konsep probabilitas -...
TRANSCRIPT
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 1 1 1
KONSEP PROBABILITAS
Sebelumnya, telah dipelajari statistika deskriptif yang fokus untuk menyimpulkan data yang
telah dikumpulkan pada waktu sebelumnya.
Pada bab ini, akan dibahas tentang aspek lain dari statistika, yaitu menghitung kesempatan
yang akan terjadi di masa mendatang โ STATISTIKA INFERENSIAL .
Dalam statistika inferensial, keputusan untuk suatu populasi diambil berdasarkan sampel
yang diambil dari populasi tersebut. Namun, terdapat ketidakpastian dalam pengambilan
kesimpulan, sehingga semua risiko harus dievaluasi โ dibahas melalui TEORI
PROBABILITAS.
Melalui teori probabilitas ini, dengan informasi yang terbatas, dapat dianalisis risiko.
___________________________________________________________________________
I. Probabilitas
a) Probabilitas adalah bilangan yang menunjukkan peluang/kesempatan sesuatu kejadian
akan terjadi.
b) Nilai probabilitas berada di antara 0 sampai 1.
c) Nilai probabilitas bisa dideskripsikan dalam bentuk desimal atau bilangan pecahan.
d) Jika probabilitas semakin mendekati 0, maka dapat dikatakan bahwa semakin tidak
mungkin kejadian tersebut terjadi.
e) Jika probabilitas semakin mendekati 1, maka dapat dikatakan bahwa semakin pasti
kejadian tersebut terjadi.
Tiga kata kunci dalam teori probabilitas yaitu:
Contoh:
โข Suatu proses yang mengarah pada terjadinya satu danhanya satu dari beberapa pengamatan yang mungkin.
Eksperimen
โข Hasil tertentu dari suatu eksperimen.Hasil
โข Kumpulan dari satu atau lebih hasil dari suatueksperimen yang diobservasi.
Kejadian
Kejadian
Mengamati mata dadu genap, dll
Hasil
Muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6
Eksperimen
Lempar Dadu
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 2 2 2
___________________________________________________________________________
II. Pendekatan untuk Menetapkan Probabilitas
1) PROBABILITAS KLASIK
Probabilitas Klasik berdasarkan pada asumsi bahwa hasil (outcomes) dari suatu eksperimen
adalah dengan kemungkinan yang sama. Dengan probabilitas klasik, maka:
Contoh probabilitas klasik: Dalam eksperimen lempar dadu, hitunglah probabilitas kejadian munculnya mata dadu
genap?
Jawab:
โข Ada 3 hasil/outcomes yang diinginkan, yaitu munculnya mata dadu 2, 4 atau 6.
โข Ada 6 kejadian/events yang mungkin terjadi pada eksperimen, yaitu munculnya mata
dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.
โข Probabilitas kejadian muncul mata dadu genap adalah 3 1
6 2 .
2) PROBABILITAS EMPIRIS
Probabilitas empiris adalah probabilitas dari suatu kejadian yang terjadi merupakan bagian
dari berapa kali suatu kejadian yang sama terjadi pada waktu lampau.
Pendekatan Probabilitas
Objektif
Probabilitas Klasik
Berdasarkan hasil probabilitas yang sama
Probabilitas Empiris
Berdasarkan frekuensi relatif
Subjektif
Berdasarkan informasi yang ada
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐ฆ๐ โ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ก๐๐ก๐๐ โ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ข๐๐ก๐ข ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐ฆ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐๐ ๐
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 3 3 3
Hukum โLarge Numberโ:
Semakin banyak percobaan dilakukan, maka probabilitas empiris dari suatu
kejadian akan mendekati probabilitas sesungguhnya.
Contoh:
Pada kejadian pelemparan sebuah koin, maka probabilitas klasik munculnya gambar
adalah 1 2 .
Sedangkan, probabilitas empirisnya ditemukan sebagai berikut.
