� . .

matemat1ques G upZERO I

la n1esu .. a i els nolilb .. es

B.U.P. l

l.CE. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA

�editorial vicens-vives

matemàtiques GrupZERO I

la •e•u•a i elsno•b•e•

B.U.P. l

l.C.E. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA �editorial vicens-vives

D irecció d'edició: Anna V icens

������� GRUP ZERO (BARCELONA) ������--.

Formen part del GRUP ZERO:

Carmen Azcarate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Marti

Casadevall, Ester Casellas, M.ª José Castelló, Montse Comas, Rubi Cor­

beró, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafanell, Cristina Fabregat.

Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Antoni Montes, Paco Moreno,

Manuel Udina.

Portada: Totalitzador de 1902 Segona ed1c10, 1985

Dipòsit Legal: B. 256-1985 ISBN: 84-316-1877-9

N.º d'Ordre V.V.: D-108

Llibre autoritzat pel Departament d'Ensenyament de la Generalitat de Catalunya 1'1-7-1981(D.O.G.26-8-1981).

GRUP ZERO: Carmen Azcàrate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Marti Casadevall, Ester Casellas, M.ª José Castelló, Montse Comas, Rubi Corbero, Jordi Deulofeu, Belèn Escudè, Joan Estafanell, Cristina Fabregat,

Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Antoni Montes, Paco Moreno i Manuel Udina. Sobrn la part literària.

Reservats tots els drets d'edició a favor d'Ediciones Vicens-Vives, S.A.

Prohibida la reproducció total o parcial per qualsevol mitjà.

IMPRÈS A ESPANYA PRINTED IN SPAIN

Editat per Ediciones VICENS-VIVES, S.A. Avda. de Sarrià, 130. Barcelona-08017. Imprès per Gràficas INSTAR, S.A. Metal·lúrgia, s/n, cantonada Indústria. L'Hospitalet de Llobregat (Barcelonès).

Presentació

Els llibres que formen la present col·lecció han estat preparats, experimentats i revi­

sats durant cinc anys. Al nostre país no és freqüent que els llibres d'ensenyament siguin

projectats i experimentats degudament abans de ser autoritzats per a l'ensenyament, com

s'exigeix a altres països. En el nostre cas això ha estat possible gràcies a l'ICE de la Univer­sitat Autònoma de Barcelona, en el marc del qual i dintre del projecte d'investigació «L'en­

senyament de les Matemàtiques al BUP» s'ha portat a terme. Hem comptat també amb el suport del Col·legi de Doctors i Licenciats de Catalunya i Balears.

La idea bàsica que va motivar aquest projecte és la necessitat de disposat d'un mate­

rial que faciliti un ensenyament de les Matemàtiques que no sigui purament deductiu, que

respecti el procés genètic del coneixement, tot buscant la motivació de l'alumne en les

aplicacions dels mètodes matemàtics a situacions reals.

Els fascicles que constitueixen la col·lecció fins ara són:

l. La mesura i els nombres.

11. Estudi de les funcions lineals i quadràtiques. Ill. Estadística i atzar.

IV. Progressions. V. Estudi de les funcions exponencial i logarítmica.

VI. Introducció a les derivades. VII. Les funcions circulars.

Un primer curs de Matemàtiques es pot enfocar bàsicament a partir dels fascilers l, 11 i Ill. Els temes IV, V, VI i VII constituirien el nucli d'un segon curs. Cal complementar els dos cursos amb qüestions de Geometria.

Actualment estan en preparació altres fascicles que completarien el programa de

BUP.

Pròleg

La fotografia de J' arribada dels corredors a la meta no ens diu res sobre el tipus de

cursa que han fet. No ens diu si la cursa ha estat d'obstacles o si eren els 100 metres

llisos. Si ha estat d'obstacles, no ens permet descobrir quins obstacles han hagut de

superar els corredors, ni tampoc no ens perinet de saber en quines condicions aquests

han hagut de córrer.

Els qui formem el Grup Zero creiem que la majoria dels llibres de text de Matemàti­

ques que podem trobar en aquests· moments són com fotografies (tot deixant de banda

els que són simples fotocòpies; almenys la fotografia pot suposar una certa originalitat),

fotografies, com dèiem, de l'etapa final d'un treball, del resultat d'un cert procés, d'una

cursa que, estigueu-ne segurs, ha estat d'obstacles. Però, què ha caracteritzat aquest

treball? Quin tipus de treball ha estat? Quins motius hi havia per tal de dedicar temps a

realitzar-lo?

Les Matemàtiques no les podem reduir a fotografies, a instantànies dels resultats

del treball fet per uns altres. Saber Matemàtiques no és «posseir informació mate­

màtica», sinó que vol dir SABER FER Matemàtiques. La matemàtica fonamentalment és

un mètode. En aquest sentit, podria ser il·lustrativa del treball matemàtic, del mètode

matemàtic, una pel·lícula, però mai una fotografia.

Saber Matemàtiques significa poder-ne fer: saber plantejar i resoldre problemes,

criticar arguments, utilitzar el llenguatge matemàtic amb facilitat, reconèixer un con­

cepte matemàtic en una situació concreta ...

De tota manera no us volem presentar cap pel·lícula, sinó aquest material de treball

que ara teniu a les mans. L'objectiu d'aquest material de treball és introduir-vos en el

mètode propi de les Matemàtiques. Un treball dur, difícil, que exigeix molt més esforç

per part de tots, molta més disciplina de treball, però que a la llarga és molt més fruc­

tífer.

Aquest llibre no és, doncs, un «llibre de text» habitual, en el sentit que la teoria no hi

és recollida de forma estructurada. Caldrà elaborar-la a partir del treball fet sobre els

problemes. Així, cada alumne construirà el propi text a posteriori, seguint els guions que

hi ha al final del tractament dels diversos temes. És necessari que aquest treball sigui

després útil com a material de repàs i d'estudi i, per això, cal que tingui una bona pre­

sentació, gràfics ben fets (en paper mil·limetrat), etc., que reculli una selecció dels pro­

blemes més interessants i tots els aspectes teòrics que han sortit.

A

i n t rod u ec i ó

Des de la més remota antiguitat els homes usaren els nombres per a comptar . Per saber si faltaven ovelles d'un ramat calia saber quantes n'hi havia el dia anterior. Al principi , segurament, als homes que no coneixien els nombres se'ls va acudir d'agafar una pedra per cada ovella i guardar-les totes en una caixa. L'endemà podrien tornar a comptar i veure si encara hi havia tantes ovelles com pedres. Però això era encara molt poc pràctic . Així, més endavant, aprengueren a donar un nom que es podia aplicar a tots els conjunts que tenien el mateix «nombre» d 'elements . Inventa­ren els nombres un, dos, tres . . . ( La notació actual decimal posiciona! és d'adquisició molt més tardana. Els homes coneixien els nombres na­turals abans d'aprendre a escriure, i, per tant, abans que comencés la Història, mentre que la notació actual la portaren a Europa els àrabs a través d'Espanya durant la Reconquesta . ) Això va representar un gran pas per a la humanitat .

Però aquests nombres no servien per a comparar tota mena de coses. Per a mesurar distàncies calien uns instruments més precisos que els nom­bres naturals . Donades dues distàncies, la més gran no té per què ser igual a un múltiple exacte de la més petita. Cal buscar una unitat més petita que permeti mesurar ambdues .

distància a

distància b

� unitat que permet mesurar a i b

1

Però si amb aquesta unitat volem mesurar una nova distància e ens podem trobar que no és possible.

distància e

Els homes aprengueren a superar aquesta dificultat inventant les frac­cions , les quals coneixien i dominaven ja els egipcis ( 3000 a. J.C. ) . (De tota manera, la seva notació era encara ambigua, perquè no coneixien el zero ni la notació decimal . )

Els grecs (pitagòrics) es trobaren amb noves dificultats en adonar-se que hi havia distàncies que no es podien mesurar ni amb les fraccions (per exemple, la diagonal d'un quadrat de costat l). Eren necessaris nous ins­truments, que els grecs no foren capaços d'inventar, entre altres raons perquè no coneixien la notació decimal posiciona! i, per tant, els nombres decimals . Molts segles trigaren els homes a familiaritzar-se amb els nous nombres i a comprendre com calia operar-hi. Els pitagòrics en descobriren teòricament la necessitat al segle VI a. ].C. , però els primers que n'accep­taren l'ús pràctic amb el mateix dret que els nombres racionals foren els hindús mil dos-cents anys després ( 600 d. J.C. ) , i ho feren amb la seva mentalitat pràctica, no buscant de justificar i fonamentar el que feien, sinó pels resultats senzills i útils que s'obtenien. Àdhuc els grans científics dels segles xvn i xvrn (NEWTON, LEIBNITZ, EuLER, GAUSS, CAUCHY, LAGRANGE, etc . ) , que els utilitzaren amb gran mestria i èxit, eren incapaços de donar una definició adequada d'aquests nombres.

Paral·lelament al millorament del nombre com a instrument de mesura, els homes aprengueren que hi ha magnituds que poden variar en dos sentits. Així inventaren els nombres negatius, i aprengueren que tots els tipus de nombres que coneixien es podien considerar en dos sentits ( els quals hom anomena positiu i negatiu ) , ampliant novament el poder d'apli­cació dels nombres.

En aquest llibre es planteja, seguint el procés històric, el problema de la mesura i a partir d'ell es van descobrint les diverses classes de nom­bres, les seves propietats i com cal operar-hi. Hem de recórrer, doncs , en aquest llibre, un procés que a la humanitat li ha costat milers d'anys.

2

B

fra cc i o n s

Com hem dit a la introducció, el fil conductor que ens portarà a desco­brir les diverses classes de nombres, les seves propietats i el seu ús, serà el problema de la mesura; i essencialment la mesura de longituds i super­fícies . Ens plantegem el següent problema nucli: Una classe té forma rec­tangular.

A D

Tractarem de trobar el nombre màxim d'alumnes que hi poden cabre . Per poder treballar correctament, un alumne necessita com a mínim una superfície de 2 m2• l 1. UNITAT DE MESURA

Per calcular la superfície de la classe , amidarem primerament les longi­tuds de les parets . Per a això ens cal una unitat de mesura; en el nostre cas, una unitat de longitud .

Podríem agafar com a unitat el metre o el centímetre; però una cinta mètrica o un regle graduat són uns instruments elaborats d'una manera particular ( sobre això, ja hi tornarem més endavant) i nosaltres volem apren­dre a mesurar més en general, construint-nos els instruments de mesura.

Com a unitat de longitud podem triar una barra qualsevol i des d'ara aquesta longitud, que anomenarem barra, serà sempre la nostra unitat de mesura .

La barra que usarem al nostre problema és dibuixada a la mateixa. escala que el pla de la classe.

"barra"= unitat de longitud

Per mesurar la longitud d'una paret, per exemple la representada pel costat vertical del pla, n'hi haurà prou d'amidar aquest costat agafant

-la

barra com a unitat. Per això, coHoquem la barra des d'un cap a l'altre del costat tantes vegades com calgui . La figura ens mostra la situació:

Hi ha cabut quatre vegades i en sobra una mica. Volem amidar el tros x que ha sobrat ; x és de longitud inferior a la unitat i, per tant, no la podem amidar directament amb ia barra.

És convenient, per poder treballar més còmodament , fer els dibuixos dels problemes a escala triple dels que hi ha en el text .

4

2. DIVISIÓ DE LA UNITAT EN PARTS Mt:S PETITES: FRACCIONS

a) Què et sembla que podem fer per comparar la long itud x, que ha so­brat, amb la un itat de mesura?

La idea és fer parts més petites que la barra . La podem dividir en dues, tres, quatre . . . o un nombre qualsevol de parts iguals , per agafar una d'aquestes parts com a nova unitat de mesura.

Per exemple, si hem dividit la barra en cinc parts iguals, tindrem una unitat cinc vegades més petita que l'anterior; agafant-la com a nova unitat de mesura, potser aconseguirem resoldre la qüestió.

Si encara en sobra un tros, almenys l'error serà més petit que abans. Per fer-ho sistemàticament , seguirem el procés següent. Dividirem la barra en :

2 parts iguals

3 parts iguals

4 parts iguals

l l l l l l

5 parts iguals

i compararem en cada cas amb la longitud x.

x x

x x

5

b) Ten i nt en compte aquesta f igura, qu ina part de la un itat de mesura és la long itud x?

La resposta del paràgraf anterior s'anomena fracció Com veus, una frac­ció és un parell ordenat de nombres enters . El costum és escriure'ls un sota l'altre, separats per una ratlla horitzontal .

e) Com s 'anomenen cadascun de ls dos nombres ? Què representen en e l nostre cas cadascun d 'e l l s?

Per a resoldre correctament e l problema anterior cal dividir la unitat en un nombre donat de parts iguals , usant només el regle, l'escaire i el compàs . Pots seguir el procediment següent:

Volem dividir el segment AB de la figura en, per exemple, cinc parts iguals.

Dibuixem una semirecta que passi per un extrem del segment que volem dividir, formant un angle qualsevol .

A B

A partir del punt A, dibuixem, amb l'ajut del compàs, cinc segments iguals de longitud qualsevol, i obtindrem així els punts P1, P2, PJ, P4 i Ps.

A B

6

Unim l'extrem Ps de l'últim segment amb el punt B.

A B

Amb l'ajut del regle i l'escaire, tracem rectes paral·leles a la BPs i que pas­sin, respectivament, pels extrems dels segments ( punts P1, P2, P3, P4).

A B

Hem dividit, d'aquesta manera, el segment AB en cinc parts iguals.

a) Segu i nt un procés anàl eg, d iv ide ix e l segment AB en tres parts iguals.

b) Quina propietat hem usat en fer la construcció anter ior?

e) Enunc ia el teorema de Tales.

d) Completa l es proporcions següents :

o OA

oc

AB

DE

OD --

AD

OF

A C

---

CF

7

Efectua les d iv is ions de l a un itat que et ca lgu in per poder expressar, m itjançant la nostra un itat de mesura, la long itud y del g ràfic que cor­respon a l tros que ha sobrat en mesurar l a paret AD.

y

y

Estàs segur que , fent subdiv is ions de 2 , 3, 4, 5 . . . parts de l a unitat, podríem donar una fracc ió com a mesura exacta de qualsevol long i tud x donada? A vegades , ca ldrà fer moltes d ivisions per aproximar-se a la mesura exacta . Per exemple, volem mesurar l a long itud x següent:

x

a) Completa les des igua l tats que s 'obtenen en fer les d iv is i ons succes­sives:

8

¡'4 x •' -: l l

... x ...

x

x l i l l l .--.,

x r r 1 1 ::r::t:::J

1 2 - � x< -2 2

- � x< -3 3

-� x< -4 4

-� x< -5 5

-� x< -6 6

-� x< -7 7

-� x< -8 8

3. MESU RES IGUALS: EQUIVALÈNCIA DE FRACCIONS

Tornem , a ltra vegada , a la mesura de la long itud del costat vert ica l de la c l asse. Hem v ist que e l tros x que sobrava mesura 2/3 de la l on­g itud un i tat.

