kompleksna analiza kalaj

8/20/2019 Kompleksna analiza Kalaj

1/52

M. Jacimovi´c´ D. Kalaj

Uvodu kompleksnu

analizuI izdanje

Univerzitet Crne Gore

Podgorica !""#


2/52

Komisija za izdavackuˇ djelatnost i informatiku UniverzitetaCrne Gore odob-rila je 15. februara 200. rjesenjemˇ br.02!2"#01$$ da se ovaj ruko%is stam%aˇ kao univerzitetskiudzbenikˇ.

&utori

'rof. dr (ilojica )acimovi*c*redovni %rofesor 'rirodno-matematicko+ˇ fakulteta u'od+orici

'rof. ,r ,avid Kalajvanredni %rofesor 'rirodno-matematicko+ˇ fakulteta u'od+orici

ecenzenti

'rof. dr (iodra+ 'erovic*edovni %rofesor 'rirodno-matematicko+ˇ fakulteta u'od+orici

'rof. ,r (iodra+ (ateljevic*edovni %rofesor (atematicko+ˇ fakulteta ueo+radu

ˇ/& '&& &,&&)U &U34

ˇ ˇ

'/&&('&&6) 4 U(63&&6) &&6)63

4 U C)7464 4 U ,4)734(&


3/52

Predgovor

Knji+a je nastala na osnovu %redavanja koje su autori u%osljednji8 dese-tak +odina drzaliˇ na 'rirodno-matematickomˇ i lektrote8nickomˇ fakultetu UniverzitetaCrne Gore. 3cekujemoˇ da ona mozeˇ biti interesantnasiremˇ kru+u citalaca9ˇ %rije sve+a studentimadodi%lomski8 i ma+istarski8 studija na te8nickimˇ i%rirodnomatematickimˇ fakultetima.

Knji+a se sastoji od %et %o+lavlja. 'rvo je %osveceno*kom%leksnim bro-jevima9 dru+o funkcijama kom%leksne%romjenljive9 trece* inte+raciji kom-%leksni8 funkcija iCauc8:evoj teoremi9 cetvrtoˇ konformnim %reslikavan-jimai %eto 7a%laceovim transformacijama. azumijevanjuteorije izlozeneˇ u osnovnom tekstu treba da %omo+nu%rimjeri9 koje smo %azljivoˇ birali. 6a kraju svake +lave datisu i zadaci za samostalan rad. /matramo da se samo takomozeˇ %ostici* da se knji+a koristi bez obavezno+korisˇcenja* dru+e liter-ature.

'rvu verziju ruko%isa na%ravio je (ilojica )acimovi*c*. averzija je kas-nije znacajnoˇ modi;kovana. 3ba autora suucestvovalaˇ u %isanju konacneˇ verzije knji+e9 ali je uosnovi (ilojica )acimovi*c* na%isao +lavu %osvecenu*inte+raciji i +lavu o 7a%lasovoj transformaciji9 dok je ostaletri +lave na%isao ,avid Kalaj.

a8valjujemo recenzentima9 %rofesorima (iodra+u'erovic* i (iodra+u (ateljevic* na %azljivomˇ citanjuˇknji+e. 3ni su %omo+li da se otklone neke +reskeˇ i%oboljsaˇ ruko%is.

/vaku %rimjedbu citalacaˇ autori ce* %azljivoˇ %roucitiˇ.

#


4/52

$


5/52

/adrzajˇ

%pisak slika &

' Kompleksni (rojevi #1 'olje kom%leksni8 brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1Geometrijska inter%retacija kom%leksno+broja . . . 12

1.2 (odul i kom%leksno konju+ovanje . . . . . . . . . . 12

1.# (etrika na C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.< &r+ument i tri+onometrijski oblik kom%leksno+ broja 1=

2 'rosirenaˇ kom%leksna ravan. iemannova sfera . . . . . . .2<2.1 (etrika na C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2=

# 6izovi i konver+encija u C i C . . . . . . . . . . . . . . . . #0#.1 Konver+entni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . #1

#.2 rojni red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #>#.# eskonacnǐ %roizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 /te%ena funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . >52.2 'olinomi i racionalne funkcije. . . . . . . . . . . . . >5

5

?

ˇ

SADRZAJ

2.#ks%onencijalna funkcija. . . . . . . . . . . . . . .>?

2.< /vojstva eks%onencijalne funkcije . . . . . . . . . . >=2.5 ri+onometrijske i 8i%erbolickeˇ funkcije . . . . . . . >

2.? 7o+aritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 02.= Korijena funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.> 3%staˇ ste%ena funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . #

2.

4nverzne tri+onometrijske i inverzne

8i%erbolickeˇ

funkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . <

# &nalitickeˇ funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . >< @armonijske funkcije. Kom%leksni %otencijal . . . . . . . . 10>5 Aunkcionalni redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


6/52

? /te%eni redovi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12#

+ Cauc,-eva teorema i njene posljedice '++1 ,e;nicija inte+rala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1##

1.1

4nte+ral kom%leksne funkcije realne %romjenljive . .

