La emergencia de la teora de conjuntos

La emergencia de la teora de conjuntosPresentado por :Hernn Gonzales Cantor y la potencia del planoSean 0 x 1 entonces x = 0. 1 2 3 ... 0 y 1 y = 0. 1 2 3 ...siendo 0 v 9 y 0 v 9.Tomamos un par (x, y) cuyas componentes se representarn por la forma anterior; se define la imagen z = 0. 1 1 2 2 ...0 z 1

Sin embargo, Dedekind descubre un nuevo problema:

Existiran valores que nunca podran ser imagen; como por ejemplo el nmero 0.2304050607020..., o aquellos nmeros con ceros alternados desde cierta posicin en adelante. En efecto, al intentar encontrar una pre imagen, resultara que una de las fracciones se ha eliminado.

Teorema: una multiplicidad de e dimensiones puede ser puesta en correspondencia unvoca con una multiplicidad continua de una dimensin.

Demuestra la correspondencia biunvoca entre I (0,1) y I x I [(0,1) x (0,1)], donde I corresponde al conjunto de los nmeros irracionales y (0, 1) al intervalo de los nmeros reales comprendidos entre 0 y 1.

Demuestra la correspondencia biunvoca entre I (0,1) y (0,1).

donde cada v N.Sean e1, e2 dos magnitudes independientes entre s, tales quee1 I (0,1), e2 I (0,1)e1 = (11, 12, 13, ... 1v, ...)e2 = (21, 22, 23, ... 2v, ...).Definimos el nmero irracional : = (11, 21, 12, 22, ... 1v, 2v, ...).Sabemos que I (0,1) puesto que :

La imagen de (e1, e2) ser .Para un determinado se puede hallar la pre imagen (e1, e2). En este caso no se presenta el obstculo de la segunda demostracin, pues no aparecen ceros en las sucesiones tomadas.

El problema de la dimensin de cantorTeorema: Un nmero que puede tomar todos los valores entre 0 y 1 con la nica excepcin del valor 0, puede ponerse en correspondencia unvoca con otro nmero que puede tomar todos los valores entre 0 y 1 sin excepcin.

Cantor plantea al menos dos posiciones que nos interesa examinar por su relacin directa con los objetivos de este trabajo:

En primer lugar, Cantor se manifiesta preocupado por la cuestin de la veracidad de los enunciados matemticos, refirindose a aquellas hiptesis habitualmente asumidas como obvias sin que nadie haya asumido la responsabilidad de validarlas en un sistema axiomticoEn segundo lugar, dentro de su empeo por comprender la estructura del continuo lineal, Cantor delimita un nuevo campo de estudios que se revelar de una riqueza sin igual en los decenios subsiguientes: la teora de los espacios topolgicos.

Cantor critica, severamente ,a Gauss y a Riemann, quienes al suponer que la dimensin del espacio estaba determinada unvocamente por el nmero de coordenadas independientes de uno de sus puntos, la tomaban como un invariante fundamental.Con su demostracin Cantor crey poner en evidencia esta aseveracin

En una larga carta del 2 de julio de 1877, Dedekind contradice las afirmaciones de Cantor, y declara que considera al nmero de dimensiones como el ms importante de los invariantes de una multiplicidad continua. Actualmente tenemos completamente caracterizados los invariantes:

Definicin: Sea f continua en S y supongamos que es uno a uno, es decir que exista la funcin inversa f. Entonces f se denomina una aplicacin topolgica o un homeomorfismo si, adems, f -1 es continua en f (S).

De los conjuntos derivados a los nmeros transfinitosLos conjuntos derivados:Esta identificacion iba a ser especialmente importante en terminos de la definicion dada por Cantor de los conjuntos derivados de primera y segunda especie que requiere el concepto de punto limite.