Però, què passar ia s i en l l oc de d iv i d i r la unitat en 3 parts iguals l a d iv id íss i m en 6 , 9 , 1 2 . . . , parts i gua l s ? ¿Serv i r ien aquestes d iv is ions per donar una a ltra express ió de l a long itud x? Justif ica les teves res­postes fent e l s d i bu ixos corresponents . Quina conc lus ió en pots treure?

8.6 Si volem que no hi hagi ambigüitat en l'expressió de la mesura d'una

longitud mitjançant una fracció, hem d'imposar que totes les fraccions que representen la mateixa longitud siguin equivalents.

Tenint en compte el prob lema 8.5: a) Escri u fraccions equivalents a 2/3 amb denom inadors 6, 9 , 1 2 , . . . b) ¿Sabries qu ina ser ia l a fracció equiva l ent a 2/3 i amb denominador

3p, on p és un nombre enter qualsevo l ? e) Si d iverses fracc ions són equiva l ents , les escri u rem :

2

3 6 9 12= ...

Escr iu d 'aquesta manera els resultats de ls paràgrafs a) i b).

a) Són equ iva lents les fracc ions de l a un itat 3/4 i 9/ 1 2 ? Representa- les ambdues i justifica la resposta .

b) Donat 3/4, en quantes parts has de d iv id i r cada quart per passar a ten i r dotzens? S i ten ies tres parts d ' 1 /4 cadascuna , quantes parts t i n­dràs d ' 1 / 1 2 cadascuna? Dóna una exp l i cac ió de l g ràfic que has fet abans . És a d i r , com es passa de 3/4 a 9/ 1 2 ?

a) ¿Es pot obten i r una fracc ió equivalent a 2/3 amb denominador qual ­sevo l ? Com ha d 'ésser e l denominador P,erquè a ixò s i gu i poss ible?

9

Escr i u , si és poss ib l e , una fracció equiva l ent a 2/3 amb d enomina- l dor 33, una a ltra amb denomi nador 45 i una a l tra amb 5 1 .

b)

a)

b)

Escr iu deu f racc ions equiva l ents a 2/3 .

- 2 2 . 5 ? f l ' f. Es cert que - = . Justi ica a resposta en termes gra ics. 3 3 . 5

Donada una fracc ió qua lsevo l a/b. què podem d i r d'una fracc ió que s 'obti ngu i a part i r d 'e l l a mu lt i p l icant numerador i denom i nador pel mate ix nombre (per exemple , 5a/5b) ? Expl ica g ràficament com es passa de a/b a 5a/5b.

B.10

Si a i b són d iv is i b l es pe l mate ix nombre (per exemp le , 3). ¿ és cert a: 3 a

que b: 3

= ¡;? Justi fica l a resposta .

B.11

L'operació del problema anterior s'anomena simplificar la fracció puix que permet obtenir una nova fracció equivalent a la donada però de nume­rador i denominador més senzills, sempre que ambdós siguin divisibles pel mateix nombre.

a) Simpl ifica les fracc ions següents fi ns a arr ibar a l 'expressió més s impl e poss ib le , que denomi narem fracció irreductible:

4 3 g 1 0 g 1 1 24 2 1 75 g 1 5 - - -

6 12 12 1 5 1 5 1 2 26 28 100 56 60

b) Per què és sempre conven ient s imp l i ficar una fracc ió , quan és pos­s i b l e ? Què s ign i fica , g ràficament , que una fracc ió (per exemp le , 4/6) és s imp l i ficabl e ?

B.12

Quines de l es s imp l i ficac ions següents són và l ides i qu i nes no? :

1 0

21 3 1 4 2

5 + 3 2 + 3

5 2

Just i fica l es respostes .

20 + 7 30

2 + 7 3

6 + 1 4 4

3 + 7 2

l

B.13

a) Són equ iva l ents 4/6 i 6/9? l 10/15 i 6/9 ? b) Volem saber s i 8/10 i 12/15 són equiva lents . Per tant, escr iu una

fracc ió equ ivalent a 8/10 amb denom i nador 150, i u na altra equ ival ent a 12/15 amb denom i nador 150. Són equ iva lents ?

e) Qu i na cond ició han de comp l i r a i b perquè a/b s igu i equ iva lent a 8/1 O ? S i no has trobat la condic ió , prova de buscar fracc ions equ iva­l ents a la donada amb denom i nador 1 Ob.

d) Busca la condic ió perquè dues fracc ions a/b i c/d s igu i n equ iva lents .

B.14

a)

b)

Per a a ixò transforma ambdues fracc ions en fracc ions equ ival ents amb denom inador b · d.

Cons iderant e l resu l tat de l 'apartat d) de l prob lema anter ior , qu i nes d 'aquestes fracc ions són equiva l ents?

2 2 -4 -2 -2 4 -- -- --

- 3 3 -6 - 3 3 - 6

l d 'aquestes ?

1 0 -15 35 -20 25 - 30 -- ---

8 12 -28 16 -20 24

e) Busca la fracc ió i rreduct ib le equ iva lent a cadascuna de l es anter iors i amb denominador pos i t i u .

d) Qu ines d 'aquestes fracc ions són equ iva lents?

a - a a - a b b -b - b

Les fraccions es van inventar per poder mesurar quantitats (longituds, pesos, superfícies, velocitats , etc.) que poden variar de manera contínua (és a dir, no necessàriament per unitats enteres) . Però hi ha magnituds, com la temperatura, els diners que hi ha en un compte corrent en un banc, etc., que a més de variar de manera contínua (no per unitats enteres), poden agafar valors negatius . Així, doncs, ens caldrà també considerar fraccions negatives.

11

No és igual dir que la temperatura de l'aigua és de 1/2 ºC (líquid) o que és -1/2 ºC ( glaç). Tampoc no és igual tenir 500 .000 pts al compte del banc que deure'n 500 .000 al banc . En el primer cas, el compte té un saldo de + 500 .000 pts i, en el segon, un saldo negatiu de - 500 .000 pts. Adona't de la importància del signe!

Nom ____ _ Adreça __ Població_

Però, per quina fracció és representada la temperatura - 1/2 ºC? Fixa't que a l 'últim problema hem trobat que:

a - a -a a b -b b -b

i que les primeres no són equivalents a les segones .

Sabem que!_ i, per tant, també -

ª representen una quantitat posi-· b -b

tiva i , en canvi, direm que -a

i --ª representen una quantitat negativa. b -b

É · d. ª - ª ª A d h' s costum m 1car per -¡;- tant --b

- com _ b

. vega es tam e

,. d" a a - a l . l . s m ica per + -

b , tant - com --, encara que mo t sovmt e signe +

b -b

queda sobreentès; és a dir, si la quantitat és positiva s'escriu normalment : .

e) Escri u les fracc ions següents amb un ún ic s igne posat a l davant:

12

-2

3

-5

- 4 2

-5

3

4

l

l

4. FRACCIONS MÉS GRANS QUE LA UNITAT. EXPRESSIÓ MIXTA

B.15

Havíem t robat com a mesura d 'un dels costats de l a c l asse quatre un itats i 2/3 d 'un itat . Vo lem expressar la l ong itud de la paret m i tjançant una sola fracc ió . Per a a ixò , haurem d 'é!gafar parts de la un itat que s i gu i n totes i gua ls i comptar quantes n 'h i ha . En e l nostre cas haurem de buscar quants terços hi ha en l es quatre un i tats i comptar-ne quants en mesura tota l a paret .

Fes aquesta operació numèr icament i g ràficament .

B.16

L'operació feta al prob lema 8 . 1 5 no és més que una suma. Hem afegit 2/3 a 4; s'acostuma a i ndicar 4 + 2/3. Completa , ten i nt en compte e l prob lema 8 . 1 5 , l es igua l tats:

B.11

2 2 4 + - = - + - = -3 3 3

Al prob lema 8 . 1 6 han aparegut dues novetats: fracc ions amb nume­rador més g ran que el denominador i fracc ions equ iva lents a un nombre enter.

a) Quin s ign i ficat té una fracció amb numerador més g ran que e l deno­m inador? Com es compara amb l a un i tat ?

b) Representa, gràficament , les long ituds representades per l es frac­cions següents:

4 3

5 2

1 2 3

agafant com a un itat l a long i tud de la barra.

1 2 4

1 3

e) Quantes un i tats completes h i ha en cadascuna de les fracc ions a n­teriors?

d) Redueix les esmentades fracc ions a nombres mixtos ( part en­tera + fracc ió sobrant}.

e) Redue ix les fraccions següents a nombres m ixtos :

15 2

10 3

23 7

22 10

41 14

f) Escr iu fraccions amb denomi nadors 1, 2, - 3 i - 4, que represent in el nombre enter 4. Fes e l mateix per a l nombre enter - 5.

g) Quina cond ic ió han de compl i r a i b perquè a/b representi u n nombre enter?

5. REPRESENTACIÓ DE LES FRACCIONS SOBRE LA RECTA

A la geometria de la recta tenim un problema semblant al que acabem d'estudiar . Donada una recta, si hi fixem dos punts O i U, que anomenarem origen i unitat respectivament, podem establir una correspondència entre les fraccions i els punts de la recta .

B.18

o u

Dibuixa una recta i marca-h i dos punts O i U amb d i sposició semblant a l dibu ix anter ior . Agafant e l segment OU com a long i tud un i tat, s itua sobre la recta d i bu ixada els punts corresponents a les fracc ions següents:

B.19

2 3

7 5

5 2

11 4

Sobre l a recta ten im dues or i entac ions poss i b les . Una d 'e l l es s 'agafa com a or ientac ió positiva i l 'oposada com a negativa. En el g ràfic hi ha d ibuixats els punts corresponents als pr imers nombres enters positius i negat ius , un cop tr iats e l s punts O i U.

-3 -2 -1

1 4

o u o 2 3

a) Situa sobre una recta e ls punts corresponents a les fracc ions :

2 1 2 3 5 5 7 -- --

3 5 4 2 3 4

b) Fes el mate ix per a les fracc ions:

6 12 2 1 1 7 25 9 -- -- --

8 4 7 6 20 1 2

B.20

l També podem buscar quina fracció correspon a un punt de la recta.

En el fons és el mateix problema que el d'amidar la longitud de la paret amb la barra de longitud unitat .

Donada la recta següent, sabries buscar qu ina fracc ió correspon a l punt P ? l a l O?

Q p

1 o u 1 -2 -1 o 2

B.21

Escr iu les fracc ions que corresponen a ls punts A, 8, C, D, E, F, G, H. Expressa- les com a nombres m ixtos i com a fracc ions .

A B C D E F

l l l l l l -4 -J -2 -1 o

B.22

a) Situa sobre una recta les fraccions següents :

3 4

7 ---

3 1 5 4

3 8 --- ---

5 5 5 3

G

l 3

1 3 6

H

l 4

1 7 ---

5 b) Observa que en s ituar les fracc ions sobre la recta queden ordenades .

Escr iu aquestes fraccions ordenades de més petita a més g ran .

15

e) Situa sobre una recta l es fracc ions següents:

1 0 -- ; 2

1 5 8 - -3- ;

-4- ,

1 0 1 8 12 1 --

--

; -- ; -- ; 5 3 1 1

o 3

En qu i nes condic ions una fracc ió representa un nombre enter? d) Entre qu i ns enters són s i tuades aquestes fracc ions?

5 -- ;

4

7 ---

2 - 25

3 1 00 50

-- ; - -- ; 1 5 7

44 2 1

e) O n seran s ituades l es fracc ions a m b numerador pos i t iu més petit que e l denominador? Posa'n dos exemples .

f) On se s ituar ien l es fraccions amb el numerador i el denom inador de signe d i ferent? Posa 'n dos exemples .

6. SUMA l RESTA D E FRACCIONS l La mesura de la paret ens ha portat a sumar un enter i una fracció . A vegades, pot interessar sumar dues fraccions. Per exemple, en el problema següent.

B.23

En Joan s 'ha begut dues ampol l es de cervesa d ' 1 /5 de l itre i dues d ' 1 /3 de l i tre. En Pere se n 'ha begut una d 'un l itre . En Joan d i u que n 'ha begut més que en Pere. Té raó ?

El prob lema es redueix a sumar e l cont ingut de l es quatre ampo l les que s'ha begut en Joan :

+

16

2 3

E ls vasos de l a figu ra tenen cadascu n una capac itat d 'un l itre. A l a figura h i ha representats e l n ive l l on arr ibar ia la cervesa en bu idar a l pr imer got e l conti ngut de l es dues ampol les d ' 1 /5 i a l segon de les dues d ' 1 /3 . Per saber qu ina quanti tat h i haurà en tota l , en ajuntar- los , hem de div id i r l a cervesa en parts d ' igua l vo l um , pu ix que ten i m dues parts de m ida 1 /5 i dues de m ida 1 /3 i , per tant, no les podem sumar d i rectament .

a) En quantes parts hem de divid i r la un itat ( 1 l i tre) per redu i r 2/5 i 2/3 a parts d ' igua l m ida?

b) Quantes d 'aquestes parts h i haurà en e l s 2/5? l en e ls 2/3? l en tota l ?

e) G ràficament, la s i tuac ió ser ia :

2 5

+

+ 2 3

=

=

Comp leta l es igua ltats anter iors .

d) En Joan, tenia raó?

B.24

+

+ =

Per sumar dues fraccions ens cal redu i r- les prèv iament a l mate ix denominador (denomi nador comú) . Per què és necessar i ?

B.25

Agafem ara com a un itat la base de l rectang le de la f igura :

unitat

17

Representa les quanti tats 3/4 i 5/6 . Suma-l es , redu i nt- les sobre e l d ibu ix , com en e l cas de l a cervesa, a comú denominador i escri u paral ·l e­l ament l es fracc ions corresponents.

B.26

Si vo lem sumar les fracc i ons a/b i c/d, haurem de transformar- l es en a ltres fraccions equivalents amb el denominador comú .

a) Com haurà d 'ésser aquest nombre? b) Podríem agafar com a denominador b · d?

e) Completa les igua l tats següents :

a b

d) Fes la suma següent:

bd

a C - + -b d

C

d bd

j ustif icant cadascun de ls passos que vag i s fent.

B.27

En molts casos és poss ib le trobar un denomi nador més petit que e l producte de ls dos denominadors . Per exemp le :

a) Efectua 5/ 1 2 + 1 1 /24 buscant un denominador comú a l més petit poss ib le .

b) Fes el mateix per 1 3 / 1 0 + 1 2/ 1 5 . e) Quin nom donar ies a l nombre que has uti l i tzat com a denominador

comú en cada cas?

d) Efectua les dues sumes anteri ors ut i l i tzant com a denominador comú e l producte de denom inadors i t 'adonaràs com es comp l iquen e ls càlcu l s .

B.28

Efectua les operacions següents , buscant en cada cas el denominador més peti t poss ib le s imp l if ica 'n e l s resu ltats :

a)

18

1 1 - + -3 6

2 1 - + -5 1 0

3 1 - + -7 1 4

b) 3 7 - + -1 2 20

1 1 1 e) 1 + - +-+-2 4 8

B.29

1 1 22 -+ -1 8 45

1 1 1 1 + - + - + -3 g 27

Representa gràficament els passos que has efectuat en e ls dos pri­mers exemples de l 'exercici 8 .28, agafant com a un itat l 'àrea de l rec­tang le de la figura .

unitat

B.30

Restar no representa cap nova d i ficu l tat. Exemp le : a l magatzem hi hav ia 5 + 1 /2 kg d 'an i l i na (pr imera matèr ia per a fer colorants) . de ls qua ls s 'han venut 3 + 1 /3 kg. Ou i na quantitat d 'a n i l i na h i resta?

