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Diego Maté Potes
La competencia matemática en la Educación Primaria:algunas estrategias para ayudar a los maestros a integrar
la adquisición de las competencias básicas en los métodos de programación y evaluación.
Luz Roncal Gómez
Facultad de Letras y de la Educación
Grado en Educación Primaria
2012-2013
Título
Autor/es
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE GRADO
Curso Académico
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2013
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
La competencia matemática en la Educación Primaria: algunas estrategiaspara ayudar a los maestros a integrar la adquisición de las competenciasbásicas en los métodos de programación y evaluación. , trabajo fin de grado
de Diego Maté Potes, dirigido por Luz Roncal Gómez (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia
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Trabajo de Fin de Grado LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN LA
EDUCACIÓN PRIMARIA: ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA AYUDAR A LOS
MAESTROS A INTEGRAR LA ADQUISICIÓN DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LOS
MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN Y EVALUACIÓN.
Autor:
DIEGO MATÉ POTES Tutor/es: LUZ RONCAL GÓMEZ Fdo:
Titulación: Grado en Educación Primaria
Facultad de Letras y de la Educación
AÑO ACADÉMICO: 2012/2013
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RESUMEN A la vista del informe PISA, el nivel matemático del alumnado español queda por debajo
de la media europea. Este trabajo presenta una metodología cuyo objetivo es que los
alumnos de Educación Primaria desarrollen, principalmente, la competencia matemática a
través de la resolución de problemas. Además, muchas de las actividades que se proponen
integran las otras siete competencias básicas que se enuncian en el currículum. Siempre ha
sido habitual dar más importancia a la ejecución de algoritmos que al razonamiento
matemático. La transferencia de esta metodología a la vida cotidiana no favorece nada la
superación de los obstáculos de la realidad. En nuestro día a día nos encontramos con
multitud de situaciones y contextos en los que nos tenemos que valer de las matemáticas.
Por ello, el trabajo en clase deberá servir para prepararnos para estos momentos creando
situaciones lo más similares posible. Apoyándonos en autores como J. García Moreno, G.
Polya, M. Niss, D. Meyer, L. Puig y F. Cerdán, entre otros, se propone una gran variedad
de problemas de diferente estructura que harán que los alumnos piensen y trabajen distintos
aspectos matemáticos. Para su resolución, se establecen unos pasos a seguir (comprensión,
estimación, planificación, resolución y comprobación) y unos modelos de planificación y
resolución de los problemas que ayudan a organizar los datos y las ideas. Además, este
proyecto también contiene una propuesta de introducción de conceptos matemáticos a partir
de problemas. La evaluación se lleva a cabo a través de la observación y de la realización
de diversas actividades, unas más ricas que otras desde el punto de vista competencial, pero
siempre más centradas en el desarrollo de la competencia matemática que en los algoritmos
en sí. Finalmente, también se muestra una pequeña experiencia puesta en práctica en un
aula de 5º de Educación Primaria donde los alumnos elaboran una pequeña cesta para
participar en una actividad de la exposición “La Rioja Tierra Abierta”. Para conseguirlo, se
tendrán que enfrentar a las matemáticas a la hora de calcular y comprar los materiales y en
el momento de planificar, diseñar y construir la cesta.
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ABSTRACT Seeing PISA report, the mathematical level of Spanish pupils is under the European
average. This work presents a methodology which aims to develop, mainly, the
mathematical competence of Primary Education students by solving problems. Besides,
many of the activities proposed incorporate the other seven basic competences stated in the
curriculum. As far back as I can remember, it has been usual to attach more importance to
algorithmic execution rather than to mathematical reasoning. Transferring this
methodology to the daily life doesn’t help at all the overcome the everyday handicaps. We
daily come across several situations and contexts where we have to use mathematics.
Therefore, classwork must be useful for us creating contexts as similar as possible to the
daily ones. Relying on authors as J. García Moreno, G. Polya, M. Niss, D. Meyer, L. Puig
and F. Cerdán, among others, it is proposed a wide variety of problems with a different
structure which will make the pupils think and work on different mathematical aspects.
Regarding their solution, I give some steps (understanding, estimation, planning, solving
and checking) and some planning and solving models which help organize data and ideas.
Moreover, this project contains a proposal to introduce mathematical concepts through
problems. Students will be assessed by observing and making them carry on some different
activities, some of them wealthier than the others regarding competences, but always more
focused on developing the mathematical competence rather than mere algorithms. To final
with, it is also shown an experience put in practice at a class of 5th Primary where the
pupils elaborate a small basket to take part in an activity in “La Rioja Tierra Abierta”
exposition. To achieve it, they will have to face mathematics when calculating and buying
materials as well as when planning, designing and making the basket.
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ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 5
2. OBJETIVOS ..................................................................................................................... 11
3. JUSTIFICACIÓN Y MARCO TEÓRICO ....................................................................... 13
4. DESARROLLO/CONTENIDOS/DISCUSIÓN ............................................................... 19
4.1 Propuesta. Generalidades e implicaciones .................................................................. 21
4.2 Los problemas. Su gradación en orden creciente de dificultad .................................. 22
4.3 Los problemas. Diferentes propuestas ........................................................................ 24
4.4 Modelos de resolución de problemas .......................................................................... 28
4.4.1 Comprensión ......................................................................................................... 29
4.4.2 Estimación / anticipación / preguntas ................................................................... 29
4.4.3 Planificación ......................................................................................................... 29
4.4.4 Resolución ............................................................................................................ 30
4.4.5 Comprobación ...................................................................................................... 33
4.5 Desarrollo metodológico y su integración en la programación de aula ...................... 33
5. EVALUACIÓN ................................................................................................................ 35
6. APLICACIÓN .................................................................................................................. 39
6.1 Conclusiones de la experiencia ................................................................................... 49
7. CONCLUSIONES GENERALES .................................................................................... 51
8. BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 53
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1. INTRODUCCIÓN El informe PISA, que comenzó a realizarse en el año 2000 y se ha ido llevando a cabo cada
tres años, se basa en el análisis del rendimiento de estudiantes a través de unos exámenes
hechos a nivel mundial con el fin de valorar distintas capacidades de los alumnos de 15
años de los países que se citan en el gráfico 1. Las pruebas son las mismas para todos los
países. En concreto, con este informe se miden las capacidades de los alumnos en
Matemáticas, Lectura y Ciencias.
El informe español PISA 2009 (hemos analizado éste, ya que los resultados del último
informe PISA, que fue realizado en 2012, todavía no están disponibles) recoge los datos de
la educación española que permiten conocer la calidad de la enseñanza en nuestro país, así
como el grado de consecución de los objetivos y las competencias propuestas. El fin último
es el de mejorar los aspectos más débiles de cara al futuro. Además, no sólo se valoran los
conocimientos y habilidades en estos campos, sino también la capacidad de extrapolar lo
aprendido a nuevos contextos y situaciones.
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Gráfico 1 Los resultados mostraron que los alumnos españoles tienen un nivel matemático inferior al
promedio de la OCDE (ver gráfico 1).
Al finalizar la ESO, los alumnos españoles suelen saber operar considerablemente bien.
Muchos manejan con soltura operaciones con raíces, fracciones con potencias,
racionalización, ecuaciones con denominadores o incluso ecuaciones racionales y radicales.
Muchos de ellos se preguntan para qué les va a servir eso en la vida más allá de aprobar un
examen, pero saben que tienen que estudiarlo y aprenderlo porque es lo que necesitan para
que los cursos siguientes puedan hacer operaciones más complejas en otros temas como la
trigonometría, los límites o las integrales. Además, este tipo de formación basado en la
mecanización de algoritmos basta para llegar a la Selectividad con una buena preparación.
A lo mejor esta prueba debería ser de otra índole. En definitiva, en España lo que
principalmente hacemos es operar. Únicamente sabemos resolver operaciones que cada vez
se van volviendo más complejas y enrevesadas, pero sin un objetivo práctico y útil. Sin
embargo, el informe PISA valora aspectos más amplios de la matemática, ya que los
ejercicios planteados en estas pruebas se centran más en razonar y aplicar las matemáticas
en un contexto real.
Se podría pensar que el problema se encuentra en el currículum. Hasta hace pocos años, lo
que se trabajaba principalmente eran los contenidos conceptuales pero, hoy en día, el
currículum es menos exigente en ese aspecto dando lugar a trabajar aspectos más
orientados al razonamiento. Sin embargo, todavía perdura en la mayoría de los profesores
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una parte de la enseñanza de la antigua escuela donde lo importante era lograr en los
alumnos la habilidad de realizar cuentas y cálculos. Por tanto, si queremos que alcancen
una competencia matemática aceptable, ese no es el camino, a la vista del informe PISA.
