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LA DESCRIPCION HIPERCOMPLEJA COMO UNAALTERNATIVA EN LA SOLUCION DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

Rafael Resendiz Martınez

Directores de Tesis:

Dr. Leonardo Traversoni DomınguezDr. Lorenzo Hector Juarez Valencia

5 de junio de 2009

Casa abierta al tiempo

Universidad Autonoma MetropolitanaUnidad Iztapalapa

Su dedicatoria va aquı

Resumen

Existen situaciones en las cuales, debido a la complejidad del problema, el plantea-miento de las Ecuaciones Diferenciales no siempre resulta ser una tarea sencilla oencontrar una solucion a estas, representa un trabajo muy complicado; ya sea por elcamino analıtico o numerico. De aquı, la necesidad de una busqueda constante de nuevasalternativas que permitan encontrar la solucion exacta al problema o por lo menos, unabuena aproximacion. Ante esta situacion, en este trabajo se propone en medida de loposible, hacer un replanteamiento del problema original como el estudio de la trayectoriade un cuerpo rıgido. Es decir, se plantea reducir esencialmente el problema a encontrarla ecuacion de movimiento de un objeto en el espacio tridimensional.

Para llevar a cabo la idea anterior, aunque el problema original no refiera a movimientodirectamente, se busca la forma de reinterpretarlo como la trayectoria de un cuerpo uobjeto en funcion del tiempo, dicho de otra manera, como un conjunto de localizaciones(posiciones + orientaciones) en diferentes instantes. De esta forma, la curva que une cadauna de estas localizaciones es la ecuacion de movimiento para dicho cuerpo y resulta serla solucion al problema original.

Gracias al teorema de Chasles, se sabe que es posible representar cualquier trayectoriaen el espacio tridimensional, utilizando solo dos transformaciones rıgidas basicas, rotaciony traslacion. Por lo tanto, se requiere de una eficiente representacion matematica paraestas transformaciones; y dentro de las propuestas de este trabajo, se plantea el estudiode dichas transformaciones rıgidas bajo los siguientes enfoques:

1. Rotacion definida a partir del teorema de rotacion de Euler, representada porcuaternios clasicos.

2. Rotacion mas Traslacion definidas a partir del teorema de Chasles, representadaspor cuaternios duales.

Estos enfoques permiten explotar las propiedades tanto algebraicas como geometri-cas, ası como las herramientas de interpolacion con las que cuentan los cuaternios para

VIII Resumen

representar movimiento, permitiendo su aplicacion de manera sencilla en el estudio dela trayectoria de un cuerpo rıgido, a su vez y siguiendo la idea presentada al inicio, suutilizacion como alternativa en la solucion de problemas que usualmente requieren deuna ecuacion diferencial.

De lo anterior, se consigue una serie de resultados interesantes. El principal y masimportante, es una representacion hipercompleja para movimientos que oscilan armoni-camente, idea que permite de manera directa su utilizacion en la solucion a problemasde mayor complejidad, donde a partir de un acoplamiento de n sistemas armonicos ysiguiendo el Principio de Superposicion, se logra representar movimientos que noactuan bajo un movimiento de este tipo.

Abordar un problema bajo un punto de vista cinetico, toma fuerza cuando tambiense utilizan herramientas como la interpolacion de movimiento. Gracias a la utilizacionde esta herramienta, en este trabajo se consigue un resultado adicional, de aplicacioninmediata a problemas de control muy conocidos en la industria, como lo es el talladoo desbaste de superficies. Este resultado muestra el poder de interpretar un problemacomo la trayectoria de un cuerpo rıgido a traves de un conjunto de localizaciones, puesse puede construir la solucion de manera sencilla aplicando un esquema de interpolacion.Ademas, se muestra que hacerlo en un espacio hipercomplejo presenta ventajas sobretodo en el costo computacional.

Por ultimo y de manera muy general, en este trabajo se pretende mencionar, quecualquier problema que pueda ser relacionado con movimiento, un analisis desde unpunto de vista hipercomplejo puede realizarse.

Contenido

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Rotacion, Orientacion y Cuaternios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1. Rotacion, Orientacion y el teorema de la Rotacion de Euler . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Rotacion versus Orientacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2. El teorema de la Rotacion de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Principales representaciones para la Rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1. Par de Rotacion Eje-Angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2. Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3. Matrices de Rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Cuaternios clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2. Cuaternios y su algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.3. Algunas propiedades algebraicas de los Cuaternios . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.4. Cuaternios unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.5. Rotacion con Cuaternios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.6. Intuicion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.7. Un panorama algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.8. Cuaternios —Desventajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.9. Cuaternios —Ventajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Rotacion, Traslacion y Cuaternios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1. Rotacion, Traslacion y el teorema de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1. La Traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2. Movimiento general de un cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.3. El teorema de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

X Contenido

3.2. Numeros duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1. Numeros duales y su algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2. Funciones duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3. Vectores duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3. Cuaternios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1. Cuaternios duales y su algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2. Cuaternios duales unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4. Rotacion y Traslacion con cuaternios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4.1. Rotacion y Traslacion de lıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4.2. Cuaternios duales unitarios y el teorema de Chasles . . . . . . . . . . . . . . 393.4.3. Un panorama geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Movimiento Armonico Simple (MAS) y cuaternios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1. Movimiento Oscilatorio y MAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.1. OAS, el modelo y la solucion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.2. OAS, el modelo alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2. OAS y cuaternios duales (la solucion hipercompleja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Ecuacion de Onda y cuaternios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1. Ecuacion de Onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.1. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1.2. La solucion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.3. La solucion hipercompleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2. Ecuacion de Onda en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.1. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2.2. La solucion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.3. La solucion hipercompleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6. Superficies a partir de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.1. Interpolacion de movimiento, primer modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.1. El movimiento en el espacio Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.1.2. Interpretando la superficie como una trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.1.3. Interpolacion de la parte rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.1.4. Interpolacion de la parte traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.1.5. Tallando la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.6. El control total de la herramienta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2. La curva solucion, segundo modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.1. Recordando la curva solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.2. Tallando la superficie usando la curva solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.3. Algunas observaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Contenido XI

7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Capıtulo 1

Introduccion

Una de las grandes musas para la ciencia, ha sido el movimiento. Todo a nuestroalrededor se encuentra de una u otra forma representado como un cambio continuo, esgracias a ese cambio, que se despierta la curiosidad y se logra comprender el entorno. Losmas grandes descubrimientos cientıficos han surgido de esa curiosidad, motivada a partirdel intento por interpretar y darle significado a fenomenos en un principio desconocidospor el hombre.

Se puede referir al movimiento desde diferentes perspectivas, donde la mayorıa delas definiciones que se pueden encontrar y citar, estan construidas en funcion de la ideade cambio o transicion de un estado a otro. Esta definicion es muy general y dentro deella es posible adaptar una infinidad de fenomenos que ocurren de manera constante ennuestro entorno (robotica, transferencia de calor, fenomenos biologicos, metereologicos,economicos, etc.). Aquı, de acuerdo a la naturaleza y propiedades de estos, se puedepensar, que no existe una relacion entre ellos, que son fenomenos completamente distintosentre sı. Sin embargo, en muchos de ellos podrıa existir la posibilidad de encontrar uncamino para asociarlos con un tipo de movimiento particular y extensamente estudiado,como es el movimiento de cuerpo rıgido. Entonces, una de las principales propuestasen este trabajo, es precisamente la de representar, en medida de lo posible, a cualquierproblema que se tenga en estudio, como una transicion de un estado a otro. Es decir,como la trayectoria de un cuerpo rıgido en movimiento a traves del espacio.

Ahora, es importante mencionar que del fenomeno en estudio, no es imprescindiblecontar con un sistema de Ecuaciones Diferenciales que lo describan y que realizar unanalisis desde el enfoque planteado en este trabajo, reduce esencialmente el problemaoriginal a solo plantear y resolver de alguna manera las ecuaciones de movimiento de unobjeto. Estas nuevas ecuaciones se derivan a partir de un analisis que bien podrıa sercinematico, sin tomar en cuenta las causas que lo originan o dinamico, tomando estascausas como punto de partida para su estudio. Puesto ası, el nuevo problema declinaahora, en un estudio fısico definido a partir de un lenguaje matematico del comporta-

2 1 Introduccion

miento de un simple objeto en su espacio. Este enfoque, como ya se ha mencionado,podrıa sustituir el problema de encontrar la solucion de las Ecuaciones Diferenciales delproblema original, cuando estas se conozcan, o bien evitarıa realizar el planteamiento deellas para despues resolverlas. Hacerlo de esta forma, permite aprovechar la gran varie-dad de herramientas, que existen actualmente, como por ejemplo, la interpolacion, paradeterminar la trayectoria de un cuerpo rıgido. Resumiendo, este enfoque proporciona unaalternativa para encontrar una solucion analıtica o una buena aproximacion a la soluciondel problema original, en situaciones donde, por ejemplo, no se tiene informacion sufi-ciente para plantear las Ecuaciones Diferenciales o bien no se puede obtener la soluciondirecta a estas o es muy difıcil calcularla analıticamente.

Se ha mencionado, que el movimiento es una transicion de un estado a otro, y comoaplica este concepto a un cuerpo rıgido. Pues, interpretando la definicion anterior, hablarde estado significa considerar una posicion seguida por una orientacion del cuerpo ensu espacio. Y hablar de transicion de estado es sin duda referirse al desplazamientoy al cambio de orientacion. Es posible representar una transicion de manera infinita,realizando una rotacion seguida de una traslacion. De esa infinidad de representaciones,existe una donde el eje de rotacion es paralelo a la traslacion y el movimiento resultanteentre ambos estados es de tipo helicoidal o de tornillo, mejor conocido por su nombre eningles, “screw motion”. Este resultado es conocido como el teorema de Chasles. Atribuidoa Michel Chasles (1830), aunque Mozzi y Cauchy cuentan con credito debido a resultadossimilares anteriores a el. Ademas, se le considera una generalizacion del teorema derotacion de Euler, que en un mismo tenor menciona que una transicion puede encontrarseusando una rotacion alrededor de un eje que pasa por un punto fijo en el objeto. Cabeaclarar que cuando se hace referencia al espacio de un cuerpo rıgido se puede generalizara un espacio euclidiano n-dimensional, En. Sin embargo, en este trabajo se considera unmovimiento no tan general, en el espacio E3, el cual es mas natural para la fısica clasica.Dado lo anterior, es posible mencionar que en la practica, se necesita de seis parametrospara definir la localizacion o estado de un cuerpo rıgido en el espacio euclidiano, E3. Trescoordenadas son necesarias para especificar la posicion del centro de masa y tres maspara fijar una orientacion.

De acuerdo al teorema de Chasles, una trayectoria en funcion del tiempo para uncuerpo rıgido en el espacio euclidiano E3, es un conjunto de estados o localizaciones(posiciones + orientaciones) en diferentes instantes de tiempo y encontrar una curva queincorpore esa trayectoria, es encontrar la ecuacion de movimiento para dicho cuerpo.Por lo tanto, estudiar la trayectoria de un cuerpo rıgido significa estudiar las rotacionesy traslaciones de este. Entonces, es de suma importancia contar con una muy buenainterpretacion matematica de estas dos transformaciones rıgidas.

A diferencia de las traslaciones, representar rotaciones es mas elaborado y existendiferentes tecnicas para hacerlo. Las traslaciones pueden ser modeladas de forma muy

1 Introduccion 3

sencilla utilizando vectores. Mientras que, las formulaciones mas comunes para describirrotaciones, han sido las matrices de rotacion y los angulos de Euler. Sin embargo, laeleccion de alguna herramienta matematica que interprete, tanto la rotacion como latraslacion de un objeto rıgido debe contar con algunas propiedades basicas como:

Eficiencia. Es preferible contar con una representacion que ocupe el mınimo espacioen memoria para optimizar el costo computacional.Robustez. Algunas representaciones como los angulos de Euler, como se vera masadelante, presentan redundancia, ya que una misma rotacion puede ser reproducidade diferentes formas. Esto puede causar problemas si no se manipula adecuadamente.Manipulacion sencilla y Visualizacion. Es preferible contar con una formulacionque cuente con una interpretacion geometrica amigable y permita una aplicaciondirecta de los teoremas de Euler y Chasles.

De todas las representaciones existentes para la rotacion, se cuenta con una que havenido ganando popularidad, gracias a que cumplen con la mayorıa de las propieda-des citadas arriba. Esta representacion es matematicamente conocida con el nombre decuaternio y fueron introducidos por Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865) comouna generalizacion para los numeros complejos [10], [11]. Fue Arthur Cayley (1821-1895)quien contribuyo describiendo rotaciones a partir de la multiplicacion de cuaternios. Es apartir de trabajos como los realizados por Shoemake, K. [8], [14], [15], donde se han des-tacado sus virtudes sobre cualquier tipo de representacion, generando interes en diversasareas como robotica, animacion por computadora, procesamiento de senales, cinematicainversa, fısica, etc. Este interes se ha propagado hacia otro tipo de representacion mas po-deroso, los cuaternios duales, que al mismo tiempo, permite modelar tanto rotacion comotraslacion, situacion que resulta de aplicacion inmediata en el estudio de la trayectoriade un cuerpo rıgido.

De acuerdo a lo anterior, en este trabajo se propone abordar el estudio de la rotaciony traslacion bajo alguna de las siguientes perspectivas:

1. Rotacion definida a partir del teorema de rotacion de Euler, representada porcuaternios clasicos.

2. Rotacion mas Traslacion definidas a partir del teorema de Chasles, representadaspor cuaternios duales.

Este tipo de perspectivas, permiten explotar las propiedades tanto algebraicas comogeometricas, con las que cuentan los cuaternios para representar movimiento, con elobjetivo de facilitar el estudio de la trayectoria de un cuerpo rıgido.

Existen tambien en la literatura, algunas aplicaciones tanto de los cuaternios clasicoscomo los duales a la solucion de Ecuaciones Diferenciales. Estas aplicaciones hansido para la busqueda de soluciones analıticas, ası como para encontrar aproximacionesnumericas. Un numero creciente de investigadores ha comenzado a utilizar las bondades

4 1 Introduccion

del analisis hipercomplejo (conocido tambien como analisis cuaternionico). En problemasrelacionados con funciones armonicas hiperbolicas, en Leutwiler, H. [35] se considerauna generalizacion interesante para la ecuacion diferencial de Cauchy-Riemann. Existenmuchas aplicaciones a trabajos realizados a partir de una representacion hipercomplejade las ecuaciones de Maxwell. Ası como trabajos relacionados en mecanica de fluidoscon ecuaciones de renombre como la ecuacion de Stokes y las ecuaciones de Navier-Stokes. Vease Gurlebeck, K. and Sprossig, W. [13] para encontrar una buena referenciade trabajos realizados con estas ecuaciones.

Por otro lado, existen trabajos como Traversoni, L. [36] donde se hace uso de lainterpolacion de movimiento desde un punto de vista hipercomplejo, con el fin aproximarel comportamiento de una burbuja de gas dentro de un lıquido. El proposito practicodetras de esta investigacion, es la depuracion de aceites contaminados por burbujas degas ascendentes. Bajo la suposicion, que las partıculas de suciedad se acumulan en lasuperficie fronteriza de fase de la burbuja, y son transportadas hacia la superficie dellıquido, se pretende analizar un metodo de filtracion de lıquidos viscosos. Para ello esesencial el conocimiento del movimiento de la burbuja, ya que permite hacer prediccionessobre la eficacia de la depuracion, puesto que muchas burbujas pequenas son capaces derecoger mayor cantidad de contaminantes. Este trabajo resulta de gran interes, pues alutilizar un esquema de interpolacion de movimiento le da la vuelta a modelar el problemateniendo que utilizar un sistema de ecuaciones diferenciales y despues tener que resolverlo.Lo anterior inspira esta tesis a proponer un enfoque similar ante cualquier problema,que aunque no se relacione con movimiento se pueda hacer un analisis cinetico de el; yademas, a utilizar a los cuaternios como una herramienta en el estudio de trayectoriasque indirectamente resuelven (si se tuviera o no) una ecuacion diferencial.

Es ası, como en este trabajo de tesis se consiguen resultados interesantes en aplicacio-nes a Ecuaciones Diferenciales como la ecuacion del Oscilador Armonico Simple,donde se realiza un replanteamiento de este modelo, relacionando la curva solucion delproblema con la trayectoria de un cuerpo rıgido, el cual sigue una trayectoria helicoidal.Ası, a partir de una idea que se fundamenta en el movimiento generado por un cuaterniodual, se consigue construir una solucion alternativa para un problema que originalmen-te ha sido modelado a partir de una ecuacion diferencial ordinaria. Con la ventaja quela nueva solucion encontrada, aporta mayor informacion que la solucion clasica. Esteresultado muestra una idea sencilla que puede generar un punto de partida para abor-dar problemas que implican una mayor complejidad. De manera inmediata y utilizandoel Principio de Superposicion se pueden representar movimientos que no siguen uncomportamiento armonico, donde a partir de un acoplamiento de n sistemas armoni-cos se consigue una representacion hipercompleja para una importante y extensamenteestudiada ecuacion diferencial, la ecuacion de Onda.

1 Introduccion 5

Abordar un problema bajo un punto de vista como el que se ha estado planteando,se vuelve interesante cuando tambien se utilizan herramientas como la interpolacionde movimiento. A partir de esta herramienta, en este trabajo se consigue un resultadoadicional, de aplicacion inmediata a problemas de control muy conocidos en la industria,como lo es el tallado o desbaste de superficies solidas. Este resultado muestra el poder deinterpretar un problema como la trayectoria de un cuerpo rıgido a traves de un conjuntode localizaciones, pues se puede construir la solucion de manera sencilla aplicando unesquema de interpolacion. Ademas, se muestra que hacerlo en un espacio hipercomplejopresenta ventajas sobre todo en el costo computacional.

Cabe mencionar que a partir de la investigacion realizada en esta tesis se han gene-rado dos publicaciones. La primera, presentada en The 8th International Conference onClifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, ICCA8, llevada a caboen mayo del 2008 con el auxilio del Instituto de Matematica, Estatıstica e ComputacaoCientıfica, IMECC de la Universidad estatal de Campinas, UNICAMP en la ciudad deCampinas, Brasil. Trabajo titulado “Oscillatory Movements and Dual Quaternions” quesera parte de un numero especial de la revista Advances in Applied Clifford Algebraseditada por Birkhauser Basel y publicada por Springer, donde se recopila lo presentadoen capıtulos 4 y 5. La segunda, presentada en el International Congress on Image andSignal Processing, CISP llevado a cabo en mayo del 2008 en Sanya-Hainan, China y a lafecha se encuentra publicado por la IEEE como parte de las memorias de dicho congre-so, bajo el tıtulo de “Bulding Solids Using Quaternions” junto con la coautorıa del Dr.Leonardo Traversoni, director de esta tesis y que resume lo presentado en el capıtulo 6.Vease Resendiz, R. [33] y Resendiz, R. and Traversoni, L. [32].

Capıtulo 2

Rotacion, Orientacion y Cuaternios

Este capıtulo presenta la teorıa necesaria y los problemas que existen para modelarmatematicamente los conceptos de rotacion y orientacion de un cuerpo rıgido en el es-pacio tridimensional. Aun cuando estos conceptos son fısicamente familiares, se cuentacon diferentes caminos para representarlos bajo un lenguaje matematico, cada uno conventajas y desventajas propias. Para poder apreciar los problemas es necesario un en-tendimiento de rotacion. Entonces, se describe la nocion de rotacion espacial a partir delteorema de la rotacion de Euler. Despues, se desarrollan cuatro de las representacionesmas importantes con el proposito de ilustrar las particularidades con las que cuenta cadauna de ellas:

Par Eje-Angulo.Angulos de Euler.Matrices de rotacion.Cuaternios clasicos.

Las tres primeras representaciones se introducen desde un enfoque general, para des-pues, establecer un acercamiento a fondo para los cuaternios. Y ası, las cuatro moda-lidades son comparadas a partir de un punto de vista matematico y computacional.En particular, se hace enfasis en cuestiones importantes como: su costo computacional,robustez matematica y su capacidad para realizar interpolaciones entre ellas.

2.1. Rotacion, Orientacion y el teorema de la Rotacion de Euler

En esta seccion, se introducen los principios de la rotacion en el espacio tridimen-sional. En un primer acercamiento, se explica la relacion existente entre rotaciones yorientaciones para cuerpos rıgidos, centrandose en los conceptos basicos interpretados apartir del teorema de la rotacion de Euler.

8 2 Rotacion, Orientacion y Cuaternios

2.1.1. Rotacion versus Orientacion

Al hablar de rotacion y orientacion en la literatura, dentro de un contexto bien plan-teado, muchas veces se utilizan ambos conceptos sin establecer una diferencia entre ellos.Sin embargo, existe una distancia sutil entre ambos significados que es importante acla-rar.

Una rotacion, es la accion que transforma un vector en otro. Por definicion, unarotacion preserva tanto la magnitud del vector como la direccion del producto cruz entrelos vectores base. La rotacion es una transformacion rıgida que se puede generalizar a unespacio n-dimensional. Este trabajo se centra principalmente en el estudio de espacioscon n = 3 y n = 4. Una rotacion en un espacio de dimension n = 3 tiene tres grados delibertad, lo que significa que al menos son necesarios tres numeros para representarla.

