EĞİLME

Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır.

EĞİLMEMühendislikte en önemli yapı ve makine elemanları mil ve kirişlerdir. Bubölümde, mil ve kirişlerde eğilmenin sebep olduğu gerilme belirlenecektir.Öncelikle, kiriş veya mil için kesme ve moment diyagramının nasıloluşturulacağı ele alacağız. Normal kuvvet ve tork diyagramları gibi kesme vemoment diyagramları da elemandaki hem en büyük kesme ve momentinbüyüklüğünü hem de yerinin belirlenmesi için oldukça kullanışlı grafikler sağlar.Bir kesitteki iç momentin belirlenmesinden sonra eğilme gerilmesihesaplanabilir. Öncelikle, simetrik kesitli lineer elastik homojen malzemedendoğrusal elemanlar ele alınacaktır.

Basit mesnetli çıkmalı kiriş

Konsol kiriş

Basit mesnetli kiriş

EĞİLME

Basit mesnetli çıkmalı kiriş

Konsol kiriş

Basit mesnetli kiriş

İnce ve boyuna eksenine dik doğrultuda uygulanan yükleri taşıyan yapıelemanları kiriş olarak adlandırılır. Kirişler, genellikle sabit kesitli doğrusal veuzun çubuklar olup çoğu kez mesnet şekillerine göre sınıflandırılırlar. Örneğin,Şekil görüldüğü üzere basit mesnetli kiriş bir ucundan pim (mafsal) diğerucundan kayar mesnetli, konsol kiriş bir ucu sabit diğer ucu serbest ve çıkmalıkiriş bir ucu pim bağlı diğer ucu veya uçları ise kayıcı mesnet üzerine serbestçeuzanır. Bütün yapı elemanları arasında en önemlisinin kiriş olduğu söylenir.Binanın döşemesinde, köprünün tabyasında veya uçak kanadının taşınmasındakirişler kullanılır. Ayrıca, otomobilin aksı, vincin kolu, vücudumuzdakikemiklerin birçoğu kiriş olarak görev yaparlar.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)Uygulanan yükler sebebiyle kirişlerde genellikle kiriş ekseni boyunca birnoktadan diğerine değişen iç kesme kuvveti ve eğilme momenti meydanagelir. Bu yüzden uygun bir kiriş tasarımı için öncelikle kirişteki maksimumkesme ve eğilme momentinin belirlenmesi gerekir. Bunların elde edilmesininbir yöntemi de V (kesme) ve M (moment) nin kiriş ekseni boyunca herhangibir x mesafenin fonksiyonu olarak ifade edilmesidir. Elde edilen bu kesme vemoment fonksiyonlarının grafiği çizilerek diyagram olarak sunulur. Bugrafiklere kesme ve moment diyagramları denir. V ve M’ nin maksimumdeğerleri bu grafiklerden kolayca elde edilir. Ayrıca, bu diyagramlardankiriş ekseni boyunca kesme kuvveti ve eğilme momentindeki değişimlerhakkında detaylı bilgi sağladığı için genellikle mühendisler tarafındankirişin takviye edilmesi gereken yerlerini veya kiriş uzunluğu boyunca farklınoktalarda kiriş boyutunun nasıl değiştiğini belirlemek için kullanılırlar.

