Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Anja Stojcevic

Kopule

Diplomski rad

Osijek, 2019.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Anja Stojcevic

Kopule

Diplomski rad

Mentor: izv. prof. dr. sc. Nenad Suvak

Osijek, 2019.

Sadrzaj

Uvod 1

1. Kopule 2

1.1 Definicija kopule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Svojstva kopula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Neke vazne kopule 8

2.1 Nezavisna kopula i Frechet-Hoeffdingova nejednakost . . . . . . . . . . 8

2.2 Kopule prezivljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Funkcionalna invarijantnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Repna zavisnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Familije kopula 13

3.1 Elipticne kopule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Normalna ili Gaussova kopula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.2 Studentova t-kopula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Arhimedove kopule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Claytonova kopula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.2 Gumbelova kopula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.3 Frankova kopula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. Primjena kopula 22

4.1 Upravljanje rizicima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

iii

4.1.1 Vrijednost pod rizikom (VaR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.2 Testiranje otpornosti na stres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Optimizacija portfelja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Odredivanje cijena financijskih izvedenica . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4 Rizici kod primjene kopula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Literatura 33

Sazetak 35

Abstract 36

Zivotopis 37

Uvod

U novije vrijeme kopula predstavlja jedan moderan, suvremeni alat koji se sve viserazvija i dobiva na popularnosti. Rijec kopula dolazi iz latinskog jezika i znaci ”veza”ili ”spojnica”. U lingvistici predstavlja rijec koja sluzi kao spojnica izmedu subjektai predikata. No, sto je zapravo kopula u matematickom svijetu? Kakva svojstvaposjeduje? Ima li primjene i potrebe za kopulama u stvarnom svijetu?

Odmah na pocetku ovoga rada vidjet cemo da poznavanjem kopula mozemo iz-graditi razne matematicke modele i odrediti gornje i donje granice za zajednicke vje-rojatnosti prezivljavanja neovisno o modelu. Upoznat cemo se s definicijom kopulate svojstvima koja posjeduju. U drugom dijelu rada vidjet cemo neke zanimljive ko-pule koje se povezuju s njihovim svojstvima te otkrivaju njihovu rasprostranjenost imogucnosti njihove primjene. Nakon toga jedno poglavlje odvojit cemo na familijekopula. Vidjet cemo da postoje elipticne i Arhimedove kopule kao familije s odredenimsvojstvima koje objedinjuju vise vrsta kopula.

Kad smo se upoznali s pojmom kopula, vidjeli njihove karakteristike te vrste kopulanapokon mozemo otkriti njihovu primjenu u stvarnom svijetu. Upravo tom temomcemo se baviti u zadnjem dijelu ovoga rada. Vidjet cemo gdje se primjenjuju kopule,gdje su se primjenjivale te do kakvih su rezultata dovele njihove primjene.

1

1. Kopule

Neka je X = (X1, X2) dvodimenzionalan slucajni vektor s funkcijom distribucijeFX(x1, x2) te neka su F1(x1) i F2(x2) pripadajuce marginalne funkcije distribucije.Vrijednosti navedenih funkcija distribucije nalaze se unutar jedinicnog intervala [0, 1].Preslikavanje koje vrijednost zajednicke funkcije distribucije pridruzuje svakom paruvrijednosti marginalnih funkcija distribucije, odnosno funkcija (F1(x1), (F2(x2)) 7→FX(x1, x2), naziva se kopula.

U matematickom smislu, 1959. godine u Sklarovom teoremu prvi put se pojavljujerijec kopula (vidi u [1]). Osnovna ideja je bila da se podijeli zajednicka funkcija dis-tribucije na dio koji opisuje zavisnu strukturu (kopula) i dijelove koji opisuju samoponasanje marginalnih distribucija. Dakle, kopula je funkcija koja paru, ili opceniton-torci, vrijednosti marginalnih funkcija distribucija slucajnog vektora pridruzuje od-govarajucu vrijednost funkcije distribucije tog slucajnog vektora. Detaljnu definicijudat cemo u nastavku no zbog razumijevanja cijelog koncepta pogledajmo prvo odgo-varajuci primjer.

Primjer 1.1. Modeliranje zavisnosti izmedu vremena neizvrsenja novcanihobveza (bankrota)

Pretpostavimo da kreiramo portfelj koji se sastoji od dvije obveznice s istim tre-nutkom dospjeca T. Ako izdavaci obiju obveznica ne bankrotiraju do T, znamo tocnuvrijednost portfelja u trenutku T. Medutim, suocavamo se s rizikom bankrota u tijekutrajanja obveznica. Oznacavajuci s X1, X2 trenutke u buducnosti u kojima izdavaciodlaze u bankrot, nadamo se da je X1 > T i X2 > T . U suprotnom, s vjerojatnoscu1 − P (X1 > T,X2 > T ), nasa investicija ce pretrpjeti teski gubitak. Posljedicno, pro-cjena zajednicke vjerojatnosti prezivljenja P(X1 > T,X2 > T ) nam je vrlo bitna.

Pretpostavimo da su financijski analiticari opsezno proucili obje tvrtke izdavaceobveznica te mogu procijeniti vjerojatnosti prezivljenja P(X1 > T ) i P(X2 > T ). Zaracunanje zajednicke vjerojatnosti prezivljenja trebamo dodatne informacije o strukturizavisnosti izmedu X1 i X2. Nazalost, nemamo dostupne empirijske podatke, ili zato stoniti jedan izdavac nikad prije nije bankrotirao ili jednostavno nema dostupnih podatakakoji pruzaju korisne informacije o zavisnosti izmedu vremena bankrota. Tada namtreba bivarijantni stohasticki model kao familija funkcija distribucije slucajnog vektora(X1,X2) koji je konzistentan s nasim stavom o vjerojatnosti prezivljenja. To je zadatakmodeliranja koji je daleko od trivijalnog. No, na srecu postoje kopule i teorija kopulanam moze pomoci izraditi takve modele. Dodatno, omogucuje nam da postavimo gornjei donje granice za zajednicku vjerojatnost prezivljenja.

2

1.1 Definicija kopule

Zbog jednostavnosti u nastavku cemo kopule razmatrati samo u dvodimenzionalnomslucaju.

Definicija 1.1. Kopula je funkcija C : [0, 1]2 → [0, 1] koja ima sljedeca svojstva:

1. Za ∀u, v ∈ [0, 1] jeC(u, 0) = 0 = C(0, v).

2. Za ∀u, v ∈ [0, 1] jeC(u, 1) = u,C(1, v) = v.

3. Za ∀u1, u2, v1, v2 ∈ [0, 1] takve da je u1 ≤ u2 i v1 ≤ v2 vrijedi

C(v1, v2)− C(u1, v2) ≥ C(v1, u2)− C(u1, u2).

Vec smo napomenuli da je rijec kopula u statistickom smislu prvi put upotrijebioSklar. Na osnovu toga smatra se da Sklarov teorem predstavlja osnovu teorije ko-pula kao i njihove primjene. Naime, Sklarov teorem objasnjava ulogu kopula u vezivisedimenzionalnih funkcija distribucija i njihovih marginalnih distribucija. Prije negoiskazemo Sklarov teorem, definirat cemo prostor koji cemo koristiti u navedenom te-oremu, kao i dalje kroz rad.

Definicija 1.2. Neka je X = (X1, X2, ..., Xn) slucajni vektor koji ima marginalnefunkcije distribucije F1, F2, ..., Fn. Tada prostor funkcija koji se sastoji od svih n-dimenzionalnih funkcija distribucije FX slucajnog vektora X zovemo Frechetov prostor,oznaka: Rn(F1, F2, ..., Fn).

Neka je U = (U1, U2) slucajni vektor te neka su slucajne varijable U1 i U2 uniformena (0,1). Tada je kopula funkcija distribucije slucajnog vektora cije su marginalnedistibucije uniformne na (0, 1) odnosno vrijedi:

C(u, v) = P{U1 ≤ u, U2 ≤ v}.

Znamo iz vjerojatnosti da transformacije slucajnih varijabli X i Y , X 7→ F1(X), Y 7→F2(Y ), imaju jedinicnu uniformnu distribuciju, tj.

F1(X)d=U1, F2(Y )

d=U2.

Teorem 1.1. Ako je V neprekidna slucajna varijabla s funkcijom distribucije FV ,tada slucajna varijabla W = FV (V ) ima uniformnu distribuciju na intervalu (0, 1), tj.W ∼ U(0, 1).

3

U nastavku, zbog jednostavnosti, razmotrit cemo samo slucajeve u kojima su funk-cije distribucije strogo rastuce funkcije.

Dokaz Teorema 1.1. Ako je V neprekidna slucajna varijabla, tada je funkcija distri-bucije FV neprekidna, monotono rastuca bijekcija. Oznacimo s W = FV (V ) slucajnuvarijablu s funkcijom distribucije FW . Za funkciju distribucije FW vrijedi:

FW (u) = P{W ≤ u} = P{FV (V ) ≤ u} =

0 , u < 0

P{V ≤ F−1V (u)} , u ∈ [0, 1).

