la fórmula de feynman kac: entre el azar, el determinismo y la física

El movimiento Browniano y la ecuacion del calorIntegral estocasticas

Diferenciales estocasticasTiempos de paro

Formulas probabilisticas para soluciones de EDP

La Formula de Feynman KacEntre el azar, el determinismo y la fısica

Juliho David Castillo Colmenares

Escuela de Ciencias, UABJO

Juliho David Castillo Colmenares La Formula de Feynman Kac




En el siglo XIX, Robert Brown observo el movimiento irregular de lasparticulas de polen en el agua, observando que

El camino de un particula dada es irregular, sin tangente en puntoalguno.

El movimiento de dos particulas distintas, aparentemente, sonindependientes.

A un movimiento tal se le conoce como movimiento Browniano, en honorde R. Brown.





Para la ecuacion del calor∂u

∂τ= D∆u, (1.1)

la solucion fundamental K , llamada nucleo del calor, esta dado por

K (x , x0; τ − τ0) =

(4πD(τ − τ0))−1/2e−(x−x0)2/4D(τ−τ0), τ − τ0 > 0,

δ(x − x0), τ − τ0 = 0.

(1.2)Revisaremos la relacion entre el movimiento Browniano y la ecuacion delcalor, descubierta por A. Einstein.





Aproximaremos el movimiento de una partıcula Browniana por unsalto de longitud ∆x durante un tiempo discreto ∆τ.

Damos una probabilidad p = 1/2 al evento de que el salto sea paraadelante (y q = 1/2 que el salto sea para atras), lo cual se conocecomo paseo aleatorio unidimiensional.

Los saltos sucesivos se consideran eventos independientes, ydenotaremos por Xj el salto en el tiempo j∆τ. Entonces, Xjni=1 esuna familia de variables aleatorias intependientes, con mediaE (Xj) = 0 y varianza V (Xj) = (∆x)2.





Si D(n) denota el desplazamiento en el tiempo n∆τ, su distribucion deprobabilidad esta dada por

P(D(n) = j∆x) =n!

((j + n)/2)!((n − j)/2)!

1

2n=

(n

(j + n)/2

)1

2n

para j + n par y cero en otro caso, ya que el numero n+ para saltos paraadelante (n−, si son para atras) satisface n+ − n− = j , n+ + n− = n, esdecir, n+ = (j + n)/2.





Definimos el desplazamiento en el tiempo τ ∈ R por una interpolacionente lineal entre el desplazamiento entre [τ/∆τ ] y [τ/∆τ ] + 1. Entonces,el desplazamiento cuadratico medio esta dado por

〈Dn(τ)2〉 := (∆x)2n, Dn(τ) =n∑

j=1

Xj , n = [τ/∆τ ].

Observacion

(∆x)2/∆τ debe converger a limite diferente de cero, digamos α, y deesta manera tenemos ∆x ≈ α

√(∆τ.)





La distribucion de probabilidad de una desplazamiento Dn(τ) en eltiempo τ = n∆τ es el mismo que la suma normalizada

Sn(τ) ≡ 1√n

n∑j=1

Yj

,

donde Yj ≡√

nXj son variables aleatorias identicamente distribuidas conmedia cero y varianza nα2∆τ = α2τ.





Observacion

Por el teorema del lımite central, la distribucion de probabilidad de Sn(τ),converge debilmente a una distribucion Gaussiana

ρ(x , τ) = (2α2τπ)−1/2e−x2/2α2τ .

cuando n→∞, es decir, cuando ∆x ,∆τ → 0.

Esta distribucion es elpropagador para la ecuacion del calor (o de difusion), con constante dedifusion D = α2/2, el cual puede ser interpretado como la probabilidadde una particula con una caminata aleatoria e inicialmente en ceroeste en x en el tiempo τ.





Observacion

Por el teorema del lımite central, la distribucion de probabilidad de Sn(τ),converge debilmente a una distribucion Gaussiana

ρ(x , τ) = (2α2τπ)−1/2e−x2/2α2τ .

cuando n→∞, es decir, cuando ∆x ,∆τ → 0. Esta distribucion es elpropagador para la ecuacion del calor (o de difusion), con constante dedifusion D = α2/2, el cual puede ser interpretado como la probabilidadde una particula con una caminata aleatoria e inicialmente en ceroeste en x en el tiempo τ.





