kvalifikacioni ispit iz matematike · 9. na i ortogonalnu projekciju taqke m(11;0) na pravu 2x 3y+4...
TRANSCRIPT
1
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
29.06.2010.
1. Tek oboreno stablo je imalo masu 2,25 tona i sadr�avalo je 64% vode.Poslije nedjeu dana stablo je sadr�avalo 46% vode. Za koliko se sman-jila masa stabla za tu nedjeu?
2. Dokazati da je (3 +√5)(√10−
√2)√3−√5 = 8 .
3. Uprostiti izraz
(a+ b
a− b− a− ba+ b
):
(a2 + b2
a2 − b2− a2 − b2
a2 + b2
).
4. Odrediti za koju vrijednost realnog parametra m je zbir kvadrata korijenajednaqine x2 −mx+ 2m− 3 = 0 najma�i.
5. Rijexiti jednaqinu√6− x− x2 = x+ 1.
6. Rijexiti jednaqinu 9x2−1 − 36 · 3x2−3 + 3 = 0.
7. Rijexiti nejednaqinu log 5x ≥ log 25(3x− 2).
8. Rijexiti jednaqinu 1 + cos(π + x) + cos(π2+x
2
)= 0.
9. Na�i taqku B simetriqnu taqki A(3, 1) u odnosu na pravu x− 2y + 2 = 0.
10. Odrediti tangente kru�nice x2 + y2 − 6x + 4y + 3 = 0 koje prolaze kroztaqku A(2, 1).
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
2
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
6.09.2010.
1. Uzastopna pojevti�e�a od 10% i 20% ekvivalentna su nekom jednokratnompojevti�e�u. Od koliko procenata je to pojevti�e�e?
2. Dokazati da je (4 +√15)(√10−
√6)√4−√15 = 2 .
3. Uprostiti izrazx2 + y2
xy− x2
xy + y2− y2
x2 + xy.
4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametram su oba korijena jednaqinex2 − (m+ 1)x+m+ 4 = 0 negativna.
5. Rijexiti nejednaqinu√x2 − 3x− 10 < 8− x.
6. Rijexiti jednaqinu 3x − 3x−1 = 2 · 9x−2.
7. Rijexiti nejednaqinu log 2
(x2 − x− 3
4
)< log 25− 2.
8. Rijexiti jednaqinu 1− cos(π − x) + sin
(π + x
2
)= 0.
9. Na�i jednaqinu kru�nice opisane oko trougla ABC qija su tjemena A(7, 7),B(0, 8) i C(−2, 4).
10. Data su dva tjemena A(1,−4) i B(7,−2) na osnovici AB jednakokrakogtrougla ABC, a tre�e tjeme C pripada pravoj x − y + 1 = 0. Odreditikoordinate tjemena C.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
3
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
4.07.2011.
1. Cijena koxue je 52 marke. Ona je prvo poskupila 20% pa je zatim pojev-tinila 20%. Odrediti novu cijenu koxue.
2. Za n ≥ 1 uprostiti izraz√n−√2n− 1−
√n+√2n− 1 .
3. Uprostiti izraz
(3− (a+ b)2
ab
)·(a
b− b
a
):a3 + b3
ab.
4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m za sve x iz intervala(−1, 1) va�i nejednakost 2x2 +mx− 5 < 0.
5. Rijexiti nejednaqinu√x2 − x− 12 < x− 2.
6. Rijexiti jednaqinu 2 log24(x+ 1)− log4(x2 − 1)− log 1
4(x− 1) = 1.
7. U trouglu ABC je γ = 120◦. Dokazati da je c ≥√3
2(a+ b) .
8. Rijexiti jednaqinu cos2 x+ cos2 2x+ cos2 3x =3
2.
9. Date su taqke A(0, 2), B(3,−1) i H(2, 1). Odrediti taqku C tako da H budeortocentar trougla ABC.
10. Odrediti jednaqinu kru�nice koja prolazi kroz taqku (−2,−2) , a centarjoj je presjeqna taqka pravih x+ 2y − 2 = 0 i 3x+ y + 4 = 0.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
4
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
5.09.2011.
1. Jelena i �ena majka imaju zajedno 60 godina. Koliko godina ima Jelena akoje majka imala 22 godine kad se rodila Jelena?
2. Uprostiti izraza3 + b3
(a+ b)(a2 − b2)+
2b
a+ b− ab
a2 − b2.
3. Odrediti kompleksan broj
(1 + i√
2
)2011
.
4. Dokazati da jednaqina (m2+5)x2+2(m+3)x+3 = 0 nema realnih rjexe�ani za jednu vrijednost realnog parametra m.
5. Rijexiti jednaqinu√x+ 1 +
√x− 1 =
√3x+ 1.