Banyaknya Percobaan Banyaknya Kejadian
Muncul โGAMBARโ
Frekuensi Relatif dari
โGAMBARโ
1 0 0
10 3 0,3
50 26 0,52
100 52 0,52
500 236 0,472
1000 494 0,494
10000 5027 0,5072
Dapat diperhatikan bahwa semakin banyak percobaan dilakukan, maka probabilitas
empiris semakin mendekati probabilitas sebenarnya (probabilitas klasik).
Karena probabilitas empiris akan mendekati probabilitas sesungguhnya/probabilitas klasik,
maka konsep probabilitas empiris/frekuensi relatif dapat digunakan untuk menemukan
probabilitas dari suatu kejadian.
Contoh: Pada semester lalu, sebanyak 80 mahasiswa Fakultas Ekonomi di suatu perguruan tinggi
mengikuti perkuliahan Statistika, dan sebanyak 12 orang diantaranya memperoleh nilai
A, maka probabilitas seorang mahasiswa akan memperoleh nilai A bisa ditaksir melalui
frekuensi relatif/probabilitas empiris, yaitu 12/80 = 0,15.
3) PROBABILITAS SUBJEKTIF
Konsep dari Probabilitas subjektif adalah bahwa probabilitas dari suatu kejadian yang terjadi
diperoleh berdasarkan informasi dan/atau opini apapun yang dimiliki pada saat itu.
Contoh:
Probabilitas seseorang menikah sebelum usia 30 tahun.
Probabilitas Inter Milan bermain dalam Liga Champions pada musim depan.
___________________________________________________________________________
III. Aturan-Aturan untuk Menghitung Probabilitas
1) ATURAN PENJUMLAHAN
a) Aturan khusus dalam penjumlahan:
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 4 4 4
hanya bisa digunakan jika kejadian pada eksperimen saling lepas (artinya, jika suatu kejadian
terjadi, maka tidak mungkin ada kejadian lain terjadi pada waktu bersamaan).
Syarat suatu kejadian A dan B pada eksperimen saling lepas adalah: A B
Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas, maka probabilitas bahwa satu atau lebih kejadian
terjadi adalah jumlah dari probabilitas masing-masing kejadian, atau secara matematika
ditulis:
Contoh: Sebuah dadu dilemparkan, maka berapakah probabilitas munculnya mata dadu genap
yang lebih besar dari 3 atau mata dadu bilangan prima?
Jawab:
A = munculnya mata dadu genap yang lebih besar dari 3 : {4,6} โ P(A) = 2/6 = 1/3
B = munculnya mata dadu prima : {2,3,5} โ P(B) = 3/6 = 1/2
Penyelesaian 1:
Maka,
๐ท ๐จ โช ๐ฉ = ๐ท ๐จ + ๐ท ๐ฉ =๐
๐+
๐
๐=
๐
๐
Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap yang lebih besar dari 3 atau
mata dadu bilangan prima adalah 5 6 .
Penyelesaian 2:
Maka,
๐ด โช ๐ต = 4,6 โช 2,3,5 = 2,3,4,5,6 โ ๐ท ๐จ โช ๐ฉ =๐
๐
Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap yang lebih besar dari 3 atau
mata dadu bilangan prima adalah 5 6 .
b) Aturan umum dalam penjumlahan:
digunakan jika kejadian pada eksperimen tidak saling lepas (artinya, suatu hasil muncul
paling sedikit pada 2 kejadian yang berbeda dalam waktu bersamaan).
Jika kejadian A dan kejadian B tidak saling lepas, berarti bisa jadi terdapat hasil yang muncul
pada kejadian A dan muncul juga pada kejadian B, maka probabilitas bahwa A atau B terjadi
secara matematika ditulis:
dengan ๐ ๐ด โฉ ๐ต merupakan probabilitas suatu hasil yang bisa muncul pada kejadian A dan
pada kejadian B. ๐ ๐ด โฉ ๐ต disebut juga sebagai joint probability, yaitu jika dua kejadian
terjadi bersamaan.