1##

1.24nte+ral kom%leksne funkcije %o%utu . . . . . . . . 1##

1.# 4nte+racija funkcionalno+ reda . . . . . . . . . . . . 1#

2

Cauc8:eva teorema i Cauc8:eva formula

. . . . . . . . . . . 1 'rimjena lo+aritamsko+ reziduma . . . . . . . . . . . . . .205

$ Kon)ormna preslikavanja !'+1 Geometrijske i to%oloskeˇ karakteristike funkcija . . . . . . . 21#

2 ilinearna %reslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22=# lementarne funkcije i konformna %reslikavanja . . . . . . . 2


7/52

%pisak slika

1.1Konju+ovano kom%leksan broj i modul kom%leksno+broja . 1#

1.2'olarni Dtri+onometrijskiE za%is kom%leksno+ broja. . . .. . 1>

1.#/tereo+rafska %rojekcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.< ,onje i +ornje o+ranicenjeˇ funkcije sinus linearnimfunkci-jama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #5

1.5Unutrasnjost9̌ s%oljasnjosť i +ranica sku%a A. . . . . . . . . . 5#

1.?bir %utevaDkrivi8E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??1.='rimjeri oblasti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =0

2.1 /¡linearno %reslikavanje slika kru+ u eli%su i kvadrat u%ar-alelo+ram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.2C¡linearno %reslikavanje slika kru+ u kru+ i kvadratu kvadrat101

#.13%adajuci* niz trou+lova 0n9 n 2 1. . . . . . . . . . . . . .1


8/52

10 SPISAK SLIKA


9/52

Glava '

Kompleksni (rojevi

' Polje kompleksni, (rojeva

6eke kvadratne jednacineˇ nemaju rjesenjaˇ u %olju' realni8 brojeva. Kada

se9 na %rimjer9 zakljuciˇ da jednacinaˇ x ! ¡ ! 4 " nema rjesenjaˇ u %olju-

racionalni8 brojeva9 rjesenjeˇ se %ronade u siremˇ %olju -%olju realni8 brojeva. U tom %olju svaka jednacinaˇ oblika x

n ¡a 4 "; a > "; n 2 19 ima rjesenjeˇ

!. animljivo je da se

%rosirenjemˇ %olja realni8 brojeva / do %olja9 u kome ce* jednacinaˇ x ! 5 ' 4 " imati rjesenje9ˇ dovodi do %oljakom%leksni8 brojeva C9 u kome ce* svaki %olinom nad tim%oljem imati bar jednu nulu.

'rosirenjeˇ %olja / do %olja kom%leksni8 brojeva9 mozeˇse o%isati na sljedeci* nacinˇ.

/a/

! - !4 f 2 x; y 3 6oznacimoˇ sku% uredeni8 %arova realni8 brojevaF /

x; y 2 /g . U ovom sku%u de;nisimoˇ o%eracije sabiranja imnozenjaˇ na sljedeci* nacinFˇ

2 x; y 3 5 2 x '; y '3 64 2 x 5 x '; y 5 y '37 ¸2 x; y 3 4 2¸x; ¸y 3;

2 x; y 3 ¢ 2 x '; y '3 64 2 xx ' ¡ yy '; xy ' 5 yx '3:

',e;niciju %olja i dru+i8 al+ebarski8 struktura i relacija koje cemo* koristiti u ovojknjizi citaocˇ mozeˇ naci* u udzbenicimaˇ al+ebre.

!/vaka takva jednacinaˇ ima rjesenjeˇ i u %olju realni8 al+ebarski8

brojeva9 koje je %ravo %ot%olje %olja realni8 brojeva

11


10/52

12 GLAVA 1. KOMPLKS!I "RO#VI

8eorema '.'. Trojka 2/!; 5; ¢3 je polje. Preslikavanje koje

realnom broju x pridruzujeˇ par 2 x; "3 je izomorfzam polja

realnih brojeva na potpolje f 2 x; "3 6 x 2 /g polja 2/

!

; 5; ¢3:Dokaz. 6e%osredno se %rovjerava da je %ar 2/!; 53 &belova+ru%a cijiˇ je neutralni element u odnosu na sabiranje %ar 2";"39 a su%rotan Dinverzan u odnosu na sabiranjeE %aru 2 x; y 3 je%ar 2¡x; ¡y 3: U odnosu na mnozenje9ˇ neutralni element je %ar2'; "3: )ednostavno se %rovjeravaju i svojstva aso-cijativnosti ikomutativnosti mnozenjaˇ i distributivnosti mnozenjaˇ uodnosu 4nverzni element %aru z 4 2 x; y 34 " u odnosunamnozenjeˇna sabiranje. x y $ ' je %ar z % 4 2 ; 39 koji se oznacavaˇ sa z ¡' ili sa :

x ! 5y ! ¡ x !5y ! z -

a dokaz dru+o+ dijela tvrdenja dovoljno je %rimijetiti da vaziˇ

2 x '; "3 5 2 x !; "3 4 2 x ' 5 x !; "3; 2 x '; "3 ¢ 2 x !; "3 4 2 x ' x !; "3:

De)inicija '.!. DaE

Polje 2/!; 5; ¢3 iz prethodne teoreme

naziva se poljem

kompleksnih brojeva. 'olje kom%leksni8 brojevaoznacavaˇcemo* sa C.

DbE lemente skupa /! iz prethodne teoreme nazivamokompleksnim bro!jevima. a sam sku% tadaoznacavamaoˇ sa C i nazivamo skupom kom!pleksnihbrojeva.

DcE Kom%leksni broj 2"; '3 2 C oznacavamoˇ sa & . Kom%leksni broj z 4 2 x; y 3 2 C mozemoˇ %isati u obliku z 4 2 x; "3¢2'; "352y; "3¢2"; '3 4 x 5 &y 9 stoˇ jeinaceˇ standardan nacinˇ %isanja kom%leksni8 brojeva.

