KULIAH I

INTEGRAL TAK TENTU Integral tak tentu (antiderivatif) merupakan operasi balikan dari turunan (derivatif).

Definisi: Fungsi F disebut suatu antiturunan dari f pada interval I jika F’(x) = f(x) untuk semua x di I.

Contoh 1. F(x) = xP

4P merupakan suatu antiturunan dari f(x) = 4x P

3PB Bkarena F’(x) = 4xP

3 P=

f(x).

G(x) = xP

4P + 10 juga merupakan suatu antiturunan dari f(x) = 4x P

3PB Bkarena G’(x)

= 4xP

3 P= f(x).

Demikian juga H(x) = xP

4P - 500 juga merupakan suatu antiturunan dari f(x) =

4x P

3PB Bkarena H’(x) = 4xP

3 P= f(x).

Jadi antiturunan dari suatu fungsi adalah tidak tunggal.

Anti turunan dari f(x) dinotasikan dengan f (x)dx∫ .

Teorema A. Aturan Pangkat:

Jika r sebarang bilangan rasional kecuali 1, maka r 1

r xx dx Cr 1

+

= ++∫ .

Teorema B.

sin xdx cos x c dan cos xdx sin x C= − + = +∫ ∫

Teorema C. (Kelinieran).

Andaikan f dan g mempunyai antiturunan dan andaikan k suatu konstan. Maka

1. kf (x)dx k f (x)dx=∫ ∫

2. [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx+ = +∫ ∫ ∫

3. [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx− = −∫ ∫ ∫

Teorema D. (Aturan pangkat yang diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didifferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan –1. Maka

r 1r [g(x)][g(x)] g '(x)dx C

r 1

+

= ++∫

Pengantar Persamaan Differensial Fungsi F(x) merupakan suatu antiturunan dari f(x) jika

f (x)dx F(x) C.= +∫

Dalam hal ini dikatakan bahwa

F’(x) = f(x) atau dF(x) = f(x)dx.

Dengan demikian rumus di atas dapat ditulis:

dF(x) F(x) C.= +∫

Dari tinjauan ini, kita dapat mengintegralkan differensial suatu fungsi untuk mendapatkan

fungsi tersebut (ditambah Konstanta).

Apakah persamaan differensial itu?

Untuk memahami pengertian dari persamaan differensial, perhatikan contoh soal berikut:

Carilah persamaan dari kurva yang melalui titik (-1,2) yang kemiringannya pada setiap

titik sama dengan dua kali absis dari ririk tersebut!

Penyelesaian: Kondisi yang harus dipenuhi di setiap titik (x,y) pada kurva adalah

dy 2xdx

= .

Kita cari suatu fungsi

y = f(x)

yang memenuhi persamaan tersebut dan kondisi tambahan bahwa

y=2 jika x=-1.

Ada dua cara:

Metode 1: Bila persamaan berbentuk

dy/dx=g(x),

kita amati bahwa y harus berupa suatu antiturunan dari g(x), yakni

y g(x)dx= ∫ .

Dalam kasus kita 2y 2xdx x C= = +∫ .

Metode 2: dy/dx dapat dipikirkan sebagai hasil bagi dua differensial. Jika kedua ruas dari

dy/dx = 2x

dikalikan dengan dx, diperoleh

dy=2xdx,

Jika kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan akan diperoleh:

21 22

2 12

dy 2xdx

y C x C

y x C C

y x C.

=

+ = +

= + −

= +

∫ ∫

Hasil

y = xP

2P+C

mewakili keluarga kurva seperti Gambar di bawah.

Jika kita ingin mencari kurva yang melalui titik (-1,2), maka diperoleh:

2=(-1)P

2P+C,

sehingga C=1. Jadi kurva yang dicari mempunyai persamaan

y=xP

2P+1.

y

y=xP

2P+1

x

Persamaan

dy/dx=2x

disebut suatu persamaan differensial. Contoh-contoh persamaan differensial:

dy/dx=2xy+sinx

ydy=(xP

3P+1)dx

2

2

d y dy3 2xy 0.dx dx

+ − =

Jadi suatu persamaan differensial dapat didefinisikan sebagai suatu persamaan yang

memuat suatu fungsi yang tidak diketahui beserta turunan-turunannya.

Menyelesaikan suatu persamaan differensial adalah mencari fungsi yang tidak diketahui

tersebut.