1 , u ≥ 1

Obzirom da je:P{V ≤ F−1

V (u)} = FV (F−1V (u)) = u,

slijedi da je W ∼ U(0, 1) i to neovisno o funkciji distribucije FW sve dok je ona funkcijadistribucije neprekidne slucajne varijable.

Navedeni dokaz vrijedi samo za strogo rastuce funkcije distribucije. Opceniti dokazmoze se pogledati u [9].

Analogno i transformacija koja odgovara F−1i standardne uniformne distribucije s

funkcijom distribucije Fi.

Teorem 1.2. Neka je Y ∼ U(0, 1) i FX funkcija distribucije neprekidne slucajne vari-jable X. Ako funkcija FX(X) ima inverznu funkciju F−1

X definiranu na intervalu (0, 1),tada slucajna varijabla F−1

X (Y ) ima funkciju distribucije FX .

Iz prethodnih teorema slijedi:

C(F1(x), F2(y)) = P{U1 ≤ F1(x), U2 ≤ F2(y)}= P{F−1

1 (U1) ≤ x, F−12 (U2) ≤ y}

= P{X ≤ x, Y ≤ y}= F (x, y).

Teorem 1.3. (Sklarov teorem)Neka FX ∈ R2(F1, F2) ima neprekidne marginalne funkcije distribucije F1 i F2. Tadapostoji jedinstvena kopula C takva da za ∀(x1, x2) ∈ R2 vrijedi

FX(x1, x2) = C(F1(x1), F2(x2)). (1)

Obratno, ako je C kopula te F1 i F2 funkcije distribucije, onda je funkcija FX definiranas (1), dvodimenzionalna funkcija distribucije s marginalnim distribucijama F1 i F2.

Iz (1) mozemo vidjeti da funkcija C ”povezuje” marginalne funkcije distribucijeF1 i F2 sa zajednickom distribucijom FX slucajnih varijabli X1 i X2. Zavisnost je upotpunosti opisana pomocu C i tako odvojena od marginalnih distribucija.

4

Posljedica 1.1. Neka su F−11 i F−1

2 inverzne funkcije marginalnih funkcija distribucija.Tada postoji jedinstvena kopula C : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] takva da je

C(u1, u2) = F (F−11 (u1), F−1

2 (u2)).

Dakle, marginalna distribucija i struktura zavisnosti n-dimenzionalnog slucajnogvektora mogu biti strogo razdvojene. Dok je marginalna distribucija odredena jedno-dimenzionalnom funkcijom distribucije, struktura zavisnosti je odredena kopulom.

5

1.2 Svojstva kopula

Lema 1.1. Neka je FX ∈ R2(F1, F2) s nosacem S1×S2. Neka su x1 i x2 u S1 i vrijedix1 ≤ x2, te neka su y1 i y2 u S2 i vrijedi y1 ≤ y2.Tada je funkcija koja preslikava t 7→ FX(t, y2)–FX(t, y1) monotono rastuca na S1, afunkcija koja preslikava t 7→ FX(x2, t)–FX(x1, t) monotono rastuca na S2.

Dokaz. Neka je t1 ≤ t2 ∈ S1, tada vrijedi

(FX(t2, y2)–FX(t2, y1))–(FX(t1, y2)–FX(t1, y1)) = P{X ∈ (t1, t2]× (y1, y2]} ≥ 0.

Drugi slucaj iz iskaza teorema dokazuje se analogno.

Sljedeci rezultat pokazuje neprekidnost kopula uz Lipschitzov uvjet.

Propozicija 1.1. Neka su u1, u2, v1, v2 ∈ [0, 1]. Tada je:

|C(u1, u2)− C(v1, v2)| ≤ |u1 − v1|+ |u2 − v2|.

Stoga je kopule C uniformno neprekidna na [0, 1]2.

Dokaz. Pokazat cemo da za dani FX ∈ R2(F1, F2) s nosacem S1 × S2 i za bilo kojetocke (x1, x2) i (y1, y2) iz tog nosaca vrijedi nejednakost:

|FX(y1, y2)–FX(x1, x2)| ≤ |F1(y1)–F1(x1)|+ |F2(y2)–F2(x2)|. (2)

Iz nejednakosti trokuta imamo

|FX(y1, y2)–FX(x1, x2)| ≤ |FX(y1, y2)–FX(x1, y2)|+ |FX(x1, y2)–FX(x1, x2)|.

Pretpostavimo da je x1 ≤ y1, pa iz Lema 1.1. slijedi

0 ≤ FX(y1, y2)–FX(x1, y2) ≤ limy2→∞

(FX(y1, y2)–FX(x1, y2)) = F1(y1)–F1(x1).

Analogno vrijedi i za y1 ≤ x1. Iz toga slijedi da za ∀x1, y1 ∈ S1 vrijedi

|FX(y1, y2)–FX(x1, y2)| ≤ |F1(y1)–F1(x1)|.

Slicno, za ∀x2, y2 ∈ S2 vrijedi

|FX(x1, y2)–FX(x1, x2)| ≤ |F2(y2)–F2(x2)|.

Iz posljednje dvije nejednakosti i nejednakosti trokuta slijedi (2).

Kao direktna posljedica teorema proizlazi sljedece:

6

Posljedica 1.2. Neka je C kopula i u0 bilo koji broj iz [0, 1]. Tada:

1. Funkciju t 7→ C(t, u0) s [0, 1] u [0, 1] zovemo horizontalni dio kopule C u u0.

2. Funkciju t 7→ C(u0, t) s [0, 1] u [0, 1] zovemo vertikalni dio kopule C u u0.

3. Funkciju t 7→ C(t, t) s [0, 1] u [0, 1] zovemo dijagonalni dio kopule C u u0.

Horizontalni, vertikalni i dijagonalni dijelovi kopule C su neopadajuce i uniformnoneprekidne funkcije na [0, 1].

Teorem 1.4. Neka je C kopula i za ∀u2 ∈ [0, 1] parcijalna derivacija ∂∂u1C(u1, u2)

postoji skoro svuda. Tada za svaki par tocaka (u1, u2) u kojima derivacija postoji vrijedi

0 ≤ ∂

∂u1

C(u1, u2) ≤ 1. (3)

Analogno, za ∀u1 ∈ [0, 1] parcijalna derivacija ∂∂u2C(u1, u2) postoji skoro svuda.Tada

za svaki par tocaka (u1, u2) u kojima derivacija postoji vrijedi

0 ≤ ∂

∂u2

C(u1, u2) ≤ 1. (4)

Dodatno, funkcije u1 7→ ∂∂u2C(u1, u2) i u2 7→ ∂

∂u1C(u1, u2) su definirane i neopadajuce

skoro svuda na [0, 1].

Dokaz. Parcijalne derivacije ∂∂u1C(u1, u2) i ∂

∂u2C(u1, u2) postoje, s obzirom da su mo-

notone funkcije (horizontalni i vertikalni dio) diferencijabilne skoro svuda. Tada nejed-nakosti (3) i (4) slijede iz posljedice 1.2.Ako je v1 ≤ v2 tada iz leme 1.1. slijedi da je funkcija u 7→ C(u, v2)–C(u, v1) neo-padajuca. Odavdje slijedi da je ∂

∂u(C(u, v2)–C(u, v1)) definirana i nenegativna skoro

svuda na [0, 1], pa je funkcija u2 7→ ∂∂u1C(u1, u2) definirana i neopadajuca skoro svuda.

Slicno se dokazuje i za ∂∂u2C(u1, u2).

Teorem 1.5. Neka su F1 i F2 neprekidne marginalne funkcije distribucija s gustocamaf1 i f2. Tada se zajednicka funkcija gustoce od X = (X1, X2) moze zapisati na sljedecinacin:

fX(x) = f1(x1)f2(x2)c(F1(x1), F2(x2)), (x1, x2) ∈ R2,

gdje je gustoca kopule c dana s

c(u1, u2) =∂2

∂u1∂u2

C(u1, u2), (u1, u2) ∈ [0, 1]2.

Specijalno, ako su X1 i X2 nezavisne, tada je c(u1, u2) = 1 i zajednicka funkcijagustoce fX se faktorizira na marginalne funkcije gustoce f1 i f2.

7

2. Neke vazne kopule

U ovom poglavlju upoznat cemo se s nezavisnom kopulom, Frechet-Hoeffdingovomnejednakosti te pojmom kopula prezivljenja.

