ks091206 kalkulus dan aljabar linear eigen value...
TRANSCRIPT
KS091206KS091206KS091206KS091206
KALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Eigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen ValueEigen Value
Eigen VectorEigen VectorEigen VectorEigen Vector
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan pertemuan ini
mahasiswa diharapkan :
– Dapat menghitung eigen value dan eigen
vector suatu matriks
Page 2Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 2
vector suatu matriks
– Dapat mengetahui contoh aplikasi dari eigen
value dan eigen vektor suatu matriks
eigenvalues eigenvectors
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR3
eigenvectors
Definisi:
Matriks A (n×n); x ∈ Rn dan Ax = λx
maka λ disebut eigenvalue A, dan x disebut eigenvector dari A yang “berpasangan” dengan λ
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A ?
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR4
eigenvalue(s) dari matriks A ?
1. Bentuk persamaan karakteristik determinan (λI – A ) = 0(akan terbentuk persamaan derajat n)
2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A
Jika diketahui matriksA (n×n), maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = λ x
Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR5
Vekto x = 1 adalah vektor eigen dari A = 3 0
2 8 -1
Yang bersesuain dengan nilai eigen λ = 3, karena:
Ax = 3 0 1 = 3 = 3x
8 -1 2 6
Jika diketahui matriks A (n ××××n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A ?
1. Bentuk persamaan karakteristik determinan ( λλλλI – A ) = 0 (akan terbentuk persamaan derajat n)
2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A
Contoh: A = 3 0 → (λλλλI – A) = λλλλ–3 0–0 = λλλλ–3 0
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR6
8 –1 0–8 λλλλ+1 –8 λλλλ+1
Det ( λλλλI – A ) = 0 → ( λλλλ – 3 ) ( λλλλ + 1 ) + 0 = 0
maka λλλλ1 = 3 & λλλλ2 = –1
Contoh: A = 3 2 → (λλλλI – A) = λλλλ–3 0–2 = λλλλ–3 -2
-1 0 0-(-1) λλλλ-0 1 λλλλ
det (λλλλI – A) = det λλλλ–3 -2 = 0
1 λλλλ
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR7
= λλλλ2 – 3 λλλλ + 2 = 0
λλλλ = 1 dan λλλλ = 2
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR8
Definisi:
Matriks A (n× n); x ∈ Rn dan Ax = λλλλx
makaλλλλ disebuteigenvalue A, danx disebuteigenvector dari A yang “berpasangan” denganλλλλ
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencarieigenvector(s) darimatriksA ?
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR9
eigenvector(s) darimatriksA ?
Setelaheigenvalue λλλλk dari matriks A diperoleh, makaeigenvector(s) xk yang “berpasangan” denganλλλλkditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) xk = 0
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ?
Setelah eigenvalue λλλλk dari matriks A diperoleh, maka eigenvector xk yang “berpasangan” dengan λλλλk ditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) xk = 0
Contoh: dari soal terdahulu A = 3 0 λλλλ1 = 3 & λλλλ2 = –1
8 –1
eigenvector x1 : (λλλλ1I – A ) x1 = 0 → (3I – A ) x1 = 0
Untuk λλλλ = 3
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR10
Untuk λλλλ1 = 3
3–3 0–0 x11 = 0
0–8 3+1 x12 0
0 0 x11 = 0 → x12 = 2x11
–8 4 x12 0 → x11 = skalar s
eigenspace = himpunan eigenvector x1 = { ( s , 2s ) }
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ?
Setelah eigenvalue λλλλk dari matriks A diperoleh, maka eigenvector xk yang “berpasangan” dengan λλλλk ditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) xk = 0
Contoh: dari soal terdahulu A = 3 0 λλλλ1 = 3 & λλλλ2 = –1
8 –1
eigenvector x2 : (λλλλ2I – A ) x2 = 0 → (–1 I – A ) x2 = 0
Untuk λλλλ1 = -1
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR11
Untuk λλλλ1 = -1
–1 – 3 0 – 0 x21 = 0
0 – 8 –1+ 1 x22 0
– 4 0 x21 = 0 → x21 = 0
–8 0 x22 0 → x22 = skalar s
eigenspace = himpunan eigenvector x2 = { ( 0 , s ) }
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR12
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR13
Contoh:
Carilah Eigen Value (λλλλ) dari:
1.
2.
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR14
2.
3.
