Коммерциялық емес ДАУКЕЕВ АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ …

0

Коммерциялық емес

акционерлік қоғам

Математика және

математикалық үлгілеу

кафедрасы

КОМПЬЮТЕРЛІК МАТЕМАТИКА

6В07111 - «Ғарыштық техника және технологиялар»

мамандығы студенттеріне арналған есептеу-сызба жұмыстарды

орындау бойынша әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар

Алматы 2020

ҒҰМАРБЕК

ДАУКЕЕВ

атындағы

АЛМАТЫ

ЭНЕРГЕТИКА

ЖӘНЕ

БАЙЛАНЫС

УНИВЕРСИТЕТІ

1

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Астраханцева Л.Н., Байсалова М.Ж.

Компьютерлік математика. 6В07111 - «Ғарыштық техника және

технологиялар» мамандығы студенттеріне арналған есептеу-сызба

жұмыстарды орындау бойынша әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар.

- Алматы: АЭжБУ, 2020. - 44 б.

6В07111 - «Ғарыштық техника және технологиялар» мамандығы

студенттеріне арналған есептеу-сызба жұмыстарды орындау бойынша

әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар «Компьютерлік математика»

пәнінің «Математикалық логика элементтері» және «Типтік үлестірімдер»

тараулары бойынша №1, №2 есептеу-сызба жұмыстарынан тұрады.

Бағдарламаның теориялық сұрақтары енгізілген. Типтік нұсқаның шешімі

келтірілген.

Әдеб. атау – 14, кесте – 10.

Пікір беруші: ММҮ кафедрасының аға оқытушысы Абдулланова Ж.С.

«Ғұмарбек Даукеев атындағы Алматы энергетика және байланыс

университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2020 ж. жоспары

бойынша басылды


университеті» КеАҚ, 2020 ж.

2

Кіріспе

«Компьютерлік математика» пәні математикалық логика,

ықтималдықтар теорияларының элементтері мен олардың әртүрлі

құрылымдарын зерттейтін математиканың бөліміне арналған. Оның

ақпараттық технологиялар мен компьютермен байланысты қолданыстары көп.

Бұл пәнді студент оқып, үйренген соң математикалық модельдерді құра білу,

қолайлы математикалык әдістер мен есептер шешімінің алгоритмін таңдай

алу қабілеті болу керек.

1 Есептеу-сызба жұмыс №1. Математикалық логика элементтері

Мақсаты: математикалық логиканың негізгі ұғымдарымен таныстыру,

олардың қасиеттері мен кейбір қолдануларын қарастыру.

1.1 Теориялық сұрақтар

1 Тұжырымдар логикасының негізгі ұғымдары. Тұжырымдар, негізгі

логикалық қисаптар (операциялар).

2 Логикалық айнымалылар және формулалар. Логикалық қисаптар мен

формулалардың ақиқаттық кестесі.

3 Логика алгебрасының функциялары. Логика функцияларының берілу

тәсілдері.

4 Формулалардың эквиваленттілігі. Логика алгебрасының негізгі

эквивалентті қарым қатынастар.

5 Логикалық функциялардың толық жүйесі. Логикалық функцияларды

ДҚФ, КҚФ келтіру.

6 Мүлтіксіз ДҚФ және КҚФ (МДҚФ және МКҚФ).

7 ДҚФ класында минимизациялау. Карно картасы.

8 Коммутациялық сұлбалар.

9 Екі жақтылық. Буль алгебрасы және жиындар теориясы.

1.2 Есептік тапсырмалар

1. Формуламен берілген f(x,y) функциясын:

а) ақиқаттық кестесімен;

б) бірлік және нөлдік жиынтықтармен;

в) мәндерінің векторымен жазу керек.