2.1 Nezavisna kopula i Frechet-Hoeffdingova nejednakost

Neka su X1 i X2 nezavisne slucajne varijable s funkcijama distribucije F1 i F2. Nji-hova zajednicka funkcija distribucije je dana s FX(x1, x2) = F1(x1)F2(x2) gdje jeX = (X1, X2). Kopula koja odgovara ovoj strukturi dana je izrazom

CN(u1, u2) = u1u2, (u1, u2) ∈ [0, 1]2

Ovakva kopula se naziva nezavisna kopula.Pokazat cemo da je ona uistinu kopula, odnosno da zadovoljava zahtjeve iz definicijekopule. Neka su u, v ∈ [0, 1]. Tada vrijedi:

1. CN(u, 0) = u · 0 = 0, CN(0, v) = 0 · v = 0

2. CN(u, 1) = u · 1 = u,CN(1, v) = 1 · v = v

3. Za u1 ≤ u2 i v1 ≤ v2, u1, u2, v1, v2 ∈ [0, 1], vrijedi:CN(u2, v2)−CN(u2, v1)−CN(u1, v2)+CN(u1, v1) = u2·v2−u2·v1−u1·v2+u1·v1 ≥ 0.

Ukoliko X1 i X2 zadovoljavaju Sklarov teorem, onda su one nezavisne ako i samo akoje C ≡ CN .

Kako bi ogranicili kopule s obje strane upoznat cemo se sa pojmom Frechet-Hoeffdingovenejednakosti odnosno kopulama koje predstavljaju donju i gornju Frechet-Hoeffdingovugranicu. Neka je C kopula. Tada za svaki uredeni par (u, v) iz domene funkcije C vri-jedi:

max(u+ v − 1, 0) ≤ C(u, v) ≤ min(u, v),

CD(u, v) ≤ C(u, v) ≤ CG(u, v), (5)

gdje su CG i CD kopule koje zovemo gornja, odnosno donja Frechet-Hoeffdingova gra-nica. U nastavku cemo pokazati da su one stvarno kopule, odnosno da zadovoljavajuzahtjeve iz definicije kopule. Neka su u, v ∈ [0, 1]. Gornja Frechet-Hoeffdingova granicazadovoljava:

1. CG(u, 0) = min(u, 0) = 0, CG(0, v) = min(0, v) = 0

2. CG(u, 1) = min(u, 1) = u,CG(1, v) = min(1, v) = v

8

3. Neka su u1 ≤ u2 i v1 ≤ v2, u1, u2, v1, v2 ∈ [0, 1]. Tada jeCG(u2, v2)− CG(u2, v1)− CG(u1, v2) + CG(u1, v1) == min(u2, v2)−min(u2, v1)−min(u1, v2) +min(u1, v1) ≥ 0.

Donja Frechet-Hoeffdingova granica zadovoljava:

1. CD(u, 0) = max(u− 1, 0) = 0, CD(0, v) = max(0, v − 1) = 0

2. CD(u, 1) = max(u, 0) = u,CD(1, v) = max(0, v) = v

3. Neka su u1 ≤ u2 i v1 ≤ v2, u1, u2, v1, v2 ∈ [0, 1]. Tada jeCD(u2, v2)− CD(u2, v1)− CD(u1, v2) + CD(u1, v1) =max(u2+v2−1, 0)−max(u2+v1−1, 0)−max(u1+v2−1, 0)+max(u1+v1−1, 0) ≥ 0.

Slijedi da su donja i gornja Frechet-Hoeffdingova granica kopule.Vec smo napomenuli da su kopule dvodimenzionalne funkcije distribucije s je-

dinicnim uniformnim marginalnim distribucijama i kao takve vrijedi nejednakost (5).Sljedecim grafickim prikazom, u kojem usporedbno vidimo Frechet-Hoeffdingova gor-nja granicna kopula CG, nezavisna kopula CN i Frechet-Hoeffdingova donja granicnakopula CD, mozemo se i uvjeriti u istinitost nejednakosti (5).

Slika 2.1 Frechet-Hoeffdingova gornja granicna kopula CG, nezavisna kopula CN iFrechet-Hoeffdingova donja granicna kopula CD

9

2.2 Kopule prezivljenja

Definicija 2.1. Ako je C kopula, tada se funkcija definirana izrazom

C(u1, u2) = C(1–u1, 1–u2) + u1 + u2–1, u1, u2 ∈ [0, 1],

naziva kopula prezivljenja.

Ovako definirana kopula C u potpunosti zadovoljava zahtjeve iz definicije 1.1. Nekasu u, v ∈ [0, 1]. Tada vrijedi:

1. C(u, 0) = C(1− u, 1)︸ ︷︷ ︸=1−u, jer jeC kopula

+u–1 = 1–u+ u–1 = 0

2. C(u, 1) = C(1–u, 1− 1) + u+ 1–1 = C(1− u, 0)︸ ︷︷ ︸=0, jer jeC kopula

+u = u

3. Neka su u1 ≤ u2 i v1 ≤ v2 , u1, u2, v1, v2 ∈ [0, 1]. Treba pokazati da vrijedi:

C(v1, v2)− C(u1, v2) ≥ C(v1, u2)− C(u1, u2)

. Nakon sto uvrstimo definiciju funkcije C imamo sljedece:

C(1–v1, 1–v2)+v1 +v2−1–C(1−u1, 1–v2)–u1–v2 +1 ≥ C(1–v1, 1–u2)+v1 +u2−1

–C(1–u1, 1–u2)–u1–u2 + 1

C(1–v1, 1–v2)–C(1− u1, 1–v2) ≥ C(1–v1, 1–u2)–C(1–u1, 1–u2),

iz cega slijedi tvrdnja ukoliko uzmemo u obzir da je C kopula.

Kako je C kopula, tada za ∀u ∈ [0, 1]2 vrijedi nejednakost

CD(u1, u2) ≤ C(u1, u2) ≤ CG(u1, u2).

Za nezavisne kopule, Frechet-Hoeffdingove kopule i kopule prezivljenja dodatno vrijedi:

CD = CD

CN = CN

CG = CG,

gdje je CD donja Frechet-Hoeffdingova kopula prezivljenja, CN nezavisna kopulaprezivljenja i CG gornja Frechet-Hoeffdingova kopula prezivljenja. Takoder, na kopuleprezivljenja mozemo primjeniti Sklarov teorem. Specijalno, kopule prezivljenja mogu

10

biti iskoristene za prikazivanje repne funkcije distribucije FX od X pod uvjetom da suF 1 i F 2 marginalne repne funkcije distribucije. Tada je

FX(x) = 1–F1(x1)–F2(x2) + FX(x) = C(F 1(x1), F 2(x2)).

C povezuje zajednicku repnu funkciju distribucije s njenim marginama F 1 i F 2 naapsolutno isti nacin kao sto kopula povezuje zajednicku funkciju distribucije FX snjenim marginalnim funkcijama distribucije F1 i F2.

Primjer 2.1. (Pareto kopula prezivljenja) Podsjetimo se da je funkcija distribu-cije slucajne varijable s Pareto distribucijom zadana s:

F (x) =

{1−

(cx

)α, x > c

0 , x < c,

gdje su c i α pozitivni parametri.Koristeci dvodimenzionalnu Pareto distibuciju imamo da je

FX(x) = C(F 1(x1), F 2(x2))

za C(u) = (u− 1α

1 + u− 1α

2 )α − 1.

Poznavanjem kopula prezivljenja dolazimo do novih svojstava kopula. U nastavkucemo definirani funkcionalnu invarijantnost i repnu zavisnost u kontekstu kopula.

2.2.1 Funkcionalna invarijantnost

Jedna od znacajnih korisnosti kopula proizlazi iz cinjenice da pri primjeni stroge mono-tone transformacije na slucajne varijable, kopule koje povezuju marginalne i zajednickudistribuciju su ili invarijantne na transformaciju ili se mijenjaju na predvidiv nacin.

Teorem 2.1. Neka su X1 i X2 neprekidne slucajne varijable s kopulom C, a t1 i t2neprekidne monotone funkcije:

1. Ako su t1 i t2 monotono rastuce funkcije, tada (t1(X1), t2(X2)) ima kopulu C.

2. Ako je t1 monotono rastuca funkcija, a t2 monotono padajuca funkcija, tada(t1(X1), t2(X2)) ima kopulu oblika u1–C(u1, 1–u2).

3. Ako je t1 monotono padajuca funkcija, a t2 monotono rastuca funkcija, tada(t1(X1), t2(X2)) ima kopulu oblika u2–C(1–u1, u2).

4. Ako su t1 i t2 monotono padajuce funkcije, tada (t1(X1), t1(X2)) ima kopulu C.

Iz teorema vidimo da primjena monotono rastucih funkcija na slucajne varijablene mijenja njihovu kopulu, dok primjena monotono padajucih funkcija na slucajnevarijable njihovu kopulu transformira u kopulu prezivljenja.

11

2.2.2 Repna zavisnost

Jedna od popularnih interpretacija teskih repova distribucije je sljedeca: Distribucijaima teske repove ako vjerojatnost realizacije ekstremnih dogadaja modelira bolje odnormalne distribucije s istim ocekivanjem i varijancom. Teski repovi su vrlo bitni usvijetu financija s obzirom da ekstremni dogadaji nose najvece gubitke, a upravo sukopule koristan alat za opisivanje strukture zavisnosti.