Por otro lado, una orientacion, es la actitud de un cuerpo rıgido en el espacio. Ambosterminos son a menudo usados sin distincion, debido a que las orientaciones suelen serrepresentadas, como una rotacion con respecto a un eje de coordenadas (conocido tam-bien como marco inercial o bases). Frecuentemente el termino desplazamiento angular,se utiliza para hacer clara la distincion entre rotacion y orientacion, ya que desplaza-miento implica una accion sobre un cuerpo rıgido. En este capıtulo, se ignora de maneramomentanea el componente de traslacion del desplazamiento y el estudio se enfoca en sucomponente rotacional.

2.1.2. El teorema de la Rotacion de Euler

El principio fundamental de la orientacion de un cuerpo rıgido es el teorema de larotacion de Euler. El cual afirma lo siguiente:

Teorema 2.1. (Teorema de la Rotacion de Euler, 1752). Dadas dos orientaciones O, O′ ∈R3, Existe un eje ` ∈ R3 y un angulo de rotacion θ ∈] − π, π], tal que podemostransformar O en O′ rotando un angulo θ alrededor del eje `.

Se puede observar que se denota existencia y se carece de unicidad. Ademas, con-tinuando con las diferencias entre conceptos e interpretando el teorema de Euler, laorientacion de un objeto en R3, se encuentra establecida por un vector normal, mientrasque una rotacion, se define a partir de un eje y un angulo, y si se desea alcanzar unaorientacion diferente de dicho objeto, siempre existe un eje ` alrededor del cual, es posiblerotar un angulo θ para alcanzar esa nueva orientacion. En otras palabras, ` refiere quecamino utilizar para ejercer la rotacion y θ que tanto es necesario hacerlo.

Finalmente, derivado de lo anterior, una rotacion espacial requiere dos grados delibertad para especificar el eje (dado que este se encuentra normalizado, se pueden uti-lizar coordenadas polares) y un grado mas para el angulo. Por lo tanto, el mınimo deparametros que necesitan para describir una rotacion es tres.

2.2 Principales representaciones para la Rotacion 9

Dos rotaciones pueden estar compuestas por la aplicacion de una seguida de la otray el teorema de Euler asegura, que la rotacion creada por la composicion de ambasrotaciones, tiene su propio eje y angulo de rotacion, los cuales se obtienen a partir de loscomponentes de las primeras, donde sı importa el orden de aplicacion de las rotaciones,dado que, las rotaciones en general no conmutan bajo la composicion. Este no es el casopara rotaciones en R2, donde los angulos pueden ser sumados sin importar el orden.

2.2. Principales representaciones para la Rotacion

Uno de los principales objetivos en este trabajo, es encontrar un buen camino pararepresentar la trayectoria de un cuerpo rıgido en el espacio tridimensional, dicha trayec-toria, se puede descomponer en posicion y orientacion del objeto para diferentes instantesde tiempo. Este capıtulo ha tratado hasta el momento, la parte de la orientacion comoun resultado de la aplicacion de una rotacion, dejando para un analisis posterior, la partede la traslacion, la cual permite ir de una posicion a otra. Sin embargo, una rotacionpude ser discutida matematicamente desde diferentes perspectivas. En general, existencuatro principales representaciones, estas son:

Par Eje-AnguloAngulos de EulerMatrices de rotacion.Cuaternios clasicos

Idealmente, se busca que la eleccion de la mejor representacion, cumpla con algunaspropiedades importantes:

Eficiencia. La representacion debe tomar el mınimo espacio en memoria y representarun costo computacional moderado. Ademas, si nuestra eleccion cuenta con su propiaalgebra, es posible realizar operaciones basicas como la composicion.

Robustez. Algunas representaciones como los angulos de Euler, como se vera masadelante, contienen discontinuidades que requieren manipulacion extra. Se busca unaeleccion que elimine estos problemas. Ademas, algunas representaciones resultan redun-dantes, permitiendo construir una rotacion de diversas formas. Esto causa problemas, sino se manipula adecuadamente.

Facil manipulacion y Visualizacion. La eleccion debe contar con una facil ma-nipulacion y una visualizacion geometricamente amigable, esto retribuye directamenteen el costo computacional. Ademas de que se busca, representar tan sencillo como seaposible el teorema de la rotacion de Euler.

En esta seccion se tratan las primeras tres representaciones. En la siguiente seccion, serealiza un estudio a fondo de las propiedades con la que cuentan los cuaternios clasicos.


Ası como, se presenta una introduccion para definir rotaciones a partir del teorema dela Rotacion de Euler, usando cuaternios clasicos.

2.2.1. Par de Rotacion Eje-Angulo

Un camino para parametrizar SO(3)1 es usando directamente el teorema de Eulery representando una rotacion como un par (n, θ). El cual, es conocido como par derotacion Eje-Angulo y existen muchas implementaciones computacionales para realizardirectamente conversiones entre matrices y estos pares de rotacion.

No resulta sencillo componer matrices usando esta notacion, sin tener que recurrira realizar conversiones extras hacia alguna otra representacion. Y recurrir a este tipode medidas representa un alto costo computacional. Sin embargo, una caracterısticaagradable de usar pares de rotacion, es que se puede representar el teorema de Euler demanera directa.

Ventajas. La principal ventaja de los pares de rotacion Eje-Angulo es la represen-tacion directa del teorema de Euler. Esto hace su uso muy atractivo desde un punto devista intuitivo.

Desventajas. En pocas palabras, ambiguedad. Existe un numero infinito de posi-bles angulos (multiplos de 2π) para representar la misma rotacion. Para eliminar estaconfusion, se establece la convencion de que, el eje debera ser un vector unitario y elangulo se encuentra en el intervalo [−π, π]. Aun con el uso de esta convencion, dos paresde rotacion Eje-Angulo refieren a la misma rotacion. Especıficamente, el par (−n,−θ)describe la misma rotacion (n, θ).

Observando a detalle, existe una desagradable redundancia; al realizar una rotacioncero alrededor de cualquier angulo, resulta ser siempre la misma rotacion, la identidad.En otras palabras, la representacion de el elemento identidad de SO(3) no es unica —dehecho hay un numero infinito de estas representaciones— lo cual, puede causar seriosproblemas al momento de implementar un algoritmo.

2.2.2. Angulos de Euler

Euler originalmente desarrollo sus angulos como una herramienta para resolver ecua-ciones diferenciales. Sin embargo, con el paso del tiempo los angulos de Euler, se hanconvertido en uno de los metodos mas usados para representar orientaciones.

El espacio de orientaciones puede ser parametrizado por los angulos de Euler. Paraesto, una orientacion se describe como una serie de rotaciones alrededor de tres ejesmutuamente ortogonales entre si, junto con un angulo para cada rotacion. Usualmente losejes (x, y, z) son usados en un sistema de coordenadas cartesianas, junto con una tripleta

1 En matematicas, el grupo ortogonal especial, conocido como grupo de rotacion.


(θx, θy, θz) para determinar una orientacion. Las rotaciones son usualmente llamadas X-roll, Y-roll y Z-roll. Se puede representar cada una de estas rotaciones matricialmentede la siguiente manera:

X-roll =

1 0 00 cos θx − sin θx0 sin θx cos θx

(2.1)

Y-roll =

cos θy 0 sin θy0 1 0

− sin θy 0 cos θy

(2.2)

Z-roll =

cos θz − sin θz 0sin θz cos θz 0

0 0 1

(2.3)

Cualquier producto entre tres de estas matrices, tal que dos consecutivas no tenganel mismo eje de rotacion, permite representar una orientacion. Existen doce posiblescombinaciones de productos de tres, que se pueden utilizar para describir una orientacion.Estas son usualmente leıdas en el orden en que las rotaciones son aplicadas, y no en elorden de la multiplicacion matricial, lo cual en ocasiones genera confusion.

Por ejemplo, una de las doce posibles combinaciones es, Z-roll Y-roll X-roll, quesignifica aplicar Z-roll primero, despues Y-roll y por ultimo X-roll. Existen dos caminospara aplicar las rotaciones:

Eje fijoEje movil

A grandes rasgos, pues el analisis a detalle queda fuera del alcance de este trabajo, unpunto de vista de eje fijo, indica que se debe rotar el objeto alrededor del eje z, despuesalrededor del eje y y por ultimo alrededor de x. Un punto de vista de eje movil, refierea rotaciones que se deben realizar con respecto a los ejes locales del cuerpo.

Ventajas. Una de las principales ventajas de la utilizacion de los angulos de Euler,es que la gente puede entenderlos de manera rapida y describir orientaciones con ellosde forma eficiente, salvo en algunas situaciones, que se mencionaran mas adelante. Losangulos de Euler cuentan con buena reputacion en la fısica, ya que permiten calcularciertas integrales sobre el espacio de rotaciones de manera mas sencilla.

Otra ventaja es derivada de su representacion matricial, ya que al realizar algunaimplementacion computacional, resulta sencillo realizar su manipulacion algebraica. Si-guiendo con la representacion matricial de los angulos de Euler, resulta sencillo represen-tar movimientos mas completos, debido a que esta representacion, puede operarse conotras transformaciones por ejemplo, traslacion o reflexion.


Desventajas. La principal desventaja de los angulos de Euler, es que matematica-mente existe una singularidad inherente en cualquier parametrizacion mınima (3 parame-tros) de SO(3). Evidentemente no hay una singularidad en el grupo de rotaciones, dadoque es posible girar un cuerpo rıgido en el espacio sin caer en ninguna singularidad.Esta singularidad resulta de la perdida de un grado de libertad en la representacionen si misma, llamada singularidad coordenada (vease [5], para una clara descripcion desingularidades coordenadas).

Como un ejemplo concreto, considere el siguiente conjunto de rotaciones: rotar π/2alrededor de z, despues π/2 en torno a y. Es facil observar que, el eje x ha quedadoalineado con el original eje z. Lo que significa que, cualquier orientacion que pueda serobtenida rotando ahora con respecto a x, pudo haber sido obtenida simplemente rotandoalrededor del eje z. Matematicamente, esto significa que desaparece un grado de libertad.

Esta singularidad se conoce comunmente por su nombre en ingles, Gimbal lock. UnGimbal es un dispositivo fısico que consta de aros concentricos con pivotes conectandolosentre si, permitiendoles rotar libremente (vease Fig. 2.1). Un Gimbal con tres anillos oaros como el mostrado en la figura es de hecho un modelo fısico de un conjunto de angulosde Euler Z-roll Y-roll X-roll. Un Gimbal es usado frecuentemente para implementargiroscopios.

Fig. 2.1. Muestra un Gimbal bloqueado

Gimbal lock, fue una de las razones por las que en la industria aeroespacial, secomenzo hacer uso de otras herramientas como los cuaternios para representar orien-taciones —satelites, cohetes espaciales o aviones no conviven bien con un bloqueo en


sus giroscopios de navegacion, pues esto puede tener consecuencias muy graves. El unicocamino para evitar esta singularidad, es anadir un cuarto aro o anillo y conducir a losdemas fuera de los anillos de bloqueo, pero esto anade complejidad.

Otra desventaja se presenta al momento de querer plantear algun esquema de interpo-lacion o integracion numerica, pues Gimbal lock representa inestabilidad y pobreza enel rendimiento numerico. Ademas, si uno interpola angulos de Euler, la curva resultanteno es el camino mas corto, que es lo que usualmente se busca (vease Watt et al.[6], paraexcelentes ilustraciones de este problema). Tambien, la extrapolacion resulta ser pobreen rendimiento numerico por las mismas razones.

El problema matematico esencial con los angulos de Euler, es que intentan hacer unafactorizacion global del grupo de rotaciones SO(3) en un subconjunto de R3 (subconjuntodebido a las restricciones que se tienen para el angulo). Sin embargo, SO(3) es un grupomınimo y no puede ser factorizado. En otras palabras, este tipo de factorizacion en“pequenos trozos” de SO(3) tendra problemas en alguna parte. Es decir, simplementeno hay forma de darle la vuelta al problema.

2.2.3. Matrices de Rotacion

Las matrices de rotacion son la eleccion clasica para la implementacion de los angulosde Euler. Para cada tipo de roll (vease seccion 2.2.2), existe una correspondiente matrizde rotacion, i.e. una matriz de rotacion X-roll , una Y-roll y una Z-roll . Las matricesrotan multiplicandolas por el vector de posicion de un punto en el espacio, y el resultadoes el nuevo vector de posicion para el punto rotado. Una matriz de rotacion es una matriz3 × 3, pero usualmente se usan matrices 4 × 4 con mejores resultados (vease Foley etal.[7], para mayor detalle). Una rotacion general se obtiene multiplicando las tres matricesroll correspondientes a los tres angulos de Euler. La matriz resultante es una matriz derotacion general que puede ser aplicada directamente al vector de posicion de un puntoen el espacio tridimensional.

La multiplicacion de matrices generalmente no es conmutativa. Esto encaja bien conel hecho de que las rotaciones tampoco conmutan en el espacio tridimensional.

Ventajas. La principal ventaja de usar matrices de rotacion como una herramientapara implementar los angulos de Euler, es que el uso de matrices de transformacion ho-mogenea da la unica aplicacion que incorpora de manera efectiva todas las transformacio-nes estandar: Traslacion, escalado, deslizamiento y varias transformaciones proyectivas.

Desventajas. Si utilizamos matrices de rotacion para implementar angulos de Euler,dada una matriz de rotacion resulta difıcil resolver el problema inverso: ¿Cuales son lasrotaciones originales alrededor de los ejes? En general, no existe una solucion unica aeste problema, lo que implica, tener que manejar esta ambiguedad (para mayor detalle,vease Shoemake & Duff [8]) y como consecuencia se eleva el costo computacional.


Ademas de esto, una rotacion puede ser representada por diferentes matrices de ro-tacion. Matematicamente, significa que el mapeo entre rotacion y matrices de rotacionresulta no ser biyectivo.

Desafortunadamente, las matrices de rotacion tienen serios problemas computaciona-les. Usualmente se usan matrices homogeneas para representarlas, ya que la manipulacionresulta mas sencilla. Sin embargo, esto implica trabajar con informacion redundante. Deuna matriz homogenea de 4× 4, nueve entradas son utilizadas para representar una es-tructura con solo tres grados de libertad y sus ındices (4, i) y (i, 4), con i ∈ {1, 2, 3}son ceros. Ademas, se debe cuidar en todo momento, que sus columnas permanezcanortonormales y su determinante sea positivo. Si al momento de implementar, se tienenlimitaciones de memoria, resulta ser una representacion ineficaz.

Adicionalmente, cuando muchas rotaciones son concatenadas numericamente, el errorde redondeo hara que se pierda la ortonormalidad, lo que introduce efectos de escaladoque generalmente no son deseados. Se puede utilizar el algoritmo de Gram-Schmit (veaseStrang [9]) para renormalizar la matriz, pero puede resultar costoso si se debe realizar amenudo. Ademas el algoritmo de Gram-Schmit es numericamente inestable.

2.3. Cuaternios clasicos

La ultima de las modalidades usadas para describir una rotacion, se define a partirdel teorema de Euler y se implementa con el uso de los cuaternios clasicos. Dado quelos cuaternios clasicos no son tan conocidos como las representaciones anteriormentemostradas, en esta seccion se provee un breve marco historico, ası como una introduccionteorica de los cuaternios clasicos y su uso para representar rotaciones.

2.3.1. Un poco de historia

Los cuaternios fueron inventados por Sir William Rowan Hamilton (∗1809− †1865)en 1843. Hamilton estaba empenado en generalizar los numeros complejos a tres dimen-siones. Es decir, numeros de la forma a+ ib+ jc, donde a, b, c ∈ R y con i2 = j2 = −1. Sinembargo, Hamilton nunca logro obtener este resultado, y fue probado mas tarde en 1966por Kenneth O. May, que el conjunto de los numeros complejos con dimension n = 3 noes cerrado bajo la multiplicacion.

Una de las motivaciones de Hamilton para buscar numeros complejos de dimensionn = 3, fue precisamente encontrar una descripcion de rotacion en el espacio correspon-diente a los numeros complejos, donde una multiplicacion corresponde a la rotacion y aun escalamiento en el plano.

Mientras caminaba por el Canal Royal de Dublın un lunes de Octubre del ano 1843,Hamilton se percato que cuatro numeros son necesarios para describir una rotacion segui-

2.3 Cuaternios clasicos 15

da por un escalamiento. Un numero describe la magnitud del escalamiento, otro corres-ponde con el numero de grados a rotar, y los dos numeros restantes el plano2 en el cual elvector debe ser rotado. Despues de este hallazgo, Hamilton encontro una multiplicacioncerrada para los numeros complejos de dimension n = 4 de la forma s + ix + jy + kz,donde i2 = j2 = k2 = ijk = −1. Hamilton nombro a sus numeros complejos de dimensionn = 4 como cuaternios.

Un cuaternio es usualmente representado como [s,v] con s ∈ R y v ∈ R3. Aquı s sellama la parte escalar, y v = (x, y, z) la parte vectorial.

Hamilton presento a sus cuaternios junto con sus propiedades matematicas en unaserie de lecturas en la Royal Irish Academy. Estas lecturas dieron lugar a un libro (veaseHamilton [10]), cuyo tıtulo completo (con tipografıa similar a la del libro) es:

Lectures on Quaternions: Containing a systematic statement of

A New Mathematical Method

of which the principles were communicated in 1843 to the royal Irish aca-demy; and which has since formed the subject of successive courses oflectures, delivered in 1848 and subsequent years in the halls of trinitycollege, Dublin: with numerous illustrative diagrams, and with some geo-metrical and physical applications.

En el libro (vease pagina 271) Hamilton escribe (de nuevo imitando la tipografıa):

285. We know then how to interpret in two apparently different ways, which are, ho-wever, easily perceived to have an essential connection with each other, the followingsymbol of operation,

q () q−1;

where q may be called (as before) the operator quaternion while the symbol (suppose r) ofthe operand quaternion is conceived to occupy the place marked by the parentheses. Forwe may either consider the effect of the operation, thus symbolized, to be (as in 282, 283)a conical rotation of the axis of the operand round the axis of the operator, through doublethe angle thereof, in such a manner as to transport the vertex of the representative angleof the operand to a new position on the unit sphere, without changing the magnitude ofthat angle, nor the tensor of the quaternion thus operated on: or else, at pleasure, mayregard (by 285) the operation as causing one extremity of the representative arc of thesame operand (r) to slide along the doubled arc of the same operator (q), without any

2 El plano xy puede ser rotado hacia cualquier plano en el espacio xyz a traves del origen dando losangulos de rotacion al rededor de los ejes x y y.


change in the length of the arc so sliding, nor of its inclination to the great circle alongwhich its extremity thus slides.

El lector historicamente interesado puede referirse a Hamilton, 1899 [11] y Hallenberget al.,1993 [12].

2.3.2. Cuaternios y su algebra

En esta seccion se establece la notacion usada para representar cuaternios, ası comoun acercamiento al algebra de cuaternios, si el lector se encuentra interesado en obtenereste acercamiento de forma mas profunda y al mismo tiempo con mayor formalidad,vease [13].

Notacion

Se usa ≡ para referirse a igualdad por definicion. Los intervalos cerrados en la rectareal son denotados por [a, b] ≡ {x | a ≤ x ≤ b; a, b, x ∈ R} . Un intervalo semi-abierto esrepresentado como, ]a, b] ≡ {x | a < x ≤ b; a, b, x ∈ R} . El conjunto de las funcionesn-veces diferenciables de A a B con derivadas continuas se denotan como, Cn (A,B) .

Definicion 2.2. El conjunto de los cuaternios es denotado por H.

Los cuaternios consisten de una parte escalar, s ∈ R y una parte vectorial, v =(x, y, z) ∈ R3.

Definicion 2.3. Sean i2 = j2 = k2 = ijk = −1, ij = k y ji = −k. Entonces q ∈ H puedeescribirse como:

q ≡ [s,v] , s ∈ R, v ∈ R3

≡ [s, (x, y, z)] , s, x, y, z ∈ R≡ s+ ix+ jy + kz , s, x, y, z ∈ R.

Se puede identificar facilmente al conjunto de cuaternios {[s,0] | s ∈ R} con R y alconjunto

{[0,v] | v ∈ R3

}directamente con R3.

Definicion 2.4. Sean q, q′ ∈ H, donde q = [s, (x, y, z)] y q′ = [s′, (x′, y′, z′)]. El operadoradicion (+) se define como:

q+q′ ≡ [s,v]+[s′,v′] ≡ [s, (x, y, z)]+[s′, (x′, y′, z′)] ≡ (s+ix+jy+kz)+(s′+ix′+jy′+kz′).

Proposicion 2.5. (Adicion). Sean q, q′ ∈ H, donde q = [s,v] y q′ = [s′,v′]. Entonces

q + q′ = [s+ s′,v + v′]. (2.4)

Prueba. ∀ q, q′ ∈ H,


q + q′ ≡ [s,v] + [s′,v′]≡ (s+ ix+ jy + kz) + (s′ + ix′ + jy′ + kz′)= (s+ s′) + i(x+ x′) + j(y + y′) + k(z + z′)≡ [s+ s′,v + v′].

