l 7pr laplace circule cilinder 12 13 - uam.es · solucionamos usando separacion variables (sv) 2 1....
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Métodos Matemáticos en FísicaLección_7_PROBLEMAS_Laplace_Circule
PROBLEMA 1
Calculo de distribución de potencial electroestáticoAnillo: con potencial exterior/interior conocido
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ANTES: vamos a discutir primero solución general de Ec. Laplace en coordinadas cilíndricas (2D)
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Métodos Matemáticos en FísicaLección_7_PROBLEMAS_Laplace_Circule
Formulación MATEMATICA
Solucionamos usando separacion variables (SV)
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1Como vimos antes, si
Sustituyendo solucion en Ec * encontramos
Ya vimos (L7A-WEB) que: para n=0 la Ec. (*) tiene soluciones tipo (1) y log(ρ)
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1Los ”ladrillos“ de la solución de Ec. Laplace en sistema circular 2D son:
Solucion general de Ec. Laplace en coordenados cilíndricas 2D:
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Usando ortogonalidad de autofunciones (“ladrillos” de solución), obtenemos ecuaciones para coeficientes [n=0 Const(ϕ)]
Se soluciona en respecto de coeficientes a0, b0
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Usando ortoganalidad de autofunciones (“ladrillos” de solución ), obtenemos ecuaciones para coeficientes [n≠0 ≠Const(ϕ)]
Se soluciona en respecto de coeficientes an, bn
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Métodos Matemáticos en FísicaLección_7_PROBLEMAS_Laplace_Circule
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Usando ortoganalidad de auto funciones (“ladrillos” de solución ), obtenemos ecuaciones para coeficientes [n≠0 ≠Const(ϕ)]
Se soluciona en respecto de coeficientes cn, dn
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Solución general:Ver inicio de esta lección y Cap 7 APL:
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Usando CC
PROBLEMA 3 complicamos mas CC
Todos coeficientes excepto a1, b1, c1, d1, son iguales a cero
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Sustituyendo valores ρde CC en Solución general , Como es valido para todos ϕ
Solución final:
u(ρ,ϕ)=(-ρ/3+4/3ρ)cosϕ+2/3[ρ-1/ρ)senϕ
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Volvemos a PROBLEMA 1
Calculo de distribución de potencial electroestáticoAnillo: con potencial exterior/interior conocido
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Usando CCPara a0, b0
Usamos CC para hallar an,bn, (n≠0)
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10 0
0
0
0
ln(1) 00
ln(2) ( )0
a ba
b Cosb
ϕ
+ ==> =
==> =
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Usamos CC para an,bn, 2
1
2
0
1 1
11 1 1
NO trivial sol
1 1 0
1 12 ( ) (
o para n=1
)2
1 1 01 1 22 12 2
n n
nn n n
a b
a b Cos Cos
Sol
n d
a b
a b
π
ϕ ϕ ϕπ
ππ
× + × =
× + × =
=>
× + × =
× + × = =
∫
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Aunque fuimos por vía formal (formulas 1-3), también se podria intuir que la función que satisface CC y es combinación lineal de Soluciones de Ec. es
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1Solución:
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RECORDAMOS Solución general Ec. Laplace en disco:
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Hallar distribucion estacionaria de temperatura en un disco con radios iguales a 2cm y 1cm si temperatura inferior es 2K y exterior es 1K
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PROBLEMA 2 CLASE
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Hallar distribricion estacionaria de temperatura en un disco con radios iguales a 2cm y 1cm si temperatura inferior es 2K y exterior r es 1K
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PROBLEMA 2 CLASE
Solución no depende de ángulo
m=0
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Solución general para parte radial
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Ecuación (*) con n (m)=0
Usando CC
Solución final
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Hay que “eliminar” soluciones que tienen anomalías para r=0 de solución general, en particular:
RConvertimos anillo en un discoConsideramos solución general del problema:
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Con coeficientes calculados usando CC:
RNos queda solución general:
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RPROBLEMA 4CLASE
Con coeficientes calculados usando CC:
Integrales de 0 2π de Cos2(nϕ) (función simétrica en respecto de ϕ=π) con Cos(nϕ) son finitos
Integrales de 0 2π de Sen(nϕ) (función anti-simétrica en respecto de ϕ=π) con Cos(nϕ) (función simétrica ) son nulos (bn=0)
Se quedan solo coeficientes a0 y an
[ ]2 1( ) cos 2 12
cos A A= +como
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Formulación matemática:
R2=∞Convertimos anillo enhuecoConsideramos solución general de problema EXTERNO:
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Solución general será:
R2=∞Hay que “eliminar” soluciones que tienen anomalías para ρ=∞, en particular:
Con coeficientes calculados usando CC:
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R2=∞Problema a resolver en CLASE
Usando ya conocida solución general con coeficientes an, bn :
[ ]3 1( ) 3* ( ) (3 )4
Sen A sen A sen A= −
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[ ]3 1( ) 3* ( ) (3 )4
Sen A sen A sen A= −
Usamos relación de tablas R2=∞
Es evidente que a0 y todos an son iguales a cero
[ ]2
0
1 1 3 3 ( )4nb sen sen sen n d
π
ϕ ϕ ϕ ϕπ
= −∫
Solo bn con n=1,3 son finitos
Solución:
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Analógicamente a anterior, desarrollamos la solución de Ec. Laplace para circulo (0<ρ<R) con condición de contorno de segunda especie: [Ej. Difusion en CELULA ANIMAL en 2D]
En el contorno:
Solución general
Con CC: f(ϕ)
coeficientes
Q
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En el contorno(problema exterior):
coeficientes