Neka su X1 i X2 neprekidne slucajne varijable s funkcijama distribucije F1 i F2.Koeficijent repne zavisnosti za (X1, X2) s kopulom C definiran je na sljedeci nacin:

λU = limv→0

P{X1 > F−1

1 (v)|X2 > F−1

2 (v)}

= limv→0

P{X1 > F−1

1 (v)|X2 > F−1

2 (v)}P{X2 > F

−1

2 (v)}.

Izraz u brojniku mozemo zapisati kao:

P{X1 > F−1

1 (v)|X2 > F−1

2 (v)} = 1–P{X1 ≤ F−1

1 (v)}–P{X2 ≤ F−1

2 (v)}

+P{X1 ≤ F−1

1 (v), X2 ≤ F−1

2 (v)}.

Odavdje slijedi,

λU = limv→0

1–2(1–v) + C(1–v, 1− v)

v,

sto osigurava neprekidnost F1 i F2.

Definicija 2.2. Koeficijent repne zavisnosti λU za (X1, X2) s kopulom C je

λU = limv→1

1–2v + C(v, v)

1− v.

Ako je λU > 0, tada su X1 i X2 asimptotski zavisne u desnom repu, a ako je λU = 0,tada su asimptotski nezavisne.

Analogno se definira koeficijent repne zavisnosti u lijevom repu. Repna zavisnostje vrlo bitna kod odabira odgovarajuce kopule. Konkretne primjere cemo vidjeti upoz-navanjem kopula u nastavku.

12

3. Familije kopula

U upotrebi mozemo pronaci razlicite vrste kopula, a izbor kopule ovisi o konkretnomproblemu koji se pokusava rijesiti. Opcenito postoje dvije glavne familije kopula, a tosu elipticne i Arhimedove kopule.

3.1 Elipticne kopule

Elipticna distribucija je familija distribucija u koju spadaju, izmedu ostalog, i Gaussovai Studentova t-distribucija. Elipticne distribucije su simetricne, a naziv su dobile potome sto njihove funkcije gustoce imaju oblik elipse.

Elipticne kopule su kopule elipticnih distribucija, koje obuhvacaju multivarijantnedistribucije i omogucuju modeliranje multivarijantnih ekstrema. Njihova najveca pred-nost je to sto se mogu postaviti razlicite razine korelacije izmedu margina. Odnosizmedu koeficijenta korelacije ρ i Kendallovog τ je:

ρ(X, Y ) = sin(π

2τ).

Koeficijent korelacije ρ i Kendallov τ su mjere zavisnosti koje se mogu koristiti zaracunanje parametra kopule s kojim cemo se upoznati u nastavku.

Spearmanov koeficijent korelacije koristi se kao mjera povezanosti dviju slucajnihvarijabli. Kao rezultat daje pribliznu vrijednost koeficijenta korelacije koji se tretirakao njegova dovoljno dobra aproksimacija. Prilikom koristenja Spearmanovog koefici-jenta, vrijednosti varijabli potrebno je rangirati i na takav nacin svesti na zajednickumjeru. Najjednostavniji nacin rangiranja je da se najmanjoj vrijednosti svake varijabledodjeli rang 1, sljedecoj po velicini rang 2 i tako sve do posljednje kojoj se dodjelujemaksimalan rang. Izracunavanje koeficijenta radi se koristenjem vrijednosti pridijelje-nih rangova. Formula za izracun Spearmanovog koeficcijenta korelacije je:

ρS = 1− 6∑d2

n(n2 − 1),

gdje je d razlika vrijednosti rangova dvije promatrane varijable, a n broj promatranja,odnosno broj razlicitih serija.

Kendallov tau (τ) je mjera povezanosti koja racuna razliku izmedu broja suglasnih inesuglasnih parova slucajnih varijabli iz uzorka. Promatani par je suglasan ako uz vecuvrijednost prve varijable ide i veca vrijednost druge promatrane varijable. Analogno,par je nesuglasan ako uz veliku vrijednost prve varijable ide mala vrijednost drugevarijable. Kendallov tau zadan je s:

τ =S −N

n(n− 1)/2,

13

gdje S predstavlja broj suglasnih parova, N broj nesuglasnih parova, a n broj uzoraka.Elipticne kopule se jos zovu i implicitne kopule, a dijele se na dvije vrste - normalnu

(Gaussovu) i Studentovu t-kopulu. U iducim potpoglavljima cemo poblize objasnitiobje vrste elipticnih kopula, kao i razlike izmedu njih.

3.1.1 Normalna ili Gaussova kopula

Pretpostavimo da su sve komponente normalnog slucajnog vektora jednako distribu-irane. Kopula n-dimenzionalne normalne distribucije s korelacijskom matricom R jedana formulom

CGaussR (u) = ΦR(Φ−1(u1), ...,Φ−1(un)),

gdje je ΦR funkcija distribucije n-dimenzionalnog normalnog slucajnog vektora s kore-lacijskom matricom R, a Φ−1 oznacava inverz njegove marginalne funkcije distribucije.Takvu kopulu nazivamo normalnom ili Gaussovom kopulom. Gustoca Gaussove kopulese moze zapisati kao

cGaussR (u) =1√detR

exp

−1

2

Φ−1(u1)...

Φ−1(ud)

T

· (R−1 − I) ·

Φ−1(u1)...

Φ−1(ud)

,

gdje je I jedinicna matrica.Gustoca dvodimenzionalne Gaussove kopule za razlicite vrijednosti koeficijenta ko-

relacije ρ je prikazana na slici 3.1.1

Slika 3.1.1.1 Funkcija gustoce Gaussove kopule s vrijednoscu koeficijenta korelacije ρ= 0.5 (lijevo) i ρ = 0.8 (desno)

14

Iz dijagrama rasprsenosti podataka uocavamo da se povecanjem koeficijenta kore-lacije ρ podaci grupiraju oko pravca koji ima pozitivan koeficijent smjera. Analogno,povecanjem negativnog koeficijenta korelacije podaci se grupiraju oko pravca koji imanegativan keoficijent smjera.

Slika 3.1.1.2 Funkcija gustoce Gaussove kopule s vrijednoscu koeficijenta korelacije ρ= 0.8, 0.1 (gore) i ρ = -0.8, -0.1 (dolje)

Gaussova kopula je vrlo popularna zbog pretpostavke normalnosti u mnogim finan-cijskim modelima, kao i zbog jednostavnosti koristenja. Ipak, njezin veliki nedostatakje to sto ne podrzava repnu zavisnost, zbog cega su u odredenim situacijama drugevrste kopula prikladnije.

3.1.2 Studentova t-kopula

Studentova distribucija sa stupnjem slobode v > 0 ima sljedecu funkciju gustoce:

15

fX(x) =Γ(v+1

2)

δ√πΓ(v

2)

(1 +

(x− µδ

)2)− v+1

2

,

pri cemu je δ > 0 parametar rasprsenosti, µ ∈ R lokacijski parametar i x ∈(−∞,∞).

Pretpostavimo da su sve komponente slucajnog vektora jednako distribuirane. Ko-pula visedimenzionalne Studentove t-distribucije je Studentova t-kopula i opisana jeformulom

CT (u1, ..., ur) = tr,v(t−1v (u1), ..., t−1

v (ur)),

gdje v predstavlja broj stupnjeva slobode, tr,v predstavlja zajednicku funkciju distri-bucije r-dimenzionalne Studentove t-distribucije, a t−1

v predstavlja inverznu funkcijumarginalne distribucije Studentove t-distribucije.

Funkcija gustoce Studentove t-kopule dana je sljedecim izrazom:

c(tv(x1), ..., tv(xr)) =f(x1, ..., xn)∏n

i=1 fi(x1)=

1

|Σ|1/2Γ(v+r

2

)Γ(v2

) [ Γ(v2

)Γ(v+1

2

)]r(

1 + x′Σ−1xv

)− v+r2

∏ri=1

(1 +

x2iv

)− v+12

,

gdje je x′ = (t−1v (u1), ..., t−1

v (ur)) vektor inverznih funkcija distribucije Studentove t-distribucije. Gustoca Studentove t-kopule za razlicite vrijednosti koeficijenta korelacijeρ je prikazana na slici 3.1.2

Slika 3.1.2.1 Funkcija gustoce Studentove t-kopule s vrijednoscu koeficijenta korelacijeρ = 0.5 (lijevo) i ρ = 0.8 (desno)

16

Kao i kod Gaussove kopule, povecanjem koeficijenta korelacije ρ podaci se grupi-raju oko pravca koji ima pozitivan koeficijent smjera, no mozemo uociti da imamovecu rasprsenost. Naime, Studentova t-distribucija ima tezi rep od normalne i kaotakva bolje opisuje vjerojatnost realizacije ekstremnih dogadaja. Iz tog razloga, Stu-dentova t-kopula trenutno biljezi rast popularnosti kao alternativa Gaussovoj kopuli zamodeliranje financijskih rizika.

S druge strane, povecanjem negativnog koeficijenta korelacije podaci se grupirajuoko pravca koji ima negativan koeficijent smjera.

