Sveuciliste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Diplomski studij matematike

Kruno Strazanac

Americke opcije i problem optimalnog zaustavljanja

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Diplomski studij matematike

Kruno Strazanac

Americke opcije i problem optimalnog zaustavljanja

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Nenad Suvak

Osijek, 2012.

Sadrzaj

Uvod 1

1 Financijska motivacija i osnovne definicije 2

1.1. Osnovne definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Ekonomski pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Matematicki i financijski pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Opis modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Cox-Ross-Rubinsteinov model (CRR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Americke opcije 9

2.1. Americke opcije u diskretnom vremenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1. Teorija optimalnog zaustavljanja u diskretnom vremenu . . . . . . . . . 10

2.1.2. Optimalno vrijeme zaustavljanja u konacnom vremenu . . . . . . . . . 20

2.1.3. Americka call opcija u diskretnom vremenu . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.4. Primjer: vrijeme izvrsenja americke call opcije . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.5. Americka put opcija u diskretnom vremenu . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.6. Primjer: vrijeme izvrsenja americke put opcije . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Pregled osnovnih rezultata americkih opcija u neprekidnom vremenu . . . . . 31

2.2.1. Americka put opcija bez vremena dospijeca . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. Americka put opcija s vremenom dospijeca T . . . . . . . . . . . . . . 33

Literatura 36

Sazetak 37

Title and summary 38

Zivotopis 39

Uvod

Glavna zadaca ovog rada je opisati metode i tehnike kojima pronalazimo optimalno vrijeme

izvrsenja americke opcije.

U prvom dijelu opisani su osnovni ekonomski i matematicki pojmovi koristeni u radu. Ovim

dijelom uvodimo i definiramo problematiku trgovanja financijskom imovinom na financijskim

trzistima u diskretnom vremenu, te opisujemo potrebu uvodenja opcija na financijsko trziste.

Detaljno su predstavljeni matematicki modeli kojima su u radu opisana trzista na kojima se

odvija trgovanje americkim tipom opcija.

U drugom dijelu definirane su europske i americke opcije, te je opisana osnovna razlika

izmedu njih. Pomocu opisane matematicke teorije optimalnog zaustavljanja pronalazimo op-

timalno vrijeme izvrsenja americke call i put opcije u diskretnom vremenu koje za cilj ima

maksimizirati prihod vlasnika opcije. Pomocu primjera na anliticki je nacin ilustrirana te-

meljna problematika ovog rada i njezino rjesenje.

Iako se u realnom svijetu ne trguje u neprekidnom vremenu na kraju rada smo predstavili

osnovne rezultate odredivanja optimalnog vremena izvrsenja americke opcije u neprekidnom

vremenu. Matematicka teorija, problematika i rjesenja daju korisne rezultate primjenjive na

odluke investitora koji mu sugeriraju kada intervenirati prilikom trgovanja opcijama.

1

Poglavlje 1

Financijska motivacija i osnovnedefinicije

U ovom poglavlju definirat cemo osnovne pojmove matematickih financija. Objasnit cemo

sto je financijsko trziste i kako se na njemu trguje, te potrebu uvodenja opcija na njega. Opisat

cemo financijske modele koji ce biti koristeni u radu i objasniti vjerojatnosne metode i tehnike

potrebne za njihovo razumijevanje. Napomenimo da je primjena matematike u financijskom

modeliranju neophodna za uspjesno upravljanje sofisticiranim oblicima financijske imovine i

ucesnicima na trzistu na eksplicitan nacin prikazuje mnoge vrlo kompleksne zakonitosti prema

kojima se odvija trgovanje. Iako su matematicki modeli gruba aproksimacija nepredvidivosti

i slozenosti stvarnih financijskih trzista oni nam daju konkretan opis posljedica koje trzista

ostavljaju na suvremenu ekonomiju i drustvo.

1.1. Osnovne definicije

1.1.1. Ekonomski pojmovi

U ovom dijelu definirat cemo osnovne ekonomske pojmove koji ce biti koristeni u radu.

Financijsko trziste (engl. financial market) definira mjesta, osobe, instrumente, tehnike

i tokove koji omogucavaju razmjenu novcanih viskova i manjkova, tj. novca, kapitala i deviza.

Ona se obicno dijele na trziste novca i kratkorocnih vrijednosnih papira, trziste kapitala i

devizno trziste.

Danas u praksi postoji mnogo razlicitih trzista kao sto su trzista dionica, obveznica,

drzavnih vrijednosnih papira, kredita, opcijskih i futures trzista, trzista potrazivanja po kre-

ditnim karticama, leasinskim poslovima i dr.

U ovom radu govorit cemo o modelu financijskog trzista na kojem se trguje osnovnim i

izvedenim financijskim instrumentima. Od osnovnih financijskih instrumenata kao nerizicnu

imovinu cemo koristiti novac i drzavne obveznice. Razlog zasto je novac nerizicna financijska

imovina lezi u cinjenici sto novac ulozen u banku uz fiksnu efektivnu kamatnu stopu donosi

2

siguran, unaprijed poznat povrat. Drzavne obveznice takoder donose siguran i unaprijed

poznat povrat i zbog toga su nerizicna financijska imovina. Nadalje, od osnovnih financijskih

instrumenata promatrat cemo dionice (one su rizicna imovina jer ne donose siguran i unaprijed

poznat povrat). Investitori koji ulazu u rizicnu imovinu ocekuju veci povrat nego kod nerizicne

imovine i zbog toga su za te svoje odluke i predvidanja spremni preuzeti rizik. Da bi se smanjio

preuzeti rizik na financijska trzista su uvedene izvedenice (derivativi) ili preciznije izvedeni

financijski instrumenti. Izvedenice ili derivativi (engl. derivatives) se nazivaju zbog toga sto

je njihova cijena, odnosno vrijednost, izvedena iz cijene osnovnih financijskih instrumenata.

U izvedenice pripadaju forward, futures, swaps ugovori, vanilla opcije (europske, americke),

azijske opcije, granicne opcije i dr. U ovom radu od izvedenica cemo koristiti vanilla opcije

u koje spadaju europske i americke opcije, te cemo objasniti na koji nacin opcije utjecu na

smanjivanje rizika prilikom trgovanja na financijskom trzistu. Buduci su americke opcije glavni

dio izucavanja ovog rada definicije i detalje vezane uz trgovanje opcijama dat cemo u poglavlju

2.

Radi lakseg pregleda financijskih imovina koje cemo koristiti u radu promotrite sljedecu

shemu.

Slika 1.1: Shema financijskih imovina koristenih u radu

1.1.2. Matematicki i financijski pojmovi

U ovom dijelu definirat cemo osnovne matematicke pojmove i koncepte koji ce biti koristeni

u radu za modeliranje u diskretnom vremenu.

Vrijednost nerizicne imovine (novca ili drzavnih obveznica) koju smo opisali u prethodnom

poglavlju poznata je u bilo kojem buducem trenutku:

• u trenutku t = 0 vrijednost je poznata konstanta:

S00 = C;

3

• a u trenutku t > 0 vrijednost racunamo na sljedeci nacin:

S0t = C(1 + r)t,

gdje je r efektivna kamatna stopa. Dakle, S0t predstavlja vrijednost nerizicne (nulte)

imovine u trenutku t.

Vrijednost rizicne imovine (pretpostavimo da promatramo d dionica) nije unaprijed poz-

nata:

• u trenutku t = 0 vrijednost je poznata konstanta:

Si0, i = 1, . . . , d, d ∈ N;

• a u trenutku t > 0 je neizvjesna i modeliramo ju nenegativnom slucajnom varijablom:

Sit , i = 1, . . . , d, d ∈ N,

tj. Sit je vrijednost i-te imovine u trenutku t.

St = (Sit , i = 1, . . . , d) je vektor cijena financijske imovine u trenutku t, a (St, t = 0, . . . , T )

je proces s vrijednostima u Rd+1 kojim modeliramo kretanje cijena imovine kroz diskretno

promatrano vrijeme.

Definirajmo pojmove filtracije, adaptiranog i predvidivog slucajnog procesa.

Definicija 1.1. Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Familija σ-algebri F = Fnn≥0 takva

da vrijedi

Fn ⊆ Fn+1, ∀n ≥ 0

naziva se filtracija.

Filtracija je rastuci niz σ-algebri koji nam omogucuje modelirati sve vecu kolicinu infor-

macija o trzistu koje prikupljamo u diskretnim vremenskim trenucima n = 0, 1, 2, . . .

Definicija 1.2. Za slucajni proces (Xn, n ≥ 0) kazemo da je adaptiran na filtraciju F =

Fnn≥0 ako je Xn izmjeriva u odnosu na Fn za svaki n ≥ 0.

Definicija 1.3. Za slucajni proces (Hn, n ≥ 1) kazemo da je predvidiv u odnosu na filtraciju

F = Fnn≥0 ako je Hn izmjeriva u odnosu na Fn−1 za svaki n ≥ 1.

Definirajmo pojam martingala u diskretnom vremenu, te navedimo njegova svojstva.

Definicija 1.4. (Martingal u diskretnom vremenu)

Za slucajni proces (Xn, n ≥ 0) na filtriranom vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,F, P ) za koji

je E[|Xn|] <∞, ∀n ≥ 0, a koji je adaptiran na filtraciju F, kazemo da je

4

• martingal ako E(Xn+1|Fn) = Xn g.s. ∀n ≥ 0,

• supermartingal ako E(Xn+1|Fn) ≤ Xn g.s. ∀n ≥ 0,

• submartingal ako E(Xn+1|Fn) ≥ Xn g.s. ∀n ≥ 0.

Propozicija 1.1. (Svojstva martingala)

Neka je (Xn, n ≥ 0) integrabilan slucajni proces (tj. za njega je E[|Xn|] < ∞, ∀n ≥ 0)

adaptiran na filtraciju F. Tada vrijedi:

1. Slucajni proces (Xn, n ≥ 0) je martingal ⇔ E(Xk|Fm) = Xm, ∀m ≤ k.

2. Slucajni proces (Xn, n = 0, . . . , T ) je martingal ⇔ E(XT |Fm) = Xm, ∀m.

3. Ako je (Xn, n ≥ 0) martingal tada je EXk = EX0, ∀k.

4. Ako su (Xn, n ≥ 0) i (Yn, n ≥ 0) martingali u odnosu na filtraciju F tada je i (Xn +

Yn, , n ≥ 0) martingal.

Definirajmo sad pojam strategije trgovanja.

Definicija 1.5. Slucajni proces ϕ = ϕt, t = 1, . . . , T = (ϕ0t , ϕ

1t . . . , ϕ

dt ), t = 1, . . . , T

na filtriranom vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,F,P) s vrijednostima u Rd+1 koji je predvidiv u

odnosu na filtraciju F = Ftt=0,1,...,T naziva se strategija trgovanja ili dinamicki portfelj.

Vektor (ϕ0t , . . . , ϕ

dt ) govori nam koliko jedinica pojedine imovine investitor posjeduje u

trenutku t. Cijeli proces ϕ odreduje strategiju trgovanja u trenucima izmedu 0 i T . Odluke o

investiranju u portfelj ϕt investitor donosi unaprijed u periodu [t−1, t). A vrijednost portfelja

u t iznosi

Vt(ϕ) = (ϕt, St) =d∑i=0

ϕitSit .

Vt(ϕ) je slucajna varijabla izmjeriva u odnosu na Ft, pa je (Vt(ϕ), t = 0, . . . , T ) adaptiran

slucajan proces.