V ve M’ yi x terimiyle formüle etmek için x pozisyonun orijin ve pozitifyönünün seçimi yapılmalıdır. Seçim keyfi olmakla birlikte, çoğu zamanorijin kirişin sol ucuna yerleştirilir ve pozitif yön sağa doğru kabul edilir.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)Genellikle, x’ e bağlı elde edilen iç kesme ve moment fonksiyonları, yayılıkuvvetlerinin değişim gösterdiği noktalar ile tekil kuvvet ve momentinuygulandığı noktalarda süreksiz olacak veya eğimleri süreksiz olacaktır. Buyüzden kesme ve moment fonksiyonları kirişteki yüklemenin süreksizolduğu iki noktası arasındaki her bir bölge için belirlenir. Örneğin, şekildekikiriş uzunluğu boyunca V kesme ve M momentinin değişimini ifade ederkenx1, x2 ve x3 koordinatları kullanılacaktır. Bu koordinatlardan x1 sadece A danB ye, x2 B den C ye ve x3 C den D ye kadar olan bölgede geçerlidir.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)Kiriş İçin İşaret Kabulü. İşaret kabulünün seçimi keyfi olsa da, biz buradamühendislik uygulamalarında yaygın olarak tercih edilen ve şekilde görülenişaret kabulünü kullanacağız. Pozitif yönler şu şekildedir: Yayılı yük, kirişeyukarı doğru etki eder. İç kesme kuvveti, etki ettiği kiriş parçasının saatyönünde dönmesine sebep olur. İç moment, kiriş parçasının üst liflerindekısalma meydana getirecektir. Böyle eğilen bir kiriş, içinde ‘akışkantutabilecek’ şekildedir. Bunlara zıt yönde olan yüklemeler negatif olacaktır.

Pozitif dış yayılı yük

Pozitif iç kesme yükü

Pozitif iç moment

Pozitif İşaret Kabulü

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)ÖRNEK: Şekilde görülen üniform yayılı yüke maruz basit mesnetli kirişin kesmeve moment diyagramını çiziniz.

ÇÖZÜMMesnet Tepkileri. Mesnet tepkileri hesaplanır.Kesme ve Moment Fonksiyonları. Kirişin sol parçasının serbest cisim diyagramıŞekil b de görülmektedir. Bu parça üzerindeki yayılı yükün bileşkesi olan wxkuvveti sadece serbest cisim diyagramının izole edilmesinde gösterilir. Bu kuvvet,yayılı yük içeren alanın ağırlık merkezinden ya da kirişin sağ ucundan x/2mesafeden etki eder. İki denge denkleminin uygulanarak iç kuvvetler elde edilir.

ퟎ ≤ 풙 ≤ 푳 Aralığında+↑ ∑ 푭풚 = ퟎ; 풘푳

ퟐ− 풘풙 − 푽 = ퟎ 푽 = 풘(푳

ퟐ− 풙) (1)

↶+∑ 푴 = ퟎ; − 풘푳ퟐ

풙 + 풘풙 풙ퟐ

+ 푴 = ퟎ 푴 = 풘ퟐ

푳풙 − 풙ퟐ (2)

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)

푽 = 풘(푳ퟐ

− 풙) Kesme Fonksiyonu

푴 = 풘ퟐ

푳풙 − 풙ퟐ Moment Fonksiyonu

Kesme ve Moment Diyagramları.Kesmenin sıfır olduğu nokta Denklem (1)den bulunur.

푉 = 푤퐿2 − 푥 = 0

푥 =퐿2

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)ÖRNEK: Şekilde görülen kirişin kesme ve moment diyagramını çiziniz.

ÇÖZÜMMesnet Tepkileri. Mesnet tepkileri hesaplanır.

Kesme ve Moment Fonksiyonları. Kirişin ortasında hem tekil kuvvet hem de yayılıyük süreksizliği olduğu için kirişin tamamı için kesme ve moment fonksiyonlarıifade edilirken iki sürekli bölge için x tanımlanır.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)ퟎ ≤ 풙ퟏ ≤ ퟓ 풎 (AB aralığı sürekli bölge)

+↑ ∑ 푭풚 = ퟎ;ퟓ. ퟕퟓ 풌푵 − 푽 = ퟎ 푽 = ퟓ. ퟕퟓ 풌푵 (1)

↶+∑ 푴 = ퟎ;−ퟖퟎ 풌푵 풎 − ퟓ. ퟕퟓ 풌푵 풙ퟏ + 푴 = ퟎ 푴 = ퟓ. ퟕퟓ풙ퟏ + ퟖퟎ 풌푵 풎 (2)

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)ퟓ ≤ 풙ퟐ ≤ ퟏퟎ 풎 (BC aralığı sürekli bölge)

