la multiplication et la division par images mentales. robert lyons mars 2009

La multiplication et la division par images mentales.

Robert Lyons

Mars 2009

-Table de Pythagore 3 -Nombres carrés 6

-Facteurs de 12. 7 -Facteurs communs 9

-Nombres premiers 11 -Multiples de 3 12

-Élément neutre 13 -Élément absorbant 14

-Division par zéro 16 -Multiplier c’est … 18

-Diviser c’est … 20 -Racine carrée. 21

-Divisions 24 -Multiplications 26

-Multiplication de fractions.30 -Racine carrée d’une fraction 37

-Multiplication relatifs.41 -Formules pour trouver les zéros. 42

-Priorité des opérations. 43 -Résolution de problèmes (1) 48

-Équations à 2 inconnues.53 -Arrondir des nombres.59

-Dénominateur commun.62 -Loi des signes. 71

-Les exposants. 76

Table de Pythagore moderne

Dans cette table, reconnaissez-vous les nombres carrés?

Table de Pythagore originale

Les rectangles orange représentent les nombres carrés.

1

4

9

16

25

36

49

Quels sont les facteurs de 12 ?

1, 2, 3, 4, 6 et 12

Quels sont les facteurs de 12 ?

• «Facteur» signifie celui qui fait.

• Un rectangle est construit (fait) avec des côtés.

1 X 12 = 12

2 x 6 = 12

3 X 4 = 12

21 et 56 ont-ils des facteurs communs ?

• Facteurs de 21 : 1, 3, 7 et 21.

• Facteurs de 56 : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 et 56.

• Un seul facteur commun : 7

21 et 56 ont-ils des facteurs communs ?

7

3 8

Où sont les nombres premiers ?2

3

5

7

Dans la première ligne et dans la première colonne seulement.

Où sont les multiples de 3 ?

Ils sont tous dans la 3e ligne ou dans la 3e colonne.

Le nombre 1 est neutre en multiplication.

1

6Un rectangle dont un des côtés

mesure une unité possède autant d’unités d’aire que son autre côté

possède d’unités de longueur.

Le nombre 0 est absorbant en multiplication

____________________________

Un rectangle dont la mesure d’un des côtés est de 0 unité possède

une aire de 0 unité.

Diviser 15 par 3 c’est construire un rectangle dont l’aire est de 15

unités et la largeur de 3 unités. La longueur de ce rectangle

représente la réponse à la division :15 ÷ 3 = 5

Diviser par 0, c’est impossible !

Soit 7 ÷ 0.

Cela signifie qu’il faut daller un rectangle qui n’a aucune largeur au moyen de 7 unités d’aire différentes de 0.

Même si le rectangle se prolonge à l’infini, aucune unité d’aire n’aura encore été

insérée.

Voici une image mentale fort nuisible :

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 × 3

ou

La multiplication est-elle vraiment une addition répétée ?

½ x ½ = ¼

½ + ½ + ½ + … = ¼ ???

(-3) X ( -4) = 12

(-3) + (-3) + (-3) + … = +12 ???

Diviser est-ce partager ou mesurer ?

1$ ÷ ½ = 1$ x 2 = 2$ 6m² ÷ 2m = 3m

(-6$) ÷ (-3) = 2$

Partages ou mesures ?

Que représentent :

La terrible racine carrée.

Fais un carré avec 4 grands carrés, 4 rectangles et 1 petit carré.

À la portée des élèves de 7 ans !

2x + 1y 21 2,1

Trouver la racine carrée, c’est trouver la longueur

du côté d’un carré dont l’aire est donnée.

Effectuer une division c’est construire un rectangle dont l’aire

et la longueur d’un côté sont connus.

La longueur du côté perpendiculaire au côté connu est

la réponse de la division.

Arithmétique sur les entiers : 943 ÷ 23 = 41 Arithmétique sur les nombres à virgule : 9,43 ÷ 2,3 = 4,1 Algèbre : (8x² + 14xy + 3y²) ÷ (2x + 3y) = 4x + 1y

Multiplier deux nombres, c’est construire un rectangle qui a

pour hauteur et largeur la mesure des deux nombres à

multiplier.

10 20

120 8

30 2

300

4

32 × 14

1 3 0,2

1,2 0,08

3 0,2

0,4

3,2 × 1,4

(3x + 2y) × (1x + 4y)

3x 2y

1x

4y

3x²

2xy

12xy

8y²

Voici le plancher de ma salle de bain.

Multiplication de fractions

Cette fois, le bain a été installé.