Definicija 1.6. Strategija ϕ = ϕt, t = 1, . . . , T = (ϕ0t , ϕ

1t . . . , ϕ

dt ), t = 1, . . . , T je samo-

financirajuca ako je (ϕt, St) = (ϕt+1, St), ∀t = 0, . . . , T − 1.

U matematickim modelima koje cemo predstavljati zahtjevat cemo odsudstvo arbitraze,

odnosno zahtjevat cemo da ne postoji mogucnost zarade bez rizika.

Definicija 1.7. Strategija trgovanja ϕ je dopustiva ako je samofinancirajuca i zadovoljava

uvjet

Vt(ϕ) ≥ 0 za t = 0, 1, . . . , T.

Dopustiva strategija je arbitraza ako vrijedi

V0(ϕ) = 0, P(VT (ϕ) > 0) > 0.

5

Nepostojanje arbitraze mozemo karakterizirati koristeci vjerojatnosne mjere neutralne na

rizik.

Definicija 1.8. Vjerojatnosna mjera P∗ na (Ω,P(Ω)) je neutralna na rizik ako za sve

i = 0, 1, . . . , d i sve t = 0, 1, . . . , T − 1 vrijedi

E∗(Sit+1|Ft) = Sit . (1.1)

Kazemo i da je P∗ martingalna mjera, naime uz nju je prema (1.1) vektor diskontiranih

cijena financijske imovine martingal, tj. vrijedi

E∗(St+1|Ft) = St za t = 0, . . . , T − 1.

Navedimo sad fundamentalni teorem odredivanja cijena na financijskom trzistu opisanom

vjerojatnosnim prostorom (Ω,F ,P).

Teorem 1.1. (Fundamentalni teorem odredivanja cijena)

Model financijskog trzista u diskretnom vremenu ne dopusta arbitrazu akko postoji bar jedna

vjerojatnosna mjera P∗ neutralna na rizik i ekvivalentna objektivnoj vjerojatnosti P.

Dokaz. Za dokaz vidi [5, str. 6, Teorem 1.2.7.]

Sada definirajmo slucajan zahtjev, te pomocu njega definirajmo potpunost modela finan-

cijskog trzista u diskretnom vremenu.

Definicija 1.9. Slucajan zahtjev s dospjecem T je proizvoljna slucajna varijabla C na

vjerojatnosnom prostoru (Ω,P(Ω),P). Ako C za neku (Borelovu) funkciju h : R(T+1)×(d+1) →R ima prikaz C = h((S0, . . . , ST )) kazemo da je C izvedenica.

Definicija 1.10. Kazemo da je slucajan zahtjev dostizan ako postoji samofinancirajuca stra-

tegija trgovanja ϕ takva da je Vt(ϕ) = C i tada kazemo da ϕ replicira C.

Definicija 1.11. Model trzista bez arbitraze je potpun ako je svaki slucajan zahtjev dostizan.

U narednom dijelu opisat cemo model financijskog trzista koji ce biti koristen u radu.

1.2. Opis modela

U radu promatramo model potpunog trzista bez arbitraze u kojem je dan konacan filtrirani

vjerojatnosni prostor (Ω,F ,F,P). Trgujemo sa d + 1 financijskom imovinom u diskretnim

trenucima t = 0, 1, 2, . . . , T cije su cijene modelirane adaptiranim slucajnim procesom

Si = (Sit , 0 ≤ t ≤ T ).

Na trzistu postoji jedinstvena ekvivalentna martingalna mjera P∗ (jer je trziste potpuno i bez

arbitraze). S obzirom na P∗ vektor diskontiranih cijena financijskih imovina

Si = (Sit , 0 ≤ t ≤ T )

je martingal.

6

1.2.1. Cox-Ross-Rubinsteinov model (CRR)

Matematicki model koji cemo koristiti u primjerima bit ce Cox-Ross-Rubinsteinov mo-

del (CRR). To je model financijskog trzista u diskretnom vremenu, pa trziste promatramo u

diskretnim vremenskim trenucima t = 0, 1, . . . , T . Na ovom trzistu trgujemo s dvije financijske

imovine:

1. novcem (nerizicna imovina): vrijednost novca u vremenskim trenucima t ∈ 0, 1, . . . , Tje poznata i ima fiksni povrat r > 0 izmedu trenutaka t i t+ 1, tj.

S0t = (1 + r)t, 0 ≤ t ≤ T,

gdje je r efektivna kamatna stopa.

2. dionicom (rizicna imovina): vrijednost dionice u trenutku t = 0 je konstantna poznata

vrijednost koju oznacavamo sa S10 ; dok je njena vrijednost u tenucima t ∈ 1, . . . , T

modelirana slucajnom varijablom S1t na sljedeci nacin:

St+1 =

St(1 + a) iliSt(1 + b)

gdje je −1 < a < b. a i b interpretiramo kao relativnu promjenu cijene dionice izmedu

trenutaka t i t+ 1, tj. vrijediSt+1 − St

St∈ a, b.

Konstruirajuci prostor elementarnih dogadaja uocavamo da se u trenutku t slucajnost

manifestira u tome je li relativna promjena cijene jednaka a ili b. Stavimo Ω1 := a, b, te

neka je P1 vjerojatnost na (Ω1,P(Ω1)) dana s P1(b) = p, P1(a) = 1 − p, 0 < p < 1. Za

prostor elementarnih dogadaja Ω uzimamo Kartezijev produkt skupa a, b. Buduci trziste

promatramo kroz T vremenskih intervala jednake duljine, za prostor elementarnih dogadaja

vrijedi:

Ω = ΩT1 = a, bT .

Na primjer, za T = 5, elementari dogadaj (a, a, b, b, a) znaci da je u trenucima t = 1, 2, 5

relativna promjena cijene dionice bila a, a u trenucima t = 3, 4 relativna promjena je bila b.

Uocimo da se Ω sastoji od T -torki (ω1, . . . , ωT ) gdje je za t = 1, 2, . . . , T , ωt ili a ili b. Za

vjerojatnost P na (Ω,P(Ω)) uzimamo produktnu vjerojatnost PT1 . Dakle, P = PT

1 .

Na vjerojatnosnom prostoru (Ω,P(Ω),P) definirmo niz slucajnih varijabli (Xt, t = 1, . . . , T )

na sljedeci nacin:

Xt(ω) = ωt, ω = (ω1, . . . , ωT ).

Xt su nezavisne slucajne varijable za svaki t = 1, . . . , T s distribucijom:

Xt =

(a b

1− p p

), p ∈ (0, 1).

7

Neka je S0 ∈ R+ dano. Niz slucajnih varijabli S = (St, t = 0, 1, . . . , T ) definiramo sa

St := St−1(1 +Xt), t = 1, 2, . . . , T.

Tada je

Xt =St − St−1St−1

.

Niz S = (St, t = 0, 1, . . . , T ) mozemo interpretirati kao niz cijena dionice kod koje je u sva-

kom trenutku relativna promjena cijene (povrata) jednaka ili a ili b. I te relativne promjene

modelirane su slucajnim varijablama Xt, t = 1, 2, . . . , T .

Definirajmo filtraciju F = Ftt=0,1,...,T na (Ω,P(Ω)). Prema definiciji je F0 := ∅,Ω.Dostupna informacija u trenutku t su cijene dionice zakljucno s trenutkom t. Dakle, imamo

informaciju o S0, S1, . . . , St. Ta je informacija jednaka informaciji koju mozemo dobiti pomocu

slucajnih varijabli koje definiraju relativne promjene cijene dionice, tj. pomocu slucajnih

varijabli X1, . . . , Xt. Matematicki se informacija dana s S1, . . . , St opisuje sigma algebrom

generiranom slucajnim varijablama S1, .., St, tj. sigma algebrom Ft := σ(S1, . . . , St). To

je najmanja σ-algebra na Ω takva da su sve slucajne varijable S1, . . . , St u odnosu na nju

izmjerive. Zbog jednake informacije sadrzene u nizu X1, . . . , Xt vrijedi Ft := σ(X1, . . . , Xt).

Primjer 1.1. Neka je T = 3. Izracunajmo eksplicitno filtraciju F tako da izracunamo atome

odgovarajucih σ-algebri Ft:

F1 − (b, b, b), (b, b, a), (b, a, b), (b, a, a), (a, b, b), (a, b, a), (a, a, b), (a, a, a);F2 − (b, b, b), (b, b, a), (b, a, b), (b, a, a), (a, b, b), (a, b, a), (a, a, b), (a, a, a);F3 − (b, b, b), (b, b, a), (b, a, b), (b, a, a), (a, b, b), (a, b, a), (a, a, b), (a, a, a).

Navedimo sad propoziciju koja kazuje kada CRR model ne dopusta arbitrazu i kada je on

potpun model financijskog trzista.

Propozicija 1.2. (a) CRR model ne dopusta arbitrazu ako i samo ako je a < r < b.

(b) Ako je a < r < b, tada je CRR model potpun.

Dokaz. Za dokaz vidi [14, Propozicija 2.36].

8

Poglavlje 2

Americke opcije

U ovom dijelu definirat cemo americke opcije i objasniti nacin trgovanja opcijama na

financijskom trzistu. Predstavit cemo osnovnu matematicku teoriju potrebnu za razumijevanje

trgovanja opcijama. Matematicki modeli koji ce biti dani u ovom poglavlju dat ce rezultate

koji za cilj imaju sudionicima na trzistu dati konkretne informacije sto i kada uciniti, odnosno

u kojem trenutku intervenirati (kupiti ili prodati odredenu financijsku imovinu). Ti modeli

bit ce strogo vezani uz trgovanje americkim opcijama, sto je i glavni cilj ovog rada: pomocu

matematicke teorije i matematickih (tj. stohastickih) tehnika objasniti na koji nacin trgovanje

americkim opcijama ogranicava rizik investitora s ciljem maksimiziranja njegovog prihoda..

Americka i europska opcija su varijante vanilla opcije, a vanilla opcija je ugovor koji vlas-

niku opcije daje pravo, ali ne i obavezu izvrsiti ugovorom definiranu prodaju ili kupovinu

odredene financijske imovine, dok ju prodavatelj ili pisac opcije ima obavezu izvrsiti.

Definirajmo sad americku call i put opciju.

Definicija 2.1. (Americka call opcija)

Americka call opcija s dospijecem T i cijenom izvrsenja K je ugovor koji vlasniku opcije

daje pravo, ali ne obvezu, kupiti financijsku imovinu po cijeni K u bilo kojem vremenskom

trenutku zakljucno s trenutkom dospijeca T.

Definicija 2.2. (Americka put opcija)

Americka put opcija s dospijecem T i cijenom izvrsenja K je ugovor koji vlasniku opcije

daje pravo, ali ne obvezu, prodati financijsku imovinu po cijeni K u bilo kojem vremenskom

trenutku zakljucno s trenutkom dospijeca T.

Definirajmo sad i europsku call i put opciju, te uocimo razliku izmedu ovih dvaju tipova

opcija, americkih i europskih.

Definicija 2.3. (Europska call opcija)

Europska call opcija s dospijecem T i cijenom izvrsenja K je ugovor koji vlasniku opcije

daje pravo, ali ne obvezu, kupiti financijsku imovinu po cijeni K u trenutku dospijeca T.

9

Definicija 2.4. (Europska put opcija)

Europska put opcija s dospijecem T i cijenom izvrsenja K je ugovor koji vlasniku opcije

daje pravo, ali ne obvezu, prodati financijsku imovinu po cijeni K u trenutku dospijeca T.

