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14 Ciencia y cultura Resumen ejecutivo de EIR

Aunque todos los seres humanos tienen la bendición de pasarla eternidad en el universo, algunos desperdician su partemortal en la ilusión de que están en alguna otra parte. Estospresuntos “forasteros” cobran una fe obsesiva en un mundo defantasía cuya naturaleza está determinada por los supuestosaxiomáticos a priori de la predilección del iluso, y por unainsistencia en que cualquier prueba experimental quecontradiga esos axiomas ha de ignorarse o, de tener quereconocerla, determinarse que habita “fuera” de su mundo.Típico de tales creencias son las nociones de la geometríaeuclidiana, el empirismo, el positivismo, el existencialismo oésa que es la patología más perniciosa que aflige hoy a nuestracultura: el sesentiocherismo.

Como es inevitable que quienes padecen esta enfermedadmental experimentarán ocasiones (al menos una de seguro,aunque es probable que muchas) en las que enfrenten lafalsedad de sus creencias, la disección de sus fantasías lesproporciona pruebas clínicas relevantes a los psicopatólogos.Aunque el estudio de tales patologías es fundamental paraidentificar la enfermedad, su tratamiento y prevención exigenun concepto positivo de salud. De esta manera, el desarrollocontinuo de la condición humana exige la feliz investigacióndel mundo real para cuya habitación se diseñó a los sereshumanos. Como la historia del dominio creciente de lahumanidad en y sobre el universo demuestra, ésa es suinclinación natural. Por suerte, como pusieron de relievePlatón, Nicolás de Cusa, Godofredo Leibniz y JohannesKepler, el universo se creó para esto, porque la cognición es unprincipio generalizado y eficiente en el universo. Más aun, eluniverso entero obra en cada parte infinitesimal que es sujetadel entendimiento y la acción de la mente humana.

El enfoque más avanzado para tal investigación deluniverso “desde dentro” lo estableció Bernhard Riemann en sufamosa disertación de habilitación de 1854. Siendo tanrevolucionario como antiguo, Riemann insistió en recobrar lacordura preeuclidiana al exigir que la ciencia dejara de aceptarlos sistemas axiomáticos y se fundara únicamente en lashipótesis que genera la investigación de principios físicos. Elproblema que Riemann encaró fue que, por más de dos milaños, a los científicos se les había adoctrinado para aceptarseudosistemas (tales como la geometría euclidiana) como elandamiaje necesario sobre el que debía erigirse la ciencia, yafuera como la forma aceptada, pero considerada falsa, deexpresar un descubrimiento verdadero o, como en el caso delaristotelismo, la forma real del conocimiento humano.Riemann reconoció, al igual que su auspiciador en este

proyecto, Carl F. Gauss, y el padrino de éste, Abraham G.Kästner, que ya fuera como un medio de expresión o como laadopción de una creencia en realidad falsa, los dogmas decorte aristotélico y euclidiano eran obstáculos queaprisionaban a la mente en un mundo falso, limitándola a sólopoder asomarse, con impotencia, a lo que la víctima creyeraser un mundo externo real.

Por consiguiente, para que la ciencia progrese tiene queromperse esta distinción. No existe un afuera. Existe ununiverso autolimitado cuyo desarrollo progresivo secaracteriza por una tendencia antientrópica hacia estados deorganización y existencia superiores, el cual puede conocersedesde dentro mediante los poderes cognoscitivos que encarnala mente humana. Para la ciencia moderna, la formaapropiada de expresión de esta realidad física se funda en elconcepto de un tensor riemanniano.1

En ocasión de su disertación de habilitación, Riemannelaboró el método que debe seguir esta ciencia del conocedor.Al hacerlo, le dio voz a la forma verdadera de descubrimientoque subyace en cada avance de la ciencia, desde los antiguosdescubrimientos asociados con la ciencia egipcio–pitagóricade la esférica, hasta los logros entonces frescos de Gauss en laastronomía, la geodesia, el geomagnetismo, la electrodinámicay la epistemología. Pero fue más allá, al generalizar a un gradonunca antes logrado este método cuyas implicaciones cabalessólo hasta ahora ven la luz con los descubrimientos deLaRouche en el dominio de la ciencia de la economía física, ycon la elaboración de dichas ideas a través del proyecto deinvestigación de animaciones económicas que un equipo dejóvenes pensadores del Movimiento de JuventudesLarouchistas (LYM) está llevando a cabo al presente, bajo la

La guía de un conocedor del universopor Bruce Director

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1. Lyndon H. LaRouche añadió el siguiente aspecto a destacar:“Lo que necesita subrayarse es la distinción decisiva entre la

presentación acostumbrada del tensor, desde un punto de vista matemáticoformalista, y su definición, en tanto concepto físico, desde la perspectiva dela antientropía física.

“La intención del tensor riemanniano, en tanto concepto físico, esrepresentar un principio de desequilibrio antientrópico: la característica realdel universo físico.

“Así, el concepto del tensor riemanniano no parte de la formalidadmatemática a la realidad física, sino, más bien, superpone el concepto deantientropía física al mero esquema matemático.

“Piensa, por ejemplo, en la generación del sistema solar de Kepler, en laarmonía del mundo, desde un sol solitario que gira a gran velocidad. Aluniverso lo mueve un concepto ontológico de antientropía universal; eso eslo que muestran las pruebas experimentales. El concepto matemático tieneque supeditarse a la realidad físico–experimental característica.

“¡Desde allí acecha la trampa para osos, esperando atrapar al formalistamatemático!”

1a quincena de noviembre de 2006 Ciencia y cultura 15

dirección personal de LaRouche.Sin embargo, el contraataque siempre persiste. Tan pronto

como el sonido de las palabras de Riemann se apagó, sumétodo estuvo bajo ataque. Al principio dicho ataque cobró laforma de un silencio frío. Tras la muerte prematura deRiemann adoptó una forma más sofisticada. Aunque susestudiantes y colaboradores siguieron animando sus ideas, susenemigos trataron de sofocar su programa con un sistema deformalismo matemático, del que es típica la presentación deltratado de Luther Pfahler Eisenhart de 1926, Geometríariemanniana.2 El problema con tratamientos tales como el deEisenhart no es el uso de fórmulas matemáticas como tal(Riemann mismo empleó ciertas expresiones formales), sinola sustitución de las ideas propias de Riemann por expresionesformales. Al hacer esto, los enemigos de Riemann lograron, almenos en parte, imponer una nueva forma de dogmaeuclidiano bajo la guisa de un formalismo neoeuclidiano alque con malicia se llamó “geometría riemanniana”. Como elefecto de esta sofistería ha llevado ahora a la ciencia y, en unsentido más amplio, a toda la sociedad a un momento deruptura, es necesario revivir el enfoque verdadero de Riemann.El primer paso es ubicar el descubrimiento de Riemann en elproceso histórico en el cual aún se desenvuelve.

De Brunelleschi a KeplerPara gran desánimo del sacerdocio babilónico del que

manan los dogmas de Euclides y Aristóteles, la mente humanapuede reconocer y actuar sobre principios físicos universalessin recurrir al formalismo matemático. Los propios Elementosde Euclides dan fe, de mala gana, pero de modo definitivo, de

este hecho. Ninguno de los descubrimientos delos que informan los Elementos de Euclides sedescubrieron ni pudieron descubrirse con elmétodo deductivo que empleó. Como se dacuenta pronto cualquiera que haya intentadorecrear en realidad por sí mismo esosdescubrimientos, de los que allí se informa sólopueden recrearse en un orden inverso,empezando con la construcción física de loscinco sólidos regulares en tanto consecuencia dela acción esférica, siguiendo con el desarrollo delas magnitudes inconmensurables, lasproporciones y los números, y, por último, conla construcción de las figuras planas. Es más, eldefecto devastador de los Elementos de Euclideslo encarna la característica que los aristotélicosconsideran su atributo más viable: el métododeductivo.

Dicho defecto, como lo pusieron de relieveKästner, Gauss y Riemann, queda al descubiertoen la dependencia que tienen los Elementos de la

validez del postulado de las paralelas, una proposición que nopuede demostrarse dentro del sistema deductivo al que éstosestán sujetos. Como afirmó Gauss, sin el postulado de lasparalelas no existen triángulos similares, y sin triángulossimilares todos los teoremas de la geometría euclidiana fallan.Pero, como también hizo hincapié Gauss, el postulado de lasparalelas supone algo que no se expresa en ningún lado: que eluniverso físico se extiende de manera rectilínea a infinito o,como dirían Gauss y Riemann, que es plano.3

Aunque los avances de la ciencia griega en lasgeneraciones posteriores a Euclides (de manera más notablelos logros de Arquímedes, Eratóstenes y Aristarco) se derivandel enfoque preeuclidiano asociado con la astrofísica que losegipcios y los pitagóricos denotaron como la esférica, eldominio relativo de esta forma más cuerda de ciencia empezóa desvanecerse con el asesinato de Arquímedes a manos desoldados romanos en aproximadamente 212 a.C. El dominiorelativo de la geometría euclidiana que siguió (con ladecadencia cultural relacionada de Imperio Romano que entan alta estima tenía el Edward Gibbon de lord Shelburne)culminó en 1436, con el éxito de Brunelleschi en completar lacúpula autoestable, sostenida por sí misma, de la iglesia deSanta María del Fiore en Florencia. De entonces a la fecha, lacúpula de Brunelleschi se yergue como un recordatoriodesafiante de que el universo real no es plano, como dirían loseuclidianos, sino que lo determinan principios físicos queGauss y Riemann más tarde expresarían como curvaturafísica (del modo que desarrollaremos a más cabalidad acontinuación).

Como puso de relieve LaRouche en 1988, para sorpresa de

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3. Ésta, por supuesto, es una característica de toda sofistería. El sofista miente,pero nunca explica de modo explícito sobre qué está mintiendo.

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2. Riemannian Geometry (Geometría riemanniana), de Luther PfahlerEisenhart, (Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, 1926).

Bernhard Riemann aportó el enfoque más avanzado para investigar el universo“desde dentro”. Galaxia M81. (Foto: NASA).


muchos entonces, el principio que Brunelleschi reconoció yempleó en la construcción exitosa del domo fue el de la acciónmínima que expresa la catenaria; un principio que no se elaboródel todo hasta que vino Leibniz, más de doscientos añosdespués. Sin embargo, lo que demuestra el logro deBrunelleschi es que la mente humana es capaz de reconocer,transformar y comunicar el conocimiento de principios físicossin reducirlos nunca a una construcción matemática formal.Luego, cuando Leibniz demostró que el principio físico quesubyace en la catenaria puede caracterizarse con una función defunciones logarítmicas, le dio una forma matemática a esaexpresión. Empero, la expresión matemática del descubrimientode Leibniz no es el principio; es una afirmación rigurosamenteirónica de la naturaleza trascendental del principio de lacatenaria, una afirmación precisa de una ambigüedadmatemática a partir de la cual puede recrearse de nuevo en lamente del científico el principio descubierto por Leibniz.4

El principio universal que ejemplifica la proeza deBrunelleschi, lo elaboró Nicolás de Cusa a la sombra de surecién construida cúpula. En De docta ignorantia, entre otrosapartados, Cusa insistió, con bases epistemológicas, que lacaracterística de la acción en el universo físico no es constante,sino que siempre cambia de manera no uniforme. Estosignificó que, en contraposición a los aristotélicos, la acciónfísica no se ajustaba a lo que era conveniente en lomatemático: los círculos perfectos. En cambio, Cusa demostróque la no uniformidad de la acción física es una característicade la autoperfectibilidad del universo, que es una condiciónmás perfecta que la esterilidad estática invariable de ununiverso gobernado por los círculos perfectos de Aristóteles.Más aun, como la creatividad humana es fundamental para laautoperfectibilidad del universo, la mente es capaz dedescubrir, desde el interior del universo en desarrollo, losprincipios subyacentes que lo rigen.