6. Rijexiti jednaqinu 2x+1 − 2x − 2x−1 = 4.
7. U trouglu ABC je ∠BAC = 30◦, AC = 2 i BC =√2. Odrediti ∠ABC.
8. Rijexiti jednaqinu 4 sinx sin 2x sin 3x = sin 4x.
9. Odrediti koordinate tjemena B i D kvadrata ABCD ako je A(2, 1) i C(4, 5).
10. Kru�nica sa centrom u taqki S(3,−1) odsijeca na pravoj 2x− 5y+18 = 0tetivu du�ine 6. Na�i jednaqinu ove kru�nice.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
5
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
2.07.2012.
1. Cijena nekog proizvoda pove�ana je za 25%. Za koliko procenata trebasma�iti novu cijenu da bi se dobila stara cijena?
2. Uprostiti izraz
((a+ b)2
ab− 1
)·((a+ b)2
ab− 4
)· ab
a3 − b3.
3. Odrediti realni parametar m tako da jednaqine 2x2 + (m − 1)x + 1 = 0 i8x2 + (3m− 1)x+ 3 = 0 imaju zajedniqki korijen.
4. Rijexiti sistem jednaqina x2 − xy = 4, xy − y2 = 3.
5. Rijexiti nejednaqinu x− 6 >√x2 − 7x− 8 .
6. Rijexiti jednaqinu log7 2 + log49 x = log1/7√3 .
7. Rijexiti jednaqinu 2 cos2 x+ cos 4x = 0.
8. Odrediti ostale stranice i uglove trougla ABC ako je a =√3 , b =
√2 i
α = 60◦.
9. Na�i ortogonalnu projekciju taqke M(11, 0) na pravu 2x− 3y + 4 = 0.
10. Odrediti tangente kru�nice x2+y2−2y = 0 koje prolaze kroz taqku C(2, 2).
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
6
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
3.09.2012.
1. Udaenost dva grada je 588 kilometara. Brzi voz pre�e tu udaenost za2 qasa i 20 minuta prije nego putniqki. Kolika je brzina svakog od ovihvozova ako se �ihove brzine razlikuju za 21 km/h?
2. Uprostiti izraza
a− x+
3a
a+ x− 2ax
a2 − x2.
3. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja3 + i
(1 + i)(1− 2i).
4. U jednaqini x2 − x + m = 0 odrediti parametar m tako da zbir kubova�enih rjexe�a bude jednak 7.
5. Rijexiti jednaqinu√x− 7 +
√x+ 5 =
√2x+ 14 .
6. Rijexiti nejednaqinu 2x + 21−x < 3 .
7. Rijexiti jednaqinu sinx+ sin 2x = cosx+ cos 2x.
8. Izraqunati uglove paralelograma qije stranice imaju du�ine 7 i 8, a jednadijagonala ima du�inu 13.
9. Na pravoj 3x+ 4y− 14 = 0 na�i taqku jednako udaenu od taqaka A(−1, 6) iB(2,−3).
10. Odrediti jednaqinu kru�nice koja prolazi kroz koordinatni poqetak, aprave 3x− 4y + 8 = 0 i 3x+ 4y + 8 = 0 su joj tangente.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
7
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
24.09.2012.
1. Svje�e gro��e sadr�i 80% vode, a suvo sadr�i 12% vode. Koliko kilogramasvje�eg gro��a treba za 20 kilograma suvog gro��a?
2. Uprostiti izrazxy
x+ y·(1
x+
1
y
)− xy
x− y·(1
x− 1
y
).
3. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja2 + i
1 + i+
2− i1− i
.
4. Odrediti za koju vrijednost realnog parametra m je zbir kvadrata korijenajednaqine x2 −mx+ 2m− 1 = 0 jednak 2.
5. Rijexiti nejednaqinu√6 + x− x2 < x.
6. Rijexiti jednaqinu 3x+1 − 3x = 2 · 9x−1.
7. Rijexiti jednaqinu cosx+ cos 3x = 1 + cos 4x.
8. Odrediti uglove paralelograma qije stranice imaju du�ine 7 i 8, a jednadijagonala ima du�inu 13.
9. Date su taqke A(−1, 1), B(2,−2) i H(1, 0). Odrediti taqku C tako da Hbude ortocentar trougla ABC.
10. Odrediti parametar m da prava 2x+ 2y −m = 0 bude tangenta kru�nicex2 − 2x+ y2 − 2y − 2 = 0.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
8
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
1.07.2013.
1. Cijena nekog proizvoda je sma�ena za 20%. Za koliko procenata trebapove�ati novu cijenu da bi se dobila prvobitna cijena?
2. Dokazati da je (2−√3)(√6 +√2)√√
3 + 2 = 2 .