Según el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las
enseñanzas mínimas de la Educación Primaria, “las competencias básicas apuntan a
aquellos aprendizajes que son importantes desde un punto de visto integrador y orientado a
su aplicación. Son aquellas que todo estudiante que ha acabado la educación secundaria
obligatoria debe poseer para poder desarrollarse como persona, entrar en el mundo laborar,
defenderse en la vida y alcanzar la madurez”.
Incluir las competencias básicas en el currículo tiene varias finalidades como son, en primer
lugar, integrar los diferentes aprendizajes, de manera que los alumnos no vean cada
asignatura como un ente aislado de todo lo demás y que no guarda ninguna relación. En
segundo lugar, enseñar a los estudiantes a hacer de sus conocimientos un todo de los que
puedan echar mano en diferentes situaciones y contextos. Y, finalmente, enseñar a
identificar los contenidos más importantes del programa.
Cabe destacar que “no existe una relación unívoca entre la enseñanza de determinadas
áreas o materias y el desarrollo de ciertas competencias. Cada una de las áreas contribuye al
desarrollo de diferentes competencias y, a su vez, cada una de las competencias básicas se
alcanzará como consecuencia del trabajo en varias áreas o materias”.
Todo lo que se trabaje en cada una de las materias debe ser complementado con la
organización y el reglamento del centro, las actividades que se realicen en él, el uso de la
biblioteca y la acción tutorial. Aparte de todo esto, la planificación de las actividades
complementarias y extraescolares también puede reforzar el desarrollo del conjunto de las
competencias básicas.
En el anexo I del Real Decreto 1513/2006, se enumeran las ocho competencias básicas:
1. Competencia en comunicación lingüística.
2. Competencia matemática.
3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.
4. Tratamiento de la información y competencia digital.
5. Competencia social y ciudadana.
6. Competencia cultural y artística.
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7. Competencia para aprender a aprender.
8. Autonomía e iniciativa personal.
Aunque estas competencias básicas está previsto que se alcancen al final de la educación
obligatoria, el mejor método para adquirirlas es progresivamente, empezando a trabajarlas
desde el principio de dicha educación obligatoria.
El currículo se estructura en torno a áreas de conocimiento, dentro de las cuales se
explica en qué competencias básicas se centra más. Además, los contenidos y objetivos
que se detallan están preparados para alcanzar dichas competencias mientras que los
criterios de evaluación ayudan a hacer una valoración del progreso que se está llevando a
cabo.
El mismo decreto mencionado antes, define la competencia matemática como “la habilidad
para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de
expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de
información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales
de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo
laboral.”
La competencia matemática incluye, entre otras, la habilidad para interpretar y expresar
con claridad y precisión diversas piezas de información y datos, lo cual favorece la
participación en un contexto social y beneficia al hecho de seguir aprendiendo.
Del mismo modo, requiere el conocimiento y uso de todos los elementos matemáticos
como los números, los símbolos, los elementos geográficos, las calculadoras… tanto en
situaciones reales como simuladas. Exige también el desarrollo de un razonamiento que
nos conduzca a la solución del problema o a la obtención de la información que precisemos.
Todos estos procesos permiten utilizar las matemáticas en una gran variedad de situaciones
y contextos. Por tanto, la competencia matemática consiste en aplicar un proceso de
pensamiento, que junto con un razonamiento lógico u algoritmo nos permite llegar a un
resultado o conclusión del cual nosotros seamos capaces de interpretar y valorar su
veracidad. Además, es fundamental mostrar confianza y seguridad hacia los problemas que
contienen elementos matemáticos y utilizarlos cuando la situación lo requiera.
Esta competencia matemática cobra sentido cuando todo lo anterior se hace necesario en la
vida cotidiana. Es decir, las estrategias de resolución de problemas, las técnicas utilizadas,
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las herramientas de cálculo y los datos forman parte de ella. Para saber cuándo se ha
alcanzado dicha competencia, se deberá observar si el alumno es capaz de aplicarla en
contextos y ámbitos variados, tanto dentro como fuera del aula, razonando correctamente y
tomando decisiones a partir de la ayuda de las matemáticas e “integrando el conocimiento
matemático con otros tipos de conocimiento para dar una mejor respuesta a las
situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad.”
En este trabajo vamos a describir las ideas de una metodología basada en la resolución
de problemas para la enseñanza de los contenidos matemáticos que permitirá, de una
forma óptima, la adquisición de las competencias básicas. Se buscará evitar la
mecanización de algoritmos estimulando más la utilización racional de los mismos. Es
importante aclarar que no se debe suprimir por completo el aprendizaje y la práctica de
algoritmos puros, pero nunca deben ser el núcleo de las matemáticas, como suele ocurrir.
Uno de los objetivos principales es lograr que los alumnos vean los problemas como una
situación real cuya solución está en el análisis razonado y en su total comprensión. Además
de todo esto, expondremos algunas actividades que sean ricas competencialmente, es decir,
aquellas que pongan en juego un gran abanico de competencias matemáticas específicas
(descritas más adelante) o incluso otras competencias diferentes a la matemática.
Asimismo, describiremos una evaluación que se llevará a cabo mediante problemas
variados que obliguen a los alumnos a razonar y relacionar contenidos, algunos con varias
respuestas correctas, otros en los que falten datos y, en definitiva, se buscará proponer
situaciones que huyan del mero algoritmo y la mecanización.
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2. OBJETIVOS Proponer una enseñanza de los contenidos de matemáticas de Educación Primaria
tomando como punto de partida la resolución de problemas.
Integrar la competencia matemática a través de la resolución de problemas en los
métodos de programación.
Desarrollar las siete competencias básicas restantes a través de la resolución de
problemas.
Hacer que los alumnos aborden los problemas como si se enfrentaran a una
situación real, resolviéndola mediante el razonamiento y la comprensión.
Encontrar el verdadero valor, sentido y utilidad de las matemáticas.
Utilizar las matemáticas en contextos de la vida cotidiana.
Diseñar una evaluación que obligue a relacionar diferentes aspectos matemáticos
aprendidos y demuestre que se ha adquirido la competencia matemática.
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3. JUSTIFICACIÓN Y MARCO TEÓRICO En el proyecto DeSeCo (Definition and Selection of Competencies), la definición general
de competencia que se da es la siguiente: “conocimientos y destrezas esenciales para la
participación plena en la sociedad”.
Dentro de ella tenemos las ocho competencias matemáticas específicas que describió Niss
(2002):
● Pensar matemáticamente.
○ Plantear interrogantes propios de las matemáticas y saber las
respuestas que las matemáticas pueden dar a estas cuestiones.
○ Conocer el límite de los conceptos matemáticos y saber cómo
emplearlos.
○ Aumentar el alcance de un concepto usando la
generalización.
○ Diferenciar distintos tipos de enunciados matemáticos.
● Modelizar matemáticamente.
○ Analizar las propiedades de modelos existentes.
○ Interpretar los elementos del modelo en términos del mundo
real.
○ Crear modelos matemáticos.
● Proponer y resolver problemas de matemáticas.
○ Reconocer, definir y plantear diversos problemas
matemáticos.
○ Resolver dichos problemas utilizando el procedimiento más
adecuado.
● Razonar matemáticamente
○ Evaluar argumentos de otras fuentes.
○ Conocer el significado de demostración matemática.
○ Entender las ideas de una demostración.
○ Crear argumentos matemáticos.
● Comunicar en, con y sobre las matemáticas.
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○ Entender textos, tanto escritos como visuales u orales, con
contenido matemático.
○ Expresarse de forma oral, visual y escrita sobre aspectos
matemáticos.
● Representar objetos y situaciones matemáticas.
○ Comprender y emplear la representación de objetos.
○ Comprender y emplear la relación entre representaciones de
una misma entidad.
○ Elegir una entre varias representaciones según la situación en
la que nos hallemos.
● Utilizar símbolos y formalismos matemáticos.
○ Entender la relación del lenguaje simbólico con el lenguaje
natural.
○ Comprender las reglas de los sistemas matemáticos.
○ Traducir del lenguaje natural al simbólico.
○ Desenvolverse con expresiones simbólicas y fórmulas.
● Utilizar recursos auxiliares y herramientas.
○ Ser consciente de la existencia de las herramientas diseñadas
para las matemáticas, incluyendo las nuevas tecnologías.
○ Utilizar de forma razonada dichas herramientas.
