l. elcio abdalla aula 5 uinta aula radiação cósmica de fundo, flutuações primordiais e...
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l. Elcio Abdallaaula 5
uinta aula
Radiação cósmica de fundo, flutuações
primordiais e Inflação
• Review: formação de estrutura
• A radiação cósmica de fundo (RCF)
• A RCF e as flutuações primordiais: o espectro das perturbações
• O mecanismo básico de criação de partículas
• Criação de perturbações pela inflação: formalismo genérico
• O espectro de perturbações da inflação power-law
• Fenomenologia dos modelos inflacionários
l. Elcio Abdallaaula 5 5.1 formação de estruturas: review
5.1 História da formação de estruturas
Na quarta aula, aprendemos que:
As perturbações de escala maior que o horizonte (H-1) permanecem sempre constantes: é só quando elas “entram no horizonte” que podem (ou não) começar a crescer e formar estruturas.
Na era da radiação não há formação de estruturas, ou seja, o contraste de densidade permanece constante em todas as escalas.
Na era da matéria as perturbações de escalas sub-horizonte começam a crescer: o contraste de densidade cresce proporcionalmente ao fator de escala.
Uma das principais consequências disso é que as perturbações em escalas muito grandes têm a mesma amplitude que tinham nos primórdios do universo.
Se observarmos perturbações em larguíssimas escalas, estaremos observando uma inomogeneidade que ficou congelada desde o instante em que foi criada.
l. Elcio Abdallaaula 5 5.2 a radiação cósmica de fundo
5.2 A radiação cósmica de fundo
No instante do desacoplamento, as perturbações nos fluidos de radiação e de matéria fria têm a mesma amplitude (seus contrastes de densidade são praticamente iguais).
As perturbações em escalas grandes são aproximadamente constantes.
Fim da era da radiação
Mas, como o desacoplamento ocorre um pouco depois do fim da era da radiação, na era da poeira....as escalas pequenas já haviam começado a crescer.
Então esperamos que as escalas maiores tenham permanecido constantes, enquanto as escalas menores apresentem algumas oscilações, correspondendo ao colapso gravitacional das primeiras estruturas e sua interação com a radiação (que ainda estava bastante presente).................
l. Elcio Abdallaaula 5
De fato:
5.2 a radiação cósmica de fundo
Escalas pequenas:oscilações
Escalas grandes:constante
Características das flutuações de temperatura (largas escalas):
01
)1( 3
V T
Txd
VT
T
10
23
2
10
)(1)2(
V T
xTxd
VT
T
Mas o que isso realmente nos diz a respeito das flutuações de densidade? Como podemos usar a informação contida na RCF para determinar o espectro primordial das flutuações?
l. Elcio Abdallaaula 5 5.3 rcf e espectro de perturbações
A amplitude das flutuações de temperatura em largas escalas dependem de dois fatores:
1) flutuações intrínsecas de densidade (regiões mais densas são regiões mais quentes)
2) os potenciais gravitacionais causados por essas flutuações de densidade (fótons vindo de uma região mais densa têm que emergir de um poço de potencial mais profundo, portanto sofrem maior redshift).
A superposição desses dois efeitos dá o efeito Sachs-Wolfe:
31
T
T
As observações da RCF indicam que T/T e têm um espectro invariante de escala (também conhecido como espectro de Harrison-Zeldovich).
O que isso quer dizer é que a média espacial dos quadrados dessas quantidade é aproximadamente independente do tamanho do volume V:
102
32
3 103
11
VV
xdVT
Txd
V
5.3 A RCF e o espectro de perturbações
l. Elcio Abdallaaula 5 5.3 rcf e o espectro de perturbações
O que isso significa, em termos dos modos de Fourier desses campos é:
V
kxkie
kdx
3
3
)2()(
223
3210 |)(|||
)2()(109
11
kk
dkkdx
L
k
V
Para que essa média (ou valor esperado) seja independente da escala V~L3, é necessário que o espectro (k) seja uma função que dependa fracamente de k:
1,)(|)(|2
|),(| 122
32
sn
k nkCk
k s
É fácil ver que se ns<1, a integral é dominada pelo IR; dizemos nesse caso que o espectro é “vermelho”. Por outro lado, se ns >1 a integral tem uma contribuição maior no UV; nesse caso o espectro é “azul”. As últimas observações indicam que:
Em suma, as observações da RCF indicam que o espectro das perturbações é aproximadamente invariante de escala, com amplitude da ordem de 10-10.