La obra de Cusa reintrodujo en la ciencia el requisito deidentificar y medir un principio físico por la característica decambio que expresa su acción en el mundo físico, unacaracterística a la que Gauss y Riemann luego se referiríancomo curvatura. La primera aplicación de esto, y quizás lamás impresionante, fue el descubrimiento de Kepler delprincipio de la gravitación universal.

Al momento, un equipo de investigadores del LYM lleva acabo una reelaboración pedagógica del descubrimiento deKepler, como lo detalló en su Nueva astronomía de 1609, peroes necesario un breve resumen de los aspectos pertinentes paraesta exposición.

Kepler rechazó el precepto aristotélico de que el cono-cimiento del mundo físico ha de confinarse al dominio de la

percepción sensorial, y que los principios que gobiernan elmovimiento físico deben relegarse a lo que para ellos era undominio metafísico en última instancia inescrutable e invariable.Para los astrónomos aristotélicos, esto planteó un problemaparticularmente irritante, porque los movimientos planetarioscompletos se extienden más allá del campo de visión delobservador, y las causas de dicho movimiento rebasan porcompleto la comprensión sensual y (para el aristotélico)intelectual del astrónomo. Por consiguiente, los astrónomos delperíodo romano repudiaron cualquier conocimiento veraz delmovimiento planetario, y fijaron descripciones matemáticas desus especulaciones sobre cómo debían de ser esos movimientos,de poderlos percibir de manera directa.

Esta visión concordaba perfectamente con la opinión feudalimperante de que el hombre mortal era, a lo más, una bestiasofisticada cuyos poderes cognoscitivos yacían fuera ycarecían de trascendencia en el universo “real”, mismo que losaristotélicos imaginaban falsamente como gobernado por unconjunto fijo de leyes eternas invariables. Como tal, el hombremortal, afirmaba la opinión aristotélica, debía regirse por lasleyes en apariencia caóticas del comportamiento animal, sinrecurrir a principios universales eternos que, ellos insistían, nocambiaban.5 Pero, siendo un adepto declarado de Cusa, Keplerse percató de que esta visión del hombre y el universo estabaequivocada. El hombre, mediante sus poderes cognoscitivos,puede conocer las normas rectoras del universo en tantoprincipios de cambio, como recalcaron Heráclito y Cusa. Porende, Kepler entendió los movimientos de los planetas y lainvestigación de los mismos por parte del hombre como partede una sola creación en autodesarrollo que se desenvuelve, yque incluye la evolución de la vida y la cognición humana. Elhombre mortal no está afuera del universo, ni éste lo está de laesfera de acción del primero. En cambio, el hombre mortal,dueño del poder de la cognición, trasciende la mortalidad aldesempeñar una función única e integral en el desarrolloeterno continuo del universo entero.

En consecuencia, insistía Kepler, el mejor lugar paradescubrir los principios del movimiento planetario no esafuera, sino dentro del universo:

Porque como el Sol en su revolución sobre su propioeje mueve a todos los planetas por la emanación que desí desprende, así también la mente, como nos dicen losfilósofos, al entenderse ella misma y todo lo que

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5. Uno ve hoy el restablecimiento de este concepto feudal del universo encreencias populares tales como la llamada interpretación Copenhague de lamecánica cuántica o las formas radicales de la teoría de la informaciónasociadas con Norbert Wiener, John von Neumann y demás, que insisten que,en lo fundamental, el universo es aleatorio y no ofrece ninguna posibilidadde que el hombre comprenda otra cosa que no sean descripcionesestadísticas. Este razonamiento era el meollo de la famosa correspondenciaentre Einstein y Born. Ver The Born-Einstein Letters (Las cartas de Born yEinstein. Nueva York: Macmillan, 2005) y “On the 375th Anniversary ofKepler’s Passing” (En el 375 aniversario de la muerte de Kepler), por BruceDirector, que es la entrega 65 de la serie Riemann a contraprueba de tontos(www.wlym.com).

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4. Una vez establecido de esta forma irónica, puede elaborarse un medio decálculo. Como indican la formulación de Napier de los logaritmos, el cál-culo de Leibniz de πo el desarrollo de Gauss de las series hipergeométricas,tales medios de cálculo han de expresar las ambigüedades intrínsecas de laforma irónica original. Esto difiere de los modernos procesadores digitales,que sustituyen el pensamiento real con rápidas reiteraciones de fuerza bruta.


contiene, estimula el uso de la razón, y al tender ydesenvolver su simplicidad hace comprensibles todaslas cosas. Y tan estrechamente unidos y enlazados unosa otros están los movimientos de los planetas alrededordel Sol y los procesos de la razón, que si la Tierra,nuestro hogar, no recorriera su circuito anual en mediode las demás esferas, cambiando de un lugar a otro, deuna posición a otra, la razón humana nunca habríaseesforzado por conocer las distancias del todo verdaderasde los planetas ni las otras cosas que dependen de ellas,y nunca hubiera establecido la astronomía.6

En sí, rechazó los modelos matemáticos del movimientoplanetario que habían postulado Ptolomeo, Copérnico y TicoBrahe. Aunque cada modelo era radicalmente diferente, lostres pretendían describir el movimiento de los planetas —quede manera experimental se había determinado no erauniforme— ajustando las estadísticas de las observaciones acírculos perfectos definidos en términos matemáticos. Keplerse esmeró en demostrar en la introducción de la Nuevaastronomía, que semejantes métodos estadísticos no podíandeterminar la verdad, pues los tres modelos arrojaban práctica-mente el mismo resultado estadístico. A esto los protagonistas,Ptolomeo, Copérnico o Brahe, no podían objetar nada, ya quelos tres aceptaban la creencia aristotélica de que el formalismomatemático era la única forma cierta de conocimiento.

Pero, para Kepler, las hipótesis sobre las causas físicasverdaderas son la única forma de conocimiento. Por tanto,procedió a demostrar que hay una anomalía inherente a lasinterpretaciones estadísticas de Ptolomeo, Copérnico y Brahe,que refleja la existencia de un principio físico que ninguno desus tres sistemas considera. Como el postulado de las paralelaspara los Elementos de Euclides, la anomalía de Kepler nopuede detectarse con los métodos de Ptolomeo, Copérnico yBrahe, y ninguna manipulación de sus sistemas matemáticosrespectivos puede eliminarla. Sin embargo, una vez identi-ficada, tiene que rechazarse el sistema o adoptarse su locura.

El supuesto subyacente de los tres modelos era lainsistencia aristotélica en que el movimiento de un cuerpomaterial no puede causarlo un principio inmaterial, sino algodentro del cuerpo mismo. Por consiguiente, los aristotélicosvieron la órbita planetaria como el artefacto del planeta. Comoel movimiento al parecer no uniforme del planeta a lo largo delarco de su órbita se desviaba de la supuesta perfección delmovimiento circular uniforme, Ptolomeo, Copérnico y Brahebuscaron algún punto (ecuante) en torno al cual el planetaatravesaría arcos iguales en el transcurso de su órbita. Keplerdemostró, de modo exhaustivo, que no existe tal punto. Noimporta cuán hábilmente tratara uno de manipular lasestadísticas con respecto a los modelos de Ptolomeo,Copérnico y Brahe, seguía habiendo una discrepancia.

Kepler concluyó que dicha discrepancia no era unaaberración estadística; era una cuestión de principio. ParaKepler, la órbita del planeta no es la estela de su movimiento;más bien, la órbita la determina la causa física que hace que elplaneta se mueva. Esa causa, insiste Kepler, es un principiofísico (la gravitación) que impregna el universo. Según esteprincipio, existe una conexión entre el Sol y los planetas en loindividual (caracterizada por el recorrido de áreas iguales entiempos iguales), y entre el Sol y todos los planetas de formacolectiva (caracterizada por las relaciones armónicas entre lasvelocidades mínima y máxima de los planetas). Lasestadísticas de las observaciones eran, para Kepler, las simpleshuellas del principio. Una vez identificado el principio, lashuellas podían explicarse.

Así, para Kepler, al movimiento no uniforme del planeta loguían las características armónicas de todo el sistema solar acada intervalo infinitesimal. Estos principios armónicosdefinían la órbita del planeta como lo que Leibniz luegollamaría una trayectoria de acción mínima del sistema solar.En otras palabras, los planetas no se mueven en una de muchasórbitas infinitamente posibles en un espacio de otro modovacío. Más bien, se mueven en trayectorias de acción mínimadefinidas de manera única por las características armónicas delsistema solar. Desde la perspectiva del planeta, Kepler recalcóque dicha trayectoria es una línea recta. Lo “recto”, comoGauss insistiría después, lo establecen consideraciones físicas,no matemáticas a priori. La mente humana juzga estasconsideraciones físicas como las características de cambio deun principio físico. Gauss y Riemann expresarían después esacaracterística de cambio como la noción de curvatura física.

La curvatura física; de Leibniz a GaussLa astronomía física que Kepler revolucionó exigía un

cambio completo en las matemáticas imperantes, que está muylejos del estado actual de la ciencia. En tanto que Kepler hizoque la física avanzara y demandó la creación de una nuevamatemática congruente con ella, el sistema de revisión porpares insiste hoy en lo contrario: no se permite ningúndescubrimiento físico en el templo, a menos que se plantee entérminos de la matemática ya existente.

Al demostrar que la acción física es de veras no uniforme,Kepler tuvo que enfrentar el problema de cómo medir elmovimiento del planeta como una función del efectocambiante del principio de la gravitación. Esto requería eldesarrollo de unas nuevas matemáticas que pudieran expresarla posición como una función del cambio, en vez de denotaréste como una mera diferencia de posición. Kepler señaló ladirección que debían tomar las nuevas matemáticas, y exigióque futuros científicos la desarrollaran.

Especificó que todo el sistema solar debía considerarsecomo la unidad de acción, y que, de conformidad, elmovimiento del planeta en cualquier momento había demedirse como una función de las características armónicas detodo el sistema solar. Tales características armónicas, como lo

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6. The Harmony of the World (La armonía del mundo), de Johannes Kepler(Filadelfia: Sociedad Filosófica Estadounidense, 1997), pág. 496.


reflejan la función de los cinco sólidos platónicos y lasproporciones que corresponden a los intervalos musicales entrelas velocidades mínima y máxima de los planetas, determinanel número y las posiciones de las órbitas planetarias. En cadaórbita, el movimiento del planeta se medía con respecto a laórbita entera. De modo que existe una relación mutuamenteinversa entre el efecto momentáneo de la gravedad sobre elplaneta, y el efecto total de lo que Gauss después llamaría elpotencial gravitacional del sistema solar en su conjunto.

Leibniz generalizó este concepto de Kepler al introducir lanoción del infinitesimal como la expresión del efectopenetrante, aunque siempre cambiante, de un principiouniversal en cada rincón del espacio–tiempo físico. Él expresóla relación inversa entre las expresiones infinitesimal yuniversal de dicho principio como las respectivas formasdiferencial e integral del cálculo. El cálculo infinitesimal deLeibniz es el único cálculo verdadero. Los fraudes de Newtony Cauchy no son más que sofisterías burdas dirigidas aeliminar el significado metafísico del concepto físico deLeibniz del infinitesimal. Aunque los formalismos sininfinitesimal de Newton, Cauchy y su prole quizás le interesena matemáticos puros, quienquiera que procure entender algosobre el universo físico regresa, de forma consciente oinconsciente, a alguna forma del concepto de Leibniz. Lapotencia o debilidad relativa de un científico la refleja en parteel grado al que es implícita o explícitamente consciente de lasuperioridad del método de Leibniz.