+↑ ∑ 푭풚 = ퟎ;ퟓ. ퟕퟓ 풌푵 − ퟏퟓ 풌푵 − ퟓ 풌푵 퐦 풙ퟐ − ퟓ 풎⁄ − 푽 = ퟎ 푽 = ퟏퟓ. ퟕퟓ − ퟓ풙ퟐ 풌푵 (3)

↶+∑ 푴 = ퟎ;−ퟖퟎ 풌푵풎 − ퟓ. ퟕퟓ 풌푵 풙ퟐ + ퟏퟓ 풌푵 풙ퟐ − ퟓ 풎 + ퟓ 풌푵 풎 풙ퟐ − ퟓ 풎⁄ 풙ퟐ ퟓ 풎

ퟐ+ 푴 = ퟎ

푴 = −ퟐ. ퟓ풙ퟐퟐ + ퟏퟓ. ퟕ풙ퟐ + ퟗퟐ. ퟓ 풌푵풎 (4)

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)

ퟎ ≤ 풙ퟏ ≤ ퟓ 퐦 (AB aralığı sürekli bölge)

푽 = ퟓ. ퟕퟓ 퐤퐍 (1)

푴 = ퟓ. ퟕퟓ풙ퟏ + ퟖퟎ 퐤퐍퐦 (2)

ퟓ ≤ 풙ퟐ ≤ ퟏퟎ 퐦 (BC aralığı sürekli bölge)

푽 = ퟏퟓ. ퟕퟓ − ퟓ풙ퟐ 퐤퐍 (3)

푴 = −ퟐ. ퟓ풙ퟐퟐ + ퟏퟓ. ퟕ풙ퟐ + ퟗퟐ. ퟓ 퐤퐍퐦 (4)

NOT: Bu sonuçlar, dV/dx=w ve V=dM/dx denher bir parça için kontrol edilebilir. Ayrıcax1=0 iken Denklem (1) ve (2) den V=5.75 kN veM=80 kNm elde edilir; x2=10 m iken Denklem(3) ve (4) den V= –34.25 kN ve M=0 elde edilir.Bu değerler, serbest cisim diyagramı üzerindegörülen mesnet tepkileri ile kontrol edilebilir.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)Kesme ve Moment Diyagramı Oluşturulmasında Grafik Yöntem: Kirişin birkaçfarklı yüklemeye maruz kaldığı durumda, V kesme ve M moment fonksiyonununx uzunluğa bağlı olarak ifade edilip daha sonra bu denklemlerin grafiklerininçizilmesi oldukça uzun hatta sıkıcı olabilmektedir. Bu bölümde, kesme vemoment diyagramını oluşturmak için biri yayılı yük ile kesme kuvveti ve diğerikesme kuvveti ile moment arasındaki ilişkiyi, iki diferansiyel bağıntıyadayandıran basit ve pratik bir yöntem ele alınacaktır.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)Yayılı Yük Bölgeleri. Genelleştirme yapmak amacıyla gelişi güzel yüklemeyemaruz Şekil a da görülen kirişi göz önüne alalım. Kirişin x uzunluğundaki çokküçük parçasının serbest cisim diyagramı Şekil b de görülmektedir. Tekil kuvvet vemomentin olmadığı x mesafesinde seçilen bu parça için elde edilecek sonuçlar tekilyük noktaları için uygulanmayacaktır.

x parçasının serbest cisimdiyagramı

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)Şerit elemana etki eden bütün yüklerin pozitif yönlerde oluşturulduğuna dikkat ediniz.Bununla birlikte, şerit elemanı dengede tutmak için parçanın sağ yüzüne etki eden hembileşke iç kesme hem de moment küçük miktarda değişmelidir. ∆x üzerinde yaklaşık sabitkabul edilen yayılı yük, sağ yüzeyden 1/2 x mesafeden etki eden w(x)x bileşke kuvvetledeğiştirilebilir. Şerit elemana denge denklemleri uygulanarak kesme ve momenttekideğişim elde edilir.