Pada umumnya tidak mudah untuk menyelesaikan suatu persamaan differensial dan

biasanya digunakan metode tertentu untuk menyelesaikan persamaan differensial yang

mempunyai bentuk tertentu. Bentuk persamaan differensial yang paling sederhana

adalah bentuk terpisah atau yang dapat dipisahkan. Contoh: 2

2

dy x 3xdx y

+=

dapat dipisahkan menjadi

yP

2Pdy=(x+3xP

2P)dx,

yang dapat diselesaikan dengan pengintegralan: 2 2y dy= (x+3x )dx,∫ ∫

untuk mendapatkan selesaian

233

3xy 3x C2

= + +

Contoh soal:

Dekat permukaan bumi, percepatan benda jatuh

karena gravitasi adalah 32 kaki/dtP

2P (tahanan udara

diabaikan). Jika suatu benda dilempar ke atas dari

suatu ketinggian 1000 kaki dengan kecepatan 50

kaki/dt, cari kecepatan dan tingginya setelah 4 detik.

Penyelesaian: Tinggi s diukur secara positif ke arah atas. Maka mula-mula v=ds/dt

positif (s membesar) tetapi a=dv/dt negatif. Di titik awal (t=0),dv/dt=-32 dengan syarat

tambahan v(0)=50 dan s(0)=1000. Sehingga

1000 kaki

v 32dt 32t C.= − = − +∫

Karena v(0)=50, maka C=50, sehingga v=-32t+50. Karena v=ds/dt, maka kita memiliki

persamaan differensial

ds/dt=-32t+50,

atau

ds=(-32t+50)dt.

Dengan pengintegralan, diperoleh

s=-16tP

2P+50t+K.

Karena s(0)=1000, maka K=1000, sehingga

s=-16tP

2P+50t+1000.

Pada t= 4, diperoleh

v(4)=- 32(4)+50=-78kaki/dt

s(4) =-16(4)P

2P+50(4)+1000=944.

Secara umum, jika v(0)=vB0B dan s(0)=s B0B, maka akan diperoleh rumus benda jatuh:

a=-32

v=-32t+vB0

s=-16tP

2P+vB0 Bt+s B0B.

NOTASI SIGMA

a B1B+a B2 B+aB3 B+…+a BnB = n

ii 1

a=∑

c+ c + c + ... + c = nc

n kali

Teorema

Andaikan {aBiB} dan {bBiB} menyatakan dua barisan dan c konstanta, maka:

1. n n

i ii 1 i 1

ca c a= =

=∑ ∑

2. n n n

i i i ii 1 i 1 i 1

(a b ) a b= = =

+ = +∑ ∑ ∑

3. n n n

i i i ii 1 i 1 i 1

(a b ) a b= = =

− = −∑ ∑ ∑

Beberapa rumus

1. n

i 1

n(n 1)i2=

+=∑

2. n

2

i 1

n(n 1)(2n 1)i6=

+ +=∑

3. 2n

3

i 1

n(n 1)i2=

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Luas

Dua permasalahan geometri yang dapat memotivasi kita ke permasalahan kalkulus adalah

masalah garis singgung dan luas yang dapat dikaitkan dengan masalah turunan dan

integral tentu.

Sifat-sifat luas:

1. Luas sebuah daerah rata adalah bilangan riil nonnegatif.

2. Luas persegipanjang adalah hasil kali panjang dan lebar

3. Daerah yang kongruen memiliki luas yang sama

4. Luas dari gabungan dua daerah yang hanya berimpit menurut satu ruas garis sama

dengan jumlah luas amasing-masing

5. Jika satu daerah terkandung dalam daerah yang kedua, maka luas daerah pertama

kurang dari luas daerah kedua.

Luas suatu lingkaran dapat didekati dengan luas segibanyak beraturan yang termuat

didalamnya atau yang memuatnya.

Luas empat persegi panjang dan penggunaan persegi panjang untuk

mengaproksimasi luas daerah di bawah kurva

Luas persegi panjang dapat ditentukan dengan L= l x t, dengan l = lebar dan t = tinggi.

Jika kita ingin mewarnai suatu dinding yang bagian atasnya dibatasi oleh kurva y = xP

2P ,

bagian alasnya rata dan bagian kiri dibatasi oleh garis x = 2 dan bagian kanannya dibatasi

oleh x = 5 berapa luas dinding yang akan kita warnai?