Le bain couvre partiellement 2 des 5 rangées.


2 5

Le bain couvre partiellement 4 des 7 colonnes.


47

Le bain couvre exactement8 des 35 tuiles du plancher.


8

35

La multiplication de fractions : un bain sur un plancher!


8

35

47

35

2

5

Racine carrée

Voici l’illustration du plancher de ma seconde salle de bain.

Racine carrée

Cette fois, la douche couvre 4 des 25 tuiles du plancher.

Racine carrée

La douche occupe les 2/5 des rangées et des colonnes.

Racine carrée

La racine carrée, c’est la longueur du côté d’un carré.

+42 -12

-28 +8

(7 – 2) (6 – 4)

6

-4

7 -2

(7-2)(6-4) = 42 -12 -28 +8 = 10

b

a

c

a

2

24

xb

a

c

a

2

24

b

a

b

a

c

a2 4

2

2

b

a

c

a

2

24

b

a2

bx

a2

b

a

2

24

b

a

b

a

c

a2 4

2

2

x

x x 2

b

a2

bx

a2

b

a

c

a

2

24 x

b

a

c

a

2

24

S o it

A lo rs

O r

b

2 a

b

2 a

ax bx c

xbx

a

c

a

xb

a

b

a

c

ax

b

a

b

a

c

ax

bx

a

c

a

xb

a

c

a

xb ac

a

xb b ac

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

0

2 4 2 4

4

4

4

4

2

( )( )

Et si nous allions chercher des tomates à l’épicerie !

Priorité des opérations


Commençons par trouver le (comptoir) des fruits et légumes.



Observons bien ce qui est exposé.


Combien de tomates voulons-nous ?

Priorité des opérations Priorité des opérations

Et n’oublions pas de payer l’addition!

Priorité des opérations Priorité des opérations

Résolution de problèmes 1

Dans 5 ans, l’âge de x sera la moitié de l’âge de y qui a 21 ans actuellement. Quel est

l’âge de x ?


Dans 5 ans, l’âge de x sera la moitié de celui de y qui a 21 ans.

x y

21

Y a 21 ans actuellement.

Résolution de problèmes 1 Résolution de problèmes 1


x y

21

Dans 5 ans y aura 26 ans.

26



x y

Dans 5 ans l’âge de x sera la moitié de celui de y, donc 13 ans.

26

2613


Dans 5 ans, l’âge de x sera la moitié de celui de y qui a 21 ansx y

Actuellement x a donc 8 ans, soit 5 ans de moins que l’âge qu’il aura dans 5 ans.

2613

218



La somme de deux nombres est 10 et leur produit est 21.

Quels sont ces nombres ?





Résolution de problèmes 2Résolution de problèmes 2

Au secours !




Tentons d’illustrer le premier problème.




Somme = 10 Produit = 21

Un produit implique un rectangle.

Alors traçons un rectangle qui correspond au produit recherché.


21



La somme 10 correspond à la largeur + la hauteur du rectangle.


21

x

10 - x





Ou encore :

21

5 + x

5 - x





Donc :

21

5 + x

5

– x



Effectuons les multiplications.


5 + x

5

– x

25 + 5x

– 5x –x²



+5x et –5x s’annulent, donc 25 – x² = 21

x² = 4 et x = 2, donc 5 + x = 7 et 5 – x = 3


5 + x

5

– x

25 + 5x

– 5x –x²




50 + x

50

– x

2500 + 50x

– 50x –x²

2500 – x² = 1824 donc x² = 676 et x = 26

Les deux nombres sont 24 et 76.




5 + x

5

– x

25 + 5x

– 5x –x²

25 – x² = 26 donc x² = –1 et x = i.

Les deux nombres sont 5 + i et 5 – i.


Une compagnie, qui fabrique des boutons, les place sur des cartes.

Sur des cartes de même couleur, le nombre de boutons est toujours le même.

Dispose 12 boutons sur les cartes suivantes :

Cet énoncé et ces dessins correspondent à l’équation :

3y + 2x = 12

Équations à 2 inconnues

Voici une possibilité

Les 3y sont représentés par les rectangles bleus. Ils contiennent en tout 6 jetons, donc 3y = 6 et y = 2.

Les 2x sont représentés par les rectangles roses. Ils contiennent aussi 6 jetons, donc 2x = 6 et x = 3.

Équations à 2 inconnues Équations à 2 inconnues

En voici une autre

Les 3y sont représentés par les rectangles bleus. Ils contiennent en tout 12 jetons, donc 3y = 12 et y = 4.

