Unidade IV

LÓGICA

Profª. Adriane Paulieli Colossetti

Introdução à álgebra de boole

Na álgebra booleana, estão todos os fundamentos da eletrônica digital.

Relação entre a lógica matemática e eletrônica digital

Existe uma estreita ligação entre as tabelas de lógica matemática e as portas lógicas existentes na eletrônica digital.

Tabela de relação entre as duas nomenclaturas

Lógica Matemática Eletrônica Digital

^ .

v +

~ -

Ex.: (p v q) = (a + b)( ^ ) ( b)

V, F 1,0

p, q a, b

(p ^ q) = (a . b)

Representação gráfica

AND OR

NAND NOR

Exemplo de utilização (AND)

Transforme p ^ q em lógica digital e desenhe a porta lógica correspondente.p ^ q = a . b

AND

Exemplo de utilização (OR)

Transforme p v q em lógica digital e desenhe a porta lógica correspondente.p v q = a + b

OR

Exemplo de utilização (NOR)

Transforme ~(p v q) em lógica digital e desenhe a porta lógica correspondente.

~(p v q) = (a + b)NOR

p q p v q ~(p v q)

V V V F

V F V F

F V V F

a b a + b (a + b)

1 1 1 0

1 0 1 0

0 1 1 0

F F F V 0 0 0 1

Exemplo de utilização (NOR)

Transforme ~(pv~q) em lógica digital e desenhe a porta lógica correspondente.

~(p v ~q) = (a + b)NOR

p q ~q p v ~q ~(p v ~q)

V V F V F

V F V V F

F V F F V

F F V V F

a b b a + b (a + b)

1 1 0 1 0

1 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 0 1 1 0

Exemplo de utilização (NAND)

Transforme ~(p ^ q) em lógica digital e desenhe a porta lógica correspondente.

~(p ^ q) = (a . b)NAND

p q p ^ q ~(p ^ q)

V V V F

V F F V

F V F V

a b a . b (a . b)

1 1 1 0

1 0 0 1

0 1 0 1

F F F V 0 0 0 1

Interatividade

Q l lt ti t t f ãQual a alternativa correta para transformação das proposições (p ^ q) ^ (p v q) para linguagem lógica digital?a) (a . b) . (a + b)b) (a + b) + (a + b)c) (a . b) . (a . b)d) (a + b) . (a . b)e) NDA

O sistema binário de numeração

Existem apenas dois algarismos: 0 e 1.Conversão;

O sistema binário de numeração

O sistema binário de numeração

10 16 2 810 16 2 80 0 0000 01 1 0001 12 2 0010 23 3 0011 34 4 0100 45 5 0101 56 6 0110 67 7 0111 78 8 1000 109 9 1001 1110 A 1010 1210 A 1010 1211 B 1011 1312 C 1100 1413 D 1101 1514 E 1110 1615 F 1111 17

Conversão de decimal em binário

Exemplo de conversão de decimal para binário

10 para binário?

23, 22, 21, 20

8 4 2 1

1 0 1 0

Exemplo de conversão de decimal para binário

15 para binário?

23, 22, 21, 20

8 4 2 1

1 1 1 1

Exemplo de conversão de decimal para binário

155 para binário?

27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20

128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 0 1 1 0 1 1

128 16 8 2 1 155128 + 16 + 8 + 2 + 1 = 155

Exemplo de conversão de decimal para binário

255 para binário?

27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20

128 64 32 16 8 4 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

128 64 32 16 8 4 2 1 255128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255

Exemplo de conversão de decimal para binário

355 para binário?

28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20

256 128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 1 1 0 0 0 1 1

256 64 32 2 1 355256 + 64 + 32 + 2 + 1 = 355

Exemplo de conversão de decimal para binário

1356 bi á i ?1356 para binário?

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0

1024 + 256 + 64 + 8 + 4 = 1356

Interatividade

Dado o número decimal 167 é correto afirmar que ele convertido para número binário é:a) 10111111;b) 10101111;b) 10101111;c) 10100101;d) 10100111;e) 10100110.

Propriedade cumulativa na adição

Segue o exemplo da propriedade cumulativa na adição:A + B = B + A.