Glavna razlika americkih opcija u odnosu na europske opcije je ta da se pravo na kupnju

(call opcija) ili prodaju (put opcija) financijske imovine moze ostvariti i u trenucima prije

dospijeca opcije (tj. vlasnik europske opcije pravo na kupnju (call opcija) ili prodaju (put

opcija) financijske imovine moze ostvariti samo u trenutku dospijeca T ). Ukoliko opcija (call

ili put) nema datum dospijeca kazemo da je to trajna opcija ili opcija definirana u beskonacnom

vremenu.

Osnovni problem za vlasnika americke opcije je odrediti trenutak u kojem je optimalno

izvrsiti opciju i time ostvariti najveci moguci prihod. Ukoliko postoji vise vremena (trenutaka)

izvrsenja u kojima se ostvaruje jednak najveci moguci prihod vlasnik opcije zahtjeva da to

bude prvo takvo vrijeme iz jednostavnog prakticnog razloga: ukoliko isti prihod/dobitak moze

ostvariti u vremenima t i t + k, k > 0, naravno da je bolje taj dobitak ostvariti u prvom

vremenu, vremenu t, zbog toga sto mu se time otvara mogucnost da u narednom periodu

duljine k ostvari dodatni prihod investirajuci iznos dobiven izvrsavanjem opcije u nerizicnu

imovinu, npr. drzavne obveznice.

U narednom dijelu promatrat cemo problem odredivanja optimalnog trenutka izvrsenja

americke opcije u diskretnom vremenu. Posebno cemo dati rezultate za americku call, a

posebno za americku put opciju.

2.1. Americke opcije u diskretnom vremenu

2.1.1. Teorija optimalnog zaustavljanja u diskretnom vremenu

U ovom dijelu predstavit cemo osnovnu matematicku teroiju optimalnog zaustavljanja u

diskretnom vremenu potrebnu za odredivanje optimalnog trenutka izvrsenja americke opcije.

Problem optimalnog zaustavljanja mozemo promatrati pomocu dva pristupa: martingalnog

i Markovljevog. U ovom radu prilikom odredivanja optimalnog tenutka izvrsenja americke

opcije koristit cemo martingalni pristup i on ce biti detaljnije predstavljen. Za detalje

Markovljevog pristupa vidi [9].

Neka je G = (Gn, n ≥ 0) niz slucajnih varijabli definiranih na filtriranom vjerojatnosnom

prostoru (Ω,F ,F,P). Pretpostavljamo da je G adaptirana na filtraciju F u smislu da je

svaka slucajna varijabla Gn Fn − izmjeriva. Fn interpretiramo kao informaciju o procesu

G zakljucno s trenutkom n. Sve nase odluke u odnosu na optimalno vrijeme zaustavljanja

n moraju biti temeljene na samo ovoj informaciji. Sljedeca definicija formalizira prethodni

zahtjev i igra kljucnu ulogu u istrazivanju optimalnog zaustavljanja.

10

Definicija 2.5. Slucajna varijabla τ : Ω → 0, 1, . . . ,∞ naziva se Markovljevo vrijeme ako

je τ ≤ n ∈ Fn za sve n ≥ 0. Markovljevo vrijeme naziva se vrijeme zaustavljanja ako je

τ <∞ P-g.s.

Prema definiciji (2.5) slucajna varijabla τ je vrijeme zaustavljanja ako dogadaj τ ≤ novisi samo o informaciji dostupnoj do trenutka n. U trenutku n znamo da li se vrijeme τ vec

dogodilo ili ne.

Familiju svih vremena zaustavljanja oznacavamo sa M, a familiju svih Markovljevih vre-

mena sa M. Sljedece podfamilije cemo koristiti u ovom poglavlju:

MNn = τ ∈M : n ≤ τ ≤ N, (2.1)

gdje je 0 ≤ n ≤ N . Problem optimalnog zaustavljanja kojeg proucavamo dan je sljedecim

izrazom:

V ∗ = supτ∈M

EGτ (2.2)

Rijesiti problem (2.2) ukljucuje dvije zadace:

1. sto je eksplicitnije moguce izracunati vrijednost funkcije V ∗,

2. izraziti optimalno vrijeme zaustavljanja τ u kojem se postize supremum (u smislu da

odredimo vremenski trenutak u kojem je supremum postignut).

Ako je sljedeci uvjet zadovoljen

E( supn≤k≤N

|Gk|) <∞ (2.3)

tada postoji EGn i dobro je definiran za sve τ ∈MNn .

Podfamilijama MNn uvedenima u (2.1) povezat cemo sljedece funkcije vrijednosti:

V Nn = sup

τ∈MNn

EGτ , (2.4)

gdje je 0 ≤ n ≤ N . Zbog jednostavnosti oznacavat cemo V N = V N0 i Vn = V ∞n . Takoder cemo

staviti V = V ∞0 kada je supremum uzet po svim vremenima zaustavljanja τ iz M. Glavna

zadaca ovog odjeljka je rijesiti i dati osnovne rezultate problema optimalnog zaustavljanja

(2.4). Dvije su metode za rjesavanje navedenog problema:

• metoda indukcije unatrag koja rjesava problem optimalnog zaustavljanja u konacnom

vremenu,

• metoda esencijalnog supremuma koja rjesava problem optimalnog zaustavljanja u

beskonacnom vremenu.

11

Metoda indukcije unatrag

Ova metoda rjesava problem (2.4) kada je N < ∞ na nacin da prvo koristi indukciju

unatrag da konstruira niz slucajnih varijabli (SNn , 0 ≤ n ≤ N) koji rjesava problem u sto-

hastickom smislu. Zatim uzimanjem ocekivanja rjesava problem u izvornom vrijednosnom

smislu (problem 2.2).

Sada razmotrimo problem optimalnog zaustavljanja (2.4) kada je N < ∞. Problem (2.4)

jasnije mozemo zapisati na sljedeci nacin:

V Nn = sup

n≤τ≤NEGτ , (2.5)

gdje je τ vrijeme zaustavljanja i 0 ≤ n ≤ N . Za rjesavanje ovog problema dopustamo da

vrijeme ide unazad i nastavljamo rekurzivno na sljedeci nacin:

• za n = N stajemo i dobivamo da je SNN = GN (vidi sliku 2.1)

Slika 2.1

• za n = N − 1 mozemo stati ili nastaviti (vidi sliku 2.2). Ako stanemo dobijemo da je

SNN−1 = GN−1, a ukoliko nastavimo dobijemo da je SNN−1 = E(SNN |FN−1).

12

Slika 2.2

Ovaj zakljucak potvrduje cinjenicu da se nasa odluka o zaustavljanju ili nastavku u

trenutku n = N − 1 mora temeljiti samo na informaciji sadrzanoj u FN−1. Ta odluka se

temelji na sljedecem pravilu:

– ako je GN−1 ≥ E(SNN |FN−1) tada stajemo u vremenu n = N − 1

– ako je GN−1 ≤ E(SNN |FN−1) tada u vremenu n = N−1 nastavljamo dalje i dolazimo

u trenutak n = N i stajemo.

• za n = N − 2, N − 3, . . . , 0 razmatranja nastavljamo na analogan nacin.

Dakle, metodom indukcije unatrag dobili smo niz slucajnih varijabli (SNn , 0 ≤ n ≤ N) defini-

ranih rekurzivno na sljedeci nacin:

SNn = GN za n = N, (2.6)

SNn = maxGn,E(SNn+1|Fn)

za n = N − 1, . . . , 0. (2.7)

Niz slucajnih varijabli (SNn , 0 ≤ n ≤ N) koji zadovoljava svojstva (2.6) i (2.7) naziva se

Snellov omotac procesa (Gn, 0 ≤ n ≤ N). Metoda indukcije unatrag predlaze da u obzir

uzmemo sljedeca vremena zaustavljanja:

τNn = infn ≤ k ≤ N : SNk = Gk (2.8)

za 0 ≤ n ≤ N gdje je infimum uvijek moguce postici.

Slucajni proces zaustavljen u vremenu τ oznacen sa

Sτ = (Sτn, 0 ≤ n ≤ N)

13

definiran je formulom

Sτn(ω) := Sτ(ω)∧n(ω),

odnosno preciznije, na skupu τ = s vrijedi

Sτn =

Ss ako je s ≤ nSn ako je s > n.

Uocimo da je uvijek SτN = Sτ .

Sljedecim teoremom formaliziramo prethodne rezultate.

Teorem 2.1. (Konacno vrijeme)

Neka je dan problem optimalnog zaustavljanja (2.5) pod pretpostavkom da uvjet (2.3) vrijedi.

Tada za sve 0 ≤ n ≤ N imamo:

SNn ≥ E(Gτ |Fn) za svaki τ ∈MNn , (2.9)

SNn = E(GτNn|Fn). (2.10)

Nadalje, ukoliko je 0 ≤ n ≤ N fiksno zadan, tada imamo:

Vrijeme zaustavljanja τNn je optimalno za (2.5). (2.11)

Ako je τ∗ optimalno vrijeme zaustavljanja za (2.5) tada je τNn ≤ τ∗P-g.s. (2.12)

Niz (SNk , n ≤ k ≤ N) je najmanji supermartingal koji dominira (2.13)

proces (Gk, n ≤ k ≤ N).

Zaustavljeni niz (SNk∧τNn , n ≤ k ≤ N) je martingal. (2.14)

Dokaz. Dokaz tvrdnji (2.9) i (2.10) bit ce izveden pomocu indukcije unazad za n = N,N −1, . . . , 0. Obje tvrdnje su zadovoljene kad je n = N , prema (2.6). Stoga pretpostavimo da

tvrdnje (2.9) i (2.10) vrijede za n = N,N − 1, . . . , k gdje je k ≥ 1 i pokazimo da navedene

tvrdnje vrijede i za n = k − 1.

(2.9): Neka je τ ∈MNk−1 i neka je τ = τ ∨ k. Tada je τ ∈MN

k i jer je τ ≥ k ∈ Fk−1 slijedi

da je

E(Gτ |Fk−1) = E(I(τ = k − 1)Gk−1|Fk−1) + E(I(τ ≥ k)Gτ |Fk−1)) (2.15)

= I(τ = k − 1)Gk−1 + I(τ ≥ k)E(E(Gτ |Fk)|Fk−1).

Prema hipotezi indukcije nejednakost (2.9) vrijedi za n = k. Kako je τ ∈MNk to povlaci da je

E(Gτ |Fk) ≤ SNk . Iz (2.7) vidimo da je Gk−1 ≤ SNk−1 i E(SNk |Fk−1) ≤ SNk−1. Koristeci prethodne

tri nejednakosti na desnoj strani jednakosti (2.15) dobivamo

E(Gτ |Fk−1) ≤ I(τ = k − 1)SNk−1 + I(τ ≥ k)E(SNk |Fk−1) (2.16)

≤ I(τ = k − 1)SNk−1 + I(τ ≥ k)SNk−1 = SNk−1.

14

Ovo pokazuje da (2.9) vrijedi za n = k − 1 kako smo tvrdili.

