CCETF/FDepartamentoFdeFMatemáticaProf.FHumbertoFHenriqueFFF/FDisciplina:FCálculo IV

Terceira Unidade - Lista 7 - Séries e Transformadas de Fourier

FFUniversidadeFFederalFdeFSergipe

1. Veri�que que as funções f1(x) = ex e f2(x) = sin x são ortogonais no intervalo[π/4, 5π/4].

2. Mostre que o conjunto de funções{1, cos

(nπpx), sin

(mπpx)}

, onde n,m ∈ {1, 2, 3, 4, · · · },é ortogonal no intervalo [−p, p] e determine a norma de cada elemento do conjunto.

3. Veri�que que as funções H0(x) = 1, H1(x) = 2x e H2(x) = 4x2− 2 são ortogonais comrespeito à função peso w(x) = e−x

2no intervalo (−∞,∞).

4. Determine o período fundamental da função f(x) = sin 3x+ cos 2x

5. Determine a série de Fourier das funções dadas e encontre o valor para o qual a sérieconverge nos pontos de descontinuidades:

a) f(x) =

{0, −π < x < 01, 0 ≤ x < π

b) f(x) =

{π2, −π < x < 0

π2 − x2, 0 ≤ x < π

c) f(x) =

{1, −1 < x < 0x, 0 ≤ x < 1

6. (Série de Fourier de Senos e Cossenos) Dizemos que uma função f(x) é par sef(−x) = f(x) e é impar se f(−x) = −f(x) para todo x no intervalo de de�nição dafunção. Mostre que:

i) Se f(x) é uma função par de�nida no intervalo (−p, p) então sua série de Fourier

é uma série de cossenos: f(x) = a02+∑∞

n=1 an cos(nπpx).

ii) Se f(x) é uma função impar de�nida no intervalo (−p, p) então sua série de Fourier

é uma série de senos: f(x) =∑∞

n=1 bn sin(nπpx).

7. Expanda a função f(x) = x, −2 < x < 2 em série de Fourier.

8. (Integral de Fourier de Senos e Cossenos) Mostre que:

i) A integral de Fourier de uma função par f(x) de�nida no intervalo (−∞,∞) é umaintegral de senos: f(x) = 2

π

∫∞0B(α) sin(αx)dα.

ii) A integral de Fourier de uma função ímpar f(x) de�nida no intervalo (−∞,∞) éuma integral de cossenos: f(x) = 2

π

∫∞0A(α) cos(αx)dα.

9. Determine a representação em integral de Fourier da função

f(x) =

{1, |x| < a0, |x| > a.

10. Resolva a equação do calor k ∂2u∂x2

= ∂u∂t, −∞ < x < ∞, t > 0, sujeita à seguinte

condição: u(x, 0) = f(x), onde

f(x) =

{u0, |x| < 10, |x| > 1.

ii