๐ท ๐จ ๐๐ญ๐๐ฎ ๐ฉ = ๐ท ๐จ โช ๐ฉ = ๐ท ๐จ + ๐ท ๐ฉ
๐ท ๐จ ๐๐ญ๐๐ฎ ๐ฉ = ๐ท ๐จ โช ๐ฉ = ๐ท ๐จ + ๐ท ๐ฉ โ ๐ท ๐จ โฉ ๐ฉ
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 5 5 5
Contoh: Sebuah dadu dilemparkan, maka berapakah probabilitas munculnya mata dadu genap
atau mata dadu bilangan prima?
Jawab:
A = munculnya mata dadu genap : {2,4,6} โ P(A) = 3/6 = 1/2
B = munculnya mata dadu prima : {2,3,5} โ P(B) = 3/6 = 1/2
Penyelesaian 1:
Perhatikan โ2โ muncul pada kejadian A dan pada kejadian B, sehingga ๐ ๐ด โฉ ๐ต = 1/6
Maka,
๐ท ๐จ โช ๐ฉ = ๐ท ๐จ + ๐ท ๐ฉ โ ๐ท ๐จ โฉ ๐ฉ =๐
๐+
๐
๐โ
๐
๐=
๐
๐
Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap atau mata dadu bilangan
prima adalah 5 6 .
Penyelesaian 2:
Maka,
๐ด โช ๐ต = 2,4,6 โช 2,3,5 = 2,3,4,5,6 โ ๐ท ๐จ โช ๐ฉ =๐
๐
Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap atau mata dadu bilangan
prima adalah 5 6 .
2) ATURAN PERKALIAN
a) Aturan khusus dalam perkalian:
hanya bisa digunakan jika kejadian yang muncul pada eksperimen saling bebas (artinya,
kemunculan suatu kejadian tidak memengaruhi probabilitas dari kemunculan kejadian
lainnya).
Misalnya: ketika kejadian B terjadi setelah kejadian A terjadi, maka apakah kejadian A
memengaruhi probabilitas kejadian B untuk terjadi? Jika tidak, maka probabilitas dari A dan
B adalah dengan mengalikan probabilitas masing-masing kejadian A dan B, secara matematis
dituliskan:
Contoh:
Dua keping logam dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Kejadian M adalah
kejadian munculnya sisi gambar pada logam pertama, sedangkan kejadian N adalah
kejadian munculnya sisi yang sama untuk kedua keping logam itu. Periksalah apakah
kejadian M dan N merupakan dua kejadian yang saling bebas.
Jawab:
M = munculnya sisi gambar pada logam pertama : {(G,G), (G,A)}
โ P(M) = 2/4 = 1/2
N = munculnya sisi yang sama untuk kedua keping logam : {(A,A), (G,G)}
โ P(N) = 2/4 = 1/2
{( , )}M N G G โ ( ) 1/ 4P M N
Ternyata,
๐ท ๐จ ๐๐๐ง ๐ฉ = ๐ท ๐จ โฉ ๐ฉ = ๐ท ๐จ ร ๐ท ๐ฉ syarat kejadian
A dan B saling
bebas
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 6 6 6
1 1 1( ) ( ) ( )
4 2 2P M N P M P N
Maka, kejadian M dan N merupakan dua kejadian yang saling bebas.
Contoh: Berdasarkan pengalaman, terungkap bahwa probabilitas dari suatu ban X untuk mampu
digunakan maksimal 60.000 mil adalah 0,95. Berapakah probabilitas dua buah ban X
mampu digunakan maksimal 60.000 mil?
Jawab:
Misalkan:
A = ban X pertama yang mampu digunakan maksimal 60.000 mil โ P(A) = 0,95
B = ban X kedua yang mampu digunakan maksimal 60.000 mil โ P(B) = 0,95
Maka, probabilitas kedua ban mampu digunakan maksimal 60.000 mil adalah:
๐ท ๐จ โฉ ๐ฉ = ๐ท ๐จ ร ๐ท ๐ฉ = ๐, ๐๐ ร ๐, ๐๐ = ๐, ๐๐๐๐
b) Aturan umum dalam perkalian:
digunakan jika kejadian pada eksperimen tidak saling bebas (artinya, ketika kejadian B
terjadi setelah kejadian A, dan A berpengaruh pada probabilitas dari kejadian B).