Kita dapat memperkirakan luas dinding tersebut dengan mengirisnya menjadi 6 buah

empat persegipanjang yang sama lebar. Karena alas dinding tersebut adalah 5 - 2, dan

ada 6 menjadi 6 buah empat persegipanjang, lebar masing-masing empat persegipanjang

adalah (5 - 2)/6 = 0,5. Tinggi masing-masing empat persegipanjang adalah sama dengan

koordinat y dari bagian kiri masing-masing empat persegipanjang. Koordinat x- nya

adalah

2 + 0(.5), 2 + 1(.5), 2 + 2(.5), 2 + 3(.5), 2 + 4(.5), 2 + 5(.5) sehingga koordinat y nya adalah

(2 + 0(.5))P

2 P,(2 + 1(.5))P

2 P, (2 + 2(.5))P

2 P, (2 + 3(.5))P

2 P, (2 + 4(.5))P

2 P, (2 + 5(.5))P

2P

Kita lihat bahwa empat persegi panjang ke-iP

Pmemiliki koordinat y:

tinggi = (2 + i(.5)) P

2P = 4 + 2i + .25i P

2P

Untuk menghitung luas dari empat persegi panjang ke-i kita kalikan tinggi dengan alasnya:

(4 + 2i + .25i P

2P)(.5)

Untuk memperoleh luas totalnya kita jumlahkan:

Σ[(4 + 2i + .25iP

2P)(.5)]

Nilai di atas merupakan suatu batas bawah luas empat persegi panjang ke-i.

Latihan: Tentukan suatu batas atas luas empat persegi panjang ke-i.

Jumlah Kiri (Left Sum) dan Jumlah Kanan (Right Sum)

JIka kita ambil limit nilai jumlah kiri dan jumlah kanan untuk i mendekati tak hingga, diperoleh:

Left Sum = limΣ f(xBi-1B)ΔxBi

Right Sum

Catatan: f(x) dapat bernilai negatif.

Untuk menghitung nilai integral tak tentu, biasanya digunakan limit jumlah kiri dan jumlah kanan.

Contoh

Gunakan jumlah kanan untuk menghitung

Penyelesaian:

Jumlah kanannya adalah:

Luas di antara dua kurva

Luas daerah di bawah kurva dan diatas sumbu x dapat dihitung dengan menggunakan integral. Bagaimana jika daerahnya dibatasi

oleh dua buah kurva? Jika dimiliki dua buah kurva

y = f(x) dan y = g(x)

sedemikian hingga f(x) > g(x) maka luas daerah diantaranya yang dibatasi oleh garis x = a dan x = b adalah

Untuk mengingatnya dapat ditulis;

Contoh: Tentukan luas di antara kurva-kurva y = x P

2P

dan y = x P

3P

Penyelesaian: Pertama-tama perlu dicatat

bahwa kedua kurva berpotongan di titik-titik (0,0) dan (1,1). Kemudian kita ketahui bahwa dalam interval ini x P

3P < xP

2P

Sehingga luasnya adalah

= 1/3 - 1/4 = 1/12.

Latihan

A. Tentukan luas di antara kurva-kurva y = x P

2P dan y = x

B. Tentukan luas di antara kurva-kurva y = xP

2P - 4 dan y = -2x

C. Tentukan luas di antara kurva-kurva y = 2/x dan y = -x + 3

D. Tentukan luas di antara kurva-kurva y = 3 P

xP dan y = 2x + 1

Luas yang dibatasi oleh dua buah Fungsi dari y

Contoh: Tentukan luas di antara kurva-kurva x = 1 - y P

2P

dan x = y P

2P - 1

Di sini kurva-kurva itu membatasi daerah dari kiri dan kanan. Kita gunakan rumus

Untuk contoh di atas:

( ) ( ) ( )

1 12 2 21 1

1 1 2y y dy y dy− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

− − − = −∫ ∫

13

1

2 2 2 82 2 23 3 3 3y y−

⎛ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = − − − − =

Contoh: Tentukan luas di antara kurva-kurva y = 0 dan y = 3(xP

3P - x)

Penyelesaian: Jika digambarkan grafiknya, kita mengetahui bahwa kurva-kurva tersebut saling berpotongan secara bergantian berada di atas dan dibawah. Karena itu integralnya dipisahkan menjadi dua:

=

Penerapan

Misal y = f(x) fungsi demand (permintaan) untuk suatu produk dan y = g(x) fungsi pasokan (supply). Maka didefinisikan titik kesetimbangan (equilibrium point) sebagai perpotongan antara kedua kurva tersebut. Surplus konsumen (consumer surplus) didefinisikan sebagai luas di atas nilai keseimbangan dan dibawah kurva permintaan , sedang surplus produsen (producer surplus) didefinisikan sebagai luas daerah di bawah

nilai keseimbangan dan di atas kurva pasokan. Contoh: Tentukan surplus produsen untuk kurva permintaan f(x) = 1.000 – 0,4xP