3. Uprostiti izraz(a3 − b3
):
(a+ b− ab
a+ b
)−(a3 + b3
):
(a− b+ ab
a− b
).
4. Za koje vrijednosti realnog parametram jednaqina (3m+1)x2−2x+2m−1 =0 ima ko�ugovano kompleksne korijene?
5. Rijexiti nejednaqinu |x+ 1| ≥ 2|x+ 2| .
6. Rijexiti jednaqinu logx 4 + logx 2− log4√x = 1 .
7. Dokazati identitet 3(sin4 α + cos4 α)− 2(sin6 α + cos6 α) = 1.
8. Rijexiti jednaqinu sin4 x+ cos4 x =7
2sinx cosx.
9. Date su taqke A(−3, 0) i B(2, 0). Na pravoj 3x − 2y + 2 = 0 odrediti taqkuC tako da povrxina trougla ABC bude jednaka 10.
10. Iz taqke A(4, 2) konstruisane su tangente na kru�nicu x2+y2 = 10. Izraqu-nati ugao izme�u �ih.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
9
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
2.09.2013.
1. Razlika kubova dva uzastopna cijela broja jednaka je 1801. Odrediti tebrojeve.
2. Za −1 < x < 0 uprostiti izraz
√x− 1
x+ 1+
1
(x+ 1)2.
3. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja
(3
2 + 2i+
1 + i
4i
)6
.
4. Odrediti parametar m tako da zbir reciproqnih vrijednosti korijena jed-
naqine x2 − 2mx+ 3m− 1 = 0 bude jednak3
4.
5. Rijexiti jednaqinu√x− 3 +
√x+ 3 =
√2x+ 8 .
6. Rijexiti nejednaqinu1
5− logx+
2
1 + log x< 1 .
7. Rijexiti jednaqinu sin 2x+ tgx = 2.
8. Ako u trouglu ABC va�i jednakost a = 2b cos γ, dokazati da je on jed-nakokraki.
9. Dokazati da su taqkeA(6, 1), B(5, 4) i C(−1, 2) tri tjemena nekog pravougaonikai odrediti koordinate �egovog qetvrtog tjemena D.
10. Odrediti tangente kru�nice x2 + y2 = 5 koje prolaze kroz taqku (1, 3).
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
10
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
23.09.2013.
1. Cijena pantalona je 104 marke. One su prvo poskupile 20% pa su zatimpojeftinile 20%. Odrediti novu cijenu pantalona.
2. Izraqunati
√3− 2
√2√
17− 12√2−
√3 + 2
√2√
17 + 12√2.
3. Uprostiti izraz
(a− ba+ b
− a+ b
a− b
):
(a2 − b2
a2 + b2− a2 + b2
a2 − b2
).
4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m �e oba korijena jedna-qine x2 − 7x+ 2m− 4 = 0 biti pozitivna.
5. Rijexiti sistem jednaqinax
y+y
x=
37
6, x+ y =
21
8.
6. Rijexiti nejednaqinu√6 + x− x2 > 1− x.
7. Rijexiti nejednaqinu log 5x ≥ log 25(3x− 2).
8. Rijexiti jednaqinu sinx+ sin 2x = cosx+ cos 2x.
9. Na�i taqku B simetriqnu taqki A(3, 1) u odnosu na pravu x− 2y + 2 = 0.
10. Iz taqke A(2, 4) konstruisane su tangente na kru�nicu x2+y2 = 10. Izraqu-nati ugao izme�u �ih.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
11
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
30.06.2014.
1. Jedan radnik uradi posao za 40 dana a drugi za 24 dana. Za koliko dana �euraditi posao zajedno?
2. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja(1 + i)10
(1 + i)8 + i(1− i)6.
3. Uprostiti izraz
(a3 − b3
a3 + b3− a− ba+ b
)·(a2 + b2
a2 − b2+a− ba+ b
).
4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m korijeni x1 i x2 jedna-qine mx2 + 2(m− 1)x− 4 = 0 zadovoavaju uslov x1 < 3 < x2.
5. Rijexiti nejednaqinu√5− 2x < 6x− 1 .
6. Rijexiti jednaqinu log2 x+ 4 log4 2x− 2 log8 x =20
3.
7. Rijexiti jednaqinu tgx+ ctgx = 3 + 2 sin 2x.
8. Zbir uglova pod kojim se sa 100, 200 i 300 metara udaenosti od podno�javidi tora� koji stoji na horizontalnoj ravni je 90◦. Odrediti visinutor�a.
9. Odrediti koordinate ortocentra trougla ABC ako su �egova tjemenaA(−5, 5), B(1, 2) i C(4,−2).
10. Odrediti jednaqinu prave koja prolazi kroz taqku A(3,−1) i na kru�nicix2 + y2 = 2 odsijeca tetivu du�ine 2.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
12
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
1.09.2014.