�

Definicion 2.6. Sean q, q′ ∈ H, donde q = s+ ix+ jy+ kz y q′ = s′+ ix′+ jy′+ kz′. Lamultiplicacion esta definida como:

qq′ ≡ [s,v][s′,v′] ≡ [s, (x, y, z)][s′, (x′, y′, z′)] ≡ (s+ ix+ jy + kz)(s′ + ix′ + jy′ + kz′).

Proposicion 2.7. (Multiplicacion). Sean q, q′ ∈ H, donde q = [s,v] y q′ = [s′,v′]. En-tonces

qq′ = [ss′ − v · v′,v × v′ + sv′ + s′v], (2.5)

donde · y × representan al producto escalar y vectorial en R3, respectivamente.

Prueba. De la definicion 2.3, las siguientes identidades pueden obtenerse de pasos alge-braicos simples: jk = i, kj = −i, ik = −j y ki = j. Estas identidades seran de ayuda enla demostracion

qq′ ≡ [s,v][s′,v′]≡ (s+ ix+ jy + kz)(s′ + ix′ + jy′ + kz′)= ss′ − (xx′ + yy′ + zz′) + i(sx′ + s′x+ yz′ − zy′)

+j(sy′ + s′y + zx′ − xz′) + k(sz′ + s′z + xy′ − yx′)≡ [ss′ − v·v′,v×v′ + sv′ + s′v].

�

Corolario 2.8. La multiplicacion de cuaternios generalmente no es conmutativa.

Prueba. Tomese el siguiente contra ejemplo: ij = k, pero ji = −k.

�

A continuacion se daran una serie de proposiciones obviando la demostracion. Laspruebas se basan en los principios utilizados anteriormente o se puede consultar, porejemplo [13] para obtener formalmente estas.

Proposicion 2.9. Sean p, q y q′ ∈ H. Entonces

(pq)q′ = p(qq′) asociatividad,p(q + q′) = pq + pq′ distributividad izquierda y(q + q′)p = qp+ q′p distributividad derecha sobre la suma.


Para realizar la multiplicacion por un escalar, resulta mas sencillo identificar el escalarr ∈ R con el cuaternio [r,0].

Definicion 2.10. Sea q ∈ H y r ∈ R. La multiplicacion por un escalar queda definidacomo:

rq ≡ [r,0]q.

Proposicion 2.11. (Multiplicacion por escalar). Sea q ∈ H, donde q = [s,v] y sear ∈ R. Entonces

rq = qr = [r,0][s,v] = [rs, rv].

Note que la proposicion, permite ver la conmutatividad en la multiplicacion por escalar.

Definicion 2.12. Dados q, q′ ∈ H, se define a la resta entre cuaternios como:

q − q′ ≡ q + (−1)q′.

La definicion anterior da lo esperado:

Proposicion 2.13. Sean q, q′ ∈ H, donde q = [s,v] y q′ = [s′,v′]. Entonces

q − q′ = q + (−1)q′ = [s− s′,v − v′].

Definicion 2.14. Sea q ∈ H. Entonces q∗ es llamado el conjugado de q y se define

q∗ ≡ [s,v]∗ ≡ [s,−v].

Dando lugar a las siguientes propiedades:

Proposicion 2.15. Sean p, q ∈ H. Entonces:

i) (q∗)∗ = q ii) (pq)∗ = q∗p∗ iii) (p+ q)∗ = p∗ + q∗ iv) qq∗ = q∗q.

La norma de un cuaternio se obtiene usando conjugacion:

Definicion 2.16. Sea p ∈ H y sea el mapeo ‖·‖ : H → R definido como ‖q‖ ≡√qq∗.

Donde se llama a ‖q‖ la norma de q.

La norma tiene una serie de propiedades interesantes que se resumen a continuacion:

Proposicion 2.17. Sean q, q′ ∈ H y sea ‖·‖ : H → R como en la definicion 2.16. Lassiguientes ecuaciones se cumplen:

‖q‖ =√s2 + v · v =

√s2 + x2 + y2 + z2, (2.6)

‖q∗‖ = ‖q‖ y (2.7)∥∥qq′∥∥ = ‖q‖∥∥q′∥∥ . (2.8)


Definicion 2.18. Sean q, q′ ∈ H, q = [s,v] = [s, (x, y, z)], q′ = [s′,v′] = [s′, (x′, y′, z′)].El producto interno se define como · : H×H→ R donde q·q′ ≡ ss′ + v · v′ = ss′ + xx′ +yy′ + zz′.

Note que de la definicion se deriva q·q = s2 + x2 + y2 + z2, lo cual da origen al siguientecorolario:

Corolario 2.19. (A proposicion 2.17). La norma de un cuaternio q puede ser obte-nida por ‖q‖ =

√q·q. Ademas, ‖·‖ es una norma en el sentido matematico usual.

Proposicion 2.20. Sean q, q′ ∈ H. Defina q, q′ como los correspondientes vectores de dimen-sion n = 4 y sea α el angulo entre ellos. Entonces q·q′ = ‖q‖ ‖q′‖ cosα.

2.3.3. Algunas propiedades algebraicas de los Cuaternios

En esta seccion se prueba que el conjunto de los cuaternios H \ [0, (0, 0, 0)], es ungrupo no abeliano bajo el producto de cuaternios. Al final de la seccion se presentan unaserie escogida de algunas propiedades algebraicas para los cuaternios.

Definicion 2.21. Se representa el conjunto de los cuaternios H \ [0, (0, 0, 0)] como◦H.

Definicion 2.22. Sea G un conjunto con un operador · : G × G → G definido como(a, b)→ a · b ≡ ab. G es un grupo si

i) a(bc) = (ab)c; ∀ a, b, c ∈ G; El operador es asociativo

ii) ∃! I ∈ G, tal que, Ia = aI = a, ∀ a ∈ G; I es el elemento neutro

iii) ∀ a ∈ G, ∃ a−1 ∈ G, tal que, aa−1 = a−1a = I. a−1 es el inverso de a

si ab = ba, ∀ a, b ∈ G, G es llamado abeliano o grupo conmutativo.

La existencia de elementos neutro e inverso en◦H bajo la multiplicacion o producto

de cuaternios queda mostrado en los siguientes dos lemas:

Lema 2.23. El elemento I = [1, 0] ∈◦H, es el unico elemento neutro bajo el producto de

cuaternios.

Prueba. Sea q ∈ H. De la proposicion 2.11 se obtiene qI = Iq = [1s, 1v] = [s,v] = q.

Por lo tanto, I es el elemento neutro. Ademas, I es el unico elemento en◦H que reune las

propiedades para ser elemento neutro. Para ver esto, se asume que J tambien reune lasmismas propiedades. Entonces IJ = I, porque J es un elemento neutro. Ademas IJ = J ,dado que I tambien es elemento neutro. Ası que I = IJ = J , por lo tanto I = J e I es

el unico elemento neutro en◦H.


�

Lema 2.24. Sea q ∈◦H. Entonces ∃! q−1 ∈ H, tal que qq−1 = q−1q = I. Donde

q−1 =q∗

‖q‖2

Prueba. Dado q ∈◦H. Se debe encontrar que el inverso multiplicativo existe y es unico.

UnicidadSean p1, p2 ∈ H ambos inversos de q.

p1 = p1I = p1(qp2) = (p1q)p2 = Ip2 = p2.

ExistenciaSea p = q∗

‖q‖2 . Entonces

qp = q q∗

‖q‖2 = qq∗

‖q‖2 = ‖q‖2

‖q‖2 = 1 ≡ I y

pq = q∗

‖q‖2 q = q∗q

‖q‖2 = qq∗

‖q‖2 = ‖q‖2

‖q‖2 = 1 ≡ I.

Por lo tanto, cualquier cuaternio en◦H tiene un inverso unico.

�

Proposicion 2.25. El conjunto◦H es un grupo no abeliano bajo la multiplicacion de cuater-

nios.

Prueba. Directamente de la proposicion 2.7, el conjunto de cuaternios es cerrado bajo

la multiplicacion.◦H cumple definicion 2.22 i) gracias a la proposicion 2.9, ii) y iii) se

cumplen de los lemas 2.23 y 2.24. Entonces, de lo anterior,◦H es un grupo no abeliano,

dado que el producto de cuaternios no es conmutativo.

�

Otras propiedades algebraicas

El conjunto de los cuaternios satisface algunas otras propiedades algebraicas, que valela pena mencionar. Estas son presentadas sin ningun preambulo:

El conjunto de los cuaternios es un grupo abeliano (H,+) bajo la adicion.El conjunto de los cuaternios es un anillo no abeliano (H,+, ·), donde + y ·, repre-sentan suma y producto respectivamente.


2.3.4. Cuaternios unitarios

Esta seccion discute un subconjunto del grupo de los cuaternios —el conjunto de loscuaternios unitarios.

Definicion 2.26. Sea q ∈ H. Si ‖q‖ = 1, entonces q es unitario. H1 denota el conjuntode todos los cuaternios unitarios.

El conjunto de los cuaternios unitarios constituye una esfera unitaria en el espacio condimension n = 4. Mas adelante, se vera que este conjunto juega un papel de suma im-portancia en relacion con las rotaciones de un objeto rıgido. Las siguientes proposicionesserviran para entender la proposicion 2.32, una de las mas importantes de los cuaternios.

Proposicion 2.27. Sea q = [s,v] ∈ H1. Entonces ∃ v′ ∈ R3 y θ ∈]− π, π], tal que

q = [cos θ,v′ sin θ].

Prueba. Si q = [1,0] se fija θ = 0 y v′ puede ser libremente escogida como cualquiervector unitario en R3.

Si q 6= [1,0] se fija k = |v| y v′ = 1kv. Donde v′ es un vector unitario en R3. Debido

a que q es un cuaternio unitario, se tiene

1 = ‖q‖2 = s2 + v · v = s2 + k2v′ · v′ = s2 + k2,

la ecuacion s2 + k2 = 1 describe un cırculo en el plano. Dado que un cırculo tambien esdescrito por cos2 θ + sin2 θ = 1, existe θ ∈]− π, π] tal que s = cos θ y k = sin θ. Y ası sellega a

q = [s,v] = [s,v′k] = [cos θ,v′ sin θ].

�

A continuacion se presentan dos importantes propiedades para los cuaternios unita-rios.

Proposicion 2.28. Sean q, q′ ∈ H1. Las siguientes dos ecuaciones se cumplen:

i)∥∥qq′∥∥ = 1 ii) q−1 = q∗.

Prueba. Se tiene quei) ‖qq′‖ = ‖q‖ ‖q′‖ , dado que ‖q‖ = ‖q′‖ = 1. (por ecuacion 2.8 en proposicion 2.17).ii) q−1 ≡ q∗/ ‖q‖2 = q∗, debido a ‖q‖ = 1.

�


Obviamente el conjunto de cuaternios unitarios H1 es un subconjunto de◦H. Sin

embargo, se vera formalmente que tambien es un subgrupo.

Definicion 2.29. Sean G un grupo y F 6= ∅ un subconjunto de G. F es un subgrupo deG si

i) ∀ a, b ∈ F, ab ∈ F (F es cerrado).ii) ∀ a ∈ F, a−1 ∈ F.

Proposicion 2.30. El conjunto H1 de cuaternios unitarios es un subgrupo de◦H.

Prueba. Sea q, q′ ∈ H1. De la proposicion 2.28 se tiene que ‖qq′‖ = 1, i.e qq′ ∈ H1, yası se cumple definicion 2.29 i). De la ecuacion 2.7 en proposicion 2.17 y de la proposicion2.28 facilmente se obtiene ∥∥q−1

∥∥ = ‖q∗‖ = ‖q‖ = 1

de este modo se cumple definicion 2.29 ii), es decir q−1 ∈ H1.

�

2.3.5. Rotacion con Cuaternios

Uno de los principales objetivos de Hamilton fue describir rotaciones en el espacio,ası como los numeros complejos lo hacen en el plano. Un cuaternio puede ser utilizadopara representar una rotacion en el espacio euclidiano de dimension n = 3, R3. De hecho,esto es una de las propiedades mas interesantes derivadas de los cuaternios, que hatenido aplicaciones importantes en muchas areas, como la fısica, robotica, procesamientode senales, graficas por computadora, animacion, por mencionar solamente algunas. Enesta seccion, sera explicado a partir de una serie de proposiciones como los cuaterniospueden realizar rotaciones para vectores en R3.

Proposicion 2.31. Sea p ∈ H, p = [s, (x, y, z)] = [s,v] y sea q ∈◦H. Si r ∈ R \ {0} entonces

(rq)p(rq)−1 = qpq−1.

Prueba. Sea r ∈ R \ {0}. El inverso de rq es q−1r−1. Debido a que la multiplicacion porescalar es conmutativa se puede escribir

(rq)p(rq)−1 = rqpq−1r−1 = qpq−1rr−1 = qpq−1,

ası qpq−1 no cambia si q se multiplica por un escalar distinto de cero.

�


Cabe mencionar que, esta proposicion es de gran utilidad, ya que cualquier resultado

obtenido para H1 puede generalizarse para◦H.

A continuacion se realizara un estudio a detalle del principal teorema de esta seccion,con el proposito de poner en claro la forma en que los cuaternios pueden generar unarotacion (vease Watt & Watt [6], como referencia).

Proposicion 2.32. Sea q ∈ H1, q = [cosθ,n sin θ]. Sea r = (x, y, z) ∈ R3 y p = [0, r] ∈ H.Entonces p′ = qpq−1, donde p′ es p rotado 2θ alrededor del eje n.

Prueba. Primero se muestra como un vector r es rotado un angulo θ alrededor del ejen, usando senos, cosenos y el producto escalar junto con vectorial. Entonces hecho loanterior, se procede a mostrar que el mismo resultado puede ser obtenido a traves deuna rotacion con cuaternios.

Asuma que Rr es el vector r rotado un angulo θ alrededor del vector unitario n. Elvector r puede ser escrito como la suma de dos componentes, r‖ y r⊥, donde r‖ es laproyeccion de r sobre n, y r⊥ es ortogonal a n. Entonces

r‖ = (r·n)n yr⊥ = r− r‖ = r− (r·n)n.

Para ver como una rotacion afecta el vector r, imagınese un sistema coordenado dedimension n = 2 en el plano que es ortogonal a n y que contiene a los puntos designadospor r y Rr. Para esto es necesario un vector v ortogonal a r⊥ y n:

v = n× r⊥ = n× (r− (r·n)n) = n× r− n× (r·n)n) = n× r− 0 = n× r.

De la Fig. ??, se puede observar que la componente de Rr ortogonal a n, (Rr)⊥puede ser escrita como

(Rr)⊥ = r⊥ cos θ + v sin θ

Ahora se tiene que

Rr = (Rr)‖ + (Rr)⊥= r‖ + r⊥ cos θ + v sin θ= (r · n)n + (r− (r · n)n) cos θ + v sin θ= (r · n)n− (r · n)n cos θ + r cos θ + v sin θ= (1− cos θ)(r · n)n + r cos θ + (n × r) sin θ.

(2.9)

Ahora se examinara el efecto de aplicar el producto de cuaternios a un vector, y severa que el resultado es el mismo a lo obtenido en ecuacion (2.9).

Se tiene Rq(p) = qpq−1, se pide al lector recordar que p = [0, r] y que q es el cuaterniounitario [s,v] :


Rq(p) = [s,v][0, r][s,v]−1

= [s,v][0, r][s,−v]= [s,v][v · r, sr− r × v]= [s(v · r)− v · (sr − r × v), s(sr− r × v) + (v · r)v + v × (sr − r × v)]= [0, s2r− sr × v + (v · r)v + v × (sr)− v × (r × v)]= [0, s2r + (v · r)v − v × (r × v)− 2s(r × v)]= [0, s2r + (v · r)v − (v · v)r + (v · r)v + 2s(v × r)](∗)= [0, s2r + (v · r)v − (v · v)r + (v · r)v + 2s(v × r)]

(2.10)(∗) Aquı se usa la identidad v1 × (v2 × v3) = (v1 · v3)v2 − (v1 · v2)v3.

Dado que q es un cuaternio unitario, es posible escribir q = [cos θ,n sin θ], donde |n| =1 (por proposicion 2.27 en pagina 17). Por simplicidad se reescribe q = [cos θ, (sin θ)n] yse sustituye en Rq(p):

Rq(p) = [0, (cos2 θ − sin2 θ(v · v))r + 2((sin θ)n · r)(sin θ)n + 2 cos2 θ((sin θ)n × r)]= [0, (cos2 θ − sin2 θ)r + (2n sin2 θ)(n · r) + 2 cos θ sin θ(n × r)]= [0, r cos 2θ + (1− cos 2θ)(n · r)n + (n × r) sin 2θ]= [0, (1− cos 2θ)(r · n)n + r cos 2θ + (n × r) sin 2θ].

(2.11)De acuerdo a lo anterior, se puede ver que los resultados (2.9) y (2.11) son iguales,

excepto por el angulo 2θ en lugar de θ. Ası, dados un vector unitario n y un angulo derotacion θ, el cuaternio unitario q = [cos θ,n sin θ], rota r un angulo 2θ alrededor de n.

�

Como consecuencia a la proposicion 2.32, se deriva un interesante resultado:

Corolario 2.33. Cualquier rotacion θ alrededor de n, |n| = 1 en el espacio euclidianoR3, puede obtenerse por medio de un cuaternio unitario.

Prueba. La demostracion es sencilla y se basa en la construccion del cuaternio unitario,q = [cos θ2 ,n sin θ

2 ]. Ası la rotacion deseada es obtenida.

�

Es posible realizar la composicion de rotaciones aplicando la correspondiente multi-plicacion de cuaternios unitarios. Esto es formalizado en:

Proposicion 2.34. Sean q1, q2 ∈ H1. La rotacion de q1 seguida por q2 es equivalente a larotacion de q2q1.

Prueba. Dado p ∈ H, el resultado se sigue directamente de


q2(q1pq−11 )q−1

2 = (q2q1)p(q−11 q−1

2 )= (q2q1)p(q∗1q

∗2) (proposicion 2.28)

= (q2q1)p(q2q1)∗ (proposicion 2.15)= (q2q1)p(q2q1)−1 (proposicion 2.28)

�

2.3.6. Intuicion geometrica

En esta seccion se realizan algunas observaciones, que pueden ayudar al lector a lograrun entendimiento mas intuitivo acerca de la rotacion realizada con cuaternios.

Cuaternios y su movimiento.

Una manera sencilla de entender como los cuaternios generan una rotacion sobre algunvector r = [x, y, z] ∈ R3, es entender como se construye el cuaternio unitario q ∈ H1, quepermite realizar la rotacion buscada. Dicho cuaternio q, se construye a partir del anguloθ y del eje de rotacion v; cabe mencionar que se requiere normalizar v, para conseguirque q este en H1. Entonces, a partir de la proposicion 2.32 y el corolario 2.33, es posibleestablecer que

q = [cosθ

2,n sin

θ

2], donde n =

v|v|. (2.12)

Ahora, es necesario construir a partir de r, un cuaternio p = [0, r] = [0, x, y, z] y ası apli-cando

p′ = qpq−1, (2.13)

se consigue rotar p, obteniendo un nuevo cuaternio p′ = [0, r′] = [0, x′, y′, z′], donde r′

representa a r rotado un angulo θ sobre un eje v. Esta idea se simplifica observando lasiguiente figura.

La figura 2.2, permite ver que si se aplica una composicion sobre (2.13), es decirp′ = q . . . qqpq−1q−1 . . . q−1, el resultado serıa un movimiento en cırculo para la posicionoriginal representada como el vector de posicion r. Gracias a esta cualidad, muchas areasen la ciencia y en la industria se han interesado en el estudio de los cuaternios.

Los cuaternios q y q−1

Sea q = [s,v] ∈ H1. Entonces [s,v]−1 = q−1 = q∗ = [s,−v], puede resultar util paraexaminar la interpretacion geometrica de lo siguiente: el inverso de q, q−1, rota el mismonumero de grados que q, pero el eje de rotacion en direccion opuesta.

El cuaternio −q, representa exactamente la misma rotacion que q (vease proposicion2.11). Esto podrıa resultar inusual, pero deberıa de esperarse, ya que: una rotacion a


r

r’O

V

n

Fig. 2.2. Rotacion del vector r un angulo θ a partir del eje de rotacion v

traves de un angulo θ alrededor de un eje n, se puede tambien expresar como una rotaciona traves de un angulo −θ alrededor de un eje −n. Resulta esteticamente agradableencontrar ambas rotaciones en la esfera de cuaternios unitarios. La misma dualidadocurre en el teorema de la rotacion de Euler.

2.3.7. Un panorama algebraico

Esta seccion contiene un pequeno resumen de propiedades algebraicas que las rota-ciones contienen en general. Se asume que el lector se encuentra familiarizado con losconceptos matematicos y debido a esto se omite describirlas a detalle. Esta seccion seencuentra enfocada sobre el algebra discutida previamente y solo se presenta para ellector interesado.

El grupo de todas las rotaciones alrededor del origen en el espacio euclidiano R3,es conocido en la literatura como SO(3) (vease Shoemake [14], como referencia). Aquı,S viene de la palabra en ingles “special” y O(3) se deriva de la definicion: O(n) ={n× n matrices‖OtO = I

}—el conjunto de matrices ortonormales n× n.

