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Konzeption der Übungen zur Darstellenden Geometrieim Studiengang Architektur an der RWTH Aachen

Claus Pütz(Institut für Geometrie und Praktische Mathematik, RWTH Aachen)

Abstrakt

Zur Vermittlung der Darstellenden Geometrie als Pflichtfach für Architekten steht an derRWTH Aachen mit zwei Wochenstunden über zwei Semester ein extrem geringesLehrdeputat zur Verfügung. An dem Kurs nehmen jährlich ca. 250 Studierende teil. Um trotzder ungünstigen Rahmenbedingungen von der Fakultät für Mathematik für den StudiengangArchitektur einen qualifizierten Beitrag liefern zu können, der von den Studierenden auchangenommen wird, wurde ein sehr ausdifferenziertes und vielseitiges Lehrkonzept entwickelt,das hier vorgestellt wird. Das Rückgrat des didaktischen und methodischen Ansatzes bildetdabei der systematische Übungsablauf.

1 Ziele der Darstellenden Geometrie in der Ausbildung zumArchitekten

Die eigentliche Hauptaufgabe der Darstellenden Geometrie (DG) innerhalb derArchitektenausbildung liegt aus meiner Sicht in der Schulung des räumlichenVorstellungsvermögens. Zum Erreichen dieses Ziels ist eine hohe Motivation erforderlich, dieaufrecht erhalten und gesteigert werden kann, wenn z.B. Inhalte [1] und Aufgaben mit einemoffensichtlichen Architekturbezug verwendet werden.Ein weiteres Ziel ist der Umgang mit Zeichnungen; dieser lässt sich didaktisch am günstigstendurch das Zeichnen mit der Hand erlernen. Mit dem Durchlaufen des folgendenÜbungskanons baut sich die erforderliche Kompetenz innerhalb weniger Wochen auf.Einen weiteren Schwerpunkt lege ich auf den bewußten Umgang mit den Abbildungsarten, daArchitekten stets die für ihre Zwecke angemessene und günstigste Darstellungsart auswählenkönnen sollten; dabei spielen ferner jeweils die Wahlmöglichkeiten der Parameter einewichtige Rolle [2].Die Anwendung von Computer Aided Design (CAD) schon zu Beginn des Studiums ist einesinnvolle Ergänzung, kann aber aus didaktischer Sicht die klassische Darstellende Geometrienicht ersetzen.

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2 Das Konzept der Übungen für Architekten

Die theoretischen Grundlagen zu den Übungen werden jeweils in der Vorlesung gelegt. Derinhaltliche Aufbau der Vorlesung wird so weit wie möglich mit der systematischenÜbungsabfolge abgestimmt. Um die Integration der DG in den Studiengang Architektur zuerleichtern, werden in den Übungen auf Architektur bezogene Inhalte bearbeitet. Wo möglichwerden Beispiele aktueller Architektur, die auf das für die DG wesentliche reduziert wurden,als Übungsgrundlage genutzt.Die Vorstellung der Übung erfolgt wie bei Vorlesungen im Hörsaal, indem jeweils 90Minuten vorgetragen und auf Overhead-Folien farbig vorgezeichnet und von denStudierenden mitgezeichnet wird. Als Grundlage dient ein den Studierenden zur Verfügungstehendes Übungsheft mit ca. 90 Seiten, das ausführliche Aufgabentexte und für jede Übungmehrere Hilfsblätter enthält. Im Unterschied zur Vorlesung werden in der Übungsvorstellungdie vorbereiteten Bausteine auf eine komplexe Aufgabenstellung angewendet, also eingebettetin größere Zusammenhänge wiederholt. Diese Wiederholung geschieht durch deutlicheBezugnahme auf die Vorlesung, ohne allerdings deren Inhalte zu wiederholen.Es werden neun Übungen herausgegeben, die alle von den Studenten mit Erfolg zu bearbeitensind; dabei handelt es sich um fünf Hausübungen und vier Anwesenheitsübungen:Die Hausübungen werden von den Studierenden selbstständig bearbeitet, wobei jeder Studentinnerhalb vorgegebener Rahmenbedingungen einen eigenen Entwurf entwickeln unddurcharbeiten soll. Hierdurch stößt jeder Studierende auf individuelle Probleme, sodass sichdie Lösung der Aufgaben der mechanischen Anwendung von Konstruktionsrezepten entzieht.Als Ausgleich sind die vorgeführten Beispiele in der Regel aufwändiger als die zu von denStudierenden zu bearbeitenden, um sie möglichst vielseitig auf ihre Aufgabe vorzubereiten.Die Hausübungen sind jeweils innerhalb von zehn Tagen nach der Vorstellung auf mehrerenTransparenten DIN A2 mit Bleistift zu bearbeiten.Die Anwesenheitsübungen werden auf vorbereiteten DIN A4 Blättern innerhalb von 90Minuten bearbeitet; es werden verschiedene Versionen verteilt um sicherzustellen, dass jederseine Aufgabe selbstständig löst. Erst eine sichere Beherrschung der Aufgaben macht esmöglich, die relativ aufwändigen Anwesenheitsübungen in dem gesteckten engen Zeitrahmenzu bearbeiten.