1. Pri dijee�u prirodnog broja x sa prirodnim brojem y dobija se koliqnik4 i ostatak 10. Odrediti te brojeve ako je �ihov zbir 100.
2. Dokazati da je
√3 + 2
√2
17 + 12√2−
√3− 2
√2
17− 12√2cio broj i odrediti taj broj.
3. Uprostiti izraz
(a2 − b2
c+b2 − c2
a+c2 − a2
b
):
(a− bc
+b− ca
+c− ab
).
4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m oba korijena jednaqine4x2 − 2x+m = 0 pripadaju intervalu (−1, 1).
5. Rijexiti jednaqinu√2x+ 1 +
√3x+ 1 =
√5x+ 2 .
6. Rijexiti nejednaqinu log3 x+ log3(x− 2) ≥ 1.
7. Rijexiti jednaqinu sin4 x− cos4 x = cosx.
8. Odrediti uglove trougla ABC ako su �egove stranice a =√6, b = 2
√3 i
c = 3−√3.
9. Odrediti koordinate tjemena A i C kvadrata ABCD ako je B(0, 1) i D(4, 3).
10. Odrediti jednaqinu kru�nice qiji je centar u taqki C(0,−5) i kojadodiruje pravu 4x+ 3y − 10 = 0.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
13
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
22.09.2014.
1. Cijena nekog proizvoda je pove�ana najprije za 20%, a zatim jox za 10%i sada taj proizvod koxta 33 KM. Kolika je bila poqetna cijena togproizvoda?
2. Izraqunati
(15√6 + 1
+4√6− 2
+12√6− 3
)· (√6 + 11) .
3. Rijexiti jednaqinu2x+ 1
x2 + x− 6− x− 1
x2 − 5x+ 6=
6
x2 − 9.
4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametram jednaqine x2−3x+m+1 =0 i x2 − 4x+ 2m+ 1 = 0 imaju zajedniqki korijen.
5. Rijexiti sistem jednaqina x2 + y = 7, x+ y2 = 7.
6. Rijexiti jednaqinu 7 · 3x+1 − 5x+2 = 3x+4 − 5x+3.
7. Rijexiti nejednaqinu cos 2x > cosx− sinx.
8. U krug polupreqnika R upisan je trougao qija su dva ugla 15◦ i 60◦. Odred-iti povrxinu trougla.
9. Date su taqke A(9, 2) i B(2, 6). Na x−osi odrediti taqku M tako da va�iAM ⊥ BM .
10. Odrediti jednaqinu kru�nice sa centrom u presjeku pravih x− 2y + 4 = 0i 3x+ y − 9 = 0, koja dodiruje pravu 3x+ 4y + 2 = 0 .
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
14
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
29.06.2015.
1. Od radnika nekog preduze�a 35% su �ene. Broj muxkaraca je za 210 ve�i odbroja �ena. Koliko radnika ima u preduze�u?
2. Uprostiti izraza4 − (a− 1)2
(a2 + 1)2 − a2+a2 − (a2 − 1)2
a2(a+ 1)2 − 1+a2(a− 1)2 − 1
a4 − (a+ 1)2.
3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m je razlika kvadrata ko-rijena jednaqine 8x2 −mx+ 3 = 0 jednaka 5/16.
4. Rijexiti sistem jednaqina x2 + xy = 28, xy + y2 = −12.
5. Rijexiti nejednaqinu√4x+ 13 >
√x+√x+ 7.
6. Rijexiti jednaqinu1
5− log 2 x+
2
1 + log 2 x= 1.
7. Rijexiti jednaqinusin 3x
sinx+
cos 3x
cosx=
5
2+ cos 4x.
8. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja3 + 4i
(1 + i)(1 + 2i).
9. Taqke A(2, 1) i B(4, 9) su dva tjemena trougla, a H(3, 4) je �egov ortocentar.Odrediti jednaqine pravih kojim pripadaju stranice tog trougla.
10. Odrediti jednaqinu kru�nice koja dodiruje koordinatne ose i koja izvanadodiruje kru�nicu x2 + y2 − 10x− 12y + 52 = 0.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
15
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
31.08.2015.
1. Ako je prije 5 godina otac bio 5 puta stariji od sina, i ako �e poslije 3godine biti 3 puta stariji od sina, koliko je godina ocu a koliko sinu?
2. Dokazati da je√
34− 24√2−
√34 + 24
√2 cio broj. Koji je to broj?
3. Uprostiti izraza3
a− 1− a2
a+ 1− 1
a− 1+
1
a+ 1.
