar fue empleado para los pesos ymedidas lo que no es sorprendente ya que el valor del dinero sin dudadebe haber evolucionado de un sistema de pesos. Esto lo confirma elhecho de que dracma es también el nombre de la unidad de peso.

Ahora echamos una mirada al segundo sistema numérico de la Greciaantigua, la numeración alfabética o, como se le llama a veces, elsistema 'educado'. Como lo sugiere la palabra 'alfabética', los númerosse basan en dar valores a las letras del alfabeto. Vale la pena hacer notar que los griegos fueron uno de los primeros pueblos en adoptar

un sistema de escritura basado en un alfabeto. No fueron losinventores de este tipo de escritura; ya los fenicios tenían un sistemaasí anteriormente. El alfabeto griego usado para escribir palabras fuetomado del sistema fenicio y era muy similar a él. No examinaremoslas formas de las letras griegas mismas pero hay que enfatizar qué tanimportante fue esta forma de escribir para el avance del conocimiento.Es fundamental para la manera de comunicarnos en la mayoría de lospaíses hoy en día, aunque algunos pueblos prefieren otras formas deescribir.

Hay 24 letras en el alfabeto clásico griego y éstas se usaban junto contres letras más viejas que han caído en desuso. Estas 27 letras son:

La tabla muestra tanto las mayúsculas como las minúsculas de las 24letras clásicas. Las letras digamma, qoppa y san son las tres

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obsoletas. Aunque no hemos dado sus símbolos en la tabla, síaparecen en las tablas de números que siguen. Las primeras de estasnueve letras fueron tomadas como los símbolos para 1, 2, ..., 9.

Números 1 al 9 alfabéticos

Nótese que el 6 está representado por el símbolo de la letraobsoletadigamma.

Las siguientes nueve letras se tomaron como símbolos para 10, 20, ...,90.

5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

. Hay que notar que el 90 se representa mediante la letraobsoletaqoppa.

Las nueve letras restantes se usaron como símbolos para 100,200, ..., 900.

5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

El 900 se representa usando el símbolo de la letra obsoleta san

A veces cuando estas letras se escriben para representar números, seponía una barra sobre el símbolo para diferenciarlo de la letracorrespondiente.

Ahora bien, los números se formaban mediante el principio aditivo. Por ejemplo, 11, 12, ..., 19 se escribían:



5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

Números más grandes se construían más o menos de la mismamanera. Por ejemplo, aquí está el 269:

5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

Este sistema numérico es compacto pero sin modificaciones tiene elgran inconveniente de que no permite expresar número mayores a999. Símbolos compuestos fueron creados para solucionar esteproblema. Los números entre 1000 y 9000 estaban formadosañadiendo un subíndice o un superíndice iota a los símbolos del 1 al 9.

5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

¿Cómo representaban los griegos los números mayores a 9999?Pues basaban los números mayores a este en la miríada, que valía10000. El símbolo M con números pequeños para un número hasta

9999 escrito sobre él significaba que el número en pequeño estaba



multiplicado por 10000. Por lo tanto, escribir β sobre la M representaba20000:

5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

De forma similar, ρκγ escrito sobre la M representaba 1230000

5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

Claro que escribir un número grande sobre la M era bastante difícilpor lo que muchas veces en estos casos el número pequeño seescribía después de la M en vez de sobre ella. Un ejemplo deAristarco:

5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

Para casi todos los fines este sistema numérico podía representar todos los números que pueden surgir en el día a día. De hecho, seríapoco factible que números tan grandes como 71755875 aparecieran

muy a menudo. Por otro lado, los matemáticos sí vieron la necesidadde extender el sistema numérico y ahora vemos dos de suspropuestas, la primera de Apolonio y después brevemente unade Arquímedes (aunque históricamente esta última fue hecha unos 50años antes que la primera).

Aunque no sabemos de primera mano sobre la propuesta de Apolonio,la conocemos a través de un reporte de Papo. El sistema que hemosdescrito arriba funciona con productos por una miríada. La idea que

usó Apolonio para extender el sistema a números más largos fuetrabajar con potencias de la miríada. Una M con una α sobre ella

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representaba 10000, M con β sobre ella representaba M 2 , es decir,10000000, etc. El número a ser multiplicado por 10000, 10000000, etc.se escribe después del símbolo M y se escribe χαι se escribe entre lospedazos del número; la mejor manera de interpretar este último

símbolo es como 'más'. Como ejemplo, aquí está el modo en queApolonio hubiera escrito 587571750269.

5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.

Arquímedes diseñó un sistema similar pero en vez de usar 10000 =104 como el número básico que era elevado a diversas potencias, usó100000000 = 108 elevado a potencias. El primer octetopara Arquímedes consistía de números hasta 108 mientras que elsiguiente eran los números desde 108 hasta 1016. Usando estesistema, Arquímedes calculó que el número de granos de arena quepodrían caber en el universo era del orden de el octavo octeto, esdecir, del orden de 1064.







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