En lo primordial, el enfoque de Leibniz para el cálculo lodetallan sus propios escritos y los de su colaborador, JohannBernoulli, y los he abordado antes, en términos pedagógicos,en apartados de la serie Riemann a contraprueba de tontos(visite www.wlym.com). Por motivos que atañen a estaexposición pedagógica, el cálculo de Leibniz y Bernoulli seexaminará mediante el ejemplo de su aplicación a la catenaria,desde la óptica de su desarrollo posterior por Gauss yRiemann.

La catenaria es el ejemplo decisivo de la veracidadmetafísica del cálculo de Leibniz. Ningún intento previo, demanera más notable el de Galileo, logró explicar la forma dela catenaria a partir de consideraciones matemáticas. Fue sóloa través de la aplicación de su cálculo a las característicasfísicas de la cadena suspendida, que Bernoulli y Leibnizlograron revelar el principio metafísico subyacente de la

catenaria.7

Tanto Leibniz como Bernoulli reconocieron que la formaque cobra una cadena suspendida de grosor uniforme refleja elefecto físico de aplicar una tensión a lo largo de un potencialgravitacional. Por tanto, rechazaron cualquier intento deexplicar la catenaria suponiendo que era una “curva” en unespacio euclidiano de otro modo vacío y plano. En cambio,consideraron la forma de la curva como expresión de lainteracción cambiante no uniforme entre la gravedad y latensión. Esto puede confirmarse con los experimentos queBernoulli especifica en su texto sobre cálculo integral o con losque miembros del LYM han usado en presentacionespedagógicas.8 Cualquiera que realice estos experimentosreconocerá un cambio en la dirección de la cadena, de unpunto al siguiente, como el efecto físicamente determinado dela relación cambiante entre la gravedad y la tensión. Así, lacurvatura de la cadena no es una desviación arbitraria de larectitud euclidiana; es la expresión de una característica físicadeterminada mediante experimento.

Sin embargo, es importante destacar que la curvatura, eneste sentido, no es un objeto matemático, sino una expresiónmatemática de una característica físicamente determinada dela que se derivan las relaciones métricas de la catenaria. Éstaslas expresa la relación funcional entre la longitud de la cadenaen un intervalo dado, y la curvatura cambiante en el mismointervalo. En el caso de la catenaria, esta relación la expresa,en términos matemáticos, la ecuación diferencial de Bernoullique representa la longitud de la cadena como una función delefecto cambiante de la gravedad sobre la tensión.9

Al igual que una órbita planetaria, la catenaria muestra unacurvatura total que cobra expresión en la forma general de lacadena suspendida.10 También como en la órbita planetaria, lacurvatura cambia de manera diferente en cada parteinfinitesimal. Esta curvatura infinitesimal es una expresión dela acción de un principio físico que actúa de modo tangencialsobre la cadena física, como si lo hiciera sobre el mundovisible desde afuera; aunque afuera del mundo visible nosignifica fuera del universo. Por consiguiente, al determinaresta expresión infinitesimal, el hombre puede descubrir, desdeel interior de un proceso físico, los principios que lo gobiernandesde fuera del dominio visible. La curvatura infinitesimalpuede medirse, como propuso Leibniz, por el inverso del radiodel círculo osculatriz en ese punto (ver figura 1.). No obstante,dicha curvatura también puede medirse desde el interior de lacadena, por así decirlo, por el efecto cambiante de lainteracción entre la gravedad y la tensión sobre ella, medidopor experimento, como lo especifican las funcionesdiferenciales de Leibniz y Bernoulli.

Una investigación más profunda del universo físico exige,

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9. Ver el ejercicio pedagógico del LYM en Boston sobre la catenaria.10. Leibniz, op. cit. Leibniz demostró que esto es la media aritmética entre dos

funciones exponenciales, un hecho con implicaciones metafísicasenormes.

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7. Ver Die Erste Integralrechnung (1691), de Johann Bernoulli(http://historical.library.cornell.edu/math/index.html); “Two Papers on theCatenary Curve and Logarithmic Curve” (Dos trabajos sobre las curvascatenaria y logarítmica), en el Acta eruditorum (1691) de Godofredo W.Leibniz (revista Fidelio, www.schillerinstitute.org); y “Justice for the Cate-nary” (Justicia a la catenaria), en la entrega 10 de la serie Riemann a contra-prueba de tontos (www.wlym.com), y “La larga vida de la catenaria, de Bru-nelleschi a LaRouche” (Resumen ejecutivo de la 1a quincena de julio de2004), ambos por Bruce Director.

8. Ver el recuadro 12 de “El principio del ‘poder’ ”, por Lyndon H. LaRouche,en Resumen ejecutivo de la 2a quincena de febrero y 1a de marzo de 2006(vol. XXIII, núms. 4–5) y en www.larouchepub.com/spanish.


empero, poderdescubrir desdedentro los efectosde muchos prin-cipios que actúanjuntos en un sololugar en elespacio–tiempofísico. Esta nociónde curvatura “in-trínseca” quedamás clara cuandose entiende desdela perspectiva desde la cual Gauss la desarrolla en su famosotratado sobre superficies curvas.11 Gauss se había enfrascadoen hondas investigaciones físicas sobre geodesia,geomagnetismo y astronomía, tales como su determinación dela órbita de Ceres, y de la forma de la Tierra y de la naturalezade su campo magnético. Como la determinación de Kepler delos principios del movimiento planetario, todas estasinvestigaciones exigían precisar principios físicos desdedentro. Para Kepler, esto implicó definir el movimiento de losplanetas desde uno de ellos (la Tierra), que también se movíasegún los mismos principios que Kepler trataba de descubrir.Pero Gauss tenía otro problema. Mientras que la labor deKepler se benefició de un gran número de observacionesrepartidas con amplitud, Gauss trabajó con unas pocasmediciones relativamente infinitesimales. Esto impulsó aGauss a desarrollar una forma ampliada del cálculo deLeibniz, en la que investigó la relación entre las característicasfísicas globales y su expresión en lo infinitesimalmente pe-queño. Desde entonces, ese enfoque se conoce comogeometría diferencial.

Tales superficies determinadas en términos físicos, insistíaGauss, no han de considerarse como objetos curvos de otromodo empotrados en un espacio euclidiano planotridimensional, sino como lo que Riemann luego llamaríamultiplicidades doblemente extendidas. Este concepto,aunque nuevo para Gauss en esta forma, se remonta a uno queKepler menciona en el segundo capítulo de Mystériumcosmográphicum. En referencia al acento que Cusa le da a laimportancia epistemológica de la diferencia entre lo curvo y lorectilíneo, Kepler distingue entre el globo, que es una esferaenclavada en un espacio tridimensional, y una esfera, a la queconsidera como la simple superficie. El primero, subrayaKepler, es una mezcla de curvo y recto, en tanto que lasegunda es pura curvatura.

En congruencia con esta visión de Kepler, Gauss tambiénproscribió el supuesto de lo plano de la geometría euclidianaen su investigación de las superficies curvas, y consideró quea las superficies las determina su pura curvatura. Adoptando

un método de la astronomía y la geodesia, Gauss midió lacurvatura de la superficie al registrar las direccionescambiantes de las normales de la superficie de una esfera (verfigura 2).12 Entre más curvas las áreas correspondientes delas superficies, más grandes las áreas de los mapas esféricosresultantes (llamados mapas de Gauss), y viceversa. Gaussllamó al área total del mapa esférico curvatura total o integralde esa región de la superficie. Sin embargo, dentro de esaregión la curvatura podría variar mucho de un lugar a otro.Así, fue necesario que Gauss desarrollara un concepto demedición local o infinitesimal de la curvatura en cada puntodentro de esa región. Él definió esto como la proporción entrecada área infinitesimalmente pequeña de la superficie y elárea infinitesimalmente pequeña correspondiente delmapa de Gauss. Mostró que esta cantidad también podíamedirse por el inverso del producto de multiplicar losradios de los círculos osculatrices por las curvas decurvatura mínima y máxima en ese punto (ver figura 3.).A partir de estas dos mediciones, las curvaturas integral ylocal, Gauss podíacuantificar lascaracterísticas dela superficie enlo grande y lascambiantes en lopequeño.

Para medir asíla curvatura deuna superficie, esnecesario verladesde el exterior,como si estuvieraempotrada en un

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11. Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828), de Carl Gauss,en Werke, vol. IV.

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12. En astronomía y geodesia, la normal es el perpendículo y la esfera es laesfera celeste.

FIGURA 1

Círculo osculatriz

FIGURA 3

Medición de la curvatura desuperficie

FIGURA 2

Mapa de Gauss con normales paralelas

ESFERA

ELIPSE


espacio dimensional superior.13 No obstante, Gauss, al igualque Cusa, Kepler y Leibniz, se percató de que en la ciencia realuno tiene que ser capaz de medir la curvatura física desdedentro, como lo hizo al determinar la órbita de Ceres y laforma de la Tierra o las características de su campo magnético.Esto implicaba poder determinar desde dentro de la superficiecómo ésta cambia en lo infinitesimalmente pequeño. Para ello,Gauss se apoyó en una aplicación del principio de acciónmínima de Leibniz que, en el caso de las superficies, cobraexpresión en el comportamiento de sus líneas más cortas, osea, las geodésicas.14 Las características de estas líneasgeodésicas, al igual que la catenaria o una órbita planetaria, lasdefine la naturaleza de los principios físicos a partir de loscuales se genera la superficie. De esta forma, sucomportamiento expresa dichos principios físicos.

Para esto, Gauss primero demostró que si se extiende unconjunto de curvas geodésicas de igual longitud desdecualquier punto de una superficie, entonces la curva queconecta los extremos de dichas geodésicas será perpendiculara todas ellas (ver figura 4). De forma más general, demostróque si se dibuja cualquier curva arbitraria sobre una superficie,y curvas geodésicas de igual longitudperpendiculares a dicha curva arbitraria,la curva que conecta los extremos de lasgeodésicas también será perpendicular aellas (ver figura 5). Por ende, encualquier superficie existe un conjunto

intrínseco de curvas ortogonales en el que al menos una deellas es geodésica (ver figura 6). Así, Gauss descartó todos lossistemas coordenados a priori, tales como el de Descartes, ylos remplazó con un conjunto de parámetros que expresaba lanaturaleza física de la superficie misma.

A partir de esto, Gauss pudo idear un medio para expresarla longitud de una curva geodésica como una función de lacurvatura de la superficie, y viceversa. Dicha longitud podíaexpresarse como una función de las curvas ortogonales queestablecen los parámetros de la superficie mediante unaforma general del teorema de Pitágoras (ver figura 7). Adiferencia de una superficie euclidiana “plana”, en la que larelación entre la longitud de la hipotenusa y los catetos deltriángulo rectángulo es independiente de su posición sobre lasuperficie, en una superficie curva esa relación cambiadependiendo de su posición. Ese cambio es una función de lacurvatura cambiante de la superficie. Por tanto, la funciónpitagórica general de Gauss, llamada función métrica deGauss, expresa cómo cambia esa relación de un lugar a otrode la superficie, dependiendo de la curvatura cambiante (verfigura 8). Esto establece una relación funcional determinable

FIGURA 5

Geodésicas con curvasortogonales

FIGURA 6

Coordenadas geodésicas

FIGURA 7

Función pitagóricaFIGURA 8

Función pitagórica cambiante

FIGURA 4

Geodésicas desde un punto

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13. La normal, al ser perpendicular a la superficie,se extiende hacia el espacio que está fuera de lasuperficie.