Aturan umum dalam perkalian adalah:
dengan ๐ ๐ต|๐ด adalah probabilitas terjadinya kejadian B setelah kejadian A terjadi. ๐ ๐ต|๐ด
disebut juga sebagai conditional probability, yaitu nilai probabilitas tergantung pada kondisi
apakah kejadian A terjadi sebelum terjadinya kejadian B. Berdasarkan rumus di atas, maka
conditional probability secara matematis dapat ditulis:
Contoh: Terdapat 10 bungkus mie di dalam suatu kotak yang terdiri dari 7 mie rebus dan 3 mie
goreng. Maka, probabilitas terambilnya mie rebus adalah 7/10, dan probabilitas
terambilnya mie goreng adalah 3/10.
Selanjutnya, mie kedua diambil lagi dari dalam kotak tanpa pengembalian mie pertama
yang sudah diambil. Maka, pada pengambilan kedua, probabilitas terambilnya mie
rebus pada pengambilan kedua adalah:
*) 6/9 jika yang terambil pada pengambilan pertama adalah mie rebus. (Karena mie
rebus yang tersisa adalah sebanyak 6 bungkus, sedangkan total mie yang tersisa
dalam kotak adalah 9 bungkus setelah pengambilan pertama.)
*) 7/9 jika yang terambil pada pengambilan kedua adalah mie goreng. (Karena mie
rebus tidak berkurang setelah pengambilan pertama, yaitu masih tetap 7, sedangkan
total mie yang tersisa dalam kotak adalah 9 bungkus setelah pengambilan pertama).
Pada contoh sebelumnya, jika seseorang makan mie 2 hari berturut-turut yang diambil
dari kotak yang sama, maka berapa probabiltas keduanya terambil mie rebus?
Jawab:
Asumsikan A adalah terambil mie rebus pada pengambilan pertama, maka ๐ ๐ด = 7/10.
๐ท ๐จ ๐๐๐ง ๐ฉ = ๐ท ๐จ โฉ ๐ฉ = ๐ท ๐จ ร ๐ท ๐ฉ|๐จ
๐ท ๐ฉ|๐จ =๐ท ๐จ โฉ ๐ฉ
๐ท(๐จ)
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 7 7 7
Asumsikan B adalah terambil mie rebus pada pengambilan kedua, maka ๐ ๐ต|๐ด = 6/9.
Maka, probabilitas terambilnya mie rebus pada hari pertama dan hari kedua adalah:
๐ท ๐จ โฉ ๐ฉ = ๐ท ๐จ ร ๐ท ๐ฉ|๐จ =๐
๐๐ร
๐
๐=
๐๐
๐๐
Contoh:
Ani dan Budi merupakan pasangan pengantin baru. Mereka berencana untuk memiliki
dua anak saja. Jika Budi menginginkan kedua anaknya adalah laki-laki, sementara Ani
menginginkan paling sedikit satu anak mereka adalah laki-laki, hitunglah probabilitas
kedua anak mereka laki-laki dengan syarat paling sedikit satu anaknya adalah laki-laki.
Jawab:
Misalkan: b โ boy; g โ girl
A = paling sedikit satu anaknya adalah laki-laki : {(b,b), (b,g), (g,b)} โ P(A) = 3/4
B = kedua anaknya adalah laki-laki : {(b,b)} โ P(B) = 1/4
Penyelesaian 1:
Perhatikan bahwa
๐ด โฉ ๐ต = ๐, ๐ โ ๐ ๐ด โฉ ๐ต =1
4
Maka,
๐ท ๐ฉ|๐จ =๐ท ๐จ โฉ ๐ฉ
๐ท(๐จ)=
๐/๐
๐/๐=
๐
๐
Dengan demikian, probabilitas kedua anak mereka laki-laki dengan syarat paling sedikit
satu anaknya adalah laki-laki adalah 1 3 .