3 Inhaltlicher Aufbau der Übungsabfolge

Die Übungsabfolge beginnt mit Axonometrien, also mit Abbildungsarten, die der Anschauungleicht zugänglich sind. Da die Zweitafelprojektion zwar als Grundlage dient, aber in ihrerAbstraktion sehr anspruchsvoll ist, wird sie vorbereitend zunächst nur so kurz wie möglichgestreift, um schon in der zweiten Woche mit der ersten umfangreichen Übung beginnen zukönnen.

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3.1 Hausübung zum Thema Vielflache in der Grundrissaxonometrie

Thema der ersten Übung ist als einfachste Abbildungsart die Grundrissaxonometrie. Es isteine städtebauliche Situation durch einen eigenen Entwurf (vier Quader und einen Zylinder)zu ergänzen. Die Studierenden erstellen zunächst Grundriss und Aufriss. DasKoordinatensystem wird zwanglos eingeführt. Zylinder mit horizontalem Leitkreis werden alsSonderfall mit einbezogen.Basierend auf den Rissen wird eine Grundrissaxonometrie entwickelt. Besonders wichtig istdabei für Architekten die freie Wahl der Blickrichtung; der Lerneffekt wird gesteigert, wennzwei Studierende zusammenarbeiten und jeder eine eigene Axonometrie aus unterschiedlicherBlickrichtung konstruiert.

Der Schwierigkeitsgrad steigert sich bei der Bearbeitung, da zunächst einfache Quader, dannHäuser mit Satteldach und Walmdach und schließlich zusammengesetzte Baukörperabgebildet werden. Zur Abbildung der Kreiszylinder sind ihre Umrissmantellinien zuermitteln; auch die Berührpunkte dieser zum Bild der Zylinderachse parallelen Tangenten andie Kreise sind zu konstruieren, um das Nachziehen der sichtbaren Linien ohne Knicke zuermöglichen.Da es sich für viele Studierende um deren erste Zeichnung überhaupt handelt, liegt diebesondere Schwierigkeit im Erlernen des sauberen und präzisen Umgangs mit Transparenten,Bleistiften und Geodreiecken. Dabei erweist sich vor allem das Zeichnen von Parallelen aufgroßen Blättern als die eigentliche Herausforderung. Dadurch, dass einzelne, voneinander

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unabhängige Baukörper abzubilden sind, entsteht ein hoher Übungseffekt, ohne dass sichdabei Fehler gleich auf die ganze Zeichnung auswirken.Gleichzeitig wird das räumliche Denken geschult, ohne allerdings dabei zu überfordern. DieErfahrung zeigt jedoch, dass einige Studierende bei dieser scheinbar leichten Aufgabe großeProbleme haben und viel Energie aufwenden müssen, um sich die nötigen Fähigkeiten undmanuellen Fertigkeiten zu erarbeiten.Die bei dieser Übung leicht erzeugte räumliche Wirkung spricht die noch unerfahrenenArchitekturstudierenden an und motiviert sie. Um den Lerneffekt zu steigern, sollte die exakteDG-Lösung weiterbearbeitet werden: Sie kann als Grundlage für eine freihändigeÜberarbeitung oder weitere Ausarbeitung des Entwurfes genutzt werden, die im FachFreihandzeichnen anerkannt wird.