+↑ ∑ 퐹 = 0; 푉 − 푤 푥 ∆푥 − 푉 + ∆푉 = 0

∆푉 = −푤 푥 ∆푥

∆∆

= −푤(푥)Kesme diyagramında bir noktanın eğimi = − bir noktadaki yayılı yükün büyüklüğü

+↺ ∑ 푀 = 0; −푉∆푥 − 푀 + 푤 푥 ∆푥 푘∆푥 + 푀 + ∆푀 = 0

∆푀 = 푉∆푥 − 푤 푥 푘 ∆푥

∆∆

= 푉(푥)Moment diyagramında bir noktanın eğimi = Bir noktadaki kesme kuvvetinin büyüklüğü

x parçasının serbestCisim diyagramı

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)Tekil Kuvvet ve Moment Bölgesi. Şekilde tekil kuvvetin etki ettiği kirişüzerindeki bir noktadan alınan küçük dilim elemanın serbest cisim diyagramışekil (a) da gösterilmiştir. Dengede olan bir kiriş üzerinden alınan elemanın dadengede olması gerektiği için denge denklemleri sağlanmalıdır.

+↑ ∑ 푭풚 = ퟎ; 푽 − 푭 − 푽 + ∆푽 = ퟎ

∆푽 = −푭

Kiriş üzerine F kuvvetinin aşağı doğru etki etmesi halinde, ∆푽 negatifolacağından kesme kuvveti aşağı yönde sıçrama yapar. Aynı şekilde, F kuvvetiyukarı doğru etki ederse, sıçrama ∆푽 yukarı doğru olacaktır.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)Benzer olarak, Şekil (b) den moment dengesi yazılarak momentteki değişim belirlenebilir.

+↺ ∑ 푴푶 = ퟎ; 푴 + ∆푴 − 푴ퟎ − 푽 ∆풙 − 푴 = ퟎ

∆풙 → ퟎ olması halinde, ∆푴 = 푴ퟎ

Bu durumda, eğer 푴ퟎ saat ibreleri dönme yönünde uygulanmaktaysa, ∆푴 pozitifolacağından moment diyagramı yukarı doğru sıçrama yapar. Aynı şekilde, 푴ퟎ saatibreleri tersi dönme yönündeyse sıçrama ∆푴 aşağı doğru olacaktır.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)ÖRNEK: Şekilde görülen kirişin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramınıçiziniz.

ÇÖZÜM:Mesnet Tepkileri. Basit mesnetli kirişin hesaplanan reaksiyon kuvvetleri şekil (b)deki serbest cisim diyagramında gösterilmektedir.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)Kesme Kuvveti Diyagramı. Başlangıç 푨 noktasında, ퟒ. ퟖ 풌푵 kuvvet yukarı doğru etkietmekte olduğundan 푽푨 = +ퟒ. ퟖ풌푵 dur. 푨 ve 푩 arasında yayılı yük etki etmediğinden풅푽 풅풙 = ퟎ⁄ kesme kuvveti sabit kalır. 푩 noktasında, ퟖ 풌푵 aşağı doğru olduğundankesme kuvveti, +ퟒ, ퟖ 풌푵 dan −ퟑ. ퟐ 풌푵’ na aşağı doğru ퟖ 풌푵 luk sıçrama yapar. Bunoktada yine 푩 den 푪 ye kesme kuvveti sabit kalır. Kesme kuvveti 푪 de, aşağı doğruퟖ 풌푵 bir sıçrama daha yaparak −ퟏퟏ. ퟐ 풌푵 değerine erişir. Sonunda, 푪 ve 푫 arasındayayılı yük olmadığından −ퟏퟏ. ퟐ 풌푵 da sona erişir.

EĞİLME (Kesme ve Moment Diyagramları)Moment Diyagramı. Kirişin her ucundakimoment sıfırdır.