Slika 3.1.2.2 Funkcija gustoce Studentove t-kopule s vrijednoscu koeficijenta korelacijeρ = 0.8, 0.1 (gore) i ρ = -0.8, -0.1 (dolje)

17

3.2 Arhimedove kopule

Arhimedove kopule su poznate i kao eksplicitne kopule zato sto su dane eksplicitnomformulom, za razliku od elipticnih kopula. Njihova definicija se bazira na generatorskojfunkciji.

Generator ϕ je funkcija za koju vrijedi:

1. ϕ : [0,∞)→ [0, 1] takva da je ϕ(0) = 1 i limx→∞

ϕ(x) = 0,

2. ϕ je neprekidna,

3. ϕ je strogo podajuca na [0, ϕ−1(0)],

4. ϕ−1 definiran je kao ϕ−1(x) = inf{u : ϕ(u) ≤ x}

Definicija 3.1. Neka je ϕ strogi generator, a ϕ−1 kompletno monoton na [0,∞〉. Ondase Arhimedova kopula moze definirati kao

C(u1, u2) = ϕ−1(ϕ(u1) + ϕ(u2)).

Danas je u upotrebi veci broj Arhimedovih kopula, ali samo tri imaju siru pri-mjenu u financijama - Claytonova, Frankova i Gumbelova kopula, stoga cemo samonjih detaljnije razraditi.

3.2.1 Claytonova kopula

Claytonova kopula se vecinom koristi za proucavanje povezanih rizika zato sto ima spo-sobnost detekcije zavisnosti na lijevom repu. Zatvoreni oblik bivarijantne Claytonovekopule glasi:

CCl(u1, u2; θ) = (u−θ1 + u−θ2 − 1)−1/θ,

gdje je θ > 0 parametar kopule. Veza izmedu parametra Claytonove kopule i mjereKendallovog τ dana izrazom:

τK =θ

θ + 2.

Claytonova kopula se, zbog vrijednosti parametra θ koji mora biti pozitivan, mozekoristiti samo kod pozitivne vrijednosti korelacije.

18

Slika 3.2.1 Funkcija gustoce Claytonove kopule s parametrom θ = 2

Iz dijagrama rasprsenosti mozemo uociti da je Claytonova kopula asimetricna i imatezu zavisnost u lijevom repu.

Dijagrami rasprsenosti savrseno prikazuju medusobni odnos izmedu dvije varijablii kao takvi otkrivaju njihovu povezanost, korelaciju. Korelacija ima dva bitna svoj-stva. Prvo je intenzitet ili jakost koja ukazuje na stupanj medusobne povezanosti dvijuvelicina koje su korelirane, a drugo svojstvo je smjer koji pokazuje smanjuju/povecavajuli se istovremeno ili se jedna smanjuje/povecava dok se druga povecava/smanjuje. Ko-relacija se izrazava koeficijentom korelacije. Ukoliko je koeficijent korelacije jednaknuli, korelacije nema i tada su tocke na dijagramu rasprsenosti u potpunosti nasumicnorasporedene bez ikakve vidljive tendencije. Korelacije je savrsena i pozitivna ukoliko jekoeficijent korelacije jednak jedan, tada su tocke na dijagramu tocno polozene uzduzpravca. Na osnovu navedenog i grafickog prikaza jasno je da je koeficijent korelacijevisi kod vrijednosti varijabli blizih nuli. Povecavanjem vrijednosti varijabli, vrijednostkoeficijenta korelacije se priblizava nuli. Ukljucimo li u to i znanje o repnoj zavisnosti izpoglavlja 2.2.2. mozemo zakljuciti da Claytonova kopula ima tezu zavisnost u lijevomrepu.

3.2.2 Gumbelova kopula

Gumbelova kopula je najpoznatija po tome sto moze detektirati snaznu zavisnost nadesnom repu kopule i slabu zavisnost na lijevom repu kopule. Bivarijantna Gumbelova

19

kopula dana je izrazom:

CGu(u1, u2; θ) = exp(−[(−logu1)θ + (−logu2)θ

]1/θ),

gdje je θ > 1 parametar kopule.Slicno kao i Claytonova kopula, Gumbelova kopula se moze koristiti samo za slucajeve

nezavisnosti i pozitivne koreliranosti. Veza izmedu parametra θ i Kendallovog tau je

τK = 1− θ−1.

Slika 3.2.2 Funkcija gustoce Gumbelove kopule s parametrom θ = 2

Iz dijagrama rasprsenosti mozemo vidjeti grupiranje tocaka kod vrijednosti koje sublize nuli, ali i onih vrijednosti koje su blize jedinici. Tocke oko srednjih vrijednostisu dosta rasprsene. Zakljucujemo da Gumbelova kopula ima jacu zavisnost na desnomrepu, a slabiju na lijevom.

3.2.3 Frankova kopula

Frankova kopula dana je izrazom

CFr(u1, u2; θ) = −θ−1log

(1 +

(e−θu1 − 1)(e−θu2 − 1)

(e−θ − 1)

),

gdje parametar kopule θ moze poprimiti bilo koju realnu vrijednost. Zbog toga seFrankova kopula moze koristiti i za modeliranje kod slucajnih varijabli s negativnim ko-eficijentom korelacije. Za razliku od Claytonove i Gumbelove kopule, Frankova kopula

20

ne moze detektirati zavisnost na repu kopule. Veza izmedu parametra θ i Kendallovogtau je zadan s

τK = 1 + 4D1(θ)− 1

θ,

gdje D predstavlja Debyevu funkciju definiranu formulom

DK(α) =k

ak

∫ α

0

tk

exp(t)− 1dt, k = 1, 2.

Slika 3.2.3 Funkcija gustoce Frankove kopule s parametrom θ = 2

Iz dijagrama rasprsenosti vidljivo je da su tocke rasporedene simetricno, ali totalnonasumicno. Naime, Frankova kopula je simetricna i bez repne zavisnosti.

21

4. Primjena kopula

Iako se kopule danas primjenjuju u mnogim podrucjima ljudskog djelovanja, ukljucujucigradevinu, medicinu, geodeziju i klimatologiju, najsiru upotrebu su pronasle u podrucjufinancija gdje se koriste za upravljanje rizicima, optimizaciju portfelja i odredivanjecijene financijskih izvedenica.

4.1 Upravljanje rizicima

Koncept rizika se temelji na nesigurnosti oko buducih ishoda. Rizik mozemo definiratikao kalkuliranu prognozu moguce stete ili gubitka koji nastaju u slucaju negativnihdogadaja, odnosno, mozemo reci da rizik predstavlja bilo koju neizvjesnost koja mozerezultirati gubitkom. Svaka financijska institucija ima za cilj minimizirati rizike i stvo-riti mehanizme zastite kojima se gubitci mogu izbjeci ili umanjiti. Jedan od kljucnihkoraka u upravljanju rizicima je modeliranje rizika, a ono podrazumijeva stvaranjemodela koji uzima u obzir korelaciju izmedu individualnih rizika i zavisnost izmeduekstremnih dogadaja. Obzirom da pruzaju mogucnost opisivanja zavisnosti, kopule sudobar izbor za stvaranje takvih modela.

Postoje razliciti tipovi rizika, ali u svijetu financija se isticu tri najvaznija - trzisni,kreditni i operativni rizik. Trzisni rizik je rizik ostvarivanja gubitaka uslijed negativnihkretanja cijena na trzistu. Trzisni rizik se jos zove i sistematski rizik. Na njega moguutjecati recesije, politicka zbivanja, inflacija, valutni rizici, promjene kamatnih stopa,promjene cijena vrijednosnica, prirodne katastrofe itd. Kreditni rizik je rizik da jednastrana (duznik ili izdavatelj financijskog sredstva) nece izvrsiti obavezu, odnosno vratitidug, djelomicno ili u cijelosti, zbog cega ce investitor pretrpjeti financijski gubitak.Operativni rizik je rizik gubitka koji nastaje zbog neadekvatnih unutarnjih postupakai procedura, ljudskih pogresaka, pogresaka u sustavu i vanjskih dogadaja.

Postoje razliciti nacini za kvantificiranje rizika, medu kojima se po koristenosti isticuvrijednost pod rizikom (Value at Risk - VaR) kao mjera rizika i testiranje otpornostina stres. Oba pristupa mogu koristiti kopule za modeliranje zavisnosti.

4.1.1 Vrijednost pod rizikom (VaR)

Prije nego definirano vrijednost pod rizikom, upoznat cemo se s pojmom portfelja ipovrata. Portfelj je skup razlicitih vrijednosnih papira (dionice, obveznice, komercijalnizapisi) u vlasnistvu pojedinca ili poduzeca. Preciznije mozemo ga definirati na sljedecinacin:

Definicija 4.1. Proizvoljan vektor ϕ = (ϕ0, ϕ1, ..., ϕd) ∈ Rd+1 naziva se portfelj. Pri-tom ϕi predstavlja broj jedinica i-te imovine koju investitor posjeduje.