4. Odrediti sve vrijednosti realnog parametra m tako da rjexe�a jednaqine(m− 2)x2 + 2(2m− 3)x+ 5m− 6 = 0 budu realna.
5. Rijexiti nejednaqinu√5x− x2 < |2− x| .
6. Rijexiti jednaqinu log2(2x − 3) = 2− x.
7. U trouglu ABC je γ = 60◦. Dokazati da je c ≥ a+ b
2.
8. Rijexiti jednaqinu sinx+ sin 2x+ sin 3x = 0.
9. Date su taqke A(7, 2) i B(0, 6). Na x−osi odrediti taqku C tako da budeAC ⊥ BC.
10. Dokazati da se oko qetvorougla ABCD qija su tjemena A(5, 4), B(2, 5),C(−3, 0) i D(−2,−3), mo�e opisati kru�nica i odrediti jednaqinu tekru�nice.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
16
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
28.09.2015.
1. U dva bureta ima ukupno 140 litara vina. Ako iz prvog bureta prelijemo 1/5�egovog sadr�aja u drugo bure, onda �e u oba bureta biti jednake koliqinevina. Koliko je litara vina bilo na poqetku u drugom buretu?
2. Uprostiti izrazx3 + 2x2 − x− 2
x3 − 2x2 − x+ 2· a+ a2
a+ 1· x− 2
x+ 2.
3. Odrediti za koje vrijednosti parametra m �e sistem jednaqinax2 − y2 = m, x+ 2y = 1 imati jedinstveno rjexe�e.
4. Rijexiti nejednaqinu x ≤ 3− 1
x− 1.
5. Odrediti realne brojeve a i b tako da 1 + i bude korijen polinomaP (x) = x4 − x2 + ax+ b.
6. Rijexiti jednaqinu log2(x− 1) + log2x = 1.
7. Stranice trougla imaju du�ine 3, 5 i 7. Odrediti najve�i ugao tog trougla.
8. Rijexiti jednaqinu cos6 x− sin6 x =13
8cos2 2x .
9. Na pravoj 3x + 2y − 5 = 0 odrediti taqku koja je podjednako udaena odtaqaka A(−1,−3) i B(3, 1).
10. Na�i jednaqine zajedniqkih tangenti kru�nica x2+y2 = 2 i (x−2)2+y2 =8.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
17
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
27.06.2016.
1. Put od mjesta A do mjesta B brzi voz prelazi za vrijeme t. Zbog zastojana trasi voz je krenuo iz mjesta A sa jednim satom zakax�e�a. Zbog togaje pove�ao predvi�enu brzinu za 20% i u mjesto B stigao po redu vo��e.Odrediti t.
2. Odrediti realne brojeve a i b tako da polinom P (x) = x4 + x3 + x2 + ax+ bbude djeiv sa x2 − 1.
3. Uprostiti izraz
(1− a− b
a+ b
)· a
2 − abab− b2
:
(1 +
a− ba+ b
).
4. Data je jednaqina1
x−m+
1
x− 2m= 2 , gdje je m realan parametar, m 6= 0.
Dokazati da su rjexe�a x1 i x2 date jednaqine realni brojevi za svako m,
m 6= 0. Odrediti sve vrijednosti parametra m tako da bude1
x1+
1
x2= 2.
5. Rijexiti jednaqinu√5x+ 2−
√3x− 2 =
√x+ 2.
6. Rijexiti nejednaqinu1
log x+
1
1− log x> 4.
7. Dokazati da je cos 40◦ + cos 80◦ = cos 20◦.
8. Rijexiti jednaqinu tg 3x− tgx = 4 sin x.
9. Date su jednaqine pravih x + y − 2 = 0 i 9x − 3y − 4 = 0 kojima pripadajudvije visine trougla ABC i tjeme A(2, 2) ovog trougla. Odrediti jednaqinuprave kojoj pripada tre�a visina trougla ABC.
10. Odrediti jednaqinu kru�nice koja prolazi kroz koordinatni poqetak idodiruje prave 2x+ y − 9 = 0 i x− 2y − 2 = 0.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
18
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
29.08.2016.
1. Iz mjesta A u mjesto B autobus sti�e po redu vo��e kre�u�i se konstantnombrzinom v. Vozaq autobusa je izraqunao da bi brzinom 60 km/h u mjesto Bstigao pola sata kasnije, a brzinom 90 km/h bi stigao pola sata ranije.Odrediti v.
2. Neka je a =3√
2 +√5 +
3√
2−√5 . Pokazati da va�i a3 = 4 − 3a, pa na
osnovu toga dokazati da je3√
2 +√5 +
3√
2−√5 = 1.
3. Uprostiti izraz
(1
x2− 1
y2
)(x− yx+ y
− 1
):
((x− yx+ y
+ 1
)(x
y− y
x
)).