Penyelesaian 2:
Ruang sampel awal adalah: {( , ), ( , ), ( , ), ( , )}b b b g g b g g
Karena yang ditanyakan adalah probabilitas kedua anak mereka laki-laki โdengan syarat
paling sedikit satu anaknya adalah laki-lakiโ, berarti kejadian โpaling sedikit satu anak
adalah laki-lakiโ pasti terjadi. Atau, dengan kata lain, kejadian โpaling sedikit satu anak
adalah laki-lakiโ menjadi ruang sampel yang baru.
Ruang sampel baru adalah: {( , ), ( , ), ( , )}b b b g g b
Dengan demikian, probabilitas kedua anak mereka laki-laki dengan syarat paling sedikit
satu anaknya laki-laki adalah 1 3 . [ 1 โ {( , )}b b ; 3 โ {( , ), ( , ), ( , )}b b b g g b ]
3) ATURAN KOMPLEMEN
Digunakan untuk menentukan probabilitas dari suatu kejadian untuk terjadi dengan cara
mengurangkan probabilitas dari suatu kejadian untuk tidak terjadi dari 1.
Suatu kejadian terjadi dan suatu kejadian tidak terjadi jelas merupakan hal yang saling lepas,
sehingga jumlah probabilitas dari terjadinya suatu kejadian dan probabilitas tidak terjadinya
suatu kejadian tersebut adalah 1.
๐ท ๐จ + ๐ท ~๐จ = ๐ โ ๐ท ๐จ = ๐ โ ๐ท(~๐จ)
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 8 8 8
Contoh: Kemasan dari suatu bahan makanan: ada yang underweight, ada yang overweight dan
ada yang beratnya sesuai label. Probabilitas terambilnya kemasan yang underweight
adalah 0,025 dan probabilitas terambilnya kemasan yang overweight adalah 0,075. Maka
berapa probabilitas terambilnya kemasan yang beratnya sesuai dengan labelnya?
Jawab:
U = terambilnya kemasan yang underweight โ P(U) = 0,025
O = terambilnya kemasan yang overweight โ P(O) = 0,075
Maka, probabilitas terambilnya kemasan yang underweight atau kemasan yang
overweight adalah:
๐ ๐ โช ๐ = 0,025 + 0,075 = 0,1
sehingga, probabilitas terambilnya kemasan yang beratnya sesuai label adalah:
๐ โ ๐ท ๐ผ โช ๐ถ = ๐ โ ๐, ๐ = ๐, ๐
___________________________________________________________________________
IV. Tabel Kontingensi
Tabel kontingensi adalah suatu tabel yang digunakan untuk mengelompokkan sampel
pengamatan sesuai dengan dua atau lebih karakteristik yang dapat diidentifikasi.
Contoh: Suatu survei dilakukan terhadap 200 pegawai tentang kesetiaan mereka terhadap
perusahaan mereka. Salah satu pertanyaan adalah โJika kamu diberikan tawaran oleh
perusahaan lain, yang posisinya sama atau lebih tinggi dibanding perusahaan tempat
kamu bekerja saat ini, apakah kamu akan tetap di perusahaan sekarang atau menerima
tawaran dari perusahaan lain?โ Respons dari responden diklasifikasikan berdasarkan
lamanya mereka berada di perusahaan tersebut, yang ditampilkan dalam tabel
kontingensi berikut:
Berdasarkan informasi dari tabel kontingensi tersebut, hitunglah probabilitas terpilihnya
seorang pegawai yang setia pada perusahaan dan telah bekerja di perusahaan selama
lebih dari 10 tahun, secara acak?