Moment diyagramında, 푨 dan 푩 ye eğim +ퟒ. ퟖsabittir. 푩 deki momentin değeri, 푨 ile 푩arasında kesme diyagramının altında kalanalandan belirlenir. ∆푴푨푩= ퟒ. ퟖ 풌푵 ퟔ 풎 =ퟐퟖ. ퟖ 풌푵 풎 dir. 푴푨 = ퟎ olduğundan 푴푩 =푴푨 + ∆푴푨푩 veya ퟎ + ퟐퟖ. ퟖ 풌푵풎 = ퟐퟖ. ퟖ 풌푵풎dir.

Moment diyagramındaki eğim, 푩noktasından 푪noktasına erişene kadar −ퟑ. ퟐ dir.

Momentin büyüklüğü, 푩 den 푪 ye kesmekuvveti diyagramında altında kalan alandanbulunur. ∆푴푩푪= −ퟑ. ퟐ 풌푵 ퟐ 풎 = −ퟔ. ퟒ 풌푵풎ve 푴푪 = ퟐퟖ. ퟖ 풌푵풎 − ퟔ. ퟒ 풌푵풎 = ퟐퟐ. ퟒ 풌푵풎dir. Bu şekilde devam ederek 푫 deki değereerişilir ve diyagram kapanır.

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu)Bu bölümde, homojen malzemeden doğrusal prizmatikbir kirişin eğilmeye maruz kalması halinde oluşandeformasyonlar incelenecektir. Bu inceleme, şekildegörüldüğü gibi, kesiti bir eksenine göre simetriye sahip veeğilme momenti de simetri eksenine dik (풛) eksenietrafında etki etmekte olan kirişlerle sınırlı olacaktır.

Kauçuk gibi yüksek deformasyon kabiliyetine sahip malzeme kullanarak düzgünprizmatik bir elemanın eğilme momentine maruz kalması durumunda, fiziksel olarakneler olacağı görülebilir.

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu)Örneğin, Şekil (a) da enine ve boyuna çizgilerle işaretli kare kesitli deforme olmamışçubuğu göz önüne alalım. Eğilme momenti uygulandığında, çubuğun üzerindeki buçizgiler Şekil (b) de görüldüğü gibi çarpılır. Boyuna çizgiler, eğriye dönüşürken dikeyenine çizgiler, doğrusal kalmakla birlikte dönmeye maruz kalır.

Eğilme momenti çubuğun alt kısmında gerginliğe sebep olurken üst kısmındaki baskıyasebep olur. Bunun sonucunda, bu iki bölge arasında malzemenin boyuna liflerininuzunluklarının değişime maruz kalmadığı tarafsız yüzey denilen nötr bir yüzey olmalıdır.

Deformasyondan önce Deformasyondan sonra

Yatay çizgiler eğri olur

Dikey çizgiler doğrusal kalmakla birlikte döner

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu)Bu gözlemlerden, cismin deformasyonu ile ilgili üç varsayımı yapabiliriz.Birincisi, tarafsız yüzey boyunca uzanan x ekseninin uzunluğu her hangi birdeğişikliğe uğramaz. Moment, kirişi deforme etme meylinde olduğundan bu çizgi,x–y simetri düzleminde uzanan bir eğri olur. İkincisi, kirişin bütün kesitleri düzlemkalırken boyuna eksene de diktirler. Üçüncüsü, kesitin kendi düzlemi içindekideformasyon ihmal edilecektir. Kesit düzleminde uzanan ve kesitin etrafındadöndüğü z ekseni, tarafsız eksen olarak adlandırılır.

Tarafsız eksen

Boyuna eksen

Tarafsız yüzey

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu)Bu eğilme etkisinin cisimde nasıl bir şekil değişimi meydana getirdiğini göstermek içinkiriş uzunluğu boyunca her hangi bir x mesafedeki x kalınlığa sahip deforme olmamışkiriş parçasını izole edeceğiz. Kirişten alınan bu elemanın deforme olmamış ve deformeolmuş durumlarının yan görünüşleri Şekilde görülmektedir.