Punto limite: Dado un conjunto de puntos P, si un numero infinito de puntos de P cae dentro de cualquier entorno, por pequeo que sea de un punto P entonces se le llama un punto limite del conjunto P.Sin embargo, los nmeros transfinitos aparecen por primera vez en un corto artculo de 1880 en el cual Cantor enuncia el trasfondo de la construccin de los nmeros infinitos a travs de los conjuntos derivados de segunda especie. All expresa que su teora es: [...] una generacin dialctica de conceptos que contina siempre adelante, y est as libre de cualquier ambigedad.

P' = Q R, siendo Q y R definidos as: Q = {X H / H P', H de primera especie},R = P' P (2) P (3) ... P (n) ...De lo anterior Cantor dedujo que R = P (2) P (3) ... o tambin R = P (n) P (n+1) ...y esta forma le llev a definir R como R = P () .Pero Cantor no se detuvo all, sino que sigui siempre adelante en su generacin dialctica de conceptos:

A estas alturas los nmeros transfinitos eran tomados por Cantor slo como smbolos infinitos que le servan para el estudio de conjuntos de segunda especie. Pero Cantor no perda de vista su objetivo central de producir una caracterizacin de la naturaleza del continuo.

Los Fundamentos estructuraban la teora sobre la nocin de infinito actual. Desde el comienzo Cantor plantea las diferencias entre infinito actual y el infinito potencial. Cantor era consciente de que la incorporacin prctica del infinito actual en sus trabajos le permita extender el concepto de nmero ms all de los niveles existentes. Primer principio: Este principio consiste en producir nuevos ordinales mediante la adicin sucesiva de unidades.

Segundo principio: Cuando se tenga una sucesin ilimitada de nmeros, se define un nuevo nmero como el mnimo nmero mayor que cualquier componente de la sucesin.

Tercer principio: (de restriccin o de limitacin) slo se procede a la creacin de un nuevo nmero, si la totalidad de los nmeros precedentes tiene la potencia de una clase numrica definida, disponible ya en toda su extensin

El segundo principio permite definir el nmero transfinito w como el primer nmero que sigue a la sucesin completa de los nmeros naturales {n}. Teniendo este nmero w Cantor aplica el primer principio y obtiene la secuencia:w, w+1, w+2, w+3,... w+n,...Luego, el segundo principio le permite definir el elemento mximo de esta sucesin 2w. Al continuar de esta forma combinando los dos principios, obtiene cadenas como:2w, 2w+1, 2w+2, ..., 2w+n, ...... w2, w2+1, w2+2, ... w2+n, ...

Tomando los naturales como la primera clase de nmeros y a partir del transfinito w la segunda clase, Cantor se dio cuenta que deba poner cierto tipo de cotas que permitieran diferenciar las diferentes clases. A este respecto escribe: Definimos por tanto la segunda clase de nmeros (II) como la coleccin de todos los nmeros (en una sucesin creciente determinada) que pueden formarse por medio de los dos principios de generacin:

w, w+1, ..., v0 wu + v1 wu-1 + ... + vu , ..., ww, ..., , ... Con la condicin de que todos los nmeros que posean (del 1 en adelante) constituyen un conjunto de potencia equivalente a la de la primera clase de nmeros (I).

Partiendo de esta diferencia, Cantor define en su trabajo Contribuciones a la fundamentacin de la teora de conjuntos transfinitos, los cardinales transfinitos:0: es el cardinal de los conjuntos infinitos numerables.1: es el nmero cardinal que sigue en orden de magnitud de acuerdo con la cadena de construccin de los ordinales.Y as llega a una sucesin bien ordenada de potencias o nmeros cardinales, llamados alephs :0, 1, 2, ... , w,...

Formalizacin de los nmeros transfinitosDefinicin de Conjunto: Por un conjunto entendemos una coleccin M en un todo de objetos m definidos y separados de nuestra intuicin o de nuestro pensamiento. En smbolos expresamos esto mediante:M = m.

Definicin de nmero cardinal:

Llamamos potencia o nmero cardinal de M a aquel concepto general que surge, con ayuda de nuestra facultad activa del pensamiento, haciendo abstraccin del conjunto M del carcter de sus diversos elementos m y del orden en que se nos presentan.

LOS CARDINALES TRANSFINITOS