Além disso, como sabemos que em largas escalas as flutuações são constantes, esse espectro é o espectro primordial. Vamos reproduzi-lo a seguir.
05.096.0 snMelchiorri, Bode, Bahcall and Silk, astro-ph/0212276 (12/12/2002).
l. Elcio Abdallaaula 5 5.4 a física da criação de partículas
5.4 A física do mecanismo de criação de partículas
Horizonte H-1
A inflação (aceleração) converte pares virtuais em
pares reais
expansão acelerada separa os pares
Parker ‘68-’69,
Birrel &
Davies ‘82,
Mukhanov &
Chibisov ‘81,
Hawking, Guth
& Pi ‘82
l. Elcio Abdallaaula 5
5.5 Perturbações de um campo escalar durante a inflação: formalismo
5.5 perturbações durante a inflação
G16,)()(2
1 222
4
VR
gxdS
)()()(0
xx )]([)()( 2 xaxg )(/
:conforme Tempo0 tadtddx
•Após diagonalização e integração por partes, os termos quadráticos são:
...)()()'( 2222214
2 vvvxdS
0)]([ 22 kkvkv
)'(
')()( : IR
: UV
2
ikηikη
z
dzDzCv
eBeAv
kkk
kkk
)(
)()(2
z
z
•Soluções no ultravioleta (k2>>) e
no infravermelho (k2<<):
l. Elcio Abdallaaula 5 5.5 perturbações durante a inflação
)',()]',(ˆ),,(ˆ[ xxixxv • Quantização:
• Vácuo: ak|0>=0 Porém, )()( 222 kk
kk i
k
i
kevev ,0,0
0,:
=> Mistura entre modos com energias positivas e negativas
=> Amplificação da energia de ponto-zero pelo “campo externo” (expansão)
=> Criação de partículas
)](ˆ)(ˆ[),(ˆ kk
kkk
xki vavaexv
ikvvvvaakkkkkkkk
,]ˆ,ˆ[',
*
'
,0
10
,0
10
,1
1),(),(:
kkkkkvvv
•Inflação gera inomogeneidades no “fluido primordial”
l. Elcio Abdallaaula 5
. : IR
: UV ikη
Constv
ePv
k
kk
0)]([ 22 kkvkv
222
)(
)()( Ha
z
z
phys
t
H-1
Fim da inflação
UVIR
UV
Hoje
5.5 perturbações durante a inflação
l. Elcio Abdallaaula 5
5.6 O espectro de perturbações dos modelos “power law inflation”
5.6 espectro dos modelos power-law
O background ao redor do qual desenvolveremos teoria de perturbações é homogêneo e isotrópico, de curvatura zero, onde o fator de escala é uma lei de potència:
1
))(()1/(
22220
p
t
ta
xddadspp
i
p
i
1
)1/(1
1
ii
p
ii
Hp
p
Ha
aH
O campo escalar e o potencial que causam essa expansão acelerada são:
)(ln12
)(
3
116)(
0
2
2
as
eH
pV pi
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Tanto a métrica quanto o campo escalar têm flutuações em torno de seus backgrounds. Vamos fixar o gauge longitudinal usado na aula passada:
]))(21()d)(2-(1)[(
)()(2222
0
xdxxads
x
A equação de Einstein 0-i é um vínculo entre a perturbação do campo, (x), e a perturbação da métrica, (x):
12
,2
pap
Substituindo as perturbações na Lagrangeana, expandindo até segunda ordem e eliminando e por , temos a seguinte expressão:
222)2( 1
)1(
)12(,...
2
1
p
ppDDL
Abramo & Woodard, Phys. Rev. D60: 044011
o que evidentemente significa que o campo obedece à equação D = 0 .
