Prof:Díaz Arce O. Washington

INDICEINTRODUCCIÓN

ELEMENTOS

METODO DEL JARDINERO

VALOR DE LA CONSTANTE

RELACIÓN ENTRE a, b y c

EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE

ECUACION DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

LONGITUD DEL LADO RECTO

EJERCICIOS

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P(x;y) cuya ubicación en el plano es tal, que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es constante.

INDICE

Estos dos puntos fijos del plano, se llaman focos y se designan por F1 y F2

P(x;y)

V2

F2F1 XV1

Y

INDICE

Elementos:

V1

Y

V2

F2F1 X

Focos: F1 y F2

Recta focal o eje focal: es la recta que pasa por los focos, tal como V1 y V2

Recta secundaria: Es la recta perpendicular a la recta focal en el punto medio del segmento F1 y F2Ejemplo: La recta B1 y B2

Centro: Es el punto de intersección de las rectas focal y secundaria y que equidista de los focos. Se designa por F0

B1

B2

a

b

INDICE

F0

Elementos:

V1

Y

C1

V2

F1F2 X

Vértices y Covértices: los vértices son los puntos de intersección de la elipse con la recta focal. Se designan por V1 y V2. A los puntos B1 y B2 se les llama Cóvertices.

Eje mayor: Es el segmento V1V2 que se considera la longitud “2a”, donde “a” es el valor del semieje mayor.

Lado recto: Es la cuerda focal C1 C2 perpendicular a la recta focal o eje de simetría.

Disctancia focal: Es la distancia entre los focos. Se considera de longitud “2c” , es decir F1F2 = 2c

B1

B2

a

bEje menor: Es el segmento B1 B2 de la recta secundaria interceptada por la elipse. se considera la longitud “2b”, donde “b” es el valor del semieje menor.C2

F0

c c

INDICE

EL METOOD DEL JARDINERO

Para dibujar una elipse se puede usar dos alfileres, lápiz e hilo

El procedimiento es el siguiente:

1. Se clavan los dos alfileres en los puntos considerados como focos.

2. Se unen ambos alfileres con cada extremo de hilo.

3. Se tensa el hilo con el lápiz.

4. Deslizamos el lapiz en el papel, y la punta del lapiz dibujará el papel.

Este método es conocido como el “método del jardinero”, ya que los jardineros lo usan para trazar elipses en los prados.

INDICE

P(x;y)

V2

F1F2 XV1

Y

De acuerdo a lo anterior, las coordenadas de los focos son F1 (c,0) y F2(-c,0)

d(P;F1) + d(P;F2)

Determinemos ahora el valor de la consonante. Si consideramos al punto P ubicado en el vertice V1, la suma de sus distancias a los focos es constante.

d(V1,F1) = a – c

d(V1, F2) =a + c

d(V1,F1) + (d(V1,F2) = 2a

Luego: d(P;F1) + d(P;F2) = 2a

c c

aa

INDICE

P

V2V1

F1F2c c

baa

X

Y

Para halalr una relacion entre a, b y c, ubicamos el punto P(x;y) en la interseccion d ela elipse con la recta secundaria (eje Y)

En este caso:

d(P;F1) = d(P;F2) = a

Ya que d(P;F2) + d(P;F2) = 2a

En el PF0F1: c>a

Y por el T. de Pitágoras: b2 + c2 =a2

F0

INDICE

ba

X

Y

F1F2

-4

-5

4

5c

F0

A toda elipse se le asocia un número real que llamamos excentricidad de la elipse, designado por la letra e, y cuyo valor es:

e= c/a

-3 3

Elipse de excentricidad

e= 3/5

INDICE

ba

X

Y

F1F2

-3

-5

3

5c

F0

e= c/a

-4 4

Elipse de excentricidad

e= 4/5

INDICE

V2

Y

Para encontrar la ecuación analítica de la elipse, expresamos las distancias entre P(x;y) y los focos F1(c,0) y F2(-c,0) en funcion de sus coordenadas.

a

aFPdFPd

ycxycx 2

2)2,()1,(

)0()()0()(2222

=+++

=+

−+−−

P(x;y)

V1

F1( C;0)F2(-C;0)

B2 (0;-b)

B1 (0;b)

X

INDICE

Aislamos una de las raíces y luego elevamos al cuadrado.

( )cxa

a

aycx

ycxycxycx

444

4

222

222222

)(

)()(

+=+

+++=+

+

++−

++−

+−

+−

=

+−=+

ycxaycx

ycxycx a

2222

2

)(2)(

)()(22

2222

( )caaxcyaxa

cxaycxa224222222

22

)()( 222

−

+++=−+

=

Elevamos al cuadrado:

Factorizando:

( ) ( )

bayaxbbca

caayaxcapero

222222

222

222222

.