DdE roj x nazivamo realnim dijelom a broj y ima"inarnimdijelom kom-%leksno+ broja z 4 x 5 &y i %isemoˇ x 4 /e z i y 4 Im z .Uzimajuci* u obzir izomor;zam x 9 2 x; "3 %olja / i%ot%olja f 2 x; "3 6 x 2 Rg %olja kom%leksni8 brojeva9kom%leksan broj z 4 x 5"& mozeˇ se %ois-tovjetiti sarealnim brojem x Di %isati z 4 x E. a kom%leksnebrojeve oblika z 4 2"; y 3 4 " 5 y& Dkoje kratko za%isujemokao z 4 y& E kazemoˇ da su cistoˇ ima+inarni. /ku% f 2 x;"3 6 x 2 /g nazivamo realnom osom a sku% f 2"; y 3 6 x 2 /g ima"inarnom osom sku%a kom%leksni8 brojeva.

/ljedeci* %rimjer %okazuje da %olje C zadovoljava jedan odza8tjeva koje smo %ostavili na %ocetkuFˇ jednacinaˇ z

! 4 ¡' ima

rjesenjeˇ u %olju C.Primjer '.+. 'rvo9 imamo da je & ! 4 2"; '3 ¢ 2"; '3 4 2¡'; "3 4 ¡'; stoˇ

znaciˇ da je z 4 & rjesenjeˇ kvadratne jednacineˇ z ! 5 ' 4 ": 4 z 4

¡& je9 rjesenjeˇ ove jednacineˇ.

1. POL# KOMPLKS!I' "RO#VA 1#

Primjer '.$. 'okazacemo* da %roizvoljna linearna i kvadratna jednacinaˇ sakoe;cijentima u %olju kom%leksni8 brojeva9 ima rjesenjeˇ u tom %olju.

6eka su9 dakle9 a; ( i ) kom%leksni brojevi. 'osmatrajmo jednacinuˇ

az ! 5 (z 5 ) 4 "; %ri cemuˇ je a 4$ " ili ( 4$ ":&ko je a 4 " tada je ( $ 4 " i jedino rjesenjeˇ jednacineˇ je z 4 ¡) ( : p 7ako pse %rovjerava

da ako je ) %ozitivan realan broj9 tada su z ' 4 & ) iz ! 4 ¡& ) jedina rjesenjaˇ jednacineˇ z

! 5 ) 4 ":'ret%ostavimo da je a 4 ' i ( 4 ": )ednacinaˇ je tada ekvivalentna sa

z ! 5 ) 4 ". &ko je ) 4 " tada je jedino rjesenjeˇ ove jednacineˇ z 4 " : &ko je ) 4 * 5 &+ $ 4 "; tada je / , * $ 4 " ili/ , + $ 4 "; a jednacinaˇ se svodi na sistem jednacinaˇ


11/52

x ! ¡ y ! 4 ¡* i ! xy 4 ¡+:+dje

je

z 4 x 5 y&; x; y 2 /

: Kvadriranjem dru+e jednacineˇ ovo+ sistema i

$ ! + ! 4 " odnosno 2 x ! 5kombinovanjem sa %rvom9 dobijamo $ x 5 $*x ¡* ! *! 5+! 9 stoˇ se na kraju

svodi na! 3 4 $ x ! 4 ¡* 5 *

! 5 +

!

¸

¡* 5 -*-

¸

":! !

p3davde slijedi da je

* 5 * 5* ! 5 + ! *

y ! 4 p! ¸

¡!

- - ¸ ":

6a taj nacinaˇ dobijamo da su rjesenjaˇ jednacineˇ z ! 5 ) 4 "

Dkazemoˇ da su to korijeni kom%leksno+ broja ¡) Ez

'! 4 2 x 5 &y 3 4 2s

¡* 5 ! 5 + ! 5 & s * 5 * ! 5 + ! 3:

!* !

/ / p p6a kraju razmotrimo o%stiˇ slucajˇ. )ednacinaˇ

az ! 5 (z 5 ) 4 "; a 4$ ";

se mozeˇ na%isati u obliku

2z 5 (

3! 5 $a)

¡ (!

4 "; !a $a

!

1< GLAVA 1. KOMPLKS!I "RO#VI

( ! ¡$a) a dalje9 smjenom w 4 z 5 i 0 4 ( ! 4 5 & svesti na jednacinuˇ

!a

w ! 5 0 4 "9 cijaˇ su

rjesenjaˇ

$a

s ¡ 5 !

& s

5 ! 5 ! :w '! 4 23 5 &4 3 4 ! 5 !

/ / p / p !Konacno9ˇ rjesenjaˇ date

jednacineˇ su !! 5 ! & s

z '!

4!(a

5 w

'!4

!(

as¡ 5 5

! 5 !

¡ ¡ / p / p!4staknimo josˇ jednom da su svi brojevi koji ;+urisuˇ kao

ar+umenti ko-rjenovanja %ozitivni realni brojevi9 %a suod+ovarajuci* kvadratni korijeni de;nisani.

1apomena. Kasnije cemo* Dcakˇ viseˇ %utaE dokazati dasvaki %olinom sa koe;cijentima u %olju C ima rjesenjeˇ u %oljuC.

'.'Geometrijska interpretacija kompleksnog (roja

&ko kom%leksan broj z 4 x 5 y& %osmatramo kao tackuˇ 2 x; y 3,ekar-tove koordinatne ravni9 tada i o%eracije sa kom%leksnimbrojevima imaju +eometrijsko znacenjeˇ. 6aime9 tackeˇ se mo+u%oistovjetiti sa vektorima9 a

-


12/52

sabiranje kom%leksni8 brojeva Dkao uredjeni8 %arovarealni8 brojevaE9 od+o-vara sabiranju vektora Dzadati8svojim koordinatamaE9 %a se sabiranje kom-%leksni8brojeva mozeˇ %oistovjetiti sa sabiranjem od+ovarajuci8*vektora i +eometrijski inter%retirati %omocu* %ravila%araleo+rama. 3davde naravno slijedi i od+ovarajuca*inter%retacija o%eracije oduzimanja. 3 +eometrijskojinter%retaciji o%eracija mnozenjaˇ i dijeljenja +ovoricemo*

kasnije.