№ f(x,y) № f(x,y)

1.1 )()( yxyx 1.2 )()( yxyx

1.3 )()( yxyx 1.4 )()( yxyx

1.5 )()( yxyx 1.6 )()( yxyx

3

1.7 )()|( yxyx 1.8 )()( xyyx

1.9 )()( yxyx 1.10 )()( yxyx

1.11 ))(( yxyx 1.12 ))|(( yxyx

1.13 ))(( yxyx 1.14 ))(|( yxyx

1.15 ))(( yxyx 1.16 ))(( yxyx

1.17 ))(( yxyx 1.18 ))(( xyyx

1.19 )(|)( yxyx 1.20 )()|( yxyx

1.21 )()( yxyx 1.22 )()( xyyx

1.23 )(|)( yxyx 1.24 )()( yxyx

1.25 ))(( xyyx 1.26 ))((| yxyx

1.27 ))(|( yxyx 1.28 )(|)( yxyx

1.29 ))(( yxyx 1.30 ))(|( yxxy

2. Логикалық қисаптардың орындалу реті туралы келісуді қолданып

f(x,y) формуласында жақшаларды қою керек. Формуланы тек теріске шығару,

конъюнкция және дизъюнкция қисаптары көмегімен жазу керек; осы

формуланы қысқарту керек.

№ f(x,y) № f(x,y)

2.1 yxyx 2.2 yxyx

2.3 yxyx | 2.4 yxyx

2.5 yxyx 2.6 yxyx

2.7 yxyx 2.8 xyxy |

2.9 yxyx 2.10 yxyx |

2.11 yxyx 2.12 yxyx

2.13 yxyx | 2.14 yxyx

2.15 yxyx 2.16 yxyx |

2.17 yxyx | 2.18 yxyx |

2.19 yxyx 2.20 yxyx

2.21 yxyx 2.22 yxyx

2.23 xyyx 2.24 yxyx |

2.25 yxyx 2.26 yxyx

2.27 yxyx 2.28 yxyx

2.29 yxyx | 2.30 yxyx

3. ),,(1

zyxf және ),,(2

zyxf формулаларын эквиваленттілікке тексеру

керек:

4

а) ақиқаттық кестесі көмегімен;

б) формулаларды эквивалентті түрлендіру көмегімен МДҚФ немесе

МКҚФ-ке келтіру арқылы.

№ ),,(1

zyxf ),,(2

zyxf

3.1 zyx zxyx

3.2 )(| zyx )|()|( zxyx

3.3 zyx zxyx

3.4 zyx zxyx

3.5 zyx zxyx

3.6 )|( zyx )(| zxyx

3.7 zyx zxyx

3.8 )|( zyx )(| zxyx

3.9 zyx zxyx

3.10 zyx zxyx

3.11 zyx zxyx

3.12 )|( zyx )(| zxyx

3.13 zyx zxyx

3.14 )(| zyx )|()|( zxyx

3.15 )|( zyx )(| zxyx

3.16 zyx zxyx

3.17 zyx zxyx

3.18 )(| zyx )|()|( zxyx

3.19 zyx zxyx

3.20 zyx zxyx

3.21 zyx zxyx

3.22 )|( zyx )(| zxyx

3.23 )|( zyx )(| zxyx

3.24 zyx zxyx

3.25 zyx zxyx

3.26 )|( zyx )(| zxyx

3.27 zyx zxyx

3.28 )|( zyx )(| zxyx

3.29 zyx zxyx

3.30 zyx zxyx

Берілген f(A,B,C) функциясы үшін:

4. Ақиқаттық кестесін.

5

5. ДҚФ-ке келтіру.

6. МДҚФ құру керек.

7. Карно картасы көмегімен минималды ДҚФ.

8. Минималды ДҚФ-тан КҚФ-ке көшу керек.

9. МКҚФ табу керек.

10. Карно картасы бойынша минималды КҚФ табу керек.

№ f(A,B,C) № f(A,B,C)

1 ACBA 2 ACBA

3 BCBA ))(( 4 ACBA

5 ACBA 6 ACBA

7 ACBA 8 )()|( ACBA

9 )()|( BCBA 10 )|()( ABAC

11 )()|( ACBA 12 )|()( BAAC

13 )|()( BAAC 14 BCBA

15 BCBA 16 )()( BCBA

17 BCBA 18 BCBA

19 BCBA )|)(( 20 )()( ACBA

21 BCBA 22 BCBA

23 BCBA 24 BCBA

25 )()( BCBA 26 )()|( BCBA

27 ACBA ))(( 28 ))( ACBA

29 BCBA 30 BCBA

11. Берілген сұлба бойынша ауыстырып-қосқыш функциясын құрып,

оны қысқарту керек. Қысқартылған функцияның сұлбасын салу керек.