22

Definicija 4.2. Povrat je relativna promjena cijene financijske imovine u odredenomvremenskom intervalu, najcesce izrazena kao postotak.

Za danu financijsku imovinu, relativni povrat (krace povrat) u trenutku (t + h), sobzirom na vrijednost i-te imovine u trenutku t, definiramo kao:

Sit+h − SitSit

, i = 1, ..., d

gdje je Sit cijena i-te imovine u trenutku t, a d ∈ N .Vrijednost pod rizikom je minimalni gubitak koji se realizira tijekom odredenog

vremenskog razdoblja s vjerojatnoscu p. Najcesce vremensko razdoblje za koje seracuna VaR je izmedu jednog dana i jednog mjeseca. Na primjer, financijska institucijamoze izracunati da ulaganje ima 3% jednomjesecnog VaR-a od 2%, sto znaci da ce ses vjerojatnoscu 0.03 u mjesec dana vrijednost ulaganja smanjiti za barem 2%.

Pretpostavimo da nas u trenutku t zanima rizicnost odredene financijske imovineza buducih l vremenskih perioda. Oznacimo s ∆Vϕ(l) slucajnu varijablu koja opisujevrijednost portfelja ϕ u (t+ l) s obzirom na vrijednost u t te neka je Fϕ funkcija distri-bucije od ∆Vϕ(l). Vrijednost pod rizikom za 〈t, t + l] s vjerojatnoscu p za investitorakoji posjeduje promatranu financijsku imovinu definiramo kao:

p = P (∆Vϕ(l) ≤ V aR(p)) = Fϕ(V aR(p)).

Cesta pretpostavka kod racunanja rizicne vrijednosti je da su povrati normalnodistribuirani. Ova pretpostavka je dosta problematicna, jer trzisna kretanja veomacesto odstupaju od normalne distribucije.

Postoji nekoliko metoda za modeliranje vrijednosti pod rizikom, medu kojima sumodel varijance/kovarijance (RiskMetrics), povijesna simulacija, Monte Carlo simula-cija i testiranje stresnih situacija. Model varijance/kovarijance i povijesna simulacijasu popularni zbog svoje jednostavnosti pa su najcesce koristeni u financijskim institu-cijama. Ove metode polaze od pretpostavke da su povrati ulaganja nezavisni, sto uvecini stvarnih situacija nije tocno pa vodi do podcjenjivanja ili precjenjivanja rizicnevrijednosti. Jedan od nacina na koji se navedeni modeli mogu poboljsati je koristenjekopula za modeliranje zavisnosti.

Proces modeliranja vrijednosti pod rizikom zahtijeva odabir kopule koja ce se koris-titi, vodeci racuna o njihovim medusobnim razlikama. Potom se procjenjuju parametrimarginalne distribucije, koji se zatim uvrstavaju u kopulu i dobije se mjera zavisnosti.Dobivene varijable se koriste za racunanje rizicne vrijednosti portfelja. Rezultati kojise dobiju na ovaj nacin su precizniji od onih koji ne koriste kopule. Jedan od dokazasu pruzili H.P. Palaro i L.K. Hotta [11].

23

4.1.2 Testiranje otpornosti na stres

Testiranje otpornosti na stres u financijskoj instituciji je analiza ili simulacija koja seprovodi pod hipotetskim nepovoljnim ekonomskim scenarijima poput ekonomske krize,visoke stope nezaposlenosti, prirodne katastrofe ili pada cijena dionica. Scenariji moguukljucivati jedan ili vise nepovoljnih dogadaja istovremeno. Cilj testiranja otpornostina stres je utvrditi ima li banka dovoljno kapitala da izdrzi u nepovoljnim okolnostimapoput krize.

Velike medunarodne banke su pocele provoditi interne testove otpornosti na stres uranim ’90.-im godinama proslog stoljeca u sklopu procesa upravljanja rizicima. Ipak,velika gospodarska kriza koja je izbila 2007. pokazala je da ti testovi nisu bili do-voljno ucinkoviti i da su simulirali nedovoljno ekstremne dogadaje ili nisu uzimali uobzir mogucnost da se dogodi vise njih istovremeno. Nakon krize, vecina zemalja imedunarodnih organizacija je uvela regulativu koja zahtijeva od banaka da provodecesce interne testove otpornosti, ali i neovisne testove koje nad bankama provode re-gulatori. Europsko nadzorno tijelo za bankarstvo (EBA) je neovisno tijelo EU-a kojeje uspostavljeno 2011. s ciljem provodenja testova otpornosti na stres u europskimbankama.

Testovi otpornosti na stres se dijele u dvije velike kategorije - univarijantni i mul-tivarijantni testovi otpornosti. Univarijantni testovi otpornosti analiziraju scenariju kojem se dogada samo jedan nepovoljan dogadaj, na primjer pad bruto domacegproizvoda za 5%, neovisno o ostalim dogadajima. Pritom se vecinom razmatraju vrlokratka vremenska razdoblja. Obzirom da se ne proucava zavisnost, kopule se ne koriste.Prednost ovakvih testova je sto mogu uzeti u obzir vrlo ekstremne dogadaje, ali njihovnedostatak je sto ne odgovaraju stvarnim uvjetima. Pad bruto domaceg proizvodanikada ne ostaje izolirani slucaj nego za sobom povlaci i rast stope nezaposlenosti, padcijena dionica, manju potrosnju itd.

Multivarijantni testovi otpornosti ukljucuju vise nepovoljnih dogadaja koji se zbi-vaju istovremeno i vise odgovaraju stvarnom svijetu. Obzirom da su mnogi od tihdogadaja medusobno zavisni (na primjer, stopa rasta bruto domaceg proizvoda i stopanezaposlenosti), potrebno je ispravno modelirati njihovu zavisnost. Testiranje stogapodrazumijeva velik broj simulacija s raznim kombinacijama nepovoljnih dogadaja, aza modeliranje zavisnosti se koriste kopule.

Multivarijantni testovi se mogu provesti koristeci tri vrste scenarija. Prva vrsta supovijesni scenariji, gdje se promatraju situacije koje su se vec dogodile. Primjer su ve-like krize ili prirodne katastrofe iz povijesti. Njihov veliki nedostatak je sto promatrajuiskljucivo stvari koje su se vec dogodile bez da uzimaju u obzir trenutnu situaciju itrenutne slabosti.

Druga vrsta su hipotetski scenariji koji promatraju moguce dogadaje, ne uzimajuciu obzir slicne situacije iz proslosti. Mogu ukljucivati sokove koji se u danasnjem svijetumogu dogadati cesce nego sto su se dogadali u proslosti, sokove koji se jos nisu dogodili

24

i situacije koje iskoristavaju slabosti koje su trenutno prisutne.Treca vrsta su hibridni scenariji koji koriste povijesne scenarije, ali se ne ogranicavaju

na ishode koji su se tada dogodili. Jednostavnije receno, hibridni scenariji pretpostav-ljaju povijesne situacije i koriste ih za kalibriranje scenarija, ali dozvoljavaju drugacijeishode od povijesnih i temelje ih na trenutnom stanju.

Multivarijantni test otpornosti na stres se provodi tako da se odaberu univarijantnifaktori rizika, a potom se povezu koristenjem odgovarajuce kopule. Izbor kopule ovisio odabranim dogadajima i moze znacajno utjecati na rezultate. Na primjer, Gaussovakopula je najjednostavnija i tome duguje velik dio svoje popularnosti, ali u odredenimsituacijama nije dovoljno dobra zato sto nema repnu zavisnost. Kao sto su Malevergnei Sornette pokazali [9], Gaussova kopula ne moze dobro predvidjeti zavisnost izmeduekstremnih dogadaja koji se dogadaju istovremeno, i u takvim scenarijima je Studen-tova t-kopula bolji izbor. S druge strane, rezultati dobiveni Studentovom t-kopulom sene razlikuju od rezultata dobivenih Gaussovom kopulom ako je broj stupnjeva slobodedovoljno velik.

U slucaju manje ekstremnih scenarija, mogu se koristiti i Claytonova i Studentova t-kopula. Claytonova kopula ima asimetricnu distribuciju i visoku repnu zavisnost, zbogcega je prigodna za scenarije u kojima se stres primjenjuje na manji broj poslovnihsektora i uz manju korelaciju.

25

4.2 Optimizacija portfelja

Svrha optimizacije portfelja je minimiziranje rizika od gubitka vrijednosti i maksimi-ziranje prinosa. Modernu teoriju portfelja je 1952. utemeljio Harry Markowitz. Onapretpostavlja da investitori zele izbjeci rizik, te u situaciji gdje mogu birati izmedudvije investicije jednakog ocekivanog prinosa, biraju onu koja ima manji rizik. Da bise minimizirao rizik, svaki kvalitetan portfelj bi trebao biti vrlo diverzificiran, odnosnoimati udjele u vecem broju razlicitih investicija.

