7/25/2019 La Naturaleza de Los Neutrinos

1/3

Dirac vs. Majorana: La naturaleza de los neutrinos

Uzmar G omez, Ra ul PuenteFacultad de Ciencias, Universidad Nacional Aut onoma de Mexico

email: uzmar.gomez@ciencias.unam.mx , raulpuente@ciencias.unam.mx (Dated: 12 de noviembre de 2015)

En el presente texto se pretende dar a entender que son las partculas conocidas como neutrinos, sus propiedades ycaractersticas, as como la diferencia que existe entre las descripciones de Dirac y de Ma jorana respecto de dichas partculas.A pesar de que se procura no utilizar terminos demasiado tecnicos, al ser un tema avanzado, se presupone un conocimientobasico del mismo por parte del lector. El tema desarrollado es actual, esto quiere decir que, a un cuando muchos fsicosconsideran a los neutrinos como partculas de Majorana, a un no se encuentra evidencia experimental de este hecho o que,al contrario, permita concluir algo diferente.

INTRODUCCI ON

Hist oricamente, el estudio del decaimiento beta proporcion ola primera evidencia fsica de la existencia de la partcula co-nocida como neutrino. En fsica nuclear, el decaimiento betaes un decaimiento radioactivo en el cual un prot on se trans-forma en un neutr on o viceversa, lo que se lleva a cabo enel nucleo at omico. Como resultado de esta transformaci on, elnucleo emite una partcula beta, la cual puede ser un electr ono un positr on.

Sin embargo, en este proceso ocurren dos hechos ex-tra nos. Uno de ellos es el que la medici on del espectro deenerga cinetica de las partculas beta sugiere que este ultimoes un continuo, lo que entra en una clara contradicci on conla ley de la conservaci on de energa, ya que debera sucedersimplemente que la energa del electr on resultante fuera iguala la diferencia de energa entre los estados nucleares inicial ynal, provocando as una distribuci on de energa muy angosta(lo que s sucede en los decaimientos y ).

El otro hecho tiene que ver con la conservaci on del momen-

to angular. A continuaci on se explica esto de manera breve:el decaimiento beta deja el n umero m asico1 sin cambios y, sa-biendo que el espn es entero para un n ucleo con un n umeromasico par y semientero para un n ucleo con numero m asicoimpar, entonces el cambio entre espnes nucleares entre el es-tado nal e inicial del decaimiento debera ser entero, perolas partculas beta tienen espn 1/ 2 , de lo que se concluye unacontradiccion a la conservaci on del momento angular [1].

Para corregir estas contradicciones a dos de los postula-dos mas importantes de la fsica, en 1930 Paul i2 sugiri o que,adem as de los electrones y los protones, el nucleo del atomocontiene una partcula con carga neutra y muy ligera, a la quellamo neutr on, que tambien se emite durante el decaimiento

y que toma en cuenta la energa y momento angular faltante.En 1931, Enrico Fermi renombr o a esta partcula neutrino ypropuso un modelo de decaimiento beta donde se producanestas partculas, el esquema de dicho modelo puede apreciarseen la gura 1.

Algunas de las propiedades de esta partcula elemental (lascuales fueron predichas por Pauli y Fermi salvo por algunasligeras modicaciones) son las siguientes: los neutrinos son

1 El n umero masico es el n umero total de protones y neutrones (los queen conjunto se conocen como nucleones) en el n ucleo atomico.

2 Es interesante remarcar el hecho de que, para este caso, Bohr sugiri oel abandonar la idea de que la ley de la conservaci on de la energa esuniversal.

electricamente neutros, pr acticamente no tienen masa y poseen espn 1 / 2 . Ademas, solo interactuan mediante la fuerdebil y la fuerza de gravedad, lo que provoca que su deteccien el laboratorio sea muy complicada [ 2]. Finalmente, se saque existen tres tipos diferentes de neutrinos asociados a tresleptones masivos: e , y .

Figura 1: Decaimiento

Por tanto, debido a que los neutrinos son fermiones (i.e

espn semientero), es posible elegir dos caminos para describirlos. Uno es la descripci on de Dirac, y el otro es la descricion de Majorana.

FORMALISMO DE DIRAC

La ecuaci on de Schr odinger (en esta seccion seguimos, escialmente, la ref. [ 3])

i t

= 2

2m

2 + V = H 0

describe los sistemas cuanticos en un regimen no relativisty para partculas sin espn 3 . Por tanto, si se modica aprpiadamente la ecuaci on (1) de tal manera que se incorpore espn, se obtiene la ecuaci on de Pauli

i t

= H 0 + 0

B (L + 2 S )

mientras que, si se modica para que haya consistencia con lrelatividad especial, se obtiene la ecuaci on de Klein-Gordo

2

1c2

2 t 2

m 2 c2

2 = 0

3 El espn, como lo not o Pauli casi inmediatamente despues de queSchr odinger publicara su famosa ecuacion en 1927, es un par ameextra que se introduce a mano en esta descripci on.