11.1

11.2

x y

y

x y

x

z

x

x

y y

z

6

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

z

y

x x

z

y

x

y

x

z

y

y z

y

z

z

y

x

y

x y

z

x

y z

x

x

y x

y

z

y z

x

y

x

y

z y

x

z

z

x

y

y y

x

z

z

7

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

a

b

c

b

a

c

b

a

c

a b

c

a

b

c

y

z

x y

x z

a

b c

a

c

b

x y

y

x

x

y

8

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

x

y

z

y

x

z

x

y

z

x

x y

a

b c

c

a

x y

y

x y

x

x y

z x z

x y z

y

x

z

y

z z

x

9

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

z

x

x

y y

z

z

y

x x

z

y

x

y

z

z

y

x

y

x y

z

x

y z

x

x

y x

y

z

y z

x

y

x

y

z y

x

z

z

x

y

y y

x

z

z

10

11.29

11.30

1.3 Типтік варианттың шешуі

1. Берілген f(x,y) = )( yxyx функциясын:

а) ақиқаттық кестесімен;

б) бірлік және нөлдік жиынтықтармен;

в) мәндерінің векторымен жазу керек.

Шешуі:

а) f(x,y) = )( yxyx функциясының ақиқаттық кестесі:

x y x yx )( yxy f(x,y)

0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1

б) бірлік жиынтығы: 1=f(0,0)=f(1,1); нөлдік жиынтығы: 0=f(0,1)=f(1,0);

в) мәндерінің векторы: (1001).

2. Логикалық қисаптардың орындалу реті туралы келісуді қолданып

f(x,y)= yxyx формуласында жақшаларды қою керек. Алынған

формуланы тек теріске шығару, конъюнкция және дизъюнкция қисаптары

көмегімен жазу керек; осы формуланы қысқарту керек.

Шешуі: логикалық қисаптардың орындалу реті сұлбасы бойынша:

),(,,),|,,(, , біздің формулада жақшалар былай қойылу керек:

yxyx = )()( yxyx .

Алынған формуланы қысқартамыз: )()( yxyx = | 15, 16 | =

yxyx = | 6 | = )()( yxyx = | 1 | = yxxy = | 5 | = xy .

y

x

x z

y

y z

x y

y

x

x

y

11

Түрлендіруде 40 беттегі анықтама материалдағы формула нөмірі көрсетілген.

Формуланы қысқарту деп айнымалы саны аз енетін формуланы алуды

түсінеміз.

3. ),,(1

zyxf = )( zyx және ),,(2

zyxf = )()( zxyx

формулаларын эквиваленттілікке тексеру керек:

а) ақиқаттық кестесі көмегімен;

б) формулаларды эквивалентті түрлендіру көмегімен МДҚФ немесе

МКҚФ-ке келтіру арқылы.

Шешуі:

а) ),,(1

zyxf және ),,(2

zyxf ақиқаттық кестесі:

x y z zy 1

f yx zx 2

f

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

),,(1

zyxf және ),,(2

zyxf формулаларының баған мәндері тең

болғандықтан, бұл формулалар эквивалентті;

б) логикалық қисаптардың белгілі қасиеттерін қолданып, алдымен

формуланы ДҚФ – дизъюнктивті қалыпты формаға, содан соң тарқату заңын

пайдаланып мүлтіксіз дизъюнктивті қалыпты формаға (МДҚФ) келтіреміз:

),,(1

zyxf = )( zyx = | 15 | = yzx = | ДҚФ,10 а | =

= yzxxyzyxyx = yzxxyzzyxzyxzyxyzx = | 4 | =

= xyzzyxzyxzyxyzx - МДҚФ;

),,(2

zyxf = )()( zxyx = | 15 | = )()( zxyx = | 3 | =

= yzxyzxxx = | 4,10 a | = xyzyzxzxyzxyyzxzyxyxyx =

= |1,10a | = xyzyzxzxyzxyyzxzyxzyxzyxzyxyzx = | 1,4 | =

= xyzzyxzyxzyxyzx - МДҚФ.