El conjunto H1 forma un subgrupo para el grupo no abeliano de los cuaternios (veaseseccion 2.3.4). En la literatura, H1 es tambien conocido como S3. Este grupo constituyeuna hiperesfera en el espacio de cuaternios. La metrica esferica para S3 es equivalente ala metrica angular para SO(3) (Shoemake [15]).

Ademas, el grupo de rotaciones puede ser proyectado sobre la esfera unitaria de H1.Esta proyeccion es 2 a 1 (como en seccion 2.3.6): para cada rotacion existen 2 correspon-dientes cuaternios unitarios —q que se obtiene directamente y −q, que es el cuaterniounitario antıpoda (Shoemake [14] y Foley et al. [7]).


De acuerdo a estos antecedentes, es posible ver que si se logra una interpolacionsuave entre dos cuaternios unitarios, entonces es posible obtener una interpolacion entredos rotaciones generales. No obstante, el problema no es trivial, en particular porque H1

constituye un espacio no Euclidiano, lo cual no permite aplicar metodos convencionales deinterpolacion, como los splines (vease Farin [16] y Boor [17]). Aunque, existen equivalentesmetodos de interpolacion (vease Juttler, B.[25]) que pueden ser empleados de maneraeficiente.

2.3.8. Cuaternios —Desventajas

Cuaternios solo representan rotacion.

Es posible implementar traslacion utilizando cuaternios (se puede utilizar la adicion,interpretando la parte vectorial del cuaternio como el vector de traslacion). En Maillot[18], un tipo de cuaternio homogeneo se define con una multiplicacion, representandouna traslacion y rotacion como un producto entre cuaternios.

Aunque es posible definir un cuaternio homogeneo y, ası, incluir la traslacion, estageneralizacion no es tan elegante como las matrices homogeneas. Dicha extension ho-mogenea ha resultado con poca aceptacion en la literatura y en general los cuaterniosson usados solo para representar rotaciones.

Representacion complicada.

Los cuaternios no se encuentran incluidos en los planes de estudio estandares relacio-nados con las matematicas. En algunas situaciones se estudia el grupo de los cuaternios,aunque no ha profundidad, ni desde un punto de vista que refiera aplicacion. Es poresta razon que se considera un tema difıcil y requiere un poco de trabajo al inicio. Sinembargo, su estudio resulta sencillo cuando se tiene algun conocimiento en algebra dematrices.

2.3.9. Cuaternios —Ventajas

Interpretacion geometrica obvia.

Los cuaternios representan a la rotacion como un angulo alrededor de un eje. Estoresulta ser un camino mas natural que los angulos de Euler, para percibir una rotacion.Ademas, la correspondencia obvia entre el teorema de Euler y las rotaciones representadaspor cuaternios, genera un entendimiento intuitivo.

Por otro lado, el mapeo entre rotaciones y cuaternios no es ambiguo, con la excepcionde ser un mapeo 2 a 1. Se podrıa pensar lo anterior como una debilidad. Sin embargo,resulta algo natural, si se piensa que cualquier rotacion en el espacio euclidiano R3 sepuede obtener rotando en direccion opuesta sobre el eje. (vease secciones 2.3.6 y 2.3.7).


Sistema de coordenadas independiente.

La rotacion con cuaternios no se encuentra influenciada por la eleccion del sistema decoordenadas. Por ejemplo, el usuario de un sistema de animacion, no necesita preocuparsepor usar una cierta convencion para el orden de rotaciones alrededor de ejes explıcitos.

Metodos de interpolacion simples.

Los cuaternios permiten elegantes planteamientos para metodos de interpolacion. Di-chos metodos permiten obtener como resultado interpolaciones suaves y eficientes.

Representacion compacta.

La representacion de rotaciones usando cuaternios es compacta en el sentido que solose necesitan los cuatro grados de libertad planteados por el teorema de Euler (seccion2.1.2). En la teorıa todos los cuaternios pueden ser usados para la rotacion (proposicion2.31). En la practica solo los cuaternios unitarios resultan ser utiles para este fin. Porlo tanto, solo una restriccion debe ser tratada durante el computo, a diferencia de lasseis restricciones que se deben manipular si se usan matrices de rotacion (vease seccion2.2.3).

No existe gimbal lock.

Dado que Gimbal lock es un problema heredado de la representacion matricial delos angulos de Euler, no aparece en la representacion de las rotaciones usando cuaternios(explicado a detalle en seccion 2.2.2).

Composicion simple.

Las rotaciones se componen de manera facil cuando se usan cuaternios. La compo-sicion corresponde al producto de cuaternios. Rotacion con q1 seguida de q2 significa lomismo que utilizar simplemente el cuaternio q2q1 (proposicion 2.34).

2.4. Conclusiones

Se han citado una serie de ventajas y desventajas de las diferentes representaciones derotacion. Usar angulos de Euler representados por matrices de rotacion genera muchosproblemas, debido a que las rotaciones se deben expresar usando tres diferentes angulosalrededor de un diferente eje, donde el orden de aplicacion es de suma importancia.Ademas, que existe posibilidad de encontrar gimbal lock. Y finalmente, es problematico

2.4 Conclusiones 29

y de gran costo computacional tratar estas restricciones durante el calculo en algunalgoritmo. Por otro lado, los cuaternios cuentan con una representacion compacta, unainterpretacion geometrica intuitiva y una representacion que no depende de un sistemacoordenado. La unica ventaja real de las matrices de rotacion o de las matrices en general,es la de representar todas las otras transformaciones.

Por lo tanto, se puede concluir que, los cuaternios ofrecen la mejor eleccion en larepresentacion de rotaciones.

Capıtulo 3

Rotacion, Traslacion y Cuaternios duales

Retomando la idea principal de este trabajo, lo que se busca es replantear o reformulara cualquier problema que se tenga en estudio –independientemente del tipo, como unatransicion de estado para un objeto. Es decir, como la trayectoria de un cuerpo rıgidoen movimiento a traves del espacio. Aunque esta nocion podrıa ser utilizada para movi-mientos generales de dimension finita, se restringe el analisis a trayectorias de dimensionn = 3. Este concepto se puede abordar desde dos importantes perspectivas:

1. Rotacion definida a partir del teorema de rotacion de Euler.2. Rotacion mas Traslacion definidas a partir del teorema de Chasles.

En el capıtulo anterior se plantearon las bases teoricas, para poder construir la tra-yectoria de un cuerpo rıgido a partir del teorema de la rotacion de Euler, utilizandocuaternios clasicos para la representacion de orientaciones a partir de una rotacion. Sinembargo, a pesar de la eficiencia de los cuaternios para representar rotaciones, no es po-sible representar traslaciones con ellos y ası obtener una representacion completa de unatrayectoria de cuerpo rıgido. Existen alternativas que lo permiten y resultan ser eficientes(vease seccion 2.3.8 y Maillot [18]), pero lo ideal es contar con alguna herramienta quepermita una representacion completa de una trayectoria.

En este capıtulo, se describe un modelo que permite representar la rotacion y trasla-cion de un cuerpo rıgido a partir del teorema de Chasles, utilizando una nueva herramien-ta matematica, que ya ha empezado a ser de gran interes en muchas areas como robotica,graficas por computadora, cinematica inversa y otras, debido a que se puede representarrotacion y traslacion al mismo tiempo, dentro de un solo elemento matematico, llamadocuaternio dual.

32 3 Rotacion, Traslacion y Cuaternios duales

3.1. Rotacion, Traslacion y el teorema de Chasles

En el capıtulo anterior, se definio formalmente el concepto de rotacion, ası como suutilizacion para determinar la orientacion de un cuerpo rıgido en el espacio euclidiano dedimension n = 3. Junto a esa definicion, se realizo un analisis para determinar, entre lasexistentes formulaciones de rotacion, cual era la mejor. Sin embargo, el movimiento deun cuerpo rıgido no solo esta compuesto de rotaciones; es en la presente seccion dondese describe de manera general el movimiento incluyendo la parte traslacional.

3.1.1. La Traslacion

Las traslaciones resultan ser mas sencillas que las rotaciones. Estas, se entienden comomovimientos directos que no alteran la orientacion, la forma ni el tamano de un cuerporıgido. Una traslacion, se puede interpretar tambien como la suma de un vector constantea cada punto del cuerpo rıgido, o como cambiar el origen del sistema coordenado.

Definicion 3.1. Sean p,∆p ∈ R3, donde p = (p0, p1, p2) un vector de posicion y ∆p =(∆p0, ∆p1, ∆p2) un vector de traslacion. Entonces, una traslacion se define a traves delnuevo vector de posicion p′ como

p′ = p + ∆p = (p0 +∆p0, p1 +∆p1, p2 +∆p2).

3.1.2. Movimiento general de un cuerpo rıgido

En el caso mas general, el desplazamiento de un cuerpo rıgido, esta determinadopor una traslacion seguida de una rotacion alrededor de algun eje. Lo anterior es unageneralizacion del teorema de la rotacion de Euler (vease capitulo anterior, seccion 2.1.2),lo cual tambien es conocido como el teorema de Chasles (que sera visto mas adelante). Enla practica, esto significa que mınimamente son necesarios seis parametros para definir lalocalizacion (posicion + orientacion) de un cuerpo rıgido en el espacio tridimensional. Trescoordenadas definen la posicion del centro de masa y tres mas que definen la orientaciondel cuerpo.

Definicion 3.2. Sean p,d ∈ R3, vectores de posicion y traslacion repectivamente. Ası co-mo, un operador de rotacion R. Entonces, un movimiento general de cuerpo rıgido sedenota como

p′ = Rp + d,

donde p′ es el nuevo vector de posicion.

Con la intencion de ejemplificar, se puede construir la matriz M homogenea 4× 4, apartir de una matriz R de rotacion 3× 3 y un vector de desplazamiento d

3.2 Numeros duales 33

M =[R dT

0 1

], (3.1)

y aplicar esta, al vector de posicion p = (p0, p1, p2, 1) tambien homogeneo, obteniendoun nuevo vector

p′ = Mp. (3.2)

3.1.3. El teorema de Chasles

Uno de los resultados fundamentales en cinematica es un teorema que se atribuyo aMichel Chasles (1830), aunque Mozzi y Cauchy cuentan con credito debido a resulta-dos similares anteriores a el. Ademas como ya se ha mencionado, se le considera unageneralizacion al teorema de rotacion de Euler (seccion 2.1.2).

Teorema 3.3. (Chasles, 1830). El movimiento general de un cuerpo rıgido, se puede des-cribir por una rotacion en torno a un eje unico, seguida de una traslacion a lo largo deun eje paralelo al eje de rotacion.

Lo que significa, que cualesquiera dos vectores de posicion p y p′, siempre existe ununico eje de rotacion ` y un angulo θ, tal que es posible construir (3.1), a partir de unoperador de rotacion R en funcion de θ y `, ası como un vector de desplazamiento d,paralelo al eje de rotacion `.

3.2. Numeros duales

En esta seccion, se introduce un sutil panorama de un tipo de algebra poco conoci-do, los numeros duales, que fueron desarrollados a mediados del siglo XIX por Cliffordy sistematicamente aplicados a la cinematica, anos despues de su descubrimiento. Estaseccion, resulta de gran utilidad para comprender el desarrollo teorico, que se presen-tara mas adelante, con el objetivo de construir un modelo que permita representar, tantorotacion como traslacion de un cuerpo rıgido en un solo elemento matematico llamado,cuaternio dual.

3.2.1. Numeros duales y su algebra

El sistema de los numeros duales D, resulta ser una extension de los numeros realesal aumentar un elemento nilpotente1 ε, con la propiedad ε2 = 0. El sistema D, es unsistema “complejo” con dos unidades justo como los numeros imaginarios o complejosC. Un elemento z ∈ C, se encuentra dado por z = a + ib, donde a, b ∈ R e i cumple lapropiedad i2 = −1. Mientras que un elemento z ∈ D, esta representado como z = a+ εb,con a, b ∈ R y ε definido como ya se habıa mencionado por ε2 = 0.1 Un elemento x de un anillo R se dice nilpotente si existe algun entero positivo n tal que xn = 0


Definicion 3.4. Sean z0, z1 ∈ D, se denota la adicion como

z0 + z1 = (a0 + εb0) + (a1 + εb1) = a0 + a1 + ε(b0 + b1). (3.3)

Definicion 3.5. Sean z0, z1 ∈ D, se denota el producto como

z0z1 = (a0 + εb0)(a1 + εb1) = a0a1 + ε(a0b1 + a1b0). (3.4)

Estas operaciones son cerradas, ası como asociativas y conmutativas. El productoresulta distributivo sobre la adicion. La adicion cuenta con un elemento identidad, eldual (0 + ε0). De esta propiedad, se consigue que los numeros duales sean un grupoabeliano bajo la adicion. Una identidad multiplicativa existe para numeros duales conparte real diferente de cero. Ası, D forma un anillo abeliano bajo estas operaciones. Seomite la demostracion para lo anterior, debido a que esto, queda fuera del interes de lapresente tesis.

3.2.2. Funciones duales

Es posible definir la funcion de un numero dual f(a + εb), usando una expansion enseries de Taylor con ε como variable. Dado que εn = 0 si n > 1, formalmente definimos

Definicion 3.6. Sea z ∈ D, una funcion dual se denota como

f(z) = f(a+ εb) = f(a) + εf ′(a), (3.5)

donde f(a) es f(a+ εb) en ε = 0 y f ′(a) es (df(a+ εb)/dε) evaluada en ε = 0.

Algunos ejemplos

Observe

sin(a+ εb) = sin a+ εb cos a ,cos(a+ εb) = cos a− εb sin a ,cot(a+ εb) = cot a− εb/ sin2 a , sin a 6= 0,(a+ εb)1/2 = a1/2 + εb/(2a1/2) , a > 0.

3.2.3. Vectores duales

Definicion 3.7. Si p y q son dos vectores, en un espacio Euclidiano de dimension n = 3,tal que p = (p0, p1, p2) y q = (q0, q1, q2). Se tiene un vector dual

→z denotado por p + εq

formado por tres numeros duales

3.3 Cuaternios duales 35

→z = p + εq = (p0 + εq0, p1 + εq1, p2 + εq2) . (3.6)

Un vector dual puede ser multiplicado por un escalar (dual)

z→z = (a+ εb)(p + εq) = ap + ε(aq + bp). (3.7)

Para el producto escalar entre dos vectores duales se tiene

→z 0·→z 1 = (p0 + εq0)·(p1 + εq1) = p0 · p1 + ε(p0 · q1 + q0 · p1), (3.8)

y para el producto vectorial

→z 0×

→z 1 = (p0 + εq0)×(p1 + εq1) = p0 × p1 + ε(p0 × q1 + q0 × p1). (3.9)

3.3. Cuaternios duales

Al igual que los numeros duales, los cuaternios duales tambien fueron desarrollados porW. K. Clifford (vease Clifford [23]). Ellos son un caso especial, de estructuras conocidashoy en dıa como algebras de Clifford, que abarcan a los numeros complejos, cuaterniosy a los mismos cuaternios duales, entre otros (McCarthy [21]). Las algebras de Cliffordson tambien llamadas, algebras geometricas, cuya importancia en diferentes areas, hasido recientemente discutida por ejemplo en, Bayro-Corrochano and Sobczyk [24]. Enespecial, los cuaternios duales han ido ganando terreno en diversos campos como graficaspor computadoras, utilizados para la construccion de curvas de interpolacion (Juttler[25] y Ge and Ravani [26]); otra area que ha puesto atencion a los cuaternios dualeses la cinematica inversa (Luciano and Banerjee [27]), gracias a la facil representacionde transformaciones rıgidas que se consigue con ellos; siendo la robotica el area dondeun mayor numero de trabajos existen (Daniilidis [22] y Perez and McCarthy [28], porejemplo).

3.3.1. Cuaternios duales y su algebra

Los cuaternios duales se definen de forma muy similar a los cuaternios. Se puede pensaren ellos como cuaternios cuyos elementos son numeros duales. Entonces, formalmentetenemos a q =

[s,→q]

como un cuaternio dual, donde s es un numero dual y→q un

vector dual. Se denota al conjunto de todos los cuaternios duales como, Q. Cuentan conoperaciones muy similares a las mostradas en el capıtulo anterior para cuaternios clasicos,para encontrar una descripcion a detalle de estas, vease McCarthy [21] o Bottema andRoth [19].


Definicion 3.8. Sean q0, q1 ∈ Q, la adicion se denota como

q0 + q1 =[s0 + s1,

→q 0 +

→q 1

]. (3.10)

Definicion 3.9. Sean λ ∈ D y q ∈ Q, el producto por un (dual) escalar se denota

λq = λ[s,→q]

=[λs, λ

→q]. (3.11)

Definicion 3.10. Sean q0, q1 ∈ Q ambos cuaternios duales, el producto se define como

q0q1 =[s0s1 −

→q 0·→q 1, s0

→q 1 + s1

→q 0 +

→q 0×

→q 1

]. (3.12)

El producto y la adicion hacen a los cuaternios duales un anillo no abeliano conelemento unitario [1,0]. Las tres definiciones anteriores generan un algebra asociativa.

Un vector dual→q , se puede escribir como un cuaternio dual

[0,→q], donde obviamente

0 = 0 + ε0, y su multiplicacion cuenta con una agradable representacion[0,→q0

] [0,→q1

]=[−→q0·

→q1,

→q0×

→q1

]. (3.13)

Definicion 3.11. Sea q ∈ Q. Entonces q∗ es llamado el conjugado de q y se define

q∗ =[s,→q]∗

=[s,−→q

].

La norma de un cuaternio dual se obtiene usando la definicion anterior:

Definicion 3.12. Sea q ∈ Q. Entonces ‖q‖ es llamada la norma de q y se denota

‖ q ‖2= qq∗,

la norma tiene una serie de propiedades interesantes. Si la norma es igual a 1 = [1 + ε0],entonces el cuaternio dual tiene elemento inverso y es igual a su conjugado.

Un cuaternio dual puede ser considerado tambien como un vector de dimension n = 8con entradas en los reales o como la suma de dos cuaternios ordinarios, q = q0 + εqε.

3.3.2. Cuaternios duales unitarios

Ahora, gracias a la definicion 3.9 es posible presentar un subconjunto de los cuaterniosduales, el cual se denotara como Q1.

Definicion 3.13. Sea Q1 ={q ∈ Q | ‖q‖ = 1

}definido como el conjunto de los cuater-

nios duales unitarios.

3.4 Rotacion y Traslacion con cuaternios duales 37

Note que cualquier elemento en Q1 es siempre invertible (su inverso es justo el propioconjugado). Geometricamente, Q1 es una variedad 2 en el espacio Euclidiano de dimen-sion n = 8, conocido como el espacio imagen de los cuaternios duales (vease McCarthy[21]).

De manera informal podemos decir que igual que Q, Q1 es asociativo, distributivopero no conmutativo, propiedades heredadas al ser un subgrupo de Q.

3.4. Rotacion y Traslacion con cuaternios duales

Como se vio en la seccion 2.3.6 del capıtulo anterior, es posible construir un q ∈ H1

a partir de un angulo θ y un eje de rotacion v, tal que podamos rotar un punto r ∈ R3

simplemente aplicando un producto de cuaternios

[0, r′] = q[0, r]q−1, (3.14)

y de esta manera obtener un nuevo r′ ∈ R3. Desafortunadamente, la idea anterior seencuentra restringida y no es posible modelar transformaciones rıgidas mas generales queincluyan traslacion. En esta seccion, se introduce el uso de los cuaternios duales unitariospara lograr la representacion de trasformaciones rıgidas donde, aparte de rotacion, esposible representar traslacion, todo dentro de la construccion de un simple cuaterniodual unitario. A diferencia de lo visto en el capıtulo 2, este enfoque se desarrolla apartir del movimiento de lıneas y no de puntos. En la ultima parte de esta seccion, seabordara de manera geometrica y mas intuitiva, el camino para construir un cuaterniodual unitario que permita realizar movimientos generales (rotacion + traslacion) paravectores de posicion representados como puntos.

3.4.1. Rotacion y Traslacion de lıneas

Una lınea Γ en el espacio con direccion ` a traves de un punto p, se puede representarde manera unica (vease Bottema and Roth [19]) con una 6-tupla (`,m), donde m seconoce como el momento y es igual a p× `. El momento es normal al plano que contienea Γ y al origen, con magnitud igual a la distancia de Γ a el origen.

Si aplicamos una rotacion R y una traslacion t a una lınea Γ0 = (`0,m0), se obtendrıauna nueva lınea Γ1 = (`1,m1).

Proposicion 3.14. Sean `0, `1,m0 y m1 ∈ H, se denotan ˇ0 = `0 + εm0 y ˇ

1 = `1 + εm1

como lıneas con, ˇ0 y ˇ

1 ∈ Q. Se afirma que, dado un par (R, t) ∃ q ∈ Q1, tal que

ˇ1 = qˇ

0q∗,

donde ˇ1, se encuentra afectada por el par (R, t).

2 En topologıa, una variedad de dimension n es un espacio que se parece localmente a Rn


Prueba. Dentro de cada una de las lıneas ˇ0 y ˇ

1 existen p0 y p1 respectivamente. Esfacil ver que p1 = Rp0 + t. Por otro lado, aplicar el par (R, t) a un vector de direccion,significa simplemente aplicar R pues t no afecta al vector de direccion. Entonces se tieneque

`1 = R`0, (3.15)

m1 = p1 × `1 = (Rp0 + t)×R`0,= R (p0 × `0) + t×R`0,= Rm0 + t×R`0.