La competencia matemática es una de las ocho competencias básicas que los alumnos
deben desarrollar a lo largo de su escolaridad. Es la capacidad de hacer frente a diversas
situaciones en las que intervengan los números. No basta simplemente con ser un experto
en el cálculo mental o saber manejar determinado algoritmo con gran velocidad. Todo eso
son simples procesos mecánicos que se ejercitan con la práctica pero que no se asemejan a
lo que luego un alumno encuentra en la vida real. Además de esto, para alcanzar una
competencia matemática óptima, es necesario saber seleccionar y aplicar estos mecanismos
en situaciones o contextos específicos de la realidad.
Por ejemplo, resulta inútil que un alumno sepa hacer sumas y restas a la perfección si,
cuando se enfrenta a un problema, no tiene ni idea de cuándo usar una y cuándo otra. Un
alumno puede ser brillante en la ejecución de los algoritmos matemáticos obteniendo
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excelentes notas, pero a la vez ser un “analfabeto de las matemáticas” en la vida cotidiana.
Conocer algoritmos y saber razonar matemáticamente no es lo mismo. Si estas habilidades
no se entrenan por igual desde pequeños, la base matemática en la época adulta estará
degradada. Es por ello que los niños tienen que aprender las matemáticas en contextos que
sean significativos para ellos.
Hasta ahora, los docentes tendían a programar partiendo de los objetivos de la educación.
Con ellos elaboraban las actividades y la actuación docente y, a la hora de evaluar,
comprobaban el tipo de competencias que se habían desarrollado. Actualmente se propone
programar a partir de las mismas competencias y diseñar los ejercicios con el fin de
alcanzarlas interrelacionándolas entre sí. Las actividades que se diseñen deben ser ricas
desde un punto de vista competencial.
Juan Emilio García Jiménez (2010) formuló una lista de tareas que NO contribuyen al
desarrollo de las competencias:
● Memorizar reglas y algoritmos. La práctica repetida de rutinas, ejercicios y
más ejercicios, cultivando casi en exclusiva algoritmos de lápiz y papel. Esto
fomenta el hastío y una forma única de hacer. Las situaciones reales casi nunca se
parecen a los ejercicios.
● Buscar y encontrar formas exactas para respuesta.
● Memorizar procedimientos como la multiplicación en cruz para la división
de fracciones, el cálculo del mínimo común múltiplo o la división de polinomios,
sin entenderlos.
● Practicar con problemas rutinarios de un solo paso y practicar con problemas
categorizados por tipos (ej: problemas con monedas, problemas de ecuaciones de
primer grado...)
● Aprender sólo del profesor y el libro de texto.
● Utilizar las explicaciones del profesor como única herramienta de docencia.
Aunque resulte obvio, hay que añadir que para la adquisición de la competencia matemática
se puede colaborar desde todas las áreas del currículo y, a su vez, las matemáticas pueden
colaborar en el desarrollo de distintas competencias. La educación de las matemáticas no
debe estar solamente en manos de los profesores de matemáticas, sino en las de todos.
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Asimismo, las matemáticas también pueden colaborar a la adquisición de otras
competencias.
Para alcanzar dichas competencias, proponemos desarrollar un trabajo de enseñanza-
aprendizaje basado en la resolución de problemas. Éste es el aspecto matemático que
más dificultades presenta para los alumnos y que pone a prueba una gran parte de las
habilidades matemáticas del alumno: la lectura comprensiva, el razonamiento, la
elaboración y ejecución de un plan de trabajo, la comprobación de los resultados, etc.
Además, es lo que más aproxima al alumno a una situación en la vida cotidiana.
Como dicen Silvia Llach Carles y Ángel Alsina i Pastells (2009), es una práctica muy
globalizada el poner a los alumnos enormes cantidades de operaciones aritméticas para
ensayar y mejorar en la realización de los algoritmos. ¿Cuántas multiplicaciones y
divisiones de dos y tres cifras hemos hecho a lo largo de nuestra vida? ¿Y cuántas
multiplicaciones y divisiones con decimales? Si ahora nos pusiéramos a contar el número
de veces que las hemos utilizado en la vida real cuando teníamos a mano una calculadora,
posiblemente los dedos de una mano nos serían suficientes. Este tipo de actividad, cuyo
único fin es el de convertir en un proceso mecánico la resolución de un algoritmo mediante
la repetición, afecta mínimamente al desarrollo de la competencia matemática
desarrollando un único punto: calcular eficazmente de forma escrita. Sin embargo,
abandona otros aspectos fundamentales como comprender los significados de las
operaciones y la relación que guardan entre ellas. Por tanto, desde una perspectiva
competencial, la realización de meras operaciones, una detrás de otra y sin relación entre
ellas, es una actividad pobre y poco sustancial. Bien es cierto que, para el profesor, es más
fácil proponer este tipo de ejercicios que mantienen a los alumnos ocupados un buen rato,
son rápidos y sencillos de corregir y la mayor parte de los estudiantes saben hacer.
Durante mi experiencia como alumno de prácticas en el C.E.I.P. Nuestra Señora de la Vega
en Haro (2013), he tenido alumnos con un cociente intelectual muy bajo que rozaban el
ACNEE, según la orientadora del centro. Eran capaces de resolver rápidamente sumas con
llevadas al día siguiente de haberlas explicado. Por el contrario, tenían verdaderas
dificultades para pensar razonadamente y, a la hora de dar respuesta a una pregunta de este
tipo, recurrían al azar o se quedaban callados. Con los problemas ocurría lo mismo, si
acertaban la operación a realizar era por casualidad y mezclando los números que
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aparecían, pero no sabían explicar qué operación tenían que elegir y por qué. La resolución
de problemas abarca un amplio rango dentro de las competencias (matemática y lingüística,
principalmente) y presenta más dificultades.
Desde el punto de vista docente, también resulta mucho más difícil el lograr que un alumno
razone adecuadamente que el conseguir que aprenda cierto algoritmo matemático. No es
fácil explicar cómo razonar, cómo relacionar unos conceptos con otros o cómo aplicar algo
aprendido en otro contexto diferente. Estas cosas se adquieren con la práctica y la
experiencia. El docente debe proporcionar el mayor abanico posible de situaciones donde
los alumnos tengan que usar la razón. Además, no debemos olvidar que es fundamental
atraer la atención de los alumnos. Una persona que trabaja con interés adquiere e interioriza
conocimientos de una manera más rápida y eficaz.
Dentro de la propuesta de una metodología basada en la resolución de problemas,
planteamos a los alumnos la realización de trabajos cooperativos sobre un contexto que no
les permite conocer de antemano la solución. En particular, mostraremos un ejercicio en el
que tendrán que echar mano de varias competencias: para empezar, deben entender la
situación en la que se hallan, entender lo que se pide y analizar los datos haciendo hincapié
básicamente en las competencias de comunicación lingüística, de conocimiento en
interacción con el mundo físico y de aprender a aprender. A continuación, es necesario
comprender la estructura del problema: la situación inicial, el cambio o transformación que
se produce y la situación a la que llegamos o queremos llegar finalmente. Esta segunda fase
en la resolución de problemas afecta a las competencias anteriores añadiendo la
competencia matemática y la de autonomía e iniciativa personal. Después, hay que buscar
estrategias para resolver el problema: dibujar, hacer esquemas, calcular mentalmente,
escribir, utilizar la tecnología y usar diversos materiales de los que dispongamos. Esto
implica poner en juego, al menos, tres competencias: competencia en comunicación
lingüística, competencia digital, competencia para aprender a aprender y autonomía e
iniciativa personal. Para finalizar, y sabiendo que se trata de un problema para realizar de
modo cooperativo, se hace necesario contar al grupo el proceso que hemos seguido y la
solución que hemos obtenido, lo que implica trabajar las competencias de lengua y
matemáticas. Del mismo modo, a lo largo de todo el proceso se pone en práctica la
expresión y comprensión oral, puesto que los alumnos interaccionan entre sí escuchándose
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y hablando los unos con los otros, pudiendo aprender de los demás. Esto hace que entre en
juego la competencia social.
Vemos que esta actividad es una tarea altamente rica desde el punto de vista competencial
por el hecho de que se han abordado muchos de los aspectos de la competencia matemática
(que es el área en el que se está trabajando en este momento), pero también se han
desarrollado una gran cantidad de capacidades que afectan a otras competencias básicas
diferentes a la matemática. Más adelante, analizaremos en profundidad y paso a paso este
proceso de resolución de problemas así como el proceso de evaluación que será llevado a
cabo. Dado que la evaluación debe ser coherente con la metodología usada, propondremos
una observación directa dando mucha importancia a la participación e implicación de los
alumnos en las tareas, a la capacidad de trabajar en grupo ordenadamente y, por supuesto, a
los conocimientos adquiridos que tendrán que ser probados mediante un examen escrito.