14. La investigación de Gauss de las propiedades delas líneas más cortas se remonta a algunas de susprimeras reflexiones sobre la locura de la geo-metría euclidiana. Uno de los primeros registrosen su diario es una observación sobre ladefinición euclidiana de un plano. Para Gauss,las características de un plano y una línea nopodían darse a priori, sino sólo comoconsecuencia de las características físicas (lacurvatura) de la superficie.


entre la longitud (métrica) y la curvatura.Desde un punto de vista físico, esto significó que podía

medir la curvatura cambiante de la superficie a partir de loscambios físicamente mensurables en la longitud de lasgeodésicas con respecto a los parámetros físicos de lasuperficie. Gauss aplicó este método en su famosa mediciónde la línea de longitud que va de Gotinga a Altona, a partir dela cual, fundado en una discrepancia de 16� en el arco,¡formuló un nuevo concepto de la forma entera de la Tierra!

Sin embargo, la expresión de esta relación entre la longitudy la curvatura era bastante complicada en lo matemático. Portanto, Gauss también halló una expresión mucho más simplede la relación entre el comportamiento de la geodésica y lacurvatura. Reconoció que en el mundo antieuclidiano real nohay tal cosa como los triángulos similares. Sobre cualquiersuperficie curva, la suma de los ángulos de una triánguloformado por las líneas más cortas siempre es mayor o menorque 180°, dependiendo de si la superficie sobre la que esetriángulo existe tiene una curvatura positiva o negativa.15 Estadiferencia, que Gauss llamó el exceso o defecto angular, es unafunción del área del triángulo. En una superficie de curvaturapositiva, entre más grande sea el área del triángulo, másgrande será el exceso angular, hasta llegar a un máximo. Enuna superficie de curvatura negativa, entre menor sea el áreadel triángulo, más grande el defecto angular, hasta llegar a unmínimo de cero. La proporción específica entre el exceso y eldefecto angulares, y el área, es una función de la curvatura. Enuna porción de la superficie con más curvatura (por ejemplo,positiva), un triángulo que abarque un área pequeña tendrá unexceso angular mayor que uno que abarque un área parecidaen una porción con menos curvatura. Así, la curvatura de unaporción de la superficie la expresa la relación cambiante entreel área de un triángulo geodésico y el exceso o defecto angular.

Así que Gauss mostró que la curvatura de una superficiepodía medirse por la proporción entre el exceso (o defecto)esférico y el área del triángulo geodésico. Esto le permitió alcientífico determinar la curvatura característica de la superficiedesde la misma, sin considerar la ficción arbitraria del espacioeuclidiano ni ningún sistema coordenado cartesiano arbi-trariamente fijo u otro.

Aunque las fórmulas que expresan estas relaciones puedentornarse muy complicadas, Gauss también ideó el modo dehacer sus cálculos, al volver directamente aplicables susconceptos a los problemas físicos que estaba investigando.

De este modo, Gauss dio los primeros pasos para liberar ala humanidad de la opresión persistente de la geometríaeuclidiana. Su protegido, Bernhard Riemann, iría más allá.

Un breve interludio sobre el tiempoAntes de pasar directamente a la contribución de Riemann,

es necesario incluir una breve nota sobre el principio de acciónmínima, tanto por la integridad científica del argumento

presentado, como para arrancar al lector de cualquierdependencia persistente de las nociones a priori del tiempo yel espacio. Quizás más porfiado aun que la adhesión a lasrelaciones espaciales de la geometría euclidiana, sea el apegopsicológico a una creencia en la existencia de alguna medidaabsoluta del tiempo. Como puso de relieve Platón en el Timeo,del cual después se hicieron eco, de manera más notable,Filón, Agustín y Cusa, el tiempo no es una cantidad absolutaque mide algún gran reloj de péndulo en el cielo. El tiempo esuna relación de cambio. Como lo planteó Platón, “el tiempo esla imagen móvil de la eternidad”.

Así es como Kepler entendía el tiempo. En vez de medir elmovimiento no uniforme del planeta con una medida detiempo uniforme absoluto (el sol medio), Kepler midió eltiempo con el movimiento mismo del planeta (sol verdadero).Tomó como unidad de tiempo el intervalo único en el cual elmovimiento del planeta es el mismo al comenzar y al terminar:la órbita entera. Esas unidades con cantidades iguales demovimiento —es decir, las áreas orbitales iguales— midieronporciones iguales de tiempo. Estas áreas orbitales son relativasa la órbita, no absolutas. De modo que el movimiento delplaneta define lo que es el tiempo. Sin movimiento, no haytiempo.

Algo parecido pasó con el descubrimiento subsiguientede Fermat de que la luz sigue la trayectoria de menortiempo.16 Con la reflexión simple, la trayectoria de la luz esla de la distancia más corta. No obstante, con la refracción,demostró Fermat, su trayectoria es la del menor tiempo. Ladiferencia entre las dos acciones físicas es que con lareflexión no hay un cambio de medio, en tanto que con larefracción sí lo hay. El cambio de medio cambia lascaracterísticas físicas de la multiplicidad de acción. Dichocambio físico define un nuevo comportamiento para latrayectoria más corta, o sea, la geodésica. En la reflexión,esa geodésica es la trayectoria de menor distancia. En larefracción, es el menor tiempo. La naturaleza de la luz nocambia, siempre busca la trayectoria más corta; pero cuandolas características de la multiplicidad en la que actúa esa luzcambian, la trayectoria más corta pasa de la menor distanciaal menor tiempo.

Así, de nuevo, el tiempo no es una cantidad absoluta, sinouna característica de cambio de la acción física, un cambio enlas características del espacio–tiempo físico.

En el mundo real no existe el tiempo absoluto; existe, comoHeráclito, Platón y Cusa pusieron de relieve, el cambio, delcual el tiempo es una medida relativa. El medio más eficientepara librarse de la creencia incapacitante en el tiempoabsoluto, es reconocer lo obvio: la única unidad de tiempoabsoluto es la eternidad. Todo acto más pequeño sólo formaparte de la eternidad, cuya medida es relativa a lamultiplicidad en la que ocurre.

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16. Ver el recuadro 5 de “El principio del ‘poder’ ”, por Lyndon H. LaRouche,op. cit.

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15. Una relación similar existe para cualquier polígono.


Las multiplicidades y los tensores riemannianos

Riemann empezó su disertación de habilitación del 10 de juniode 1854 en la tradición del niñito del cuento de Hans ChristianAndersen sobre el emperador desnudo. Afirmó que, aunque lossupuestos de la geometría euclidiana se habían aceptado pormás de dos mil años, nadie se había tomado la molestia de versi eran ciertos. Como está determinado por experimento quetoda acción física es antieuclidiana, Riemann insistió que laconsideración futura de los supuestos a priori de la geometríaeuclidiana debían abolirse y proscribirse de la ciencia.

Riemann remplazó el supuesto arbitrario de un espacioeuclidiano absoluto con la idea de una multiplicidad física deacción cuyas “dimensiones”, como los parámetros de lassuperficies de Gauss, denotan los principios físicos que actúanen esa multiplicidad. El número de dichas dimensiones no esfijo a priori, como las tres dimensiones lineales de lageometría euclidiana, sino que lo determina el número deprincipios físicos a considerar para expresar a cabalidad laacción física de la multiplicidad.

De modo que Riemann extendió la noción de Gauss de unasuperficie a una multiplicidad extendida en n dimensiones, de lacuál las superficies de Gauss representan el caso especial de unamultiplicidad doblemente extendida. Por ejemplo, la trayectoriade la luz en la reflexión puede verse como una geodésica en unamultiplicidad simplemente extendida, porque la posición de laluz puede determinarse del todo a partir de un parámetro físico:el ángulo de incidencia. Por otra parte, la trayectoria de la luzcon la refracción es una geodésica en una multiplicidaddoblemente extendida, porque la presencia del principioadicional exige determinar la posición con respecto a dosparámetros: el ángulo de incidencia y el índice de refracción. Denuevo, no es la luz la que cambia de la reflexión a la refracción,sino la multiplicidad en la que actúa. Ese cambio de losprincipios físicos que actúan sobre la multiplicidad produce uncambio correspondiente en la característica de la geodésica, dela trayectoria más corta a la de menor tiempo.

En una nota suelta que escribió entre 1852 y 1853, antes depresentar su disertación de habilitación, Riemann ofreció unejemplo de su concepto de una multiplicidad determinada porprincipios físicos, no por dimensiones geométricas a priori.

El concepto de una multiplicidad de múltiplesdimensiones perdura independientemente de nuestraintuición del espacio. El espacio, el plano y la línea sonsólo los ejemplos más intuitivos de una multiplicidad detres, dos o una dimensiones. Aun sin la más mínimaintuición, podríamos desarrollar una geometría entera.Quiero explicar esto con un ejemplo:

Supón que quisiera realizar un experimento uobservación, y que sólo fuera importante para míestablecer un valor numérico, digamos, el grado de calor.En este caso, todos los resultados posibles podríanrepresentarse por una serie continua de valores

numéricos, del infinito positivo al negativo. Pero supónque quisiera determinar dos valores numéricos, digamos,que quisiera hacer una determinación de temperatura yuna de peso, entonces los resultados tendrían quecondicionarlos dos magnitudes x y y. Aquí sólo obtendríael total de casos si le diera a x y y todos los valores entreel infinito negativo y el positivo, al combinar cada valorde x con cada valor de y. Obtendré un caso único siempreque x tomado junto con y tenga un valor determinado.

Ahora puedo extraer la totalidad de los casos, uncomplejo de casos; puedo, por ejemplo, establecer laecuación ax + by + c = 0 y juntar ahora todos esos casosen que x y y satisfagan la ecuación; podría llamar a estecomplejo de casos línea recta. A partir de esta definiciónde una línea recta podría derivar todos aquellos teoremassobre líneas rectas que ocurren en la geometría. Es claroque uno puede proceder de esta forma sin depender de lamás mínima intuición sobre el espacio.

Con esta forma de tratar la geometría o la teoría delas multiplicidades de tres dimensiones, todos losaxiomas abordados del modo habitual de tratar lasintuiciones espaciales, como por ejemplo, que sólo unalínea recta es posible entre dos puntos cualquiera, elprimer axioma de Euclides, desaparecen, y sólo los queson válidos para las magnitudes en general, por ejemplo,que el orden de los sumandos es arbitrario, permanecen.

Uno descubre ahora con facilidad cómo, del mismomodo, puede obtener una multiplicidad de dosdimensiones independiente de la existencia de un plano;también cómo puede uno arribar a una magnitud dearbitrariamente muchas dimensiones. Sólo tenemos quehacer observaciones que [. . . conciernan a ladeterminación de muchas magnitudes numéricas. Laoración la completó Heinrich Weber].

Pero también es interesante entender la posibilidad deque este tratamiento de la geometría fuera, no obstante,en extremo infructuoso, pues no encontraríamos ningúnteorema nuevo, y lo que se logra de manera fácil y simplemediante la representación del espacio, sólo se convierteen algo complejo y difícil. En general, uno tiene queoptar por tomar la dirección contraria y donde uno setopa con la geometría de multiplicidades de másdimensiones, del modo que en el estudio de las integralesdefinidas en la teoría de las magnitudes imaginarias unousa la intuición del espacio como una ayuda. Es buenosaber cómo, por medio de esto, uno consigue unapanorámica veraz sobre el tema, y sólo por esta víapueden plantearse directamente los aspectos esenciales.

De esta manera, con el remplazo de las dimensioneseuclidianas a priori por principios físicos cuyo número ycaracterísticas reflejan las características físicas de unamultiplicidad de acción física, le correspondió a Riemanndefinir cómo expresar la relación funcional entre esos


principios, sin recurrir a ningún supuesto a priori. La direcciónpreliminar de esto la dio su disertación de habilitaciónmediante el desarrollo de su concepto de “magnitudmúltiplemente extendida”.