B.31

Efectua l es operac ions següents i s impl i fica 'n e ls resu ltats :

a)

b)

e)

2 3 - - - -- -

3 6 5 1 0

2 3 1 5 4 -- - - - -1 5 1 0 1 4

1 1 1 1 - -+ - --

2 4 8

2 1

4 - - -7 1 4

g 5 - - -20 1 2

1 1 1 1 -- + - - -

3 g 27

7 . COM PARACIÓ DE FRACCIONS

l En el problema B.22 hem ordenat fraccions a partir de la seva repre­sentació gràfica sobre la recta . A vegades, aquest mètode no serà prou precís

19

per a comparar fraccions . Caldrà transformar-les en fraccions equivalents amb el mateix denominador (reduir-les a denominador comú).

Compara g ràficament les pare l l es de fracc i ons següents . Fes serv i r e ls s ignes <, >, = , segons e l cas .

Per assegurar-te de qu i na és més g ran , redueix les dues fracc ions de cada pare l l a a un denomi nador comú , g ràficament i numèrica .

2 3 3 4 3 2 3 5 3' 4' 4'5' 5'3' 4'7'

... Ordena les fracc ions següents redu int- les totes a l mate ix

nadar:

3 - 2 5 - 6 - 3 4 - 3 - 4 5 - 6

8. MESURA DE SU PERFÍCIES. PRODUCTE DE FRACCIONS

- 7 6

de nomi-

Tornem una vegada més al problema inicial de mesurar la superfície de la classe . Mesurar l'àrea d'un rectangle és calcular quantes unitats de superfície conté. Si la unitat de longitud és la barra, la unitat de superfície serà la barra quadrada, que és l'àrea d'un quadrat de costat igual a l barra.

1b

1 barra= unitat de longitud 1 barra2= unitat de superfí ei e

Per veure quantes b2 caben en un rectangle caldrà multiplicar les lon­gituds d'ambdós costats . Per exemple, un rectangle que mesuri de costats 2b i 3b tindrà una àrea de 2 · 3b2 = 6b2.

20

l

1 2b 1--���-l-����--1-���� l�_____.

Si les longituds dels costats són fraccionàries, per calcular l'àrea caldrà aprendre a multiplicar fi:accions . Començarem per casos senzills .

B.34

Volem saber com es mu l ti p l i ca una fracció per un nombre enter. a) Ten i nt en compte que mult ip l icar una quantitat per 4 vol d i r sumar

3 quatre vegades l a mateixa quantitat, ca lcu la 4 · -.

5 b) Dóna una reg l a per mu lti p l icar un enter m per una fracció a/b.

B.35

Podem també donar una imatge g ràfica de la mu lt ip l icació d 'un enter per una fracc ió . Hem de ca lcular l 'àrea d'un rectang le de costats 3/5 i 4 respectivament.

Per comparar la superfíc i e del _ rectang le ABCD superfície fem l es div is ions que ind ica la figura .

amb l a

B

l C

un i tat

3 b ----- - - - - - - - - ---- - - - · - - - - - - -- - -l- - --- ---- ---I·-------� f '¡' , a

1b -----�'-o[:::.::::_---_� -

rn U U-+ m------¡ H •mm• --t a) Quina superfíc i e té cada un de ls petits rectangles? Per què?

de

21

b) En quants rectang les petits ha quedat d iv id i t e l rectang le i nic ia l ABCD?

e) Qu ina és la superfíc ie de l rectang le ABCD?

Cons iderem ara el cas d 'un rectang le ABCD que té ambdós costats de long ituds fracc ionàr ies. S i gu i n , per exemp le , les long ituds de ls costats 2/3 i 415. 1b

A __ Y...¡.5-b .......,rB-1 l l : ' l ' �b : ¡ : 3 --r---r-- r -- --

D : : : :ê-! : ¡ :

Com en e l cas anter ior, d ibu i xem l a un i tat d 'àrea i tracem paral·l e les a ls costats pe ls punts que assenya len les d iv is ions de ls costats .

a) Quants rectang l es petits h i ha ara d i ns l a un i tat de superf íc i e ?

b) Qu ina à rea té cada un d 'e l l s ?

e) Quants rectang l es petits h i ha d i ns el rectang le de part ida ABCD?

d) Qu ina és l 'à rea de l rectang le ABCD?

e) Qu in és el resu ltat de mu l t i p l icar 2/3 . 4/5?

f) Enunc ia una reg la per mu l t ip l i car d ues fracc ions a/b · c/d.

Efectua gràficament e l producte 7 /4 · 2/3 i nd icant qu ina un i tat prens .

D ibu ixa també la un i tat de superf íc ie corresponent. Tradueix el re­su ltat numèricament.

Resulta, doncs, que multiplicar fraccions és molt més senzill que sumar­ies . La llei de la multiplicació és tan senzilla que fins i tot permet de simpli­ficar abans de fer la multiplicació , puix hem vist que sempre és possible dividir numerador i denominador per un mateix nombre, quan ambdós són divisibles per aquest nombre. Així, per exemple:

20 77 21 30

22

20 . 77 21 . 30

2 . 2 . 5 . 7 . 11 3 · 7 · 2 · 3· 5

2 . 1 1 3 . 3

22 9

B.38

Calcula el producte 5/ 3 · 3/5 i simplifica 'n e l resu l tat. Dóna una exp l i ­cació gràfica d 'aquest producte , de manera semb lant a l a de l problema 8 .36.

B.39

Fes les mu lt ip l i cacions següents , s imp l ifi cant abans d 'operar :

3 5 3 4 5 5 4 3 2 6 1 0 8 2 1 a) -·- - . - . - - .-. - ·-·- -·-

5 6 4 5 3 6 5 4 3 2 5 3 9 20

20 21 1 5 37 1 3 36 35 8 7 6 b) - · - · - - . - - . - . -

5 3· 25 4 1 3 37 25 27 3 2

B.40

Estem ja en cond ic ions de reso ldre el prob lema que ens i nteressa: ca lcu lar l a superfíc ie de l a c l asse.

r;s:B:s::::s:::s::s:::�---... ------.C:::S:::S::+s:::::s::::::s:::::s::::::s:::::s::::::s�::::::s::::::s=�=¡;;:s:::::::::s::::::s:::::s::::::s:::::s::::::sR:::s;:s:::::s::::::s:::s:::s::s::C�� l

M J J l

l l

l l l l l l

' l

l l l l

N

l l J l -------- --+--- - ----- -!- - - - -- -- --j - - - - -- ---t - --- -- -- -

l l

l l l l l l ---------- +------ --- !- - ------ -- 1- -- --- ---1----- -----1 l l l l l l l l : l l l l l l l l l l

-- - -- ----1--- ---- --L----- - -i- - ---- -- +.--- ----1 l l

l : l l l l l l l l l l l

A ! ! T

� ---------�

- - - --- -

D

� �

' '

' '

' ,....

Un costat mesurava 4 + 2/3 barres. Mesurant l 'a l tre costat resu lta ser 5 + 4/5 barres. Per tant, l 'àrea de la c lasse serà :

a) Calcu la aquesta àrea efectuant l es operac ions tal com estan i nd i ­cades : de pr imer, l es sumes i , després, la mu lt ip l icac ió .

Un mètode a lternati u per calcu lar la superfíc i e cons i steix a d iv idir l a c lasse ( rectang le ABCD) en quatre zones, ta l com i nd ica la nova f igura :

B t R C

2¡3 I l l IV M N s

4 l 11

5 'Ys-; A T D

a) Expressa les àrees de l s. quatre rectang les /, //, Ill i /V en què ha quedat d iv id i t e l rectang le ABCD a la f igura anter ior , com a producte de l es long ituds de ls seus costats .

24

b) ¿És cert que l 'expressió que obtens així , sumant les àrees dels quatre rectang les és equiva lent a l 'express ió de S donada a l prob lema 8 .40? Quina propietat de la mu l t ip l icac ió respecte a la suma està en joc ?

e) Comprova la igua ltat de les dues express ions de S ( l a de l prob le­ma 8.40 i l a que has obti ngut a l 'apartat b) efectuant e l s cà lcu ls que has ind icat a l 'apartat b). Qu ina de les dues express ions porta a cà lcu ls més senz i l l s ?

d) Enunc ia la prop ietat de la mu lt ip l icació respecte a l a suma que has obtingut.

La propietat distributiva que has trobat al problema anterior, s'utilitza freqüentment en sentit contrari per a treure factor comú i simplificar els càlculs.

Així, per calcular una expressió del tipus: 5 3 5 2 -·-+-·-1 7 4 1 7 3

es pot treure factor comú 5/1 7 que figura a cada un dels dos termes, i així simplificar el càlcul:

B.42

5 17 5 =-·-=-1 7 1 2 1 2

Calcu la , tra ient prèviament factor com ú , les expressions següents :

a)

b)

2 4 2 7 3·5+3·1o 3 5 3 1 4 · 5 + 4 · 5

9. DIVISIÓ DE FRACCIONS

4 5 4 3 4 7 -· -+ -· - - -· -5 6 5 8 5 1 2

4 2 4 1 4 1 4 1 13. 3+13. 2+13. 5-13. 4

Recordes què vol dir dividir dos nombres enters? Seguint aquesta mateixa idea volem estudiar el problema de la divisió d'una fracció per un nombre enter.

25

Suposem que , d 'una rajo la de xocolata , ens n 'hem menjat 1 /5 . Ens en queden 4/5, que vo lem repart i r entre tres persones en parts igua ls .

1 rajola

porció a repartir

Ho podem fer de d iferents maneres. Per exemp le , podem d iv id i r ca­dascun de ls trossos (de m ida 1 /5) en tres parts i donar-ne una a cada persona.

§ Puts que <Wesponen •en J

§ � � � [}{] D Puts que <wesponen a � P

a)

b )

e )

d)

� Puts que '°'"'sponen a en A

Agafant com a un i tat tota l a rajo la , d e qu i na m ida és cadascun de ls trossos que han tocat a en J?

Quants d 'aquests trossets corresponen a cada persona?

Qu ina fracció de l a rajo la toca a cada persona?

Quant és _i: 3 ? 5

Fes un g ràfic semb lant a l 'anter ior per repart i r 5/ 3 entre 4 i tradueix e l g ràfic numèr icament.

26

8.45 Explica quin és el proced i ment fís ic que has emprat per divid i r una

fracció per un enter . La unitat, en quantes parts queda divid ida? Quantes parts n 'agafem, d 'aquesta un i tat? Sabries donar una reg la per d ividir una fracc ió per un enter?

l En els problemes anteriors el divisor és sempre un nombre enter, però en altres casos el divisor pot ser una fracció . Fixa't en això que segueix:

B.46

Volem div idir una te la en trossos igua ls i ca lcu lar e l nombre de tros­sos obt i nguts en e l s casos següents :

a ) La te la té 1 0 metres i cada tros té 2 metres .

b) La te l a té 8 metres i cada tros té 1 /2 metre .

e) La tela té 4 metres i cada tros té 2/3 metre .

Quina operació cal fer en tots e l s casos? En l 'apartat a ) no hi ha cap problema, perquè es tracta d 'una d ivis ió d 'enters . En l 'apartat b), en canv i , tenim una fracc ió com a div isor . L l avors, com has fet aquesta operació? En l 'apartat e) ja no és tan evident que la d ivisió es pugui reso ldre per m i tjà d 'una mu ltip licac ió . Podries expl icar en qu ina operac ió s 'ha con-

2 vertit 4 : - i quin és e l resu ltat? Fes-ho amb l 'ajut d 'un gràfic .

3

E l que hem fet en e l prob l ema anter ior es pot fer per qua lsevol divis ió de fracc ions . Sabries donar una reg la per d ividir dues fraccions?

a C Calcu la-· -b . d

B.48

Efectua les divis ions següents , s implificant abans d 'operar :

4 5 1 0 10 1 3 a ) - :3 - :5 - : 5 - : 4 1 : - 3 : -

3 7 3 3 2 2

3 3 8 4 3 2 25 1 0 1 2 5 b) - - - - - - - - - -

4 2 1 5 3 4 5 g 21 25 4

2 4 : -3

27

B.49

Dóna una i nterpretac ió gràfica de l quart i e l s i sè exemp les de l 'e­xercici 8.48 .

Fins ara, hem aconseguit mesurar la superfície de la classe , però encara no hem resolt el problema plantejat inicialment.

Tanmateix, tot queda reduït a una qüestió d'unitats . Havíem agafat com a unitat la longitud d'una certa barra ( b ). La unitat podia ésser arbitrària i cadascú podia haver triat una barra diferent. Ara, per poder comparar mesures fetes amb distintes unitats hem de posar-nos d'acord i expressar-les totes en la mateixa unitat. La més usual és el metre, i serà, doncs, convenient expressar les longituds en metres , i les superfícies en m2•

B.50

a) ¿Té sentit d i r que una d i stància mesura 23/5 sense i nd icar qu i na és la un itat? ¿Pots d i bu ixar una quantitat representada per la fracc ió 5/ 7 s i no saps qu i na és l a un itat?

b) Per què d i em que és conven ient uti l itzar com a un itat de long itud e l metre i no l a barra? Qu ins avantatges o i nconveni ents tenen l 'un i l 'a l tra?

B.51

Hem de comparar la nostra un itat de mesura, la barra, amb la un i tat estàndard de mesura, e l metre . El resu ltat de la comparac ió és el se-güent :

lb

lm

Les figures són dibuixades a la mateixa esca la . ¿Sabries calcu lar qu i na és? Amb un proced iment semblant a l 'uti l itzat per mesurar l a c las­se , ara podem mesurar : • La barra, agafant com a un itat e l metre . • E l metre, agafant com a un itat l a barra.

a) Dibu ixa e l s esquemes necessar is per fer aquestes dues mesures.

28

E ls resu ltats trobats et serviran per a omplir l es igualtats següents:

h= m m = b

b2 = m2 m2 = b2

b) Expressa les d i mens ions de la c lasse en m ( long ituds) i m2 ( superf í­c ies) . T indrem :

14 costat AB = -- b =

3 29

costat BC = -- b = 5

f, 406 b2 super 1c i e ABCD = -- =

15

e) Per tant , qu i n serà e l nombre màxim d 'a lumnes per poder treba l l a r correctament , s i cada a l umne necess ita a l menys 2 m2?