(3.16)

Se puede representar al vector ` con el cuaternio con parte escalar cero, ` = [0, `].Los terminos que son afectados por R, facilmente se pueden escribir como cuaternios. Elproducto vectorial en (3.16), puede rescribirse utilizando la siguiente identidad

(0, t × v) =12

(qt∗ + tq), (3.17)

donde t es el cuaternio de traslacion [0, t], y q es el cuaternio de rotacion [0,v], usando(3.17) se obtiene

`1 = q`0q∗,

m1 = qm0q∗ + 1

2(q`0q∗t∗ + tq`0q∗).

(3.18)

Ahora, se define un nuevo cuaternio r = 12 tq y un cuaternio dual q = q+ εr. Se puede

mostrar de forma sencilla que (3.18) es equivalente a

`1 + εm1 = (q + εr)(`0 + εm0)(q∗ + εr∗), (3.19)

si rescribimos las lıneas como cuaternios duales ˇ1 y ˇ

0, se consigue

ˇ1 = qˇ

0q∗. (3.20)

�

Este resultado es muy parecido a la ecuacion obtenida e el capıtulo anterior para ro-tacion de puntos con cuaternios clasicos. Ası, lıneas pueden ser rıgidamente trasformadasusando un simple producto en el anillo no abeliano de los cuaternios duales.

La norma

‖ q ‖2= qq∗ = qq∗ + ε(qr∗ + rq∗) = qq∗ + ε/2(qq∗t∗ + tqq∗) = 1, (3.21)

determina que q es un cuaternio dual unitario (vease Daniilidis [22], para mayor detalle).


Lo anterior tambien explıcitamente presenta la transformacion de (R, t) a q = q+ εr,la parte dual r = 1

2 tq y el cuaternio q pueden obtenerse directamente de la matriz derotacion encontrando el eje y el angulo de rotacion. Si q es solucion, entonces −q tambienlo es. De igual forma que en los cuaternios clasicos, es suficiente forzar la parte escalardel cuaternio a ser positiva para eliminar esta ambiguedad.

Por otro lado, la traslacion t se puede recuperar del cuaternio dual

t = [0, t] = 2rq∗. (3.22)

El cuaternio dual unitario q, se puede escribir como la concatenacion de un cuaterniodual unitario de traslacion y un cuaternio dual representando la rotacion cuya parte duales cero

q =[1, ε

t2

]q, (3.23)

sin embargo, esta representacion de un cuaternio dual unitario, como un operador quepermite transformar rıgidamente lıneas, no es muy amigable y podrıa ser confusa. Enlas secciones siguientes, se construye un cuaternio dual unitario de manera mas familiar,que puede ser utilizado para transformar tanto lıneas o geometricamente mas intuitivo,puntos.

3.4.2. Cuaternios duales unitarios y el teorema de Chasles

En esta seccion, se utiliza una interpretacion del teorema de Chasles, para obtener uncuaternio dual unitario que permita transformar rıgidamente, es decir rotar y trasladaral mismo tiempo, una lınea en el espacio tridimensional.

El teorema de Chasles (vease seccion 3.1.3), especifica que el movimiento generalde un cuerpo rıgido, puede ser descrito por una rotacion con respecto a un eje unicoy una traslacion a lo largo del mismo eje. Lo anterior significa que, (Hunt, [29]) undesplazamiento finito o infinitesimal de un cuerpo rıgido, puede ser convenientementedescrito por una rotacion alrededor de un eje unico y una traslacion a lo largo del mismoeje. Este tipo de movimiento combinado, es conocido como desplazamiento de “screw”3 odel ingles “screw motion”. El eje de rotacion y traslacion se conoce como “eje del screw”,y como este es precisamente una lınea en el espacio, basta especificar su direccion ` ysu momento m para determinarla de manera unica. Ademas, si tambien se especificael angulo de rotacion θ y la elevacion4 d del screw, tenemos los parametros necesarios(θ, d, `,m), para determinar el screw que determina la rotacion y traslacion buscadas(vease Bottema, O. and Roth, B. [19], para mejor detalle de lo anterior).

3 La traduccion de este termino al castellano (tornillo) no esta extendida en la literatura tecnica, por loque el autor considera conveniente referirse a este concepto por su nombre original (screw).

4 Mejor conocido en la literatura por el termino en ingles “pitch”


Ahora, la pregunta que surge derivada de lo anterior es ¿Como determinar o construira partir de los parametros del screw, un cuaternio dual unitario que represente la mismarotacion y traslacion?

Para responder la presente pregunta, se procede como Daniilidis [22]. Antes, es conve-niente mencionar algunas particularidades que seran de ayuda. La direccion `, es paralelaal eje de rotacion. La elevacion o pitch d, es la proyeccion de la traslacion sobre el eje derotacion, y es por lo tanto, igual al producto escalar d = t · `. El angulo θ, es el mismotanto en la representacion (R, t) como en la del screw. Para calcular el momento m,es necesario introducir un punto temporal c, contenido en el eje del screw, el cual es laproyeccion del origen al eje del screw.

Usando la formula de Rodrigues, la cual describe a la matriz de rotacion en terminosdel angulo y el eje de rotacion (vease Gurlebeck, K. and Sprossig, W. [13]),

Rc = c + sin(θ)` × c + (1− cos θ)`×(`×c), (3.24)

y c · ` = 0, de aquı se sigue que

c =12

(t− (t · `)` + cot

θ

2` × t

). (3.25)

El punto c y el eje del screw no estan definidos si el angulo θ es 0◦ o 180◦. Entonces, elvector momento

m = c × ` =12

(t × ` + `× (t × `) cot

θ

2

). (3.26)

Dados los parametros del screw (θ, d, `,m), se puede calcular el correspondiente cua-ternio dual q. Entonces, de la matriz de rotacion R es posible obtener el cuaternio

[q0,q] = [cosθ

2, ` sin

θ

2], (3.27)

Aquı, el momento (3.26) se puede escribir

sinθ

2m =

12

(t × q + q0t− cos

θ

2(` · t) `

),

usando d = (` · t) y rescribiendo

sinθ

2m +

d

2cos

θ

2` =

12

(t × q + q0t) ,

lo cual, (vease seccion anterior) es la parte vectorial de r del cuaternio dual q y porultimo, aplicando (3.27) y usando r = 1

2 tq, se construye


q =[q0q

]+ ε

[−1

2q · t12 (q0t + t × q)

]=[

cos θ2` sin θ

2

]+ ε

[−d

2 sin θ2

m sin θ2 + d

2` cos θ2

]. (3.28)

Siguiendo la definicion 3.6 para funciones de numeros duales

cos(θ + εd

2

)= cos

θ

2− εd

2sin

θ

2,

y

sin(θ + εd

2

)= sin

θ

2+ ε

d

2cos

θ

2,

es facil ver que q se puede escribir como

q =[

cos( θ+εd2 )sin( θ+εd2 )(` + εm)

]. (3.29)

Esta representacion es mucho mas amigable y poderosa, debido a que separa el cada unode los parametros del screw. Por otra parte, tomando el angulo dual θ = θ + εd y el

vector dual→` = ` + εm, la ecuacion (3.29) se puede escribir como

q =[cos(θ/2),→` sin

(θ/2)], (3.30)

y resulta sencillo verificar que q, es un cuaternio dual unitario con la propiedad qq∗ = 1.Lo anterior permite completar la proposicion 3.14 y determinar el camino para cons-

truir q, a partir de los parametros del screw

Proposicion 3.15. Sean `0, `1,m0 y m1 ∈ H, se denotan ˇ0 = `0+εm0 y ˇ

1 = `1+εm1 comolıneas con, ˇ

0 y ˇ1 ∈ Q. Se afirma que, dados los parametros del screw (θ, d, `,m) ∃ q ∈

Q1, tal queˇ1 = qˇ

0q∗,

donde

q =[


].

3.4.3. Un panorama geometrico

La proposicion 3.15, especifica de manera muy clara como transformar rıgidamentelıneas en un espacio euclidiano de dimension n = 3. Sin embargo, surge la pregunta decomo interpretar este resultado para el movimiento de un cuerpo rıgido. La respuesta esmuy sencilla, se debe asociar a la posicion del centro de masa con una lınea y representarla


con su cuaternio dual correspondiente. Despues, a partir de la proposicion 3.15 construirel cuaternio dual unitario correspondiente a los parametros del screw que representa elmovimiento deseado. La figura 3.1, presenta una idea geometrica acerca de los parametrosdel screw (θ, d, `,m) y permite entender de manera intuitiva a cada uno de los elementosque intervienen para la construccion del cuaternio dual unitario q.

Xa Xb

O d

l

c

O

Fig. 3.1. Muestra cada uno de los parametros del screw (θ, d, `,m), utilizado para la construccion de q,donde m = c × ` es un vector normal al plano que contiene a c, ` y al origen O.

Entonces, directamente de la proposicion 3.15 tenemos el cuaternio dual unitario

q =[


],

que permite mover rıgidamente al centro de masa xa, asociado a la lınea representadacon el cuaternio dual

xa =[0,→xa], donde 0 = 0 + ε0 y

→xa = 0 + εxa,

obteniendo un nuevo cuaternio dual

xb = qxaq∗, (3.31)

que representa a la lınea que contiene al nuevo centro de masa xb, de un cuerpo rıgidoque ha sufrido una rotacion y una traslacion.

A diferencia de lo visto en el capıtulo anterior, si realizamos una composicion delproducto 3.31, el movimiento que se obtiene es precisamente una helice cilındrica con ejede rotacion ` y elevacion o pitch d (vease figura 3.2), y cuando la parte traslacional de qes cero, se recupera el movimiento mostrado por un cuaternio dual clasico.


−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5 −1.5−1

−0.50

0.51

1.5

−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Xa

Xb

d

l

Xc

Fig. 3.2. Muestra el movimiento para el centro de masa xa de un cuerpo rıgido, generado a partir de aplicarel producto xc = q . . . qxaq

∗ . . . q∗.

Capıtulo 4

Movimiento Armonico Simple (MAS) ycuaternios duales

En general, podrıa pensarse que muchos de los fenomenos que aparecen en la natu-raleza y la sociedad, se encuentran completamente aislados y que no existe una relacionentre ellos. Por otro lado, la mayorıa de las veces se necesita tambien de un modelo quelos represente, es decir una forma de interpretarlos matematicamente. Muchas veces, di-cho modelo no se obtiene de manera trivial y cuando se consigue, se encuentra formadopor un sistema de ecuaciones diferenciales, mismo que quiza no pueda resolverse o en elmejor de los casos, conseguir esta, resulta de gran complejidad analıtica o numerica.

Debido a la riqueza de fenomenos naturales o sociales, resultarıa utopico pensar en laexistencia de un metodo unico, una “receta magica” que permita conseguir un modeloque explique el problema. Sin embargo, lo que sı se puede hacer es intentar la reinter-pretacion del problema original, es decir trasladarlo a un problema conocido. Y como seplatico en capıtulos anteriores, en este trabajo se propone replantear al problema originale intentar pensar en el como una “transicion” o dicho de manera mas clara, como unconstante cambio de estado. Pensar de este modo, permite asociar dicha “transicion” conel movimiento de un objeto en el espacio tridimensional.

Entonces de manera formal, lo que se quiere decir es: “independientemente de lanaturaleza del problema, se busca una reinterpretacion, que permita obtener un modeloalterno relacionado con el movimiento de un objeto en el espacio tridimensional, cuyasolucion es tambien solucion para el problema original.”

Dicho modelo alterno, podrıa simplificar el modelo original y aportar mayor infor-macion. Aunque no es posible decir que todo pueda interpretarse de esta manera; si seconsigue hacerlo, se cuenta con muchas herramientas, dentro de ellas las planteadas en loscapıtulos 2 y 3 del presente trabajo, donde se habla acerca de las ventajas de representarel movimiento de un objeto de manera hipercompleja.

46 4 Movimiento Armonico Simple (MAS) y cuaternios duales

En este capıtulo, con el objetivo de ejemplificar lo mencionado anteriormente, seconsidera como problema de estudio un clasico en la literatura: el Movimiento ArmonicoSimple (MAS). Se realiza una reinterpretacion de este modelo, relacionando la curvasolucion del problema con la trayectoria de un cuerpo rıgido que sigue una trayectoriahelicoidal. Ası, a partir de una idea que se basa en el movimiento generado por uncuaternio dual, se consigue construir una solucion alternativa para un problema queoriginalmente ha sido modelado a partir de una Ecuacion Diferencial Ordinaria. Conla ventaja que la nueva solucion encontrada, aporta mayor informacion que la solucionclasica.

Este capıtulo muestra una idea sencilla que puede generar un punto de partida paraabordar problemas que implican una mayor complejidad; aplicaciones inmediatas deeste resultado a problemas interesantes en la fısica y la industria seran presentadas encapıtulos posteriores.

Cabe mencionar que los resultados presentados en este capıtulo forman parte deResendiz, R. [33] que sera parte de un numero especial de la revista Advances in AppliedClifford Algebras.

4.1. Movimiento Oscilatorio y MAS

Uno de los mas importantes movimientos encontrados en la ciencia y en muchas areasde la industria es el movimiento oscilatorio. Un movimiento oscilatorio es cualquier mo-vimiento que se repite periodicamente, recorriendo el mismo camino cıclicamente en elmismo intervalo de tiempo. Es decir, si se mueve linealmente un objeto de su posicion dereposo hacia una cierta distancia, existe una “fuerza de restauracion” opuesta al despla-zamiento que obliga al cuerpo a regresar a su posicion original. Sin embargo, esta fuerzaobliga a rebasar el punto de equilibrio alcanzando un momento donde, la fuerza cambia yactua ahora en la direccion opuesta, obligando al objeto a nuevamente sobrepasar su po-sicion de equilibrio. Si no existe perdida de energıa, este movimiento continua de maneraindefinida. Cuando la “fuerza de restauracion” es opuesta y directamente proporcional aldesplazamiento, el movimiento se conoce como armonico simple (MAS) y el objeto quelo presenta, se conoce como oscilador armonico simple (OAS).

Algunos sistemas que presentan comportamiento armonico simple pueden ser mani-pulados hasta conseguir un movimiento caotico1. Lo anterior significa, que el movimientoarmonico simple es de gran importancia, pues las herramientas matematicas usadas enel analisis de este movimiento, forman la base para entender problemas de complejidad

1 Un sistema que experimenta un movimiento caotico nunca se repite a sı mismo, sino mas bien secomporta de forma continuamente diferente, el movimiento puede parecer totalmente aleatorio y des-ordenado. No obstante, el movimiento caotico esta muy lejos de ser totalmente desordenado y por elcontrario, exhibe una estructura definida que resulta de pronto aparente.

4.1 Movimiento Oscilatorio y MAS 47

mayor, como por ejemplo: para el estudio de vibraciones en motores y amortiguadoresde vehıculos o vibraciones en alas de aeronaves, ası como tambien en la investigacion deondas cerebrales.

4.1.1. OAS, el modelo y la solucion clasica

Como un ejemplo para un OAS, se considera un sistema oscilatorio idealizado: unapartıcula de masa m se encuentra sujeta a un resorte fijo en un extremo (vease figura4.1, para mayor detalle). Se asume que el resorte obedece la ley de Hooke2, tambienque existe resistencia al movimiento proporcional a la velocidad, ası como la presenciade una fuerza externa Fε por unidad de masa aplicada a la partıcula.

De acuerdo con las condiciones anteriores y con la segunda ley de Newton (F = mx), six es la extension del resorte desde su posicion de equilibrio x0, la ecuacion de movimientode una partıcula de masa m es

mx = −Fr +mFε −mµx, (4.1)

donde Fr es la fuerza de restauracion obtenida a partir de la ley de Hooke, Fr = kx/x0.La constante k caracteriza las propiedades de restauracion del resorte. Una k muy grandesignifica que se requiere de una fuerza muy grande para estirar o comprimir el resorteuna distancia muy pequena. De lo anterior se consigue la siguiente ecuacion diferencial

x+ µx+ ω2x = Fε, (4.2)

donde ω2 = k/x0m. Con fines practicos se simplifica el modelo anterior, considerandoµ = 0 que significa que no existe resistencia al movimiento y ademas, no se contempla laexistencia de fuerzas externas (Fε = 0), con lo cual se consigue

x+ ω2x = 0, (4.3)

para (4.3), se tiene la solucion general

x = A cosωt+B sinωt, (4.4)

una formulacion alternativa para esta solucion es

x = a cos(ωt+ β), (4.5)

con a =√A2 +B2 y la solucion (4.5) permite observar que el movimiento de la partıcula

es puramente oscilatorio con periodo 2π/ω. Este modelo es un ejemplo clasico de unmovimiento armonico simple, y se encuentra ilustrado en la figura 4.1. Donde ω registrala frecuencia natural del sistema y a se conoce como la amplitud.2 La fuerza de restauracion del resorte es proporcional a su extension.


m

x

Fig. 4.1. Muestra el modelo de un oscilador armonico simple.

Partiendo de la ecuacion (4.5) es posible determinar la velocidad x de la partıculaaplicando d

dtxx = −ωa sin(ωt+ β). (4.6)

−2 −1 0 1 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5v

x

>

<

Retrato de Fase

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x

t

x vs t

−2

0

2

−20

2−10

0

10

20

30

40

x

t

Curva Solución

v

a) b) c)

Fig. 4.2. Muestra una completa representacion grafica para la solucion de un OAS

4.1.2. OAS, el modelo alternativo

De acuerdo al enfoque planteado a lo largo de este trabajo, lo que se busca es unareinterpretacion que permita visualizar de manera distinta el problema que originalmente

4.2 OAS y cuaternios duales (la solucion hipercompleja) 49

se tenga en estudio. Bien se ha comentado que no existe un metodo o camino establecidoy que hallarlo dependera en gran parte de la naturaleza del problema, ası como de loslımites de la imaginacion. Es en esta seccion, donde a partir del problema expuesto enla seccion 4.1.1, se construye un analisis que permite relacionar la informacion conocidaacerca del problema, con el comportamiento cinetico de una partıcula o cuerpo rıgido queahora, representara al modelo original. La forma en que se consigue este nuevo enfoqueilustrara la propuesta hecha hasta el momento. No con la intencion establecer la regla,sino con el fin de intuir el camino a seguir.

En la seccion 4.1.1, se planteo el modelo y la solucion clasica para un movimientoarmonico simple, para este tipo de movimiento se cuenta con mucha informacion pues hasido estudiado y resuelto desde hace mucho tiempo. Sin embargo, al abordar un fenomenoestudiado por primera vez no se tiene tanta suerte, con lo que se cuenta generalmentees con informacion obtenida experimentalmente, es esta la informacion que se necesitaasociar de alguna manera con una trayectoria y ası, construir dicha trayectoria usandoalguna de las herramientas abordadas en los capıtulos 2 y 3.

Si experimentalmente se realizara el registro del comportamiento del oscilador y seaplicara el ajuste correspondiente a las curvas (vease Baird, D. C. [30]), serıa posibleconstruir las graficas que describen el comportamiento del oscilador. Consiguiendo grafi-cas muy similares a las expuestas en la figura 4.2. Es importante mencionar que para finespracticos se usa informacion conocida acerca del comportamiento del oscilador, haciendola aclaracion que cualquier aspecto utilizado pudo haberse obtenido por vıa experimental.

4.2. OAS y cuaternios duales (la solucion hipercompleja)

A partir de la curva solucion (figura 4.2c), surge la idea de asociar esta, con la tra-yectoria del centro de masa de un cuerpo rıgido y de esta manera, facilmente agrupar larelacion que existe entre posicion, velocidad y tiempo del OAS con un desplazamientoen “screw” con parametros (θ, d, `,m). Entonces de acuerdo a la seccion 3.4.2, es posibleinterpretar el teorema de Chasles y a partir de la proposicion 3.15 construir un cuater-nio dual unitario q, que permita transformar rıgidamente (rotar y trasladar al mismotiempo) el centro de masa. Sin embargo, la proposicion 3.15 especifica de manera muyclara como transformar rıgidamente lıneas en un espacio euclidiano de dimension n = 3.Es ası que, se debe proceder como en la seccion 3.4.3 y asociar la posicion del centro demasa xa con una lınea y representarla con su cuaternio dual correspondiente, es decir

xa =[0,→xa], donde 0 = 0 + ε0 y

→xa = 0 + εxa.

Ahora, de la figura 4.3 se pueden obtener los parametros correspondientes del screw,donde ` es el eje de rotacion, el momento m = c × `, debido a que el origen de nuestro


sistema coincide con el eje de rotacion, se tiene que m = 0. La construccion del pitchd, se realiza asociandolo al tiempo t en un angulo θ = π, lo cual permite resaltar que elpitch d = π/ω, se encuentra en relacion con la frecuencia de oscilacion ω.

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5 −1.5−1

−0.50

0.51

1.5

−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Xa

Xb l

Xc

d=pi/w

Curva Solución

t

v

x

Fig. 4.3. Presenta la relacion entre posicion, velocidad y tiempo de un OAS como un desplazamiento enscrew con parametros (θ, d, `,m = 0)

.