4. Rijexiti nejednaqinu
√x2
4− x
3+
1
9<x
3− 1
6.
5. Rijexiti sistem jednaqina x+ xy + y = 11, x2y + xy2 = 30.
6. Rijexiti nejednaqinu 5x−1 + 3 · 5x < 10 · 2x+1.
7. Vrt ima oblik pravougaonika sa tjemenima A, B, C i D. U vrtu rastetrex�a. Ona je od tjemena A udaena 7 metara, od tjemena B 11 metara i odtjemena C 9 metara. Koliko je trex�a udaena od tjemena D?
8. Dokazati da je sin 20◦ + sin 40◦ = sin 80◦.
9. Rijexiti jednaqinu1 + tg x
1− tgx= 1 + sin 2x.
10. Odrediti jednaqinu kru�nice upisane u trougao ABC qija su tjemenaA(4, 0), B(0, 3) i C(0, 0).
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.
19
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
26.06.2017.
1. Dat je razlomak3x3
554, gdje je x neka dekadna cifra. Ako se od �egovog
brojioca oduzme prirodan broj n, a imeniocu doda isti taj broj n, dobijeni
razlomak �e biti jednak2
7. Na�i x i n.
2. Uprostiti izraz(m+ n)2 + (m− n)2
(m+ n)2 − (m− n)2·(m2 + n2
m2 − n2− m2 − n2
m2 + n2
)·(mn− n
m
).
3. Neka je a =3√
9 + 4√5 +
3√
9− 4√5 . Pokazati da va�i a3 = 18 + 3a, pa na
osnovu toga dokazati da je3√
9 + 4√5 +
3√
9− 4√5 = 3.
4. Iz mjesta A je u 6 qasova krenuo automobil ka mjestu B udaenom 120 kmbrzinom 60 km/h. Sat kasnije iz mjesta B krenuo mu je u susret kamion kojiide brzinom 40 km/h. U koje vrijeme �e se automobil i kamion sresti?
5. Neka su p i q realni parametri razliqiti od nule. Dokazati da jednaqina1
x+
1
x+ p=
1
qima dva realna i razliqita rjexe�a.
6. Rijexiti jednaqinu√4− 6x− x2 = x+ 4.
7. Rijexiti nejednaqinu log3 x+ log9 x+ log27 x ≤11
4.
8. Rijexiti jednaqinu 2 cos 2x+ 8 cosx+ 5 = 0.
9. Odrediti ostale stranice i uglove trougla ABC ako je a = 2 , b = 1 +√3
i γ = 30◦.
10. Na�i jednaqinu kru�nice koja sadr�i taqku A(3, 1) i koja dodiruje pravux− y = 0 u koordinatnom poqetku.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 100 minuta.
20
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
4.09.2017.
1. Ako izme�u cifara dvocifrenog broja upixemo nulu dobija se trocifrenibroj koji je 9 puta ve�i od datog dvocifrenog broja. Na�i taj dvocifrenibroj.
2. Uprostiti izraz
(1 + a
1− a− 1− a
1 + a
):
(a
1− a2+
a
1 + a2
).
3. Neki qovjek je kre�u�i se qamcem nizvodno po rijeci prexao put od 20 kmizme�u mjesta A i B za 10 qasova. Na�i brzinu toka rijeke ako se zna da tajqovjek za isto vrijeme prelazi 2 km uzvodno i 3 km nizvodno.
4. Odrediti skup svih vrijednosti realnog parametra m tako da oba rjexe�akvadratne jednaqine x2 + 6x+m = 0 budu negativna.
5. Rijexiti sistem jednaqina x2 − xy + y2 = 7, x2 + xy + y2 = 19.
6. Rijexiti jednaqinu 5 · 2x + 3 · 2x+1 − 2x+2 = 21.
7. Izraqunati povrxinu jednakokrakog trapeza qije su dijagonale uzajamnonormalne, a du�ina visine je 2.
8. Dokazati identitet sin 3x = 4 sin x sin(60◦ + x) sin(60◦ − x).
9. Odrediti jednaqinu kru�nice koja sadr�i taqke A(1, 1) i B(−2, 2) a centarjoj se nalazi na x−osi.
10. Na koliko naqina mogu da stanu u vrstu tri djeqaka i qetiri djevojqice ada dvije osobe istog pola ne stoje jedna pored druge?
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 100 minuta.
21
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
25.09.2017.
1. Odrediti dvocifreni broj koji je tri puta ve�i od zbira svojih cifara.
2. Uprostiti izrazx+ 1
2x− 2− x− 1
2x+ 2− 4x
x2 − 1+x2 + 1
x2 − 1.