El canvi d'unitats que hem fet en el problema anterior ens permet d'ob­servar el que segueix:

Per passar de metres a barres hem de multiplicar per 4 / 5 i per passar de barres a metres hem de multiplicar per 5 / 4. Però com que la divisió és l'operació inversa de la multiplicació, si per passar de barres a metres hem de multiplicar per 5 / 4, per passar de metres a barres ho podem fer dividint per 5/4. Així observem que dividir per 5/4 o multiplicar per 4/5 ens dóna el mateix resultat. Tornem a trobar la mateixa interpretació de la divisió per una fracció: dividir per 5/4 és equivalent a multiplicar per 4/5. Així tindrem:

35 m = 35 : 2_ b = 35 . -2._ b = 35 · 4 b = 14 b 6 6 4 6 5 6·5 3

10. PROBLEMES D'APLICACIÓ

, B.52

Efectua les operacions següents, fent servi r e ls mètodes de càlcu l més ràpids i eficaços i s imp l ificant sempre que es pugu i i convi ngu i. Et donem les .so luc ions perquè puguis comprovar e ls resu ltats .

a)

b)

e)

8 7 1 15

+20-12

7 4 8 2 5 + - + --3 + - + --4

5 3 5 3

1 1 1 1 1 1 -+-+-------

2 3 5 6 10 15

(So lució : 4/5 )

(So luc ió: 3)

(So luc ió : 7/10)

29

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

(45/22) . L 12/35) · (55/27) · (7 /5)

11 7 ( 3 5 ) 18 g 8 6

2/3 4/3

35/24 7/12

4/5 6

4 --5/6

(�+-i-)·(�--T) (+-+J

1 + 16/5

83 ---2 10

1 1 12+20 3 8

35"+21

( 2++)

__ 2 -(-4

+-2 ) 3 g 5

(+-*) (�--

3)(-4

+2) 20 5 3 5

B.53

(So l ució : 2)

(So l uc ió: 7 /24)

(So lució : 1/2)

(So luc ió : 5/2)

(So luc ió: 2/15)

(So l ució : 24/5)

(So l uc ió: 3/5)

15 38 (So l uc ió: O)

(So lució : 2/3)

(So lució : 2/7)

(So lució : 2)

Efectua g ràficament les operac ions següents, i comprova la sol ució numèricament . I nd ica qu i na un itat prens .

30

5 3 5 3 7 2 - + - ----- 7

-- : 4 2 6 4

B.54

3 4 5 3

a) Mesclem 20 g de malt amb 30 g de cafè . Qu ina és la proporc ió de cafè que h i ha a la barreja ? l qu i na és la de malt?

b) Qu ina quantitat de cafè hi haurà en 1 O g de mescla? (se suposa que és ben barrejat i que la mescla és homogèn ia) .

e) Qu in tant per u de cada component h i ha a la barreja? Qu ins són e l s tants pe r cent de cada component a l a barreja ?

' B.55

a) En descompondre una certa quantitat d 'a igua per e lectrò l i s i, s'obte­nen 4 g d 'h i drogen i 32 g d'ox igen. Qu i na és la proporc ió d ' h i d rogen ? l d 'oxigen? Expressa e l resu ltat en tant per u i en tant per cent .

b) Quant d ' h i drogen h i ha en 27 g d 'a i gua ?

B.56

Es vol repart i r una herènc ia de 200 .000 pts entre tres germans. La Teresa n ' ha de rebre dues vegades més que en Pere i tres vegades més que l 'Anna . Quant n 'ha de rebre cada un?

· B.57

Treu factor comú , i desp rés ca lcu la :

2 3 1 3 -·---·-3 4 6 4

B.58

7 2 4 7 -·- + -·-8 3 5 8

3 2 3 1 -·- + -·-5 7 5 4

L 'espectre solar és format per d iversos colors . E l vermel l n 'ocupa 1 /8 part, el g roc 2/ 1 5 i l 'ataronjat 3/ 40 . Qu ina part de l 'espectre és ocu­pada per la resta de colors ?

B.59

La d i fe rènc ia entre 1 /3 1 / 4 de l preu d 'un cava l l és de 5 .000 pts; quant val el cava l l ?

31

B.60

Els 5/6 d 'una mercader ia valen 870 pts. Quant valen e ls 2/ 3?

B.61

a) Els 2/ 3 de ls 3/ 5 d 'una long itud d 'una un itat, qu i na part de la un i tat són ? Qu ina operac ió fas per calcu lar aquesta express ió? Interpreta g ràficament l 'express ió anter ior i l 'operac ió que representa.

b) Fes e l mateix per a ls 2/3 de ls 4/ 5 d 'una un itat.

TREBALL SOBRE FRACCIONS -------------

32

Què vol d i r mesurar una long itud?

Un i tats de long itud.

D iv is ió de la un itat en parts més peti tes .

S i gn i ficat d 'una fracc ió .

Equ iva lènc i a de fracc ions : noció i ntuït iva cr iter is numèr ics .

S imp l i ficac ió i ampl i ficac ió de fracc ions .

Fracc ions negat ives .

Suma de fracc ions (g ràficament i numèr ica) .

Nombres m ixtos. Reducc ió a fracc ió i v iceversa.

Resta de fracc ions .

Representació de fracc ions sobre la recta .

Comparac ió de fraccions . Què vo l d i r mesurar una superfíc i e? Un itats de superfíc i e .

Producte de fracc ions .

Propi etat d i str ibutiva de l producte envers l a suma .

D iv is ió de fracc ions .

Proporc iona l i tat geomètrica . El teorema de Ta les .

C

n o m b res dec i m als

1 . DECIMALS l FRACCIONS

Recorda que a l 'apartat B hem v ist que 3/8 s ign i fica que d iv id im la un i tat en 8 parts iguals i n 'agafem 3 ; o bé que repart im 3 un itats entre 8 fent-ne parts igua l s .

a) Fes e l s g ràfics corresponents a aquestes dues i nterpretacions aga­fant com a un itat un rectang le de d imens ions 1 cm X 1 O cm.

b) La segona i nterpretac ió i nd ica , senz i l lament, que d iv i d i m 3 per 8.

Ca lcula, fent la d iv is ió , l 'express ió dec imal que correspon a 3/8.

e) Segurament recordaràs que la notac ió dec imal posic iona! s ign i fica que cada un itat de la pr imera xifra després de la coma té el valor d ' 1 / 1 0 ; cada un itat de la segona , e l d ' 1 / 1 00 , etc . Ten i nt en compte això, transforma e l dec ima l de l 'apartat b) en una suma de fraccions amb denom inadors 1 0 , 1 00 , etc . , i efectua l 'esmentada suma. Com­prova que s imp l i ficant el resu ltat retrobes la fracció i n ic ia l .

dl Ara i ntenta transformar 3/8 en una fracc ió equiva lent, e l denomi­nador de la qual s igu i una potència de 1 0 . Per tant, mu lti p l ica e l numerador i e l denom inador pel nombre que ca lgu i .

33

Es vo l d ivi d i r una peça metàl·l ica d ' 1 1 cm de l l argàr ia en c i nc parts igua ls . Quant mesurarà cada tros? Expressa el resu ltat com una fracc ió , com un nombre m ixt i com un dec ima l .

-Un magatzem té una superfíc ie de 550 m2. La c inquena part de l a

superfíc ie s 'uti l itza per a guardar-h i e l s s i s camions de l 'empresa. Qu ina superfíc ie correspon a cada camió? Quin tant per cent representa res­pecte a la superfíc i e tota l ? Expressa e ls resul tats en forma de fracc ió en forma de dec ima l .

Quatre am ics han anat de Barcelona a G i rona amb cotxe , i havien acordat que pagar ien l a gaso l i na entre tots. S i l a d i stànc ia entre les dues c iutats és de 1 00 km i e l cotxe gasta aproximadament 1 l i tre cada 10 km ,

quant haurà de pagar cadascun? Expressa e l resultat en forma de frac­c; ió , nombre m ixt i nombre deci mal .

A l costat d 'una fàbrica s 'ha construït una nau per a emmagatzemar pr imeres matèr ies . Les seves d i mensions són de 1 00 m X 25 m. Es vo l d iv id i r en set departaments separats i i gua ls .

a) Dibu ixa un esquema de la p l anta amb l es l ín ies d iv isòr ies i calcu la les d imensions de cada departament.

b) Si ens i nteressés d isposar de quatre sales de doble m ida que les tres restants , qu i nes ser ien les seves d i mens ions? Dóna el resu l tat en fracc ió , nombre mixt i nombre deci mal .

Hauràs remarcat que, en aquests problemes, quan efectuem la divisió del numerador pel denominador per obtenir el nombre decimal corres­ponent, el resultat no sempre és exacte. Malgrat això, arriba un moment en què les xifres de la part decimal del quocient es repeteixen periòdicament. Aquests nombres els denominarem nombres decimals periòdics.

Si les xifres de la part decimal es repeteixen des de la xifra de les dècimes, com, per exemple, en els nombres 0 , 333 . . . o 0 ,272727 . . . , els denominarem nombres decimals periòdics purs.

34

l ' ..L " • '1 J · ·� 4 G' . " lD

Evo l ució de les primeres xifres entre e l s segles X l l i XV.

Si es repeteixen des d'una xifra distinta de les dècimes, com per exem­ple en els nombres 1 2 ,02 1 2 1 2 1 . . . o 5 ,23 372372372 . . . els denominarem nombres decimals periòdics mixtos. Com a escriptura abreujada usarem:

" C.6

0,33 . . . = o,3

1 0 ,272727 . . . 1 0,27 ,,......_

1 2 ,02 1 2 1 2 1 . . . 1 2 ,02 1 --5,233723723 . . . = 5,23372

a) Calcu la l 'expressió dec ima l de :

- 2 5 1 1 7 3

b) Observa la pr imera d iv is ió . Quantes xi fres té e l per íode ? e ) Quantes x i fres creus que pot ten i r com a màxi m e l període d e l 'ex­

press ió decimal d ' 1 / 23 ? Per què? (Recorda que en una d iv is ió el res­tant és sempre més petit que el d iv isor . )

d) Justif ica que , en d iv id i r dos nombres enters, l a d iv is ió o bé és exacta o arriba un moment en què es repeteixen les x i fres de la part de­c ima l .

3 5

Escr iu 5 nombres dec ima ls l im i tats i 5 nombres dec ima ls per iòd ics. Entre aquests ú l t ims destr ia e ls que són per iòd ics purs i e l s que són per iòd ics m ixtos.

a) Escr iu 20 fracc ions i rreductib les ; troba e ls nombres dec ima ls corres­ponents i c lass i fica aquestes fracc ions segons que e ls nombres de­c ima ls corresponents s igu i n : dec ima ls l im i tats, per iòd ics purs o pe­r iòd ics m ixtos .

b) Un cop feta aquesta c lassificació, prova de donar una reg l a que et permeti de saber en qu i n cas una fracc ió ens portarà a un dec ima l l i m itat, per iòd ic pur o per iòd ic mixt (fixa't en e ls factors que surten a la descomposic ió en nombres pr i mers del denominador de l es fracc ions i rreductib les ) .

e) S i has aconsegu i t de trobar- la comprova , sobre l es fraccions del co­mençament, que és una bona reg la .

Escr iu un conjunt de fraccions equivalents i comprova que a totes e ls correspon e l mate ix nombre dec ima l . ¿Et sembla que aquesta és una propietat general per a tots els conjunts de fracc ions equ iva lents ? Per què?

2. TRANSFORMACIÓ DE DECIMALS EN FRACCIONS

Fins ara, en aquest apartat, hem obtingut els nombres decimals a partir de les fraccions. Considerarem, ara, el problema invers , és a dir, donat un nombre decimal , trobar una fracció que el representi . Aquesta fracció és costum d 'anomenar-la fracció generatriu.

En el cas d 'un decimal limitat , el problema és molt senzill. Exemple : Trobar una fracció que representi el decimal 1 5,72 . El resultat immediat serà :

1 5 72 = 1 572 = 786 =

393 ' 1 00 50 25

Quan e l decimal é s periòdic, e l procés é s una mica més complex. En donarem un exemple: Anomenem x el nombre decimal periòdic 2 1 )2':

36

x = 2 1 ,72 i fem les transformacions següents :

..\bltipl iquern x per 1 00, ja que són dues les xifres de la part periòdica :

,--... l OOx = 2 1 72,72

Restem els des nombres obtinguts per eliminar la part decimal:

Aïllem x:

� � l OOx - x = 2 1 72,72 - 2 1 ,72

x =

99x = 2 1 72 - 2 1

2 172 - 2 1 99

2 1 5 1 239 99 1 1

Si el nombre fos periòdic mixt, seguiríem un camí semblant. Vegem-ne un exemple. Sigui :

,....--.... x = 3 , 1 273

..\Iultiplíquem x per l O perquè l a part decimal no periòdica té una xifra ; així aconseguirem un decimal periòdic pur :

� l Ox = 3 1 ,273

..\Iultipliquem l Ox per l 000 puix que l a part periòdica té tres xifres:

l OOOOx = 3 1273 ,-273' Restem l OOOOx i l Ox per obtenir un nombre enter :

Aïllem x :

,, C.10

,.----...._ � lOOOOx - l Ox = 3 1 27 3 ,273 - 3 1 ,273

9990x = 3 1273 - 3 1

3 1273 - 3 1 x = -----

9990 3 1 242 9990

5207 1 665

Troba fracc ions que representi n aquests nombres dec ima ls . Escr iu-ne una per nombre :

37

a) 7}

b) - o;3 o.1825

1 5 ,325

31 :68 ----201 , 1 06

- 1 ,32056

6 , 1 1

0 ,35 4 ,38

Escr i u , a més , e l conjunt de les fracc ions equival ents a l es dues pri­meres fracc ions trobades .

Advertiment: Els nombres decimals limitats es poden considerar nombres decimals periòdics de període O .

Hem vist, doncs , que donat un nombre decimal periòdic, es pot repre­sentar per qualsevol cie les fraccions d 'un conjunt cie fraccions equivalents i viceversa, és a dir, tota fracció representa un nombre decimal periòdic.

3. EL NOMBRE RACIONAL

Hem vist, a l 'apartat B , que per a poder mesurar una longitud o un pes qualsevol , no n'hi havia prou amb un nombre enter d'unitats. Ens va caldre dividir la unitat en parts més petites i iguals per afinar les mesures . Així, hem introduït les fraccions . Una fracció , tal com 5/6 , representa una quan­titat que s 'obté dividint la unitat en tantes parts com indiqui el denomina­dor (6 en aquest cas ) i agafant-ne tantes com indiqui el numerador (5 en el nostre cas ) .

Però una mateixa quantitat ( longitud, superfície. pes . etc . ) pot ésser representada per diferents fraccions. Per exemple. 5/6 i 1 0 / 1 2 representen la mateixa quantitat . També representa la mateixa qu ant i ta t 35 / 42 o qual­sevol fracció del tipus 5 k / 6k.

C.11

Totes les fraccions que representen la mateixa quanti tat direm que són equivalents entre elles . El conjunt de totes les fraccions equi\· �llents entre elles direm que és una classe de fraccions equivalents .

a) Escr iu fracc ions equival ents a 6/9. b) ¿Sabr ies donar l 'express ió genera l d 'una fracc i ó qua l sevol equ iva lent

a 6/9 ?

e) ¿ Entre l es fracc ions equival ents a 6/9, n ' h i ha a l guna amb el nume­rador negati u ? Com serà el seu denomi nador?

d) Escr iu l a c lasse de fracc ions equ ival ents a 6/9 .

