PAGE 15

KULIAH KE 4 :

SEBARAN BINOMIUM Tujuan Umum :

Mampu memahami sebaran peubah acak binomium Tjuan Khusus :

1. Mampu menjelaskan pengertian peubah acak diskret, 2. Mampu menghitung koeffisien binomium,3. Mampu menghitung fungsi peluang binomium.

4.1. Peubah Acak Diskret

Pengukur daya hasil, yaitu produksi, ton per ha dan suvival rate (% ekor per jumlah benih yang ditebar) per ha disebut peubah acak. Peubah acak dapat dipandang sebagai suatu kejadian. Banyaknya ikan yang dapat dipanen per ha bisa merupakan bilangan cacah atau persentase. Bilangan cacah 1,2,3,4 ......... dst. Merupakan nilai-nilai yang diskret. Peubah acak yabg demikian disebut peubah acak diskret. Sedangkan produksi (ton) per ha dapat mengambil nilai yang kontinu, misalnya 2,0 ton 2,5 ton. Peubah acak ini disebut peubah acak kontinu.

Misalkan kita melempar sekeping mata uang, dua sisi, muka (M) dan belakang (B) sebanyak tiga kali. Lambangkan kejadian (peubah acak) ini dengan Y. Dari ketiga lemparan mata uang, ada empat kemungkinan peubah acak Y mengambil nilai :

a. M muncul 3, 2, 1 dan 0 kali, kita gunakan untuk menghitung peluang untuk tiga kali lemparan, P(Y=0), untuk M tidak muncul sama sekali; P(Y=1), untuk M muncul satu kali, P(Y=2); untuk M muncul dua kali dan P(Y=3) untuk M muncul tiga kali. Dalam tiga kali lemparan mata uang, sisi apapun yang muncul pada lemparan pertama, tidak mempengaruhi sisi yang muncul pada lemparan kedua, dan selanjutnya.

b. Oleh karena itu, jika peluang munculnya M dalam sekali lemparan adalah p, sehingga P(M) = p, maka P(B) = 1-p.

c. Dengan melambangkan M1 = kejadian timbulnya sisi M pada lemparan pertama; M2 = kejadian timbulnya sisi M pada lemparan kedua; dan M3 = kejadian timbulnya sisi M pada lemparan ketiga, maka peluang P(Y= 0), P(Y= 1), P(Y = 2), dan P(Y = 3) adalah sebagai berikut :

Tabel 4.1. Nilai peluang P untuk tiga kali lemparan mata uang

Kejadian

Munculnya

MBesarnya Peluang Munculnya M

[ P(M) = p; P(B) = 1-p ]Nilai Peluang

Munculnya

M

M=0, P(Y=0) =

M=1, P(Y=1) =

M=2, P(Y=2) =

M=3, P(Y=3) =

P(B1 ( B2 ( B3) = P(B1) . P(B2) . P(B3) .................

P(M1(B2(B3) ( P(B1(M2(B3) ( P(B1(B2 (M3) = P(M1(B2(B3) + P(B1(M2(B3) + P(B1(B2 (M3) =

P(M1)*P(B2)*P(B3)+P(B1)*P(M2)*P(B3)+P(B1)*P(B2*(M3) = p(1-p)(1-p)+(1-p) p (1-p)+(1-p)(1-p)p = ..................

P(M1(M2(B3) ( P(M1(B2(M3) ( P(B1(M2 (M3) = P(M1(M2(B3) + P(M1(B2(M3) + P(B1(M2 (M3) =

P(M1)*P(M2)*P(B3)+P(M1)*P(B2)*P(M3)+P(B1)*P(M2)*P(M3) = p(p)(1-p)+ p(1-p) (p)+(1-p)(p) p = ..........................

P(M1 ( M2 ( M3) = P(M1) . P(M2) . P(M3) ................. (1-p)3 3p (1-p)23p2 (1-p)

p3

JumlahJumlah = 1

Kejadian Majemuk :

A ( B = Perpotongan A dan B, keajian A dan B terjadi bersama-sama. A ( B = Paduan, kejadian A terjadi, tapi B tidak.4.2 Koeffisien Binomium

Nilai peluang munculnya M di Tabel 4.2, kolom (3) dapat ditulis sebagai berikut

P(Y=0) = (1-p)3 = 1. p0 (1-p) 3-0

P(Y=1) = 3p (1-p)2 = 3. p1 (1-p) 3-1 P(Y=2) = 3p2 (1-p) = 3. p2 (1-p) 3-2

P(Y=3) = p3 = 1. p3 (1-p) 3-3

(4.1)

Kalau kita perhatikan koeffisien nilai P(Y=0), P(Y=1), P(Y=2) dan P(Y=3) yaitu : 1, 3, 3, 1 adalah seperti yang tergambar pada koeffisien binomium di Tabel 3.2. Koeffisien binomium pada persamaan (4.2) masing-masing dilambangkan dengan C(3,0(, C(3,1), C(3,2) dan C(3,3), dimana :

n!

C(n,i) = , untuk i = 1,2,3, .................n

(4.2)

i! (n-1)!

dimana :

n! = 1. 2. 3...................(n-1). n dan

0! = 1

C(3,2) artinya munculnya dua sisi M untuk tiga kali lemparan.Latihan I : Menghitung Koefisien Binomium

3!

Banyaknya kombinasi yang memberikan Y = 2 adalah C(3,2) = = 3 buah.

2! (3-2)!

