CHAPTER 11Design of Beam and Shaftพนฐานของการออกแบบคาน

• Design a beam to resist both bending and shear load• Develop methods used for designing prismatic beams• Determine shape of fully stressed beams• Design of shafts

พนฐานของการออกแบบคานBasis for Beam Design

คานเปนชนสวนของโครงสรางทออกแบบเพอรองรบแรงกระทา ทตงฉากกบแกนตามแนวยาวเนองจากแรงกระทาน คานจะเกดแรงเฉอนและโมเมนดดภายใน โดยทวไปจะมการแปรคาจากจดหนง ไปยงอกจดหนง ตามแนวแกนของคาน อยางไรกตามผลของแรงน ผลของแรงนจะไมถกนามาคดในการออกแบบเนองจากหนวยแรงตามแนวแกนทวไปจะนอยกวาแรง ทเกดโดยการเฉอนและโมเมนตดด

พนฐานของการออกแบบคาน Basis for Beam Design

• BM ออกแบบใหตาน shear and bending ตามความแขงแรง• เราสามารถใชสตรทเรยนมาได ถา BM เปน homogeneous and linear

elastic

• หลงจากเลอก BM แลว เราตอง check วา allowable shear stress มคามากวา

การออกแบบคานหนาตดคงท Prismatic Beam Design

maxmax

maxmax

. .

. .

failureallow

failureallow

M CF S I

V QF S It

Bending and shear stresses ตองมคาไมเกน allowable stresses ทกาหนดในโครงสราง และ คมอการออกแบบ

สาหรบ bending จะมเทอม section modulus, S = I/c

โดยทวไปเราจะตองเลอก standard shape จาก handbook ท

max'req d

allow

MS

'req dS S

Prismatic Beam Designทาไมตองใช factor of safety ในการออกแบบโครงสราง?1. เพอปองกนอบตเหตททาใหโครงสรางเกดการการวบต เชน แรงทเกดจากแผนดนไหว เปนตน2. เพอชดเชยความผดพลาดทอาจจะเกดขนไดในการกอสราง3. เพอชดเชยการเสอมสภาพของชนสวนของโครงสรางทอาจจะเกดขน4. เพอชดเชยความแปรผนของคณสมบตทางกล (mechanical properties) ของวสดทใชทาโครงสราง

F.S. = 2.0 ในการออกแบบอาคารทพกอาศยF.S. = 1.1 ถง 1.3 ในการออกแบบเครองบนF.S. = 3.0 ในการออกแบบโรงงานทใชพลงงานนวเคลยร

Prismatic Beam Design (Fabricated Beams)Steel sections

• สวนมากคานเหลก จะถกผลตจาก เหลกรดรอนจนไดรป• สามารถหาด properties ไดจาก AISC appendix B

• Wide flange ถกกาหนดจาก depth and weight• Depth 460 mm• Weight 0.68 kN/m

• Properties อยางอน• Cross-section area, moment of inertia, section MOD,

radius of gyration

Prismatic Beam DesignWood section

• สวนมากเปนหนาตด สเหลยม

• หนาตดทแทจรง ใชในการคาณวนคา stresses

Built-up section

• เปนหนาตดคานทสรางขนมาจากการประกอบเชอมตอใหเปนหนาตดเดยวกน สาหรบนาหนก load มาก

Procedure for Analysis1. ในการออกแบบคานเหลกจาก Mmax เราจะตองหาคา section modulus

ของหนาตดคาน (Sreq’d) แลวไปนาเลอกหนาตดคานจากตารางเหลก

2. ทาการตรวจสอบหนวยแรงเฉอนทเกดขนบนหนาตดทไดจากขอ 1 โดยใช shear formula• ถา τmax ≤ τallow แลว หนาตดคานมกาลงตานทานตอแรงเฉอนได• ถาไม ทาการเลอกขนาดหนาตดของคานใหมขนาดใหญขน

3. ตรวจสอบการแอนตวของคาน (deflection) ตามทระบไวในมาตาฐาน

max max'

'

allow req dallow

req d

ISC

M c MSI

S S

ตารางเหลก ตารางเหลก

Example 11.1คานเหลกม σallow = 170 MPa และ τallow = 100 MPa จงออกแบบคานดงกลาวเพอรองรบแรงกระทา

Example 11.2จงออกแบบหาขนาดหนาตดของคานประกอบ เมอ σallow = 9 MPa และτallow = 0.6 MPa

Example 11.3

จงออกแบบหาขนาดหนาตดของคานไมสก (σb)ult 24 MPa, τ ult = 4.8 MPa, F.S. = 2.0

Example 10.4

จงออกแบบหาขนาดหนาตดของคานไม σallow = 12 MPa, τ allow = 0.8 MPa, ถาตองการใหชนสวนสองตดกน ตะปสามารถรบแรงได 1.5 kN

Deflections

Objectives

เพอใหเขาใจและสามารถหาคาการเปลยนตาแหนงทเกดขนบนคาน โครง truss และโครง frame แบบ statically determinate โดยวธการทเหมาะสม