Jawab:
๐ด1 = terpilihnya pegawai yang tetap setia pada perusahaan sekarang
โ ๐ ๐ด1 =120
200
Kesetiaan < 1 tahun (B1)1 - 5 tahun
(B2)
6 - 10 tahun
(B3)
> 10 tahun
(B4)Total
tetep diperusahaan
sekarang (A1)10 30 5 75 120
menerima tawaran
dari perusahaan lain
(A2)
25 15 10 30 80
Total 35 45 15 105 200
Lamanya bekerja di perusahaan sekarang
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 9 9 9
๐ต4 = terpilihnya pegawai yang telah bekerja di perusahaan selama lebih dari 10 tahun
๐ ๐ต4|๐ด1 = probabilitas terpilihnya pegawai yang telah bekerja di perusahaan selama
lebih dari 10 tahun, yang tetap memilih setia pada perusahaan sekarang
โ ๐ ๐ต4|๐ด1 =75
120
Dengan demikian, probabilitas terpilihnya seorang pegawai yang setia pada perusahaan
dan telah bekerja di perusahaan selama lebih dari 10 tahun adalah:
๐ท ๐จ๐ โฉ ๐ฉ๐ = ๐ท ๐จ๐ ร ๐ท ๐ฉ๐|๐จ๐ =๐๐๐
๐๐๐ร
๐๐
๐๐๐=
๐๐
๐๐๐= ๐, ๐๐๐
___________________________________________________________________________
V. Diagram Pohon
Diagram pohon merupakan suatu graf yang sangat membantu dalam menampilkan
perhitungan yang melibatkan beberapa tahapan.
Contoh:
Bentuk diagram pohon dari tabel di atas ditampilkan sebagai berikut:
Kesetiaan < 1 tahun (B1)1 - 5 tahun
(B2)
6 - 10 tahun
(B3)
> 10 tahun
(B4)Total
tetep diperusahaan
sekarang (A1)10 30 5 75 120
menerima tawaran
dari perusahaan lain
(A2)
25 15 10 30 80
Total 35 45 15 105 200
Lamanya bekerja di perusahaan sekarang
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 10 10 10
120
200
80
200
10/120
30/120
5/120
75/120
25/8
0 15/8
0
10/8
0
30/8
0
25/80
15/80
10/80
30/80
___________________________________________________________________________ VI. Prinsip-Prinsip Perhitungan
1) FORMULASI PERKALIAN
Jika ada m cara untuk melakukan sesuatu, dan ada n cara untuk melakukan sesuatu
lainnya, maka ada ๐ ร ๐ cara untuk melakukan keduanya.
Banyak cara pengaturan = ๐ ร ๐
Prinsip ini dapat diperluas jika ada lebih dari 2 kejadian.
Formula perkalian diaplikasikan untuk menemukan banyaknya cara pengaturan yang
mungkin untuk dua atau lebih grup.
Contoh:
Suatu dealer memasang iklan bahwa untuk $30.000 pelanggan bisa membeli mobil
convertible, sedan 2-pintu, atau model 4-pintu, dan kemudian pelanggan bisa memilih
wire wheel covers atau solid wheel covers. Berapa banyak cara memilih pasangan model
dan penutup roda yang ditawarkan oleh dealer tersebut?
Jawab:
Ada 3 pilihan model dan ada 2 pilihan penutup roda. Maka, banyak cara memilih
pasangan model dan penutup roda adalah 3 ร 2 = 6.
tetap pada perusahaan
sekarang
< 1 tahun
1 - 5 tahun
6 - 10 tahun
> 10 tahun
menerima tawaran dari
perusahaan lain
< 1 tahun
1 - 5 tahun
6 - 10 tahun
> 10 tahun
120
200ร
10
120= 0,05
120
200ร
30
120= 0,15
120
200ร
5
120= 0,025
120
200ร
75
120= 0,375
80
200ร
25
80= 0,125
80
200ร
15
80= 0,075
80
200ร
10
80= 0,05
80
200ร
30
80= 0,15
Kesetiaan
n
Conditional
probability
Lama
bekerja
Joint
probability
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 11 11 11
2) FORMULASI PERMUTASI
Formula permutasi diaplikasikan untuk menemukan banyaknya cara pengaturan yang
mungkin jika hanya ada 1 grup objek, dan jika cara pengaturan memperhatikan urutan
(artinya โabโ dianggap tidak sama dengan โbaโ).