'.!Modul i kompleksno konjugovanje

&ko je z 4 x 5 &y kom%leksan broj9 njemu k5n-3g54an5k56p70k8an je broj z : 4 x ¡ &y: 'rimijetimo da je9 u+eometrijskoj inter%retaciji9 broj z : simetricanˇ broju z uodnosu na realnu osu. M5937 ap8573na 4


13/52

x ! 5 &y !. ada je

w 4 z ' 4 z 'z ! 4 2 x ' 5 &y '32 x ! ¡ &y !3 4 x ' x ! 5 y 'y ! 5 & 2y ' x ! ¡ y ! x '3;z ! z !z ! x

!5 y

! x ! 5 y !

! ! ! !


14/52

1? GLAVA 1. KOMPLKS!I "RO#VI

%a je

w : 4 x ' x ! 5 y 'y ! !¡ & 2 x !!y ' ¡ x 'y !3: x ! 5 y

!,alje je

w ' 4 z ' 4z 'z ! 4 2 x ' ¡ &y '32 x ! 5 &y !3 4 x ' x ! 5 y 'y ! 5 & 2 x 'y ! ¡ x !y '3 4 w;z ! z !z ! x ! 5 y

! x ! 5 y

!

! ! ! !

stoˇ je i trebalo dokazati.,okazi ostali8 svojstava izvode se na slicanˇ nacinˇ i nji8 ostavljamo

citaocu

ˇ.

8eorema '.;. P


15/52

-z 5 w- ! @ -z- ! 5 ! -z--w- 5 -w- ! 4 2 -z- 5 -w- 3!

i

-z ¡ w- ! ¸ -z- ! ¡ ! -z--w- 5 -w- ! 4 2 -z- ¡ -w- 3!:

3davde slijede nejednakosti DviE i DviiE. ,okaze nejednakosti DviiiE iDiE ostavljamo citaocuˇ.

'rimjenjujuci* matematickuˇ indukciju i nejednakost trou+la zanormu9 dobijamo nejednakost

-z ' 5 ¢¢¢ 5 z n - @ -z ' - 5 ¢¢¢ 5 -z n -:

'.+Metrika na C

De)inicija '.&. Aunkciju 9 6 B CB / de;nisanu na ne%raznom sku%u B nazivamo metrikom na B a 2 B; 9 3 metrickimˇ %rostorom9 ako 9 zadovoljava sljedece* usloveF

1. 9 2 x; y 3 ¸ " D%ozitivnostEH 2. 9 2 x; y 3 4 " ako i samo ako x 4 y Drazlikovanje tacakaEHˇ #. 9 2 x; y 3 4 9 2y; x 3 DsimetrijaEH


16/52

*zz : 5 Fz 5 Fz : 5 4 ";

+dje je F 4 '! 2+ 5 &3; *; +; 2 /.aziˇ i obrnutoF svaka jednacinaˇ oblika

*zz : 5 Fz 5 Fz : 5 4 ";

+dje je F 4 + 5 & kom%leksan9 a * i + realni brojevi9 %ri cemuˇ je * E -F- !;

* > "; je jednacinaˇ neke kruzniceˇ u C.ˇ

Citaocu ostavljamo da %osljednji oblik jednacineˇ kruzniceˇsvede na ob-lik iz de;nicije 1.10 i obratno.

1. POL# KOMPLKS!I' "RO#VA 1

'.$?rgument i trigonometrijski o(lik kompleksnog (roja

&ko je z 4 x 5 &y 4$ "9 tada svaki realan broj koji zadovoljava jednacineˇ

x

4 cos ;

y

4 sin ;p p x ! 5 y

! x

! 5 y

!

nazivamo ar"umentom kom%leksno+ broja z . /ku% ar+umenata broja z oznacavamoˇ sa ?rg z . 3vaj sku% je ne%razan. adovoljimo se9 za sada9 jednim +eometrijskim dokazom te cinjeniceˇ. 'osmatrajmo jednacineˇ ko-

jima se de;niseˇ ar+ument kom%leksno+ broja z 7

/tavljajuci* 3 4

x

x ! 5 y

!

y i 4 4 9 dobijamo da 3 5 &4 S'. /a oznacimoˇ u+ao koji sa

2

p x ! 5 y !

p%ozitivnim dijelom realne ose za8vata vektor cijiˇ je %ocetakˇtackaˇ 2"; "3 a kraj tackaˇ 23; 4 3 - je realan broj i jednak je duziniˇluka jedinicneˇ kruzniceˇ koji s%aja tackeˇ 2'; "3 i 23; 4 3 ako je tajluk orijentisan su%rotno kretanju kazaljke na satu i ne+ativnojvrijednosti te duzineˇ ako je luk orijentisan u smjeru kretanjakazaljke na satu. 3ci+ledno9ˇ cos 4 3 i sin 4 4; %a 2 ?rg z .

&ko su '; ! 2 ?rg2z 39 onda %ostoji cijeli broj k; takav da je ' ¡ ! 4 !kH 9 ili9 u

dru+im oznakama ' ? !2mod !H 3. o znaciˇ da je ?rg z 4 f 5 !kH; k 2 @g 9 +dje je %roizvoljni u+ao ?rg z: ("ao 2

?rg z # z 4$ "# koji zadovoljava uslov ¡H E @ H ozna$iˇ$emo) sa arg z i na taj na$inˇ defnisati *unk$iju z arg z $ijiˇ je kodomen 2¡H; H A.Ponekad $emo) sa arg z ozna$itiˇ i *unk$iju $ijiˇ je kodomen B";!H 3; a iz konteksta $e) biti jasno o kojoj se *unk$iji z arg z radi.