Este examen pondrá a prueba tanto el uso de algoritmos como la resolución de problemas
que requieran una competencia matemática aceptable en el nivel que se esté trabajando.
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4. DESARROLLO/CONTENIDOS/DISCUSIÓN Existen dos factores fundamentales para que una persona aplique las matemáticas ante una
situación concreta de la vida real que requiera el manejo de herramientas matemáticas:
saber resolverlo y, lo más importante, tener la necesidad de hacerlo. Es muy poco frecuente
que alguien se ponga a resolver un problema de cualquier índole por el simple hecho de
hacerlo y sin tener la necesidad de hallar ese resultado. Fuera de las paredes de un centro de
enseñanza, los problemas para los cuales buscamos solución son aquellos que nos van a
permitir superar un obstáculo en el trabajo, en la administración de nuestra vivienda y en
multitud de ocasiones más. Esto nos conduce de nuevo a la importancia de plantear a los
alumnos problemas que puedan surgir en su vida cotidiana.
En la actualidad, el conocimiento está accesible para todo el mundo y cada vez es menos
necesario memorizar y aprender largas listas de un determinado tema. Sin embargo, a veces
el exceso de información puede resultar abrumador y hace necesario el manejo de diversas
herramientas de búsqueda, así como el hecho de saber discriminar qué información es
importante y cuál no. La escuela tiene que adaptarse necesariamente a esta nueva sociedad
y modificar la manera de enseñar a sus alumnos para hacerles personas competentes en el
nuevo mundo que nos movemos. Si no educamos para la vida, ¿para qué lo hacemos?
Planteemos la siguiente pregunta: ¿es realmente necesario saber realizar a mano la
operación 365x17,25? Es de suponer que cualquier persona que tenga que enfrentarse a esta
operación en un contexto cualquiera de la vida cotidiana optaría por usar una calculadora.
¿Por qué se exige a los alumnos realizar operaciones a las que nunca van a tener que
enfrentarse más allá del examen de clase? ¿Por qué no proponerles actividades más
próximas a la vida real?
Uno de los elementos que pueden ser útiles y que, por norma, se tienden a rechazar, son las
calculadoras. A la hora de resolver un problema, la importancia del proceso está muy por
encima de la del mero cálculo y el uso de la calculadora permite al niño centrar su atención
en el razonamiento matemático pudiéndose olvidar del cálculo. Lógicamente, esto no
quiere decir que haya que permitir la utilización de calculadoras en todos los casos, pero sí
que podría resultar interesante aprender a determinar cuándo es pertinente su uso y cuándo
no.
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Parece claro que la competencia matemática no es un fin en sí mismo y que se valora su
utilidad en función de su contribución a una mejor comprensión del mundo. Su aprendizaje
solo cobra sentido a la hora de afrontar y resolver problemas en contextos reales o
simulados de la vida cotidiana. Lo habitual en las escuelas de Educación Primaria es lo
siguiente:
El libro de texto determina el currículo (pese a que ya no precisa de
autorización oficial)
La mayor parte del tiempo se dedica a hacer operaciones sin conexión con
situaciones reales.
Se muestra escaso dominio de las estrategias de cálculo mental.
Se muestra escaso dominio de las estrategias de estimación.
Se tiende al conocimiento de un único algoritmo para la suma, la resta, la
multiplicación, la división.
Prohibición del uso de la calculadora.
Afrontar los problemas yendo directamente a los datos y operaciones. (¿Es
de dividir?)
Impaciencia por resolver el problema lo antes posible.
Necesidad de utilizar todos los datos que se dan.
Se busca usar una operación que se haya aprendido recientemente.
Se da una solución sin contrastar, aunque sea absurda.
Creencia de que existe una manera única de resolver un problema.
Apenas se dedica tiempo a la discusión sobre cómo resolver un problema.
Los planteamientos de los problemas poco o nada tienen que ver con los que
surgen en la vida real.
No hay conexión entre los problemas que se plantean en la vida real y las
actividades de matemáticas que realizan en clase.
También surge el dilema del planteamiento “mágico” del problema. El alumno sabe que se
espera de él que combine los datos mediante operaciones, pero no es capaz de ver la
relación entre el enunciado y el planteamiento. Muchas veces llegan a la solución correcta
combinando los datos usando una especie de lógica escolar (si es una resta, como el
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resultado debe ser positivo y, por tanto, el número mayor será el minuendo) pero sin llegar
a entender el fondo del problema y sin saber razonar el porqué del proceso que han elegido.
Como muy acertadamente dijo Polya (1944): “Un profesor de matemáticas tiene una gran
oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará
en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su
oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos
planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por
medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento
independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello”.
4.1 Propuesta. Generalidades e implicaciones
Mi propuesta es la de vertebrar el currículo de matemáticas en Primaria en torno a un hilo
conductor, que sería la resolución de problemas planteados de diferentes formas, en
variados contextos y relacionados con situaciones de la vida reales o simulados.
El libro de texto ya no determinará el currículo, sino que pasará a ser una herramienta más
que contribuya a su desarrollo.
Se buscará:
Dedicar más tiempo a la discusión y al planteamiento de los problemas.
Aceptar cualquier solución que sea coherente.
Valorar las diferentes opciones y estimular la claridad, el orden y la economía en los
planteamientos.
Permitir la utilización de diferentes opciones a la hora de realizar los cálculos: la
calculadora para realizar determinadas operaciones, el cálculo mental y también los
algoritmos. El criterio para utilizar uno u otro método será similar al que
utilizaríamos en nuestra vida diaria: por ejemplo, si hemos de multiplicar 127,39 X
2,86 en un contexto en el que interese el razonamiento, y no la mecanización,
recurriremos a la calculadora.
Generalizar el uso de la estimación y de la comprobación en la resolución de los
problemas. La estimación exige un proceso previo a la resolución del problema en
el que anticipamos su planteamiento y resolución de forma aproximada, incluyendo
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estrategias de cálculo mental. Igualmente permite la detección de soluciones
absurdas, con lo que facilita la fase de comprobación.
Establecer un nexo entre las matemáticas y la vida real a través del planteamiento de
situaciones problemáticas cotidianas y dotadas de contenido, evitando la realización
de cuentas sin contenido tangible.
Habituar al alumno al diseño explícito del planteamiento del problema a través de
diferentes tipos de esquemas antes de pasar a su resolución numérica. Se pretende
erradicar el hábito bastante común entre los alumnos de combinar los datos del
problema en una operación sin haber reflexionado.
Establecer relaciones con las diferentes áreas curriculares mediante diferentes
planteamientos de situaciones problemáticas.
Utilizar diferentes estrategias a la hora de proponer los problemas, tratando de
aproximarnos en lo posible a situaciones reales, en las que se presentan variadas
situaciones: sobran o faltan datos y hay que buscarlos en otro lugar, puede haber
diferentes soluciones, etc.
Contribuir a la adquisición de las competencias básicas.
4.2 Los problemas. Su gradación en orden creciente de dificultad
A la hora de plantearnos qué problemas son adecuados para cada tipo de edad debemos
atender al progresivo aumento de la dificultad de los contextos en los que están planteadas
y su categoría. Por ejemplo, en lo que a problemas de tipo aritmético se refiere, puede
sernos de gran utilidad una exhaustiva clasificación que nos ofrece un documento elaborado
por el EOEP de Ponferrada. La siguiente imagen (ver gráfico 2) muestra el esquema que
luego se desarrolla a lo largo de más de 100 páginas.
23
Gráfico 2
24
4.3 Los problemas. Diferentes propuestas
En el vídeo de Dan Meyer (2010) se puede ver una interesante charla acerca de los
problemas a los que se enfrentaban los estudiantes. Considera que los alumnos se preparan
para los problemas con el único fin de superar el examen. Después, todo se les olvida
(aunque pueda ser reaprendido en un futuro). La consecuencia de todo esto es que de este
modo no se consigue el desarrollo de una competencia matemática que les permita aplicar
los procesos matemáticos al mundo que les rodea. Todos muestran impaciencia por
encontrar la fórmula para resolver el problema y buscan la vía más rápida. Lo cierto es que
la mayoría de los problemas que aparecen en los libros de texto no se corresponden con
aquellos que surgen en la vida real. “¿En qué momento de la vida han resuelto ustedes un
problema que fuera importante resolver, que tuviera toda la información anticipadamente?
¿O que no tuviera muchísima información y tuvieran que filtrarla? ¿O que no tuvieran
suficiente información?”