Untuk memilih r objek dari satu grup yang mengandung n objek menggunakan formula
permutasi:
Contoh:
Tiga bagian alat elektronik, asumsikan bagian A, bagian B, dan bagian C, akan dipasang
ke TV. Bagian-bagian tersebut akan dipasang dengan cara sebarang ke TV. Berapa
banyak cara untuk memasang bagian-bagian tersebut ke TV?
Jawab:
Ada 3 bagian yang akan dipasang, sehingga ๐ = 3. Karena tiap bagian tidak mungkin
dipasang pada tempat yang sama, atau ketiga bagian akan ditempatkan pada lokasi yang
berbeda, maka ada 3 tempat tersedia untuk memasang bagian-bagian tersebut, sehingga
๐ = 3.
Maka, banyaknya cara untuk memasang bagian-bagian tersebut ke TV adalah:
๐ท๐๐ =
๐!
๐ โ ๐ !=
๐!
๐!=
๐ โ ๐ โ ๐
๐=
๐
๐= ๐
Hal tersebut juga bisa dilakukan dengan menggunakan konsep/formula perkalian:
ada 3 part (A, B, C) yang akan ditempatkan pada 3 lokasi yang berbeda:
Convertible model
Model sedan 2-pintu
Model sedan 4-pintu
Wire wheel cover
Solid wheel cover
๐ท๐๐ =
๐!
๐ โ ๐ !
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 12 12 12
Dengan demikian ada 6 cara berbeda untuk menempatkan 3 bagian ke 3 tempat yang
berbeda.
3) FORMULASI KOMBINASI
Urutan dari objek-objek yang dipilih tidak diperhatikan (sehingga โabโ dianggap sama
saja dengan โbaโ).
Formula untuk menghitung banyaknya kombinasi dari r objek dari sehimpunan n objek
adalah
Contoh:
Suatu CD akan diwarnai dengan 2 warna yang berbeda. Jika kombinasi dari 2 warna
sudah digunakan pada suatu CD, maka kombinasi warna tersebut tidak bisa lagi
digunakan untuk mewarnai CD lainnya. Jika tersedia warna merah, kuning, hijau, biru,
maka ada berapa cara warna yang bisa diaplikasikan ke CD? Jika terdapat 10 CD, apakah
dari 4 warna dan diambil 2 warna cukup untuk mewarnai semua CD?
Jawab:
Dengan menggunakan formula kombinasi, maka
๐ถ24 =
4!
2! 4 โ 2 !=
4!
2! โ 2!=
4 โ 3 โ 2 โ 1
2 โ 1 2 โ 1 =
24
2 โ 2=
24
4= 6
sehingga jika dari 4 warna akan diambil 2 kombinasi warna untuk setiap CD, maka ada 6
kombinasi warna untuk mewarnai CD, yaitu:
Karena jika setiap kombinasi warna hanya diaplikasikan ke 1 CD saja, maka hanya ada 6
CD yang bisa diberi warna. Atau dengan kata lain, dengan 4 pilihan warna yang tersedia,
tidak cukup untuk mewarnai 10 CD.
Contoh:
Sebuah kotak berisi 10 buah kelereng, 6 diantaranya berwarna merah dan 4 berwarna
putih. Dari kotak itu, diambil 3 buah kelereng secara acak. Berapa peluang terambilnya:
a. semua kelereng putih
b. 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih
๐ช๐๐ =
๐!
๐! ๐ โ ๐ !