(2.10): Da bismo dokazali da (2.10) vrijedi za n = k − 1 dovoljno je provjeriti da sve

nejednakosti u (2.15) i (2.16) postaju jednakosti kad je τ = τNk−1. Prema (2.8) je τNk−1 = τNkna τNk−1 ≥ k, pa iz (2.15) za τ = τNk−1 i prema hipotezi indukcije (2.10) za n = k dobivamo

E(GτNk−1|Fk−1) = I(τNk−1 = k − 1)Gk−1 + I(τNk−1 ≥ k)E(E(Gτnk

|Fk)|Fk−1) (2.17)

= I(τNk−1 = k − 1)Gk−1 + I(τNk−1 ≥ k)E(SNk |Fk−1)= I(τNk−1 = k − 1)SNk−1 + I(τNk−1 ≥ k)SNk−1 = SNk−1.

gdje je prema (2.8) Gk−1 = SNk−1 na τNk−1 = k− 1 i gdje je prema (2.8) i (2.7) E(SNk |Fk−1) =

SNk−1 na τNk−1 ≥ k. Ovo pokazuje da (2.10) vrijedi za n = k − 1 kako smo tvrdili.

Dokazimo (2.11): Uzimajuci ocekivanje u (2.9) vidimo da je ESNn ≥ EGτ za svaki τ ∈MNn

i zatim uzimajuci supremum sa svih τ ∈MNn vidimo da je ESNn ≥ V N

n . Uzimajuci ocekivanje u

(2.10) dobivamo ESNn = EGτNnsto pokazuje da je ESNn ≤ V N

n . Ove dvije nejednakosti povlace

da je ESNn = V Nn i jer je ESNn = EGτNn

vidimo da je V Nn = EGτNn

.

(2.12): Tvrdimo da optimalnost od τ∗ povlaci da je SNτ∗ = Gτ∗ P-g.s. Kada to ne bi

bio slucaj uzimajuci da je SNk = Gk za n ≤ k ≤ N prema (2.6)-(2.7) vidimo da je SNτ∗ ≥Gτ∗ sa vjerojatnosti P(SNτ∗ > Gτ∗) > 0. Slijedi da je EGτ∗ < ESNτ∗ ≤ ESNn = V N

n gdje

druga nejednakost slijedi prema [9, str. 60, Teorem A] i supermartingalnom svojstvu od

(SNk )n≤k≤N definiranom sa (2.13) i gdje zavrsna jednakost slijedi iz dokaza tvrdnje (2.11).

Stroga nejednakost kontradiktorna je cinjenici da je τ∗ optimalno. Stoga je SNτ∗ = Gτ∗ P-g.s.

kako smo tvrdili i cinjenica da je τNn ≤ τ∗ P-g.s. slijedi iz definicije (2.8).

(2.13): Iz (2.7) slijedi da je

SNk ≥ E(SNk+1|Fk) (2.18)

za svaki n ≤ k ≤ N − 1 pokazjuci da je (SNk , n ≤ k ≤ N) supermartingal. Iz (2.6) i

(2.7) slijedi da je SNk ≥ Gk P-g.s. za svaki n ≤ k ≤ N sto znaci da (SNk , n ≤ k ≤ N)

dominira (Gk, n ≤ k ≤ N). Stovise, ako je (Sk, n ≤ k ≤ N) neki drugi supermartingal

koji dominira (Gk, n ≤ k ≤ N) tada tvrdnja da je Sk ≥ SNk P-g.s. moze biti provjerena

indukcijom za k = N,N − 1, . . . , l. Doista, ako je k = N tada tvrdnja slijedi prema (2.6).

Pretpostavljajuci da je Sk ≥ SNk P-g.s. za k = N,N − 1, . . . , l za l ≥ n+ 1, prema (2.7) slijedi

da je SNl−1 = maxGl−1,E(SNl |Fl−1)

≤ max

Gl−1,E(Sl|Fl−1)

≤ Sl−1 P-g.s. i koristeci

supermartingalno svojstvo od (Sk, n ≤ k ≤ N) dokazujemo tvrdnju.

(2.14): Da bi provjerili martingalno svojstvo

E(SN(k+1)∧τNn |Fk) = SNk∧τNn (2.19)

15

za dani fiksni n ≤ k ≤ N − 1 napomenimo da vrijedi

E(SN(k+1)∧τNn |Fk) = E(I(τNn ≤ k)SNk∧τNn |Fk) + E(I(τNn ≥ k + 1)SNk+1|Fk) (2.20)

= I(τNn ≤ k)SNk∧τNn + I(τNn ≥ k + 1)E(SNk+1|Fk)= I(τNn ≤ k)SNk∧τNn + I(τNn ≥ k + 1)SNk = SNk∧τNn

gdje druga jednakost slijedi iz cinjenice da je SNk = E(SNk+1|Fk) na τNn ≥ k + 1, dok je

τNn ≥ k + 1 ∈ Fk jer je τNn vrijeme zaustavljanja. Ovo dokazuje (2.19) i teorem je dokazan.

Metoda esencijalnog supremuma

Prva metoda (indukcije unatrag) rjesava problem optimalnog zaustavljanja samo kada

je N < ∞. Sada cemo predstaviti rezultate za slucaj u beskonacnom vremenu problema

optimalnog zaustavljanja. Slucajne varijable SNn definirane periodicnim odnosima (2.6)-(2.7)

mogu poprimiti druge karakterizacije koje se mogu direktno prosiriti na slucaj beskonacnog

vremena N i te karakterizacije cine osnovu za metodu esencijalnog supremuma koju cemo

sada definirati.

Lema 2.1. (Esencijalni supremum)

Neka je Zα : α ∈ I familija slucajnih varijabli definirana na vjerojatnosnom prostoru

(Ω,G,P) gdje skup indeksa I moze biti proizvoljan. Tada postoji prebrojiv skup J iz I takav

da slucajna varijabla Z∗ : Ω→ R definirana sa

Z∗ = supα∈J

Zα (2.21)

zadovoljava sljedeca dva svojstva:

• P(Zα ≤ Z∗) = 1, za svaki α ∈ I. (2.22)

• Ako je Z : Ω→ R neka druga slucajna varijabla koja (2.23)

zadovoljava (2.22) umjesto Z∗, tada vrijedi P(Z∗ ≤ Z) = 1.

Stovise, ako je familija Zα : α ∈ I usmjerena prema gore u smislu:

• Za bilo koji α i β u I postoji γ u I takav da Zα ∨ Zβ ≤ Zγ P-g.s. (2.24)

tada prebrojiv skup J = αn : n ≥ 1 moze biti izabran tako da je

Z∗ = limn→∞

Zαn P-g.s., gdje je Zα1 ≤ Zα2 ≤ . . .P-g.s. (2.25)

16

Dokaz. Kako je x 7→ (2/π) arctan(x) strogo rastuca funkcija sa R u [−1, 1] mozemo pretpos-

taviti da je |Zα| ≤ 1 za svaki α ∈ I. Inace zamijenimo Zα sa (2/π) arctan(x) za α ∈ I i

nastavimo s dokazom.

Neka je C familija svih prebrojivih podskupova C na I. Izabiremo rastuci niz Cn : n ≥ 1

iz C takav da je

a = supC∈C

E

(supα∈C

Zα

)= sup

n≥1E

(supα∈Cn

Zα

). (2.26)

Tada je J :=⋃∞n=1Cn prebrojiv podskup od I i tvrdimo da Z∗ definiran sa (2.21) zadovoljava

(2.22) i (2.23).

Da bismo provjerili ove tvrdnje uzmimo proizvoljni α ∈ I i ako je α ∈ J tada je Zα > Z∗

pa vrijedi (2.22). S druge strane, ako α /∈ J i ako pretpostavimo da je P(Zα > Z∗) > 0 tada

je a < E(Z∗ ∨ Zα) ≤ a jer je a = EZ∗ ∈ [−1, 1] (prema teoremu o monotonoj konvergenciji) i

J ∪ a pripada C. Kako je stroga nejednakost jasno nemoguca vidimo da (2.22) vrijedi za svaki

α ∈ I. Stovise, ocito je da (2.23) slijedi iz (2.21) i (2.22) jer je J prebrojiv.

Konacno, ako je (2.24) zadovoljeno tada prebrojiv skup J = α01, α

02, . . . moze biti zamijenjen

sa novim prebrojivim skupom J = α1, α2, . . . ako stavimo da je α1 = α01, tada induktivno

izaberemo αn+1 ≥ αn ∨ α0n+1 za n ≥ 1 gdje γ ≥ α ∨ β odgovara Zα, Zβ i Zγ tako da je

Zγ ≥ Zα ∨ Zβ P-g.s. Tada je ocito da vrijedi tvrdnja (2.25) i lema je dokazana.

Napomena 2.1. (Esencijalni supremum)

Slucajna varijabla Z∗ naziva se esencijalni supremum od Zα : α ∈ I. Oznacava se

sa Z∗ = ess supα∈I

Zα i jedinstveno je odreden sa svojstvima (2.22) i (2.23).

Koristeci koncept esencijanog supremuma izraze (2.9) i (2.10) u Teoremu 2.1 sada mozemo

zapisati na sljedeci nacin:

SNn = ess supn≤τ≤N

E(Gτ |Fn), za sve 0 ≤ n ≤ N. (2.27)

Ova jednakost pruza dodatnu karakterizaciju niza slucajnih varijabli (SNn , 0 ≤ n ≤ N)

definiranog pomocu povratne veze (2.6)-(2.7). Prednost ove jednakosti lezi u cinjenici da se

ona moze prirodno prosiriti na slucaj beskonacnog vremena N , sto cemo sada opisati.

Promatramo problem optimalnog zaustavljanja (2.4) kada je N = ∞. Ovaj problem

mozemo jednostavnije zapisati na sljedeci nacin:

Vn = supτ≥n

EGτ , (2.28)

gdje je τ vrijeme zaustavljanja i n ≥ 0. Za rjesavanje problema pretpostavit cemo da je niz

slucajnih varijabli (Sn, n ≥ 0) definiran na sljedeci nacin

Sn = ess supτ≥n

E(Gτ |Fn), (2.29)

17

te vrijeme zaustavljanja definirano sa:

τn = infk ≥ n : Sk = Gk, (2.30)

za n ≥ 0 gdje je po definiciji inf ∅ = ∞. Niz (Sn, n ≥ 0) nazivamo Snellov oomotac od G.

Sljedecim teoremom formaliziramo prethodne rezultate.

Teorem 2.2. (Beskonacno vrijeme)

Neka je dan problem optimalnog zaustavljanja (2.28) pod pretpostavkom (2.3). Tada vrijedi

povratna relacija:

Sn = max Gn,E(Sn+1)|Fn za sve n ≥ 0. (2.31)

Nadalje pretpostavimo da vrijedi

P(τn <∞) = 1, gdje je n ≥ 0. (2.32)

Tada za sve n ≥ 0 vrijedi:

Sn ≥ E(Gτ |Fn) za svaki τ ∈Mn, (2.33)

Sn = E(Gτn|Fn). (2.34)

Nadalje, ako je n ≥ 0 fiksno zadan tada vrijedi:

Vrijeme zaustavljanja τn je optimalno u (2.28). (2.35)

Ako je τ∗ optimalno vrijeme zaustavljanja u (2.28) tada je τn ≤ τ∗ g.s. (2.36)

Niz (Sk, k ≥ n) je najmanji supermartingal koji dominira (Gk, k ≥ n). (2.37)

Zaustavljeni niz (Sk∧τn , k ≥ n) je martingal. (2.38)

Koncano, ako uvjet (2.32) ne vrijedi tako da je P(τn = ∞) > 0, tada ne postoji optimalno

vrijeme zaustavljanja (sa vjerojatnosti 1) u (2.28).