mailto:uzmar.gomez@ciencias.unam.mxmailto:raulpuente@ciencias.unam.mxmailto:raulpuente@ciencias.unam.mxmailto:uzmar.gomez@ciencias.unam.mx

7/25/2019 La Naturaleza de Los Neutrinos

2/3

2 Ra ul Puente, Uzmar G omez

en donde se tomo, por simplicidad, V = 0. Esta ultima ecua-cion se deriva a partir de dos hip otesis, a saber

E = p 2

2m + V (4)

E 2 = m 2 c4 + c2 p 2 (5)

As, notamos que aparecen inmediatamente algunas dicul-tades a partir de la ecuaci on (3). La primera (y posiblementela mas difcil de digerir) es el hecho de que la densidad decarga 4 no es una cantidad positiva denida,

:= i e2m

t

t

(6)

por lo que la imagen no relativista = e no se recupera avelocidades bajas. Luego, otra dicultad (al menos aparente)es el hecho de que, al utilizar la solucion a la ecuaci on (3)como = A exp( iEt/ + ik x ) con k = p / , la ecuaci onse satisface si E = m 2 c4 + c2 p 2 , la teora predice la co-existencia de estados con energa positiva y negativa 5 . Pesea que este hecho de energas positivas y negativas pudieraaparentar ser un problema, m as adelante veremos que la mis-ma caracterstica se maniesta de la manera an aloga en lasiguiente descripcion.

Por tanto, llegamos al punto al cual lleg o Dirac [4], endonde surgi o la necesidad de buscar una ecuaci on que fue-ra consistente con la relatividad especial, as como que nohubiera que introducir a mano el espn, sino que este fuerauna caracterstica propia de la descripci on, adem as de quese eliminaran las dicultades explicadas anteriormente resul-tantes de la descripci on de Klein-Gordon (especialmente lade la densidad de carga). Dirac not o que el hecho de que laecuaci on (6) no sea positiva denida, se debe a una de lashipotesis de las cuales partimos (c.f. ecuaci on (4)). Por tanto,Dirac propuso substituir esta hip otesis de la relaci on entre E y p por una relaci on linealizada

E = c p + mc 2 (7)

donde los par ametros y deben determinarse (y usar de talmanera que se satisfaga la otra hip otesis dada por la ecuacion(5)). Vemos que si usamos las expresiones E = i t y p ,podemos escribir la ecuacion (7) como

i t = ii c + mc2 (8)

Como advertencia al lector, lo que sigue es un esbozo dela derivaci on de la ecuaci on de Dirac y, pese a que se intent osimplicar lo m as posible, no fue asequible eliminar dicha de-

rivaci on y solo poner la ecuaci on como se hizo en las ecuacio-nes (1) y (3). De la ecuaci on (7), vemos que podemos escribir

4 Vemos que nos vemos obligados a denir de esta manera debido aque, si escribimos = Re iS , entonces al usar la ecuaci on ( 6) de m asadelante, entonces

= emc 2

R 2 S

y queda claro que su signo depender a del signo que le toque al factor S ,que puede incluso cambiar con la evoluci on del sistema (se introdujoya el valor apropiado de A ).

5 De hecho, si se revisan los artculos originales que Schr odinger public oen 1927, notamos que el mismo lleg o a la ecuacion ( 3) pero, gracias aestas dicultades, decidi o pasar a una descipci on no relativista, obte-niendo as su celebre ecuaci on (1) .

en forma covariante E = c p con 0 = y p0 = mcal substituir para E 2 , obtenemos la condicion para (p, {1, 2, 3, 4}) como

+ = 2

donde es una matriz de 4 4. La raz on es sencillaexplicar, ya que el espn tiene dos grados de libertad asociadosa el, y la energa posee E dos estados asociados, para hay 4 estados diferentes, obligando al vector de estado atener al menos 4 componentes linealmente independientesAs, nalmente podemos escribir la ecuaci on de Dirac enforma usual deniendo las matrices como 0 = i j = i i , escribimos la ecuaci on (8) como

+ mc

= 0 (

que es la forma usual de la ecuacion de Dirac.Debido a que se sigue cumpliendo la hip otesis ( 5), se

guen presentando dos valores posibles para la energa, unopositivo y uno negativo. Esto es justamente lo que llevDirac a proponer que la energa negativa corresponde a unaantipartcula 7 , i.e. otra partcula con la carga opuesta a loriginal. Esto se aplica directamente al caso de los neutrino(que, como hemos visto en clase, poseen un valor de espn 1por lo que a la Dirac , cada neutrino es diferente a su correpondiente antineutrino. En la siguiente secci on se examuna propuesta enteramente diferente, el que cada neutrino es justamente su propia antineutrino.

FORMALISMO DE MAJORANA

Es algo conocido que las partculas neutras pueden o no tenerantipartculas distintas. Los neutrinos pertenecen a esta clasey, por ello, pueden ser considerados partculas de Majorana.Esto ultimo quiere decir, en general, que es posible ver los neutrinos como partculas cuyas antipartculas son ellosmismos [5], y se pueden encontrar en dos diferentes estados

L , R

donde los subndices L y R denotan helicidad 8 izquierdderecha, respectivamente.