La acción en una multiplicidad física extendida en ndimensiones, insistía Riemann, debe expresarla la magnitudextendida en n dimensiones correspondiente. Semejantesmagnitudes no expresan un conjunto fijo de relaciones comoen la geometría euclidiana. Más bien, las magnitudesextendidas en n dimensiones de Riemann expresan lasrelaciones dinámicas entre los principios que determinan laacción física en la multiplicidad.

Un ejemplo elemental es la antigua investigación pitagóricade la línea, el cuadrado y el cubo. Piensa en una línea, uncuadrado y un cubo cuyos segmento, lado y arista respectivostienen la misma longitud. ¿Son todas estas longitudes la mismamagnitud? Desde la perspectiva de la geometría euclidiana o elálgebra formal, la respuesta sería sí. Pero desde la de lageometría física de los pitagóricos, Gauss y Riemann, es unrotundo no. La única magnitud propia del cuadrado es una queexprese la relación dinámica entre la longitud y el área, que lospitagóricos demostraron es inconmensurable con una magnitudlineal. De modo parecido, la única magnitud propia del cubo esuna que exprese la relación dinámica entre la longitud, el área yel volumen. Toda relación subyacente se redefine deconformidad con esta magnitud cúbica. Por ejemplo, la relaciónentre la longitud y el área en una magnitud cúbica es diferentede la que hay entre la longitud y el área en la cuadrada. Comodemostraron las construcciones de Platón y Arquitas, a cadaobjeto lo genera un principio distinto. Cada uno es producto deuna multiplicidad física diferente, con un número específico deprincipios y una curvatura característica distintiva.17

Riemann liberó a la ciencia de los efectos incapacitantes depretender investigar el universo físico usando los relojes y varasde medir arbitrarios del espacio y el tiempo absolutoseuclidianos. Una vez liberado, el universo físico mismo designalas magnitudes apropiadas con las que debe medirse. Tal comocon la demostración de los pitagóricos de las diferencias entreuna línea, un cuadrado y un cubo, la insistencia de Cusa en quelo recto nunca podría medir lo curvo, o el entendimiento deKepler de que el movimiento del planeta definía el significadodel tiempo, el concepto de Riemann de multiplicidadesextendidas en n dimensiones que se determinan en términosfísicos, definió una nueva forma de magnitud. Una forma detales magnitudes extendidas en n dimensiones pertinente alestudio de la economía física, es la noción moderna de tensor.

Un tensor es una especie de cantidad en la que lasrelaciones dinámicamente conectadas, dentro y entre lasmultiplicidades extendidas en n dimensiones, se expresancomo una magnitud unificada.

Aunque existen expresiones matemáticas formales de untensor, como las que presentan el texto de Eisenhart, y a pesarde que en ocasiones esas fórmulas son útiles, semejantesexpresiones en fórmulas no encarnan verazmente la idea deRiemann. Tiene que conquistarse la idea antes que las fórmulas.Como Riemann indicó en la nota anterior, la mejor forma delograr esto es mediante el uso pedagógico de ejemplosgeométricos. En este respecto, Riemann se hace eco de Platón,Cusa y Gauss, quienes pusieron el acento en el uso metafóricode la geometría para comunicar conceptos que yacen fuera deldominio de la percepción sensorial. En tales casos, advirtierontodos, aunque los ejemplos geométricos son indispensablespara nuestro entendimiento, representan una guía, no unsustituto, del concepto del cual se generan. En su disertación dehabilitación, Riemann hizo una admonición parecida:

Dichas relaciones métricas sólo se pueden investigarmediante conceptos abstractos de magnitud, y enconjunto sólo se pueden representar mediante fórmulas;con todo, bajo ciertos supuestos es posible descom-ponerlas en relaciones que, tomadas aisladamente,admiten una representación geométrica, y de este modoserá posible expresar geométricamente los resultadosdel cálculo. Por tanto, para ganar suelo firme seráinevitable una investigación abstracta en fórmulas, perolos resultados de la misma podrán presentarse en ropajegeométrico. Los fundamentos para ambas cosas estáncontenidos en la famosa memoria del Señor ConsejeroPrivado Gauss acerca de las superficies curvas.

La noción moderna de tensor surge directamente de la ideapreliminar de Riemann de la naturaleza de una magnitudextendida en n dimensiones. Al desarrollarla, Riemann ampliólas nociones de Gauss de curvatura y relaciones métricas desus superficies doblemente extendidas, a sus multiplicidadesextendidas en n dimensiones. Desde esta óptica, la curvaturaexpresa la relación dinámica en interacción de los n principiosfísicos que actúan en la multiplicidad, en tanto que la métricaexpresa el comportamiento de las trayectorias de acciónmínima —o sea, las geodésicas— que se manifiestan en lamultiplicidad. Para captar estos aspectos, uno debe tener enmente la admonición de Riemann. Usa el ejemplo de losconceptos de Gauss de curvatura y métrica como un casoespecial, e imagina la extensión de estos conceptos amultiplicidades que no pueden visualizarse de manera directa.Lo que se pierde por no poder visualizar tales multiplicidadesdesde afuera, se gana al vernos obligados a descubrir sunaturaleza desde dentro.

Empecemos por ampliar la idea de una superficie curva aun concepto de curvatura para una magnitud triplementeextendida: por así decirlo, un volumen curvo. Para esto, unotiene que ser despiadado en rechazar las nociones a priori delespacio euclidiano. Semejante volumen curvo no es una grancaja cuadrada en la que la acción curva ocurre, sino unamultiplicidad física definida por la acción de tres principios

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17. Ver “Archytas From the Standpoint of Cusa, Gauss, and Riemann”(Arquitas desde la óptica de Cusa, Gauss y Riemann), en la entrega 42 deRiemann a contraprueba de tontos, por Bruce Director (www.wlym.com).


físicos o por un principio que actúa en tres direcciones, como,por ejemplo, en el caso del campo magnético de la Tierra. Siuno se imagina ahora moviéndose alrededor de unamultiplicidad tal (como el movimiento de la aguja de unabrújula conforme se mueve por el campo magnético terrestre),experimentaría el efecto cambiante de los principios físicoscomo un cambio de curvatura distintivo en cada una de las tresdirecciones (en este ejemplo). Sin importar la capacidad deestablecer cualquier representación visual (aun una taninapropiada como la que acabamos de dar) de esta mismacaracterística en una multiplicidad mayor que tres, es en vano.No obstante, puede formarse en la mente un concepto precisode tal curvatura múltiplemente extendida.

Riemann generalizó este concepto al mostrar que encualquier punto en una multiplicidad extendida en ndimensiones hay n(n�1)/2 direcciones de superficie distintasque intersecan, cada una con su propia curvatura única, lascuales, juntas, determinan la curvatura de la multiplicidad queactúa en ese punto.18 Estas curvaturas, las cuales pueden sercompletamente diferentes, pueden medirse, como hizo Gauss,como la proporción entre el exceso o defecto angular de un tri-ángulo geodésico, y el área que abarca dicho triángulo.19 Rie-mann definió la medida de curvatura a cada punto de lamultiplicidad como la magnitud que expresan las n(n�1)/2curvaturas de superficie distintivas en ese punto, una magnitudque ahora se llama tensor de curvatura de Riemann.

Este tensor noes solo un número.Es una magnitudque expresa cómolas n(n�1)/2curvaturas distin-tivas van cam-biando a cadapunto, y cómo estecambio cambia deun lugar a otro enla multiplicidad.Cada curvaturadistintiva mide elcambio dentro deuna de las super-ficies que inter-

secan; pero, así como la magnitud cúbica define la relaciónentre longitud y área de modo diferente que la cuadrada, eltensor de curvatura de Riemann define cada curvaturaconstituyente inferior desde la perspectiva de la dinámica de lamultiplicidad en su conjunto.

En el caso de las multiplicidades doblemente extendidas deGauss, n(n�1)/2 es igual a uno. Por consiguiente, el tensor decurvatura tiene un componente: la medida de curvatura deGauss como se definió antes.20 Para una multiplicidadtriplemente extendida (un “volumen” curvo), n(n�1)/2 esigual a tres. Así, definir la medida de curvatura en un punto deuna multiplicidad triplemente extendida exige un tensor queexprese la relación funcional entre las tres funciones que lacomponen, donde cada una de ellas manifieste la curvaturacambiante de una superficie. El tensor de curvatura, por tanto,expresa la relación cambiante entre estas tres medidas decurvatura como un solo tipo de función abarcadora. De nuevo,la tridimensionalidad de esta magnitud no puede expresarsesimplemente con un número o con tres medidas individualesde curvatura. Más bien, se necesita una magnitud extendida enn dimensiones o tensor.

Para una multiplicidad cuádruplemente extendida, seisdirecciones de superficie intersecarán en cada punto,estableciendo un tensor de curvatura riemanniano que expresauna relación funcional entre seis medidas de curvatura distintas.

Aunque semejante multiplicidad no puede visualizarse demanera directa, con el enfoque de Riemann, su medida decurvatura puede definirse con claridad.

Además de esta noción de curvatura de una multiplicidadextendida en n dimensiones, Riemann definió el concepto deuna métrica extendida en n dimensiones. Para esto, amplió lageneralización de Gauss de la métrica pitagórica de lageodésica, de las multiplicidades doblemente extendidas a lasextendidas en n dimensiones. Recuerda que Gauss demostróque para una multiplicidad doblemente extendida, la longitudde la geodésica la expresaban tres funciones de los dosparámetros que definen la superficie.21 Esas tres funcionesexpresan la relación entre la longitud de una geodésica y lacurvatura cambiante de la superficie.

Para una multiplicidad triplemente extendida, uno puedeimaginar que en vez de que la geodésica cambie con respectoa dos parámetros (superficie diferencial), lo haga con respectoa tres, que forman, por así decirlo, un volumen diferencial.Conforme este volumen diferencial se mueve alrededor de lamultiplicidad, la longitud de la geodésica que contienecambia. Expresar la relación entre la longitud de la geodésicay los tres parámetros que definen el volumen diferencial,exige un tensor que exprese una función entre seis funciones.

De nuevo, con todo lo inadecuada que es esta visualización

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20. Es importante notar que ese componente expresa la relación dinámicaentre los dos parámetros que definen la superficie.

21. Denotados E, F, y G por Gauss.

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18. Por tanto, en el ejemplo de un multiplicidad triplemente extendida habríatres superficies que intersecan en cada punto.

19. Tuillio Levi–Cività, un estudiante de Gregorio Ricci, que a su vez fuealumno del colaborador de Riemann, Enrico Betti, planteó más tarde otramanera aun más simple de encontrar la curvatura de un elemento desuperficie midiendo el cambio de dirección de un vector, que resultacuando dicho vector se transporta alrededor de un área pequeña de lasuperficie, de modo que siempre sea paralelo a sí mismo. Por intuición,pareciera que semejante acción no alteraría la dirección del vector. Eso esverdad en una superficie plana; pero, si la superficie tiene alguna curvaturaen lo absoluto, ésta cambiará la dirección (ver figura 9).