5.6 espectro dos modelos power-law
l. Elcio Abdallaaula 5
Podemos agora proceder à quantização do campo . Primeiro, escrevemos o campo em termos de operadores de criação e aniquilação:
kk
xki
kkxki aeae
kdx
ˆ)(ˆ)()2(
)( *
3
3
Os operadores ak e a+K obedecem as relações de comutação usuais:
)'(ˆ,ˆ )3( kkaakk
e os modos são normalizados pelo Wronskiano:
ikkkk '' **
Os quanta de energia negativa são associados com modos de frequências negativas e com os operadores ak .
No caso de power-law inflation, os modos têm soluções exatas:
)()(
)()(,0)(1
)1(
)12(
)2,1(
2/122
2
kHkh
khAp
ppkkk
5.6 espectro dos modelos power-law
l. Elcio Abdallaaula 5
As funções de Hankel oscilam no limite UV k<<1, mas são as funções de Hankel do segundo tipo, H(2), que têm frequência negativa e portanto estão associados aos modos k e aos operadores de aniquilação. Portanto, escrevemos:
)()(
)()()1(2/1**
)2(2/1
kHA
kHA
kk
kk
onde as constantes Ak são determinadas pelo Wronskiano. Usando as relações de comutação das funções de Hankel:
i
zHzzHzHzzH zz
4)()()()( )1()1()2()2(
obtemos que o Wronskiano é:
2**
||4''
kkkkk A
ii
kik
k
eA
A
2
4|| 2
E portanto os modos já normalizados têm a seguinte expressão:
)(2
)( )2( kHe ki
k
5.6 espectro dos modelos power-law
l. Elcio Abdallaaula 5
Lembre-se de que o campo é o mesmo que o potencial newtoniano , a menos de uma normalização:
)()(12
)(
kkap
e que, portanto, o potencial newtoniano já normalizado tem a seguinte expressão:
1
1
2
3,)(
)(14)( )2(
pkHe
apki
k
Agora podemos calcular o espectro de perturbações da inflação power-law. Estamos interessados no limite IR do espectro (k <<1) – ou seja, a região do espectro que de fato sofreu amplificação da energia de ponto zero.
A função de Hankel tem a seguinte forma assintótica: ...2)(
)()2,1(
zizH
e portanto o espectro é:
)1/(222
3
222
2
32
1
)(2
32|)(|
2|)(|
p
i
ik H
k
p
Hkk
5.6 espectro dos modelos power-law
l. Elcio Abdallaaula 5 5.6 espectro dos modelos power-law
Vamos repetir o resultado obtido quantizando um campo escalar/gravitacional:
)1/(2
)1(32
)(22223
22
|)(|
p
ipi H
kHk
e comparar com aquilo que esperamos analisando os dados observacionais:
05.096.0
105.0,|)(|
101
0
2
s
n
Obsn
C
k
kCk
s
1. A amplitude das perturbações C fixa o parâmetro livre Hi que fixa a escala do potencial:
2. O “índice escalar” ns no modelo power-law é portanto:
G
pi e
H
pV
2
2
3
116)( 10
2
222 10
Pl
ii M
mH
05.096.01
21
p
ns 21 p
l. Elcio Abdallaaula 5
O Futuro
As possibilidades para aplicações de física teória em cosmologia são ilimitadas: hoje em dia a qualidade das observações é tal que podemos seriamente começar a fazer perguntas que até pouco seriam consideradas absurdas.
Os limites do universo observável estão sendo empurrados num ritmo tal que este curso corre sério risco de caducar (ou até se tornar irrelevante) nas próximas semanas. Então, fique esperto!
Há uma multiplicidade brutal de “modelos cosmológicos” no mercado; apesar disso, o “modelo padrão inflacionário” tem se mantido de longe a teoria mais consistente e bem testada.
O estudo das perturbações é a principal chave para se testar modelos cosmológicos. As perturbações não só explicam alguns dos porquês da história do universo, como revelam até mecanismos quânticos que podem ter sido a chave para o aparecimento das estruturas do universo.l