Ası, directamente de la proposicion 3.15 se construye el cuaternio dual unitario

q =[

cos( θ+εd2 )sin( θ+εd2 )`

],

que permite representar al movimiento del OAS como un producto de cuaternios duales,en otras palabras

xb = qxaq∗, (4.7)

donde xb =[0,→xb], consiguiendo una nueva representacion para el modelo expuesto

en la seccion 4.1.1, a la cual se determina nombrar como Solucion Hipercompleja paraun Oscilador Armonico Simple, que cuenta con la ventaja que el vector xb dentro delcuaternio dual xb representa la posicion, velocidad y tiempo para cualquier angulo θ yfrecuencia de oscilacion (d = π/ω) dadas. Lo que implica que realizar un enfoque de estanaturaleza permite agrupar el comportamiento cinetico presentado por las ecuaciones(4.5) y (4.6) en una sola ecuacion (4.7). Puesto de esta manera, el analisis aquı presentadopermite obtener mayor informacion desde un punto de vista practico y con la posibilidadde tomar un camino alterno, si para este problema no se contara con un sistema deecuaciones o este representara gran complejidad analıtica o numerica.

Capıtulo 5

Ecuacion de Onda y cuaternios duales

La ecuacion de onda ha sido uno de los protagonistas mas destacados de las ma-tematicas de estos dos ultimos siglos. Los primeros estudios sobre esta ecuacion, fueronrealizados a finales del siglo XVIII, a la par que se establecıan los fundamentos del Anali-sis Matematico, tal y como se le conoce hoy en dıa. Los desarrollos posteriores alcanzadosen la ecuacion de onda, han sido frecuentemente ligados a avances importantes en areasmuy conocidas, como el Analisis de Fourier y el Analisis Numerico (Asmar, N. H. [34]).De este modo, cabrıa mencionar que la ecuacion de onda es sin duda uno de los ejemplosclasicos y mas relevantes a los que se recurre en el estudio de Ecuaciones Diferenciales,puesto que interviene en una infinidad de problemas relacionados con la mecanica, lafısica y la ingenierıa en general; y no solo, representa un ejemplo meramente academico.

La ecuacion de onda es un modelo de propagacion a velocidad finita y completamentereversible en tiempo, el operador de onda y sus variantes intervienen de forma sistematicaen cuestiones de elasticidad (frecuentemente a traves de sistemas mas sofisticados) o enla propagacion de ondas acusticas o electromagneticas (ecuaciones de Maxwell), existenareas como la mecanica de medios1 repletas de otras ecuaciones, operadores y modelos,donde de una u otra manera, siempre el operador de onda o variantes del mismo seencuentran presentes. De aquı la importancia de continuar con el estudio de esta ecuacion.

En el capıtulo 4 se logro describir el comportamiento de un objeto que oscila armoni-camente, consiguiendo una solucion que permite relacionar toda la informacion cinetica(posicion, velocidad y tiempo) vıa un producto de cuaternios duales. Ademas, se plan-teo la posibilidad de que a partir de dicho resultado, se podıan abordar problemas demayor complejidad. Ası, en este capıtulo se presenta una aplicacion inmediata para laque ha sido llamada solucion hipercompleja de un oscilador armonico simple (ecuacion4.7), donde, ahora se consideran problemas que no siguen un movimiento armonico sim-

1 se trata de una rama de la fısica (especıficamente de la mecanica) que propone un modelo unificadopara solidos deformables, solidos rıgidos y fluidos

52 5 Ecuacion de Onda y cuaternios duales

ple. Problemas, como la cuerda y la membrana vibrantes que han sido modelados en laliteratura a partir de la ecuacion de onda.

La idea surge a partir del principio de superposicion, ya que un movimiento que nose comporta de manera armonica como el de la ecuacion de onda, es posible construirloa partir de una suma infinita de movimientos armonicos, que como sera visto en estecapıtulo, resultan ser pequenos osciladores armonicos simples que integran cada uno delos modos normales de la ecuacion de onda y es a partir de esta idea que se aprovechalo visto en el capıtulo anterior y se construye un modelo hipercomplejo para la ecuacionde onda que se fundamenta en el principio de superposicion.

De igual manera que en el capıtulo 4, se vuelve a mostrar como una idea sencillapuede ser el punto de partida para abordar problemas de complejidad mayor y cabemencionar tambien que los resultados presentados en este capıtulo tambien forman partede Resendiz, R. [33] que sera parte de un numero especial de la revista Advances inApplied Clifford Algebras.

5.1. Ecuacion de Onda unidimensional

u

x

0 L

Modelo de la Cuerda Vibrante

0.1

u(x,

0)

Fig. 5.1. Forma inicial para la cuerda, u(x, 0).

Considerese una cuerda completamente estirada de longitud L, sujeta en sus extremosa lo largo del eje x en los puntos x = 0 y x = L. Supongase que la cuerda es puesta a vibraraplicando un desplazamiento. Se asume que, la cuerda vibra solo en un plano fijo, entoncesse tiene u(x, t) que denotara el desplazamiento transversal en cualquier tiempo t ≥ 0 deun punto en la cuerda para la posicion x. En particular, u (x, 0) representa la forma inicialde la cuerda, es decir el desplazamiento al que fue sometida en el tiempo t = 0 (veaseFigura 5.1). Ahora, Se busca determinar de manera general, el comportamiento cineticode la cuerda desde un punto de vista hipercomplejo, encontrando una formulacion parau(x, t) con t > 0 y 0 < x < L. Para este fin, en esta seccion sera derivada la ecuaciondiferencial que representa el modelo anterior, y en la siguiente seccion se determinara la

5.1 Ecuacion de Onda unidimensional 53

ecuacion u de la forma clasica, resolviendo dicha ecuacion diferencial (vease Asmar, N.H.[34], para una mejor explicacion), para despues a partir de ahı, mostrar como usandola solucion hipercompleja de un oscilador armonico vista en el capıtulo 4, es posibleencontrar dicha u, con algunas ventajas explicadas mas adelante.

Se debe mencionar que por simplicidad se realizan algunas consideraciones sobre lacuerda:

La cuerda tiene densidad de masa ρ constante (cuerda homogenea).La cuerda es perfectamente elastica y no ofrece resistencia al movimiento.Las vibraciones transversales de la cuerda son suficientemente pequenas y toman lugaren el plano que contiene a x, el plano xu.

5.1.1. El modelo

Fig. 5.2. Fuerzas actuando sobre una pequena porcion de cuerda.

Se considera una situacion libre de fuerzas externas, donde el peso de la cuerda esdespreciable comparado con la tension. Ası, la unica fuerza que actua sobre la cuerda essu tension. Se denota como τ la magnitud de la tension en la posicion de equilibrio, estatension resulta ser la misma en cualquier punto de la cuerda, y debido a que el cambio enla longitud de la cuerda a medida que se mueve es insignificante, es razonable asumir quela tension permanece constante a lo largo del movimiento. Tambien, dado que la cuerdano ofrece resistencia al movimiento, la tension es tangente a la cuerda en cualquier punto.Ahora, considerese una pequena porcion de cuerda entre dos puntos A y B, localizadosen x y x + ∆x, respectivamente. Sean tambien τ1 y τ2 las tensiones en los puntos A


y B (estas son las fuerzas ejercidas por la cuerda sobre una pequena porcion de suspuntos finales izquierdo y derecho, respectivamente). Entonces, τ1 y τ2 tienen magnitudτ pero, en general, diferentes direcciones (Figura 5.2 a). Como no existe movimientoen la direccion horizontal, basta con solo considerar las componentes verticales de lastensiones. Las componentes verticales de las tensiones resultan ser −τ sinα y τ sinβ,donde α y β son los angulos formados por las tangentes y la horizontal en los puntos Ay B (Figura 5.2 b). Aplicando la segunda ley de Newton a las componentes verticales setiene

−τ sinα+ τ sinβ = ma,

donde m es la masa de la porcion de cuerda entre x y ∆x y a es su aceleracion. Se tienea = ∂2u

∂t2y m = ρ∆x, donde ρ denota la densidad de masa de la cuerda. Por consiguiente

−τ sinα+ τ sinβ = ρ∆x∂2u

∂t2. (5.1)

Notese que para un angulo suficientemente pequeno θ, cos θ es aproximadamente 1 y estopermite que sin θ sea aproximadamente igual a tan θ. De esta forma, a partir de (5.1) seconsigue

−τ tanα+ τ tanβ = ρ∆x∂2u

∂t2. (5.2)

Fıjese t para cierto instante de tiempo y considerese u(x, t) como una funcion simplementede x. Dado que la pendiente de la lınea tangente para la grafica de u(x, t) es dada por∂u∂x(x, t), se tiene

tanα =∂u

∂x(x, t) y tanβ =

∂u

∂x(x+∆x, t).

Sustituyendo en (5.2) y simplificando

∂u∂x(x+∆x, t)− ∂u

∂x(x, t)∆x

=ρ

τ

∂2u

∂t2.

Como ∆x→ 0, el cociente de la izquierda tiende a ∂2u∂x2 (x, t), y ası se llega a la ecuacion

de onda unidimensional para las vibraciones libres de la cuerda

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2, (5.3)

donde se ha establecidoc2 =

τ

ρ. (5.4)

Es facil ver que c representa una velocidad, ya que τ cuenta con unidades de masa −longitud/tiempo2 y ρ tiene unidades de masa/longitud, ası que c2 tiene unidades demasa2/tiempo2.


5.1.2. La solucion clasica

Hasta el momento se ha realizado un estudio previo del problema de la cuerda vi-brante, consiguiendo una ecuacion diferencial que modela su comportamiento, ecuacion(5.3). Sin embargo, se necesita dar la solucion completa al problema estableciendo tantosus condiciones de frontera como sus condiciones iniciales

∂2u∂t2

= c2 ∂2u∂x2 0 < x < L, t > 0,

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0,u(x, 0) = f(x) y ∂u

∂t (x, 0) = g(x),(5.5)

las condiciones de frontera establecen que la cuerda se encuentra fija en sus extremos(x = 0 y x = L) en cualquier instante de tiempo, mientras que las condiciones inicialespermiten ver la forma o desplazamiento de la cuerda f(x), ası como su velocidad g(x),ambas en el instante t = 0. Entonces, lo que se necesita es encontrar u(x, t) tal quesatisfaga (5.5) y la forma clasica de encontrarla es utilizando separacion de variables2,como se mostrara a continuacion.

Paso 1: Separando Variables

Inicialmente se propone una solucion de la forma

u(x, t) = X(x)T (t) (5.6)

donde X(x) es una funcion que solo depende de la variable x y a su vez, T (t) solodependera de t. El problema se reduce a encontrar las funciones X y T que satisfagan(5.5). Diferenciando (5.6) con respecto a x y t, se consigue

∂2u

∂t2= XT ′′ y

∂2u

∂x2= X ′′T. (5.7)

Sustituyendo directamente en (5.3), se obtiene

XT ′′ = c2X ′′T, (5.8)

y ahora, dividiendo por c2XT , queda

T ′′

c2T=X ′′

X. (5.9)

(Por el momento no se debe preocupar de que XT = 0). En la ecuacion (5.9) las variablesse encuentran separadas, quedando del lado izquierdo todo en funcion de t y del lado2 Uno de los metodos clasicos en la literatura para encontrar la solucion de EDPs, que permite encontrar

la solucion en forma de series de Fourier.


derecho en funcion de x. Dado que las variables x y t son independientes entre sı, la unicaforma de obtener igualdad es mantener las funciones en ambos lados de (5.9) constantese iguales. Ası

T ′′

c2T= k y

X ′′

X= k, (5.10)

donde k es una constante arbitraria llamada constante de separacion. En este puntose consiguen dos ecuaciones diferenciales ordinarias en lugar de la ecuacion diferencialparcial original (5.3)

X ′′ − kX = 0 (5.11)

yT ′′ − kc2T = 0. (5.12)

Las condiciones de frontera (5.5) deben ser igualmente tratadas con el fin de separarlas variables x y t. Usando (5.6) y las condiciones de frontera, se tiene

X(0)T (t) = 0 y X(L)T (t) = 0, ∀ t > 0.

Si X(0) 6= 0 o X(L) 6= 0 entonces T (t) = 0 para toda t, y ası, por (5.6), u(x, t) = 0. Paraevitar esta solucion trivial, se eligen

X(0) = 0 y X(L) = 0.

Ası, se llega a un problema con valores en la frontera en X

X ′′ − kX = 0, X(0) = 0 y X(L) = 0. (5.13)

Resulta facil ver que todo se reduce a simplemente resolver una simple ecuacion diferen-cial ordinaria lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

Paso 2: Resolviendo las Ecuaciones Separadas

Teorema 5.1. (Principio de Superposicion). Si u1 y u2 son soluciones de una ecuaciondiferencial parcial lineal homogenea, entonces cualquier combinacion lineal u = c1u1 +c2u2, donde c1 y c2 son constantes, tambien es una solucion. Si ademas u1 y u2 satisfacenlas condiciones de frontera lineales y homogeneas, entonces u = c1u1 + c2u2 tambien lohara.

Se comienza resolviendo el problema (5.13), ya que se cuenta con condiciones defrontera, situacion que no ofrece la ecuacion (5.12). Las condiciones de frontera permitenreducir las posibles soluciones, encontrando la solucion general.

De los posibles valores en k existe solamente uno que satisface las condiciones defrontera y ademas elimina soluciones triviales (vease Asmar, N. H. [34])


k = −µ2 < 0. (5.14)

Con lo que el problema (5.13) cambia

X ′′ + kX = 0, X(0) = 0 y X(L) = 0,

y cuya solucion general esX = c1 cosµx+ c2 sinµx. (5.15)

La condicion X(0) = 0 implica que c1 = 0, y por lo tanto

X = c2 sinµx.

Al mismo tiempo, la condicion X(L) = 0 implica que c2 sinµL = 0. Para eliminar lasolucion trivial X = 0, se toma c2 = 1, lo que obliga a sinµL = 0, dado que el seno esuna funcion que se anula en multiplos de π, se tiene que

µ = µn =nπ

L, n = ±1,±2, . . . ,

y asıX = Xn = sin

nπ

Lx, n = 1, 2, . . . . (5.16)

Las soluciones correspondientes a valores negativos de n, se pueden descartar sin perdidade generalidad.

Ahora, regresando a la ecuacion (5.12) y sustituyendo en ella k = µ2 = −(nπL

)2 seobtiene

T ′′ +(cnπ

L

)2T = 0,

con solucion generalTn = bn cosλnt+ b∗n sinλnt, (5.17)

dondeλn = c

nπ

L, n = 1, 2, . . . .

Combinando las soluciones (5.16) para X y (5.17) para T como se propuso en (5.6) alinicio del Paso 1, se obtiene un conjunto infinito de soluciones para la ecuacion de ondaunidimensional (5.3), todas satisfacen las condiciones de frontera (5.5)

un(x, t) = sinnπ

Lx(bn cosλnt+ b∗n sinλnt) n = 1, 2, ... , (5.18)

dichas soluciones son conocidas como los modos normales de la ecuacion de onda.Cuya importancia desde un punto de vista hipercomplejo sera discutida en el siguientecapıtulo.


Debido a que cada uno de los modos normales satisface (5.3) y las condiciones defrontera (5.5) y de acuerdo al principio de superposicion, se puede establecer que cualquiercombinacion lineal de ellos tambien resolvera (5.3) y (5.5). Ası, motivados por el principiode superposicion, es natural intentar una combinacion lineal “infinita”

u(x, t) =∞∑n=1

sinnπ

Lx(bn cosλnt+ b∗n sinλnt), (5.19)

como la solucion del problema con valores en la frontera. Sin embargo, no es difıcil verque en general, tal combinacion lineal puede no satisfacer las condiciones iniciales parael desplazamiento y la velocidad en el tiempo t = 0.

Paso 3: Solucion general del problema, Series de Fourier

Para completamente resolver el problema, se deben determinar los coeficientes desco-nocidos bn y b∗n, para que de esta forma la funcion u(x, t) satisfaga tambien las condicionesiniciales descritas en (5.5). Partiendo del desplazamiento inicial u(x, 0) = f(x), se obtiene

u(x, 0) = f(x) =∞∑n=1

bn sinnπ

Lx, 0 < X < L,

donde la parte derecha de la ecuacion resulta ser una expansion de medio rango senoidalpara f(x). De lo anterior se puede expresar

bn =2L

∫ L

0f(x) sin

nπ

Lxdx, n = 1, 2, . . . . (5.20)

Analogamente, se determina el valor de los coeficientes b∗n usando la velocidad inicial∂u∂t (x, t) = g(x). Diferenciando las series de u termino a termino con respecto a t, yentonces poniendo t = 0, se consigue

g(x) =∞∑n=1

b∗nλn sinnπ

Lx,

que resulta ser la expansion de medio rango para g(x) y resolviendo esta para b∗n, ademassustituyendo el valor de λn

b∗n =2cnπ

∫ L

0g(x) sin

nπ

Lxdx, n = 1, 2, . . . . (5.21)

Entonces se tienen todos los coeficientes desconocidos para la completa representacion deu, donde (5.19), (5.20) y (5.21) permiten construir la solucion general para la ecuacionde onda unidimensional que satisface tanto condiciones de frontera como condicionesiniciales (5.5).


5.1.3. La solucion hipercompleja

n-ésimo modo

x

A (x)n

Fig. 5.3. Un segmento del n-esimo modo normal.

La ecuacion de onda (5.5) en general no presenta un movimiento armonico, su movi-miento puede ser tan complicado como se quiera, sin embargo la solucion general a estaecuacion se encuentra formada por una suma infinita de modos normales (5.19) y es cadauno de estos modos normales, los que sı presentan un movimiento armonico simple. Paraver esto, se parte de la ecuacion (5.18)

un(x, t) = sinnπ

Lx(bn cosλnt+ b∗n sinλnt) n = 1, 2, ... ,

y recordando el capıtulo anterior en la seccion 4.1.1, se tiene que es posible rescribir laecuacion de un oscilador armonico simple

x(t) = A cosωt+B sinωt,

como simplementex(t) = a cosωt con a =

√A2 +B2,

entonces es facil ver que si se manipula adecuadamente los modos normales de la cuerdavibrante, se consigue

un(x, t) = An(x) cosλnt, (5.22)

dondeAn(x) = sin

nπ

Lx√b2n + (b∗n)2 (5.23)

y λn = cnπL . Entonces, (5.22) muestra que cada uno de los modos normales (5.18) tienenun comportamiento armonico simple, caracterıstica de gran importancia ya que permite


ver al interpretar este resultado junto con las figuras 5.3 y 5.4 a, que cada modo normalse encuentra formado por una serie de pequenos osciladores armonicos, cuya amplitudAn(x) depende de la posicion x y el modo normal n; y cuya frecuencia de oscilacion λntambien resulta ser propia de cada modo normal (figura 5.4 b).

Es ası como cada modo normal se encuentra formado por una serie de osciladoresarmonicos simples que recordando el capıtulo 4, pueden ser asociados a la trayectoria deun cuerpo rıgido en el espacio tridimensional y de esta forma agrupar la relacion existenteentre la posicion, velocidad y el tiempo de cada uno de esos OAS con un desplazamientoen “screw” con parametros (θ, d, `,m), vease figura 5.4 d. Sin embargo, ahora estosparametros dependen tanto de la posicion como del modo normal, pues pertenecen adiferentes OAS, siendo el pitch o desplazamiento d, quien permite diferenciar entre losparametros de un oscilador con otro, pues de acuerdo con la seccion 4.2 del capıtuloanterior, d se encuentra en relacion con la frecuencia de oscilacion, entonces se tiene

dn =π

λn

y solo resta mencionar que m = 0, ya que que el origen de nuestro sistema coincide conel eje de rotacion `.

Dentro de cada una de las trayectorias que determinan los parametros (θ, dn, `,m = 0)existe una posicion muy importante, el punto de partida del cuerpo rıgido

u0(x) = (An(x), 0, 0),

ya que se encuentra en relacion directa con la amplitud (vease figuras 4.3 y 5.4 d) y deigual forma como en capıtulo 4, es necesario asociarlo a una lınea y representarlo con sucuaternio dual correspondiente

u0(x) =[0,→u0(x)

], donde

→u0(x) = 0 + εu0(x).