Esto son problemas reales y no los que aparecen en los libros de texto. También nos pone el
ejemplo de un problema sobre un teleférico que recorre cuatro zonas, cada una con una
inclinación diferente. ¿Qué fase es la más empinada? Si les mostramos a los alumnos un
dibujo en esta situación sin nombrar cada fase, ellos se darían cuenta de que, para hablar de
cada una de ellas, resulta más cómodo llamarlas a, b, c o d que hablar de la de la derecha, la
que está en el centro más hacia la derecha...
Después analizaríamos a qué se refiere con "empinado” y trataríamos de obtener una buena
definición y aproximación a una fórmula de cálculo.
"Las matemáticas están al servicio de la conversación”. (Las matemáticas nos ayudan a
explicar la realidad).
Por último, para obtener la atención y el interés de los estudiantes, propone mostrarles el
vídeo de un tanque de agua llenándose poco a poco. Resulta terriblemente aburrido estar
observando cómo el nivel del agua sube muy lentamente. Al final, alguien preguntará:
“¿Cuánto va a tardar en llenarse esto?” Es el momento en el que tienen ganas de saber lo
que va a tardar, ahí es, entonces, cuando planteamos el problema.
Por tanto, como norma general, trataremos de que los problemas reproduzcan fielmente
situaciones cotidianas. Utilizaremos diferentes formas de planteamiento, evitando
limitarnos al habitual problema que nos ofrece todos los datos necesarios y ninguno
25
superfluo en su enunciado. Los ejemplos que veremos a continuación estarán adaptados a la
parte de los contenidos de aritmética del 5º curso de Educación Primaria. Son propuestas
que se podrían plantear en el aula
Plantear un problema al que le falta algún dato.
Ej: ¿Cuánto cuestan 3,7 Kg de manzanas?
Plantear problemas con más datos de los necesarios para su resolución.
Ej: Tenemos 72 cajas con 14 latas de espárragos cada una. En cada lata hay 12
espárragos y cuesta 2 €. ¿Cuántas latas tenemos en total?
Problemas con los datos fuera del enunciado: en un gráfico, en una página web, en
un cuento, que deban solicitarlos del maestro, o buscarlos donde sea.
Ej: En España, un 15% del total de la población tiene entre 0 y 14 años. ¿De qué
cantidad estamos hablando? (Los alumnos deberán buscar la población total
española en Internet).
Problemas divergentes. (Ante un muestrario de artículos con su precio, ¿qué podría
adquirir con estos X euros?)
Ej: Mi madre me ha regalado 50 € para que me gaste en ropa el día de mi
cumpleaños. Decido ir a una tienda donde venden camisetas a 12 €, pantalones a 20
€ y deportivas a 40 €. Las deportivas tienen un 25% de descuento. ¿Qué me puedo
comprar?
Plantear una situación problemática rica y que los alumnos formulen las preguntas.
Ej: Mostrar este mapa y que los alumnos se formulen preguntas uno a otro para
resolver mentalmente. “Las preguntas serán del tipo: ¿qué distancia hay desde Seba
a Tirúa pasando por Estepo?, ¿qué camino es el más rápido para ir de Tirúa a
Seba?”.
(Los nombres de los pueblos son totalmente inventados pero se podría hacer
también con el mapa de la provincia en la que viva ese grupo de alumnos. Además,
así desarrollaríamos también la competencia en el conocimiento y la interacción con
el mundo físico. Por otra parte, también decir que se pueden formular preguntas que
supongan una mayor complejidad desde el punto de vista aritmético. En este caso,
se resolverían por escrito).
26
Plantear la pregunta final y que el alumno escriba un enunciado coherente. Después
ellos lo resolverán.
Ej: ¿Cuál será el precio de tres coches?
Problemas de lógica.
Ej: Moviendo sólo tres fichas, debes conseguir que la flecha apunte hacia un sentido
opuesto.
O O O O
O O O
O O
O
Inventar un problema a partir de una operación u operaciones que lo resuelven.
Ej: 37 x 5 + 280 = 465
Todo tipo de enunciados incompletos.
Ej: El profesor plantea un problema que no tiene pregunta. Los alumnos tendrán que
inventar una pregunta coherente con los datos del problema y resolverla.
27
Dado el resultado, inventar el problema.
Ej: 864,8 Kg pesan entre los tres.
Analizar las diferentes variantes de un problema haciendo uso de las operaciones
inversas.
Ej: Tengo un álbum de 120 páginas. En cada página hay 4 fotografías. ¿Cuántas
fotografías tiene el álbum en total?
Una vez resuelto el problema, para mostrarles la relación que guardan la
multiplicación y la división, podemos analizar las siguientes variantes:
o Tengo un álbum con 480 fotografías. Tiene 120 páginas con el mismo
número de fotografías en cada una. ¿Cuántas fotografías hay en cada
página?
o Tengo un álbum con 480 fotografías. En cada página hay colocadas 4
fotografías. ¿Cuántas páginas tiene el álbum?
Plantear una pregunta final e ir discutiendo y reflexionando con los alumnos hasta
construir el enunciado del problema.
Ej: ¿Cuánto dinero tendrá que poner cada alumno para pagar el almuerzo de fin de
curso?
Cartulinas multiproblema: Desarrolladas por Juan García Moreno en la página web
de DIDACTMATIC. Son diferentes cartulinas con datos (8 perros, 7 conejos…) con
los cuáles el alumno elabora el problema y elige la solución que coincida con los
datos escogidos. En algunos casos puede haber varias soluciones posibles.
(http://bit.ly/11siURs)
Asocia: Desarrolladas por Juan García Moreno en la página web de
DIDACTMATIC. Se enuncia un problema y se ofrecen varias preguntas acerca del
problema y varias operaciones matemáticas, cada una correspondiente a una
pregunta. (http://bit.ly/11siY3y)
Razona y asocia: Desarrolladas por Juan García Moreno en la página web de
DIDACTMATIC. Muy similar a la anterior. En vez de ofrecerse preguntas, aquí son
“significados” (Ej: número total de pelotas, diferencia de número de cuadernos y
libros…) (http://bit.ly/11imTMh)
28
4.4 Modelos de resolución de problemas
La propuesta de una metodología basada en la resolución de problemas requiere el
desarrollo de estrategias apropiadas. La riqueza de propuesta mostrada en los apartados
anteriores ha de ser apoyada y soportada por un trabajo bien estructurado. Inspirándome en
Polya (1944), he elaborado y analizado los cinco pasos necesarios para la correcta
resolución de un problema. Polya sólo planteaba cuatro: comprensión, planificación,
resolución y comprobación. Personalmente, me ha parecido oportuno intercalar la
estimación y las preguntas.
La estimación es una habilidad que muy raramente se tiende a trabajar en las clases. Sin
embargo, juega un papel muy importante en nuestra vida y echamos mano de ella en
multitud de ocasiones y contextos.
Por otro lado, las preguntas están orientadas a crear un proceso de reflexión en el alumno
que le permita, casi sin darse cuenta, comprender mejor el enunciado y facilitarle la labor.
29
4.4.1 Comprensión
Para poder resolver correctamente un problema, es preciso comprenderlo tras haberlo leído
tantas veces como sea necesario. Esta afirmación aparentemente obvia e innecesaria, es, sin
embargo, pertinente, puesto que es frecuente que los alumnos, sin haber superado esta fase,
pasen directamente a la de resolución, combinando los datos numéricos del enunciado en
una operación matemática.
Hemos de cerciorarnos de que el alumno lee y comprende el problema. Para ello, debe ser
capaz de repetir el enunciado con sus propias palabras (aunque no recuerde los datos
numéricos) y podrá responder a preguntas relativas al enunciado que le formulemos sobre
el mismo. Es decir, debe ser capaz de hacer un resumen de la situación del problema.
4.4.2 Estimación / anticipación / preguntas
Tras lograr la comprensión el alumno puede realizar una estimación del resultado final que
resulte coherente. Se trata de anticiparse e imaginar el problema ya resuelto, lo que le
facilitará la correcta realización de la fase siguiente (planificación) y servirá para valorar la
coherencia del resultado en la fase de comprobación. Aun así, aunque la estimación nos
coincida con el resultado, en ningún momento se deberá obviar el paso de la comprobación.
La formulación de algunas preguntas puede servir de ayuda en esta fase y en la siguiente.
Puede ser el profesor quien plantee preguntas que orienten al alumno.
En esta fase, la ayuda que preste el profesor debe tender a facilitar el acceso a la resolución
del problema por parte del alumno cuando se encuentre con alguna dificultad insalvable
pero sin privarle de realizar un esfuerzo y una contribución.
Este es el momento, también, de plantearse la consistencia del problema, de ver si
necesitamos más datos para alcanzar la solución o si ,por el contrario, hay datos irrelevantes
que no será preciso tener en cuenta.