3. Rijexiti nejednaqinu |2x− 3| − |x+ 1| ≥ 5x− 10.
4. Na�i vrijednost realnog parametra m za koju je zbir kvadrata korijenajednaqine x2 −mx+m− 3 = 0 najma�i.
5. Rijexiti jednaqinu 3√8 + x+ 3
√8− x = 1.
6. Rijexiti jednaqinu log6(5 + 6−x) = x+ 1.
7. U trouglu ABC u kome je AB = 4 i BC = 3 te�ixne du�i AM i CN sesijeku pod pravim uglom. Izraqunati du�inu stranice AC.
8. Rijexiti jednaqinu 8 cos4 x = 11 cos 2x− 1.
9. Odrediti modul i argument kompleksnog broja z = i+1 + i
2 + i+
1− i3− i
.
10. Odrediti jednaqinu kru�nice koja dodiruje kru�nicu x2+y2+4x−2y+1 =0 a centar joj je u taqki S(2, 4).
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 100 minuta.
22
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
2.07.2018.
1. Poslije pove�a�a cijene ulaznice broj gledalaca fudbalske utakmice sesma�io za 20% i prihod se sma�io za 12%. Za koliko procenata je pove�anacijena ulaznice?
2. Zbir realnih brojeva a, b, c razliqitih od nule jednak je nuli. Odrediti
vrijednost izraza1
a2 + b2 − c2+
1
b2 + c2 − a2+
1
c2 + a2 − b2.
3. Odrediti parametar m tako da zbir reciproqnih vrijednosti korijena jed-naqine x2 − 2(m− 1)x− 5m+ 1 = 0 bude jednak jedinici.
4. Rijexiti sistem jednaqina x2 + y2 = 3(x− y), xy = (x− y)2.
5. Rijexiti nejednaqinux+ 5
x− 1< x+ 1.
6. Rijexiti jednaqinu log |x|+ log(x+ 2) = 0.
7. U pravouglom trouglu ABC je CD visina na hipotenuzu AB, taqka M jesredixte du�i CD i taqka N sredixte du�i BD. Dokazati da je AM ⊥CN .
8. Rijexiti jednaqinu cos8 x− sin8 x =1
2
(cos 2x− cos2 2x
).
9. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja
(−1 + i√3)15
(1− i)20− (1 + i
√3)15
(1 + i)20.
10. Na�i jednaqinu kru�nice koja dodiruje pravu x−y−2 = 0 u taqki A(1,−1)i prolazi kroz taqku B(3, 0).
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 100 minuta.
23
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
7.09.2018.
1. Na�i sve dvocifrene brojeve koji su za 10 ve�i od trostrukog zbira svojihcifara.
2. Uprostiti izraza+ b
(c− a)(c− b)+
b+ c
(a− b)(a− c)+
c+ a
(b− c)(b− a).
3. Odrediti sve vrijednosti parametra m tako da zbir kvadrata korijena jed-
naqine (m+ 1)x2 − 2mx+m− 1 = 0 bude jednak10
9.
4. Rijexiti sistem jednaqina x2 − xy + y2 = 7, x2 + xy + y2 = 13.
5. Rijexiti nejednaqinu x− 6 <√x+ 6.
6. Rijexiti jednaqinu 3√log3 x− log3 3x− 1 = 0.
7. Dat je pravougaonik sa stranicama a i b (a > b) i oxtrim uglom ϕ izme�u
�egovih dijagonala. Dokazati da je tgϕ =2ab
a2 − b2.
8. Rijexiti jednaqinu ctgx+√2 sinx = 0.
9. Izraqunati
(1 + i
1 + i√3
)30
.
10. Odrediti tangente kru�nice x2 + y2 − 10y = 0 koje prolaze kroz taqku(−1,−2).
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 100 minuta.
24
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
24.09.2018.
1. Ako izme�u cifara dvocifrenog broja upixemo nulu dobija se trocifrenibroj koji je 7 puta ve�i od datog dvocifrenog broja. Na�i taj dvocifrenibroj.
2. Uprostiti izraza3 + b3
a− b+ ab
a− b
− a3 − b3
a+ b− ab
a+ b
.
3. Na�i vrijednost realnog parametra m za koju je zbir kvadrata korijenajednaqine x2 −mx−m− 3 = 0 najma�i.
4. Rijexiti sistem jednaqina x+ y − xy = 1, x2 + y2 − xy = 3.
5. Rijexiti nejednaqinu√2x2 − 3x− 5 < x− 1.
6. Rijexiti jednaqinu 2x + 21−x = 3.
7. Odrediti vrijednost izraza tgx+ ctgx ako je
sinx+ cosx
sinx cosx= m (0 < x <
π
2, m ∈ R).