En el formalismo original del modelo est andar, las masas los neutrinos se toman como cero y no es posible la distinciexperimental entre los neutrinos de Dirac y Majorana.

6 Recordemos que hay una ecuaci on similar en terminos de las matricesde Pauli (para i, j {1, 2, 3}), a saber

i j + j i = 2 ij

por lo que, pese al parecido, no es posible utilizar las i como treslas m u ya que el agregar cualquier otra matriz, el conjunto resultante sera linealmente dependiente, por lo que es necesario extenderel espacio a una dimensi on m as.

7 Dirac no uso precisamente este termino, aunque menciona explcita-mente en su artculo original de 1928 que la segunda soluci on corponde a otra partcula con carga opuesta.

8 La helicidad es la proyecci on del momento angular sobre la direccidel momento lineal. Para la comprensi on del texto no es necesarconocer a fondo esta cantidad. Para el lector interesado, se recomiendaleer el captulo correspondiente de la ref. [3].

7/25/2019 La Naturaleza de Los Neutrinos

3/3

Dirac vs. Majorana: La naturaleza de los neutrinos

En el formalismo de Majorana, la conservaci on del nume-ro lept onico para reacciones que involucran neutrinos es unacasualidad que viene de la estructura del espn en las interac-ciones debiles que involcuran neutrinos sin masa, y son espe-radas desviaciones en predicciones para neutrinos que tienenmasa distinta de cero. A partir de la suposici on de la conser-vacion del numero leptonico, es posible inferir si los neutrinosson de Majorana o no. Para esto es necesario el estudio del

doble decaimiento beta.

(a)

(b)

Figura 2: a) Doble decaimiento , b) Doble decaimiento sinneutrinos.

El doble decaimiento beta consiste en el decaimiento dedos neutrones, produciendo dos antineutrinos. Este procesose representa como

(Z, A) (Z + 2 , A) + 2 e

+ 2 e (11)Un proceso parecido se conoce como el doble decaimiento

beta sin neutrinos ( neutrinoless double- decay ), el cual serepresenta como

(Z, A) (Z + 2 , A) + 2 e (12)

mismo que (si los neutrinos no son de Majorana) no se permi-te segun el modelo est andar debido a la violacion del numero

lept onico. Sin embargo, si se trata con neutrinos de Majorana, este proceso puede suceder con neutrinos que poseen masdistinta de cero ya que, como ya se mencion o, los neutrinson sus propias antipartculas, y el proceso podra llevarse acabo como se muestra en la gura 2b.

As, si fuera posible observar este proceso en el laboratorio, esta sera una prueba de la existencia de los neutrinos deMajorana (aunque siempre podra suceder que el proceso se

diera gracias a mecanismos desconocidos m as alla del modest andar). Sin embargo, en la actualidad, la b usqueda de te decaimiento en varios n ucleos solo ha arrojado resultadonegativos.

Para nalizar esta parte, es importante mencionar que laecuacion de Majorana es una ecuaci on de onda relativistanaloga a la de Dirac, que se puede ver en 10, pero incluyecarga conjugada c (lo que en la descripci on de Dirac sesu antipartcula) del espinor , y se escribe como

+ mc

c = 0 (

Donde m se conoce como la masa de Majorana.

CONCLUSIONES

En este trabajo nos dimos a la tarea de presentar algunasventajas y desventajas de ambas descripciones de los neutri-nos. Sin embargo, como el lector crtico ha de notar, a la fechhay m as preguntas que respuestas sobre los neutrinos (e.g. nose tena certeza sobre su masa hasta muy recientemente [Como adici on podemos recomendar referencias para el lectointeresado concernientes a ambas descripciones: La paradojade Klein se puede revisar en el problema ilustrativo 22.1 de lref. [3], mientras que un (no tan simple) argumento en contrade la descripci on de Majorana se puede ver en la ref. [ 7].

Segun diversas fuentes, uno puede observar que la creencia de que los neutrinos son partculas de Majorana es muycomun en el ambito cientco. En particular, los fsicos tecos creen en que los neutrinos son partculas de Majoranadebido a que el Modelo Estandar lo predice, sumado a qusolo podran ser partculas de Dirac si se presupone la conservaci on del numero leptonico (lo que no se puede asegurya que esta cantidad no es fundamental).

[1] A. Franklin, Are there really Neutrinos?: An Evidential History (2003).[2] C. G. D., D. J. E., and G. B. M., The Ideas of Particle Physics,

An introduction for Scientists (2006).[3] L. de la Pena, Introducci on a la mec anica cuantica (2006).[4] P. Dirac, Proceedings of the Royal Society of London A: Mat-

hematical, Physical and Engineering Sciences 117 , 610 (192[5] D. J. Griffiths, Introduction to elementary particles (2008)[6] T. Kajita and A. B. McDonald, (2015).[7] E. R. Caianiello, Phys. Rev. 86 , 564 (1952) .

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2015/advanced-physicsprize2015.pdfhttp://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.86.564http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.86.564http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.86.564http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.86.564http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2015/advanced-physicsprize2015.pdf