Definicion

1 Una coleccion X (t)|t ≥ 0 de variables aleatorias es llamadaproceso estocastico

2 Para cada punto ω ∈ Ω, el mapeo t 7→ X (t, ω) es la correspondientetrayectoria de muestra.





Definicion

Un proceso estocastico real valuado W (·) se dice movimiento Brownianoo proceso de Wiener si

1 W (0) = 0 a.s.

2 W (t)−W (s) es N(0, t − s) para toda t ≥ s ≥ 0,

3 Para todos los tiempos 0 < t1 < t2 < ... < tn, las variables aleatoriasW (t1),W (t2)−W (t1), ...,W (tn)−W (tn−1) son independientes, esdecir, incrementos independientes.

Observacion

E (W (t)) = 0,E (W 2(t)) = t para t ≥ 0.





Teorema

Sea (Ω,U ,P), un espacio de probabilidad, en el que una cantidadnumerable de variables aleatorias independientes, N(0,1) estan definidas.Entonces existe un movimiento Browniano unidimensional, definido paraω ∈ Ω, t ≥ 0.

Cualquier proceso de Wiener tiene un version con trayectorias demuestreo continuas c.t.p.

Las trayectorias de muestreo son no diferenciables c.t.p.





Observacion

Como las trayectorias de muestra son continuas c.t.p., podemos definir lavariable aleatoria Y : Ωρ(R,)

Y (ω) =

∫t≥0

W (t, ω)dt,

donde la integras es de Riemman.





Consideremos x(t), t ≥ 0 diferenciable. Por la regla de la cadena,tenemos que ∫ b

a

f (x)dx =

∫ t2

t1

f (x(t))x(t)dt,

para x(t1) = a, x(t2) = a.

Pregunta

Usando esta idea ¿Podrıamos definir la siguiente integral?∫f (W )dW =

∫ t2

t1f (W (t))W (t)dt

Respuesta

No, porque W (t) tiene trayectorias de muestreo no diferenciables c .t.p.

Pregunta

Entonces, ¿Como podemos definir∫

f (W )dW de manera quegeneralice nuestro concepto de integral?





Consideremos t0, t1, ..., tn una particion del intevalo [t0, t1] y

x(t) =

x0 t0 ≤ t < t1

x1 t1 ≤ t < t2

...

xn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn,

de manera que x0 < ... < xn.Entonces ∫ b

a

F (x)dx =n−1∑i=0

Fi [xi+1 − xi ]

=n−1∑i=0

Fi [x(ti+1)− x(ti )],

donde Fi = F (xi ).





Ahora, para 0 = t0, t1, ..., tn = T una particion del intevalo [t0, t1],consideremos el siguiente proceso por pasos

G (t) =

G0 t0 ≤ t < t1

G1 t1 ≤ t < t2

...

Gn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn.

Utilizando la idea anterior, tenemos la siguiente

Definicion ∫ T

0

GdW =n−1∑i=1

Gi [W (ti+1)−W ti ].





Observacion

Recordemos que W (ti+1)−W (ti ) es una variable aleatoria y por tanto∫ T

0GdW es una variable aletoria.

Lema (Propiedades de la integral estocastica para un proceso por pasos)

Para todo a, b ∈ R, G ,H ∈ L2(0,T ) procesos por pasos, se tiene que

1∫ T

0aG + bH dW = a

∫ T

0G dW + b

∫ T

0H dW ,

2 E(∫ T

0G dW

)= 0,

3 E

((∫ T

0G dW

)2)

= E(∫ T

0G 2 dt

).





Pregunta

¿Podemos definir∫

GdW para un clase mas amplia de procesosestocasticos?

Respuesta

Sı. De hecho, podemos definirlos para un tipo de procesos que se llamanprogresivamente medibles.

Observacion

Sin embargo, es un poco complicado definir este concepto, y mas si no seesta familiarizado con teorıa de la medida.





Definicion

L2(0,T ) es el espacio de todos procesos estocasticos progresivamentemedibles, real-valuados G tales que

E

(∫ T

0

G 2dt

)<∞.





Lema (Aproximacion por procesos por pasos)

Si G ∈ L2(0,T ), entonces existe una sucesion de procesos por pasos,acotados G n ∈ L2(0,T ), tal que

E

(∫ T

0

|G − G n|2 dt

)→ 0 si n→∞.





Esbozo de la demostracion.

Si t 7→ G (t, ω) es continuo para casi toda ω, podemos hacer

G n(t) := G (k

n),

k

n≤ t <

k + 1

n, k = 0, ..., [nT ].