8. Rijexiti jednaqinu 1− cosx = sin 2x− sinx.
9. Izraqunati
(1 + i
√3
1 + i
)30
.
10. Odrediti tangente kru�nice x2 + y2 + 10y = 0 koje prolaze kroz taqku(−1, 2).
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 100 minuta.
25
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
1.07.2019.
1. Poslije sni�e�a cijene ulaznica za 25% broj gledalaca fudbalske utakmiceje porastao za 40%. Za koliko procenata je porastao prihod od ulaznica?
2. Rastaviti na qinioce polinom x(y2 − z2) + y(z2 − x2) + z(x2 − y2).
3. Uprostiti izraz
√x+
√x2 − y2 −
√x−
√x2 − y2
√x− y
, za x > y > 0.
4. Za koje vrijednosti parametra m je razlika korijena jednaqine 2x2 −mx+m+ 2 = 0 jednaka jedinici?
5. Rijexiti nejednaqinu x− 6 <√x+ 6.
6. Rijexiti jednaqinu log3(x+ 4) + log3(x− 1) = 1 + log3 2.
7. Dokazati da taqke simetriqne ortocentru trougla u odnosu na �egove stran-ice le�e na opisanoj kru�nici trougla.
8. Rijexiti jednaqinu 4 sin4 x+ 7 cos 2x = 1.
9. Kompleksan broj (−√3 + i)5 predstaviti u trigonometrijskom obliku.
10. Odrediti jednaqine zajedniqkih tangenti kru�nica x2+ y2 = 4 i x2+ y2−4y + 3 = 0.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 100 minuta.
26
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
9.09.2019.
1. Za 3 sata jedan qovjek je prexao 3, 5 km vixe od drugog, tako xto je 1 kilo-metar prelazio za minutu br�e. Za koliko minuta je svaki od �ih prelazio1 km?
2. Uprostiti izrazx3 − 8
x2 + 2x+ 4− x4 − 1
x3 + x2 + x+ 1.
3. Odrediti realne brojeve x i y tako da (1,√x,√y) i (1, x − 1, y − x) budu
troqlane aritmetiqke progresije.
4. Odrediti parametar k tako da jedan korijen jednaqine x2−(2k+1)x+k2+2 =0 bude dva puta ve�i od drugog �enog korijena.
5. Rijexiti jednaqinu√20− 2x = |x+ 2|.
6. Rijexiti nejednaqinu log 2
x− 2
x− 3+ log 2 x < 3.
7. Produ�eci krakova AD i BC trapeza ABCD sijeku se u taqki E. Dokazatida se kru�nice opisane oko trouglova ABE i CDE dodiruju u taqki E.
8. Izraqunati (sinα− cosα)(sin β− cos β) ako je sin(α+β) = 1/2 i cos(α−β) =1/3.
9. Rijexiti jednaqinu 1 + 2 sin 2x− 2 cos 2x = tgx.
10. Odrediti sve vrijednosti parametra a > 0 tako da se kru�nice (x− 3a)2 +(y − a)2 = 9a2 i (x− 3)2 + (y − 2)2 = 9 dodiruju.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 100 minuta.
27
UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET
Kvalifikacioni ispit iz matematike
27.09.2019.
1. Dva tijela se kre�u ravnomjerno po kru�noj stazi u istom smjeru. Prvotijelo prelazi jedan krug za 3 sekunde br�e od drugog tijela i dosti�e gaza 90 sekundi. Za koje vrijeme svako tijelo prelazi jedan krug?
2. Odrediti (bez upotrebe kalkulatora) koji je od brojeva a = 2( 3√3 + 3√4) i
b = 3√23 + 3
√33 ve�i.
3. Na�i sve vrijednosti parametra m za koje jednaqinamx− 5
x− 1= x− 4 ima
jedinstveno rjexe�e.
4. Rijexiti sistem jednaqina x3y + xy3 = 30, x2 + y2 = 10.
5. Rijexiti nejednaqinu√5x− x2 ≥ x− 2.
6. Rijexiti jednaqinu log 3 (1 + x) = log 27 (1 + 7x).
7. Na kru�nici polupreqnika 4 date su taqke A, B i C takve da je AB = ACi ∠BAC = 60◦. Na�i rastoja�e centra O te kru�nice od prave BC.
8. Rijexiti jednaqinu 11 sinx+ 3 cos 2x = 7.
9. Neka je ϕ realan broj i z =5 + 4 cosϕ
2 + cosϕ+ i sinϕ. Dokazati da va�i zz =
2z + 2z − 3.
10. U presjeqnim taqkama prave 3x+y−5 = 0 i kru�nice x2+y2−2x+6y+5 = 0konstruisane su tangente na datu kru�nicu. Odrediti ugao izme�u tihtangenata.
Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 100 minuta.