FIGURA 9

Transporte paralelo


para una multiplicidad triplemente extendida, aun talvisualización indirecta es imposible para multiplicidades cuyaextensión es mayor de tres. Empero, Riemann formuló unconcepto preciso de semejante métrica extendida en ndimensiones. Demostró que en una multiplicidad extendida enn dimensiones hay, en principio, n(n+1)/2 funciones de los nparámetros físicos de la multiplicidad, que se necesitan paradefinir la métrica.22 Desde entonces, estas n(n+1)/2 funcioneshan venido a conocerse como el tensor métrico de Riemann.Expresan el efecto cambiante de la curvatura de lamultiplicidad sobre las mediciones de la longitud de las líneasgeodésicas. Los ejemplos anteriores, aunque algo abstractos,brindan una base para formar un concepto pedagógico (adiferencia de meramente formal) de los tensores métricos y decurvatura de Riemann. Definida con amplitud, la noción de untensor riemanniano expresa un conjunto definido derelaciones funcionales entre los n principios físicos que actúanjuntos para producir el efecto total en una multiplicidad deacción física extendida en n direcciones.

Es más, la extensión de Riemann de las nociones de Gaussde curvatura a las multiplicidades extendidas en ndimensiones, proporciona un medio para determinar lascaracterísticas físicas de dicha multiplicidad a partir de susexpresiones infinitesimales; o sea, desde dentro de lamultiplicidad.

Riemann no sólo desarrolló la forma de los tensorespertinentes, también proporcionó un ejemplo experimental yelaboró un método para su cálculo. En un trabajo que envió ala Academia de Ciencias de París en 1861, en respuesta a lapregunta de un concurso sobre la determinación del flujo decalor en un cuerpo sólido homogéneo en tanto función deltiempo y otras dos variables, Riemann ideó un ejemplo físicode la curvatura de una multiplicidad extendida en ndimensiones. En dicho trabajo, Riemann escribió:

La expresión

puede considerarse como un elemento lineal en unespacio general extendido en n direcciones que yacefuera de nuestra intuición. Si en este espacio trazamostodas las líneas más cortas posibles desde el punto (s1,s2,. . . sn), cuyas direcciones iniciales las caracterizan lasrelaciones: �ds1+ �s1; �ds2+ �s2; . . . ; �dsn+�sn (donde� y � son cantidades arbitrarias), estas líneas formancierta superficie que puede pensarse como ubicada en elespacio acostumbrado de nuestra intuición. En ese caso,la expresión será una medida de la curvatura de lasuperficie en el punto (s1, s2, . . . sn ).23

El trompo, del que hablamos en la última entrega de estaserie, ofrece otro ejemplo pedagógico de una multiplicidad deacción física en la que necesitamos los tensores para expresardicha acción.24 Como hemos probado antes, el movimiento deltrompo es resultado de su relación cambiante con el potencialgravitatorio y el momento angular que genera al girar. Elefecto de cada uno lo expresa un vector que abarca tresfunciones que lo integran. Así, expresar el movimiento deltrompo requiere un tensor que represente la relación cambiantede ambos vectores. Este tensor expresa la multiplicidad físicaen la que gira el trompo, lo cual, como el propio Félix Klein sevio obligado a admitir, representa una multiplicidadantieuclidiana. Pero, a diferencia de Klein, quien con pompainsistía que es puramente matemática y carece de importanciametafísica, esta multiplicidad antieuclidiana es la única conuna realidad tanto física como metafísica.

Uno de los ejemplos más famosos de una aplicación detensores de tipo riemanniano en la física, es el uso que AlbertEinstein hizo de ellos en su teoría general de la relatividad, enla cual expresó las relaciones gravitatorias del espacio–tiempofísico mediante un complejo de tensores.

Sin embargo, los ejemplos citados son apenas un atisbo.Ejemplifican las investigaciones de las multiplicidades físicasen las que los principios que actúan se limitan a aquellosasociados con el dominio abiótico. Los principios físicos delos dominios biótico y cognoscitivo también actúan en lasmultiplicidades extendidas en n dimensiones que estudia laciencia de la economía física. Es más, las relaciones entre estosprincipios son dinámicamente antientrópicos. De modo que senecesita ampliar los tensores de tipo riemanniano paraexpresar la relación dinámica entre multiplicidades de gradoscada vez mayores de extensión. Empero, antes de delinearestos requisitos es necesario considerar la otra cara del asuntoque Riemann investigaba.

La topología física de las multiplicidadesautolimitadas

En la explicación anterior de la forma generalizada de lageometría diferencial, ampliamos la noción de curvaturafísica a multiplicidades definidas por n principios físicos einvestigamos cómo la característica cobra expresión en loinfinitesimalmente pequeño. Esta clase de investigación esfundamental para el progreso científico, porque es en lasregiones infinitesimales que se miden las características delas relaciones métricas y de curvatura, y es a partir de lasanomalías descubiertas por estas mediciones que sedescubre la existencia y naturaleza de principios físicos

√ ∑i,j

bij dsi dsj

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22. Estas funciones son la extensión de las funciones E, F, y G de Gauss a lassuperficies.

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23. Mathematische Werke, de Bernhard Riemann (Berlín: 1990), pág. 435.Traducción de Mathematics of the 19th Century (Matemáticas del siglo 19),de Kolmogorov, Yushkevich (Berlín: Birkhauser Verlag, 1996), pág. 85.

24. Ver “View from the Top” (Una vista desde arriba del trompo), en laentrega 67 de Riemann a contraprueba de tontos, por Bruce Director(www.wlym.com).


nuevos. Como puso de relieve Riemann en su disertación dehabilitación, “el conocimiento de la conexión causal de losfenómenos está fundada esencialmente en la precisión conla que la seguimos hasta lo infinitesimalmente pequeño”.

Sin embargo, Riemann entendía que estas característicasen lo pequeño no las determina del todo la acción en lasregiones locales de una multiplicidad física. Tal como hechossingulares que ocurrieron hace miles de años o una intenciónde producir un resultado de aquí a dos generacionesdeterminan hoy las acciones inmediatas en la sociedad, lascaracterísticas locales de una multiplicidad física reflejan lanaturaleza global de la multiplicidad. Riemann demostró queestas características globales las definen factores tales comoel número de singularidades y las condiciones en el límite dela acción. De hecho, aunque las mediciones locales derelaciones métricas y de curvatura pueden variar bastantedentro de una multiplicidad, hay ciertas característicasglobales que ejercen un efecto determinante en su significadofísico. Riemann decía que la investigación de estascaracterísticas globales pertenecía al dominio del “análisissitus”. Más tarde, otro de los estudiantes de Gauss, JohannListing, adoptó el término “topología” (de la palabra griegatopos, que significa posición) para este estudio. Como se harámás patente a continuación, es sólo al tomar en cuenta larelación entre las características topológicas y locales, que esposible conocer algo fundamental sobre el proceso físico quese investiga.

En su disertación de habilitación y en el extracto arribacitado, Riemann indicó que el marco para unainvestigación de esta relación entre las característicaslocales y topológicas se encuentra en su estudio de lasfunciones complejas, en las que expresó la noción de unamultiplicidad multiconexa autolimitada en la forma de loque desde entonces vino a conocerse como superficiesriemannianas. Riemann fue pionero en este campo, bajo la

dirección de Gauss, en su disertación doctoral de 1851.Luego, siguiendo su disertación de habilitación, Riemannprofundizó sus investigaciones en sus famosos estudiosde las funciones abelianas, las superficies mínimas y lashipergeometrías.25

Aunque el descubrimiento de Riemann en este campo es unavance único en el conocimiento, sus raíces se remontan aPlatón y los pitagóricos, quienes insistían que todainvestigación del universo debía partir de un concepto de lanaturaleza de todo él. En el Timeo, Platón expresó estanaturaleza como el concepto monoteísta de que el universo esuna sola creación de un Creador único. Platón afirma que laexpresión geométrica de semejante universo autolimitadocobraría una forma esférica:

La figura apropiada para el ser vivo que ha de tener ensí a todos los seres vivos, debería ser la que incluye todaslas figuras. Por tanto, lo construyó esférico, con la mismadistancia del centro a los extremos en todas partes,circular, la más perfecta y semejante a sí misma de todaslas figuras, porque consideró muchísimo más bello losemejante que lo disímil. Por múltiples razones culminósu obra alisando toda la superficie externa del universo.26

Riemann reafirmó esta noción de un universo finitoautolimitado en su disertación de habilitación, sólo que desdela perspectiva superior de su noción de una multiplicidadmúltiplemente extendida:

La ilimitación del espacio posee, por tanto, mayorcerteza empírica que cualquier experiencia exterior.

FIGURE 10

Topologías trascendentales

Trascendental simple Trascendental hiperelípticaTrascendental elíptica

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25. Ver Beiträge zur Theorie der durch die Gauss’sche Riehe . . . ; Theorie derAbel’schen Functionen; Über die Flache vom kleinsten Inhalt bei gegebenerBegrenzung, en Mathematische Werke, de Bernhard Riemann (Leipzig, 1892).

26. Timeo o de la naturaleza, de Platón (edición electrónica dewww.philosophia.cl/Escuela de Filosofía Universidad ARCIS).


Pero de aquí no sigue en absoluto la infinitud; antesbien, si se presupone independencia de los cuerposrespecto a la posición, o sea, si se le adjudica unamedida de curvatura constante, el espacio deberá sernecesariamente finito tan pronto como esa medida decurvatura tenga un valor positivo, por pequeño que sea.Al prolongar las direcciones iniciales que yacen en unelemento de superficie hasta obtener líneas mínimas,obtendríamos una superficie ilimitada con curvaturaconstante positiva, es decir, una superficie que, en unavariedad plana tridimensional, tomaría la forma de unasuperficie esférica y que, consiguientemente, es finita.

Platón subrayó que la característica topológica de ununiverso autolimitado también determina otra que la cienciamoderna identificaría como “cuantificación”. Desde laperspectiva de Platón, esto se expresa por la singularidad delos sólidos regulares platónicos —que son cinco— y lossemirregulares arquimedianos, como las divisiones únicas dela superficie esférica.27 Hubo más avances en este campo conlas investigaciones de Luca Pacioli y Leonardo da Vinci, enparticular por el acento que este último le imprimió al significadode estas cuestiones para la distinción entre los dominios abióticoy biótico. El descubrimiento de Kepler de una nueva forma desólido regular —los llamados sólidos estrellados de Kepler yPoinsot— y el contemporáneo de Napier del pentagrammamiríficum, representaron nuevos avances significativos a estacomprensión. Con los estudios cristalográficos de los queinforma en “El copo de nieve de seis ángulos”, Kepler amplióesta noción al dominio de las multiplicidades triplementeextendidas,28 como indicaría luego Riemann en la secciónantes citada de su disertación de habilitación.

Pero, desde la construcción de Arquitas para doblar el cubo,hasta la determinación de Kepler de la naturaleza elíptica de lasórbitas planetarias, las pruebas experimentales indicaban que laacción física estaba limitada por una forma de acción superior ala que expresaban estos conceptos de acción esférica.

La solución a esta paradoja empezó a ver la luz a máscabalidad con descubrimientos tales como la visiónrenovada de Gauss de los sólidos regulares y semirregularesdesde la perspectiva de los principios generales de curvaturaque acabamos de ver, su descubrimiento de la conexiónentre el pentagramma miríficum de Napier y las funcioneselípticas, su trabajo sobre el significado de la mediaaritmético–geométrica, y las implicaciones de su discerni-miento de la división del círculo, la elipse y los residuosbicuadráticos.

Estos descubrimientos presagiaron la penetración deRiemann de la naturaleza más profunda de los efectostopológicos, misma que desarrolló durante su estudio de lasfunciones de las superficies mínimas, abelianas ehipergeométricas.29 En estos estudios, Riemann elaboró elconcepto de una noción superior de autolimitación, la cual seexpresaba en la sucesión de multiplicidades relativamenteautolimitadas asociadas con las superficies de Riemann quese generaban con respecto a la clase extendida de lasfunciones trascendentales conocidas como abelianas.Riemann mostró que cada especie de trascendental estáasociada con una densidad creciente de singularidades, lo cualse expresa en la superficie de Riemann correspondientemediante un cambio en sus características topológicas (verfigura 10). Ésta es la noción riemanniana de autolimitaciónque representa el enfoque pertinente para la ciencia físicamoderna.