Dokaz. Dokazimo (2.31): Prvo pokazimo da je za dani i fiksni n ≥ 0 lijeva strana manja

od desne strane. Neka je τ ∈ Mn i neka je τ = τ ∨ (n + 1). Tada je τ ∈ Mn+1 i jer je

τ ≥ n+ 1 ∈ Fn imamo

E(Gτ |Fn) = E(I(τ = n)Gn|Fn) + E(I(τ ≥ n+ 1)Gτ |Fn) (2.39)

= I(τ = n)Gn + I(τ ≥ n+ 1)E(Gτ |Fn)

= I(τ = n)Gn + I(τ ≥ n+ 1)E(E(Gτ |Fn+1)|Fn)

≤ I(τ = n)Gn + I(τ ≥ n+ 1)E(Sn+1|Fn)

= max Gn,E(Sn+1|Fn) .

18

Iz ove nejednakosti slijedi da je

ess supτ≥n

E(Gτ |Fn) ≤ max Gn,E(Sn+1|Fn) (2.40)

sto je zeljena nejednakost.

Da bi dokazali obrnutu nejednakost napomenimo da je Sn ≥ Gn P-g.s. prema definiciji od

Sn pa je dovoljno pokazati da je

Sn ≥ E(Sn+1|Fn) (2.41)

sto je supermartingalno svojstvo od (Sn, n ≥ 0). Da bi provjerili ovu nejednakost prvo

pokazimo da je familija E(Gτ |Fn+1) : τ ∈ Mn+1 usmjerena prema gore u smislu da vrijedi

(2.24). Ako su σ1 i σ2 iz Mn+1 i ako stavimo σ3 = σ1IA + σ2IAc gdje je A = E(Gσ1|Fn+1) ≥E(Gσ2|Fn+1), tada σ3 pripada Mn+1 i imamo

E(Gσ3|Fn+1) = E(Gσ1IA +Gσ2IAc |Fn+1) (2.42)

= IAE(Gσ1|Fn+1) + IAcE(Gσ2 |Fn+1)

= E(Gσ1|Fn+1) ∨ E(Gσ2 |Fn+1)

sto povlaci (2.24) kako smo tvrdili. Prema (2.25) sada postoji niz σk : k ≥ 1 u Mn+1 takav da

je

ess supτ≥n+1

E(Gτ |Fn+1) = limk→∞

E(Gσk |Fn+1) (2.43)

gdje je E(Gσ1|Fn+1) ≤ E(Gσ2|Fn+1) ≤ · · · P-g.s. Kako je lijeva strana u (2.43) jednaka Sn+1

prema teoremu o monotonoj konvergenciji dobivamo

E(Sn+1|Fn) = E(

limk→∞

E(Gσk |Fn+1)|Fn)

(2.44)

= limk→∞

E(E(Gσk |Fn+1)|Fn)

= limk→∞

E(Gσk |Fn) ≤ Sn

gdje zadnja nejednakost slijedi iz definicije od Sn. Ovo dokazuje (2.41) i dokaz tvrdnje (2.31)

je gotov.

(2.33): Ova nejednakost direktno slijedi iz definicije (2.29).

(2.34): Dokaz tvrdnje (2.38) pokazuje da je zaustavni niz (Sk∧τn , k ≥ n) martingal. Stav-

ljanjem da je G∗n = supk≥n |Gk| imamo

|Sk| ≤ ess supτ≥k

E(|Gτ ||Fk) ≤ E(G∗n|Fk) (2.45)

za svaki k ≥ n. Prema (2.3) G∗n je integrabilna, pa iz (2.45) slijedi da je (Sk, k ≥ n) uniformno

integrabilan proces. Primjenom [9, str. 60, Teorem A] na martingal (Mk, k ≥ n) = (Sk∧τn , k ≥n) i vrijeme zaustavljanja τn pokazuje da je

Mn = E(Mτn|Fn). (2.46)

19

Kako je Mn = Sn i Mτn = Sτn vidimo da je (2.46) jednako (2.34).

(2.35): Ovo dokazujemo koristeci (2.33) i (2.34) na potpuno isti acin kao (2.11) koristeci

(2.9) i (2.10).

(2.36): Ova tvrdnja se dokazuje na isti nacin kao i (2.12).

(2.37): U (2.41) pokazano je da je (Sk, k ≥ n) supermartingal. Iz (2.29) slijedi da je

Sk ≥ Gk P-g.s. za svaki k ≥ n sto znaci da (Sk, k ≥ n) dominira (Gk, k ≥ n). Konacno, ako

je (Sk, k ≥ n) neki drugi supermartingal koji dominira (Gk, k ≥ n) tada prema (2.34) vrijedi

da je

Sk = E(Gτk |Fk) ≤ E(Sτk |Fk) ≤ Sk (2.47)

za svaki k ≥ n gdje zadnja nejednakost slijedi prema primjeni [9, str. 60, Teorem A] jer je

S−k ≤ G−k ≤ G∗k za svaki k ≥ n.

(2.38): Dokazuje se isto kao i (2.14).

Konacno, zadnja tvrdnja teorema slijedi direktno iz (2.36) i time je gotov dokaz teorema.

2.1.2. Optimalno vrijeme zaustavljanja u konacnom vremenu

Neka je (Ω,F ,P) diskretni vjerojatnosni prostor, te neka je P(ω) > 0 za sve ω ∈ Ω.

Pretpostavit cemo da je F = P(Ω). Neka je, nadalje, dana filtracija F = (Ft, 0 ≤ t ≤ T ). Ne

pretpostavljamo nuzno da vrijedi F = ∅,Ω, niti FT = F .

Neka je G = (Gt, 0 ≤ t ≤ T ) adaptiran slucajan proces. Slucajan proces S = (St, 0 ≤ t ≤T ) konstruiran prema metodi indukcije unatrag (2.6) i (2.7) definiramo na sljedeci nacin:

ST = GT ,

St = max Gt,E[St+1|Ft] 0 ≤ t ≤ T − 1.

Prema (2.13) S je najmanji supermartingal koji dominira proces G.

Propozicija 2.1. Slucajna varijabla definirana formulom

τ0 := mint ≥ 0, St = Gt (2.48)

je vrijeme zaustavljanja. Zaustavljen proces Sτ0 = (Sτ∧τ0) je martingal.

Dokaz. Zbog ST = GT slijedi da je τ0 dobro definiran i τ0 ∈ 0, 1, . . . , T. Nadalje, τ0 = 0 =

S0 = G0 ∈ F0, a za t ≥ 1

τ0 = t = S0 > G0 ∩ · · · ∩ St−1 > Gt−1 ∩ St = Gt ∈ Ft.

Dakle, τ0 je vrijeme zaustavljanja.

Za dokaz tvrdnje da je zaustavljen proces Sτ0 = (Sτ∧τ0) martingal dan je sa dokazom

tvrdnje (2.14) u Teoremu 2.1.

20

Sa MTt oznacimo familiju svih vremena zaustavljanja koja primaju vrijednosti u skupu

t, t + 1, . . . , T. Uocimo da zbog cinjenice da je Ω konacan skup slijedi da je i MTt takoder

konacan skup.

Korolar 2.1. Vrijeme zaustavljanja τ0 zadovoljava

S0 = E[Zτ0|F0] = supσ∈MT

0

E[Gσ|F0].

Dokaz. Dokaz vidi u [14, Korolar 3.5].

Ukoliko o slucajnom procesu G mislimo kao o dobitku (Gt je dobitak u trenutku t), tada

nam Korolar 2.1 kaze da vrijeme zaustavljanja τ0 maksimizira ocekivani dobitak uz dano F0.

Ako je F0 = ∅,Ω, tada je

S0 = E[Gτ0 ] = supσ∈MT

0

E[Gσ].

Definicija 2.6. Vrijeme zaustavljanja τ je optimalno za slucajni proces G = (Gt, 0 ≤ t ≤ T )

ako vrijedi

E[Gτ |F0] = supσ∈MT

0

E[Gσ|F0].

Prema Korolaru 2.1 τ0 je optimalno vrijeme zaustavljanja za G.

Teorem 2.3. (Karakterizacija optimalnih vremena)

Vrijeme zaustavljanja τ je optimalno ako i samo ako vrijedi:

Gτ = Sτ i Sτ je martingal.

Dokaz. Za dokaz vidi [14, Teorem 3.8]

Napomena 2.2. Zbog τ0 = mint ≥ 0, St = Gt, slijedi da je τ0 najmanje optimalno vrijeme.

Za karekterizaciju najveceg optimalnog vremena zaustavljanja koristit cemo Doobovu de-

kompoziciju. Prvo definirajmo neopadajuci proces.

Definicija 2.7. Slucajni proces A = (At, 0 ≤ t ≤ T ) je neopadajuci ako za sve t ∈ 0, 1, . . . , T−1 vrijedi At ≤ At+1.

Propozicija 2.2. (Doobova dekompozicija)

Neka je U = (Ut, 0 ≤ t ≤ T ) supermartingal. Tada postoje martingal M = (Mt, 0 ≤ t ≤ T )

i neopadajuci, predvidiv proces A = (At, 0 ≤ t ≤ T ), A0 = 0, takvi da vrijedi U = M − A.

Nadalje, gornja dekompozicija je jedinstvena.

21

Dokaz. Definiramo A0 = 0 i M0 = U0, te induktivno za t ∈ 0, 1, . . . , T − 1

Mt+1 = Mt + Ut+1 − E[Ut+1|Ft]At+1 = At + Ut − E[Ut+1|Ft].

Tada je

E[Mt+1|Ft] = Mt + E[Ut+1|Ft]− E[Ut+1|Ft] = Mt,

sto znaci da je M = (Mt, 0 ≤ t ≤ T ) martingal. Nadalje, zbog E[Ut+1|Ft] ≤ Ut, slijedi da je

At+1 ≥ At.

Iz definicije je vidljivo da je At+1 izmjeriva u odnosu na Ft. Dakle, A = (At, 0 ≤ t ≤ T ) je

neopadajuci proces sa A0 = 0.

Ocito je U0 = M0 − A0. Pretpostavimo Ut = Mt − At. Tada je

Mt+1 − At+1 = (Mt + Ut+1 − E[Ut+1|Ft])− (At + Ut − E[Ut+1|Ft])= Mt + Ut+1 − At − Ut = Ut+1.

Time smo dokazali dekompoziciju.

Dokazimo jedinstvenost: Pretpostavimo da su U = M −A = M ′−A′ dvije dekompozicije.

Tada je

Mt −M ′t = At − A′t, t = 0, 1, . . . , T.

Zbog A0 = 0 = A′0 slijedi M0 = M ′0. Pretpostavimo At = A′t, otkud odmah dobivamo

Mt = M ′t . Zato je

0 = Mt −M ′t = E[Mt+1 −M ′

t+1|Ft] = E[At+1 − A′t+1|Ft] = At+1 − A′t+1,

gdje zadnja jednakost slijedi iz predvidivosti procesa A i A′. Dakle, At+1 = A′t+1.

Propozicija 2.3. Najvece optimalno vrijeme zaustavljanja slucajnog procesa G dano je for-

mulom

τmax =

T, ako je AT = 0

mint ≥ 0, At+1 6= 0 ako je AT 6= 0.

Dokaz. Za dokaz vidi [14, Propozicija 3.12].

Ovime smo prezentirali osnovnu teoriju i tehnike za pronalazenje optimalnog vremena za-

ustavljanja u diskretnom vremenu. Prethodne teorijske rezultate iskoristiti cemo u narednom

dijelu gdje cemo odredivati optimalno vrijeme izvrsenja americke opcije u diskretnom vremenu

definirane u konacnom vremenskom prostoru, tj. americke opcije s datumom dospijeca T .