38

Hem vist, al paràgraf l de l 'apartat C , que a cada fracció li podem asso­ciar un nombre decimal periòdic i que, si dues fraccions són equivalents, a ambdues els correspon el mateix decimal periòdic . Així, doncs, a cada classe de fraccions equivalents l i correspon un únk decimal periòdic. Així mateix, també hem vist que a cada decimal periòdic l i correspon una única classe de fraccions equivalents .

Tant les fraccions de la classe com el decimal corresponent representen la mateixa quantitat. Cada classe de fraccions equivalents direm que és un nombre racional i , per tant , un decimal periòdic és un nombre racional. Qualsevol fracció de la classe direm que és un representant del nombre racional corresponent .

E l nombre racional representa d e manera única l a quantitat que es mesura .

Donarem un exemple de nombre racional :

o,6 = { . . . -6, - 4, - 2, �' _±_' �' . . . , _l!!_, · · · 1

-9 -6 - 3 3 6 9 3k ,

nombre racional (o ex­pressió decimal del nom­bre racional)

representant irreductible del nombre racional

un representant del nom­bre racional

Així, doncs, si convenim que un nombre decimal limitat i un nombre enter són nombres decimals de període zero, arribem a aquesta important conclusió : Els nombres decimals periòdics coincideixen amb els nombres racionals.

El conjunt de totes les classes de fraccions equivalents o el conjunt dels nombres decimals periòdics s 'anomena el conjunt dels nombres racionals i s 'acostuma a representar amb la lletra O.

4. APROXIMACIONS DECIMALS

A la pràctica ens veiem obligats a utilitzar aproximacions per excés o per defecte dels nombres decimals periòdics que surten als càlculs . Aquests

39

nombres decimals limitats els anomenarem aproximacions decimals del nom­bre racional corresponent .

C.12

Les successives aprox i macions dec ima ls de l nombre 2 ,375 són :

Aproxi macions per defecte Aproxi macions per excés

2 3

2 ,3 2 ,4

2 ,37 2,38

2 ,375 2 ,376

2,3753 2 ,3754

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hem calcu l at l es aproxi macions f ins a l quart ord re ( l 'ordre és e l nom­bre de xifres dec ima ls de l 'aprox imac ió ) .

a) Com s 'obtenen les aprox imac ions per d efecte? l per excés?

Una de les dues aproximacions decimals d'un ordre donat, sigui per de­fecte o per excés està més pròxima que l 'altra al valor exacte del nombre al qual es vol aproximar.

Així, per exemple, per les aproximacions de lr. ordre del nombre 2,375 tenim :

.2,375

l l , 2,3 2,4

x - 2 ,3 = 0 ,0753 2 , 4 - x = 0 ,0624

És clar que la distància del nombre a 2 , 3 és més gran que a 2 ,4 i , per tant, 2 ,4 és la millor aproximació de l r. ordre en aquest cas .

b) Ouin serà e l cr i ter i per determinar qu ina de les dues aprox imacions d 'un ordre donat és l a m i l lor?

40

J l

C.13

a) Troba les aprox imacions dec ima ls per excés i per defecte f ins a l quart ordre d e l s nombres :

- 1 , 1 3 2 1 ,341 ....--.. ,---....

- 0 ,635 0 ,3952

b) Assenya la l a m i l lor aproximació per a cada ordre.

C.14

....--.. 2 ,399

Fes el mate ix amb els nombres dec ima ls representats per les frac­c ions :

2 3

5. ELS NOMBRES REALS

4 1 5

3 8

- 1 7

Amb els nombres racionals sembla resolt el problema de la mesura.

Nogensmenys, recordem que havia quedat plantejada una qüestió . Do­nada una longitud i una unitat de mesura, ¿ és sempre possible fer un nombre convenient de divisions de la unitat per a poder mesurar exactament la longi­tud donada? ( recorda el problema B .4 ) .

Aquesta qüestió també es pot plantejar així : donada una longitud i u n a unitat de mesura, ¿ hi haurà sempre un nombre racional que sigui el resultat d 'aquesta mesura?

Doncs bé, des de j a fa molts segles se sap que la resposta a aquesta pregunta és negativa. Des del temps de Pitàgores sabem que és impossible mesurar i representar per un nombre racional la diagonal d 'un quadrat de costat igual a l.

Per situar aquesta important qüestió, donarem una breu nota històrica.

41

Nota h istòrica

Sembla que el descobriment del primer nombre no racional, és a dir, un nombre decimal il·limitat no periòdic, és de l 'època de Pitàgores .

PITÀGORES fou un filòsof grec que visqué cap al segle VI a .C. i va fundar una secta que tingué gran influència en el món hel·lènic. Poca cosa es coneix de la seva vida ; es creu que després de molts viatges va emigrar, potser fugint de la tirania de Policrates, i es va establir a Crotona, al sud d 'Itàlia, on fundà una comunitat filosòfico-político-religiosa . Aquest movi­ment científica-religiós fou anomenat «pitagorisme» .

E l pitagorisme matemàtic donà lloc a investigacions geomètriques, arit­mètiques, astronòmiques i físiques . Els pitagòrics establiren gran nombre de teoremes que, més endavant, al segle III a.C., foren ordenats per EUCLIDES. Entre ells destaquen els que tracten de les magnituds incommensurables.

Pitàgores, segons una escultu ra del segle Xll. (Catedral de Chartres) .

42

• J

La teoria de les magnituds irracionals, iniciada pels pitagòrics i enriquida amb nous exemples per TEODOR DE CIRENE i d'altres, pot ésser justament considerada com un dels descobriments més importants de la matemàtica hel·lènica .

El primer nombre no racional (irracional) estudiat , i al començament sense cap dubte l 'únic conegut , fou '12. S 'han donat diferents hipòtesis sobre l 'origen d 'aquesta noció de nombre irracional . La més acceptada és que la irracionalitat de '12 aparegué en un problema de geometria : la dupli­cació del quadrat , o allò que és el mateix, aplicar el teorema de Pitàgores a un triangle rectangle isòsceles . Aquest problema palesa la impossibilitat de mesurar i designar amb un nombre racional la diagonal d 'un quadrat de cos­tat igual a l .

Ara, d 'altres qüestions com el càlcul de la semioctava o, sense sortir de l'aritmètica, la recerca d'un nombre racional tal que el seu quadrat sigui 2 , poden conduir al mateix problema .

Les quantitats irracionals van significar per als pitagòrics un fracàs de la seva aritmètica-geometria puntual , una insuficiència de llur llenguatge i de llurs símbols .

El seu mèrit fou reconèixer aquest fracàs , acceptar-lo i demostrar el caràcter insalvable d 'aquesta dificultat .

A més de '12 hi ha molts altres nombres irracionals, per exemple, n ,

-J3, -J5, . . . o nombres com 0 ,0 1 00 10001 . . .

Aquests nombres decimals illimitats no periòdics, els anomenarem nom­bres decimals no racionals o bé nombres decimals irracionals.

Alguns d 'aquests nombres apareixen en problemes ben senzills ; però de manera semblant als nombres decimals periòdics, hem d'utilitzar, en fer els càlculs , una de les seves aproximacions decimals .

C.15

Escr iu 3 nombres dec i ma ls rac iona ls i 3 dec ima ls no rac iona l s . Es­cri u , a més , les aprox imacions dec ima ls de ls 3 darrers fins a l quart ordre .

C.16

De l es arre ls quadrades de ls 25 pr i mers nombres natura l s , qu i nes són rac iona ls i qu i nes no rac iona l s ?

43

C.17

Escr iu les aprox i mac ions dec ima ls , per excés per defecte , de l s nombres 'J't , va i 1 /3 f i ns a l quart ordre.

En un rectang l e de 1 2 dm X 8 dm , d iv id im els costats g rans en tres parts iguals i e ls petits en dues pa rts també igua l s . U n i m els punts de les d iv is ions consecutives i formem un hexàgon .

a) Fes un d i bu ix i d i gues s i l ' hexàgon obti ngut és regu lar .

b) Calcu l a ' n l 'àrea i e l perímetre i dóna ' n e l s resu ltats exactes .

e) Aproxi ma e l resu ltat de l perímetre fi ns a l s m i l·l ímetres . Ou i na aproxi­mació és m i l l o r , l 'aproxi mac ió per defecte o per excés?

E ls d i pòs its d 'a igua d 'una casa de camp tenen forma c i l índr ica . La f igura és e l d i bu ix a esca la de l desenvo lupament d 'un d 'aquests c i l i ndres.

1 m

Es demana de ca lcu l a r :

a ) E l vo l um en m 3 de l d i pòs it i l a seva capac itat en / . Dóna e l resu ltat exacte i després fes e l s cà lcu l s , usant l 'aprox i mació dec ima l més ad i ent de l nombre i rrac iona l que h i apa re ix .

b) Justifica per què has agafat aquesta aprox imació dec ima l i no una a l tra .

44

C.20

Un so lar té forma de trapez i rectangu l a r com el de la figura i es vol tancar amb fi l at . Qu ina l ong itud n 'haurem de comprar?

2 m

2 m

3 m

S i e l preu és de 800 pts e l metre , qu in serà e l cost tota l ?

El conjunt de tots els nombres decimals l 'anomenarem conjunt dels

nombres reals i s 'acostuma a indicar per !R ( és important de recordar que un nombre enter es pot considerar un nombre decimal de període O) .

Amb aquests nombres tenim resolt , almenys teòricament, e l problema d'amidar qualsevol longitud i, a més , podem fer , exactament, totes les ope­racions conegudes ( excepte la radicació d 'índex parell de nombres negatius) .

6. CLASSIFICACIÓ DELS NOMBRES REALS

Els nombres decimals poden ser racionals i no racionals . Si considerem els nombres enters i els decimals limitats com a decimals periòdics de període zero, els nombres decimals periòdics són els nombres racionals. Els nom­bres irracionals són els decimals il·limitats no periòdics .

El conjunt de tots els nombres decimals s 'anomena conjunt dels nom­bres reals i s 'acostuma a indicar per !R .

Un nombre real, per tant , és u n nombre de l a forma :

E,b1b2b3 . . . on E és un nombre enter i b1, b2, bJ . . . són xifres qualssevol de O a 9 .

Com a conclusió, tenim l a següent classificació dels nombres :

45

Nombres

decimals o

Nombres reals

- Decimals periòdics o

Nombres racionals

- Nombres enters:

- Decimals limitats:

- Nombres naturals l , 2, 3

- Zero : O - Enters negatius:

- 1 , - 2, - 3

3 , 1 2 ; - 1 2 ,35 ; 0 , 1 4832

- Decimals periòdics purs : .----.. ,..--... 27,32; - 1 ,487

- Decimals periòdics mixtos :

4,3n ; - 1 3 , i 567 - Decimals il·limitats no periòdics o Nombres irracionals :

V2 = 1 ,4 1 42 . . . ; - 7 ,0 1 0 0 1 000 1 . . . ; Tt = 3 , 1 4 1 5926 . . .

7. REPRESENTACIÓ DELS NOMBRES REALS SOBRE LA RECTA

A l 'apartat B havies après a representar els nombres racionals sobre una recta , un cop triars els punts origen i unitat . Et podries preguntar, ara, com representar els nombres decimals no racionals?

C.21

Uti l itzant el teorema de P itàgores , o a lgun a l tre teorema re latiu a tr iang les rectang les , d i bu ixa , amb tota cura , segments de Y3, \fs, V?, V1T vegades un segment que hauràs agafat com a un itat.

Només cal tras l l adar aquests segments sobre la recta. En el cas de V2, emprant el teorema de Pitàgores, e l prob lema no és ga i re d i fíc i l :

' \

\ \

\ \ \ l

o V"i 2

46

!· l

Aquest procedi ment et serv i r ia també per a representar a ltres nom­bres i rraciona ls .

C.22

Fent servir un proced i ment semb lant a l 'anter ior , d i bu i xa e l s punts representat ius de v'3. v'S. va. y'TI. C.23

Un proced iment més ràpid que permet d ibu ixar un segment de long i ­tud Va es basa en e l teorema de l 'a l tura . Constru i nt un tr i ang le rectang le que t ingu i com a projeccions de ls catets 1 i a, respectivament, l 'a ltura am ida exactament Va.

Fes l a construcc ió segu int aquest proced iment per d i bu i xar e l s punts corresponents a V7 i Vfü.

Per desgràcia, aquest mètode no es pot utilitzar per a tots els nombres no racionals . Els exercicis que vénen a continuació et permetran d'aclarir aques­ta qüestió .

C.24

Busca les aprox i macions dec ima ls per excés i per defecte de l s nombres V17 i 7t . Dibu ixa sobre una recta totes les que pugu i s . Pren cura d 'agafar e l segment un itat ben gran per ta l que e l d ibu ix qued i c la r .

C.25

M i rant e l s d ibu ixos de l prob lema anter ior , veuràs que l es aprox ima­c ions s 'acosten cada vegada més , a mesura que avancem en l 'ordre de l 'aprox imació .

a) Quina és l a d i stànc ia entre les aprox imacions per excés i per defecte de segon ordre? l de tercer ordre ? l d 'ordre 1 0?

b) S i vo l em que la d i stànc ia s igu i més petita que 0 ,00001 vegades l a un itat, quantes aprox imacions haurem de d ibu ixar?

Admetrem que tots els segments determinats per les successives aproxi­macions decimals d 'un nombre real tenen un sol punt en comú; aquest és el punt que representa el nombre real corresponent .

47

8. RADICALS

Hi ha nombres reals no racionals que es presenten sovint en els càlculs més diversos . Aquests nombres són les arrels quadrades que no es poden expressar mitjançant nombres racionals . Estudiarem, en aquest apartat , les propietats i operacions amb els esmentats nombres, la qual cosa ens per­metrà :

a ) Obtenir els resultats exactes de molts problemes, o amb càlculs més senzills i amb menys error que si substituíssim immediatament el nombre irracional per una de les aproximacions decimals .

b ) Adquirir la tècnica de càlcul imprescindible e n temes posteriors com , per exemple , en el tema de funcions i d 'equacions .

Problemes d' introducció

Et proposem a continuació quatre senzills problemes en els quals hauràs de treballar amb arrels quadrades . Cada cop que en trobis una, la podràs substituir per l 'aproximació decimal de segon ordre, és a dir, amb dues xifres decimals . Posteriorment , et proposarem de repetir-los sense agafar aquestes aproximacions, o sigui, fent les operacions directament amb les arrels ; d 'aquesta manera t 'adonaràs de l 'avantatge que representa aquest segon procediment .

Ten im u n a bassa , de forma quadrangu lar , de 2 m de costat . A l s seus vèrtexs i arran de l 'a igua hi ha quatre a rbres . Volem e ixampl ar- l a , tot conservant-ne la forma i sense tocar-hi e l s arbres, dob lant-ne la super­f íc i e . E ls arbres hauran de quedar fora de l 'a i gua i a l a vorera de l a nova bassa. Com ho far ies i q u i n haurà d 'ésser el costat del nou quadrat? Un cop trobat e l costat, comprova que, efect ivament, la superfíc ie és dob le de la i n i c i a l . Si no et dóna exactament el dob l e , a què creus que es deu?