Analógicamente a anterior, desarrollamos la solución de Ec. Laplace para problema exterior al circulo (ρ>R) con condición de contorno de segunda especie: [Ej. Flujos de Calor en la lamina con hueco]
=-f(ϕ)Q
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Metodo de solución de Problemas Ec. Poissonpara anillo y circulo
1. Se busca una solución particular u12. Se hace cambio de variables u=u1+v3. El problema para v se transforma a solución
de problema Laplace + nuevos CC
Problema: hallar la temperatura de un cilindro infinito con radio R y con distribución de densidad de fuentes de calor f=-xy y con superficie en contacto con foco térmico a temperatura cero (Cilindro infinito)
f=xy
u(R,ϕ)=0
*
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Solución: transformando en variables cilíndricos
Solución buscamos en forma de suma de
dos funciones: u=u1+vf=xy
u(R,ϕ)=0
u1 es solución particular de Ec. No-homogénea
v - solución de Ec. Laplace con CC que sumando a CC para u1 dan CC de problema general
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1
1 sin(2 )2
0( , ) ( , )
u
vv R u R
ρ ϕ
ϕ ϕ
Δ = −
Δ == −
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Solución particular buscamos en forma
f=xy
u(R,ϕ)=0
Sustituyendo en Ec. (*)
Con cambio de variable
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f=xy
u(R,ϕ)=0
Ec. para funcion w(t)
2
( )`
`` ` `` `
t
tt
t t t t ttt
w w ew w e
w w e e w e w e w e
=
= ×
= × × + × = × + ×
**
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Es Solución particular de (**) comprobado
f=0
v(R,ϕ)≠0
Entonces
como
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f=0
v(R,ϕ)≠0Vamos ahora hallar forma de otra parte se solucion
Problema para v es de tipo Ec. Laplace
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Solución de problema según visto anteriormenteSOLUCION GENERAL
Entonces solución final será:
f=0
v(R,ϕ)≠0
Usando CC+otroganalidad de sen(nϕ)
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PROBLEMA: hallar potencial de campo eléctrico dentro de cilindro infinito con hueco central (a<ρ<b), cuando dentro se encuentran las cargas eléctricas con densidad f=A*(x2-y2).La superficie interior se mantiene a potencial =1 y la superficie exterior tiene campo eléctrico igual a cero
Formulamos problema en coordinadas cilíndricas
u=1
uρ=0
f=A*(x2-y2)
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Buscamos solución usando problema auxiliar de modo que u=1
uρ=0
f=A*ρ2cos(2ϕ)
Solución evidente es
Buscamos solución como
Ec. 1 Ec. 2
v(a,ϕ)=0
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Con CC
u=1
u=0
Ec. 1 se transforma en
f=A*ρ2cos(2ϕ)Dividiendo por cos(2ϕ)
Otra vez con sustitución
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u=1
u=0
Solución general de Ec. Homogenea+ Sol. Particular
f=A*ρ2cos(2ϕ)
R en función de ρ
2
. PARTICULAR: como F*exp( t)F exp( t)-4Fexp( t)=Aexp(4t)=>
1=4 ; A=12
SOL α
α α α
α
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Buscamos coeficentes usando CC u=1
u=0
f=A*ρ2cos(2ϕ)
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u=1
u=0
Solución final
f=A*ρ2cos(2ϕ)
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Problema a solucionar:
Primero tenemos que comprobar que el problema tiene solucióni.e. que:(C- circulo exterior)
PROBLEMA: tenemos un cilindro infinito con flujo de calor conocido sobre la superficie exterior du/dρ = cos3ϕHallar distribución de la temperatura interior de cilindro:
du/dρ = cos3ϕ
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De hecho:
Además, como:du/dρ = cos3ϕ
Los demás coeficientes an=0 (n≠1,3), bn =0
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Solución final:
du/dρ = cos3ϕC- una constante de integración
Aparece porque solución no depende de temperatura de fondo
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Nota: para poder solucionar problema similar pero para anillo ( cilindro infinito con hueco central, i.e. con (R1<ρ<R2)Debería cumplirse siguiente condición:
La solución también se obtendrá con la precisión de una constante de integración
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Ec. Laplace en CILINDRO
FUNCIONES BESSEL Modificades de 1ra y de 2da especie (F. Bessel de argumento imaginario)
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Métodos Matemáticos en FísicaLección_7_PROBLEMAS_Laplace_Cilindro
Problema: hallar potencial de campo electroestático dentro de un cilindro (ρ<a, 0<z<l) si caras (discos) superior y inferior están a potencial cero y superficie lateral tiene potencial V0
l<∞
V0
u=0
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Problema: hallar potencial de campo electroestático dentro de un cilindro (ρ<a, 0<z<l) si caras (discos) superior y inferior están a potencial cero y superficie lateral tiene potencial V0 l<∞
V0
u=0
Formulación matemática
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Como CC no dependen de ángulo (ϕ) solución no dependerá de ángulo
Implementando separación de variables:
Sustituimos en Ec. Laplace:
Dividiendo por RZ
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o
Es evidente que λ>0 En este caso solución es nula en caras superior y inferior
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Con cambio de variable
Para hallar parte radial solucionamos Ec.Bessel para argumento imaginario
Ec. a solucionar
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http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function#Modified_Bessel_functions_:_I.CE.B1.2C_K.CE.B1
Solución es combinación lineal de dos funciones Bessel modificadas de índice cero (o argumento imaginario o a veces Funciones Bessel Hiperbólicas
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http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function#Modified_Bessel_functions_:_I.CE.B1.2C_K.CE.B1
NOTA: Como función MacDonald
Para x ∞
C2=0 ver pag. 35
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Entonces:
Coeficientes cn hallamos de CC
Entonces:
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De aquí:
Finalmente:
n=impar
n=par