U ravni se9 zajedno sa ,ekartovim koordinatnim sistemom Dili umjesto-

nje+aE9 mozeˇ %osmatrati i %olarni koordinatni sistem9 koji je odreden jednom tackomˇ Dkoja se oznacavaˇ sa O i naziva pol sistemaE i jednom%olu%ravom koja %olazi iz tackeˇ O D polarna osaE. 'olozajˇ tackeˇ kojaod+ovara kom-

-

%leksnom broju z u %olarnom sistemu odreden je rastojanjem do %olaJ

O i u+lom vektora Oz %rema %olarnoj osi. &ko se %ol i %olarna osa%olarno+ koordinatno+ sistema %oklo%e sa koordinatnim %ocetkomˇ i%ozi-tivnim dijelom a%scise D x -oseE ,ekartovo+ koordinatno+ sistema9onda se


17/52


;y

z 4 x 5 &y 4 2cos 5 & sin 3

4 -z-

O 4 arg z x <

/lika 1.2F 'olarni Dtri+onometrijskiE za%is kom%leksno+broja.

broj z 4 x 5 &y mozeˇ %isati i u


18/52

je kom%leksan broj 4 wz koji se nalazi na kruznicǐ S2"; -w--z- 3 i sa x¡osom za8vata u+ao jednak zbiru u+lova koji sa x¡osom za8vataju brojevi z i w . /licnaˇ je +eometrijskainter%retacija kolicnikaˇ kom-%leksni8 brojeva.

Primjer '.'!. 4zracunaˇcemo* sume S' 4 cos x 5cos ! x 5 ¢¢¢5cos nx i S! 4 sin x 5 sin ! x 5 ¢¢¢ 5 sin nx; koristeci*tri+onometrijski za%is i (oivreovu formulu za ste%enovanjekom%leksno+ broja. 3znacimoˇ cos x 5 & sin x sa z: ada jeF

S 4 S' 5 &S! 4 z 5 z ! 5 ¢¢¢ 5 z

n 4 z

z n ¡ '

z ¡ '

4 2cos2n 5 '3 x 5 ¡ cos x 3 5 & 2sin2n 5 '3 x ¡ sin x 3: cos x ¡ ' 5 & sin x ¡ '

'ri tome je S' 4 /e S i S! 4 Im S: azdavajajuci* realni iima+inarni dio sume S9 dobijamo da je

4sin 2n5'3 x

cos x 5nx

4sin 2n5'3 x

sin x 5nx

´

S'!

¢

; S!!

¢

:

sin x

! ! sin x

! ! ´ 4

azmotrimo sada sljedeci*zadatakF

a zadati kom%leksan brojz

2cos 5 & sin 3 i zadati %rirodan broj n odrediti kom%leksan broj

w; takav da je w n 4 z:

&ko je z 4 " onda je i w 4 ": 'ret%ostavimo da je z $ 4 " i w 4


19/52


p3davde dobijamo da je modul broja w jednak


20/52

realni8 nula. ,okazati da %olinom n2z 3 4 P n2z 5&a35P n2z ¡&a3; +dje je a 2 /; takodje ima n realni8 nula.?. 6eka za kom%leksne brojeve z '; z ! i z + vaziˇ jednakostF z 'z ! 4 z +

!: ,okazati da jetada -

z '5z !

5 z + - 5 -

z '5 z !

¡ z + - 4 -z ' - 5 -z ! -:! !

=.

a%isati broj ' 5 sin 5 & cos u

tri+onometrijskom obliku.

>.

4zracunatiˇ DaE2¡' 5

& p

!H

+3;"

7 2(3 cos :*

. ,okazati da ako je 2cos x 5& sin x 3n 4 '9 onda je 2cos x¡& sin

x 3n 4 ':

10.6eka je w 4 cos !

nH

5 & sin !n

H i k %rirodan broj koji nije

djeljiv sa n: ,okazati da je ' 5 w k 5 w

!k 5 ¢¢¢ 5 w

2n¡'3k 4 ":

11.,okazati da je zbir svi8 n¡ti8 korijena jedinice jednaknuli.

12.'redstaviti u ravni sku%ove kom%leksni8 brojevade;nisane sljedecim* relacijamaF

aE fz 2 C 6 /e z 5 Im z @ 'g:

bE fz 2 C 6 < E -z ¡ z " - E Rg:cE fz 2 C 6 -z ¡ &- 5 -z 5 &- E !g:dE fz 2 C 6 arg

& z ¡5

z & E

H ! g:

eE fz 2 C 6 -z ¡ ! - 5 -z 5 ! - 4 *g .


21/52

2< GLAVA 1. KOMPLKS!I "RO#VI

fE fz 2 C 6 -z ¡ ! - ¡ -z 5 ! - > +g .+E fz 2 C 6 /e 2&z 3 E '; ¡' E Im 2&z 3 E 'g:

8E fz 2 C 6 * E arg2z ¡ z "3 E + D" @ * E + @ !H E.iE fz 2 C 6 -z- 4 /e z 5 'g .

jE fz 2 C 6 /e z 5 Im z > 'g .

1#. ,okazati da tri razliciteˇ tackeˇ z '; z ! i z + iz kom%leksne ravni%ri%adaju jednoj %ravoj ako i samo ako je Im

z z

+!¡¡z z

'' 4 ":

1 -a- S 4 ;: DcE 6eka je a 2 /; a > " i " E ) E a. ,okazati da je tada S 4

fx 5 &y 6 x

a!! 5 a!

y ¡!) ! 4 'g:

DdE 3%isati S ako je a 4 ) > ":

1?.6eka tackeˇ z '; z !; z + %ri%adaju jedinicnojˇ kruzniciˇ sacentrom u " 2 C: ,okazati da one obrazuju

jednakostranicniˇ trou+ao ako i samo ako je z ' 5 z ! 5z + 4 ':

1=.,okazati da su z '; z ! i z + tjemena jednakostranicno+ˇtrou+la ako i

samo ako je z '! 5 z !