Deformasyondan önce Deformasyondan sonra

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu)

흐 = ∆푳푳

흐 = 풍풊풎∆풔→ퟎ

∆풔 ∆풔∆풔

Bu zorlanmayı, elemanın y konumu ve boyunaekseninin eğrilik yarıçapı ρ cinsinden ifadeedelim. Deformasyondan önce, ∆s=∆x dir.Deformasyondan sonra, ∆x uzunluğunun eğrilikmerkezi O' ve eğrilik yarıçapı ρ olur. Elemanınkenarları arasındaki açı ∆θ olarak tanımlandığıiçin ∆x=∆s=ρ ∆θ dır. Benzer şekilde, ∆s indeforme olmuş uzunluğu s=(ρ–y)∆θ olur. Budeğerler, yukardaki denklemde yerine yazılırsa

흐 = 풍풊풎∆풔→ퟎ

흆 − 풚 ∆휽 − 흆∆휽흆∆휽

흐 = −풚흆

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu)

Bu önemli sonuç, kiriş üzerindeki herhangi bir elemanın boyuna zorlanmadeğerinin kesit üzerindeki bir noktanın y konumuna ve boyuna ekseninin eğrilikyarıçapına bağlı olduğunu gösterir. Bir başka ifadeyle, belirli bir kesit içinboyuna normal zorlanma tarafsız eksenden uzaklık olan y mesafesi ilelineer değişecektir. Tarafsız eksenin (+y) kadar üzerindeki liflerde kısalma(–ϵ) zorlanma oluşurken (–y) kadar altındaki liflerde uzama (+ϵ) oluşur.Zorlanmadaki bu değişim kesit üzerinde görülmektedir. Burada, en büyükzorlanma tarafsız eksenden y=c mesafede bulunan en dıştaki liflerdeoluşur. ϵmaks=ρ⁄c olduğu için hangi bir noktadaki zorlanma

흐흐퐦퐚퐤퐬

= − 풚 흆⁄풄 흆⁄ veya 흐 = − 풚

풄훜퐦퐚퐤퐬

흐 = −풚흆

EĞİLME (Doğrusal Elemanın Eğilme Deformasyonu)Bu normal zorlanma, sadece deformasyonla ilgili kabuller esas alınarakbelirlenmiştir. Kirişe moment uygulandığında sadece boyuna doğrultuda normalgerilme meydana getirecektir. Diğer bütün normal ve kayma gerilme bileşenlerisıfır olacaktır. Tek eksenli gerilmeyi ifade eden bu durum ϵx zorlanma bileşenioluşmasına sebep olur. Ayrıca, bu deformasyonları burada ihmal etmemizerağmen, Poisson oranı ile kesit alan düzlemini deforme eden ϵy=–vϵx ve ϵz=–vϵxzorlanma bileşenleri arasında da ilişki olmalıdır. Bununla birlikte, bunun gibideformasyonlar kesitin tarafsız ekseninin alt kısmındaki boyutlarda küçülmeyesebep olurken tarafsız ekseninin üst kısmındaki boyutlarında büyümeye sebepolur. Örneğin, kiriş kare kesitli ise, aslında Şekilde görüldüğü gibi deformeolacaktır.

EĞİLME (Eğilme Formülü)Şimdi, kiriş kesitine etki eden bileşke iç eğilme momentini kirişteki gerilmedağılımıyla ilişkilendiren denklemi elde edeceğiz. Bunu yapmak için malzemeninlineer elastik davrandığını varsayacağız. Şekil (a) da görülen normal zorlanmadeğişiminin lineer olması Şekil (b) de de görülen normal gerilme değişiminin delineer olması sonucunu doğurur. Bu yüzden, normal zorlanmanın değişiminebenzer olarak σ normal gerilme de elemanın tarafsız ekseninde sıfırdan en uzakmesafe c ye lineer olarak değişerek maksimum değerini σmaks alır.