22

2.1.3. Americka call opcija u diskretnom vremenu

Pretpostavljamo da je model definiran kao u odjeljku 1.2.

Definirajmo cijenu americke opcije. Pretpostavimo da promatramo americku call opciju

napisanu na prvu financijsku imovinu s cijenom izvrsenja K cija je vrijednost u trenutku

t = 1 dana sa (S11 − K)+. U trenutku t = 2 njena vrijednost je (S1

2 − K)+, i tako dalje do

trenutka t = T kada joj je vrijednost (S1T − K)+. Neka je Zt := (S1

t − K)+, t = 0, 1, . . . , T .

Tada na americku call opciju mozemo gledati kao na adaptiran niz slucajnih varijabli (Zt, t =

0, 1, . . . , T ) sto vodi na definiciju americkog slucajnog zahtjeva (opcije).

Definicija 2.8. Americki slucajni zahtjev je adaptiran niz slucajnih varijabli Z = (Zt, t =

0, 1, . . . , T ).

Cijenu americkog slucajnog zahtjeva Z = (Zt, t = 0, 1, . . . , T ) oznacimo sa slucajnom

varijablom (Ut, t = 0, 1, . . . , T ), te odredimo cijene Ut koristeci opisanu tehniku indukcije

unatrag.

• u trenutku T vrijednost Ut americkog slucajnog zahtjeva Z jednaka je tocno ZT .

• u trenutku T − 1 vlasnik opcije moze opciju odmah iskoristiti i dobiti iznos ZT−1 ili

je moze iskoristiti u ternutku T i dobiti iznos ZT . No u trenutku T − 1 iznos ZT je

nepoznat, ali znamo izracunati njegovu vrijednost (cijenu): to je vrijednost (u trenutku

T − 1) opcije koja u trenutku T vrijedi ZT , a jednaka je

S0T−1E

∗[ZT |FT−1] = S0T−1E

∗[ZTS0T

|FT−1].

Naravno, investitor ce se odluciti za vecu od te dvije vrijednosti, pa je

UT−1 = maxZT−1, S

0T−1E

∗[ZT |FT−1],

= max

ZT−1, S

0T−1E

∗[ZTS0T

|FT−1]

.

• u trenutku t = T − 2 investitor odmah moze iskoristiti opciju i dobiti iznos ZT−2 ili je

ne iskoristiti. Tada ce u trenutku T − 1 opcija vrijediti UT−1. Vrijednost (u trenutku

T − 2) opcije UT−1 s dospijecem T − 1 iznosi

S0T−2E

∗[UT−1S0T−1|FT−2

],

pa slijedi da je

UT−2 = max

ZT−2, S

0T−2E

∗[UT−1S0T−1|FT−2

].

23

• indukcijom unatrag dobivamo cijenu Ut za sve t = 0, 1, . . . , T kako slijedi:

UT = ZT , (2.49)

Ut = max

Zt, S

0t E∗[Ut+1

S0t+1

|Ft]

. (2.50)

Niz diskontiranih cijena opcije U = (Ut, 0 ≤ t ≤ T ) definiran formulom Ut = Ut/S0t koji

zadovoljava sljedeca svojstva

UT = ZT , (2.51)

Ut = maxZt,E

∗[Ut+1|Ft

], t = 0, 1, . . . , T ; (2.52)

je Snellov omotac slucajnog procesa Z = (Zt, 0 ≤ t ≤ T ).

Propozicija 2.4. Niz (Ut, 0 ≤ t ≤ T ) je P∗-supermartingal. To je najmanji P∗-supermartingal

koji dominira niz (Zt, 0 ≤ t ≤ T ).

Dokaz. Za dokaz vidi [14, Propozicija 2.31].

Napomena 2.3. Za razliku od europskog slucajnog zahtjeva, diskontirana cijena americkog

slucajnog zahtjeva nije nuzno P∗-martingal, vec samo P∗-supermartingal.

Sada cemo primjeniti Doobovu dekompoziciju (Propozicija 2.2) na supermartingal U .

Nakon primjene vrijedi U = M − A, gdje je M P∗-martingal, a A je neopadajuci pre-

dvidiv proces. Trziste je potpuno pa postoji samofinancirajuca strategija ϕ takva da nakon

diskontiranja vrijedi: VT (ϕ) = MT . Prema Teoremu 1.1 vrijedi:

Vt(ϕ) = E∗[VT (ϕ)|Ft] = E∗[MT |Ft] = Mt.

Takoder imamo da je Ut = Vt(ϕ)− At, pa slijedi

Ut = Vt(ϕ)− At, (2.53)

gdje je At := S0t At. Prema ovoj formuli pisac opcije prodaje americku opciju Z = (Zt, 0 ≤ t ≤

T ) u trenutku t = 0 za njenu vrijednost U0, gdje iz formule vidimo da je U0 = V0(ϕ) za neki

portfelj ϕ, te pisac u tom trenutku t = 0 za iznos U0, koji je dobio prodavsi opciju, kupuje

samofinancirajuci portfelj ϕ. Slijedivsi strategiju ϕ pisac opcije u trenutku t ima portfelj u

vrijednosti Vt(ϕ). Prema formuli (2.53) vidimo da je Vt(ϕ) ≥ Ut, a takoder je Ut ≥ Zt, iz cega

zakljucujemo da za svaki t ∈ 0, 1, . . . , T vrijedi Vt(ϕ) ≥ Zt. Ova nejednakost za pisca opcije

znaci da on u svakom trenutku t moze pokriti obvezu koju je preuzeo prodajom americke

opcije Z. Ocigledno postoji mogucnost arbitraze: ako kupac opcije odluci iskoristiti opciju u

optimalnom trenutku t u kojem vrijedi stroga nejednakost Zt < Vt(ϕ), pisac opcije ostvaruje

24

profit u iznosu Vt(ϕ)−Zt. Zakljucujemo da optimalno vrijeme izvrsenja mora biti u trenutku

u kojem je Vt(ϕ) = Zt.

Za optimalno vrijeme τ za iskoristiti opciju mora vrijediti

τ0 ≤ τ ≤ τmax i Aτ = 0,

gdje je τ0 = mint ≥ 0, Ut = Zt, a τmax = mint ≥ 0, At+1 6= 0. Objasnimo sada ovaj

zahtjev za optimalno vrijeme τ . Vrijednost opcije Ut veca je od vrijednosti Zt u trenutku t

u kojem je Ut > Zt. U tom trenutku t za kupca opcije bolje je prodati opciju za Ut nego

ju iskoristiti i dobiti Zt. Dakle, ovaj zahtjev nam sugerira da za optimalno vrijeme τ mora

vrijediti Ut = Zt, a najmanje takvo vrijeme definirano je sa τ0. S druge strane, ukoliko kupac

opcije iskoristi opciju u trenutku τmax u kojem je Uτmax = Zτmax dobiti ce iznos Uτmax koji je

jednak Vτmax(ϕ) (zbog Aτmax = 0) i za taj iznos moze kupiti portfelj ϕ i slijedivsi strategiju ϕ

zaraduje iznose koji su u trenucima τmax + 1, τmax + 2, . . . , T strogo veci nego vrijednost opcije

u tim istim trenucima: Vt(ϕ) = Ut+At > Ut, t = τmax +1, τmax +2, . . . , T . Na taj nacin kupac

opcije zaraduje manje iskoristavanjem opcije nakon trenutka τmax nego iskoristavanjem opcije

u trenutku τmax i slijedenjem strategije ϕ cime opravdavamo zahtjev τ ≤ τmax.

Iz jednakosti U = M − A dobivamo da je Uτ = Mτ , sto znaci da je Uτ P∗-martingal.

Formalizirajmo gornja razmatranja sljedecim teoremom koji slijedi prema Teoremu 2.3:

Teorem 2.4. Neka je Z = (Zt, 0 ≤ t ≤ T ) americka opcija. Vrijeme zaustavljanja τ optimalno

je za iskoristiti opciju Z ako i samo ako vrijedi:

Zτ = Uτ i Uτ je P∗-martingal.

U nastavku cemo razmotriti vezu izmedu americke i europske opcije i pomocu tih rezultata

pronaci optimalno vrijeme izvrsenja americke call opcije.

Propozicija 2.5. Neka je Ut vrijednost americke opcije Z = (Zt, 0 ≤ t ≤ T ) u trenutku t, te

neka je Ct vrijednost u trenutku t europske opcije dane slucajnim zahtjevom C = ZT . Tada

vrijedi Ut ≥ Ct za sve t = 0, 1, . . . , T . Nadalje, ako je Ct ≥ Zt za svaki t, tada je Ut = Ct za

sve t = 0, 1, . . . , T .

Dokaz. Kako je diskontirani proces U P∗-supermartingal, vrijedi

Ut ≥ E∗[UT |Ft] = E∗[ZT |Ft] = E∗[CT |Ft] = Ct

sto dokazuje prvu tvrdnju propozicije.

Neka je Ct ≥ Zt za svaki t. Slijedi da je C ≥ Z, tj. C dominira Z. Kako je C = (Ct, 0 ≤t ≤ T ) P∗-martingal, to je C ujedno i P∗-supermartingal. U je Snellov omotac niza Z, dakle

najmanji P∗-supermartingal koji dominira Z. Zato je U ≤ C sto dokazuje drugu tvrdnju i

dokaz propozicije je gotov.

25

Pretpostavimo sad da je Zt = (S1t − K)+, t = 0, 1, . . . , T americka call opcija na prvu

financijsku imovinu s cijenom izvrsenja K. Neka je Ct vrijednost europske call ocije (S1T −K)+

u trenutku t, te neka je Ut vrijednost americke opcije u trenutku t. Tada vrijedi

Ct = (1 + r)−TE∗[(S1T −K)+|Ft] (2.54)

= E∗[(S1T −K(1 + r)−T )+|Ft]

≥ E∗[S1T −K(1 + r)−T |Ft]

= S1T −K(1 + r)−T .

Kada pomnozimo obje strane s S0t = (1 + r)t dobivamo

Ct ≥ S1t −K(1 + r)−T+t ≥ S1

t −K

uz strogu nejednakost za t = 0, 1, . . . , T−1. Zbog Ct ≥ 0 dobivamo da je Ct ≥ (S1t −K)+ = Zt.

Prema Propoziciji 2.5 dobivamo da je Ct = Ut za sve t = 0, 1, . . . , T . Pa zakljucujemo da

americka call opcija vrijedi jednako kao i europska call opcija.

Pronadimo sad optimalno vrijeme izvrsenja americke call opcije.

1 Kako je Ut = Ct slijedi Ut = Ct, te je stoga U P∗-martingal. Nadalje, kako je U =

V (ϕ)− A slijedi da je At = 0, t = 0, 1, . . . , T , tj. A = 0. Odavde zakljucujemo da je τmax = T

(vidi Propoziciju 2.3), tj. da je za izvrsiti americku call opciju optimalno cekati do dana

dospijeca.

2 Pretpostavimo sad da je τ proizvoljno optimalno vrijeme izvrsenja americke call opcije.

Iz Teorema 2.4 je Ut = Zt, odnosno zbog U = C vrijedi

Cτ = Zτ = (S1τ −K)+.

Kako je Ct > S1t −K za sve t ∈ 0, 1, . . . , T − 1, te kako je CT = (S1

T −K)+ slijedi da je

Cτ ≥ S1τ −K.