4.4.3 Planificación
En esta fase, el alumno establecerá las estrategias que va a utilizar para resolver el
problema. Es el momento crucial en que demuestra su comprensión del problema que tiene
planteado y define los pasos que le llevarán a su resolución.
Esta fase será totalmente obligatoria y previa a la realización de cálculos matemáticos. Es
decir, antes de comenzar a realizar los cálculos, el alumno debe explicar qué proceso
30
seguirá para resolver el problema. Se admitirán diferentes tipos de esquemas que ilustren el
proceso de resolución del problema.
Una vez entendido el modo de planificación del problema, hay que escribirlo rigurosamente
con signos adecuados y en orden.
4.4.4 Resolución
Basándonos en la fase anterior, traduciremos el planteamiento al lenguaje puramente
matemático, obteniendo una o varias expresiones.
En los problemas en los que nos centramos aparecerán frecuentemente expresiones con
operaciones combinadas. Siguiendo los planteamientos propuestos, cobra sentido la
jerarquía de las operaciones y el uso de los paréntesis. A continuación proponemos algunos
modelos de planificación y resolución:
Problema 1: Para realizar una visita al museo de arte moderno han llegado 4
autobuses con 60 personas en cada uno y 23 coches, cada uno con 5 ocupantes.
¿Cuántas personas han llegado más en autobuses que en coches?
El esquema de resolución que propongo a continuación es similar a los que plantea Juan
García Moreno (2012).
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Problema 2: Mi padre salió de casa con mi hermana y conmigo. Llevaba 50 €. Compró
un libro que le costó 18 € y pagó las tres entradas del cine, que le costaron 8 € cada
una. ¿Cuánto dinero le sobró?
El esquema de resolución que propongo a continuación está inspirado en los que plantean
Luis Puig y Fernando Cerdán (1990).
Juan García Moreno (2012) presenta el siguiente problema:
Problema 3: El cine Pinocho tiene 25 filas con 22 asientos en cada fila. A la primera
sesión acudieron 384 espectadores. ¿Cuántos asientos quedaron vacíos?
Para este problema, el razonamiento enfocado directamente a la resolución del problema
sería: x=25*22-384.
Sin embargo, el razonamiento de un experto sería:
Nº asientos vacíos = Nº asientos totales - Nº asientos ocupados.
Asientos vacíos, asientos totales y asientos ocupados son magnitudes primarias. Las
secundarias serían las filas y los asientos/fila que nos permiten calcular una magnitud
32
primaria. Asientos ocupados es magnitud explícita porque aparece como dato en el
problema. Asientos totales es implícita porque no aparece dada y habría que calcularla.
Esto es lo más difícil del problema: abordar estrategias de análisis y síntesis de la
información contenida en el enunciado, así como de estrategias de representación y
expresión. El alumno debe pensar, reflexionar sobre el problema y buscar conexiones
lógicas entre la información para acabar hallando la idea esencial, lo cual es más difícil
cuantas menos habilidades lingüísticas se posean.
Lo que se propone es escribir una expresión prealgebraica sin números pero con signos que
represente el fondo del problema, lo que se quiere calcular, a dónde se quiere llegar y sin
importar si las magnitudes son explícitas o implícitas.
Algunos problemas, como el caso del siguiente, presentan un mayor grado de dificultad y
precisan de la elaboración de esquemas imaginativos. Podemos presentarles alguno como
muestra y alentar en los alumnos la búsqueda de soluciones originales.
Problema 4: Reparte 50 € entre dos hermanos de modo que Elisa reciba 8 € más que
Antonio.
33
4.4.5 Comprobación
Una vez obtenida la solución, la comparamos con nuestras estimaciones y volvemos al
enunciado para comprobar su coherencia y exactitud. Nos permitirá detectar errores que
hayan podido producirse.
4.5 Desarrollo metodológico y su integración en la programación de aula
Toda la metodología expuesta anteriormente necesita ser introducida de algún modo dentro
de la programación de aula. Vamos a proponer un esquema general de ejecución a través de
un problema que consta de tres pasos: planteamiento del problema, introducción del
algoritmo y práctica de problemas con el algoritmo.
Planteamiento del problema. Enunciaremos un problema nuevo para toda la clase
y, de forma grupal, los alumnos tratarán de resolverlo aportando sus ideas. Puede
suceder que no lo sepan resolver o que encuentren algún camino alternativo más
costoso para salir del paso. En cualquier caso, les diremos que hay una forma más
rápida de resolverlo. A veces, ellos se darán cuenta de que desconocen la
herramienta necesaria.
Introducción del algoritmo. Llega el momento de dar entrada al nuevo algoritmo
que van a aprender. Es importante que lo introduzcamos relacionándolo con el
problema propuesto y mostrando claramente la utilidad que tiene, tanto en
situaciones matemáticas en clase como en la vida real. El fin no debe ser
únicamente manejar bien el algoritmo sino saber utilizarlo en los momentos
apropiados.
Práctica de problemas con el algoritmo. Por último, debemos dar uso a este
algoritmo a través de diferentes problemas y situaciones. Se pueden hacer unos
pocos ejercicios de práctica exclusiva del algoritmo (sin resolución de problemas),
pero no debemos abusar de ellos para que el alumno mantenga la visión global de la
utilidad de los mismos. Los problemas que planteemos deben ser variados
utilizando la amplia gama de ejercicios presentada anteriormente. Hay que evitar
que se acostumbren a resolverlos todos de la misma manera y se convierta en un
proceso mecánico sin razonamiento previo que no favorezca el enriquecimiento de
su competencia matemática.
34
Por ejemplo, para introducir la división, primero plantearíamos un problema de reparto.
Este proceso se enseña justo después de la multiplicación y, por tanto, se supone que los
alumnos ya dominan las tablas. Podríamos preguntarles cómo repartirían 96 caramelos
entre 8 niños (de modo que todos tengan el mismo número). El único método que se les
ocurriría es el de ir repartiendo de uno en uno. Para que vean lo engorroso del asunto, sería
buena idea darles 96 bolas de papel y que lo lleven a cabo. Esto nos llevaría a la conclusión
de que tiene que haber algún sistema más cómodo para realizar este proceso, y es cuando
les enseñamos a dividir y el algoritmo empleado. Es importante explicar que se trata del
proceso inverso a la multiplicación. Una forma de que lo vieran claramente sería
enunciando el problema anterior a la inversa, es decir: “Si hay 8 niños y a cada uno le
damos 12 caramelos, ¿cuántos caramelos hemos repartido en total?”. Finalmente, para
reforzar este aprendizaje habría que seguir practicando con diversos ejercicios y problemas
de este tipo. También podría resultar interesante mostrarles la otra cara del problema
anterior: repartir 96 caramelos entre un número de niños de modo que a cada uno le toquen
16. Ellos tendrían que calcular el número de niños.
35
5. EVALUACIÓN Para una correcta evaluación de la competencia matemática, es necesario elegir las
actividades adecuadas que pongan en juego las habilidades y competencias específicas
citadas anteriormente. Es imprescindible que no sean actividades iguales a las realizadas en
el aula. Con esto, sólo conseguiríamos que traten de recordar el proceso que se había
seguido para resolverlas; con lo cual, únicamente estaríamos poniendo a prueba su memoria
y no su capacidad para enfrentarse a los problemas. No debemos olvidar que uno de los
objetivos de la competencia matemática es adquirir la capacidad de extrapolar los
conocimientos a diferentes situaciones y saber aplicarlos en el momento adecuado. Un
alumno que sea capaz de resolver un ejercicio no realizado anteriormente poniendo en
práctica lo aprendido en clase, nos estará demostrando una competencia matemática más
que aceptable.
Vamos a poner a continuación una serie de ejercicios típicos que todos nosotros hemos
tenido que hacer en un examen de matemáticas (nos centraremos en 5º de E.P.). Ninguno
de ellos es rico desde el punto de vista competencial, es decir, no buscan el desarrollo de
la competencia matemática sino la práctica de un algoritmo o la repetición de un
mecanismo/proceso aprendido en clase que sólo es útil para salir del paso ante estos
ejercicios.
Ejemplo 1:
Resuelve las siguientes multiplicaciones con decimales.
Ejemplo 2:
Calcula la mediatriz del segmento A y la bisectriz del ángulo B.
Ejemplo 3:
Calcula los porcentajes siguientes.
a b
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Por tanto, para evaluar la competencia matemática deberemos elegir actividades que
cumplan algunos de los siguientes requisitos:
Situaciones abiertas.
Actividades que no estén basadas en la memorización.
Gran variedad de recursos.
El alumno tiene que investigar y trabajar por su cuenta.
Necesidad de interactuar con otras personas.