Les 2x sont représentés par les rectangles roses. Ils ne contiennent aucun jeton, donc 2x = 0 et x = 0.


Et une autre

Les 3y sont représentés par les rectangles bleus. Ils ne contiennent aucun jeton, donc 3y = 0 et y = 0.

Les 2x sont représentés par les rectangles roses. Ils contiennent 12 jetons, donc 2x = 12 et x = 6.


Illustrons les 3 solutions trouvées dans un plan cartésien.

x = 6, y = 0 x= 3, y = 2 x = 0, y = 4


Ces 3 points appartiennent à la droite 2x + 3y = 12.

x = 6, y = 0 x= 3, y = 2 x = 0, y = 4


Arrondir des nombres

Dans un gros volume, prenez la page 138.

Trouvez maintenant la page la plus proche qui se termine par 0.

Vous venez d’arrondir 138 à la dizaine près.

Prenez encore le nombre 138 et trouvez la page la plus proche qui se

termine par 00.Vous venez d’arrondir 138 à la

centaine près.



Prenez le nombre 245 et trouvez la page la plus proche qui se termine par 0.

Il y en a deux : 240 et 250.Par convention, on choisit 250 lorsqu’on

demande d’arrondir 245 à la dizaine près.


Lorsqu’un francophone, qui ne parle pas anglais, rencontre un anglophone, qui ne parle pas français, comment peuvent-ils

communiquer ?

Dénominateur commun

-En demandant un interprète;-En s’exprimant par signes;-En utilisant une 3e langue,

connue des deux.

Dénominateur commun Dénominateur commun

Voici une personne qui décrit la surface colorée de son plan. Elle dit

que les 2/3 du plan sont colorés.


Une autre personne mentionne que les 3/5 de son plan sont colorés.


La première personne connaît la langue des tiers mais pas la langue

des cinquièmes.La seconde personne connaît la

langue des cinquièmes mais pas la langue des tiers.

AU SECOURS !


Fusionnons les découpages en tiers et en cinquièmes.


La surface est maintenant découpée en quinzièmes.


Et voici la langue des tiers traduite dans la langue des quinzièmes.


Au tour de la langue des cinquièmes d’être traduite dans la

langue des quinzièmes.


Voici un schéma qui représente le circuit électrique qui permet d’allumer ou de fermer

une ampoule électrique à partir de deux endroits différents. Dans un escalier par exemple.

C1 et C2 sont les commutateurs à deux positions.

Loi des signes

Les deux commutateurs permettent au courant de passer par le même fil, le fil +.

L’ampoule électrique est traversée par le courant qui passe par les composantes colorées en

rouge. Elle brille (+).

Loi des signes Loi des signes

La position des commutateurs(+ et –) ne permet pas que le courant suive un

circuit fermé, sans trou. L’ampoule ne peut briller (–) car aucun courant ne la

traverse.


Les deux commutateurs permettent au courant de passer par le même fil, le fil –.

L’ampoule électrique est traversée par le courant qui passe par les composantes colorées en

rouge. Elle brille (+).


La loi des signes en français

C’est vrai (+) qu’il est poli (+), donc il est poli (+).

C’est vrai (+) qu’il est impoli (–), donc il est impoli (–).

C’est faux (–) qu’il est poli (+), donc il est impoli (–).

C’est faux (–) qu’il est impoli (–), donc il est poli (+).


En mathématiques, les symboles + et – sont utilisés afin d’exprimer

diverses oppositions.

Les exposants

En haut ou en bas,à gauche ou à droite,

vrai ou faux,avant ou après,

additionner ou soustraire, tout cela se résume à deux équipes,

celle des + et celle des –.

Les exposantsLes exposants

Voici un nombre exprimé de façon fort longue. Il y a certainement

moyen de le simplifier.


Le nombre 7 est incontournable.Notons-le.


La seconde information importante est qu’il y a 2 nombres «7» de plus

en haut (+) qu’en bas (–). D’où :


Et après simplification :


Voici un autre nombre :


Le nombre 8 est incontournable.Notons-le.


Cette fois, il y a trois 8 de plus en bas (–) qu’en haut (+), d’où :


Voici un troisième nombre :


Le nombre 5 constitue l’information de base. Notons-le.


Il n’y a aucun nombre 5 de plus en haut ou en bas, donc ± 0 ou 0.


la multiplication et la division par images mentales. robert lyons mars 2009

Documents

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fractions page

oprations page

ou page

pythagore originale

pythagore moderne page

multiplication et

x sera