! 5 z +

! 4 z 'z ! 5 z 'z + 5 z !z +:

1>.6eka su z '; z ! i z + kom%leksni brojevi takvi da je -z ' - 4

-z ! - 4 -z + - 4 ' i z ' 5 z ! 5 z + 4 ": ,okazati da su z '; z ! i z +tjemena jednakostranicno+ˇ trou+la.

1. POL# KOMPLKS!I' "RO#VA 25

1. 6eka se tackeˇ z '; : : : ; z k nalaze sa iste strane neke %ravekoja %rolazi kroz koordinatni %ocetakˇ. ,okazati da tadaisto svojstvo imaju i tackeˇ

' 9 : : : ' :z ' z n

20. ,okazati

nejednakostiF

a

E

= n = nz k @ -z k -; = k 4' = k 4' = > = >

= =

-z¡a- -z¡(-


22/52

%ri cemuˇ jednakost

vaziˇ ako =

i

samo

= ako arg z k 4 arg z ' 2k 4 ';

!; : : : ; n3.

bE

' ¡ n -z k - @ = n 2' ¡ z k 3 = ; ako -z k - E '; k 4 '; : : : ; n:k 4' = k 4' =

> = F = = =

= = 21. ,okazati nejednakostiF

aE - 2' 5 z 3n ¡ ' - @ 2' 5 -z- 3n ¡ '. bE -z ¡ ' - @ --z- ¡ ' - 5 -z-- arg z- .

22.ijesitiˇ jednacineFˇ

aEn

k 4'2cos kx 5 & sin kx 3 4 '. bE z n¡'

4 z 9 n 2 1.2#. ,okazatiF aE

= 5 ( = E ' ako je -a- E ' i -(- E ': D1.2E'a5 a(

= =

= =

= = bE &ko su a i ( kom%leksni brojevi sa svojstvom da je

modul jedno+ od nji8 jednak 19 onda je

= 5 ( = 4 ':'a5 a( = = = =

= =

2


23/52

2? GLAVA 1. KOMPLKS!I "RO#VI

25.6eka je p2z 3 4 a"5a'5¢¢¢5anz n %olinom sa realnim

koe;cientima9 takvim da je " E a" E a' E a! E ¢¢¢ E an.,okazati da %olinom p2z 3 nema nula u sku%u -z- > '.

2?. DaE ,okazati da ako su a; ( kom%leksni brojevi a ) realan broja9 tada az 5 az 5 ) 4 " jednacinaˇ %rave linije.

DbE 4zvesti uslove %aralelnosti i normalnosti %ravi8 cijeˇ su jednacineˇ az 5 az 5 ) 4 " i (z 5 (z 5 9 4 ":

2=.,okazati da ako su w " 4 '; w '; : : : ; w n¡' razlicitiˇ n-ikorijeni iz jedinice9 tada su od+ovarajuce* tackeˇtjemena %ravilno+ mno+ou+la i da %ri tome vaziFˇ

DaE 9 !2w & ; w k 3 4 2w & ¡ w k 32w & ¡ w k 3:DbE /uma kvadrata rastojanja %roizvoljne tackeˇ z ravni do

tjemena to+ mno+ou+la iznosi n2' 5 9 !3:

DcE /uma kvadrata rastojanja %roizvoljne tackeˇ z koja%ri%ada kruzniciˇ %olu%recnikaˇ R do tjemena%ravilno+ mno+ou+la u%isano+ u tu kruznicuˇ

iznosi nR !:

2 'rosirenaˇ kom%leksna ravan. iemannovasfera

/a S! R + oznacimoˇ jedinicnuˇ sferu tj. sferu sa centrom u tackiˇ 2"; "; "3 i%olu%recnikomˇ '. 6jena jednacinaˇ je

T! 5 ? ! 5 U ! 4 ':

/ku% kom%leksni8 brojeva mozemoˇ inter%retirati kao sku%tacakaˇ ravni U 4 ": 6aime9 svakom kom%leksnom broju z 4 x 5 &y mozemoˇ %ridruzitiˇ tacku ̌2 x; y; "3 koja %ri%ada ravniU 4 ": 'ret%ostavicemo* da se realna osa %ok-la%a sa TNosom a ima+inarna osa x 4 " sa ?Nosom. 4z tackeˇ ! 2"; "; '3;koju cemo* zvati sjevernim %olom sfere S!; konstruisimoˇ%ravu koja sijeceˇ ravan U 4 " u tackiˇ 2 x; y; "3: acku ̌2T; ?; U 3razlicituˇ od sjeverno+ %ola9 u kojoj ta


24/52

ˇ +. PR,S-RA ',/P0'SA RA1A. R-/A,1A S2RA 2=

%rava sijeceˇ sferu S! zovemo 80


25/52

' 5 -z- !

' 5 -z- !

' 5 -z- !

)ednostavno se izvode i formule za inverzno %reslikavanje F

SP¡'

2T; ?; U 3 4T

5 & ?