Егер ауыстырымдылық заңды басқаша қолдансақ – «жақшаны ашпай»,

ал «жақша сыртына шығарсақ», онда түрлендіру қысқа болады:

),,(2

zyxf = )()( zxyx = | 15 | =

= )()( zxyx = | 3 | = yzx = | 10a | =…= xyzzyxzyxzyxyzx .

Екі формуланың МДҚФ-ы тең болғандықтан, бұл формулалар

эквивалентті.

12

4. Берілген )()(),,( BCBACBAf функциясы үшін ақиқаттық

кестесін құру керек.

Шешуі:

)()(),,( BCBACBAf функциясы үшін ақиқаттық кестесі:

A B C B BA BC f

0 0 0 1 0 0 1

0 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 1 1 1 0

1 1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 1

5. Берілген )()(),,( BCBACBAf функцияны ДҚФ-ке келтіру

келтіру керек.

Шешуі:

)()(),,( BCBACBAf = | 15,16 | = )()( BCCBBABA = | 6 | =

= )( BCCBBABA = )( BCCBBABA =

= )()()( BCCBBABA = | 3 | = )()( BCCBBBABBAAA =

= | 9,3 | = BCABABCBBCBACBBA = | 4,9 | = ABCCBA - ДҚФ (әрі

МДҚФ).

6. Берілген )()(),,( BCBACBAf функциясы үшін МДҚФ табу

керек.

Шешуі: функцияның ақиқаттық кестесі бойынша оның бірлік

жиынтығын жазамыз: )1,1,1()0,0,0(1 ff . Енді ),,,(21 n

xxxf функциясының

баған мәнінде қанша бір болса, МДҚФ-да сонша конъюнкт бар болатындығы

белгілі. Әрбір бірлік жиынтығының нөлдері мен бірлеріне ),,,(21 n

барлық айнымалылардың конъюнктасы сәйкес келеді, мұнда егер 0i

болса, онда i

x терістеуімен, ал егер 1i

болса, онда өзгеріссіз жазылады.

Сонымен, біздің формуланың МДҚФ-ы екі конъюнкттың дизъюнкциясынан

тұрады: f ABCCBA ( таңбасы алынып тасталынған). Айта кетелік,

МДҚФ алдыңғы пунктте элементар түрлендіру әдісімен де алынған болатын.

7. Берілген )()(),,( BCBACBAf функциясы үшін Карно

картасын құру керек; Карно картасы көмегімен минималды ДҚФ табу керек.

Шешуі: үш айнымалылы функцияның Карно картасы 823 ұяшықтан

тұратын кесте болады (үш айнымалылы функцияның 0 мен 1 мүмкін

13

жиынтықтар санына тең). Көрші ұяшықтар бір айнымалы мәніне

ерекшеленетіндей жолдар мен бағандар айнымалының мәніне немесе терісіне

сәйкес келеді. Минималды ДҚФ алу үшін функцияның МДҚФ-ң әрбір

конъюнктасы Карно картасының сәйкес ұяшығында бірмен белгіленеді:

Минималды ДҚФ алу үшін тік және көлденең жолдарда қатар тұрған

бірлерді блоктарға біріктіру керек, олар 2, 4 және т.б. ұяшықтардан тұрады

(блокқа бұрышта тұрған бірлерді де біріктіруге болады). Біздің Карно

картасында тек екі бірлік бар, олар блокқа бірікпейді, сондықтан минималды

ДҚФ МДҚФ-қа тең: f ABCCBA .

8. Берілген )()(),,( BCBACBAf функциясы үшін минималды

ДҚФ-тан КҚФ-ке көшу керек.