La p i ràm ide de Keops , una de les set merave l l es de l món antic , té l a forma d 'una p i ràmide quadrangu la r regu lar que actua lment té 1 38 m d 'a lçada i 227 m de costat. Quant amiden les arestes l atera ls i q u i ns són el vo l um i l 'àrea?

48

'

l

C.28

Qu ina long itud de fi l at ens ca ldrà per a tancar dos terrenys de forma quadrangu la r de superfíc ies 2048 m2 i 5 1 2 m2, respect ivament?

C.29

Dos p i l ars i c i nc cables d 'acer suporten un pont tal com es mostra a l a f igura.

� � ,,/'-.... E ls ang l es ABC, BCD i CDE són ang l es rectes . Qu ina és l a long itud

de cadascun dels cables AB, BC, CD , DE i BD? Qu ina long itud tota l de cab le s 'ha emprat?

Radicals

C.30

a) Ben segur saps que V9 = 3 , v'36 = 6 , f/ 1 25 = 5 ; però ¿ ens podr i es d i r e l perquè?

b) ¿ És cert que V9 és també - 3? l que V36 = - 6? l que f/ 1 25 = = - 5 ? Justif ica l es -respostes .

e) Són nombres rea ls e l s rad ica ls v 9 ; v 4 ; V 8 ; fi 2? Justi-fica les respostes .

d) S i escr iv im VA = a , què vo l em ind icar? l s i escr iv im tt = b? l s i escrivi m \íC = e?

C.31

Les igua l tats següents són ver itab les o fa lses ?

v'4 + V9 = VT3 ; Y36 + -J25 = Y61 ; v'4 . V9 = V36

Justifica les respostes .

49

En el problema C .30 has trobat V9 = 3 perquè Y = 9 ; V36 = 6 perquè 62 = 36 ; 1 125 = 5 perquè 53 = 125 i també VA = a perquè a2 = A i 113 = b perquè b3 = B . Les expressions de la forma VA i 113 hom les anomena, respectivament , arrel quadrada i arrel cúbica. A i B són els radicands i els numerets col·locats sobre el signe V ( signe radical ) són els índexs (quan aquest número és el 2 el costum és no escriure 'l ) . Observa que la radicació és una operació inversa de la potenciació, ja que :

V9 = 3 � Y = 9

substituint la primera igualtat a la segona tenim : ( V9)2 = 9

C.32

a) Repassant l 'apartat d) de l prob lema C .30 dóna la defi n i c ió d 'arre l n-èss i ma d 'un nombre .

b) A l 'express ió -VA = a d i gues qu in és l ' índex, qu in e l radicand i qu ina l 'arre l enès ima .

e ) Justif ica l a igua ltat ( -VAJ " = A .

C.33

a) A part i r de la defi n ic ió VA = a � a2 = A demostra les igua l tats

v'7I. · V8 = Y'lf--:ff ; VA : V8 = YA:1J b) Remarca que , en canv i , les igua l tats VA + VB = v A + B

VA - VB = v A - B són fa lses . Ho sabr ies demostrar?

e) ¿Sabr ies provar que : VA · YB = � ; VA: YB = VA:B

són ver itab les i que : -VA + YB = -V A + B ; -VA - YB = -\/ A - 8

són fa lses?

d) ¿Sabr ies enunc ia r una reg la per mu l t ip l icar dos rad ica ls de l mateix índex? l per d iv id i r ?

e) Justif ica que ( \18) m = .y-¡;¡m, C.34

a) Al prob lema C .28 has hagut de ca lcu la r V 2 048 i V 5 1 2 . ¿Sabr ies ca lcu l ar- les a part i r de -../2? Per a ixò descompon e ls radi cands en factors pr imers i uti l i tza l es propietats que ja has trobat.

50

En el problema C.30 has trobat Y9 = 3 perquè Y = 9 ; v'l6 = 6 perquè 62 = 3 6 ; fi 1 25 = 5 perquè 53 = 1 2 5 i també VA= a perquè a2 = A i tt = b perquè b3 = B . Les expressions de la forma VA i 113 hom les anomena, respectivament, arrel quadrada i arrel cúbica. A i B són els radicands i els numerets col·locats sobre el signe V ( signe radical ) són els índexs ( quan aquest número és el 2 el costum és no escriure'l ) . Observa que la radicació és una operació inversa de la potenciació, ja que :

V9 = 3 Ç:::::} y = 9

substituint la primera igualtat a la segona tenim: ( Y9)2 = 9

C.32

a) Repassant l 'apa rtat d) de l prob lema C .30 dóna la defin i c ió d 'arre l n-èss ima d 'un nombre.

b) A l 'express ió VA= a d i gues qu i n és l ' índex, quin e l radi cand i qu ina l 'arre l enès ima .

e) Justif ica l a igua ltat ( VA) " = A .

C.33

a) A part i r de la defin ic ió VA = a Ç:::::} a2 = A demostra les igua l tats

VA · V8 = -y;¡s:-:a ; VA : V8 = v7f':tf

b) Remarca que , en canv i , les igua ltats VA + VB = v A + B VA - VB = v A - B són fa lses . Ho sabr ies demostrar?

e) ¿Sabr ies provar que: VA · VB = � ; IT : V8 = VA:B

són ver itab les i que : VA+ VB = v A + B ; VA - VB = v A - B

són fa lses?

d) ¿Sabr ies enunciar una reg la per mult i p l i car dos rad ica ls de l mate ix índex? l per d iv id i r ?

e) Justif ica que ( va) m = y-¡¡m,

C.34

a) Al p rob lema C.28 has hagut de ca lcu la r v 2 048 i V512. ¿Sabr ies ca lcu lar- les a partir de V2? Per a ixò descompon e l s rad icands en factors pr imers i uti l i tza les propietats que ja has trobat.

50

b) Calcu la V45 i YT80 a part i r de VS. e) Fes el mateix per treure tots e l s factors que pugu i s de ff. d) Enunc ia una reg la que et permeti treure tots els factors poss ib les de

vam quan m > n .

C.35

a) Treu tots e ls factors que pugu is fora de l rad ica l en e l s casos següents :

1 648000

b) Fes les operac ions i nd i cades i treu fora de l rad ica l resu ltant tots e l s factors que pugu i s :

C.36

V2 . v'6 V2T . Y7 Y98 : VT8 ' VT8êï : V80 Y8 . Y2 ' -{27 . VT2 ' -{27 . V15 . V20

Fent serv i r l es propi etats de l prob lema anter ior i recordant que l 'aproximació f ins a l s m i l·l ès ims d e :

Y2 = 1 ,4 1 4 ; Y3 = 1 ,732 V5 = 2 ,236 ca lcu l a :

v'6 ; V8 ; v'12 ; V20 amb tres xifres dec ima ls .

C.37

Ut i l itzant un procés contrari al de treure factors d 'un rad ica l , és a d i r , i ntrodu i nt- los d i ns e l radica l , expressa com a rad ica ls de coefic ient 1 :

3 V5 ; 4 \12 ; 3 12]9 ; 2 v116 ; 3 v'2

C.38

Dos radicals direm que són semblants si tenen el mateix radicand i el mateix índex; per tant, només poden diferir en el coeficient . Per exemple, Y5, 3 Y5, º bé n, 2 n.

51

Transforma en rad ica ls semblants e l s rad ica ls:

... l Quan dos radicals són semblants es poden sumar de manera immediata;

en cas contrari l 'operació s 'ha de deixar indicada .

Calcu la i s imp l ifica e l resu l tat tant com pugu i s :

Vl2 - ffl + Vf08 , 3 V3 - 2 Vl2 + s V27 , 2 v'l80 - s vs - 2 V45

Fes e ls cà lcu ls següents i s imp l i fica ' n e ls resu l tats:

a) ( V3 - v'2} ( v'3 + V2J ( vs - 2 \12)2

b) ( 1 - v'3l · l2 + v'3) (6 + 4 V2l· l6 - 4 V2)

(3 fll· l5 \12)

Torna a fer e l s problemes C.26, C .27 , C .28, C .29, però sense aprox imar e ls rad ica l s per nombres dec ima ls i compara e l s nous resultats amb e ls que havies obt ingut. Què pots dedu i r-ne?

Hem vist que si dos radicals són semblants es poden sumar . A vegades, però, tenim radicals al deryominador d 'una fracció ; llavors , per poder-la sumar amb altres fraccions cal eliminar el radical del denominador. Aquest procés rep el nom de racionalitzar la fracció.

La raó entre un catet i la h i potenusa d 'un tr iang le rectang le i sòsce les de costat 1 és 1 l V2.

52

l

a) b)

e)

d) e)

f)

g)

Demostra que 1 l v'2 = -./2/2.

Com podr ies exp l i car aquesta igua ltat a part i r de l a f igura? (Observa que e l s tr iang les BA C i BOA són sembl ants . )

Qu ina és l ' esmentada r a ó per a u n t r i a n g l e rectang l e i sòsce l es de costat e?

Demostra que 1 l Va = Va/a.

Passar d 'una expressió 1 / Va a l 'express ió equiva lent Va/a se 'n d i u racional itzar denominadors . Sabr ies d o n a r u n a reg l a p e r rac i o n a­l i tzar una fracc i ó e l d e n o m i nador de l a qua l és u n a arre l q uadrada?

Raciona l itza :

2 3 1 1 5 V5 2 \13 V3 �

Raciona l itza :

Y2T3 V0,2 V0,8

C.43

a)

b)

e)

d)

Calcu la ( V3 + V2l · l \/3- V2T . 1

Ten i nt en compte l 'apartat a) rac iona l itza ---­V3 + n ·

Fes e l mate ix a 1 V3 - V2

Raciona l i tza l es fraccions :

2 1 - V3

2 2 5 + Y2 5 + 3 v'2

9. PROBLEMES D'APLICACIÓ

C.44

Troba la fracc ió i rreducti b le corresponent a cada un de l s dec i ma l s següents :

'""' � � � 3 ,4 ; - 0 ,875 ; 1 2 ,03 ; - 1 ,541 6 ; 5 ,4 1 35 Fes les d iv is ions per comprovar e l s resu ltats .

53

Es fonen j unts un l i ngot de 800 g de p lata de l l e i 0 ,825 i un a l tre de 420 g de p lata de l l e i 0 ,950 . Qu ina és l a l l e i del l i ngot obti ngut?

A les travesses, e l 55 per cent de l que es recapta es d esti na als pre­m i s . De tal quant itat en fan tres parts i gua ls . La pr i mera es reparte ix equitativament entre els que encerten 14 resu l tats , la segona entre els de 1 3 , i la tercera entre els de 12 ( excepte que s igu i n massa ; en aquest cas només en fan dues part s , per a ls de 1 4 i de 1 3) .

a) Quina proporció de l que es recapta es reparte ix entre e ls encertants de 1 4? l entre e l s de 1 3 ?

b) Hi ha hagut 22 encertants de 14 resultats ; 1 .265 de 13 i 25 .432 de 1 2 . Qu ina proporc ió de l total l i toca a cada encertant d e 1 4 , d e 1 3 i d e 1 2 ?

e) Si la quant itat recaptada ha estat de 840 .000 .000 pts : quant es co­brarà si e l s encertants són e l s descr its a b) ?

E ls 3/5 més e ls 3/4 menys e ls 3/7 de la long itud d 'una paret, mesuren 1 6 , 1 25 m . Qu ina és la long i tud tota l de la paret?

La proporc ió de l es quant i tats de carbó (C) i oxigen (O) en l 'anh í­d r i d carbòn ic és de 3 : 8 (3 parts de carbó per 8 d 'ox igen ) .

a) Qu ina quant i tat de carbó i d 'oxigen h i ha en 66 g de C02?

b) Quin tant per cent de cada e lement h i ha en l 'anh íd r i d carbòn ic?

a)

b)

e)

54

Calcu l a i s imp l i fica les express ions següents : V15 . V60 v 360 · v 540

"50 V96

(Soluc ió : 30)

(So luc ió : 1 80 \!6)

(Solució : 5v'3) 1 2

l

d) s V0,2 (So luc ió : y'S) e) 2 V3- 3 V12 + 4 v'75 (So l uc ió : 1 6 YJ)

f) (6 V3 + v'8l · (3 V6 - 2 ) (So luc ió : 50vf2)

g) 3 v'20 - 5 Y3 (Soluc ió : ffl)

2 V3- -vs

C.50

a)

b)

e)

d)

Calcu la d i rectament i s impl if ica :

(2 \15- V7J · C2 V5 + Y"!J (Soluc ió : 1 3)

(3 \"2- 2 Y3) 2 (So luc ió : 3 0 - 1 2v'6J

(4 \15 + 3 ) 2 (Soluc ió : 89 + 24yS)

(2 + Y3) 2 (So luc ió : 7 + 4 V3J

TREBALL SOBRE NOMBRES DECIMALS ---------

Expressió dec ima l d 'una fracc ió .

T ipus de dec imals que corresponen a fraccions.

Fracc ió generatr i u corresponent a ls dec ima ls l i m i tats i per iòd ics. El nombre raciona l .

Aprox imac ions dec ima ls .

Long i tuds no rac iona ls . E ls nombres rea ls .

C lass if icació de ls nombres.

Teoremes de ls tr i ang les rectang les .

Rad ica l s : Defi n i ció d 'arrel enès ima . Mu lt ip l icació i d iv i s ió d 'ar­re ls de l mate ix índex. Potenciac ió i rad i cac ió d 'una arre l . Treu­re factors d 'un rad ica l . S imp l if icac ió i reducció de rad ica ls a l 'expressió més s imp le . Rad ica ls semblants . Racional itzac ió.

55

D

e rro rs

1. ERRORS D'ARRODONIMENT l ERRORS DE MESURA

A l 'apartat C d'aquest llibre hem estudiat el conjunt dels nombres decimals o conjunt dels nombres reals . En alguns problemes de l 'esmentat apartat hem vist que als càlculs on surten alguns d 'aquests nombres hem d'emprar , a la pràctica , a l 'hora de donar el resultat , una de les seYes aproxi­macions decimals .

Per exemple, en resoldre els problemes C. 1 9 i C.20 és molt probable que cadascun de vosaltres hagi agafat una aproximació diferent per al nombre -:-: ( al problema C. 1 9 ) i per a V5 ( al C.20 ) . Els resultats d'aquests problemes seran resultats aproximats i dependran de l 'aproximació usada .

D'aquests tipus d 'errors en direm errors d'arrodoniment.

Però també hi ha una altra font possible d 'error . Vegem-ho amb alguns problemes .

Una persona que v iu a prop de l 'estació de metro «Torres i Bages » té l a seva fe ina al costat de l 'estac ió de « Mar ina » . Ut i l i tzant el p la de l metro de Barce lona , ca lcu la e l camí recorregut i e l temps emprat. Per a ixò :

56

a) Mesura sobre e l p la l a l l argada de l camí recorregut i , ten i nt cura de

l 'esca la , troba l a d i stància rea l . Expressa e l resu ltat en m i km. b) Fent h i pòtesi sobre l a ve loc i tat m i tjana d e l metro i la du rada de les

parades, troba e l temps em prat e n e l recorregut.

