la géométrie tropicale présentée par
DESCRIPTION
La géométrie tropicale présentée par. Le lycée Saint-Louis de Stockholm. Le lycée d'Altitude de Briançon. Le collège Fontreyne de Gap. On définit deux nouvelles opérations : a Å b = min{a;b} a Ä b = a+b. Par exemple :. Les propriétés des opérations tropicales. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
La géométrie tropicaleprésentée par
Le lycée d'Altitude de Briançon
Le lycée Saint-Louis de Stockholm
Le collège Fontreyne de Gap
On définit deux nouvelles opérations :
a b = min{a;b} a b = a+b
Par exemple :
Les propriétés des Les propriétés des opérations tropicalesopérations tropicales
II/ Les éléments neutres/ Les éléments neutres
Exemple : a×1=a
Pour la multiplication tropicale,
a b = a+b
II/ Les éléments neutres/ Les éléments neutres
Pour l'addition tropicale,
a b = min{a;b}
IIII/ La multiplication tropicale/ La multiplication tropicale
a b = a+b
On peut changer l'ordre des facteurs d'un produit.
Pour calculer un produit de plusieurs facteurs, on peut placer des parenthèses où on veut.
IIIIII/ L'addition tropicale/ L'addition tropicale
a b = min{a;b}
On peut changer l'ordre des termes d'une somme.
a b =b a
Pour calculer une somme de plusieurs termes, on peut placer des parenthèses où l'on veut.
(a b) c = a b c)
IVIV/ La division tropicale/ La division tropicale La division tropicale correspond à la soustraction que l'on connaît.
On ne peut pas changer l'ordre des nombres dans une division.
S'il y a plusieurs divisions successives, on ne peut pas mettre des parenthèses où l'on veut.
VV/ La soustraction tropicale/ La soustraction tropicale
La soustraction tropicale n'existe pas.
VII/ Les fractions tropicalesVII/ Les fractions tropicales
ab = a+b
VIII ) Les carrés et les identités remarquables de la géométrie tropicale
Nous prendrons d’abord le carré tropical : x ’²’
x’²’ = x x ⊗ x’²’ = x + x = 2x
Exemple : 4’²’ = 4 4 ⊗ 4’²’ = 4 + 4 = 8
A partir de ces résultats, on peut établir une règle générale:
PROPRIETE : soit n un entier naturel
x ’n’ = x x … = x + x … = nx⊗
n fois n fois
VIII ) Les identités remarquables de la géométrie tropicale
Voyons l’identité remarquable (a+b)²
(a b)’²’ = min {a ; b} min ⊗ {a ; b} = min {a ; b} + min {a ; b} = 2 x min {a ; b}
A partir de ces résultats, on peut établir une règle générale:
PROPRIETE : soit n un entier naturel
(a b)’n’ = an bn
VIII ) Les racines n- ièmesOn sait que : x '^' 2 = 2 × x
VIII ) Les racines n- ièmes Si on prend un entier naturel n : on a 'RACINEn'( x '^' n ) = x. Donc 'RACINEn'(x) = x / n.
Représentations graphiques : 1er et 2nd degré
1er degré – Représentation graphique Cas général : y = (ax) b
Droite en deux morceauxÉquivalent à y = min { a + x ; b }
Morceau constant
Morceau croissant
Point De Cassage
1er degré - Partie Croissante
Le morceau croissant correspond à la partie de l’équation y = a + x tant que x ≤ b-a
La droite a un coefficient directeur de 1
1er degré - Point de Cassage
Le point de cassage est le point où la fonction devient constante
On peut déterminer les coordonnées de ce point. En effet, son abscisse est solution de l’équation a+x=b. Or a+x=b x = b-a.On en déduit donc les coordonnées de ce point : (b – a ; b).
1er degré - Partie Constante
La fonction est constante
1er degré – Aspect algébriqueOn peut déterminer les solutions de l’équation : y = axb qui équivaut à y = min{a+x ; b}
Le résultat sera a+x si a+x < b pour x Є ] -∞ ; b-a[
Le résultat sera b si a+x > b pour x Є [ b-a ; +∞[
(b - a ; b)(b - a ; b)= (3 – 2 ; 3)= (3 – 2 ; 3) = (1 ; 3)= (1 ; 3)
Exemple : (2 x) 3
2nd degré - Les 2 sortes de droitesPour le 2nd degré, il existe deux sortes de
courbes : une en deux morceaux et une en trois morceaux.
Nous avons cherché à savoir quand nous avions deux morceaux et quand nous en avions trois.
Nous avons donc décomposé une équation du type y = (ax²)(bx) c en trois parties : ax² ; bx et c.
2nd degré – Exemple 1 : y = (3x²)(5x) 10
2 Points de Cassage,
Il y a trois morceaux
2nd degré – Exemple 2 : y = (3x²)(5x) 7
1 Point de Cassage,
Il y a un deux morceaux
2nd degré – Nombres de morceauxNous avons trouvé que lorsque les deux
premières droites se coupent en un point dont l’ordonnée est supérieure ou égale à b il y aura 2 morceaux , sinon il y aura trois morceaux.
2 morceaux 3 morceaux
L’ordonnée L’ordonnée est inférieure est inférieure à bà b
L’ordonnée L’ordonnée est supérieure est supérieure ou égale à bou égale à b
2nd degré – Représentation graphique Cas général : y = (ax2)(bx) c
Droite en 3 parties
Équivalent à y = min ( a+2x ; b+x ; c )
PartieConstante
Point de Cassage 2
Point de Cassage 1
Partie croissante 1 Partie croissante 2
2nd degré –Partie croissante 1
Correspond à la partie de l’équation y = a+2x tant que x>b-a
Son coefficient directeur est 2
2nd degré – Point de Cassage 1
Ses coordonnées sont ( c-a ; b-a)
2nd degré – Partie croissante 2
Correspond à la partie de l’équation b+x tant que b-a<x<c-b
Son coefficient directeur est 1
2nd degré – Point de Cassage 2
Ses coordonnées sont (c - b; b)
2nd degré – Droite constante
La fonction est constante
Loi générale sur les polynômesSi on a le polynôme tropical : P(x)= (an xn) (an-1 xn-1) … (a1 x) a0
Il équivaut à : P(x) = min {an + nx ; an-1 + (n-1)x ; … ; a1 + x; a0}
Graphiquement, on obtient unesuccession de droites avec des pentes décroissantes de n à 0.
Premier problème de géométrieSoit une droite d et un point A extérieur à la
droite d. Peut-on tracer une droite parallèle à d passant par A ?
Deuxième problèmeSi on prend deux points du plan. Peut-on
tracer une droite passant par ces deux points ?
Si le point B est dans une zone verte, il n'existe pas de droite (tropicale) passant par A et B
Si le point B est sur une des droites bleues, il existe une infinité de droites (tropicales) passant par A et B
Si le point B est dans une zone jaune, il existe une droite (tropicale) passant par A et B