Шешуі: элементар түрлендіру көмегімен, логикалық қисаптар

қасиеттерін пайдаланып (тік жақшада формула нөмірі көрсетілген),

формуланы КҚФ-ке түрлендіреміз:

f ABCCBA = | 7 | = ABCCBA = | 6 | = CBAABC =

)()( CBACBA = | 3 | =

= CCBCACCBBBABCABAAA = | 9, 8, 6 | =

= BCACCBABCABA = | 6 | =

= )()()()()()( CBCACBBACABA - КНФ.

9. Берілген )()(),,( BCBACBAf функциясы үшін МКҚФ табу

керек.

Шешуі: тарқату заңын қолданып, алдыңғы пунктте алынған КҚФ-ты

МКҚФ-ке келтіреміз:

f )()()()()()( CBCACBBACABA = | 10a | =

)()()()()( CBABCABCACBACBA

)()()()()( BCABCAACBACBCBA

)()( ACBACB =|1,4 | = )()()( CBACBACBA

)( CBA )()( CBACBA - МКҚФ.

Енді, ереже бойынша ақиқаттық кестесінде f мәндер бағанында қанша

нөлдер болса, сонша МКҚФ-те дизъюнкт болады. Әрбір нөлдік жиынтықтың

),,,(21 n

нөлдері мен бірлерінің орнына келесі дизъюнкт сәйкес келеді:

14

егер 1i

болса, онда айнымалы терісімен, ал егер 0i

болса, онда теріске

шығарылмай айнымалының өзі алынады. Алынған МКҚФ:

f )()()( CBACBACBA )( CBA

)()( CBACBA .

10. Берілген )()(),,( BCBACBAf функциясы үшін Карно

картасы бойынша екі әдіспен минималды КҚФ табу керек.

Шешуі: бірінші әдіс: минималды КҚФ алу үшін минималды ДҚФ алған

сияқты Карно картасын қолдануға болады. Бұл картада айнымалыларды

олардың терістеріне айырбастау керек және керісінше; бос жерлерге 0 қойып,

1 алып тастау керек. Содан соң картада 2 немесе 4-тен тұратын көрші нөлдік

ұяшықтарды максималды блоктарға біріктіру керек. Біздің жағдайда екі

айнымалылы қысқартылған дизъюнкттерге 2 ұяшықтан 3 блок сәйкес келеді.

Айта кетелік, ұяшықтарды қалауымызшы таңдауымызға болады. Біз

варианттардың бірін таңдап алдық.

Бұл карта бойынша формуланың минималды КҚФ:

)()()( CBBACAf .

Екінші әдіс: кәдімгі Карно картасында МКҚФ-тың дизъюнкттарына

сәйкес келетін ұяшықтарға нөлдерді қойып шығамыз. Содан соң 2 немесе 4-

тен тұратын көрші нөлдік ұяшықтарды максималды блоктарды белгілеу керек

Функцияның МКҚФ-ы

f )()()( CBACBACBA )( CBA

)()( CBACBA болғандықтан, Карно картасында белгіленген

блоктар мына түрде болады

Сонымен, Функцияның МКҚФ-ы: )()()( CBBACAf . Бұл

блоктарды бірінші жағдайдағы МКҚФ түрінде алу үшін топтастырдық. Басқа

блоктарды топтастырсақ, басқа МКҚФ алар едік.

15

11. Берілген сұлба бойынша ауыстырып-қосқыш функциясын құрып,

оны қысқарту керек. Қысқартылған сұлбаны салу керек.

Шешуі: берілген сұлба бойынша ауыстырып-қосқыш функциясын

құрамыз

)()))((()(),,( zyxzzyxyxzyxf .

Бұл функцияны қысқарту үшін екі әдіс қолданамыз. Элементар түрлендіру

әдісі бойынша:

),,( zyxf = | 3 | = zxyzzyzxyx ))(()( = | 5 | = zxyzyx )( =

= 12)(3 zxyyx zzzxyx 819,8)( .

Көрнекілік үшін таңбасы алынып тасталынған.

Карно картасы көмегімен минимизациялау үшін алдымен МДҚФ алу

керек:

zxyzzyzxyxf )()( = | 5 | = zxyzyx )( = | 3 | = zxyzyzx =

= | 10a | = zxyxzyxzyyzxyzx = | 1, 4 | = zxyzyxzyxzyx - МДҚФ.