,22

=+⇒

=−

−=+−

P(x;y)

V1

F1( C;0)F2(-C;0)

B2 (0;-b)

B1 (0;b)

X

Y

INDICE

Dividiendo por a2b2.

0;12

2

2

2

>>=+ baby

ax

P(x;y)

V1

F1( C;0)F2(-C;0)

B2 (0;-b)

B1 (0;b)

X

Y

Luego:

La ecuación canónica de la elipse cuando el eje focal coincide con el eje x, es:

12

2

2

2

22

22

22

22

22

22

=+

=+

by

ax

baba

baya

baxb

INDICE

V2 F1F2

C2 (C;--Y)

X

Y

C1 (C;-Y)

b

F0

c

V1

a

Recordemos que se denomina lado recto (L.R.) a la cuerda que pasa por el foco y que es perpendicular al eje de la elipse.

En la elipse de la figura, las coordenadas de los extremos del lado recto son C1(c;y) y C2(c;-y) como C1(c;y) pertenece a esta curva, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación de la elipse:

12

2

2

2

=+by

ax

ac

by

by

ac

2

2

2

2

2

2

2

2

1 −⇒=+

ab

abb

aca

by y2

2

222.

2

222 ⇒==

−

Reemplazando:

Donde:

luego 0;12

2

2

2

>>=+ baby

ax

INDICE

Ejercicio 1

Ejercicio 2

-Encontrar:

-Las coordenadas de los focos

-La longitud del eje mayor

-La longitud del eje menor

-La longitud del lado recto

-Excentricidad

-Vértice y covértice.

1

16425

22

=+yx

1416

22

=+yx

149100

22

=+yx

194

22

=+yx 1

128

22

=+yx

369422 =+ yx

4002522

16 =+ yx

9922 =+ yx

3

2

5

4

7

6

8

INDICE

Ejercicio 1

Para cada una de las siguientes elipses:

12536

22

=+yx 225925

22 =+ yxi) ii)

Determinar:-Las coordenadas de los focos

-La longitud del eje mayor

-La longitud del eje menor

-La longitud del lado recto

-Excentricidad

-Vértice y covértice.

SOLUCIÓN i

SOLUCIÓN iiINDICE

SOLUCIÓ i

12536

22

=+yx

baby

ax >=+ ;12

2

2

2

11=c

Como la ecuación es de la forma :

Entonces el eje focal coincide con el eje x.

Tenemos que:

a2 = 36 entonces a = 6

b2 = 25 entonces b = 5

Ademas:

b2 + c2 = a2

De donde:

25 + c2 = 36

B1

b

X

5

-5

F1F2 F0

a

11− 11

Y

B2

-6 6

a

-focos: F1( ;0) y F2(- ; 0)

-Long. del eje mayor: 2a = 2 .6 = 12

-Long. del eje menor: 2b = 2 .5 = 1011 11

-Longitud del arco recto: 3

25

6.. 5.22

22

===a

RL b

-Excentricidad:6

11==a

ce

-Vértices: V1(6;0) y V2(-6;0)

-Covértices: B1 (0;5) y B2 (0;-5)

11 11−

INDICE

SOLUCIÓN ii

1259225

225

225225

2222 925 =+⇒=+yxyx

4=c

Esta ecuación es equivalente a:

Luego es de la forma:

a2 = 25

a = 5

b2 = 9

b = 3

b2 + c2 = a2

B1

a

X

5

-5

F1

F2

F0

b

Y

B2 -3

a

-focos: F1( 0 ;4) y F2(0 ; -4)

-Long. del eje mayor: 2a = 2 .5 = 10

-Long. del eje menor: 2b = 2 .3 = 611 11

-Longitud del arco recto: 5

18

5.. 3.22

22

===a

RL b

-Excentricidad: 5

4==a

ce

-Vértices: V1(0;5) y V2(0;-5)

-Covértices: B1 (3;0) y B2 (-3;0)

22592522 =+ yx

baay

bx >=+ ;12

2

2

2

Entonces el eje focal coincide con el eje y

3

4

-4

V1

V2

INDICE

Ejercicio 2

RESOLUCIÓN

-6

Y

8

V2

X

F2

F16

-8 B1 B2

-10

V1 10

Determinar la ecuación de la elipse con focos F1( 0 ;6) y F2(0 ; -6) y excentricidad e= 0,6

De las coordenadas de los focos deducimos que el eje focal coincide con el eje y , por lo tanto, la ecuación es de la forma:

12

2

2

2

=+ay

bx

10

66,0

=

=⇒=

aaa

ce

También observamos que F1 ( 0 ;c) = F1 ( 0 ;6)

Entonces : c = 6

Ya que:

Como:

a2 = b2 + c2

102 = b2 +62

b = 8

Por lo tanto:

La ecuación pedida es:

110064

22

=+yx

INDICE

Prof: Díaz Arce O. Washington

http://owashing.blogspot.com