Şekil (a). Normal zorlanma değişimi Şekil (b). Normal gerilme değişimi

EĞİLME (Eğilme Formülü)Benzer üçgenler veya Hook kanunu σ=Eϵ kullanarak normal gerilme,

Bu denklem, kesitteki gerilme dağılımını tarif eder. Pozitif M momenti +zyönünde, y nin pozitif değerleri için σ normal gerilme negatif olup negatif xyönünde etki ettiği için basınç gerilmesidir. Kesitin belirli bir noktasından seçilenhacim elemana sadece çekme veya basınç gerilmesi etki edecektir. Örneğin, +ypozisyonundaki bir elemanın gerilme durumu, Şekilde görülmektedir.

흈 = −풚풄

흈퐦퐚퐤퐬

EĞİLME (Eğilme Formülü)Tarafsız eksenin yerini, kesite etki eden gerilmedağılımının meydana getirdiği bileşke kuvvetinsıfıra eşit olması gereğini ifade eden uygunlukşartından buluruz. Şekilde keyfi seçilmiş dAelemanına etki eden kuvvet dF= σdA olarakyazarız.

푭푹 = ∑ 푭풙 = ퟎ;

ퟎ = 풅푭푨

= 흈풅푨푨

ퟎ = −흈풚풄 흈퐦퐚퐤퐬

푨풅푨

ퟎ =−흈퐦퐚퐤퐬

풄 풚푨

풅푨

−흈풎풂풙 풄⁄ sıfıra eşit olamayacağı için integralin sıfıra eşit olması gerekir.

풚푨

풅푨 = ퟎ

Eleman kesit alanının tarafsız eksen etrafındaki birinci momenti sıfır olmalıdır. Bu şart,sadece tarafsız eksenin aynı zamanda kesitin yatay ağırlık merkezi ekseni olmasıylasağlanabilir. Yani, Kesitinin ağırlık merkezi belirlendiğinde tarafsız eksenin yeri de bilinir.

EĞİLME (Eğilme Formülü)Kirişteki gerilme, gerilme dağılımının tarafsız eksen etrafında meydana getirdiğimomentin bileşke iç momente eşit olması gereğinden belirlenir. dF nin Şekildeki tarafsızeksen etrafındaki momenti dM=y dF dir. dF=σ dA olduğundan 휎 = − 휎 ifadesikullanılarak bütün kesit için moment yazılır.

푴푹 풛 = ∑ 푴풛 ;

푴 = 풚푨

풅푭 = 풚 푨

흈풅푨 = 풚풚풄 흈퐦퐚퐤퐬

푨풅푨

푴 =흈퐦퐚퐤퐬

풄 풚ퟐ

푨풅푨

Eşitlikteki integral, kesit alanın tarafsız ekseni etrafındaki atalet momentini temsil eder.Bunu I ile sembolize edeceğiz. Moment ifadesinden σmaks çekilerek aşağıdaki formdayazılır.

흈풎풂풌풔 =푴풄

푰

EĞİLME (Eğilme Formülü)

흈퐦퐚퐤퐬 =푴풄

푰

Buradaσmaks = elemanın kesiti üzerinde tarafsız eksene en uzak noktada oluşanmaksimum normal gerilmeM = kesim metodu ve denge denklemlerinden belirlenen kesitin tarafsızekseni etrafında hesaplanan bileşke iç momentc = tarafsız eksenden en uzak noktaya olan dik mesafe. Bu nokta, σmaks etkiettiği yerdir.I = kesit alanın tarafsız ekseni etrafında hesaplanmış atalet momenti

EĞİLME (Eğilme Formülü)σ 푐⁄ = −휎 푦⁄ olduğu için her hangi bir y mesafesindeki normal gerilme benzerformülle belirlenir.

흈 = − 푴풚푰

Negatif işaret, oluşturulan x, y, z eksenleriyle işaret uyumu için gereklidir. Sağ elkuralına göre, hem +z ekseni etrafındaki M hem de yukarı doğru y pozitiftir. Budurumda, σ negatif x yönünde etki edeceği için negatif (basınç) olmalıdır.

Yukarıdaki denklemler eğilme formülü olarak anılır. Kesiti bir eksenine göresimetriye sahip ve momentin de bu eksene dik olarak etki ettiği doğrusalelemanlarda normal gerilmenin hesaplanması için kullanılır.