De este modo, una propuesta de ejercicios de evaluación, en contraposición a los anteriores,
sería la siguiente:
Ejemplo 1: Si decidiera comprar 23,56 Kg de anchoas a 30,01 €/Kg. ¿Cuánto tendría que
pagar? (Haz las operaciones a mano y comprueba usando la calculadora).
En este caso resolverán un problema real relacionado con la compra, manejarán números
decimales, unidades de peso y dinero, usarán algoritmos a mano y emplearán la
calculadora.
Ejemplo 2: Queremos diseñar un tejado con forma de triángulo isósceles cuyos ángulos
iguales miden 50º. Queremos colocar un rosetón allá donde se corta la mediatriz de la base
(lado desigual) con la bisectriz de uno de los ángulos de 50º. Haz el dibujo y calcula el
punto donde colocar el rosetón.
Con este problema, les hacemos trabajar con ángulos, tener en cuenta los grados que tiene
un triángulo, manejar el transportador y el compás, conocer conceptos de dibujo como la
mediatriz y la bisectriz y aprender nuevas palabras (rosetón).
Ejemplo 3: Llego a una tienda y me fijo en un abrigo que vale 115€. Al probármelo, me
doy cuenta de que tiene un defecto en la cremallera y me lo venden por 98 €. Cuando llego
a casa, observo que uno de los bolsillos tiene un agujero en su interior y vuelvo a la tienda.
Avergonzados, deciden hacerme un descuento del 34% del precio que yo había pagado.
¿Cuánto me cuesta finalmente el abrigo?
La resolución de esta actividad contribuye a que trabajen una situación de la vida cotidiana,
manejen dinero, porcentajes y les obliga a fijarse en que uno de los datos del problema no
es necesario para llegar a la solución.
37
Gran parte de la evaluación de los alumnos que aprenden con esta metodología pasa por la
observación del profesor. La implicación que muestren, la participación en clase y el
trabajo diario en sus casas son la base del aprendizaje. Hay que mandar la tarea necesaria
pero sin sobre cargar al alumno. Es preferible que hagan eficazmente unos pocos ejercicios
a que se tengan que enfrentar con desgana a una gran cantidad de actividades que acabará
haciendo mal para quitarse de en medio ese obstáculo. Obviamente, también hay que llevar
a cabo un examen que puede combinar ejercicios de todo tipo, pero evitando que el núcleo
del mismo sean actividades de trabajo de algoritmos y mecanización, sino otros más ricos
competencialmente como los que se han mostrado en apartados anteriores. Propondría
algún ejercicio (no todos) de razonamiento similar a los que suelen aparecer en los libros y
muchas veces son obviados. Me refiero a aquellos que te hacen reflexionar sobre el propio
algoritmo.
Un ejemplo sencillo sería: “¿Qué significa hacer el mínimo común múltiplo? ¿Y el máximo
común divisor?
Como un ejemplo de ejercicio para trabajar y evaluar la competencia matemática de
nuestros alumnos, es interesante el que propone Sergio Pich en su artículo publicado en
2012. Muestra una curiosa forma de trabajar las matemáticas de un modo bastante divertido
y con el objetivo final de hacer pizza. Insiste en la importancia del proceso por encima del
resultado final, que muchas veces consideramos primordial. Lo lleva a cabo con diversos
grupos de alumnos de Primaria. Los resultados, según cuenta, fueron fabulosos.
La idea surgió de un niño que, a raíz de llevar un tiempo trabajando con fracciones y
problemas relacionados con ellas, se le ocurrió preguntar cuándo harían una pizza. A partir
de ahí, y creyendo conveniente poner la idea en práctica, todos se pusieron manos a la obra
siendo dirigidos por el profesor. Para empezar, llevaron varias recetas de pizzas y eligieron
la que más les gustaba. Una vez escogida, calcularon los ingredientes que necesitaría cada
grupo, teniendo en cuenta el número de integrantes del grupo y que la pizza era para cuatro
personas. Después, hallaron el precio de los ingredientes y se repartieron la compra
asegurándose de que todos pagaran lo mismo. Cada grupo hizo este reparto usando su
propio método, ya que todos no sabían dividir. Cuando todo estaba comprado, pasaron a la
fase de elaboración de la pizza para acabar horneándola en la panadería del pueblo.
38
Independientemente del resultado final, todos habían trabajado durante este proceso
operaciones matemáticas, resolución de problemas de la vida cotidiana, habían usado
fracciones y diferentes unidades de medida y habían adquirido una conciencia de grupo
viendo la importancia de que todos aporten lo que se les demanda.
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6. APLICACIÓN Con idea de poner en práctica la eficacia de la metodología de este trabajo, decidí ir al
C.E.I.P. Nuestra Señora de la Vega (Haro), colegio donde estuve durante mi periodo de
prácticas y en el que conocía tanto al profesorado como al alumnado. Allí, planteé una
experiencia para reforzar mi propuesta. Elegí la clase de 5ºC, un grupo con el que estoy
bastante familiarizado y donde la edad de los alumnos es adecuada para experimentar. Es
una clase de 21 alumnos, dos de ellos hiperactivos, dos con necesidades educativas
especiales y tres de etnia gitana, uno de los cuales presenta cierto grado de absentismo. En
el momento de mi visita, estaban dando conceptos básicos de geometría como son el
perímetro y el área de las figuras.
Aproveché esta actividad para plantear un ejercicio contextualizado de la vida real donde es
necesario resolver problemas de diversa índole matemática, que requieren la utilización de
distintos conceptos del currículum. Los objetivos matemáticos fueron los siguientes:
Resolver problemas de la vida cotidiana.
Calcular el número de grapas utilizando la multiplicación.
Calcular los metros de celo hallando previamente el perímetro de la base de la cesta.
Calcular los metros de cordón total usando suma y multiplicación.
Calcular el número total de cartulinas utilizando la división.
Operar con números decimales.
Trabajar el sistema métrico decimal pasando de unas unidades a otras.
Utilizar la regla como elemento de medida y de dibujo lineal.
La experiencia se desarrolló durante dos sesiones. El objetivo final era el de construir una
pequeña cesta de cartulina. El Club de Aerostación de Haro, colaborando con La Rioja
Tierra Abierta (que este año se celebra en esta localidad), organiza para el día 15 de junio
de 2013 un evento en el que se ha invitado a todos los alumnos de 4º y 5º de Primaria de la
ciudad a participar. Su misión es la de llevar una pequeña cesta elaborada por ellos y con un
mensaje dentro. La cesta deberá tener unas cuerdas que le permitan ser atada a un globo de
helio, de modo que salga volando hacia otro lugar. La idea es que el mensaje le llegue a
otra persona. En él, se podrá escribir un deseo, una petición o incluso los datos del autor del
mensaje para que quien lo encuentre pueda ponerse en contacto con él.
40
Los materiales para elaborar la cesta los compramos entre todos. Por eso, la primera sesión
la dedicamos a los cálculos matemáticos más teóricos y la segunda a las manualidades,
donde también intervenían las matemáticas con el uso de reglas de medición.
Usamos grapas, celo, cordón y cartulina. Afortunadamente, la clase contaba con varias
reglas grandes para distribuir entre los grupos.
Lo primero de todo, fue preguntar a los alumnos cómo lo harían ellos. Pronto dieron con la
idea de hacer una cesta de cartulina. A continuación, pasé a explicar el proceso a seguir
para crear la cesta del globo mediante la proyección de la siguiente presentación de
Powerpoint (http://bit.ly/13fZJKC) (Este enlace lleva a Dropbox). Como la presentación
contiene animaciones, se recomienda descargarla para poderla ver en su totalidad) y
mostrando una cesta modelo ya hecha.
Después, mediante la realización de una hoja de problemas (http://bit.ly/11buX0V o ver
Anexos), calculamos el precio del material para poner entre todos dinero para comprarlo.
Primero, tratamos de hacer una estimación del precio final para la elaboración de la cesta
usando cálculo mental. Ninguno fue capaz de estimar correctamente el precio final de una
cesta antes de decirles el precio de los materiales. La mayoría pensaban que sería de unos
2€.
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Durante la explicación en el Powerpoint, se muestra el número de grapas por cesta, por lo
que resulta sencilla la resolución del primer problema. Aparecen también conceptos
geométricos: hay datos sobre el perímetro de la cesta y, además, en el modelo que se les
enseña se ve claramente y se insiste en que el celo dará dos vueltas al perímetro de la cesta,
dejando claro cómo realizar el segundo apartado.
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Al llegar a la pregunta del cordón, les surgió la duda de cuánto cordón era necesario para
una cesta (claro ejemplo de un problema al que le faltan datos). Medimos los cordones del
modelo con una regla y nos salieron 102 cm. Con ese dato ya fueron capaces de resolver el
problema.