Markowitz je predlozio vlastiti model optimizacije portfelja koji je nazvan MV(mean-variance) model. Njegov model nastoji pronaci ravnotezu izmedu stope prinosai rizika te formira portfelj na temelju investitorove preferencije rizika ili prinosa. Takokonzervativniji investitor moze birati portfelj koji ima manji prinos, ali i manji rizik.Ostale metode ukljucuju vrijednost pod rizikom, metodu ocekivanog gubitka (poznatai kao uvjetna vrijednost pod rizikom) te Sortino omjer (pokazatelj koji omogucujeprocjenu prinosa i rizika investicijskog instrumenta).

Ipak, svaka od navedenih metoda ima odredene nedostatke. U klasicnoj teorijiupravljanja portfeljom, pretpostavlja se da je zajednicka distribucija varijabli povratana ulaganje zapravo visedimenzionalna normalna distribucija, iako to u stvarnosti nemora biti slucaj. Ako zelimo voditi racuna o varijablama koje nisu distribuiraneelipticno i povecati preciznost mjerenja rizika, mozemo uvesti novi alat - kopule, pritomvodeci racuna da moramo izraziti varijancu bez pretpostavke normalnosti.

Vec smo napomenuli da se funkcija gustoce slucajnog vektora moze zapisati pomocugustoce kopule. Neka su ri povrati i-te financijske imovine koju investitor posjeduje.Tada je (r1, ..., rn) slucajan vektor s funkcijom gustoce f(r) = f(r1, ..., rn). Vrijednostportfelja mozemo definirati na sljedeci nacin: rp =

∑ni=1wiri, gdje je wi broj jedinica

i-te imovine u tom portfelju. Tada se varijanca portfelja moze zapisati kao:

σ2p =

∫Rn

(rp − E(rp))2 f(rp)drp =

∫Rn

(n∑i=1

wiri − E(rp)

)2

f(r)dr1dr2...drn,

gdje je

E(rp) =n∑i=1

wiE(ri) = K.

rp ce biti vrijednost portfelja normalizirana brojem jedinica imovine u cijelom portfelju.K je ocekivana vrijednost portfelja i racunajuci niz ocekivanih povrata mozemo dobitiMV ucinkovitu granicu.Kako u praksi uvijek radimo s realizacijama povrata, gornje ocekivanje procjenjujemosljedecom sumom:

σ2p =

1

m

m∑j=1

(w1r1j + w2r2j + ...+ wnrnj − E(rp))2,

26

gdje je n broj razlicitih imovina sadrzanih u portfelju, a m je velicina uzoraka povratakoji se mogu simulirati uz informaciju o strukturi zavisnosti sadrzanoj u kopuli.

27

4.3 Odredivanje cijena financijskih izvedenica

U svijetu financija, pojam ”derivativ” ili izvedenica predstavlja financijski instrumentkojemu je vrijednost izvedena iz vrijednosti druge imovine ili financijskog instrumenta.Derivati obecavaju isplatiti odredenu kolicinu novca u buducnosti, ovisno o dogadajimana trzistu. Neki oblici derivata su opcije, swapovi, futures ugovori i razni vrijednosnipapiri vezani za imovinu. Jedan poseban oblik su i kreditni derivativi, a posebno suzanimljive takozvane kolateralizirane duznicke vrijednosnice (eng. collateralized debtobligation ili CDO) koje su imale veliku ulogu u velikoj gospodarskoj krizi iz 2007. Rijecje o drugorazrednim hipotekarnim kreditima koji su izdani ljudima s niskim kreditnimrejtingom, a zatim upakirani s drugim kreditima i prodani investitorima. Mnogi od tihCDO-ova nisu ni sadrzavali hipotekarne kredite nego samo derivative na njih [13].

Obzirom na kolicinu izdanih CDO-ova, jedan od velikih problema s kojim se finan-cijska industrija suocava je odredivanje njihove cijene. Inicijalni modeli su odredivalicijene CDO-ova tako sto su racunali vjerojatnost bankrota za svakog pojedinog duznikauz pretpostavku da su vjerojatnosti bankrota nezavisne. To naravno nije tocno, zatosto vjerojatnost bankrota raste za sve u vremenima recesije, a pada u vremenima gos-podarskog rasta. David X. Li je 2000. predlozio model koji koristi Gaussovu kopuluza racunanje zavisnosti izmedu pojedinih duznika. Po njemu, proces ocjene se sastojiiz tri velika koraka:

1. racunanje vjerojatnosti bankrota svakog pojedinog duznika

2. racunanje zavisnosti izmedu duznika

3. racunanje ocekivanog gubitka i cijene CDO-a na temelju ukupnog broja bankrota.

Uzmimo jedan jednostavan primjer koji preskace prvi korak uz pretpostavku da jevjerojatnost bankrota jednaka za svakog pojedinog duznika.

Primjer 4.1. Recimo da zelimo izracunati ocekivani gubitak za jednostavni CDO sasljedecim karakteristikama:

• Rocnost je jedna godina.

• U portfelju se nalazi N = 125 obveznica.

• Svaka obveznica placa kupon vrijednosti 1 jedinice nakon jedne godine ako nijebankrotirala.

• Ukoliko je neka obveznica neispunjena tada je njena stopa oporavka jednaka nuli.

28

• Postoje 3 transe koje nas zanimaju: kapital, mezanin i nenadredene transe, stockama pricvrscenja 0-3 bankrota, 4-6 bankrota i 7-125 bankrota (donja grani-catocke pricvrscenja predstavlja broj bankrota nakon kojega transa pocinje gene-rirati gubitke, a gornja granica, koja se zove tocka odvajanja, predstavlja brojbankrota nakon kojega ce investitor izgubiti svu glavnicu transe).

Transe su dio skupne zbirke vrijednosnih papira koje se mogu dijeliti ovisno o njhovomriziku ili nekim drugim karakteristikama.

Napravit cemo jednostavnu pretpostavku da je vjerojatnost bankrota unutar jednegodine, oznaka q, jednaka za sve obveznice. Xi je normalizirana vrijednost imovinei-te obveznice, i pretpostavimo

Xi =√ρM +

√1− ρZi, (6)

gdje su M,Z1, ..., ZN nezavisne i jednako distribuirane slucajne varijable. Primjetimoda je korelacija izmedu svakog para vrijednosti imovine jednaka. Pretpostavimo i da cei-ti kredit bankrotirati ako Xi ≤ xi. Obzirom da je vjerojatnost bankrota q jednaka zasve obveznice, imamo

xi = ... = xN = Φ−1(q), (7)

odnosno xi je q-ti kvantil funkcije distribucije vrijednosti obveznice Xi za sve i.Iz jednakosti (6) i (7) slijedi da je

P (i− ti kredit bankrotira|M ≤ m) = P (Xi ≤ xi|M ≤ m)

= P (√ρM +

√1− ρZi ≤ Φ−1(q)|M ≤ m)

= P

(Zi ≤

Φ−1(q)−√ρM√

1− ρ|M ≤ m

).

Stoga, ovisno o M, ukupan broj bankrota ima binomnu distribuciju s parametrima N iqm, gdje je

qm := Φ

(Φ−1(q)−√ρm√

1− ρ

).

Oznacimo li s Y slucajnu varijablu koja modelira broj obveznica koje su bankrotiraleslijedi:

P (Y = k|M ≤ m) =

(N

k

)qkm(1− qm)N−k. (8)

Pitanje koje se namece je gdje se ovdje koriste kopule? Objasnimo. Neka CX1,...,Xn

oznacava kopulu od X := (X1, ..., XN) u (6). Onda je jasno da je kopula od X za-ista Gaussova kopula CGauss

P gdje je R matrica korelacije u kojoj su svi elementi vandijagonale jednaki ρ. Po definiciji Gaussove kopule, CX1,...,Xn zadovoljava

CX1,...,Xn(u1, ..., uN) = P (Φ(X1) ≤ u1, ...,Φ(XN) ≤ uN). (9)

29

Mozemo supstituirati sve Xi u (9) koristeci (6) i onda uvjetovanjem na realizaciju mslucajne varijable M da dobijemo

CX1,...,Xn(u1, ..., uN) =

∫ ∞−∞

N∏i=1

Φ

(Φ−1(ui)−

√ρm

√1− ρ

)Φ(m)dm, (10)

gdje je Φ standardna normalna funkcija gustoce vjerojatnosti. Sada mozemo upotrijebitiSklarov teorem i (10) da bismo vidjeli da zajednicka vjerojatnost bankrota zadovoljava:

P (X1 ≤ x1, ..., XN ≤ xN) =

∫ ∞−∞

N∏i=1

Φ

(Φ−1(Φ(xi))−

√ρm

√1− ρ

)Φ(m)dm (11)

=

∫ ∞−∞

N∏i=1

Φ

(Φ−1(q)−√ρm√

1− ρ

)Φ(m)dm. (12)

U ovom primjeru smo pretpostavili da su vjerojatnosti bankrota jednake i kao rezultattoga smo mogli koristiti binomne vjerojatnosti kao u (8). Stoga nismo morali koris-titi (11) da izracunamo ocekivane gubitke na transama. Ipak, za slucajeve u kojimavjerojatnosti bankrota nisu jednake, Gaussova kopula nam je nuzna.