Hasta aquı, cada uno de los OAS que integran los modos normales, se encuentraidentificado gracias a su amplitud An(x) y frecuencia de oscilacion λn, ası mismo existeuna relacion con un desplazamiento en “screw”, gracias a los parametros (θ, dn, `,m = 0)y es a partir de estos, que podemos construir el cuaternio dual correspondiente, querepresenta el movimiento particular de cada uno de los OAS, entonces directamente dela proposicion 3.15 se construye

qn(θ) =[

cos( θ+εdn2 )

sin( θ+εdn2 )`

],

que permite representar el movimiento de todos los modos normales (5.18) como unproducto de cuaternios duales


−2 −1 0 1 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

>

<

Retrato de Fase

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t

Un(x0,t) vs t

−2

0

2

−20

2−10

0

10

20

30

40t

Curva Solución

a) b)

c)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

d)

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5n-ésimo modo normal

x

Un

xo

An(x0)

Un(x0,t)

Un(x0,t)

U’n(x0,t)

Un(x0,t)U’n(x0,t)

U0(x0)

Fig. 5.4. Comportamiento cinetico para el OAS en x0 correspondiente al n-esimo modo normal a lo largo dediferentes instantes de tiempo t. a) n-esimo modo normal a traves de diferentes instantes de tiempo t. b)Amplitud del OAS, propia del modo normal n y de la posicion x0. c) Correspondencia entre la posiciony la velocidad. d) Cada curva solucion se asocia al desplazamiento del cuerpo rıgido correspondiente alos parametros (θ, dn, `,m = 0) junto con el punto de partida u0(x0).


un(x, θ) = qn(θ)u0(x)q∗n(θ). (5.24)

Se sabe que cada uno de los modos normales satisface la ecuacion de onda (5.3)junto con las condiciones de frontera (5.5) y como ya se ha mencionado, el principiode superposicion permite establecer que cualquier combinacion lineal de ellos tambienresolvera (5.3) y (5.5). Ası, resulta natural intentar una combinacion lineal infinita

u(x, θ) =∞∑n=1

qn(θ)u0(x)q∗n(θ), (5.25)

como la solucion general del problema de la ecuacion de onda, determinando los coefi-cientes bn y b∗n por medio de series de Fourier. Siendo (5.25) una solucion alternativa quepermite ver el problema de la cuerda vibrante como un conjunto de osciladores armonicosacoplados, interpretados cada uno como la trayectoria de un cuerpo rıgido. Esta inter-pretacion alternativa recibe el nombre de Solucion Hipercompleja para la Ecuacion deOnda Unidimensional. Dicha solucion resulta ser un cuaternio dual

u(x, θ) =[0,→u(x, θ)

],

dentro de cuyo vector dual→u(x, θ) = 0 + εu(x, θ), se encuentra u(x, θ) = (u(x, t), ?, ?),

vector formado por la posicion u(x, t) e informacion extra, que la intuicion indicarıa quese trata, al igual que en el OAS, de la velocidad y el tiempo; y ası se contarıa con unadescripcion completa del comportamiento cinetico de la cuerda vibrante, sin embargouna afirmacion como esta necesita una demostracion formal, situacion que se encuentralejos, hasta el momento, del alcance de este trabajo. Por el contrario, lo que sı se puedeafirmar gracias a la manera de construir la solucion hipercompleja (5.25), es que dentrodel cuaternio dual u(x, θ), como se explica arriba, se encuentra la posicion u(x, t).

De acuerdo a (5.25), es posible encontrar, como ejemplo, el comportamiento de unacuerda vibrante de longitud L = 1 y cuyas condiciones iniciales se encuentran dadas por(vease figura 5.5)

g(x) = 0 y f(x) = {3x10 0 ≤ x ≤ 1

33(1−x)

2013 ≤ x ≤ 1

. (5.26)

5.2. Ecuacion de Onda en dos dimensiones

Se considera una membrana rectangular flexible cuyos extremos se encuentran fijossobre un marco horizontal. Siguiendo algunas idealizaciones sobre particularidades dela membrana, es posible derivar la ecuacion que gobierna las vibraciones pequenas que

5.2 Ecuacion de Onda en dos dimensiones 63

0 1

u−− 0.1

t=0x

0 1

u−− 0.1

t=0.5x

0 1

u−− 0.1

t=1x

0 1

u

−− 0.1

t=1.5x

0 1

u

−− 0.1

t=2x

u

−− 0.1

t=2.5x

0 1

u

−− 0.1

t=3x

0 1

u

−− 0.1

t=3.5x

0 1

u

−− 0.1

t=4x

Cuerda vibrante en diferentes instantes

Fig. 5.5. Cuerda vibrante en diferentes instantes de tiempo t, correspondientes a variaciones de θ en u(x, θ).

en ella se presentan. Se asume que todos los puntos sobre la membrana vibran soloen direccion vertical, y que la membrana no ofrece ninguna resistencia al movimiento.Tambien se considera que en cualquier instante de tiempo la tension permanece constanteen cualquier parte de la membrana. Sea entonces u(x, y, t) quien denota el desplazamientovertical al tiempo t en el punto (x, y) sobre la membrana. Considerese una pequenaporcion ABCD sobre la superficie de la membrana como se muestra en la figura (5.6).Identificando las fuerzas que actuan sobre esta pequena area. Debido a que la tension sebalancea en el interior de esta porcion de membrana, resulta necesario solo considerar latension a lo largo de los cuatro bordes. A lo largo de un borde, la tension produce unafuerza neta que apunta hacia fuera, perpendicular al borde, y tangente a la membrana.En el borde AB, la fuerza neta tiene magnitud τ∆x, donde τ es la tension constante porunidad de longitud. En la figura (5.6) se puede observar este vector y los correspondientesvectores para los otros tres bordes.

La resultante de las componentes verticales de la tension en los bordes AB y CD esaproximadamente

τuy(x, y +∆y, t)∆x− τuy(x, y, t)∆x;

y la resultante sobre las componentes verticales de las tensiones sobre los bordes AD yBC resulta ser

τux(x+∆x, y, t)∆y − τux(x, y, t)∆y.


Fig. 5.6. Fuerzas actuando sobre el area ABCD

Asumiendo que no existe otra fuerza mas que la tension, y a partir de la segunda ley deNewton

τ(uy(x, y+∆y, t)−uy(x, y, t))∆x+τ(ux(x+∆x, y, t)−ux(x, y, t))∆y = ∆x∆yρutt(x, y, t),

donde ρ es la densidad de masa (masa por unidad de area) de la membrana. De loanterior se consigue determinar la ecuacion diferencial que modela las vibraciones de unamembrana rectangular cuyos bordes se encuentran fijos a un marco horizontal

utt = c2(uxx + uyy) donde c2 =τ

ρ, (5.27)

mejor conocida como la ecuacion de onda bidimensional.

5.2.1. El modelo

Se supone una membrana delgada rectangular sujeta en sus cuatro bordes a un marcohorizontal de dimensiones a y b (vease figura 5.7). La membrana sufre un desplazamien-to vertical lo cual produce vibraciones pequenas. Las vibraciones de la membrana son


0.51

0

0.5

1−0.02

0

0.02

−0.04

−0.02

Fig. 5.7. Forma al tiempo t = 0 de la membrana con sus cuatro bordes fijos.

gobernadas por la ecuacion de onda en dos dimensiones (derivada en la seccion anterior)

∂2u

∂t2= c2(

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2), 0 < x < a, 0 < y < b, t > 0, (5.28)

donde u = u(x, y, t) denota el cambio en un punto (x, y) al tiempo t. El hecho de que losbordes se encuentren fijos es expresado por la condicion u(x, y, t) = 0 sobre la fronterapara todo t >= 0. De manera mas explıcita se tiene las condiciones de frontera como

u(0, y, t) = 0, u(a, y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0 y u(x, b, t) = 0,para 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b con t ≥ 0.

(5.29)

Y las condiciones iniciales como

u(x, y, 0) = f(x, y) y∂u

∂t(x, y, 0) = g(x, y), (5.30)

que representan la forma y la velocidad de la membrana en el tiempo t = 0. Paradeterminar las vibraciones de la membrana, se debe encontrar la funcion u que satisfaga(5.28) con las condiciones (5.29)(5.30). De igual forma que en la seccion 5.1.2 la solucionclasica a este problema sera encontrada usando separacion de variables.

5.2.2. La solucion clasica

Se comienza buscando un producto de la forma

u(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t), (5.31)


diferenciando y sustituyendo en (5.28), se tiene

XY T ′′ = c2(X ′′Y T +XY ′′T ),

ahora, dividiendo en ambos lados por c2XY T , se consigue

T ′′

c2T=X ′′

X+Y ′′

Y. (5.32)

Debido a que el lado izquierdo es una funcion solo de t y el lado derecho lo es a su vez dex y y, la expresion en ambos lados debe ser igual a una constante. Esperando solucionesperiodicas en t, se considera una constante de separacion negativa, ası

T ′′

c2T= −k2 y

X ′′

X+Y ′′

Y= −k2 (k > 0).

Rescribiendo, tenemos la primera ecuacion como

T ′′ + k2c2T = 0, (5.33)

con soluciones periodicas y en la segunda ecuacion

X ′′

X= −Y

′′

Y− k2,

es posible observar la existencia de otra constante de separacion de variables, consiguien-do

X ′′ + µ2X = 0 y Y ′′ + ν2Y = 0,

donde ν2 = k2−ν2. Y separando variables tambien en las condiciones de frontera (5.29),se consiguen las siguientes ecuaciones

X ′′ + µ2X = 0, con X(0) = 0, X(a) = 0 yY ′′ + ν2Y = 0, con Y (0) = 0, y Y (b) = 0,

(5.34)

derivandose un sistema de ecuaciones diferenciales (5.33) y (5.34) que separa el compor-tamiento de la membrana.

Solucion de las ecuaciones separadas

Las soluciones generales para las ecuaciones diferenciales (5.33) y (5.34) son, respec-tivamente,

X(x) = c1 cosµx+ c2 sinµx,Y (y) = d1 cos νx+ d2 sin νx,

T (t) = e1 cos ckt+ e2 sin ckt, (k2 = µ2 + ν2).(5.35)


De las condiciones de frontera para X y Y, se tiene que c1 = 0 y c2 sinµa = 0, d1 = 0 yd2 sin νa = 0. Ası

µ = µn =mπ

ay ν = νn =

nπ

bm, n = 1, 2, . . . ,

y entoncesXm(x) = sin

mπ

ax y Yn(y) = sin

nπ

by. (5.36)

Note que si m = 0 o n = 0 las soluciones son identicamente cero, situacion que no generainteres, lo mismo sucede para elecciones negativas de m y n. Ahora, para m,n = 1, 2, . . . ,se tiene

k = kmn =√µ2m + ν2

n =

√m2π2

a2+n2π2

b2,

y asıT (t) = Tmn(t) = Bmn cosλmnt+B∗mn sinλmnt, (5.37)

donde

λmn = cπ

√m2

a2+n2

b2.

Las λm’s son llamadas frecuencias caracterısticas de la membrana. Sustituyendo(5.36) y (5.37) en (5.31) se consigue un conjunto de soluciones que satisfacen la ecuacionde onda (5.28) y sus condiciones de frontera (5.29)

umn(x, y, t) = sinmπ

ax sin

nπ

by(Bmn cosλmnt+B∗mn sinλmnt), (5.38)

dicho conjunto es conocido como los modos normales de la ecuacion de onda en dosdimensiones, cuya importancia desde un punto de vista hipercomplejo sera discutida enla siguiente seccion.

Solucion general del problema, Series de Fourier

Para completamente resolver el problema, se deben determinar los coeficientes des-conocidos Bmn y B∗mn, para que de esta forma la funcion u(x, y, t) satisfaga tambien lascondiciones iniciales descritas en (5.30). Situacion que se resuelve siguiendo un analisissimilar al caso unidimensional visto en la seccion (5.1.2) y como una mejor referencia sepuede consultar Asmar, N. H. [34]. Resulta tambien necesario aplicar a (5.38) el principiode superposicion descrito por el teorema (5.1) para ası obtener la solucion general

u(x, y, t) =∞∑n=1

∞∑m=1

(Bmn cosλmnt+B∗mn sinλmnt) sinmπ

ax sin

nπ

by, (5.39)


que junto con

Bmn =4ab

∫ b

0

∫ a

0f(x, y) sin

mπ

ax sin

nπ

bydxdy (5.40)

y

B∗mn =4

abλmn

∫ b

0

∫ a

0g(x, y) sin

mπ

ax sin

nπ

bydxdy (5.41)

satisface las tanto las condiciones de frontera como las iniciales para la ecuacion de ondabidimensional.

5.2.3. La solucion hipercompleja

Analogo a una cuerda vibrante, una membrana tampoco presenta en general un movi-miento armonico simple, el movimiento descrito por esta se encuentra gobernado por unconjunto de modos normales y como ya se ha mencionado son estos, los que sı presentanun movimiento que se comporta de manera armonica. Recordando la ecuacion (5.38)

umn(x, y, t) = sinmπ

ax sin

nπ

by(Bmn cosλmnt+B∗mn sinλmnt)

y siguiendo un camino similar a lo presentado en la seccion 5.1.3, se consigue rescribirlos modos normales de una membrana vibrante

umn(x, y, t) = Amn(x, y) cosλmnt, (5.42)

de manera que es posible observar que se trata de un movimiento armonico simple paracada uno de ellos, con amplitud

Amn(x, y) = sinmπ

ax sin

nπ

by√B2mn + (B∗mn)2 (5.43)

y frecuencia

λmn = cπ

√m2

a2+n2

b2, (5.44)

propias de los modos normales m en la direccion x y n en la direccion y.Lo anterior resulta ser de gran importancia, pues permite observar una vez mas, que

cada modo normal (5.42) se encuentra formado a su vez por un conjunto de osciladoresarmonicos, donde ahora su amplitud Amn(x, y), dependera de la posicion (x, y) y el modonormal mn; y cuya frecuencia de oscilacion λmn, es tambien particular de cada modonormal. Dicho lo anterior y recordando el capıtulo 4, se puede realizar una asociacionde cada OAS con el movimiento de un cuerpo rıgido en el espacio tridimensional, agru-pando el comportamiento cinetico (posicion, velocidad y tiempo) de cada OAS con undesplazamiento en “screw” con parametros (θ, dmn, `,m = 0), donde


dmn =π

λmn

y con m = 0, ya que que el origen de nuestro sistema coincide con el eje de rotacion `.Cada una de las trayectorias determinadas a partir del conjunto de parametros

(θ, dmn, `,m = 0) cuenta con un punto de partida, el cual esta ıntimamente relacionadocon la amplitud

u0(x, y) = (Amn(x, y), 0, 0)

y puede ser asociado con su cuaternio dual correspondiente

u0(x, y) =[0,→u0(x, y)

], donde

→u0(x, y) = 0 + εu0(x, y).

Con toda la informacion que hasta el momento se tiene y directamente de la propo-sicion 3.15, se construlle el cuaternio dual

qmn(θ) =[

cos( θ+εdmn2 )

sin( θ+εdmn2 )`

],

que permite representar el movimiento de cada uno de los modos normales (5.42) comoun producto de cuaternios duales

umn(x, y, θ) = qmn(θ)u0(x, y)q∗mn(θ). (5.45)

e intentando una combinacion lineal infinita (principio de superposicion)

umn(x, y, θ) =∞∑n=1

∞∑m=1

qmn(θ)u0(x, y)q∗mn(θ), (5.46)

se consigue la solucion general al problema de la membrana vibrante (5.28) con condicio-nes iniciales (5.30) y de frontera (5.29), cuyas incognitas Bmn y B∗mn son determinadasusando series de Fourier. Siendo (5.46) una extension al resultado presentado en la sec-cion 5.1.3 que permite ahora percibir el problema de una membrana vibrante como unconjunto de osciladores armonicos acoplados e interpretados desde un punto de vistahipercomplejo como una trayectoria de cuerpo rıgido. Este resultado recibe el nombre deSolucion Hipercompleja para la Ecuacion de Onda Bidimensional. Donde ahora se tieneque

u(x, y, θ) =[0,→u(x, y, θ)

],

es un cuaternio dual, cuyo vector dual→u(x, y, θ) = 0 + εu(x, y, θ) contiene u(x, y, θ) =

(u(x, y, t), ?, ?) vector formado por la posicion de la membrana u(x, y, t) y donde vuelvea surgir la incognita presentada en la solucion hipercompleja del caso unidimensional.


Como ejemplo, a partir de (5.46), se encuentra, el comportamiento de una membranavibrante con a = 1, b = 1 y cuyas condiciones iniciales se encuentran dadas por (veasefigura 5.8)

f(x, y) = x(x− 1)y(y − 1) y g(x, y) = 0 (5.47)

00.5

1

0

0.5

10

0.02

0.04

00.5

1

0

0.5

1−0.02

0

0.02

00.5

1

0

0.5

1−0.04

−0.02

0

00.5

1

0

0.5

1−0.04

−0.02

0

00.5

1

0

0.5

1−0.02

0

0.02

00.5

1

0

0.5

10

0.02

0.04

t=0 t=1.8 t=2.8

t=3.6 t=4.7 t=5.6

Fig. 5.8. Membrana vibrante en diferentes instantes de tiempo t, correspondientes a variaciones de θ enu(x, y, θ).

Capıtulo 6

Superficies a partir de trayectorias

La idea propuesta a lo largo del presente trabajo, se resume en intentar abordarcualquier problema a partir de un enfoque cinetico, aunque el problema no refiera amovimiento directamente. Para ası, conseguir representaciones alternas que permitandejar de lado la necesidad de contar con un sistema de ecuaciones diferenciales. Bienes cierto, y se ha hecho enfasis en ello, no existe una forma unica o camino a seguir.Hasta el momento los resultados expuestos (capıtulos 4 y 5) se han obtenido utilizandotoda la informacion disponible, gracias a ser problemas muy conocidos en la literatura.Entonces, la pregunta que surge es: ¿Como tratar un problema desde una perspectivacinetica, donde la unica informacion con la que se cuenta, es un conjunto de datos y apartir de este, modelarlo?

Sin responder todavıa a esta pregunta, es importante mencionar que los modelosconstruidos en secciones anteriores, se basan en una interpretacion hipercompleja delteorema de Chasles, que en resumen, dicha interpretacion permite representar el mo-vimiento de un cuerpo rıgido en el espacio tridimensional (capıtulo 3). Sin embargo,existen herramientas muy poderosas que aun no se han explorado, como la interpolacionde movimiento, la cual permite a partir de un conjunto de datos cineticos (posiciones,orientaciones y velocidades de un cuerpo rıgido en movimiento) construir una curva in-terpolante, creando un movimiento continuo a traves de todos los elementos de dichoconjunto. La interpolacion sobre datos cineticos, es una herramienta de gran utilidad enareas como la Robotica o Graficas por Computadora. En la literatura, existen diferentesmaneras de realizarla, generalmente es por separado, es decir se usan angulos de Eulerpara representar las orientaciones (seccion 2.2) y se realiza la interpolacion de posicioneso velocidades por medio de funciones base como los splines1 (vease Boor, C.[17] y Farin,

1 En analisis numerico, un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios. En los problemas deinterpolacion, se utilizan como funciones base debido a que dan lugar a resultados similares requiriendoel uso de polinomios de muy bajo grado y sin generar oscilaciones, que generalmente aparecen cuandose realizan interpolaciones utilizando polinomios de grado muy elevado.

72 6 Superficies a partir de trayectorias

G. [16]). Pero, se esta hablando de movimiento y como ya se ha mencionado existenmejores alternativas que los angulos de Euler, por ejemplo los cuaternios o mejor aun loscuaternios duales. Ademas, de que existen metodos que permiten la interpolacion entredesplazamientos, a partir de construir curvas en el espacio de los cuaternios duales. Estoresulta de gran ayuda, ya que significa no tener que interpolar entre posiciones y orien-taciones por separado, sino realizar un solo proceso de interpolacion. Existen trabajoscomo los de Juttler, B. [25], donde justamente se expone la interpolacion de movimientoa partir de la construccion de curvas en el espacio de los cuaternios duales generandotrayectorias para el objeto en movimiento que resultan ser curvas racionales de Bezier2.Trabajos como este, inspiran ideas que bien pueden ser utilizadas para dar respuestaa la pregunta planteada al inicio, es decir la curva obtenida al realizar un proceso deinterpolacion bien podrıa ser tomada como el modelo al problema en cuestion o ser lasolucion numerica para algun sistema de ecuaciones diferenciales.

Con la intension de ilustrar los beneficios que la interpolacion de movimiento puedeotorgar a la idea que se ha establecido desde el inicio de este trabajo, en este capıtulo sebusca dar solucion a un problema donde la unica informacion con la que se cuente seaun conjunto de datos distribuidos regularmente y a partir de estos encontrar un modeloque los represente y sea posible determinar el comportamiento de datos intermedios.

El problema trata de una actividad muy cotidiana en la industria y que ha sidoabordada desde muchas perspectivas, mismas que rebasan el interes del presente trabajo,se esta hablando de tallar o devastar superficies de solidos a partir de la manipulacion(en este caso para fines practicos, virtual) de una herramienta de corte conocida comofresadora3. Problema principalmente abordado en Control Numerico por Computadoratambien conocido como CNC (en ingles Computer Numerical Control).

Entonces, el principal problema que surge es encontrar la ecuacion que describa elcomportamiento cinetico de la herramienta. La idea principal, es considerar la superficiedel solido como la trayectoria que sigue un cuerpo rıgido en el espacio tridimensional,donde el objeto en movimiento es precisamente la herramienta de corte (fresadora, torno,etc.). Es esta idea la que permite abordar el problema usando un enfoque que se basa enel movimiento de un cuerpo rıgido.

Sin embargo, en una situacion real, realizar la talla o desbaste en un solo recorrido dela herramienta es practicamente imposible. Debido a dicho escenario se debe considerar

2 Se denomina curvas de Bezier a una descripcion matematica desarrollada por Pierre Bezier en 1960,que hasta la fecha sigue siendo utilizada con gran exito gracias a sus propiedades en areas como elDiseno Asistido por Computadora (CAD en ingles). Se dice racional cuando se pueden ajustar conicascon ellas.