Карно каптасында конъюнкттарды бірлермен белгілейміз, қатар тұрған

бірлерді блоктарға біріктіріп минималды ДҚФ аламыз.

Минималды ДҚФ: zf .

Қысқартылған формулаға келесі сұлба сәйкес келеді:

1.4 Анықтама материалы. Логикалық операциялар және олардың

ақиқаттық кестесі

1. Конъюнкция – ( yx ), оқылуы «x және y».

2. Дизъюнкция – ( yx ), оқылуы «x немесе y».

3. Отрицание (инверсия) – ( x ), оқылуы « x емес».

16

4. Импликация - ( yx ), оқылуы «егер х, онда у».

5. Эквиваленция – ( yx ), оқылуы «тек егер у болғанда ғана х».

6. Шеффер штрихы – ( yx ), конъюнкцияның терісі ретінде анықталады,

оқылуы «x және y емес».

7. Пирс стрелкасы – ( yx ), дизъюнкцияның терісі ретінде анықталады,

оқылуы «x немесе y емес».

8. Сақиналы қосынды – ( yx ), эквиваленцияның терісі ретінде

анықталады, оқылуы «немесе х, немесе у».

x y x yx yx yx yx yx yx yx

0 0 1 0 0 1 1 1 1 0

0 1 0 1 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 0 0 0

Негізгі эквивалентті қарым-қатынастар (заңдар)

1 Ауыстырымдылық

(коммутативтік)

xyyx xyyx

2 Ассоциативтік )()( zyxzyx )()( zyxzyx

3 Үлестірімділік

(дистрибутивтік) )()()( zxyxzyx

)()()( zxyxzyx

4 Идемпотенттік xxx xxx

5 Сіңіру заңы xyxx )( xyxx )(

6 Де-Морган заңы yxyx yxyx

7 Екі рет теріске шығару xx

8 Константалар

қасиеті 00

1

x

xx

xx

x

0

11

9 0 xx - қарама-

қайшылық заңы 1 xx - жойылған үшінші заңы

Басқа да пайдалы эквивалентті қарым-қатынастар

10 Жапсыру заңы xyxyx )()(

10а Тарқату заңы )()( yxyxx

11 Жалпыланған жапсыру )()()()()( zyzxyxzyzx

12 yxyxx )( yxyxx )(

13 yxyxx )( yxyxx )(

14 yxyx )( yxxyyxyxxyyxyx )()()()(

15 yxyx yxyx

16 yxyx

17

Логикалық қисаптардың орындалу ретінің сұлбасы:

),(,,),|,,(, . Бұл сұлбада қисаптардың таңбасы кему ретімен

орналасқан, ал дөңгелек жақшаларда бірдей мәнділері көрсетілген. Логикалық

қисаптардың орындалу ретінің сұлбасын былай құруға болады:

Бұл сұлбада жоғары орналасқан таңба төмен орналасқан таңбаға

қарағанда күші басым, бір деңгейдегілер – күштері бірдей.

2 Есептеу-сызба жұмыс 2 Типтік үлестірімдер.

Мақсаты: ықтималдық теориясы жаппай кездейсоқ құбылыстарға тән

заңдылықтарды зерттейді. Ол математикалық статистика айналысатын кең

ауқымды қолданбалы есептерге теориялық негіз болып табылады.

Ықтималдық әдістері ғылымның салаларында қолданылатын әдістердің

қатарында жатады.

2.1 Теориялық сұрақтар

1 Ықтималдық теориясы пәні. Кездейсоқ оқиғалар, жиілік. Ықтимал-

дықтың статистикалық және геометриялық анықтамалары.

2 Элементар оқиғалар кеңістігі. Оқиғалар алгебрасы. Ықтималдықтың

классикалық анықтамасы.

3 Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Шартты ықтимал-

дық. Тәуелді және тәуелсіз оқиғалар.

4 Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формуласы.

5 Тәжірибенің қайталануы. Бернулли формуласы.