3.2 Hausübung zum Thema Kreise und verdeckte Kanten in derGrundrissaxonometrie

In der 2. Übung ist wieder eine Grundrissaxonometrie, allerdings mit deutlich gehobenemAnspruch, zu konstruieren: Es ist das Bild eines komplexen Gebäudes mit sichtbaren undverdeckten Kanten zu ermitteln; das zu entwerfende Gebäude ist aus mehreren Vielflachenund zwei Zylindern mit vertikalen Leitkreisen zusammengesetzt.Nachdem die manuelle Fertigkeit des Zeichnens bereits durch die erste Übung wesentlichverbessert wurde, können die Anforderungen nun durch Ellipsenkonstruktionen gesteigertwerden. Basierend auf konjugierten Durchmessern werden die Hauptachsen und dieScheitelkrümmungskreise der auftretenden Ellipsen ermittelt; die Umrissmantellinien derZylinder und ihre Berührpunkte mit den Ellipsen sind mit einer Näherungskonstruktion zubestimmen. Da alle diese Konstruktionen nur bei genauem Arbeiten zu befriedigendenErgebnissen führen, wird allen Studierenden deutlich, dass präzises Zeichnen für erfolgreicheKonstruktionen unerlässlich ist. Mangelhafte Zeichnungen werden vom Studierenden selbsterkannt und schon vor der ersten Testatvorlage freiwillig neu bearbeitet.

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Die Komplexität der Aufgabe erfordert systematisches Denken und Arbeiten. Durch dieVerschachtelung verschiedener räumlicher Elemente stellt das Stricheln von verdecktenKanten trotz der Anschaulichkeit der Grundrissaxonometrie erhebliche Anforderungen an dieräumliche Vorstellungskraft. Das Absetzen der Linien in scheinbaren Schnittpunkten (auchder gestrichelten Linien untereinander) erhöht die räumliche Wirkung der Zeichnung undschult das räumliche Denken.

Bei Gruppenarbeit kann der Lerneffekt erhöht werden, da vom zweiten Studierenden eineAufrissaxonometrie des Gebäudes anzufertigen ist. Während bei der Aufrissaxonometrie dieVerzerrung des Grundrisses mit Hilfe der Affinität relativ aufwendig ist, wird aber ihr Vorteilin der Konstruktion gegenüber der Grundrissaxonometrie deutlich, wenn die Bilder derAbschlusskreise der Zylinder bei geschickter Anordnung wiederum Kreise sind.

3.3 Hausübung zum Thema Vielflache in der Zweitafelprojektion

Nachdem die Zweitafelprojektion bisher nur an einfachsten Beispielen verwendet wurde,werden nun in der Vorlesung die Grundaufgaben systematisch durchgearbeitet. In der 3.Übung ist aus Ebenen ein komplexes Gebäude zu entwickeln, z.B. ein Baumhaus bestehend

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aus einem auf eine Ecke gestellten Quader, der mit einem vierseitigen Prisma (oder einerPyramide) zu verschneiden ist.Zunächst ist ein Quader mit ganzzahliger Kantenlänge in allgemeiner Lage in Grundriss undAufriss festzulegen, wobei die Beherrschung der Phänomene Frontlinie, Höhenlinie, Normaleund das Antragen wahrer Längen erforderlich ist. Die Lösung der Verschneidung wird durchwiederholte Bearbeitung der Grundaufgabe „Bestimmung des Durchstosspunktes einerGerade mit einer Ebene“ ermittelt. Das Einzeichnen der Schnittfigur und das Nachziehen derLösung unter Klärung der Sichtbarkeit mittels durchgezogener und gestrichelter Linien führterfahrungsgemäß viele Studierende an die Grenzen ihrer Vorstellungskraft.

In einem weiteren Schritt ist ein Seitenriss allgemeiner Lage des Gebäudes zu zeichnen,wodurch das Gebäude plastischer erscheint und den Studierenden so der Umgang mitunterschiedlichen Rissen und ihren Wirkungen verdeutlicht wird. Ferner sind die wahrenGrößen der auftretenden Facetten des Prismas und des Quaders inklusive der Schnittfigur zuermitteln. Der Lerneffekt wird deutlich gesteigert, wenn basierend auf den abstraktenKonstruktionszeichnungen in Gruppenarbeit das Modell des Entwurfes anzufertigen ist.Nach den ersten beiden Übungen können die Studierenden exakt zeichnen und sind somitvorbereitet auf die anspruchsvolleren Konstruktionen der Zweitafelprojektion. Die eigentlicheSchwierigkeit dieser Übung ist das räumliche Verstehen, Denken und Konstruieren. AmModell kann dann die Raumvorstellung des Einzelnen ideal gestützt und überprüft werden.