Stroga nejednakost u gornjem izrazu vrijedi za τ ≤ T −1, pa prema tome za τ ≤ T −1 imamo

(S1τ −K)+ = Cτ > S1

τ −K,

a to je moguce samo kad je S1τ −K < 0. Dakle, slijedi da je Cτ = (S1

τ −K)+ = 0. Jednostavno

je pokazati da je za sve t > τ Ct = 0.

Prema 1 i 2 zakljucujemo da ako je τ optimalno vrijeme za iskoristiti americku call opciju

da je tada τ = T (optimalno je cekati do datuma dospijeca opcije) ili je u trenutku

τ vrijednost americke (kao i europske) call opcije jednaka nuli.

Sljedecim primjerom ilustrirat cemo prethodna razmatranja odredivanja optimalnog vre-

mena izvrsenja americke call opcije.

26

2.1.4. Primjer: vrijeme izvrsenja americke call opcije

Pretpostavimo da je financijsko trziste modelirano Cox-Ross-Rubinsteinovim modelom de-

finiranim u odjeljku 1.2.1.

Primjer 2.1. Neka je C cijena americke call opcije sa cijenom izvrsenja K = 21. Neka je

efektivna kamatna stopa jednaka 5 %, tj. r = 0.05. Model promatramo u 3 diskretna vremenska

trenutka, tj. T = 3. U trenutku T = 0 neka cijena dionice iznosi 20 (S10 = 20), te neka su

relativne promjene cijena dionica dane sa a = −0.1 i b = 0.2, a vjerojatnost da vrijednost

dionice poraste jednaka je vjerojatnosti da vrijednost dionice padne, dakle p = 12.

Eksplicitno izracunavanje filtracije F u ovom primjeru analogno je kao u primjeru 1.1.

Oznakom Bt,j na slici 2.3 dan je j-ti atom Ft σ-algebre. Na primjer, sa B2,3 dan je atom

(a, b, b), (a, b, a) σ-algebre F2 koji oznacava da je u t = 1 relativna promjena cijene dionice

jednaka a, u trenutku t = 2 je jednaka b, a u trenutku t = 3 relativna promjena cijene dionice

moze biti ili b ili a.

Sljedecim stablom dane su cijene dionica i prihodi od americke call opcije u CRR modelu:

Slika 2.3: Stablo CRR modela iz primjera 2.1

Primjenjujuci metodu indukcije unatrag konstruiramo novi niz slucajnih varijabli (St, 0 ≤t ≤ T ) gdje je niz Gk iz rekurzivnih relacija (2.6)-(2.7) u nasem primjeru dan sa nizom

vrijednosti americke put opcije (Zt, 0 ≤ t ≤ T ). Prema (2.6) dobivamo da je

S3 = Z3.

27

Zatim slijedi

E∗(S3|F2) = E∗(Z3|F2) =

12(13.56 + 4.92) = 9.24, ako ω ∈ B2,112(4.92 + 0) = 2.46, ako ω ∈ B2,2

12(4.92 + 0) = 2.46, ako ω ∈ B2,3

12(0 + 0) = 0, ako ω ∈ B2,4;

iz cega prema (2.7) dobivamo da je

S2 = max Z2,E∗(S3|F2) =

max 7.8, 9.24 = 9.24, ako je ω ∈ ω1, ω2max 0.6, 2.46 = 2.46, ako je ω ∈ ω3, ω4max 0.6, 2.46 = 2.46, ako je ω ∈ ω5, ω6

0, ako je ω ∈ ω7, ω8.

Analogno racunamo da je

E∗(Z2|F1) =

12(9.24 + 2.46) = 5.85, ako je ω ∈ ω1, ω2, ω3, ω412(2.46 + 0) = 1.23, ako je ω ∈ ω5, ω6, ω7, ω8.

iz cega slijedi da je

S1 = max Z1,E∗(S2|F1) =

max 3, 5.85 = 5.85, ako je ω ∈ ω1, ω2, ω3, ω4max 0, 1.23 = 1.23, ako je ω ∈ ω5, ω6, ω7, ω8.

Konacno slijedi da je

S0 = max Z0,E∗(S1|F0) = max

0,

1

2(5.85 + 1.23)

= 3.54.

Tehnika indukcije unatrag koja rjesava problem optimalnog zaustavljanja u diskretnom

vremenu predlaze da u obzir uzmemo sljedeca vremene zaustavljanja (prema (2.8)): τNn =

infn ≤ k ≤ N : SNk = Gk. Slijedi da je jedino vrijeme koje zadovoljava taj uvjet τ3, jer za

t = 3 vrijedi da je S3 = Z3, pa je τ3 optimalno vrijeme zaustavljanja.

Na temelju toga zakljucujemo da je optimalno vrijeme izvrsenja americke call opcije iz

naseg primjera τ3, odnosno, optimalno je cekati do vremena dospijeca opcije T = 3 i tada

izvrsiti opciju.

Ovim primjerom smo potvrdili zakljucak da je za izvrsenje americke call opcije optimalno

cekati do datuma dospijeca.

Napomena 2.4. CRR model iz primjera 2.1 ne dopusta arbitrazu i potpun je. Naime, vidimo

da je a < r < b, tj. iz primjerom zadanih vrijednosti vrijedi −0.1 < 0.05 < 0.2, pa prema

Propoziciji 1.2 slijedi da je model potpun i ne dopusta arbitrazu.

Sada istrazimo optimalno vrijeme izvrsenja americke put opcije.

28

2.1.5. Americka put opcija u diskretnom vremenu

Pretpostavljamo da je model definiran kao u odjeljku 1.2. i da su sva razmatranja analogna

kao u odjeljku 2.1.3., samo sto sada promatramo put opciju.

Zbog toga slijedi analogno prema racunu (2.54) koji je bio za americku call opciju za

americku put opciju Zt := (K − S1t )

+ da je

Pt ≥ K(1 + r)−T+t − S1t

i ne mozemo zakljuciti da je Pt ≥ K −S1t . Zakljucujemo da americka put opcija opcenito

vrijedi vise od europske put opcije, pa ima smisla pretpostaviti da optimalno

vrijeme izvrsenja te opcije nije u trenutku dospijeca T kao sto smo dobili za call

opciju.

Prethodne rezultate i zakljucke predstavit cemo u sljedecem primjeru.

2.1.6. Primjer: vrijeme izvrsenja americke put opcije

Matematicki model kojim cemo definirati financijsko trziste u primjeru je Cox-Ross-Rubinsteinov

i opisan je u odjeljku 1.2.1.

Primjer 2.2. Neka je sad P cijena americke put opcije sa cijenom izvrsenja K = 19. Sljedeci

podaci su isti kao u primjeru americke call opcije: T = 3, r = 0.05, S10 = 20, a = −0.1, b = 0.2,

p = 12.

Eksplicitno izracunavanje filtracije F u ovom primjeru analogno je kao u primjeru 1.1.

Sljedecim stablom dane su cijene dionica i prihodi od americke put opcije u CRR modelu:

Slika 2.4: Stablo CRR modela iz primjera 2.2

29

Primjenjujuci metodu indukcije unatrag konstruiramo novi niz slucajnih varijabli (St, 0 ≤t ≤ T ) gdje je niz Gk iz rekurzivnih relacija (2.6)-(2.7) u nasem primjeru dan sa nizom

vrijednosti americke put opcije (Zt, 0 ≤ t ≤ T ). Prema (2.6) dobivamo da je

S3 = Z3.

Zatim slijedi

E∗(S3|F2) = E∗(Z3|F2) =

12(0 + 0) = 0, ako ω ∈ B2,1

12(0 + 0) = 0, ako ω ∈ B2,2

12(0 + 0) = 0, ako ω ∈ B2,3

12(0 + 4.42) = 2.21, ako ω ∈ B2,4;

iz cega prema (2.7) dobivamo da je

S2 = max Z2,E∗(S3|F2) =

0, ako je ω ∈ ω1, ω20, ako je ω ∈ ω3, ω40, ako je ω ∈ ω5, ω6

max 2.8, 2.21 = 2.8, ako je ω ∈ ω7, ω8.

Analogno racunamo da je

E∗(Z2|F1) =

12(0 + 0) = 0, ako je ω ∈ ω1, ω2, ω3, ω4

12(0 + 2.8) = 1.4, ako je ω ∈ ω5, ω6, ω7, ω8.

iz cega slijedi da je

S1 = max Z1,E∗(S2|F1) =

0, ako je ω ∈ ω1, ω2, ω3, ω4

max 1, 1.4 = 1.4, ako je ω ∈ ω5, ω6, ω7, ω8.

Konacno slijedi da je

S0 = max Z0,E∗(S1|F0) = max

0,

1

2(0 + 1.4)

= 0.7.

Tehnika indukcije unatrag koja rjesava problem optimalnog zaustavljanja u diskretnom

vremenu predlaze da u obzir uzmemo sljedeca vremene zaustavljanja (prema (2.8)): τNn =

infn ≤ k ≤ N : SNk = Gk. Pa slijedi da su vremena koja zadovoljavaju taj uvjet τ2 i τ3, jer:

• za t = 2 vrijedi da je S2 = Z2 kad je ω ∈ ω7, ω8, pa je tada τ2 optimalno vrijeme

zaustavljanja,

• za t = 3 vrijedi da je S3 = Z3 kad je ω ∈ ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6, pa je tada τ3 optimalno

vrijeme zaustavljanja.

30

Zbog toga je optimalno vrijeme zaustavljanja americke put opcije dano sa

τ =

3, ako je ω ∈ ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω62, ako je ω ∈ ω7, ω8.

Lako se moze provjeriti da bilo koje drugo vrijeme izvrsenja opcije rezultira manjim priho-

dom opcije (npr. ukoliko cekamo do datuma dospijeca T = 3 dobivamo prihod u iznosu 0.5525,

sto je manje od 0.7), sto ilustrira zakljucak da je τ optimalno vrijeme izvrsenja americke put

opcije u navedenom primjeru.

Napomena 2.5. Analogno kao u napomeni 2.4 lako je vidjeti da CRR model iz primjera 2.2

takoder ne dopusta arbitrazu i potpun je.

U narednom poglavlju predstavit cemo osnovne rezultate problema odredivanja optimalnog

trenutka izvrsenja americke opcije u neprekidnom vremenu.

2.2. Pregled osnovnih rezultata americkih opcija u ne-

prekidnom vremenu

Analogno kao u diskretnom vremenu za americku call opciju dobivamo da je optimalno

cekati do datuma dospijeca za iskoristiti opciju, stoga cemo daljnja razmatranja u neprekidnom

vremenu provesti samo za americku put opciju.

Za osnovnu matematicku teoriju problema optimalnog zaustavljanja u neprekidnom vre-

menu pogledajte [9].

2.2.1. Americka put opcija bez vremena dospijeca

Prema teoriji modernih financija nearbitrazna cijena americke put bez vremena dospijeca

(trajna opcija) dana je sa

V (x) = sup0≤τ<∞

Ex(erτ (K −Xτ )

+) (2.55)

gdje je supremum uzet po svim vremenima zaustavljanja τ geometrijskog Brownovog gibanja

X = (Xt, t ≥ 0) kojim je modelirana cijena dionice. Geometrijsko Brownovo gibanje je rjesenje

stohasticke diferencijalne jednadzbe

dXt = rXtdt+ σXtdBt (2.56)

gdje je X0 = x > 0. B = (Bt, t ≥ 0) je standardno Brownovo gibanje, r > 0 je efektivna ka-

matna stopa, K > 0 je cijena izvrsenja i σ > 0 je koeficijent volatilnosti. Volatilnost je u nasem

slucaju statisticka mjera rasprsenosti povrata od cijene dionice. Pojednostavljeno receno, vo-

latilnost nam govori o velicini promjene cijene dionice u proteklom periodu, a najcesce je

izrazena kao standardna devijacija promjene cijene u tom periodu. Sto je stopa volatilnosti

31

veca zakljucujemo da je cijena dionice u proteklom periodu imala vece fluktuacije, pa je i rizik

ulaganja u tu dionicu veci.