En general, para G ∈ L2(0,T ), definimos

Gm(t) :=

∫ t

0

mem(s−t)G (s)ds.

Entonces, Gm ∈ L2(0,T ), t 7→ Gm(t, ω) es continua para casi toda ω y∫ T

0

|Gm − G |2dt → 0c.s..





Definicion

Si G ∈ L2(0,T ), tomamos una sucesion G n, como en el lema anterior.Entonces ∫ T

0

G dW = lımn→∞

∫ T

0

G n dW .





Teorema (Propiedades de la Integral de Ito)

Para todo a, b ∈ R, G ,H ∈ L2(0,T ), se tiene que

1∫ T

0aG + bH dW = a

∫ T

0G dW + b

∫ T

0H dW ,

2 E(∫ T

0G dW

)= 0,

3 E

((∫ T

0G dW

)2)

= E(∫ T

0G 2 dt

).

4 E(∫ T

0G dW

∫ T

0H dW

)= E

(∫ T

0GH dt

).





Definicion

Suponga que X (·) es una proceso estocastico real-valuado que satiface

X (r) = X (s) +

∫ r

s

F dt +

∫ r

s

G dW

para algunas F ∈ L1(0,T ), G ∈ L2(0,T ) y para todos los tiempos0 ≤ s ≤ r ≤ T . Decimos que X (·) satifacen la diferencial estocastica

dX = Fdt + GdW

para 0 ≤ t ≤ T .





Teorema (La formula de Ito)

Suponga que u : R× [0,T ]→ R es continua y que ∂u∂x , ∂u∂t y ∂2

∂x2 u existeny son continuas. Definamos

Y (t) = u(W (t), t).

Entonces Y tiene diferencial estocastica

dY =∂u

∂tdt +

∂u

∂xdW +

1

2

∂2u

∂x2dt (3.1)

=

(∂u

∂t+

1

2

∂2u

∂x2

)dt +

∂u

∂xdW .

Decimos que (3.1) es la formula de Ito o regla de la cadena de Ito.





Observacion

1 El argumento de u y sus derivadas es (W (t), t).

2 En vista de las definiciones, la expresion en (3.1) quiere decir que

Y (r)− Y (s) = u(W (r), r)− u(W (s), s) (3.2)

=

∫ r

s

∂u

∂t(X , t) +

1

2

∂2u

∂x2(W , t) dt

+

∫ r

s

∂u

∂x(W , t) dW c .s.

3 Para casi toda ω, la funciones

t → ∂u

∂t(W (t), t),

∂u

∂x(W (t), t),

∂2u

∂x2(W (t), t)

son continuas y entonces, los integrandos en (3.2) estan biendefinidos.





Definicion

Sea E un conjunto no vacıo, ya sea abierto o cerrado de Rn. Entonces

τ := ınft ≥ 0|X(t) ∈ E (4.1)

es un tiempo de paro. (Definimos τ = +∞, para las trayectorias demuestreo de X(·) que nunca tocan E.)





Definicion

Si G ∈ L2 (0,T ) y τ es un tiempo de paro con 0 ≤ t ≤ τ, definimos∫ τ

0

GdW :=

∫ T

0

1(t≤τ)GdW .





Lema (Integral de Ito con tiempos de paro.)

Si G ∈ L2 (0,T ) y 0 ≤ τ ≤ T es un tiempo de paro, entonces

1 E(∫ τ

0G dW

)= 0

2 E((∫ τ

0G dW

)2)

= E(∫ τ

0G 2 dt

).





Por la formula de Ito tenemos que

u(W (t), t)− u(W (0), 0) =

∫ τ

0

(∂u

∂t+

1

2∆u

)+

∫ τ

0

∂u

∂xdW ,

donde ∆u = ∂2u∂x2 .

Si tomamos el valor esperado, obtenemos

E (u(W (τ), τ))− E (u(W (0), 0)) = E

(∫ τ

0

(∂u

∂t+

1

2∆u

)ds

).





Ejemplo

Sea U = (a, b) ⊂ R, ∂U = a, b. Consideremos el movimiento BrownianoWx(t) = W (t) + x , es decir, que comienza en x c.s., y

τx = el primer tiempo en que W contacta ∂U.

La solucion de la ecuacion diferencial− 1

2 ∆u(x) = 1, x ∈ U

0, x = a, b.

satisface u(x) = E (τx), para x ∈ U.


la fórmula de feynman kac: entre el azar, el determinismo y la física

Science