3.4 Anwesenheitsübung zum Thema Kreiszylinder in derZweitafelprojektion

Nachdem Zylinder in den ersten beiden Übungen nur beiläufig eingeführt wurden, werden sienun systematisch behandelt. In der 4. Übung ist der ebene Schnitt eines geradenKreiszylinders mit horizontaler Achse in Grundriss und Aufriss zu ermitteln. Dasarchitektonische Beispiel ist eine zylindrische Dachgaube; die Dachebene (Schnittebene) wird

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in allgemeiner Lage durch ihre Begrenzungen angegeben, wobei keine Höhenlinien oderFalllinien verwendet werden.

Bei dieser Übung werden die Ellipsenkonstruktionen wieder aufgenommen und dieTangentialebenenmethode eingeführt. Ferner sind die wahre Gestalt und Größe derSchnittellipse zu bestimmen und der Zylindermantel abzuwickeln.Da das Lernziel mit weniger Aufwand erreicht werden kann, wird diese Übung alsAnwesenheitsübung durchgeführt. Durch diese Übungsform liegt der Schwerpunkt nun nebendem räumlichen Verständnis vor allen auf zügigem Konstruieren, welches nur durch sichereBeherrschung der Übungsinhalte möglich ist.

3.5 Anwesenheitsübung zum Thema Vielflache und Zylinder in derorthogonalen Axonometrie

Die orthogonale Axonometrie ist wegen der größeren Freiheit bei der Wahl der Blickrichtunggegenüber der Grundrissaxonometrie für Architekten besonders wichtig.Ihre Konstruktion erfolgt mit Hilfe des Aufbauverfahrens über dem gestauchten Grundriss[3]. Da diese Axonometrie im wesentlichen durch Übertragen von bereits erlernten

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Kenntnissen und Methoden ermittelt werden kann, reicht zur Übung die Form derAnwesenheitsübung.Im ersten Teil der 5. Übung ist eine orthogonale Axonometrie der Entwurfes der Übung 3 zuermitteln; dadurch, dass verdeckte Kanten zu stricheln sind, werden erfahrungsgemäßeventuell noch vorliegende Schwierigkeiten beim räumlichen Vorstellungsvermögenaufgedeckt.Im zweiten Teil sind mehrere Zylinder und eine Kugel abzubilden; dabei sind vor allem dieEllipsenkonstruktionen zu wiederholen.

3.6 Hausübung zum Thema Vielflache in der Frontperspektive

Nachdem zu Beginn des zweiten Semesters in der Vorlesung die Grundlagen der allgemeinenPerspektive auf eine vertikale Bildebene behandelt werden, wird das Prinzip der Perspektivezunächst am für Architekten wichtigen Sonderfall der Frontperspektive ausführlich geübt. Inder 6. Übung ist ein Innenraum mit Kassettendecke abzubilden, von dem aus drei Gänge zubenachbarten Räumen führen. Im Raum befinden sich fünf Skulpturen und ein Kreiszylinderspezieller Lage.Besonders wichtig sind für Architekten gerade bei Perspektiven die Wahlmöglichkeitenbezüglich der Blickrichtung (Zentrale oder seitliche Lage des Hauptsehstrahls, Augenhöhe,Lage des Auges, Bildgröße). Da dem Architekten stets das Überprüfen der Proportionenseines Entwurfes wichtig ist, muss er Verzerrungen durch die Abbildung einschätzen können.Bei der Frontperspektive sind die Verzerrungen, die bei Überschreitung des Sehkreisesauftreten, weniger erheblich als bei allgemeiner vertikaler Lage der Bildebene.Bei der Konstruktion dieser ersten Perspektive kann wie bei Parallelprojektion die Parallelitätvon Linien (Hauptlinien) ausgenutzt werden; bei rechtwinklig organisierten Baukörpernhaben nur die Bilder der Tiefenlinien einen Fluchtpunkt, den Hauptpunkt. BeimAufbauverfahren wird zunächst der perspektive Grundriss mit Hilfe der Perspektivitätermittelt; danach werden die Höhen in Spurpunkten angetragen. Als besondere Schwierigkeiterweist sich die korrekte Konstruktion der Höhe der Pyramidenspitze. Da der Leitkreis desabzubildenden Zylinders parallel zur Bildebene ist, sind nur die Radien der Bilder derLeitkreise zu bestimmen; die Umrissmantellinien und ihre Endpunkte werden durch Lösungder Grundaufgabe ,,Tangente von einem Punkt (Hauptpunkt) an einen Kreis“ ermittelt.