A continuación, la pregunta de la cartulina les generaba dudas, puesto que no era exacto el
resultado. Cuando me decían que el resultado era 5 cartulinas, la pregunta que les
formulaba era la siguiente: “Si hemos dicho que vamos a poner cuatro cestas en cada
cartulina, con cinco cartulinas, ¿para cuántas cestas nos llega?”. Rápidamente se daban
cuenta de que era necesaria una cartulina más para poder meter las 21 cestas.
Al no saber hacer divisiones con decimales, para realizar el último ejercicio les sugerí el
truco de pasar de euros a céntimos, y después hacer la división. Tampoco salía exacta y, de
forma análoga al ejercicio de la cartulina, se dieron cuenta de que sería necesario poner 27
céntimos cada uno para comprar el material, aunque luego sobrara un poco de dinero.
Además, esto puede dar pie a decirles que se pueden hacer divisiones con números
decimales para explicárselas en sesiones posteriores.
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Para aquellos que acabaron antes de lo previsto, preparé una ficha con ejercicios de
ampliación (http://bit.ly/14yPtxs o ver Anexos) sobre el cálculo del área y el perímetro de
la cesta, que es el contenido que estaban estudiando en ese momento.
Los problemas los tenían que plantear usando el método basado en Juan García Moreno (ya
explicado anteriormente). Yo sabía de antemano que estos alumnos planteaban los
problemas con un sistema similar y esto me evitó emplear una sesión en enseñarles la
metodología que yo propongo en el trabajo.
En los ejercicios de ampliación, para el cálculo del perímetro, les propuse un sistema para
hacerlo más rápida y eficazmente. Consistía en calcular el perímetro encerrado dentro de un
“pétalo” y multiplicar por 4.
44
Los resultados fueron bastante satisfactorios, como se puede ver en las siguientes
fotografías sobre las fichas de los alumnos.
45
46
La segunda sesión, la cual llevé a cabo después de haber comprado los materiales, tuvo
lugar un día en la última hora de clase. Es el momento en que más cansados están
mentalmente y cuando más agradecen el hacer trabajos manuales. Aun así, esto no evitó
que se implicaran al máximo en la tarea. Coloqué la clase por grupos para que se pudieran
ayudar entre ellos. En cada grupo, intenté que hubiera uno o dos alumnos con buenas
habilidades plásticas para que el trabajo común avanzara más rápido.
Como se ha visto, en la clase anterior ya les había explicado el procedimiento para construir
la cesta. Sólo faltaba enseñarles cómo dibujar las cuatro cestas en cada cartulina con el uso
de reglas. Les costó muy poco entender la explicación. Como no había suficientes
escuadras y cartabones, para hacer los dibujos sólo con reglas, tomábamos las medidas en
los dos extremos de la cartulina e íbamos uniendo, como se muestra en la fotografía
inferior.
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Una vez que cada uno tenía su plantilla, ya podían trabajar individualmente.
Para facilitar la medición del cordón, coloqué dos chinchetas en el corcho separadas 102
cm, de modo que lo usaban como referencia para cortar la medida exacta.
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El resto de las tareas las hicieron ellos solos con bastante facilidad hasta lograr fabricar la
cesta.
No dio tiempo a que cada uno escribiera el mensaje que iría en el interior de la cesta. Por
tanto, les dije que lo hicieran en casa con la ayuda de sus padres.
En resumen, a través de estas dos sesiones hemos trabajado multitud de competencias
generales y específicas. Se ha tocado casi la totalidad de las competencias matemáticas
49
específicas como pensar matemáticamente, analizar un modelo para después imitarlo,
resolver problemas, razonar y entender explicaciones matemáticas, comunicar aspectos
matemáticos a otros compañeros en el trabajo en grupo, representar objetos, utilizar
símbolos matemáticos y hacer uso de herramientas de ayuda diseñadas para este campo.
Además de esto, la comunicación y cooperación del trabajo en grupo desarrolla la
competencia en comunicación lingüística y la social y ciudadana. Por supuesto, la
competencia cultural y artística en la elaboración de la cesta, junto con la competencia para
aprender a aprender y la autonomía e iniciativa personal. También entra mucho en juego el
tratamiento de la información y la competencia digital al manejar datos. Y, por último, la
interacción con el mundo físico que se verá muy reforzada en el momento que vayan a
recoger su globo de helio.
Como otra posible forma de aplicar lo mostrado en este trabajo, también había pensado
organizar una merienda de fin de curso en el paraje de “Fuente del Moro”. La idea es
pensar entre toda la clase los alimentos que se van a comprar y, a través de la resolución de
problemas, ir calculando el precio total para luego saber cuánto dinero tiene que poner cada
alumno y la cantidad estimada de alimentos para todos. Nuevamente, esto les mostraría la
verdadera utilidad de las matemáticas en la vida real, que además iría acompañado de una
buena tarde todos juntos.
6.1 Conclusiones de la experiencia
La experiencia fue muy satisfactoria. Vi a los alumnos muy motivados y una de las razones
era el hecho de estar haciendo algo diferente de lo habitual y que iba a tener su utilidad
fuera del colegio. La explicación, usando la presentación de Powepoint, fue bastante
relevante a la hora de que ellos comprendieran la idea general de la cesta.
En el trabajo individual, hubo algunos que acabaron bastante antes que otros, algo
inevitable en la docencia, y para ello había preparado la ficha de refuerzo. Sin embargo,
también observé esta diferencia de tiempo en el trabajo grupal. Aunque había intentado
hacer grupos compensados, quizá debí tener más cuidado en la elección de los alumnos
para que el progreso del trabajo fuera más parecido entre los diversos grupos.
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La temporalización creo que fue correcta. Hay que decir que no todos tuvieron tiempo de
acabar pero fue debido a que perdimos unos minutos al principio de la clase para solucionar
un conflicto que había sucedido en el recreo, algo totalmente externo a mí.
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7. CONCLUSIONES GENERALES La elaboración de este proyecto me ha resultado inmensamente útil para progresar en el
conocimiento de los numerosos aspectos que abarcan las matemáticas y su didáctica,
especialmente en todos aquellos relacionados con la resolución de problemas. Recuerdo
que de pequeño, los problemas me parecían lo más complicado de las matemáticas pero, a
su vez, lo más divertido a la hora de enfrentarme a ellos. Mientras que el cálculo
matemático y la mera realización de cuentas para practicar algoritmos me resultaban
bastante tediosos, enfrentarme a un problema lo veía como un juego. Me recordaban
bastante a los pasatiempos que todos hacemos de vez en cuando o incluso a aquellas
adivinanzas que te propone alguien esperando que no encuentres la respuesta. Obviamente,
los problemas que aparecían en clase eran fáciles de resolver habitualmente, sobre todo por
la similitud que tenían unos con otros. Todos sabíamos que, usando todos los datos y
haciendo las operaciones que estábamos aprendiendo en esa lección, resolveríamos el
problema. Por eso, con el paso del tiempo perdí el interés hacia ellos. Era emocionante
cuando un profesor proponía un problema que requería un razonamiento más profundo y
nos animaba a ver quién era el primero en dar con la solución, pero esto era algo que
sucedía con muy poca frecuencia.
Por todo esto, creo que es importante mantener en los alumnos una inquietud hacia los
problemas, procurando no desmotivarlos con problemas imposibles pero tampoco siendo
excesivamente previsibles a la hora de plantearlos. Además, si somos capaces de detectar
las aficiones y gustos de nuestro alumnado, podremos crear problemas teniendo esto en
cuenta, y que incrementen su motivación aún más.
Uno de los inconvenientes con los que podemos toparnos a la hora de aplicar esta
metodología es el tiempo. La resolución de problemas, aunque es más completa
competencialmente, también es más compleja a la hora de entenderla, y precisará de un
mayor número de explicaciones por parte del profesor, especialmente durante las primeras
semanas en las que los alumnos estén todavía acostumbrándose a ella. Por lo tanto, una
buena temporalización y una mejor organización de las clases resultarán fundamentales si
queremos poner en práctica todas estas ideas.
Por lo demás, pienso que la resolución de problemas, usada correctamente, es la
herramienta que más puede contribuir al desarrollo pleno de las competencias de nuestro
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alumnado en el ámbito de las matemáticas y que mejores resultados puede ofrecernos de
cara al futuro.
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8. BIBLIOGRAFÍA EOEP de Ponferrada. Resolución de problemas aritméticos en Educación Primaria.
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mínimas de la Educación primaria (BOE núm. 293, de 8 de diciembre de 2006).