6 Лапластың аймақтық және интегралдық теоремасы. Лаплас

функциясы. Пуассона формуласы.

18

7 Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Дискретті кездейсоқ

шаманың үлестірім заңы. Биномдық үлестірім, Пуассон үлестірімі.

8 Интегралдық үлестірім функциясы (үлестірім функциясы), қасиеттері,

графигі.

9 Дифференциалдық үлестірім функциясы (үлестірім тығыздығы),

қасиеттері, графигі.

10 Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Дискретті және

үзіліссіз кездейсоқ шамалардың математикалық үміті (күтімі).

11 Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың дисперсиясы және

орта квадраттық ауытқуы.

12 Үлестірімнің алғашқы және орталық моменттері, асимметрия,

эксцесс, мода, медиана.

2.2 Есептік тапсырмалар

1 Сызғыш пен ұштағыштан тұратын N кеңсе тауарлары бар, олардың

ішінде M сызғыш. Табу керек:

а) сызғыштың қатысты жиілігін;

б) кеңсе тауарларынан алынған барлық m өнімнің сызғыш болу

ықтималдығын;

в) кеңсе тауарларынан алынған m өнімнің ішінде m 1 ұштағыш болу

ықтималдығын.

1 Кесте

№ N M m m 1 № N M m m 1

1.1 100 25 10 8 1.16 70 8 5 3

1.2 90 15 12 7 1.17 75 9 8 4

1.3 85 10 7 4 1.18 85 6 5 2

1.4 80 9 5 3 1.19 90 12 7 4

1.5 95 15 9 3 1.20 87 10 8 3

1.6 70 10 9 5 1.21 100 30 15 5

1.7 80 15 7 5 1.22 90 20 9 3

1.8 90 10 6 4 1.23 95 15 10 4

1.9 75 10 8 4 1.24 85 10 7 2

1.10 100 20 10 7 1.25 90 12 6 3

1.11 90 10 8 5 1.26 85 10 5 2

1.12 80 7 5 3 1.27 75 8 5 3

1.13 95 10 8 5 1.28 100 15 9 4

1.14 96 12 7 1 1.29 80 10 7 4

1.15 89 13 5 2 1.30 85 7 5 2

2 Жәшікте төрт түрлі жеміс бар. Алма саны n 1 , алмұрт - n 2 , апельсин -

n 3 , мандарин - n 4 . Кез келген ретпен m жеміс алдынды. Алынған жемістердің

19

арасында m 1 -і алма, m 2 - алмұрт, m 3 - апельсин, m 4 - мандарин (m 1 + m 2 + m 3 +

m 4 = m) болу ықтималдығын табу керек.

К е с т е 2

№ n 1 n 2 n 3 n 4 m 1 m 2 m 3 m 4

2.1 1 2 3 4 1 1 2 1

2.2 2 2 4 2 1 1 1 2

2.3 2 3 4 1 1 2 3 1

2.4 1 4 2 3 1 2 1 2

2.5 4 2 2 2 3 1 2 1

2.6 3 2 3 2 2 1 3 1

2.7 5 1 2 2 3 1 1 1

2.8 2 5 2 1 1 3 1 1

2.9 4 2 3 2 2 1 2 1

2.10 3 3 4 2 2 1 1 2

2.11 2 3 3 3 1 2 3 1

2.12 1 3 4 3 1 2 2 1

2.13 2 3 4 2 1 2 3 2

2.14 1 2 3 5 1 1 2 3

2.15 2 3 4 2 1 2 2 1

2.16 3 2 2 4 2 1 1 1

2.17 4 3 2 3 2 1 2 1

2.18 3 3 4 2 2 1 2 2

2.19 2 4 5 1 2 2 3 1

2.20 3 4 3 2 2 2 3 2

2.21 2 5 2 3 1 3 1 2

2.22 4 4 2 2 2 2 2 1

2.23 2 7 2 1 1 5 2 1

2.24 3 1 6 2 2 1 3 1

2.25 1 3 3 2 1 3 1 1

2.26 1 4 2 2 0 2 1 1

2.27 2 3 1 3 1 2 0 1

2.28 3 1 2 3 0 1 1 2

2.29 3 2 3 1 2 2 2 0

2.30 2 2 2 3 1 1 1 2

3 Дүкенге үш зауыттан 1000 құралдар келіп түсті: n 1 құрал бірінші

зауыттан, n 2 - екіншіден, қалғаны үшіншіден. Бірінші зауыттың

құралдарының ішінде m 1 % жарамсыз, екіншіде - m 2 % жарамсыз, үшіншіде -

m 3 % жарамсыз. Бір құрал сатып алынды.