Jedndzba (2.56) ima jedinstveno rjesenje dano sa

Xt = x exp(σBt + (r − σ2)t) (2.57)

za t ≥ 0 i x > 0. Proces je jaki Markovljev sa infinitezimalnim generatorom danim sa

Lx = rx∂

∂x+σ2

2x2

∂2

∂x2. (2.58)

Rijesiti ovaj problem znaci izracunati nearbitraznu cijenu V u jednadzbi (2.55) i odrediti

optimalno vrijeme izvrsenja τ∗ u kojem je postignut supremum u jednadzbi (2.55).

Iz (2.55) i (2.57) vidimo da sto je X blize nuli to je manja vjerojatnost da ce se dobitak

u nastavku povecati. Iz ovoga zakljucujemo da postoji tocka b ∈ (0, K) takva da je vrijeme

zaustavljanja

τb = inft ≥ 0 : Xt ≤ b (2.59)

optimalno u problemu (2.55). Napomenimo da je inf(∅) =∞ prema standardnoj konvenciji.

Na sljedecoj slici prikazana je skica problema optimalnog zaustavljanja americke put opcije

u beskonacnom vremenu..

Slika 2.5: Skica problema optimalnog zaustavljanja u beskonacnom vremenu

Da bismo rijesili problem transformirat cemo ga u problem bez ogranicenja (engl. free

boundary problem). Za detalje ove transformacije vidi [9].

Standardni argumenti utemeljeni na jakom Markovljevom svojstvu vode do sljedeceg pro-

blema bez ogranicenja za nepoznatu funkciju vrijednosti V i nepoznatu tocku b:

32

LxV = rV za x > b, (2.60)

V (x) = (K − x)+ za x = b, (2.61)

V ′(x) = −1 za x = b, (2.62)

V (x) > (K − x)+ za x > b, (2.63)

V (x) = (K − x)+ za 0 < x < b. (2.64)

Rjesavanjem ovog problema dobivamo da je granica optimalnog zaustavljanja dana sa:

b =K

1 +D/r, (2.65)

gdje je D = σ2/2. Te dobivamo da je funkcija vrijednosti V dana sa

V (x) =

D

r

(K

1 +D/r

)1+r/D

x−r/D za x ∈ [b,∞),

K − x za x ∈ (0, b].

(2.66)

Za detalje postupka rjesavanja navedenog problema vidi [9].

Prethodne rezultate i zakljucke formaliziramo sljedecim teoremom:

Teorem 2.5. Nearbitrazna cijena V trajne americke put opcije (2.55) dana je eksplicitno sa

(2.66). Vrijeme zaustavljanja τb iz (2.59) sa b danim sa (2.65) je optimalno u problemu (2.55).

Dokaz. Za dokaz teorema vidi [9, str. 377, Teorem 25.1].

2.2.2. Americka put opcija s vremenom dospijeca T

Nearbitrazna cijena americke put opcije definirane u konacnom vremenu, odnosno americke

put opcije koja ima definirano vrijeme dospijeca T dana je sa

V (t, x) = sup0≤τ≤T−t

Et,x

(e−rτ (K −Xt+τ )

+) (2.67)

gdje je τ vrijeme zaustavljanja geometrijskog Brownovog gibanja X = (Xt+s, s ≥ 0) koje je

rjesenje stohasticke diferencijalne jednadzbe

dXt+s = rXt+sds+ σXt+sdBs (2.68)

za Xt = x > 0. B = (Bt, t ≥ 0) je standardno Brownovo gibanje, T je datum dospijeca

(izvrsenja), r > 0 je efektivna kamatna stopa, K > 0 je cijena izvrsenja i σ > 0 je koeficijent

volatilnosti. Geometrijskim Brownovim gibanjem modelirana je cijena dionice.

33

Jedndzba (2.68) ima jedinstveno rjesenje dano sa

Xt+s = x exp(σBs + (r − σ2/2)s) (2.69)

za t ≥ 0 i x > 0. Proces je jaki Markovljev sa infinitezimalnim generatorom danim sa

Lx = rx∂

∂x+σ2

2x2

∂2

∂x2. (2.70)

Standardni argumenti bazirani na jakom Markovljevom svojstvu vode do sljedeceg para-

bolicnog problema bez ogranicenja (za detalje vidi [9]) za nepoznatu funkciju vrijednosti V i

nepoznatu granicu b:

Vt + LxV = rV u podrucju C, (2.71)

V (t, x) = (K − x)+ za x = b(t), (2.72)

Vx(t, x) = −1 za x = b(t), (2.73)

V (t, x) > (K − x)+ u podrucju C, (2.74)

V (t, x) = (K − x)+ u podrucju D; (2.75)

gdje su podrucje nastavka C i podrucje zaustavljanja D (zatvarac skupa D) definirani sa:

C = (t, x) ∈ [0, T )× (0,∞) : x > b(t), (2.76)

D = (t, x) ∈ [0, T )× (0,∞) : x < b(t); (2.77)

i b : [0, T ]→ R je optimalna granica zaustavljanja, tj. vrijeme zaustavljanja

τb = inf0 ≤ s ≤ T − t : Xt+s ≤ b(t+ s) (2.78)

je optimalno u problemu (2.67); odnosno, u vremenu zaustavljanja τb je postignut supremum

u problemu (2.67). Na sljedecoj slici prikazana je skica problema optimalnog zaustavljanja u

konacnom vremenu.

Slika 2.6: Skica problema optimalnog zaustavljanja u konacnom vremenu

34

Za V i b vrijede sljedeca svojstva:

• V je neprekidna na [0, T ]× R+, (2.79)

• V je klase C1,2 na C( i klase C1,2 na D), (2.80)

• x 7→ V (t, x) je opadajuca i konveksna za Vx(t, x) ∈ [−1, 0], (2.81)

• t 7→ V (t, x) je opadajuca za V (T, x) = (K − x)+, (2.82)

• t 7→ b(t) je rastuca i neprekidna za 0 < b(0+) < K i b(T−) = K. (2.83)

U ovom radu necemo dokazivati navedena svojstva, za detalje i dokaze svojstava vidi [9,

str. 379 - 383].

Rjesenje ovog problema je dano sa:

K − b(t) = e−r(T−t)∫ K

0

Φ

(1

σ√T − t

(log

K − zb(t)

−(r − σ2

2

)(T − t)

))dz

+rK

∫ T−t

0

e−ruΦ

(1

σ√u

(log

b(t+ u)

b(t)−(r − σ2

2

)u

))du (2.84)

za svaki t ∈ [0, T ] gdje je Φ(x) = (1/√

2π)∫ x−∞ e

−z2/2dz za x ∈ R. Gornja jednadzba (2.84) je

linearna Volterrova integralna jednadzba druge klase (vidi [12]).

Za detalje postupka rjesavanja navedenog problema vidi [9].

Rezultate i zakljucke za optimalno izvrsenje americke put opcije sa vremenom dospijeca T

formaliziramo sljedecim teoremom:

Teorem 2.6. (Konacno vrijeme)

Optimalna granica zaustavljanja u problemu americke put opcije (2.67) moze biti predstav-

ljena kao jedinstveno rjesenje jednadzbe bez ogranicenja (2.84) u klasi neprekidnih rastucih

funkcija c : [0, T ]→ R koje zadovoljavaju uvjet 0 < c(t) < K za sve 0 < t < T .

Dokaz. Dokaz teorema vidi u [9, str. 386, Teorem 25.3].

35

Literatura

[1] B. BASRAK, Matematicke financije, web-skripta, PMF-MO, Zagreb, 2009.

[2] W. A. BAXTER, A. RENNIE, Financial Calculus, Cambridge University Press, Cam-

bridge, 1996.

[3] Y. S. CHOW, H. ROBBINS, D. SIEGMUND, Great Expectations: The theory of Optimal

Stopping, Houghton Mifflin Company, Boston, 1971.

[4] J. C. HULL, Options, futures, and other derivatives, Pearson Education, New Yersey,

2009

[5] D. LAMBERTON, B. LAPEYRE, Introduction to Stohastic Calculus Applied to Finance,

Chapmann & Hall, Washington, 1996.

[6] D. LAMBERTON, Optimal stopping and American options, Universite Paris-Est, Paris,

2009.

[7] M. MUSIELA, M. RUTKOWSKI, Martingale Methods in Financial Modelling, Springer,

London, 2005.

[8] G. PESKIR, On the American Option Problem, Math. Finance 15(2005), 169-181.

[9] G. PESKIR, A. SHIRYAEV, Optimal stopping and Free-Boundary Problems, Department

of Mathematics: Research Institute of Mathematics, Zurich, 2006.

[10] S. ROMAN, Introduction to the Mathematics of Finance, Springer, New York, 2004.

[11] A. SHIRYAEV, Optimal Stopping Rules, Steklov Mathematical Institute, Moskva, 2008.

[12] F. G. TRICOMI, Integral Equations, Interscience Publisher, New York - London, 1957.

[13] N. UYS, Optimal Stopping Problems and American Options, University of the Witwater-

srand, Johannesburg, 2005.

[14] Z. VONDRACEK, Financijsko modeliranje, web-skripta, PMF-MO, Zagreb, 2008.

36

Sazetak

U radu smo predstavili osnovne koncepte trgovanja opcijama na financijskom trzistu. U

sredistu izucavanja bile su americke opcije.

Glavni problem kojeg smo rjesavali u diskretnom vremenu bio je odrediti optimalno vrijeme

izvrsenja americke call i put opcije.

Kroz definicije, teoreme, analiticke primjere, jednostavne skice, te pomocu matematickih

metoda, tehnika i modela objasnjena je teorija optimalnog zaustavljanja koja je od iznimne

vaznosti za sudionike financijskih trzista. Jer odluka o vremenu izvrsenja americke opcije

direktno utjece na profit koji ostvaruje vlasnik opcije: optimalno odabrano vrijeme izvrsenja

americke opcije maksimizira njegov profit.

37

Title and summary

American options and optimal stopping problem

In this paper we present the basic concepts of trading with options on the financial market.

In the center of the study are american options.

The main problem that we solve in discrete time was to determine the optimal exercise

time of american call and put options.

Theory of optimal stopping is of extreme importance for the participants on financial

markets. That theory is presented with definitions, theorems, analytical examples, simple

sketches, and with using mathematical methods, techniques and models. Decision when to

exercise american option directly affects on the profits of the owner of options: optimal exercise

time of american option maximizes his profit.

38

Zivotopis

Roden sam 1. 1. 1985. godine u Osijeku. Od 1991. do 1999. godine pohadao sam OS

Ante Starcevica Viljevo. 2003. godine maturirao sam opci gimnazijski program u Srednjoj

skoli Donji Miholjac. 2009. godine diplomirao sam na Preddiplomskom sveucilisnom studiju

matematike Odjela za matematiku Sveucilista J. J. Strossmayera u Osijeku. Iste 2009. godine

upisujem Sveucilisni diplomski studij matematike na Odjelu za matematiku u Osijeku, smjer:

Financijska i poslovna matematika.

39