2P

dan kurva pasokan g(x) = 42x

Penyelesaian Pertama-tama ditentukan titik kesetimbangan: Ambil 1,000 - 0.4x P

2P = 42x

atau 0.4x P

2P + 42x - 1,000 = 0

Diperoleh x = 20 dan

L1L2

L3

y = 42(20) = 840 Integralkan

( )

2020 2

0 0840 42 840 21x dx x x⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦− = −∫

= 8400

DEFINISI INTEGRAL TENTU Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup [a, b]. Jika

| | 0 1

lim ( )n

i iP i

f x x→

=∑ ada, maka dikatakan bahwa f terintegral pada [a, b]. Lebih

lanjut, integral tentu f dari a sampai b adalah ( )b

a

f x dx∫ =| | 0 1

lim ( )n

i iP i

f x x→

=∑ .

KAITAN ANTARA INTEGRAL TENTU DAN LUAS y y=f(x)

a b x ( )b

a

f x dx∫ = Luas L

a c d b x ( )b

a

f x dx∫ =Luas(L1-L2+L3)

BEBERAPA SIFAT INTEGRAL TENTU:

( )a

a

f x dx∫ = 0

L

( )b

a

f x dx∫ = - ( )a

b

f x dx∫ , a>b.

KETERINTEGRALAN SUATU FUNGSI: Jika f terbatas pada [a, b] dan kontinu kecuali pada sejumlah hingga titik-titik pada [a, b], maka f terintegral pada [a, b]. Beberapa contoh fungsi terintegral pada [a,b] adalah:

• fungsi polinom, • fungsi sinus dan cosinus, • fungsi Rasional, asalkan f terdefinisi pada [a, b].

TEOREMA DASAR KALKULUS Teorema Dasar Kalkulus sangat bermanfaat untuk menghitung nilai integral

tentu karena kita tidak perlu menghitung nilai | | 0 1

lim ( )n

i iP i

f x x→

=∑ seperti pada

definisi integral tentu di atas. Teorema A (Teorema Dasar Kalkulus): Andaikan f kontinu pada [a, b] dan andaikan F sebarang antiturunan dari f

disana. Maka ( )b

a

f x dx∫ = F(b) – F(a).

KELINIERAN INTEGRAL TENTU: Teorema B: Andaikan f dan g terintegral pada [a, b] dan k konstan, maka kf dan f+g terintegral pada [a, b] dan berlaku:

• ( )b

a

kf x dx∫ = k ( )b

a

f x dx∫

• [ ( ) ( )]b

a

f x g x dx+∫ = ( )b

a

f x dx∫ + ( )b

a

g x dx∫

• [ ( ) ( )]b

a

f x g x dx−∫ = ( )b

a

f x dx∫ - ( )b

a

g x dx∫ .

SIFAT PENAMBAHAN SELANG: Teorema C:

Jika f terintegral pada suatu selang yang mengandung titik-titik a, b dan c,

maka ( )c

a

f x dx∫ = ( )b

a

f x dx∫ + ( )c

b

g x dx∫ ,

Bagaimanapun urutan dari a, b, dan c. SIFAT PEMBANDINGAN Teorema D: Jika f dan g terintegral pada [a, b] dan jika f(x) < g(x) untuk semua x dalam

[a, b], maka ( )b

a

f x dx∫ ≤ ( )b

a

g x dx∫ .

g(x) f(x) a b SIFAT KETERBATASAN Teorema E: Jika f terintegral pada {a, b] dan jika m ≤ f(x) ≤ M, untuk semua x dalam [a,

b] maka m(b-a) ≤ ( )b

a

f x dx∫ ≤ M(b-a).

M f(x) m a b x PENDIFFERENSIALAN INTEGRAL TENTU TERHADAP BATAS ATASNYA Teorema:

Andaikan f kontinu pada [a, b] dan andaikan x sebuah (variabel) titik dalam

[a, b]. Maka DBxB[ ( )x

a

f t dt∫ ]=f(x).

y=f(t)

( )x

a

f t dt∫

a x b t TEOREMA NILAI RATA-RATA UNTUK INTEGRAL Teorema: Jika f kontinu pada [a, b], maka terdapat suatu bilangan c diantara a dan b

sedemikian hingga ( )x

a

f t dt∫ = f(c)(b-a).

t=f(t) a c b