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Dadurch, dass die Klärung der Sichtbarkeit im Rahmen der Parallelprojektion gründlich geübtwurde, treten beim Nachziehen der sichtbaren Kanten in der Frontperspektive nur noch beiwenigen Studierenden Probleme auf.Da seit der letzten Hausübung mehrere Monate vergangen sind, ist das Aufgreifen derZeichengenauigkeit ein wichtiges Thema. Ungenaues Arbeiten führt gerade bei Perspektivenfür die Studierenden deutlich erkennbar zu unbefriedigenden Ergebnissen.

3.7 Hausübung zum Thema Vielflache in der Perspektive

Nach der Einübung des Prinzips der Spurpunkt-Fluchtpunkt-Methode beim Sonderfall derFrontperspektive wird die allgemeine Lage der Bildebene anhand der zweiteiligen 7. Übungerarbeitet. Es sind zwei Perspektiven eines Wohngebäudes bestehend aus fünf Baukörpern mitgeneigten Dächern, einem Hang und einer Treppe abzubilden.

Für die erste Perspektive ist eine große Augenhöhe zu wählen; diese garantiert beimperspektiven Grundriss eine übersichtliche Konstruktion und leichtes Auffinden derSpurpunkte zum Antragen der Höhen. Ferner ist der Blickwinkel gegen die Hauptrichtungender Baukörper mit 45° vorgegeben, wodurch die beiden Fluchtpunkte der Hauptrichtungenund das Perspektivitätszentrum vom Hauptpunkt den gleichen Abstand haben; dasKonstruktionsblatt läßt sich so leicht vorbereiten.

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Die zweite Perspektive fällt den Studierenden schwerer: Die niedrige, aber realistischeAugenhöhe erfordert bei der weniger übersichtlichen Konstruktion die sichere Beherrschungdes Prinzips der Perspektive. Besondere Beachtung findet die für Architekten soentscheidende freie Wahlmöglichkeit der Blickrichtung: Zum einen ist eine spannungsreicheBildwirkung zu erzielen, zum anderen sind aber entstellende Verzerrungen zu vermeiden. DieAnlage des Zeichenblattes gestaltet sich daher bei diesem Übungsteil recht aufwendig.Zusätzlich sind für die zweite Perspektive die Fluchtpunkte geneigter Kanten zu ermitteln.Obwohl diese letzte Hausübung im Übungskanon die größten Anforderungen stellt, weisendie Arbeiten der Studierenden die geringste Fehlerquote auf. Die Übungen zur Perspektivewerden von den Studierenden mit Spaß bearbeitet.

3.8 Anwesenheitsübung zum Thema Zylinder in der Perspektive

Im Rahmen einer Anwesenheitsübung wird das Abbilden vertikaler Zylinder und Kreiseallgemeiner Lage in der Perspektive geübt. Ziel ist vor allem das Verständnis desperspektiven Bildes eines Kreises als Kegelschnitt. Die sichere Beherrschung der Abbildungvon Quadern wird dabei vorausgesetzt.Neue Inhalte sind die 5-Punkte-und-Tangenten-Konstruktion und die Ermittlung der Umrisseder stehenden Zylinder durch erstprojizierende Tangentialebenen.Gerade diese Übung verlangt von den Studierenden systematisches Vorgehen bei komplexenKonstruktionen..

3.9 Anwesenheitsübung zum Thema Schattenkonstruktionen

Schatten steigern die plastische Wirkung sowohl von maßgerechten als auch vonanschaulichen Zeichnungen wesentlich.

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Im ersten Teil der letzten Übung sind Grundriss und Aufriss der Schatten eines Gebäudes zuermitteln, wobei Schatten von Kanten auf horizontalen, vertikalen und geneigten Ebenenauftreten.

Im zweiten Teil ist der Schatten eines einfachen Rankgerüstes bei Seitenlicht, Gegenlicht oderRückenlicht in der Perspektive zu ermitteln; bei dieser simplen Anordnung geht es darum, dasVerständnis der Schattenkonstruktionen in der Perspektive zu überprüfen.Die Anforderungen an das räumliche Denken sind bei Schattenkonstruktionen zum Teilerheblich; daher bietet sich bei dieser Übung zu Kursabschluss die Form derAnwesenheitsübung an, bei der der Schwierigkeitsgrad genau festgelegt und angepasstwerden kann.