3 Maquina utilizada para realizar devastados por arranque de viruta mediante el movimiento de unaherramienta rotativa de varios filos de corte denominada fresa. En las fresadoras tradicionales, la piezase desplaza acercando las zonas a devastar a la herramienta, permitiendo obtener formas diversas,desde superficies planas a otras mas complejas.

6.1 Interpolacion de movimiento, primer modelo 73

una serie de pasos o cortes intermedios para llevar de una superficie inicial, por ejemploun cilindro circular a la superficie deseada. Lo anterior significa que existen restriccionesmecanicas, las cuales deben ser consideradas, como la profundidad de corte, la cualespecificara la cantidad de pasos intermedios necesarios para realizar el trabajo completo.

A partir de este punto de vista o enfoque se desarrollan dos modelos que permitenrepresentar con diferentes ventajas y desventajas el problema en cuestion.

El primero, es una aplicacion al trabajo realizado por Juttler, B. [25], en la cualse explotan las ventajas de la interpolacion de movimiento a partir de crear curvas deinterpolacion, todo desde un punto de vista hipercomplejo en el espacio de los cuaterniosduales.

El segundo, es nuevamente una aplicacion directa a la Solucion Hipercompleja delOscilador Armonico Simple, presentada en el capıtulo 4. Donde se relaciona la curvasolucion de un OAS, con la trayectoria que seguirıa la herramienta de corte para tallaralguna superficie.

Dos modelos para el mismo problema son creados y comparados, dejando claro unavez mas como este tipo de ideas pueden resultar de gran ayuda, aun cuando la unicainformacion con la que se cuente, sea un conjunto de datos regularmente distribuidos.Nuevamente se puede senalar que si se contara con el sistema de ecuaciones diferencialesrepresentando este problema, ambos modelos representarıan una solucion numerica delproblema.

Cabe mencionar que los resultados presentados en este capıtulo forman parte deResendiz, R. and Traversoni, L. [32] presentado en International Congress on Image andSignal Processing, CISP.

6.1. Interpolacion de movimiento, primer modelo

6.1.1. El movimiento en el espacio Q

Esta seccion brevemente ilustra la conexion que existe entre el desplazamiento de unobjeto en un espacio tridimensional y el anillo no conmutativo de los cuaternios duales.Cambiando un poco la notacion vista en 3.3.1 y siguiendo la notacion utilizada porJuttler, B. [25] un camino para representar un cuaternio dual es el siguiente

Q = Q0 + εQε =(q0 + q0

)+ ε (qε + qε) , (6.1)

conq0, qε ∈ R, q0,qε ∈ R3 y Q0, Qε ∈ H

donde ε es llamada la unidad dual con ε2 = 0; los cuaternios duales son representadospor Q.


Como ya se ha mencionado, un desplazamiento en el espacio tridimensional consiste endos partes: traslacion y rotacion y este puede ser representado por medio de un cuaterniodual

Q = Q0 + εQε = (2v0 + εv) ∗ (d0 + d) = 2v0d0 + 2v0d + ε (−v ◦ d + d0v + v×d) , (6.2)

el cual, se encuentra formado por una parte real Q0 ∈ H y una parte dual Qε ∈ H. Elcuaternio dual 2v0 + εv con v0 ∈ R y v ∈ R3, corresponde a la traslacion con un vectorde desplazamiento 1

v0v (v0 6= 0). El cuaternio d0 + d ∈ H distinto de cero, describe una

rotacion con respecto al origen. Este cuaternio dual (6.2) satisface la condicion de Plucker

q0qε + q 0 ◦ q ε = 0, (6.3)

donde q0 = 2v0d0, q 0 = 2v0d, qε = −v ◦ d y q ε = d0v + v × d.Ahora, un movimiento es una serie continua de desplazamientos y este puede ser

descrito por una curva en el espacio de los cuaternios duales Q (t) satisfaciendo la relacionde Plucker (6.3) donde el parametro t ∈ R esta definido como el tiempo.

Es decir, se considera un polinomio

Q (t) =n∑i=0

bni (t)Bi t ∈ R, (6.4)

dondebni (t) = (ni ) ti (1− t)n−i , (6.5)

son los polinomios de Bernstein con los coeficientes Bi ∈ Q y los polinomios satisfacentambien la condicion de Plucker, entonces el movimiento correspondiente representadopor la curva (6.4) en el espacio de los cuaternios duales Q, es llamado Q-motion de gradon.

6.1.2. Interpretando la superficie como una trayectoria

El problema fundamental es encontrar una ecuacion que describa el comportamientode la herramienta para lograr devastar el material, y ası conseguir la superficie deseada.Es en este paso, donde surge la idea de interpretar la superficie del solido como la tra-yectoria o curva que seguirıa la herramienta al devastar. Ası como, aplicar un esquemade interpolacion de movimiento para conseguir dicha ecuacion.

Entonces, se cuenta con una serie de desplazamientos (rotaciones y traslaciones) dela herramienta de corte, regularmente distribuidos y representados cada uno por su cua-ternio dual. Por lo tanto, el problema se reduce en encontrar la curva que interpola elmovimiento a traves de todos los desplazamientos. En otras palabras, se necesita encon-trar una funcion de la forma


T (ti) = [0, 1]→ Q, (6.6)

describiendo el comportamiento espacial de la herramienta y esta funcion representa unmovimiento continuo con parametros ti ∈ R, 0 = t0 < . . . < tn = 1 con i = 0, 1, . . . , n.Es decir, sean n+ 1 desplazamientos espaciales

Pi = Tras(Pi) ∗Rot (Pi) , (6.7)

dondeTras(Pi) = 2 + εsi y Rot (Pi) = ri + ri (6.8)

con si,ri ∈ R3 y ri ∈ R, donde Tras(Pi) describe una traslacion y Rot (Pi) correspondea la rotacion (orientacion).

400300

200100

0100

200300

400

400300

200100

0100

200300

400

0

100

200

300

400

500

600

700

Fig. 6.1. n+1 desplazamientos (posiciones y orientaciones) de un objeto en movimiento. El cubo en lailustracion es una representacion virtual de nuestra herramienta de corte.

Los n+1 desplazamientos (6.7) seran interpoladas por un Q-motion de grado n (vease6.4) y en principio, las orientaciones dadas de la herramienta seran interpoladas por unQ-motion Trot (ti). Mas tarde, este movimiento es compuesto con sus correspondientesmovimientos traslacionales Ttras (ti). En concreto, la ecuacion que describe el movimientode la herramienta tiene la siguiente forma

T (ti) = Ttras (ti) ∗ Trot (ti) . (6.9)


6.1.3. Interpolacion de la parte rotacional

Sean Ri los cuaternios normalizados obtenidos de Rot (Pi) = ri + ri. Los cuater-nios Ri y −Ri representan la misma rotacion, pero sus distancias euclidianas con otroscuaternios en general son diferentes, entonces resulta necesario minimizar esas distan-cias. En otras palabras, si el cuaternio Ri+1 satisface (Ri −Ri+1) ∗

(Ri − Ri+1

)≤

(Ri +Ri+1)∗(Ri + Ri+1

), entonces el signo se conserva, de otro modo debe ser cambia-

do.Lo anterior permite obtener el siguiente sistema lineal

k∑j=0

bkj (ti)Cj = Ri, (6.10)

donde los coeficientes Ci ∈ H son desconocidos. Si k = n el sistema tiene solucion unicay la parte rotacional se encuentra dada por la siguiente forma

Trot (ti) =n∑j=0

bkj (ti)Cj . (6.11)

6.1.4. Interpolacion de la parte traslacional

Hasta el momento se cuenta con un Q-motion (6.11) que representa el comportamien-to rotacional de la de la herramienta de corte. Ahora, este movimiento es compuestocon un movimiento traslacional apropiado Ttras (ti) de grado l con el fin de obtener eldesplazamiento espacial de la herramienta en cuestion, donde el Q-motion traslacionales determinado por

Ttras (ti) = 2 + ε

l∑j=0

blj (ti) pj. (6.12)

Con el fin de evitar los polos, la parte escalar Ttras (ti) se normaliza a 2. Los coeficientespj ∈ R3 son desconocidos y el Q-motion debe interpolar el desplazamiento espacial dado.Entonces se tiene la ecuacion

l∑j=0

blj (ti) pj = si (i = 0, . . . , n) , (6.13)

que forma un sistema lineal para los coeficientes desconocidos pj ∈ R3 y los vectores deposicion si ∈ R3 dentro del cuaternio Ttras(Pi) = 2 + εsi. Cuando l = n contamos conuna unica solucion al sistema.


La representacion (6.9) cuenta con una caracterıstica: Las partes rotacional y trasla-cional son independientes. Esto resulta ser excelente, ya que no restringe el movimientode la herramienta a solo seguir movimientos simples sino que se cuenta con una herra-mienta de corte poderosa capaz de seguir movimientos en diferentes caminos y diferentestiempos.

6.1.5. Tallando la superficie

De lo anterior se tiene una ecuacion, la cual describe el movimiento de la herramienta(6.9), sin embargo debido a ciertas limitaciones fısicas o mecanicas, esta no puede tallarla superficie en un solo recorrido y es necesario realizar el desbaste del material en variospasos intermedios, por lo tanto se debe partir de una superficie inicial, por ejemplo uncilindro y terminar en la superficie deseada (vease figura 6.2).

si

ci

a) b)

Fig. 6.2. a) Algunas interpolaciones lineales para deformar la superficie b) Superficie deformada hasta elcilindro mınimo.

Para esto, se propone realizar la deformacion de la superficie hasta conseguir un ci-lindro, que sera la superficie inicial. Siguiendo un proceso de interpolacion lineal entrecada vector de posicion si de los n + 1 desplazamientos espaciales (6.7) y su correspon-diente punto horizontal ci ∈ R3 sobre el cilindro que envuelve a la superficie, se consiguerealizar la deformacion. Para una idea mas clara vease figura 6.3. De acuerdo con estose consigue

Si (l) = si (1− l) + cil con l ∈ [0, 1] e i = 0, . . . , n, (6.14)


como una serie de conjuntos de los n+1 desplazamientos espaciales, donde cada conjuntorepresenta un desbaste completo en la superficie, un recorrido completo de la herramienta.Sin embargo, la herramienta debe seguir el proceso inverso a la deformacion, comenzardesde un cilindro e ir desbastando entre cada conjunto Si (l) hasta llegar a la superficiebuscada.

Fig. 6.3. Proceso de cortes intermedios hasta conseguir la superficie deseada.

6.1.6. El control total de la herramienta

Una parte importante que debe ser considerada es la velocidad de la herramienta,esto con el fin de garantizar el control total. Controlando la velocidad y la aceleracion, setiene el conocimiento total del comportamiento cinetico de la herramienta en cualquierinstante de tiempo.

Si se tiene el conjunto V = (v1, . . . , v2) de velocidades correspondientes a las posicionesdadas Pi = (2 + εsi) ∗ (ri,0 + ri), se puede pensar tambien en tener A = (a1, . . . , an)conjunto de aceleraciones en algunas de tales posiciones. Por supuesto V,A ∈ H.

6.2 La curva solucion, segundo modelo 79

Si se tiene una funcion T (t) que interpola Pi, entonces resulta obvio pensar que T (t)debe interpolar V y T (t) interpola A. Por lo tanto, se tiene V (t) como:

Vtras (ti) = 2 + ε

3∑j=0

d3j

(t− titi+1 − ti

)vj (6.15)

y

Vrot (ti) = 2 + ε3∑j=0

d3j

(t− titi+1 − ti

)Vj . (6.16)

Asi, tambien se tiene que calcular la V ∈ H y v ∈ R3, lo cual significa tener queresolver:

k∑j=0

bvkj (ti)Vj = Ai (6.17)

yl∑

j=0

bvlj (ti) vj = ai, (6.18)

con i = 0, . . . ,m, donde se puede tambien conocer Ai y ai pero teniendo la ventaja deconocer tambien que

T (t) = Vtrasl (t) ∗ Vrot (t) (6.19)

y que algo parecido pasa con T (t) y ası existe alguna ecuacion diferencial que lo ligatodo.

6.2. La curva solucion, segundo modelo

Este es un camino diferente, que se basa en las propiedades con respecto al movimientogenerado por los cuaternios duales, junto a una idea original que permite ver la superficiedel solido como la curva solucion de un Oscilador Armonico Simple. Al igual que losmodelos encontrados en el capıtulo 5, esta seccion trata tambien de una aplicacion directaa la solucion hipercompleja, encontrada en el capıtulo 4 para movimientos que oscilanarmonicamente.

6.2.1. Recordando la curva solucion

Como se presento en la seccion 3.3.1, un cuaternio dual se define como q =[s,→q]

donde s es un numero dual y→q es un vector dual.


Ademas, gracias a la seccion 3.4 y a la proposicion 3.15 se sabe que, si contamos conlos parametros (θ, d, `,m) de un movimiento en screw, podemos construir el cuaterniodual unitario

q =[


], (6.20)

que representa el mismo movimiento en screw, donde la direccion del vector ` es paralelaa el eje de rotacion, el pitch d es la proyeccion la traslacion sobre el eje de rotacion y θes el angulo de rotacion.

Ası, es posible representar un movimiento en screw entre los vectores xa y xb asociadoscada uno a una lınea representada por su cuaternio dual correspondiente

xx =[0,→xx], donde 0 = 0 + ε0 y

→xx = 0 + εxx,

por medio de un producto entre cuaternios duales

xb = qxaq∗, (6.21)

con m = xa × ` y ε2 = 0.Por otro lado, se sabe que un Oscilador Armonico Simple se encuentra modelado por

medio de la ecuacion diferencialx+ ω2x = 0,

con solucionx = a cos (ωt+ β) , (6.22)

donde t es el tiempo, ω la frecuencia natural del sistema, a es llamada la amplitud y porsimplicidad se considera la fase β = 0.

De acuerdo a la seccion 4.2, se sabe que la relacion que existe entre la posicion, lavelocidad y el tiempo para un objeto que oscila armonicamente se encuentra dada por unmovimiento en screw (vease figura 4.2) y a partir de este se puede construir un cuaterniodual con el fin de representar ese mismo movimiento. Es decir, se tienen los parametrosdel screw (θ, d, `,m) y el correspondiente cuaternio dual q dado por (6.20) en donde dse calcula por ejemplo tomando el correspondiente tiempo en el angulo θ = π; d = π/ω.Y ası

Xb = qXaq∗, (6.23)

como se presento en la seccion 4.2, se tiene que (6.23) es una representacion hipercompleja

para la ecuacion (6.22), con Xb =[0,→Xb

], compuesto por la posicion, la velocidad y el

tiempo para cualquier angulo θ.

6.2 La curva solucion, segundo modelo 81

x

t x

v

x

v

t

a) b) c)

S(t)

Fig. 6.4. Un movimiento armonico simple con frecuencia ω representando la trayectoria para tallar unasuperficie; a) x vs. t y S(t) que manipula la amplitud, b) Retrato fase y c) Curva solucion.

6.2.2. Tallando la superficie usando la curva solucion

Hasta este momento, se tiene un movimiento en screw o en espiral, dado a partir dela solucion alternativa encontrada para un OAS (6.23), esto permite mover el centro demasa de la herramienta de corte; al hacerlo de este modo y variando el pitch d se tienela garantıa de recorrer en su totalidad cualquier superficie cilındrica. Sin embargo, senecesita ir dando forma a la superficie del solido, mientras se lleva a cabo el procesode tallado o desbastado. Para esto, se debe construir de alguna manera, una funcionS (t) que represente el contorno de la superficie deseada. Por ejemplo, una funcion atrozos o a partir de un conjunto de datos si ∈ R2 regularmente distribuidos sobre elcontorno de la superficie, se puede realizar una interpolacion con parametro t y coni = 0, . . . ,m y ası conseguir una funcion S (t) que represente la forma basica de lasuperficie. Entonces, resulta facil ver que si se junta el contorno representado por S (t) y elmovimiento en screw (6.23) se consigue una funcion que permite a la herramienta de corte(correctamente orientada) recorrer completamente la superficie y desbastarla. La ideadetras de lo anterior, es jugar con la amplitud de (6.23) como se observa explıcitamenteen la figura 6.4. Entonces se tiene

X (t) = qXa (t) q∗, (6.24)

donde

Xa(t) =[0,→Xa(t)

]con

→Xa(t) = 0 + ε(S(t), 0, 0).

Si se toma t = θ/ω, todo dependera del angulo de rotacion θ y se tiene un vector X (t)dentro de X (t) con la posicion, la velocidad y el tiempo que debe seguir la herramienta


de corte. Se debe remarcar que S(t) es la amplitud del nuevo OAS representado por elcuaternio dual (6.24) y es la parte que genera el contorno de la superficie. La frecuencianatural ω permite un control total de la herramienta, dado que d (pitch) depende de lafrecuencia.

Fig. 6.5. Proceso completo de tallado para una superficie usando la curva solucion de un OAS.

Debido al movimiento particular (screw) de los cuaternios duales, no se esta restrin-gido a tener la informacion distribuida de manera especial, como en la primera solucion.

Y como ya se ha mencionado, es imposible realizar el proceso de tallado del materialen un solo paso o recorrido, ası que siguiendo la misma idea mostrada en 6.1.5, se realizala deformacion de la superficie del solido hasta conseguir el cilindro circular mınimo quecontenga a la superficie. Sin embargo, ahora debe realizarse solo entre el conjunto depuntos si que representan la forma basica del contorno S (t) y su correspondiente puntohorizontal ci sobre el cilindro, solo que ahora ambos vectores en R2 con i = 0, . . . ,m y

6.3 Algunas observaciones importantes 83

m < n, (vease ecuacion 6.14). Lo anterior resulta una ventaja, ya que reduce el costocomputacional, sin embargo se debe calcular el correspondiente S (t) en cada paso.

6.3. Algunas observaciones importantes

Se han conseguido dos modelos siguiendo un enfoque cinetico como el que hasta elmomento se ha mostrado en el presente trabajo, todo gracias a propiedades derivadas delmovimiento presentado por la adecuada construccion de uno o varios cuaternios duales.

Ambas soluciones encontradas, cuentan con ventajas y desventajas entre sı. El primermodelo consentra una caracterıstica realmente muy importante, las partes rotacional ytraslacional resultan ser independientes. Esto, deriva un modelo poderoso para la herra-mienta de corte, ya que se tiene bien representada su orientacion, de esta manera, nose restringe a tallar o devastar con movimientos simples, sino que es posible manipularla orientacion para realizar movimientos complicados en cualquier instante de tiempo.Es importante mencionar que esta solucion permite utilizarse sobre cualquier tipo desolidos, no solamente sobre solidos de revolucion como los ejemplos mostrados arriba. Esdecir, si se contara con la informacion necesaria, serıa posible conseguir casi cualquiersuperficie, por ejemplo, partes del cuerpo humano tan complicadas como un craneo, rea-lizando cortes a profundidad en ojos, boca o nariz. Es claro, que a diferencia del segundomodelo, trazar la trayectoria y las trayectorias intermedias de corte de la herramienta,significa un costo computacional mayor.

En la segunda solucion, gracias al movimiento particular de un cuaternio dual, se tienela ventaja de no requerir un conjunto de informacion especialmente distribuida como enla primera solucion. Al mismo tiempo, lo anterior restringe el movimiento obtenido, yaque se depende de manera importante a tener un eje de rotacion y el movimiento resultalimitado a solamente conseguir solidos de revolucion. Una forma de intentar abordaresta limitacion, serıa encontrar la manera de mover a conveniencia en cada instante detiempo, dicho eje.

Como se puede observar, existen muchısimas formas de abordar el problema en estaseccion resuelto. Sin embargo, el objetivo de fondo es simplemente motivar la posibilidadde usar la teorıa vista a lo largo del presente, con el fin de resolver problemas que pudieranpresentar mecanismos similares o encontrar relacion de alguna manera con un problemade movimiento.

Capıtulo 7

Conclusiones

Se planteo la posibilidad de abordar cualquier problema desde un enfoque cinetico,aunque el problema no refiera a movimiento directamente. Con el objetivo de solucionarun nuevo problema y contar con la ventaja de tener un problema extensamente conocido.

Se mostro que el uso de cuaternios y cuaternios duales resulta ser una de las mejoresrepresentaciones para transformaciones rıgidas basicas como la rotacion y traslacion.Ası como las ventajas que ofrecen al estudiar el movimiento de un cuerpo rıgido en elespacio tridimensional, desde un enfoque hipercomplejo.

Se presento la posibilidad de emplear la interpolacion entre movimientos representadospor cuaternios duales como una herramienta poderosa para construir la curva trayectoriade un cuerpo rıgido que indirectamente resuelve un problema que pudiera estar o norepresentado por una ecuacion diferencial.

Un punto importante es la construccion de representaciones hipercomplejas para ecua-ciones clasicas como la ecuacion de un Oscilador Armonico Simple y la Ecuacion de Onda,mostrando la posibilidad de extender estos resultados considerando la presencia de resis-tencia y algunas otras fuerzas externa al sistema. Ademas, el Principio de Superposicion,sugiere la posibilidad de abordar ecuaciones de mayor complejidad bajo un analisis simi-lar al presentado.

Se menciono que no existe una forma unica o camino a seguir para conseguir dar unenfoque cinetico a nuestro problema original, sin embargo las ideas presentadas puedenser de gran ayuda al intentar hacerlo.

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la descripcion hipercompleja como una´ alternativa...

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