:' ¡ U ' ¡ U

'reslikavanje SP 6 C WS! n f!g je bijekcija. U tackeˇbliske sjev-ernom %olu slikaju se tackeˇ koje su udaljene od

koordinatno+ %ocetka9ˇ ali se nijedna tackaˇ ravni U 4 " neslika u sjeverni %ol !: &ko zelimoˇ obezbi-jediti da sjeverni%ol bude ravno%ravan sa ostalim tackamaˇ sfere S

!9 tada9

na osnovu %ret8odno+ za%azanja9ˇ ravan C treba %rosiritiˇ josˇ jednom tackom9ˇ i o%et na osnovu %ret8odno+za%azanja9̌ lo+icnoˇ je reci* da je to beskonacnoˇ udaljenatackaˇ Dili beskonacnostE9ˇ koju cemo* oznacitiˇ sa 1: akodobijamoC 64 D Q f1g 9 proˇsireni skup kompleksnih brojeva9 odnosno proˇsirenukompleksnu ravan. 'ostavimo SP 213 4 !: 'roduzenoˇ %reslikavanjeSP 6C WS! jebijekcija. 'rostor S!

T C nazivamo Riemannovom s*erom.

4eskonacnoˇ udaljena tackaˇ mozeˇ se9 +eometrijski9%osmatrati kao %ot%uno ravno%ravna sa ostalim tackamaˇkom%leksne ravni9 kao stoˇ je sjevereni %ol ! ravno%ravnatackaˇ sa ostalim tackamaˇ sfere. ,e;nisimoˇ josˇ sljedece*

arit-metickeˇ o%eracije u kojima ucestvujeˇ beskonacnoˇudaljena tackaFˇ a / 1 41 / a 4 19 i a1 4 " ako je a 2 CH a" 4 19 a ¢ 1 4 1 ¢ a 64 1 ako jea 2 C n f "g . U mno+im sucajevimaˇ o%eracije u kojimaucestvujeˇ 1 nisu de;nisaneH u aritmetickimˇ o%eracijama1 nije ravno%ravna sa ostalim tackamaˇ kom%leksne ravni./ku% C sa ovako dode;nisanim o%eracijama ne ciniˇ %olje.'rimijetimo da se za beskonacnoˇ udaljenu tackuˇ %ojmovirealni dio9 ima+inarni dio i ar+ument %rosto ne de;nisu9ˇdok je -1- 4 51:


26/52

ˇ +. PR,S-RA ',/P0'SA RA1A. R-/A,1A S2RA 2

!.'Metrika na C

8eorema !.'. 2unk$ija 6 C C C W / defnisana sa

2z '; z !3 4 9 2SP 2z '3; SP 2z !33;"dje je 9 rastojanje ta$akaˇ ' 4 SP 2z '3 i ! 4 SP 2z !3 na s*eri# jemetrika na C i za svako z '; z !; z 2 C vazeˇ jednakosti3

2z ; z 3 4

p

! -z ' ¡ z ! -

i ' ! 2' 5 -z ' - !32' 5 -z ! -

!3

2z; 13 4!

; 21; 13 4 ":Dokaz. ' 5 -z-

!,okaz daje metrika%ocivaˇ na dvijemacinjenicamaFˇ 9 jemetrika

pna S! i SP 6 C WS! je bijekcija.

,irektno is de;nicije funkcije slijedi 2z; w 3 ¸ "; za svako z i w izC: ,alje9 2z; w 3 4 " ako i samo ako 9 2SP 2z 3; SP 2w 33 4 "9odnosno ako i samo ako SP 2z 3 4 SP 2w 3. 'ostoˇ je SP bijekcija9slijedi da je 2z; w 3 4 " ako i samo ako z 4 w: 'ored to+a9 2z; w 34 9 2SP 2z 3; SP 2w 33 4 9 2SP 2w 3; SP 2z 33 4 2w; z 3. 6ejednakosttrou+la slijedi iz sljedeci8* jed-nakosti i nejednakostiF

2z; w 3 4 9 2SP 2z 3; SP 2w 33@ 9 2SP 2z 3; SP 2 33 5 9 2SP 2 3; SP 2w 33 4 2z; 3 5 2; w 3:

,akle9 je metrika na C:&ko je z 4 x 5 &y i w 4 3 5 &4 9 tada je

SP 2z 3 4

! /e z

;

! Im z

;

' ¡ -z- !

4 2T ; ? ; U 3 S!' 5 -z- !

¡' 5 -z- !J

2

' 5 -z- ! ' ' 'i

SP 2w 3 4 ! /e w ; ! Im w ; ¡ ' ¡ -w- !

4 2T ; ? ; U 3 2 S! ;

' 5 -w- !

' 5 -w- !

' 5 -w- !

! ! !%a je

9 !2SP 2z 3; SP 2w 33 4 2T' ¡ T!3! 5 2? ' ¡ ? !3

! 5 2U ' ¡ U !3! 4

! ¡ !2T'T! 5 ? '? ! 5 U 'U !3:

#0 GLAVA 1. KOMPLKS!I "RO#VI

3davde9 uzimajuci* u obzir jednakosti9

T'T! 4

x3

; ? '? ! 4

y4 ;

2' 5 -z- !32' 5 -w- !3 2' 5 -z- !' 5 -w- !

U ' U ! 42' ¡ -z- !32' ¡ -w- !3

i2' 5 -z- !32' 5 -w- !3

-z ¡ w- ! 4 2 x ¡ 33! 5 2y ¡ 4 3! 4 -z- ! 5 -w- ! ¡ !2 x3 5 y4 3

slijedi da je

! -z ' ¡ z ! - 2z '; z !3 4 :


27/52

2' 5 -z ' - !32' 5 -z ! -

!3

! 9 ! 2; ! 3

9 +dje je'o de;niciji je 2z;

1

3 4p

/e z Im z ' ¡ -z- !

4 2T; ?; U 3 4 SP 2z 3 4 ; ; :' 5 -z- ! ¡' 5 -z- !

ato jeI

' 5 -z- !