30

4.4 Rizici kod primjene kopula

Matematicki model kopula nam pruza elegantan nacin da modeliramo zavisnost izmedurazlicitih varijabli. Unatoc svojoj eleganciji, kopule nisu savrsen alat i preveliko osla-njanje na njih moze dovesti do katastrofalnih posljedica. Jedna takva posljedica jevelika gospodarska kriza koja je zapocela 2007., za koju je jednim dijelom zasluznoneodgovorno koristenje kopula.

Kada je David X. Li predlozio svoj model racunanja cijene CDO-ova, sto smospomenuli u proslom potpoglavlju, postao je toliko velika zvijezda u svijetu financijada su ga mnogi vidjeli kao kandidata za osvajanje Nobelove nagrade za ekonomiju.Problem s takvim modelom je sto u stvarnim uvjetima ne funkcionira jednako dobrokao u savrsenim teorijskim uvjetima. Model je racunao vjerojatnost bankrota svakogpojedinog duznika te zavisnost izmedu svaka dva duznika. Dobar primjer bi bile dvijetvrtke, A i B, koje se bave istom djelatnoscu i medusobni su konkurenti. Kada trzisteraste, raste i njihova prodaja, a korelacija izmedu vrijednosti njihovih dionica je visoka.Ali ako tvrtka A pokrene vrlo uspjesnu marketinsku kampanju i znacajno poveca svojuprodaju, to ide naustrb tvrtke B kojoj prihodi pocinju padati i korelacija medu njimapostaje negativna. Dolaskom krize, prihodi se smanjuju i tvrtki A i tvrtki B, cimekorelacija izmedu vrijednosti njihovih dionica opet postaje pozitivna. Iz ovoga vidimoda je nemoguce savrseno opisati korelaciju koristeci samo jedan jedini broj. Moramose osloniti na adekvatnu mjeru zavisnosti u skladu s problemom kojeg proucavamo ipodacima s kojima raspolazemo.

Problem, naravno, nije samo u nesavrsenosti kopula, nego preveliko oslanjanje fi-nancijskih institucija na modele dobivene koristenjem kopula. Cak je i sam David X.Li jos 2005. upozorio da kopule imaju svoje nedostatke i ne bi im se trebalo slijepo vje-rovati u svim situacijama. Takoder je tvrdio da ih mnogi koriste iako ih ne razumiju, iliih ne razumiju dovoljno. Unatoc upozorenjima, nitko nije reagirao, a banke i investitorisu se nastavili pretjerano oslanjati na modele dobivene koristenjem kopula. Rezultattoga je bila prevelika izlozenost banaka i investicijskih kuca CDO-ovima i, posljedicno,neadekvatni sustavi upravljanja rizikom. Dvije godine kasnije doslo je do pada cijenanekretnina u SAD-u i istovremenog rasta kamatnih stopa, sto je mnoge gradane SAD-adovelo do bankrota. Kao sto smo vec objasnili, kopule nisu mogle savrseno prikazatikorelaciju i nitko nije racunao da ce doci do tako masovnog broja bankrota. Obziromda su u CDO-ove bile upakirane prvenstveno hipoteke na nekretnine, mnoge financijskeinstitucije su izgubile velik novac zbog bankrota duznika koji vise nisu mogli vracatistambene kredite. Gubitci su se poceli preljevati s jedne financijske institucije na drugui uskoro su i neke velike banke poput Lehman Brothers proglasile bankrot. Lancana re-akcije je dovela do sloma na financijskim trzistima u Sjedinjenim Americkim Drzavamakoji se uskoro prelio i na ostatak svijeta te uzrokovao najvecu svjetsku gospodarskukrizu nakon one iz 1929.

Zadnjih nekoliko desetaka godina matematicki modeli imaju sve vecu ulogu u svijetu

31

financija, a iskustvo sve manju. To dovodi do stvaranja matematickih modela kojidjeluju u savrsenom svijetu uz savrsene pretpostavke iako znamo da svijet funkcioniradrugacije. Ako bismo iz svega dosad navedenog htjeli izvuci nekakvu pouku, to bi biloda kao i svaki drugi alat kopule imaju mnoge prednosti i mogu biti vrlo korisne, alisamo ako se pazljivo koriste i ako se u obzir uzmu svi njihovi nedostaci.

32

Literatura

[1] C.Alexsander, Practical Financial Econometrics, John Wiley and Sons Ltd.,Chichester, UK, 2008.

[2] U.Cherubini, E. Luciano, W.Vecchiato, Copula methods in finance, JohnWiley and Sons Ltd., 2004.

[3] U.Cherubini, S.Mulinacci, F.Gobbi, S. Romagnoli, Dynamic CopulaMethods in Finance, John Wiley and Sons Ltd., Chichester, UK, 2014.

[4] M.Denuit, J.Dhaene, M.Goovarts, R.Kaas, Actuarial Theory for Depen-dent Risks: Measures, Orders and Models, John Wiley and Sons Ltd., 2005.

[5] D.Fantazzini, The Econometrics Modelling of Copulas: A Review with Exten-sion, Department of Econometrics and Quantitative Methods, University of Pavia

[6] M.Haugh, An Introduction to Copulas, 2016.

[7] J.C.Hull, Risk Management and Financial Institutions, Wiley Finances, 2007.

[8] J.Mai, M. Schere, Financial Engineering with Copulas Explained, PalgraveMacmillan, Houndmills, Basingstoke, UK, 2014.

[9] Y.Malevergne, D. Sornette, Testing the Gaussian copula hypothesis forfinancialassets dependences, 2010.

[10] R.C.Mittelhammer, Mathematical Statistics for Economics and Business,Springer, New York-Tokyo, 1996.

[11] H.P.Palaro, L.K.Hotta, Using Conditional Copula to Estimate Value atRisk, 2006.

33

[12] J.Rank, Copulas: From theory to application in finance, Risk Books, London,UK, 2006.

[13] F.A.B. Sabino da Silva, F.A. Ziegelmann, C.Tessari, Robust PortfolioOptimization with Multivariate Copulas: a Worst-Case CVaR approach, 2017.

[14] W.H. Shaw, V.Barry, Moral Issues in Business, 2014.

34

Sazetak

U ovom radu smo definirali pojam kopula i kroz primjere predstavili svojstva i vrstekopula. Pokazano je kako se kopule koriste za racunanje zavisnosti izmedu varijabli.Navedene su i objasnjene su primjene kopula, odnosno kakvu ulogu kopule imaju uupravljanju rizikom, optimizaciji portfelja i vrednovanju financijskih derivata. Vidjelismo i koje su prednosti njihovog koristenja te koje opasnosti donosi preveliko oslanjanjena njih.

Kljucne rijeci: kopula, Sklarov teorem, Frechet-Hoeffdingova nejednakost, Kopuleprezivljenja, Dualne kopule, ko – kopule, elipticne kopule, Arhimedove kopule

35

Copulas

Summary

In this thesis we have defined copulas and, through examples, presented their proper-ties and types. We have shown how copulas are used to calculate dependence betweenvariables. Applications of copulas are explained, including their role in risk manage-ment, portfolio optimization and derivatives pricing. We have seen what their benefitsare as well as what potential dangers overreliance on them can bring.

Key words: copula, Sklarov theorem, independent, Frechet-Hoeffding inequality, sur-vival copulas, dual copulas, co-copulas, elliptical copulas, Archimedean copulas

36

Zivotopis

Rodena sam 12. kolovoza 1994. godine u Pozegi. Osnovnu skolu fra Kaje Adzicau Pleternici pohadala sam u razdoblju od 2001. godine do 2009. godine. Tijekomtog razdoblja redovno sam sudjelovala na natjecanjima iz matematike sto je rezulti-ralo upisivanjem Prirodoslovno-matematicke gimnazije u Pozegi, a istu sam zavrsila2013. godine. Nakon zavrsene srednje skole odlucujem upisati Preddiplomski studijmatematike na Odjelu za matematiku Sveucilista J.J. Strossmayera u Osijeku. Nazivsveucilisne prvostupnice matematike stjecem 2016. godine zavrsnim radom pod nazi-vom ”RSA Kriptosustav” uz mentorstvo doc. dr. sc. Mirele Jukic Bokun. Odmahnakon toga upisala sam Diplomski studij matematike, smjer Financijska matematika istatistika takoder na Odjelu za matematiku u Osijeku. Tijekom diplomskog studija bilasam aktivan clan studentske udruge Financijski impuls i obavila sam strucnu student-sku praksu u Privrednoj banci Zagreb d.d. u Osijeku na odjelu Naplate potrazivanja.Trenutno radim u Privrednoj banci Zagreb d.d. u Zagrebu na mjestu analiticara narazvoju u SME dijelu.

37