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La Geometria

L'universo non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, né quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. (da “Il Saggiatore“ di G.Galilei)

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GEO - METRIA

in Egitto per scopi pratici misurazioni e costruzioni

in Grecia per dimostrare proprietà e relazioni tra le figure

nell’antica Roma per la gestione e amministrazione del grande impero

Nell’ epoca modernaepoca moderna la geometria non si occupa solo della misura , ma anche dello studio delle forme e delle loro proprietà e delle loro relazioni.

terraterra misuramisura

La nascita della geometria si pensa risalga a molto tempo fa nell’antico Egitto per l’esigenza di rimisurare i terreni inondati dalle piene del Nilo

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I MODELLINelle applicazioni scientifiche per studiare oggetti e fenomeni , si fa spesso ricorso ai MODELLI.

Il MODELLO non è l’oggetto, ma è la riproduzione o la rappresentazione di un oggetto o di una struttura che mantiene solo alcune delle sue caratteristiche :

il COLORE

il MATERIALE

le DIMENSIONI

la FORMA

il FUNZIONAMENTO ecc

Noi lavoreremo con i

modelli degli enti geometrici

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La geometria EUCLIDEAEuclide di Alessandria ( 300 circa a.C.) è il padre della geometria che ancora oggi studiamo. Si narra che un discepolo , dopo aver imparato le prime regole , chiese ad Euclide: “Maestro, cosa guadagnerò imparando queste cose?” ; Euclide chiamò un servo e gli diede ordine di dare qualche moneta al malcapitato, visto che voleva trarre guadagno da ciò che studiava, dopodichè lo cacciò dalla sua scuola.

Gli enti primari (Euclide li chiama elementi) sono i MATTONI della geometria e non si definiscono.

ente caratteristica simbolo modello

punto Talmente piccolo, da non avere dimensioni

P maiuscola P

retta Infiniti punti allineati, non ha inizio, non ha fine

r,s minuscola

piano Infinite rette accostate , infinita larghezza, infinita lunghezza

α,β lettere greche

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GEOMETRIE non euclideeMolto tempo dopo Euclide, diversi matematici si dedicarono a costruire geometrie che partivano da “mattoni” diversi da quelli di Euclide..

Quello che arrivò a risultati interessanti fu Riemann (Breselenz, 17 settembre 1826 – Selasca, 20 luglio 1866). Bernhard da bambino era calmo e molto timido e amava risolvere i puzzle.

Girolamo Saccheri (Sanremo, 5 settembre 1667 – Milano, 25 ottobre 1733) fu uno dei primi a lavorare sull’opera di Euclide; entrò diciottenne nell'ordine della Compagnia di Gesù a Genova, e venne ordinato sacerdote a Como nel 1694. Era un valente giocatore di scacchi: era in grado di giocare contemporaneamente tre partite .

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Il modello di Riemann•Il piano è costituito da una superficie chiusa ( per comodità potremmo pensare ad una superficie sferica)

•I punti sono i punti su di essa

•Le rette per due punti sono i cerchi massimi passanti per essi

Così … in questo modello non esistono rette parallele.

Si definisce geodetica la linea di minima distanza tra due punti la geodetica, cioè l'arco minore di circonferenza che passa per i due punti

Il triangolo AMN risulta avere tre angoli retti!!!! Impossibile disegnarne uno simile sul foglio!…

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ente caratteristica simbolo modello

semiretta Una delle due parti in cui una retta è suddivisa da un punto (l’ORIGINE). Ha inizio, ma non ha fine

r,s minuscola

Osegmento Parte di retta compresa

tra due punti: gli ESTREMI AB

A B

punto medio

Punto che divide a metà un segmento M

A M B

asse di AB

Retta che passa per il punto medio di un segmento e forma con esso 4 angoli uguali

a A B

altri enti geometrici

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Coppie di segmenti

INCIDENTI: con un punto O in comune

CONSECUTIVI: con un estremo B in comune

ADIACENTI: con un estremo in comune e appartenenti alla stessa retta

O

A

B

C

A B C

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GLI ANGOLISe partendo da O tracciamo due semirette il piano è diviso in due parti;

ogni parte del piano si chiama angolo.

O si chiama VERTICE OA e OB si chiamano lati

La parte indicata in rosso si chiama convesso ; la parte che contiene i prolungamenti delle semirette si chiama concavo

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altre definizioni di angolo Secondo EUCLIDE :

“Un angolo piano è l' inclinazione mutua di due linee rette intersecantesi in un piano“ (dal I libro di Euclide)

Secondo una visione più DINAMICA :

“Un angolo immaginarlo come la rotazione che porta un lato a sovrapporsi all’altro “

O

B

A

O… così l’angolo PIU’ GRANDE che può esistere è l’angolo che compie il giro completo : ANGOLO GIRO

Rappresentazione e descrizione di un angolo

O A

B

α

Un angolo può essere descritto in diversi modi:

1) Usando le lettere dell’alfabeto greco: α , β , γ ..

2) Usando la lettera che indica il vertice con un cappuccio: O

3) Usando le lettere del vertice e dei lati; in questo modo dovrò anche seguire un verso prestabilito :

+ antiorario come POSITIVO - orario come NEGATIVO

AOB

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AMPIEZZA DI UN ANGOLO

L’ampiezza è la grandezza di un angolo legata alla inclinazione dei suoi lati.

L’ampiezza si misura in GRADI simbolo: 1 grado = 1 °

La misura degli angoli nasce con la misura del tempo e il tempo fa riferimento ai movimenti nel cielo. La terra impiega 365 giorni per fare il giro completo attorno al sole. Così i Babilonesi dividono l’angolo giro in 360 parti ,

in 360 gradi = 360°

(365 non sarebbe stato un numero comodo !!)

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Tipi di angoliAngolo giro : 360°= 0° Angolo piatto : 180° Angolo retto : 90°

Angolo acuto : < 90° Angolo ottuso : 90°< <180°

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Coppie di angoliAngoli consecutivi: con un lato e il vertice in comune

Angoli adiacenti: con un lato comune e gli altri due allineati

Angoli complementari: la loro somma è 90°

Angoli supplementari: al loro somma è 180°

Angoli opposti al vertice: a coppie uguali

Operazioni con gli angoliIl grado, unità di misura per l’angolo, è chiamato sessaggesimale

perché i suoi sottomultipli, si ottengono dividendo per 60

1° un

grado 1’ un primo

:601” un secondo

:60

X60 X60

quindi

1° = 60 ‘ (1 grado = 60 primi) e 1’ = 60 “ (1 grado = 60 primi)

Un angolo acuto può misurare: 52° 34’ 48”

52 gradi 34 primi 48 secondi

Somma di angoli

incolonniamo e riflettiamo sui riporti gradi primi secondi

45° 32’ 40” +80° 65’ 42” =======================125° 97’ 82”

45° 32’ 40” + 80° 65’ 42” =

60” +22”

125° 98‘ 22”

60’ +38’

126° 38’ 22”

1’

1°

Differenza di angoli

incolonniamo e riflettiamo sui riporti gradi primi secondi

95° 82’ 30” -

80° 65’ 42” = ===============================

95° 82’ 30” - 80° 65’ 42” =

60” +30”

95° 81‘ 90” –80° 65’ 42” =

===========================

15° 16’ 52”

1’