E l p la corresponent a aquest prob l e m a és e l p la d 'u n p i s :

c:::::::::::::J• QID DORMITORI ¡g � e

� -

..... l l rg l .l

l -

TERRASSA MENJADOR

-

-

DORMITORI

DORMITORI

CUINA

1 m 1-----l

SAFA-REIG

..... -

T

l REBEDOR T

57

a) Troba e l nombre total de m2•

b) Si e l cost per m2 és 30.000 pts , quant costar ia e l p i s ?

e ) Quins creus que són e l s factors que i nf lueixen en e l cost per m2 (mà d 'obra, so l a r , etc . ) ? Què et suggereix l a frase : especu lac ió de l sò l ?

Compara e l s resultats que hag i s trobat e n e l s problemes D . 1 i D .2 amb e l s de ls teus companys. S i h i ha d i ferènc ies , qu ines creus que en són les causes?

Hauràs observat que les mesures efectuades als problemes D. l i D .2 són expressades mitjançant nombres enters o decimals limitats . En general, en fer servir un aparell de mesura els resultats són sempre nombres d 'aquest tipus ; en certs casos aquests nombres són les mesures exactes, però en d'altres en són només aproximacions . Això és degut al fet que tot aparell de mesura té un límit en la seva precisió ; per exemple, amb el regle graduat només es pot apreciar mm o com a màxim, segons la bona vista de l 'obser­vador, es podria arribar fins a mig mm.

Fixa't , doncs , que l 'aparell de mesura influeix en el resultat de la mesura .

Un aparell pot donar lloc a errors de diferents tipus . Per exemple, si un regle estigués mal graduat, de la forma indicada a la figura :

º1 1¡0 ze 3e 410 5¡0 6¡0 710 ª1º 9121111111111ºº l l l l l

l ol 1¡0 2¡0 310 4¡0 �o 6¡0 710 ª1º 9P.1111111!1100I t 99

els resultats obtinguts amb el regle 2 es veurien afectats per un error siste­màtic degut a la imperfecció de l'aparell de mesura . A part de defectes de construcció, agents externs com la pressió i la temperatura del lloc on s'efec­tua la mesura poden influir en el funcionament de l'aparell ( per exemple, la temperatura pot dilatar un regle metàHic) i, per tant , produir errors siste­màtics.

Una altra possible font d 'error sistemàtic pot ésser deguda al mateix experimentador, per exemple, si l 'observador en fer la lectura sempre agafa el resultat per excés o per defecte .

58

l

l

l

l

Els errors sistemàtics no es poden eliminar mai completament ; es poden reduir fent servir diferents mètodes de medició i canviant l 'aparell i l 'experi­mentador. En utilitzar un aparell serà , doncs, important d 'assegurar-nos que no introdueix errors sistemàtics considerables .

Ara, fins i tot amb un aparell que no introdueixi errors sistemàtics, s i repetim una mesura procurant de mantenir les mateixes condicions de l 'expe­riment, els resultats no són en general idèntics ; hi ha una variabilitat intrín­seca que no es pot controlar. Per exemple , en buscar el pes d 'un objecte amb una balança, petites imperfeccions no apreciables de l 'aparell poden provocar que, en col·locar de diverses maneres l 'objecte i els pesos sobre els platets , els resultats siguin diferents .

Així, doncs, les successives mesures d 'una magnitud física no donaran en general resultats idèntics . Aquestes variacions les anomenarem errors acci­dentals . Els errors accidentals es donen a l 'atzar ; per tant , repetint la mesura un gran nombre de vegades, es poden reduir. D'això ve que en el laboratori cada mesura s 'ha de realitzar un nombre considerable de vegades, essent en cada repetició molt curós en procurar que les condicions en què es repe­teix la mesura siguin com més uniformes millor.

Tot el que hem dit sobre els errors de mesura cal que ho comprovis expe­rimentalment al laboratori.

Et proposem de fer una sèrie d 'experiències que serviran per a comprovar el que acabem de dir . Algunes pràctiques senzilles de realitzar són:

• Llei de Hooke ( estudi de l 'allargament d 'una molla en funció de la força) .

• Estudi del període d 'un pèndol en funció de la longitud .

• Llei d 'Ohm .

• Estudi de la caiguda lliure d 'un cos o de la caiguda per un pla inclinat .

És important que t 'adonis que als resultats de problemes , experiències físiques , mesures, etc . , hi ha gairebé sempre ( si no són valors purament teò­rics ) un error ( sia d'arrodoniment , de mesura o ambdós alhora ) i que en efectuar nous càlculs amb aquests valors aproximats es produeixen nous errors . En paraules tècniques diríem que els errors es propaguen en efectuar càlculs amb valors aproximats .

Et proposem ara alguns exercicis perquè estudiïs la importància de l 'error respecte al resultat final .

59

Al prob lema C. 1 9 estud ia l a i mportànc ia , respecte a l resu ltat f ina l , de l 'error d 'arrodon iment que en resu l ta d 'aprox imar e l nombre 1t per 3 ; 3 , 1 4 ; 3 , 1 4 1 6 .

Fes e l mate i x a l prob l ema C .20 en aprox imar V5 per 2 ; 2 ,23 ; 2 ,236.

Heus ací el prob lema següent: Venem 32 ca ixes de taronges per 2 .400 pts . Quant en trauríem de 435 caixes al mate ix preu?

Dos am ics , en resol d re ' l , ho han fet de manera d iferent.

El pr imer ha raonat a ix í : ha ca lcu lat quants g rups de 32 ca ixes hi ha en 435 caixes i després, com que 32 caixes valen 2 .400 pts , ha ca lcu lat e l preu de 435 .

E l segon ha ca lcu lat pr imer e l preu d 'una caixa i després e l d e les 435.

Fes el cà lcu l pels dos mètodes aprox i mant f ins als cèntims i compara e l s resu l tats . Qu in et sembla que és més exacte? Per què?

Calcu la de les dues maneres següents l 'express ió 651 · (-3- + -

3-)

1 4 3 1 a ) Redu int l es fracc ions a dec i mals i agafant valors aproxi mats amb

dues o tres x i fres dec ima l s .

b) Operant amb les fracc ions i s imp l if icant i passant després a deci ma l . Compara e l s resu l tats i d igues s i l 'error en aquest cas é s evitab le . Qu in de l s dos mètodes és e l m i l lor?

En aquests últims problemes has comprovat com els errors comesos poden influir en els resultats finals i, per tant, emmascarar-los . Així, és im­portantíssim, d 'una banda, ésser curós en fer qualsevol mesura i de l 'altra, en la utilització de les aproximacions decimals defs nombres reals .

60

2. PRECISIÓ D'UNA MESURA

Generalment, el valor exacte de l 'error comès és desconegut , ja que conèixer-lo equivaldria a conèixer el valor exacte de la mesura; a la pràctica, allò que podrem determinar és un valor màxim d'aquest error. Així , per exemple, en un llibre trobem que la velocitat de la llum en el buit val :

( 299 .792 ,5 ± 0 , 3 ) km/s

Això vol dir que l 'experiència que ha portat a mesurar-la , allò que ens assegura és que la velocitat de la llum c està compresa entre :

299 .792 ,2 km/s � c � 299 .792,8 km/s

valor estimat de e en Km/s

¡- cota d 'error -1- cota d'error --1 �-+-��-+-��1--�-1-��--1-��+-����-+-��-t-�--;r-�-t--299.792 t t t Z 99. 793

valor s possibles de e ( compatibles amb la m esura )

La quantitat 0 ,3 km/s direm que és el límit de l 'error absolut en la mesura de c o la cota d'error absolut.

Per tant, si volem donar un resultat amb precisió hem de donar, a més del resultat, una cota de l 'error comès .

Ara bé, en molts casos l 'error absolut no és gaire significatiu ; per exem­ple , si fem un error màxim d ' l cm en mesurar una llargària de 10 cm i fem el mateix error en mesurar l km, encara que la cota de l 'error absolut és la mateixa , e l primer té molta importància mentre que el segon no en té pràcticament cap. Així, sovin t ens interessarà no la magnitud absoluta de l 'error comès, sinó la comparació de l 'error amb el valor considerat, resultat que s 'acostuma a expressar en tant per cent .

En els exemples anteriors direm que el límit d'error relatiu en la mesura 0 3 de c és : '

= 0 ,00000 1 o 0 ,0000 % o bé que l 'error relatiu en 299 .792 ,5

l la mesura de la llargària de 1 0 cm és : -- = 0 , 1 o 1 0 % o en la d ' l km:

1 0 l

--- = 0,0000 1 o 0 ,001 % . 1 0 0 .000

6 1

a ) S i aprox imem e l nombre 7t = 3 , 1 4 1 59265 . . . per 3 , 1 ; 3 , 1 4 ; 3 , 1 42 ; 3 , 1 4 1 6 , ca lcu la una cota de l 'error comès i d igues s i aquest error és per defecte o per excés.

b) Fes el mate ix per al nombre 2 ,138 i l es aproximacions 2 , 1 ; 2 , 1 3 ; 2 , 1 4 ; 2 , 1 38 .

Cotes d 'error en l 'aproximació decimal d 'un nombre

a) 8,7 és l 'aprox imació dec ima l per defecte d 'un nombre x. Entre quins va lors pot trobar-se x?

b) Dóna una cota de l 'e rror comès en substitu i r x per 8 ,7 .

c) Respon les preguntes a) i b) en el cas que x s i gu i l 'aprox imació dec ima l per excés de x.

d) Respon les preguntes a ) b) en e l cas que x s igu i l 'aprox imació decimal òptima de x .

0.10

S i vo lguess is canviar e l v idre trencat d 'una f inestra : amb qu ina preci­s i ó donar ies l es m ides a l v idr ier? Justif ica la resposta .

l s i vo lguess is donar l a d istànc ia de Barce lona a Va lènc ia? Qu in ser ia en ambdós casos e l l ím i t d 'error abso lut? l e l l ím i t d 'error re lati u ?

0.11

Si v'5 = 2 ,2360679 . . . , busca e l s valors més pròx ims per defecte per excés que t ingu i n dues x i fres dec ima ls .

a) Qu in de ls dos val ors et semb la més exacte ? Per què?

b ) Quin va lor e t sembla més exacte amb tres i quatre x i fres dec i ma ls?

c) Quins són e l s l ím i ts d 'error abso lut i re lat iu en ambdós casos?

0.12

En les vendes de terrenys , e l preu s 'acostuma a donar per pams quadrats . Un m2 equ iva l a 26 ,4678 pams2• Es vol vendre un solar rectan-

62

gu iar de 20 m x 2 1 m, el preu de venda és de 1 1 50 pts e l p2• En fer e ls cà lcu ls , s 'ha agafat 1 m2 = 26 p2. Quin és l 'error comès? ¿Té molta i mpor­tànc ia aquest error? Dóna e l resu ltat numèr icament.

0.13

Amb un ca l i brador (peu de re i ) s 'ha mesurat e l d iàmetre i nter ior d 'un tub d 'assa i g . E l resu ltat trobat és 1 3 ,2 mm. S i sabem que aquest apare l l pot aprec i ar f ins e l s dèc i ms de mm: qu i n és l 'error de l ectura? Qu i n l 'error relati u ?

Determ i na l 'error abso l ut i l 'error relat i u d e l es mesures següents:

a) E l temps d 'expos ic ió del pos i t iu d 'una ampl iadora és 25 s amb un error màxi m poss ib l e de 4 s .

b) E l temps que cal manten i r obert l 'object iu d 'una cambra fotogràfica en fer una foto determinada és 1 / 1 25 s amb un error menor del 5 % .

cl 0 ,05 és e l resu ltat després d 'haver arrodonit e l valor òpt im amb dues x i fres dec ima ls .

3. OPERACIONS AMB QUANTITATS SOTMESES A ERRORS

0.15

Una nau espac ia l consta de tres fases. En e l moment de l a sort ida , les fases t i ndran e ls pesos següents :

fase 1 : 1 0 .000 ± 30 kg

fase 2 : 8 .000 ± 40 kg

fase 3 : 4 .000 ± 40 kg

a l Dóna e l s errors absol uts i re lat ius de ls pesos de cada una de l es tres fases. Ind ica les un i tats .

b) Qui n és e l pes est imat de la nau completa?

e) Qu ins són e ls pesos màx im i m ín i m que pot ten i r l a nau completa? d) Ou in és l 'error absolut sobre e l pes de la nau? Dóna les un itats.

Qu in és l 'e rror re l ati u ? e) Comenta l es qüest ions següents : se sumen quantitats amb errors .

És cert que e l s errors absoluts se sumen? l e ls errors rel ati us?

63

D.16

Una màqu ina ta l l a peces rectangu lars de coure de 20 mm X 50 mm,

essent l 'e rror màx im que produeix en tal lar- les d '1 mm per cada costat. a) Calcu la l 'àrea d 'una peça perfecta.

b) Quin és l 'error absol ut i el re lat iu per a cada costat? Ind ica l es un itats .

e) Ca lcu la l 'àrea mín ima que pot ten i r una peça si e l s costats són ambdós els més petits poss i b les . Fes e l mate ix per a l 'àrea màxima.

d) Quin és l 'error absol ut per a l 'àrea? Ind ica les un itats . l l 'e rror re lat iu ?

e) Comenta les qüestions següents : e s mu lt ip l i quen dues quatitats amb errors . És cert que se sumen e ls errors absoluts? l e ls re l at i us?

D.17

a) Donada una quantitat x coneguda amb un error, s i e l s va lors mín im i màxim entre e ls qua ls pot estar x són a i b : (a :::;; x :::;; b) qu i n se­rà e l valor esti mat de x? Qu in serà l 'e rror absolut? Fes un g ràfic per exp l i car-ho.

b) Si e l valor esti mat per una quantitat és a amb un error abso lut e (anotarem a ± e ) . entre qu ins valors pot estar compresa l a quan­titat mesurada? Qu in és l 'error relatiu de l a mesura? Qu i nes un i tats té l 'e rror absol ut? l l 'error re lati u ?

e) Si e l valor esti mat per una quantitat és a amb un error relat iu e' (anotarem a (e') ) , qu in serà l 'error absol ut? Entre qu ins va lors està compresa la quantitat mesurada?

d ) S e sumen dues quantitats a m b errors , a ± e , i b ± eb . Q u i n é s l 'error abso lut de la suma?

e) Es multi p l iquen dues quantitats amb error a ( e',) i b ( e'b) . Qu in és l 'error relat iu de l producte ?

, D.18

a) Donades les quantitats : a = 750 ± 3 m i b = 875 ± 7 m, ca lcu la a + b ; a - b ; a · b i a : b i e ls errors corresponents .

b) Si c = 32,2 cm amb un error de l 0 ,5 % i d = 75,2 cm amb un error del 0,3 % , ca lcu la c + d; c - d; c · d i c : d, i dóna e l s errors corres­ponents .

64

E

o rd res d e m a g n i t u d

1 . REPRESENTACIÓ DELS NOMBRES EN NOTACIÓ CIENTfFICA

_-\lgunes \·egades . les mesures d'algunes magnituds són nombres molt ,;:�i:-i s o molt perits ; per exemple, la distància de la Terra al Sol és de l .! 9 . -t ï 6 .ï -t ï .OOO m, que es un nombre molt gran ; i la massa del protó és 2e 0 .0000000000000000000000016729 g, que es un nombre molt petit .