• Double integration • Moment-area• Conjugate-beam

• Virtual work หรอวธ unit load

Deflection- Displacement & Rotation• Deflection เกดมาจาก แรงกระทาภายนอก อณหภม ความผดพลาดการสราง และการทรดตว• Linear elastic behavior: stress-strain relationship และ deflectionมคานอย• สงทตองการ

• Deflection shape กอนและหลง analysis• การคานวณ deflection ทตาแหนงตางๆของโครงสราง

Deflection diagrams/shapes• Deflections: Bending (BM), Axial force (Truss)• Deflection diagram: เปนแผนภาพแสดง elastic curve การโกงตวของจด centroid ของ

หนาตดตามชนสวนโครงสราง• Elastic curve: เปนเสนการโกงตวของชนสวนโครงสราง

Deflection diagrams/shapes• เราสามารถสราง elastic curve ไดงาย จากการเขาใจ moment diagram

Inflection pt: เปนจดท moment เปน 0

EIM curvature

+M-M

Example• วาดภาพของ deflected shape

Inflection pt

เสนตรง เสนตรง

Elastic-Beam Theory• การคานวณคาของ deflections

• Direct integration• Moment-area method• Conjugate-beam method• Energy method

• Assumptions:• หนาตดของคานมความสมมาตร• ความยาวของคานมคามากกวาความลกของคานมาก (กวา 10 เทา)• แรงกระทาอยในระนาบเดยวกนกบระนาบทหนาตดของคานมความสมมาตร และกระทาตงฉากกบ

แนวแกนของคาน• ระนาบของหนาตดของคานทตงฉากกบแนวแกนของคานไมมการเปลยนแปลงรปราง และยงคงตงฉากกบ

แนวแกนของคานเหมอนกอนการเกดการแอนตว• คานทาดวย homogeneous and isotropic material (เชน เหลก) มพฤตกรรมอยในชวง

linear elastic

• Super position สามารถใชได

)x(y

)x(y1

)x(y2

)x(y)x(y 21 =

Elastic-Beam Theory• Bernoulli-Euler beam

Elastic-Beam Theory

+ disp

2

2d y Mdx EI

My dxdxEI

d Mdx EI

M dxEI

• Bernoulli-Euler beam• คานมความยาวมากกวาความลกคานมากๆ deformation ทมากทสดมาจาก bending

• Cross-section ยงคงอยใน plane เดยวกน• กอนเกดการดด

เราจะได

Elastic-Beam Theory

dx ds d

( )ds y d ( )

( ) 1 or

ds dsds

y d dd y

ถาวสดเปน isotropic homogenous material ในชวง linear elastic

Flexural eq.

EI = flexural rigidity มคาเปนบวกเสมอ

Elastic-Beam Theory

1 y Ey

1( )

1

MyEy Ey I

MEI

เราสามารถเขยนใน term ของ x and υ

เราจะได

เปนสมการ nonlinear 2nd diff eqs.สวนมาก elastic curve คอนขางเลกมาก

สมการแสดงใหเหนวา ทกจดบน elastic curve จะมคาโกงในแนวทศทางดงเทากน

Elastic-Beam Theory

2 2

2 3/21 /

[1 ( / ) ]d v dxdv dx

2 2

2 3/2/

[1 ( / ) ]M d v dxEI dv dx

2

2

/ 0dv dxd v Mdx EI

Closed-form solutions

Closed-form solutions Closed-form solutions

Closed-form solutionsCHAPTER 11: Design of Beam and Shaft

Fully Stressed Design

Example 11.4คานเหลกม σallow = 170 MPa และ τallow = 100 MPa จงออกแบบคานดงกลาวเพอรองรบแรงกระทา

Shaft Design

• เพลาสวนมากจะเปนลกษณะวงกลมใชในเครองจกรกล จะตองรบแรง fatigue stress และ combined stresses จาก bending & torsional loads.

Shaft Design

การวเคราะห1. เขยน bending moment diagrams เนองจาก

แรงกระทาทอยในระนาบ yz และระนาบ x-zและเขยน torque diagram

2. หาหนาตดของเพลาทถกกระทาโดย moment ลพธ M และแรงบด T ทมคาสงสด

3. หาคาหนวยแรงสงสดทเกดขนทหนาตด โดยใช flexural formula และ torsion formula โดยไมนาคา transverse shear stress มาพจารณา เนองจากมคานอยมาก

Basis for Beam Design

แตสาหรบเพลาหนาทรงกลม

รศมของเพลา

and Mc TcI J

22

2 2

2

2

allow

Mc TcI J

4 4

and 4 2c cI J

2 23

2allow M T

c

13

2 22allow

c M T

Example 11.5จงหา รศมของเพลาทนอยทสด ถา τallow = 50 MPa

Example 11.5 cont’d

Example 11.6จงหา รศมของเพลาทนอยทสด ถา τallow = 50 MPa

Example 11.6 cont’d

จงหาขนาด W

165allow MPa