Diagonalisasi:
Matriks A (n ×××× n)
akan dicari matriks P yang invertibel
sedemikian sehingga P–1AP = matriks diagonal
Matriks A disebut diagonalizable
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR15
Matriks P disebut mendiagonalisasi (diagonalizes) matriks A
Teorema:Matriks A (n × n)
Matriks A disebut diagonalizable ↔ A memiliki n eigenvectorsyang linearly independent
Algoritma untuk menentukan matriks P
Matriks A (n ×××× n) diagonalizable, maka langkah-langkah untuk menentukan P sbb.:
1. Bentuk fungsi karakteristik determinan (λλλλI – A ) = 0
2. Tentukan eigenvalues dari A: λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR16
1 2 3 n
3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn tersebut
4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas
5. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis tersebut sebagai vektor kolom
Contoh:
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR17
Diagonalisasi
Akan dibuktikan bahwa
EIGEN VALUE DAN EIGEN
VECTOR18
Eigen Vector
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR19
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR20
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR21
Karena A adalah matrix 3x3 dan hanya ada 2 vektor basis, maka A tidak diagonalizable
Diagonalisasi Ortogonal:
Matriks A (n ×××× n)
akan dicari matriks P yang ortogonal (P–1 = PT)
sedemikian sehingga P–1AP = PTAP = matriks diagonal
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR22
sedemikian sehingga P AP = P AP = matriks diagonal
Matriks A disebut orthogonally diagonalizable
Matriks P disebut mendiagonalisasi secara ortogonal (orthogonally diagonalizes) matriks A
Algoritma untuk menentukan matriks P
Matriks A (n ×××× n) orthogonally diagonalizable, maka langkah-langkah untuk menentukan P sbb.:
1. Bentuk fungsi karakteristik determinan (λλλλI – A ) = 0
2. Tentukan eigenvalues dari A: λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn
3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR23
3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3, …., λλλλn tersebut
4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas
5. Aplikasikan metode Gram-Schmidt untuk mendapatkan basis-basis ortonormalnya
6. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis hasil langkah 5 tersebut sebagai vektor kolom
Teorema:Jika matriks A (n ××××n), maka yang berikut ini ekivalen
a) Matriks A simetrik
b) Matriks A orthogonallly diagonalizable
c) Matriks A memiliki n eigenvectorsyang ortonormal
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR24
c) Matriks A memiliki n eigenvectorsyang ortonormal
Jika a) benar maka b) dan c) benar, dsb
Jika a) salah maka b) dan c) salah, dsb
Contoh:
A = 4 2 2
2 4 2
2 2 4
determinan ( λλλλI – A ) = 0 →→→→ ( λλλλ – 2 )2 ( λλλλ – 8 ) = 0
eigenvector x1 : (λλλλ1I – A ) x1 = 0 →→→→ ( 2I – A ) x1 = 0
–2 –2 –2 0 →→→→ 1 1 1 0
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR25
–2 –2 –2 0 →→→→ 1 1 1 0
–2 –2 –2 0 0 0 0 0
–2 –2 –2 0 0 0 0 0
eigenspace (λλλλ1)
– x12 – x13 = x12 –1 + x13 –1
x12 1 0
x13 0 1
Contoh:
A = 4 2 2
2 4 2
2 2 4
determinan ( λλλλI – A ) = 0 → ( λλλλ – 2 )2 ( λλλλ – 8 ) = 0
eigenvector x2 : (λλλλ2I – A ) x2 = 0 → ( 8I – A ) x2 = 0
4 –2 –2 0 → 2 –1 –1 0
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR26
4 –2 –2 0 → 2 –1 –1 0
–2 4 –2 0 0 1 –1 0
–2 –2 4 0 0 0 0 0
eigenspace (λλλλ2)
x23 = x23 1
x23 1
x23 1
Basis eigenspace (λλλλ1)
–1 , -1 dengan Gram-Schmidt –1/√√√√2 , –1/√√√√6
1 0 & normalisasi 1/√√√√2 –1/√√√√6
0 1 0 2/√√√√6
Basis eigenspace (λλλλ2)
1 dengan Gram-Schmidt 1/√√√√3
→
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR27
1 & normalisasi 1/√√√√3
1 1/√√√√3
Maka matriks P yang –1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3
orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3
matriks (A) adalah 0 2/√√√√6 1/√√√√3
→
A = 4 2 2
2 4 2
2 2 4
Maka matriks P yang –1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3
orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3
EIGEN VALEU DAN EIGEN
VEKTOR28
orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3
matriks (A) adalah 0 2/√√√√6 1/√√√√3
CONTOH:
Sistem persamaan perpindahan penduduk,
untuk n ≥ 0
Dalam hal ini :
1
1
0,85 0,10
0,15 0,90n n n
n n n
C C S
S C S+
+
= += +
nn
n
Cx
S
=
Page 29Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 29
Matriks transisinya :0,85 0,10
0,15 0,90A
=
Persamaan karakteristik dari A :
Persamaan karakteristik dari A :
( )( )2
17 9 3 10;
20 10 20 10
17 20 9 10 3 0
200 350 150 0
λ λ
λ λ
λ λ
− − − =
− − − =
− + =
Page 30Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 30
( )( )
2
2
1 2
200 350 150 0
4 7 3 0
1 4 3 0 1, 0, 75
λ λλ λλ λ λ λ
− + =− + =
− − = → = =
*) Untuk λ1, pers. (A-λI)= 0
*) Untuk λ2 = 0,75, pers. (A-λI)=0
( )1
0,15 0,10 02,3 ,
0,15 0,10 0
xx S
y
− = → = −
Page 31Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 31
( )20,10 0,10 0
1,1 ,0,15 0,15 0
xx S
y
= → = −
1 1
1 02 1 1 11
, , ,33 1 3 250
4
A PDP P D P− − − = = = = −
30
4
k ≈
untuk k >>
Page 32Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 32
1 02 1 1 11
33 1 3 2504
k kA
− = −
2 1 1 0 1 1 2 21 1
3 1 0 0 3 2 3 35 5
− = = −
( )00 0 0
0
2 2 0,413 3 0,65
kk
Cx A x C S
S
= ≈ = +
Dengan k yang cukup besar,
• Untuk waktu yang lama (k >>) karena vector
(0,4,0,6) dengan λ=1, pembagian penduduk antara
kota dan pinggiran tidak mengalami perubahan lagi,
yaitu menjadi 40% berada di kota dan 60% berada di
pinggiran
Page 33Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 33
LATIHAN:
1. a. A = 19 -9 -6
25 -11 -9
17 -9 -4
b. A = -1 4 -2
-3 4 0
-3 1 3
Tentukanlah apakah A dapat didiagonalisasi.
Jika ya, maka carilah matriks P yang mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Page 34Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 34
-3 1 3
2. a. A = 5 0 0
1 5 0
0 1 5
b. A = 0 0 0
0 0 0
3 0 1