Riemann insistía que la característica esencial de estassuperficies riemannianas es su expresión de lo que llamó el“principio de Dirichlet”,30 un principio físico que adoptó desu maestro, Lejeune Dirichlet, a cuyas disertaciones sobre lateoría de potencial de Gauss asistía en la Universidad deBerlín. En esos estudios, Gauss y Dirichlet generalizaron laobra inicial de Leibniz sobre dinámica por medio del estudiode la gravedad, el magnetismo y la electricidad. Al igual queLeibniz, Gauss y Dirichlet pusieron de relieve que lascaracterísticas específicas de una acción física son el efectode las propiedades de acción mínima “potencial” de losprincipios físicos que la gobiernan. Gauss definió como la“función de potencial” aquélla que expresa la curvaturacaracterística que manifiestan estas propiedades de acciónmínima. En otras palabras, los principios físicos tales comola gravedad, el magnetismo y la electricidad establecen unamultiplicidad antieuclidiana cuya naturaleza puede ex-presarse en los principios generales de curvatura que habíaformulado Gauss. En las disertaciones a las que Riemannasistía, Dirichlet recalcó que esta función de potencial laexpresaba un conjunto de funciones armónicas —o sea,cuyo ritmo de cambio de curvatura es igual en magnitud yperpendicular en dirección—, y que éstas necesariamenteexpresaban las propiedades de acción mínima delpotencial.

Es más, Gauss y Dirichlet reconocieron que lascaracterísticas específicas de una función de potencial lasdeterminaban las condiciones en el límite de la acción. Porejemplo, la superficie de un imán o de la Tierra, en el caso delmagnetismo o la gravedad, o las condiciones en el límite de uncuerpo conductor de calor, como en el ejemplo desarrollado

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27. Ver “Archimedean Polyhedra and the Boundary: The Missing Link” (Lospoliedros arquimedianos y el límite: El eslabón perdido), por Hal Vaughn,en la edición de verano de 2005 de la revista 21st Century, Science &Technology.

28. Ver “El copo de nieve de seis ángulos y la geometría pentagonal”, por RalfSchauerhammer, en Resumen ejecutivo de la 2a quincena de marzo de2004 (vol. XXI, núm. 6).

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29. Ver Riemann, op. cit.; Bruce Director, Riemann a contraprueba de tontos,entregas 52, 54, 61 y 64.

30. Ver “Vernadsky y el principio de Dirichlet”, por Lyndon H. LaRouche, y“El ‘principio de Dirichlet’ de Bernhard Riemann”, por Bruce Director,en Resumen ejecutivo de la 1a quincena de agosto de 2005 (vol. XXII,núm. 15).


por Riemann en la cita anterior. A partir de esto, Dirichletdemostró que las características de la función de potencial entoda la multiplicidad podían especificarlas las condicioneslímite, y cambiar cuando dichas condiciones variaran (verfigura 11).

Riemann fue aun más allá. Reconoció que el principio deDirichlet expresa una característica única de las funciones deuna variable compleja. Cuando tales funciones se representancon superficies de Riemann, el principio de Dirichlet seextiende para incluir multiplicidades físicas con una densidadde singularidades en ascenso, como lo demostró Riemann ensu obra sobre las funciones abelianas e hipergeométricas.

Esto implicó que Riemann pudiera demostrar la relaciónentre las características de curvatura en lo infinitesimalmentepequeño y las globales de la multiplicidad, en particular elnúmero, características y densidad de las singularidades.

Esto puede ilustrarse de modo pedagógico con un ejemplo.Primero, toma la esfera, que es la forma de la superficie deRiemann para las funciones trascendentales simples asociadascon las circulares, las hiperbólicas y las exponenciales. Cadafunción tal define un conjunto diferente de parámetrosgaussianos desde los cuales se determinan las relacionesmétricas. Sin embargo, las relaciones métricas sólo se aplicana situaciones locales. Por ejemplo, sólo existe una geodésicaentre dos puntos cualquiera, únicamente si dichos puntos estáncerca uno del otro. Pero si son los polos, hay un númeroinfinito de geodésicas que los conectan. Riemann demostróque sobre una superficie esférica siempre existen, de maneraintrínseca, dos polos tales. Riemann definió tales superficiescomo “simplemente conectadas”. Además, Riemann mostróque ésta es una característica de cualquier superficiesimplemente conectada y, como toda superficie semejantepuede proyectarse sobre la esfera sin alterar sus relacionesarmónicas (es decir, conformemente), esta característica es“topológica” (o sea, independiente de las relaciones métricas

particulares). No obstante, determina las condiciones en lascuales existen dichas relaciones métricas.

Observa ahora el caso del toro, que es la superficie asociadacon las trascendentales elípticas. Aquí ocurre una situacióncompletamente diferente. Como demostraron Gauss yRiemann, estas especies de trascendentales expresan un podersuperior de acción física que las trascendentales simples. Estepoder superior lo expresa la densidad en aumento desingularidades, que en la superficie de Riemann se manifiestacomo un cambio en las características topológicas de lamultiplicidad. Riemann denotó superficies tales como el torocomo “doblemente conectadas”. Sin embargo, a diferencia delcaso de las multiplicidades simplemente conectadas, lasdoblemente conectadas no pueden, en general, proyectarseconformemente una sobre la otra. Esto significa que lamultiplicidad de las doblemente conectadas tiene, en ciertosentido, un grado mayor de “cuantificación”, del modo queGauss exploró este concepto en su investigación de la mediaaritmético–geométrica.31 Pero, como quedará claro acontinuación, este cambio de topología también está asociadocon un cambio fundamental en la naturaleza global de lacurvatura de la multiplicidad.

Este cambio se aclara cuando el concepto de curvatura deGauss se combina con la noción de las superficies deRiemann, tal y como éste lo hizo en su estudio de lassuperficies mínimas. Las superficies mínimas, tales como lacatenoide, expresan una característica física de acción mínima.

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31. Ver Nachlass zur Theorie Des Arithmetisch–Geometrischen Mittels undder Modulfunktion, übersetzt und herausgegeben von Dr. Harald Geppert,por Carl Gauss (Leipzig: Ostwaldt’s Klassiker der ExaktenWissenschaften, Akademische Verlagsgesellschaft M.B.H. 1927); y“Gauss’s Arithmetic–Geometric Mean: A Matter of Precise Ambiguity”(La media aritmético–geométrica de Gauss: Una cuestión de ambigüedadexacta), en la entrega 66 de Riemann a contraprueba de tontos, por BruceDirector (www.wlym.com).

FIGURA 11

El principio de Dirichlet


Esta característica la manifiesta el hecho de que la curvaturamedia de una superficie mínima es constante en todas partes.Riemann mostró que los mapas de Gauss de superficiesmínimas son conformes con la superficie original (ver figura12). Como sus superficies se generaban de funcionescomplejas, reflejando las características armónicas de lasfunciones de potencial físico de Gauss y Dirichlet, tambiéntienen la característica de que implican un mapa de Gausscorrespondiente.

Pero una penetración aun más profunda sale a relucircuando ahondamos en la conexión topológica entre lassuperficies de Riemann y los mapas de Gauss. Comienza estainvestigación echando un vistazo a la curvatura de superficiessimplemente conectadas. Como vimos antes, las partes deestas superficies que son más curvas generarán áreas másgrandes sobre el mapa de Gauss, y las que son menos curvas,áreas más pequeñas (ver figura 13). Pero, aunque la curvaturapuede variar mucho de un lugar a otro sobre la superficie, lacurvatura total de la superficie, o sea, el mapa de Gauss de toda

la superficie, ¡será la misma para cadasuperficie simplemente conectada!

Esto parecería llevar a una conclusióndevastadora, si nos apegáramos a la ideade que la forma del universo essimplemente esférica, pues en tal caso lacurvatura total del universo sería fija. Así,la curvatura local podría cambiar, perosemejantes cambios no podrían afectar lacurvatura general del universo mismo.Esta idea corresponde al dogmaaristotélico de que, aunque el cambiopuede ocurrir en lo pequeño, en el plangeneral del universo ningún cambiofundamental es posible. Esta visión. porsupuesto, la contradicen las pruebasexperimentales de la ciencia física y lahistoria del hombre, cuyos descu-brimientos y aplicaciones de principiosuniversales han traído cambios que sólopueden expresarse como un cambio en lacurvatura total del universo.

Pero, por fortuna, como demostróRiemann, nuestra mente no se limita amultiplicidades simplemente conectadas.Fundados en sus descubrimientos,podemos formar un concepto más propiode la naturaleza antientrópica deluniverso real: una sucesión de multi-plicidades de conectividad crecienteasociada con un cambio en aumento dela curvatura total de la multiplicidad.

Ahora observa el mapa de Gauss parael toro como un ejemplo de unamultiplicidad doblemente extendida. El

exterior del toro tiene una curvatura positiva, y el interior,negativa. Los círculos que conforman el límite de las dosregiones tienen curvatura cero. Así, la curvatura del toro esmás compleja que una superficie simplemente conectada. Estoqueda claro con los mapas de Gauss. El exterior del toro seproyecta como una esfera entera, y el interior también, sóloque en la dirección contraria (ver figura 14). Los círculoslímite se proyectan como los polos. De este modo, ¡el mapa deGauss del toro es en sí mismo una superficie de Riemann conuna curvatura total de cero!

Esto nos da un mejor concepto de curvatura cero que la ideade lo plano. En vez de pensar en la medición de la curvaturacero como el plano euclidiano, podemos concebirla como elefecto total de una multiplicidad con cantidades iguales decurvatura positiva y negativa. La curvatura local en talmultiplicidad puede ser negativa o positiva, como es posibletambién para una superficie simplemente conectada. Pero elsignificado de la curvatura local en cada multiplicidad estotalmente diferente.

FIGURA 12

Mapas conformes de Gauss

FIGURA 13

Mapas de área de Gauss


De esta comparación de una superficie simplementeconectada con una curvatura total igual a una superficieesférica, y del toro con una curvatura total de cero, parecieraque no vamos en dirección a un concepto de un universo conla posibilidad de tener una curvatura siempre cambiante. Peroesta apariencia se remedia cuando vemos los mapas de Gausspara una multiplicidad triplemente conectada, asociada con lasiguiente especie superior de trascendental, la hiperelíptica(ver figura 15). Semejante multiplicidad tiene una región concurvatura positiva y dos con negativa. Así, el mapa de Gaussserá una superficie esférica positiva y dos negativas, para unacurvatura neta total de superficie esférica de �1. Si pensamosahora en la multiplicidad entera de las superficies de Riemann,vemos una multiplicidad de multiplicidades de crecientedensidad de singularidades, y con una curvatura total discon-tinuamente más negativa cada vez. Tales discontinuidadesentre los cambios en la curvatura total también corresponden aun cambio que resulta de introducir un principio del todonuevo que actúa sobre la multiplicidad. Dicho cambio produceotro correspondiente en la cuantificación de la multiplicidad.Esta idea, en combinación con la de Riemann de las magni-tudes extendidas en n dimensiones, los tensores, es el concepto

básico necesario para abordar unainvestigación de la economía física.

Sin embargo, eso requiere desarrollaruna forma aun superior de tensor.