3x2x1

=--------- = 3 buah

2x1 (1)Tabel 4.2. Koeffisien Binomium Jumlah Lemparan

(n)Koeffisien Binomium

1

2

3

4

5

6

7

8

dsl.

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

dsl.

Sumber : Snedecor (1962) : Statistical Methods, p. 475.

4.3. Fungsi Peluang Binomium

Atas dasar uraian tersebut diatas, maka rumus umum bagi fungsi peluang binomium peubah acak Y mengambil nilai tertentu = y atau ditulis P(Y = y) adalah

P(Y=y) = C(n,y) py (1-p) n-y, untuk y = 0, 1,2, 3, 4, ........................ n (4.3)

0, untuk nilai y lainnya

Dengan dasar perhitungan dan Gambar di box ditunjukkan, jika peluang kedua muka uang sama besar, yaitu p = 0,5, maka dapat diharapkan sisi M muncul sama sering dengan sisi B. Namun jika mata uang berat sebelah, maka salah satu M atau B akan muncul lebih sering. Atas dasar uraian tersebut diatas, suatu peubah acak binomium y adalah peubah acak yang timbul dari suatu prosedur berikut :

a. Sejumlah n kejadian, tiap kejadian dapat menghasilkan sukses atau tidak sukses.b. Kejadian kejadian itu saling independen (bebas).

c. Peluang sukses dalam tiap kejadian tetap sama, yaitu = p dan peluang tidak sukes adalah q = 1-p.

d. Peubah acak Y = banyaknya sukses dalam n kejadian.

Latihan 2 : Sebaran Binomium

Andaikan nilai-nilai P(Y=y) ditentukan oleh nilai n dan p, empat kali (n = 4) lemparan :

a. n = 4 dan p = 0,5

b. n = 4 dan p = 0,9

c. n = 4 dan p = 0,1

Pertanyaan :

a. Hitung nilai-nilai P(Y=y) masing-masing ?

b. Gambarkan hasil perhitungan nilai-nilai yang diperoleh ?

Tabel 4.3. Hasil perhitungan nilai P(Y=y) untuk y = 0 4

(a) n = 4 dan p = 0,5 8 -

7 -

P(Y=0) = C(4,0)(0,5)2 = 0,0625 6 -

P(Y=1) = C(4,1)(0,5)2 = 0,2500 5 -

P(Y=2) = C(4,2)(0,5)2 = 0,3750 4 -

P(Y=3) = C(4,3)(0,5)2 = 0,2500 3 -

P(Y=4) = C(4,4)(0,5)2 = 0,0625 2 -

1 -

Jumlah = 1,0000 -

1 2 3 4

(b) n = 4 dan p = 0,9 9 -

8 -

P(Y=0) = C(4,0)(0,9)0 (0,1)4 = 1(0,0001) = 0,0001 7 -

P(Y=1) = C(4,1)(0,9)1 (0,1)3 = 4(0,0009) = 0,0036 6 -

P(Y=2) = C(4,2)(0,9)2 (0,1)2 = 6(0,0081) = 0,0486 5 -

P(Y=3) = C(4,3)(0,9)3 (0,1)1 = 4(0,0729) = 0,2916 4 -

P(Y=4) = C(4,4)(0,9)4 (0,1)0 = 1(0,6561) = 0,6561 3 -

2-

Jumlah = 1,0000 1-

1 2 3 4

(c) n = 4 dan p = 0,1 9 -

8-

P(Y=0) = C(4,0)(0,1)0 (0,9)4 = 1(0,6561) = 0,6561 7 -

P(Y=1) = C(4,1)(0,1)1 (0,9)3 = 4(0,0729) = 0,2916 6 -

P(Y=2) = C(4,2)(0,1)2 (0,9)2 = 6(0,0081) = 0,0486 5 -

P(Y=3) = C(4,3)(0,1)3 (0,9)1 = 4(0,0009) = 0,0036 4 -

P(Y=4) = C(4,4)(0,1)4 (0,9)0 = 1(0,0001) = 0,0001 3 -

2-

Jumlah = 1,0000 1 -

-

1 2 3 4

Sumber : Nasution dan Barizi (1980) : Metode Statistik , p. 53

Perhatikan dalan box Tabel 4.3. Dengan dasar perhitungan dan Gambar di box ditunjukkan, jika peluang kedua muka uang sama besar, yaitu p = 0,5, maka dapat diharapkan sisi M muncul sama seringnya dengan sisi B. Namun jika mata uang berat sebelah, maka salah satu M atau B akan muncul lebih sering.

Latihan 3 : Menghitung Besarnya Peluang Binomium

Misalkan test multiple choiice terdiri dari 25 pertanyaan. Untuk setiap pertanyaan tersedia lima alternatif jawaban. Seorang mnahasiswa memilih satu jawaban secara acak dan mempunyai peluang mendapatkan jawaban yang benar = 1/5. Pertanyaannya, berapa peluang mahasiswa itu menjawab benar n:

a. Paling banyak lima jawaban.

b. Lebih dari 10 jawaban.

Jawaban :

a. Misalkan y = banyaknya jawaban benar yang diperoleh berdistribusi binomium dengan n = 25 dan p = 1/5 = 0,2.

Dari Tabel binomium P ( y ( 5 ] = B(5; 25; 0,2) = 0,617.

b. Karena kejadian ( y ( 10) adalah komplemen dari kejadian ( y ( 10) , maka P[ y ( 10] = 1- P[ y ( 10] = 1 B(10 ; 25 ; 0,2) = 1 0,994 = 0,006.