És incòmode fer càlculs amb aquestes xifres . Podem tenir una manera d 'escriure els nombres més breu i entenedora fent servir les potències de 10 . Així , per exemple, tindríem:

500 .000 = 5 · 1 05 36 .000 .000 .000 = 3 ,6 · 1 010

Quan es tracti de nombres molt petits caldrà dividir per una potència de 1 0 . Per exemple :

0,00000026 = 2'�

10

E n aquests casos s 'utilitzen els exponents negatius . E s defineix :

10-7 = _1 _ . 10- n = _l_

1 07 ' 1 on i aleshores tenim: 0 ,00000026 = 2 ,6 · 10-7

65

b) Es define ix l 'any-l l um com la d i stànc i a que recorre la l l um en un any . Ca lcu la quants qu i lòmetres són un any-l l um . Fes e l s cà lcu ls en notac ió c ientífica.

e) Recordant e l resu ltat obt ingut en e l prob lema E.3 sobre l a d istànc ia a l 'estre l l a més propera , expressa-la ara en anys- l l um .

Ca lcu l a :

a) (3 ,6 · 1 07 ) : ( 1 ,2 · 1 04)

b) (7 ,5 . 1 06) : ( 1 ,5 . 1 010)

( 2 , 1 · 1 0ª) : ( 1 A . 1 0-6)

(2 ,8 . 1 0-7) : (3 ,5 . 1 0-12)

La massa d'un protó és 1 ,67 · 1 0-24 g, mentre que e l seu rad i és 1 ,2 · 1 0- 13 cm.

a) Escr iu l es dues quantitats amb totes les seves x i fres dec ima ls .

b) Suposant que e l protó és esfèr ic i recordant que e l vo lum d 'una es­

fera és � 7tr3, qu in és el vo lum del protó? 3

e) Troba , aprox imadament, el pes d ' 1 cm3 d 'un materi a l que fos format per protons i compara' l amb e l pes d ' 1 cm3 d 'a i gua i d ' 1 cm3 de p lom ( 1 1 ,34 g) .

TREBALL SOBRE ERRORS l ORDRES DE MAGNITUD -----

Errors de mesura i e rrors d 'arrodoniment. Error absolut i re lat i u . Pas de l 'un a l 'a ltre . Cotes d 'error .

Suma i producte de quantitats amb errors .

Notac i ó c i entífica de nombres molt g rans i molt petits .

M u lt ip l icació i d iv is ió de nombres en notaci ó c i entíf ica .

67

F

p ro b l e m es d e co n so l i d a c i ó

Barregem 6 l itres de v i que té 1 / 1 0 part d 'a lcohol amb 3 l i tres de vi que en té 2 / 1 5 . Qu ina proporc ió d 'a l cohol h i haurà a l a mesc la? ( Fes e l cà lcu l amb les fraccions i no amb decima ls . )

Les proporc ions de l es quantitats de sofre , ox igen i h idrogen a l 'àc id su lfúr ic (H2S04) són 1 : 1 6 : 32 .

a) Quants g rams de sofre , oxigen i h idrogen h i haurà en 245 g d 'àc id?

b) Quin tant per cent de cada e lement h i ha a l 'àc id?

Un v iatger recorre e l pr imer d i a les dues setenes parts de l seu v iatge , e l segon d ia les tres desenes parts , e l tercer les c i nc catorzenes parts, i el quart dia acaba el viatge fent 20 km. Qu in és e l recorregut tota l i e l de cada d i a?

68

l

Una c lasse de b lat produe ix l es 4/5 parts del seu pes de far ina mentre que una a ltra c l asse de b lat només en produeix l es 3/4 parts . Qu ina quan­titat de b lat de la segona c lasse cal per a produ i r tanta far ina com 90 kg de la pr imera?

Una a ixeta pot omp l i r un d ipòsit en 1 O hores, una a ltra en 1 5 , i un tub de sort ida e l pot buidar en 18 hores . Si s 'obren tots tres a la vegada, quant de temps tr igarà a omp l i r-se?

Una persona gasta 30 pts i després els 3/7 del que l i queda. Al fina l té 40 pts. Quantes en ten i a a l pr inc ip i ?

Un g rup de segadors han de segar dos camps, un d 'e l l s de doble superfíc i e que l 'a l tre. De primer treba l l en tots m itja jornada a l camp g-ran . L 'a ltra m itja jornada trebal len la meitat a l camp gran i e ls altres a l camp petit . Queda només per segar una part de l camp petit que ocupa una jornada sencera a un sol segador. De quants segadors és compost el g rup?

Una ampo l l a de butà a l i menta l 'escal fador i l a cu i na de casa durant un mes. S i només a l i mentés l a cu ina , durar ia dos mesos i m ig .

a ) Quant de temps durar ia s i l 'ampo l la només a l imentés l 'esca l fador?

b) Quant de temps duraria una ampol la s i vénen dos am ics a v i u re a casa i gasten la mate ixa quantitat a la cu ina però e l doble a l 'escal­fador?

Estud iarem a lguns aspectes de ls desenvo lupaments dec i ma ls de l s nombres rac iona ls .

a) Com ja sabem, e l desenvol upament dec ima l d 'una fracc ió és per iò­d i c . Per convèncer-nos d 'a ixò només cal recordar l 'a lgorisme de l a d iv is ió . Què é s un a lgorisme?

69

b) Si e l denom i nador d 'una fracció té només e ls factors 2 i /o 5 ( com 1 0 , 25 , 6250 , 8 , 32 , . . . ) e l desenvo l upament és l i m itat. Per què?

e) Un desenvol upament es d i u per iòd ic m ixt s i e l període no comença i mmed iatament després de la coma . Les fraccions 6/35, 1 3/ 1 5 , 9/ 1 1 O són per iòd iques m ixtes. Per què? Quan e l desenvolupament dec i ma l d 'una fracci ó serà per iòd i c m ixt?

S i t ' i nteressen a l tres qüestions sobre e l tema , pots consu ltar e l l l i bre : RADEMACHER-TOEPLITZ : Números y figuras , Al ianza Editor ia l . L i bra de Bol s i l l o , número 258.

E l número 1 42857 és ben cur iós : observa els resu ltats de mu l t ip l icar- lo per 3 , per 2 , per 6 , per 4 i per 5 . I ntenta exp l i car per què passa . S i no te'n surts , ca lcu la e l desenvo lupament dec ima l de l a fracció 1 /7.

En aquest prob lema desenrotl larem una demostrac i ó de la i rrac iona­l i tat de l nombre Y2. Prenguem un quadrat de costat 1 .

a ) S i "\f2 fos un nombre rac iona l ser ia "\f2 = p/q essent p i q nombres enters .

b) Si fos Y2 = p/q, d iv id int e l costat de l quadrat en q parts igua l s , quantes vegades cabr ia a la d i agonal una d 'aquestes parts?

'C) Senya la a la d i agonal l a long itud de l costat . Des de l punt obti ngut i perpend icu lar a l a d iagonal construïm e l costat d 'un nou quadrat més pet it . (Vegeu la f igura . ) Per què a = b?

d) Comprova que l a un itat de b) , am ida exactament e l costat i l a d iago­na l de l quadrat petit. (E l costat t indr ia p - q vegades l a un i tat, i l a d i agonal q - [p - q) = 2q - p vegades ) .

70

e) El procés descrit a e) , d) es pot repet i r obten i nt-se quadrats cada vegada més petits en els quals cont inüa servint la mateixa un itat per amidar exactament el costat i la d iagona l . A qu ina contrad icc ió s 'arr i ­ba? Qu ina conc lus ió en tra iem?

Aquesta demostració es diu reducció a l'absurd, perquè ens porta a rebutjar una hipòtesi ( la de a ) ) , perquè acceptant-la arribàvem a una con­clusió absurda .

F.12

Segurament t 'hauràs adonat que la m ida de ls fu l l s que compres acos­tuma a variar , essent a vegades més l l args o amples que e l s que ja ten i es . i ntentarem de buscar l a proporc ió idea l entre l a l l a rgada i l 'amplada , de manera que s i vo lem reprodu i r fotogràficament, redu i nt la m ida , dues pàg i nes en una, no es perd i paper . (Observa que a ixò equ ival que en dob legar un fu l l per l a me itat, e ls dos nous rectang les s igu in semblants a l ' i n i c i a l i a ixí successivament.)

Per a ixò, anomenarem a , b els costats de l rectang le i n i ci a l i a', b' e ls de l rectang le meitat i farem servi r el fet que dues figures semblants tenen els costats proporc iona ls .

a'

b b'

a

Un cop buscada aquesta proporc ió idea l , ca lcu l a l a l largada de l fu l l , s i l 'amplada é s d e 2 1 cm. Expressa e l resu ltat exacte i fes e l cà lcu l aprox imat corresponent.

a

a'

b

7 1

Per envasar la l let , a lgunes centra l s l l eteres fan serv i r rec i p ients que tenen la forma d 'un tetraed re regu lar . Qu i nes d i mens ions ha de ten i r l 'envàs s i la capacitat h a d 'ésser d 'un l i tre? Per resoldre aquest pro­b l ema hauràs de dedu i r en pr imer l loc e l vo l um d 'un tetraedre en funció de l 'aresta . Pots seguir e l camí següent :

a) Anomena a l 'aresta i aj uda 't amb la figura per ca lcu lar BF.

bl Et recordem que EB = 2/3 FB i EF = 1 /3 FB. Calcu la l 'a ltura ED.

e) Ja pots cal cu lar el vo lum de la p i ràm ide .

A a B

Amb una balança de laboratori que pot afi nar fi ns al deum i l·l ès im de gram. e l resultat de l a pesada d 'una certa mostra és donat per ( 1 ,2345 ± 0 ,0003 ) g . Qu in és l 'error comès? ¿Té molta importànc ia aquest error?

72

F.15

a) Arrodoneix e ls nombres següents : 1 /3 fins a ls m i l·l ès ims ; 7t fins a s is xifres decima ls ; V5 fins a ls dècims amb l 'error com més petit m i l lor . Calcu la els l ím its d 'error abso lut i re lati u .

b) Agafa una aproximació de ls nombres anter iors de manera que l 'error s igu i més petit que un 0 ,003 per cent.

F.16

a) Per a mesurar gru ixàr ies es poden uti l itzar un ca l ib rador (peu de rei ) o un pa lmer . Al laboratori de F ís ica segurament en trobaràs de d i ­verses c l asses. Mesura amb aquests i nstruments les gru ixàries de d iferents cossos i dóna l 'error de lectura i e l relat iu a cada cas.

5 6 7 8 ,.........__...,_..........,,.........,,1111111l111�111l1111lm1I

b) També h i trobaràs a lguna ba lança de precis ió . Mesura e l pes d 'a lgun objecte i dóna l 'e rror de l ectu ra i e l re lati u .

F.17

Un tr iang le rectang le té per catets segments de 2 m i 3 m; ambdues mesures són exactes fins a l cm. Calcu la l a long itud de l a h i potenusa. Qu in va lor aproximat d 'aquesta long itud agafaràs ten int en compte l a precis ió amb què estan mesurades les dades ?

73

F.18

A les tres tau les següents hi ha e ls ord res de magnitud d 'a lgunes quantitats fonamenta ls de l 'un ivers. Pots completar e ls bu its .

TAULA 1

Interval de temps aproximat Segons Anys

Edat de l 'un ive rs 4 . 1 017

Edat de la Terra 1 017

Període de des i ntegració de l U2 3 8 1 ,42 . 1 017

Temps que tarda la l l um a arr ibar de l Sol a la Terra 0 ,49 . 1 03

Temps que tarda l a l l um a travessar un àtom d 'h id rogen 1 ,76 . 1 0-19

Temps que tarda la l l um a travessar un nucl i 1 0-24

TAULA 2

Distància aproximada Metres Anys-llum

De la Terra a les ga làxies més a l l unyades (per ara) s . 1 09

De l a Terra a l a galàxia més pròx ima (Andròmeda) 2 ,2 . 1 06

De la Terra a Sír ius 8 ,7 De l a Terra a l 'estre l l a més pròxima

(ix-Centaure) 4 ,3 De l a Terra a l Sol 1 ,5 · 1 01 1

Rad i de l a Terra 6,36 . 1 06

Radi de l es cèl·l u l es an ima ls 1 0-5 Rad i de ls àtoms 1 0-10 Rad i de ls nuc l i s 1 0-1s

74

TAULA 3

Massa aproximada Masses atòmiques Quilograms UMA

De l a Terra 6 . 1 024

Del Sol 2 . 1 030

De l a L luna 7,3 . 1 022

De l 'un ivers 1 ,6 . 1 053

De l 'e lectró 9,1 . 1 0-31

Del protó 1 .6724 . 1 0-27

De l neutró 1 .6747 . 1 0-27

F.19

En un l l i bre de Fís ica trobem els resultats següents :

Càrrega de l 'e l ectró : - ( 1 ,60206 ± 0 ,00003) . 1 0-19 cou lombs

Massa de l 'e lectró en repòs : (9 , 1 083 ± 0 ,0003) · 1 0-31 kg

Massa de l protó en repòs : ( 1 ,67239 ± 0 ,00004) · 1 0-27 kg

Massa de l neutró en repòs : ( 1 ,67470 ± 0,00004) · 1 0-27 kg

a) Dóna un ordre de magn itud d 'aquestes quantitats .

b) Amb quina prec is ió vénen donades? ( Dóna e l resultat en tant per cent.)

e) Quin és e l l ím i t d 'error abso lut?

75

Índex

A. I NTRO D U CCIÓ

B . F RACC I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 . Unitat de mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 . Divisió de la unitat en parts més petites: fraccions . . . . . . . . . . 5 3 . Mesures iguals : equivalència de fraccions . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Fraccions més grans que la unitat. Expressió mixta . . . . . . . . . 1 3 5 . Representació de les fraccions sobre la recta . . . . . . . . . . . . . 1 4 6 . Suma i resta de fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 7 . Comparació de fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 8 . Mesura de superfícies. Producte de fraccions . . . . . . . . . . . . . 20 9 . Divisió d e fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

1 O . Problemes d'aplicació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Treball sobre fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

C . N O M B R ES DECI MALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 . Decimals i fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 . Transformació de decimals en fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 3 . El no mbre racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 . Aproximacions decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 . Els nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 6 . Classificació dels nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 7 . Representació dels nombres reals sobre l a recta . . . . . . . . . . . . 46 8 . Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 9. Problemes d'aplicació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Treball sobre nombres decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

D . E R R O R S 1 . Errors d'arrodoniment i errors de mesura 56 2 . Precisió d'una mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 3 . O peracions amb quantitats sotmeses a errors . . . . . . . . . . . . . . 63

E . O R D R ES D E MAGN ITU D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 1 . Representació dels nombres en notació científica . . . . . . . . . . . 65 Treball sobre errors i ordres de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

F . P R O B L E M E S D E CONSOLI DACIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

•

IJ ®©lüli©IT'O©Jíl vicens-vives® 9 7 8 8 4 3 1 6 1 8 7 7 3 plena dedicació a l'ensenyament

-