Los tensores riemannianos en laeconomía: un enfoque preliminar

Con todo lo antes visto en mente,puede intentarse un esbozo de un enfoquepreliminar para la construcción demagnitudes como de tensor de corteriemanniano, que sean adecuados paraexpresar procesos físico–económicos. Losprincipios que fundamentan esto los ha

desarrollado LaRouche con amplitud en diversas instancias, lamás pertinente de ellas su “Dinámica y economía” (Resumenejecutivo de la 1a quincena de septiembre de 2006).

Tales magnitudes múltiplemente extendidas han deexpresar la interrelación de los principios abióticos, bióticos ycognoscitivos como una dinámica de la interacción socialentre seres humanos, que en sí misma está actuando sobre losdominios abiótico, biótico y cognoscitivo. Esta dinámica nopuede tratarse como una interacción fija o siquiera alineal, sinocomo una dinámica que está, ella misma, cambiando debido ala acción voluntaria de los poderes creativos del hombre. Deeste modo, la multiplicidad físico–económica de acción ha deconsiderarse como la multiplicidad del potencial creciente deproducir ideas.

En tanto tal, ninguna forma de una serie o matriz dedatos y funciones (incluso las alineales en lo algebraico), talescomo las que indica el tratamiento matemático formal delos tensores, es adecuada. Más bien, estas cantidadesfísico–económicas estilo tensor las expresa mejor la forma deanimaciones que especifica LaRouche.

Por ejemplo, el principio de la gravitación universal nopuede expresarse como una serie de relaciones matemáticas, ni

FIGURA 14

Mapa de Gauss de doble capa

TORO

ESFERA

FIGURA 15

Trascendental hiperelíptica


en la forma que los libros científicos modernos presentancomo las “leyes de Kepler”, ni, con más falsedad, como unaconsecuencia de la forma degenerada de la formulación deNewton del inverso del cuadrado. Cualquier expresión verazdel principio de gravitación universal tiene que presentarsecomo un descubrimiento que actúa para cambiar la dinámicadel universo. Lo que debe tomarse en cuenta, es que lagravitación actuaba como un principio físico en y sobre eluniverso desde antes de que Kepler la descubriera y elaborara.Pero, con el descubrimiento de Kepler y su propagación a lolargo de generaciones sucesivas, el poder del principio de lagravitación cambió, porque ahora podía actuar sobre eluniverso desde el dominio de poder superior de la interaccióncognoscitiva humana que, en retrospectiva, redefine elprincipio de la gravitación universal sin descubrirlo comodepositario del potencial no concretado de producir el efectointencional de su descubrimiento.

Esta clase de cambio debe expresarse en las nuevasmagnitudes como de tensor, al modo de un cambiodiscontinuo en la curvatura característica total de lamultiplicidad de la economía física, de la variedad asociadacon el tratamiento que Riemann le da a semejante cambio depoder con respecto a las trascendentales abelianas.

Dicho cambio en la curvatura total está asociado con unoen la curvatura infinitesimal o local de la multiplicidad de losprocesos físico–económicos. Establecer una noción de curva-tura local exige un rechazo completo y total de cualquiernoción estilo euclidiano de tiempo absoluto. Hechos muyseparados por una medida de tiempo son, no obstante, simul-táneos con respecto a otra. Por ejemplo, al conflicto de laantigua Atenas entre Sócrates y los sofistas lo separan de losacontecimientos actuales más de dos mil revoluciones de laTierra alrededor del Sol. Sin embargo, los efectos de esossucesos actúan hoy en el universo con tanta eficiencia comoentonces. De modo parecido, los actos intencionales aún porocurrir, tal como el establecimiento exitoso de una coloniahumana en Marte, tiene un efecto inmediato en el comporta-miento de la actividad humana en la Tierra hoy. Por consi-guiente, un concepto de curvatura físico–económica local debeconsiderar, de manera simultánea, que los actos tienen tantouna amplia separación como una virtual instantaneidad.32

La función antes señalada de la cognición humana en eldesarrollo del universo la expresa el poder creciente delhombre en y sobre los dominios abiótico, biótico ycognoscitivo mediante el progreso en la ciencia y el arte. Así,el desarrollo del universo entero es el efecto del potencial cadavez mayor de los poderes creativos del hombre. Enconsecuencia, el progreso físico–económico puede expresarsepor dicho potencial creciente para generar ideas creativas.

Sin embargo, tales ideas no se generan en todo el universo,sino por su relación dinámica con los poderes creativos volun-tarios soberanos de la mente humana individual. Esta “acciónlocal” afecta y es afectada por el potencial creativo total de lahumanidad y, en potencia, del universo entero. Desde laperspectiva de la economía física, esto lo expresa la relaciónfísico–económica entre el hogar y la economía en su conjunto.

La actividad físico–económica primordial de un hogar es sucapacidad de producir, el potencial para producir ideascreativas entre los miembros de dicho hogar. Ese potencial esuna función de las condiciones físico–económicas; porejemplo, la infraestructura física (tal como el agua, la energíay el transporte), el nivel tecnológico y la infraestructura social(tal como la educación, la cultura y la salud) disponibles paralos miembros de ese hogar, por la acción de principiosuniversales que actúan en este momento “local” desde todo elespacio–tiempo.

De esta manera, la cantidad como de tensor asociada con lamedición de la curvatura físico–económica local ha deexpresar la intersección, en un punto en la multiplicidadfísico–económica, de las curvaturas de los principios físicos yculturales que interactúan de forma dinámica desde latotalidad del tiempo, y que afectan y son afectadas por lospoderes creativos de los individuos de ese hogar.

Parecería que esta cantidad como de tensor contienetantos componentes que su forma real es prácticamenteimposible de expresar. Sin embargo, esto es verdad sólo siprocuramos una expresión matemática formal. Tanto Gausscomo Riemann demostraron que sus funciones de curvaturapodían cobrar formas en extremo complicadas cuando seexpresaban en fórmulas. Por ende, buscaron y encontraronmedios para expresar las características esenciales en unropaje físico–geométrico. Los medios equivalentes para estascantidades físico–económicas como de tensor son lasanimaciones físico–económicas diseñadas por LaRouche.

Además de la curvatura, las relaciones métricas de laeconomía física también pueden expresarse mediantemagnitudes como de tensor. Esto también se ilustra mejor conun ejemplo.

Fíjate en el nivel de transporte de que disponen los hogares,lo cual define cierta relación métrica entre los hogares y laeconomía como un todo, expresado como una geodésica en elespacio–tiempo físico–económico. Esto puede expresarse, enprincipio, por la relación entre las diferentes formas detransporte acuático, ferroviario, de caminos, aéreo, pedestre,ciclista, etc., a las que puede acceder ese hogar, lo cual defineuna trayectoria de acción mínima para dicha relación. Pero laimportancia económica de estas formas de transporte esrelativa a su relación con la organización de toda la economía.

Para expresar esto, uno tiene que observar, como sugirióLaRouche en su “Rebuilding the U.S.A.: Travel AmongCities” (Reconstruyamos a EUA: El tráfico interurbano) del15 de diciembre de 2005 (ver EIR del 30 de diciembre de2005), el desarrollo del transporte de Norteamérica, desde

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32. El paradigma para semejante noción de tiempo es la idea de Kepler sobreéste con respecto a las órbitas planetarias. La acción planetaria encualquier instante sólo se conoce como su relación con la órbita entera. Elprincipio de Kepler de las áreas iguales expresa esta noción de tiempo.


principios del siglo 17 en adelante. La geografía física deNorteamérica a principios del siglo 17 puede caracterizarsepor cierto nivel de conectividad asociado con las bahías,estuarios y sistemas hídricos de la costa este, la cordillera delos Apalaches, los Grandes Lagos, y los sistemas hídricos Ohioy Misisipí–Misurí. Este nivel de conectividad es resultado dela acción biogeológica, desde comienzos de la últimaglaciación.

Esta geografía físico–económica entraña una conectividadcontinental potencial que sólo puede realizarse porintervención del hombre. La realización de dicho potencialempezó con la construcción de sistemas hidráulicos y decaminos en las regiones orientales, seguida por los primerosintentos por construir los sistemas que conectaran la regióncostera con el interior, y todos los sistemas hídricos de losvalles de los ríos Ohio y Misisipí, y con los Grandes Lagos.

La posibilidad de hacerlo dependía de la aplicación delos poderes creativos del hombre a la transformación de laactividad biogeológica, como lo ejemplifica la construcciónde las fundidoras de hierro de Saugus en la Colonia de laBahía de Massachussets en el siglo 17. Estas instalacionesmanufactureras integradas usaron el agua y la capacidadbiológica de la región para transformar el mineral de hierroen herramientas, clavos y otros productos útiles. Lacreación y aplicación de tales productos “abióticos” de laacción biológica y cognoscitiva transformó las carac-terísticas biogeológicas de la zona. Esta transformación fueresultado y parte integral del proceso que generó unanueva organización del hombre: la república estado-unidense, que hizo posible y necesario un aumento de laconectividad físico–económica del continente. Este incre-mento de la conectividad, que se efectuó por medio de estainteracción entre procesos abióticos, bióticos y

cognoscitivos, produjo un aumentocorrespondiente en el potencial de elevar laconectividad físico–económica.

La introducción del ferrocarril alteró estepotencial de manera drástica, no como unsustituto de las hidrovías y caminos, sinocomo una transformación de su relación conuna forma superior de conectividadfísico–económica. La culminación subsiguientedel ferrocarril transcontinental y el desarrollo deun sistema continental de autopistas y transporteaéreo, intensificaron aun más la actividadfísico–económica. Esta conectividad mayor ha deverse a la luz de los aumentos correspondientesen la generación de energía, la locomoción, etc.

Más aun, esta conectividad acrecentada debeverse también con respecto a la intención de lacual es efecto. Por ejemplo, el desarrollo delsistema de autopistas interestatales comosuplemento de un sistema nacional de transporteferroviario, acuático y aéreo, al unir los

pequeños, medianos y grandes centros agroindustrialesconcentrados que creó la movilización económica delpresidente Franklin D. Roosevelt a mediados del siglo pasado,define cierto aumento cualitativo de la conectividadeconómica. Pero, como elemento auxiliar en un aumentosúbito de los valores inmobiliarios, deviene en lo que se haconvertido: un virtual estacionamiento de costa a costa, en elque la mayoría de los estadounidenses desperdicia miles demillones de horas–hombre al día, disminuyendo así laconectividad físico–económica del continente.

Es más, al considerar este sistema continental de transportecomo parte de una red global cuyo efecto intencional esaumentar la conectividad físico–económica de la humanidadpara el desarrollo de los continentes de la Tierra, e integrarlo ala creación de un sistema de transporte que enlace estas partesde la Tierra con el espacio cercano, la Luna, Marte y más allá,se concreta una calidad de conectividad físico–económica aunmayor, con el efecto correspondiente sobre el potencialfísico–económico de los miembros individuales de la sociedadpara producir ideas creativas.

Estos cambios se reflejan como un cambio correspondienteen las relaciones métricas del espacio y el tiempofísico–económicos, que se manifiesta mediante un cambio enlas geodésicas que expresan las trayectorias de acción mínimaen la economía física. Este cambio define la clase decaracterísticas que ha de expresarse con un tensor métrico delespacio–tiempo físico–económico.

Los únicos medios apropiados para expresar semejantesrelaciones son magnitudes como de tensor que sustituyen a lostensores de la variedad riemanniana, cuyo desarrollo, con lasimplicaciones correspondientes para las ciencias física ybiológica, se ubican a la vanguardia de la ciencia hoy.

—Traducción de Manuel Hidalgo Tupia.

Miembros del Movimiento de Juventudes Larouchistas exploran las leyes de Keplerdel movimiento planetario en una escuela de cuadros en Washington, D.C. (Foto:Adam Sturman/EIRNS).

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