!2z; 13 4$ x

!$y

!$ $

5 5 4 ;2' 5 z !3! 2' 5 z

-

!3! 2' 5 z !3! ' 5z !

odnosno - - - - - - -

!2z; 13 4 ; 21; 13 4 ":5 z !

6a kraju9 oci+lednoˇ je 2 ; p3' 4

- 9 2

- !; ! 3 4 ". eorema je dokazana.

1 1

Primjer !.!. 'reslikavanje SP kruzniceˇ i %rave %reslikava u kruzniceˇ. 6jena inverznafunkcija f 4 SP ¡' %reslikava kruzniceˇ u kruzniceˇ ili u %rave9 za-visno od to+a da li te kruzniceˇ sadrzeˇ sjeverni %ol ! 4 2"; "; '3. ,okazimoˇ

-

%osljednje tvrdenje.

6aime9 kru+ k na sferi S! je %resjek neke ravni i sfereF k 4 f aT 5

!

5 ? !

5 U !

(? 5 )U 5 9 4 "; T 4 'g 9 +dje su a; (; ) i 9 realni brojevi9 p -

takvi da je -9- E ! 5 ( ! !a 5 ) . D'osljednji uslov obezbjeduje da se ravani sfera sijekuE. 6eka je k ' 4 f 2k 3. ada je z 4 x 5 &y 2 k ' = z 4

T

5 &

? ; %ri

cemuˇ je' ¡ U ' ¡ U

T 4 ! x ; ? 4 !y i U 4 ¡ ' ¡ x ! ¡ y ! :

' 5 x ! 5 y

!' 5 x

! 5 y

!' 5 x

! 5 y

!

ˇ +. PR,S-RA ',/P0'SA RA1A. R-/A,1A S2RA #1

ato je

! xa 5 !(y

¡

)

' ¡ x ! ¡ y ! 5 9 4 ";

' 5 x ! 5 y ! ' 5 x ! 5 y ! ' 5 x ! 5 y ! odnosno

!ax 5 !(y 5 29 ¡ ) 3 5 29 5 ) 32 x ! 5 y !3 4 ":'osljednja jednacinaˇ je jednacinaˇ kruzniceˇ ili %rave9 zavisno od to+a da li

! 5(

!

5 )

! ! -

je 9 5 ) $ 4 " ili 9 5 ) 4 ". Uslov a ¸ 9 obezbjeduje da ova

jednacinaˇ ima rjesenjaˇ.

@adaci1. 3drediti stereo+rafske %rojekcije tacakaˇ '; ¡'9 & 9 & 5' :

p!2. 'reslikati stere+rafskom %rojekcijom sku%oveF

aE 'olu%ravu X 4 fz 2 C 6 arg z 4 H

$ g .

bE 'olu%ravu arg z 4 * .cE Kruznicuˇ X 4 fz 2 C 6 -z- 4 Rg:


28/52

dE 'oluravan X 4 fz 2 C 6 Im z > ":

#. aE ,okazati da su tackeˇ i % dijametralno su%rotne

tackeˇ na ie-mannovoj sferi ako i samo ako inverznestereo+rafske %rojekcije ti8 tacakaˇ zadovoljavaju

jednakostF zz % 4 ¡'.

bE U kakvom su odnosu tackeˇ na sferi koje su

stereo+rafske %rojekcije tacakaˇ z i z

'.

cE 3drediti slike tjemena kocke u%isane u iemannovu sferu9cijeˇ su strane %aralelne sa Oxy 9 Oyz i Ozx ravnima.

dE 6eka su z i z % inverzne stereo+rafske %rojekcije tacakaˇ i

% i

neka je ! sjeverni %ol. Koristeci* slicnostˇ trou+lova Y! % i

Y!z % z 9 dokazati sljedece* relacije za euklidsko rastojanje

tacakaˇ i % odnosno tacakaˇ i ! F


29/52

#2 GLAVA 1. KOMPLKS!I "RO#VI

9 2; % 3 4! -z ¡ z

% -

; 9 2; ! 3 4 ! :p

2' 5 -z- !32' 5 -z % - !3 p 2' 5 -z-

!3

. .

. .

10..

11..

12..

1#..

1


30/52

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

@j@

GAAGf G8@

)K

AAG@j

K K K @A

,,AGf @j

)K

)G8

A,


31/52

,AG@

)

K K @

AAAAAA

@ )K

7K @GA,,A

A@

)k

777

)@

GA,/dsd,AG@

)K

7K

@jG8


32/52

A,,/,G

@ )k7

7

)8GGf A,s

,f G8@j

7l7K @GA

,df

@ )K 777

)

@+GAAG+@K 7H

7k )8G

A


33/52

,f G@jK 7H

7k

@Gf AG

K 7Kj

@Gf ,AG8

)k7

K )8Gfd

AG8jKl

Kj8Gf G@j@Gf G8Gf G8Gf G@:@:@

J8

J8@@

K


34/52


35/52

Kkk


36/52

Kkk


37/52

Kk

K

GG

GGG

GGGG

G

G

GGGGGGGGGGGGGGGGGG


38/52

55555

5555========

==

==

=


39/52

@8

@88


40/52

@8@

@88

@


41/52

@@@


42/52

@

@


43/52

@@@

@88

@8

@@


44/52

@@@@

@

@8

<<<<

<

5555???

?>=>

>>

3K

C

,

,f AGG@@

<


45/52

##

###

##

######


46/52

<<5


47/52

555

55


48/52

??


49/52

<

<<

???


50/52

??

??


51/52

KkkK

K

>>>

>


52/52

kompleksna analiza kalaj

Documents