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 13 13 13
Jawab:
Dari 10 kelereng, diambil 3 kelereng. Berarti, total cara pengambilan ada sebanyak:
10
3
10! 10!120
3!(10 3)! 3! 7!C
cara
a)
3 kelereng putih diambil dari 4 kelereng putih, total cara pengambilan ada sebanyak:
4
3
4! 4!4
3!(4 3)! 3! 1!C
cara
Jadi, peluang terambilnya semua kelereng putih adalah:
4 1(semua kelereng putih)
120 30P
b)
2 kelereng merah dan 1 kelereng putih, total cara pengambilan ada sebanyak:
6 4
2 1
6! 4! 6! 4!15 4 60
2!(6 2)! 1!(4 1)! 2! 4! 3! 1!C C
cara
Jadi, peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih adalah:
60 1(2 merah dan 1 putih)
120 2P
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 14 14 14
L A T I H A N S O A L
1. Video Games Inc. baru-baru ini mengembangkan video game baru. Kemampuan untuk
dimainkannya diuji oleh 80 pemain game kawakan.
a. Apa eksperimennya?
b. Sebutkan salah satu kemungkinannya!
c. Misalkan 65 pemain yang mencoba game tersebut berkata bahwa mereka
menyukainya. Apakah 65 ini merupakan probabilitasnya?
d. Probabilitas bahwa game tersebut akan berhasil terhitung sebesar -1. Berilah
komentar Anda mengenai hal ini!
e. Tentukan salah satu kejadian yang mungkin!
2. Satu kartu secara acak dipilih dari tumpukan kartu remi standar. Hitunglah probabilitas
terambilnya:
a. kartu berwarna merah
b. kartu King
c. kartu As dan berwarna hitam
d. kartu bernomor 9 dan berwarna merah
3. Pemeriksaan fisik rutin dilakukan setiap tahun sebagai bagian dari program pelayanan
kesehatan bagi para pekerja Jack Separo Institute. Delapan persen pekerja ditemukan
membutuhkan sepatu pengobatan, lima belas persen membutuhkan perawatan gigi, dan
tiga persen membutuhkan keduanya. Berapakah probabilitas seorang pekerja yang
dipilih secara acak membutuhkan perbaikan sepatu atau perawatan gigi?
4. Dua dadu setimbang dilemparkan secara bersamaan satu kali. Misalkan A adalah
kejadian jumlah dari angka pada kedua dadu sama dengan 6, sementara B adalah
kejadian munculnya angka 4 pada dadu pertama. Apakah A dan B merupakan kejadian
yang saling bebas? Buktikanlah!
5. Dua buah dadu setimbang dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah
probabilitas kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian
munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu!
6. Lihatlah tabel berikut.
Kejadian
Pertama
Kejadian
Kedua ๐ด1 ๐ด2 ๐ด3 Total
๐ต1 2 1 3 6
๐ต2 1 2 1 4
Total 3 3 4 10
a. Tentukan ๐(๐ด1).
b. Tentukan ๐(๐ต1|๐ด2).
c. Tentukan ๐(๐ต2 dan ๐ด3).
Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 15 15 15
7. Selesaikanlah.
a. 7
4P c. 5
2C
b. 9
3P d. 10
7C
8. Pengumpul suara nasional telah membuat 10 pertanyaan yang dirancang untuk menilai
kinerja presiden Indonesia. Pengumpul suara akan memilih 5 dari pertanyaan tersebut.
Berapa banyak susunan berbeda yang ada untuk menyusun 5 pertanyaan yang terpilih?
9. Dari satu set kartu remi standar, diambil sebuah kartu tanpa pengembalian, kemudian
diambil sebuah kartu lagi. Hitunglah probabilitas kejadian terambilnya:
a. dua-duanya hitam
b. dua-duanya merah
c. kartu hitam pada pengambilan pertama dan kartu merah pada pengambilan kedua
d. kartu merah pada pengambilan pertama dan kartu hitam pada pengambilan kedua
10. Tim baseball Kucing Garong memainkan 70 persen pertandingannya saat malam dan
30 persen saat siang hari.Tim tersebut memenangkan 50 persen pertandingan malamnya
dan 90 persen pertandingan siangnya. Menurut koran hari ini, mereka menang kemarin.
Hitunglah berapa probabilitas pertandingan yang dimainkan saat malam!