4 Hilfestellungen bei der Bearbeitung der Übungen

Lerntechnisch ist natürlich eine Übungsveranstaltung mit 250 Studierenden denkbarungünstig. Um aber die Nachteile einer Großveranstaltung auszugleichen, wenden wir eindifferenziertes Betreuungssystem an:? 90 Min. Vorlesung stehen zur Vermittlung der geometrischen Grundlagen und konkreter

Konstruktionsmethoden im Hinblick auf die Übung zur Verfügung.? 90 Min. Übungsvorstellung liefern beispielhaftes Durchführen der Konstruktionen am

komplexen Übungsbeispiel. Ergänzt wird dieses Angebot durch Aushang der farbigvorgeführten Zeichnungen im Schaukasten, durch ausführliche und konkreteAufgabentexte sowie durch Konstruktionsbeschreibungen im Skript [4].

? 90 Min. (freiwillige) Diskussion stehen jede Woche zur Vertiefung des Stoffes anhand derBeantwortung von noch offenen Fragen der Studierenden zur Verfügung.

? 30 Min. Einzelberatung können diejenigen in Anspruch nehmen, die bei der Bearbeitungihrer eigenen Hausübung auf Probleme stoßen.

? 15 Min. Vortestat dienen zur Prüfung und Diskussion der von jedem einzelnenvorgelegten Zeichnungen der Hausübung.

? Zur Vorbereitung der Anwesenheitsübungen werden spezielle Übungsbeispiele zumeigenen Training herausgegeben.

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Die Studierenden erhalten ihre Arbeiten - gründlich kontrolliert und beurteilt – so zügigzurück, dass die Rückmeldungen in die Bearbeitung der jeweils folgenden Übung miteinfließen können.

5 Schlussbemerkungen

Der Übungskanon ist nach steigender Komplexität der geometrischen Phänomene gestaltet:Von der leicht zu erfassenden Abbildung von Quadern mit anschaulichen Axonometrien(schräge Parallelprojektion), über abstrakte geometrische Grundaufgaben inZweitafelprojektion (senkrechte Parallelprojektion), zu den komplexeren Zusammenhängender Zentralprojektion speziell der perspektiven Abbildung von Zylindern, bis hin zumSchattenwurf (Parallelprojektion) in perspektiven Bildern (Zentralprojektion).Um der Bedeutung der DG an der RWTH Aachen gerecht zu werden und noch tiefer in dieMaterie eindringen zu können, wäre eine Aufstockung des Stundenvolumens erforderlich.Dies würde weitere erfolgversprechende Ansätze ermöglichen, die die Kompetenz und dieHandlungsmöglichkeiten der angehenden Architekten weiter steigern würde.Die guten Umfrageergebnisse unter den Studierenden für unsere Lehrveranstaltung weisendarauf hin, dass die Unterrichtsmethode von den Hörern angenommen wird, DG alsintegraler Bestandteil der Architekturausbildung erlebt wird und die Relevanz der DG für dasspätere Berufsleben erfolgreich vermittelt werden konnte.

[1] "On the Selection of Topics Suitable for Descriptive Geometry Courses for UniversityStudents of Architecture", Claus Pütz, Journal for Geometry and Graphics, volume 4 (2000)

[2] "A Didactical Concept for the Computer-Aided Demonstration of Different Ways ofProjection Used in Descriptive Geometry", Karl-Heinz Brakhage, Claus Pütz, Proceedings ofThe 8th International Conference on Engineering Computer Graphics and DescriptiveGeometrie, 617-621, July 31 to August 3, 1998 - Austin, Texas, USA

[3] "A copy method to change an oblique view into an orthographic view", Claus Pütz,Proceedings of The 7th International Conference on Engineering Computer Graphics andDescriptive Geometrie, 62-66, 18-22 July 1996, Cracow, Poland

[4] "Arbeitsblätter zur Darstellenden Geometrie für Architekten" Teil I, Claus Pütz,Unterrichtsmaterial für das zweisemestrige Pflichtfach, ISBN 3-8265-6292-5, Shaker Verlag,Aachen, 2000

Claus Pütz, Institut für Geometrie und Praktische Mathematik, RWTH Aachen, Templergraben 55, 52064Aachen, Tel.: 0241-806932, e-mail: puetz@dg-ac.de, http://www.dg-ac.de