Propriedade cumulativa na multiplicação

Segue o exemplo da propriedade cumulativa na multiplicação:A x B = B x A.

Propriedade associativa na adição

S l d i d dSegue o exemplo da propriedade associativa na adição:A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C.

Propriedade associativa na multiplicação

Segue o exemplo da propriedade associativa na multiplicação:A x (B x C) = (A x B) x C = A x B x C.

Portas lógicas

Como ficam as portas lógicas da seguinte proposição?

((a . b) + (a + b))

AND

OR

OR

Portas lógicas

Como ficam as portas lógicas da seguinte proposição?

((a + b) . (a . b))

OR

AND

NAND

Portas lógicas

Como ficam as portas lógicas da seguinte proposição?

((a + b) . (a . b))

NOR

AND

NAND

Portas lógicas

Como ficam as portas lógicas da seguinte proposição?

((a + b) . (a . b))

NORNOR

NAND

NAND

Interatividade

Qual é a linguagem digital que corresponde ao desenho abaixo?

OR

NAND

a) (a + b) + (a . b);b) (a . b) . (a + b);c) (a + b) + (a + b);

AND

) ( ) ( );d) (a + b) . (a . b);e) NDA.

Álgebra booleana

São estruturas algébricas que detêm a essência das operações lógicas (E, OU e NÃO), e também as operações da teoria de conjuntos.

Álgebra booleana

Por álgebra booleana, normalmente, entende-se um conjunto B junto com duas operações binárias ^ ou v em B e dois elementos 0 e 1 de B, tais que os axiomas seguintes sejam:1. Para todo x e y em B, x v y = y v x;2. Para todo x e y em B, x ^ y = y ^ x;3. Para todo x, y, z em B, x ^ (y v z) =

(x ^ y) v (x ^ z);

Álgebra booleana

4. Para todo x, y, z em B, x (y z) = (x y) (x z).

5. Para todo x em B, x v 0 = x;6. Para todo x em B, x ^ 1 = x;7 Para todo x em B x v x’ = 0;7. Para todo x em B, x v x’ = 0;8. Para todo x em B, x ^ x’ = 1;9. 0 ≠ 1.

Formas normais

Uma proposição está em forma normal (FN) se, e somente se contém os conectivos ¬, e . Exemplo:

¬p ^ ¬q¬ (¬p v ¬q) ( p v q)(p ^ q) v (¬q v r)

Formas normais

Toda a proposição pode ser levada para a forma normal (FN) equivalente pela eliminação dos conectivos → e ↔, se existirem.Isso significa a substituição de p → q por ¬p q;

p q ~p p q ~p v q

V V F V V

V F F F FV F F F FF V V V VF F V V V

Formas normais

p ↔ q por (¬p q) (p ¬q).

A B

p q ~p ~q p ↔ q ~p v q p v ~q A ^ B

V V F F V V V VV F F V F F V FF V V F F V F FF F V V V V V V

Forma normal conjuntiva

Uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se, e somente se são verificadas as seguintes condições:

contém apenas os conectivos ¬, e ;¬ não aparece repetido (¬¬) e não tem não aparece repetido ( ) e não tem alcance sobre e .Desta forma, somente incide sobre letras proposicionais;

Forma normal conjuntiva

não tem alcance sobre . Assim, não há componentes do tipo p (q r).Simbolicamente, fica:¬p ¬q, ¬p q r, (¬p q) (¬q ¬r)

Forma normal disjuntiva

Uma proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se, e somente se são verificadas as seguintes condições:

contém apenas os conectivos ¬, e ;¬ não aparece repetido (¬¬) e não tem não aparece repetido ( ) e não tem alcance sobre e . Desta forma, somente incide sobre letras proposicionais;

Forma normal disjuntiva

não tem alcance sobre . Assim, não há componentes do tipo p (q r)).

Simbolicamente, fica:¬p ¬q, p (q r), (p ¬q) (¬p ¬q ¬r)

Interatividade

Verifique se podemos afirmar que é uma forma normal a seguinte proposição:(p ^ q) v (p ¬q)a) V, V, F, Vb) F V V Fb) F, V, V, Fc) F, F, F, Fd) V, V, F, Fe) V, V, V, V

ATÉ A PRÓXIMA!