а) оның жарамсыз болуы;

б) сатып алынған құрал жарамсыз болып шықты. Оның i–ші зауытта

жасалыну оқиғасының ықтималдығын табу керек ( i =1,2,3).

20

3 К е с т е

№ n 1 n 2 m 1 m 2 m 3 i

3.1 100 250 7 8 5 1

3.2 430 180 5 4 7 2

3.3 170 540 6 5 8 3

3.4 650 120 10 9 8 2

3.5 400 180 7 10 5 1

3.6 120 380 10 6 9 2

3.7 270 340 9 5 4 3

3.8 430 120 10 7 6 2

3.9 360 120 5 10 8 1

3.10 420 210 8 7 6 1

3.11 370 130 10 6 5 2

3.12 410 200 5 10 8 3

3.13 280 510 10 6 5 3

3.14 710 120 2 10 4 3

3.15 460 240 5 9 7 1

3.16 520 220 5 8 7 1

3.17 270 410 10 5 9 2

3.18 250 140 8 7 4 2

3.19 190 380 5 9 30 1

3.20 290 610 6 3 3 2

3.21 270 430 10 6 4 2

3.22 280 360 7 10 9 1

3.23 520 110 5 7 10 1

3.24 240 290 9 8 4 3

3.25 310 410 7 2 5 3

3.26 520 110 3 6 7 2

3.27 280 310 9 8 4 2

3.28 400 320 4 5 8 1

3.29 350 240 9 8 7 1

3.30 190 520 5 2 4 3

4 n тәжірибе жүргізілді. Әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу

ықтималдығы p-ға тең. А оқиғасы:

а) k 1 рет;

б) k 2 реттен кем емес;

в) k 3 реттен артық емес;

г) ең болмағанда бір рет пайда болу оқиғаларының ықтималдығын табу

керек.

21

4 К е с т е

№ n k 1 k 2 k 3 p № n k 1 k 2 k 3 p

4.1 4 2 3 2 0.9 4.16 5 3 4 2 0.8

4.2 4 3 3 2 0.8 4.17 4 3 3 1 0.7

4.3 5 4 4 2 0.7 4.18 4 2 3 2 0.6

4.4 5 3 3 2 0.6 4.19 5 3 4 1 0.5

4.5 6 5 5 1 0.5 4.20 6 4 5 2 0.4

4.6 6 4 4 1 0.4 4.21 7 5 6 2 0.3

4.7 7 5 5 2 0.3 4.22 8 3 7 2 0.2

4.8 7 4 4 1 0.2 4.23 8 4 7 1 0.3

4.9 8 4 7 2 0.3 4.24 7 5 6 2 0.4

4.10 8 3 6 1 0.4 4.25 6 3 5 2 0.5

4.11 7 4 6 2 0.5 4.26 5 2 4 1 0.6

4.12 7 5 6 1 0.6 4.27 4 2 3 2 0.7

4.13 6 3 4 2 0.7 4.28 5 3 3 3 0.8

4.14 6 2 4 2 0.8 4.29 6 4 4 2 0.9

4.15 5 4 4 1 0.9 4.30 7 5 6 1 0.9

5 Құрылғыны әрбір іске қосқанда оның «жаңылу» ықтималдығы р-ға

тең. Құрылғыны n рет іске қосты. Оның ішінде k «жаңылу» болу

ықтималдығын табу керек.

5 К е с т е

№ р n k № р n k № р n k

5.1 0.002 1000 7 5.11 0.01 200 8 5.21 0.004 500 9

5.2 0.003 1000 7 5.12 0.01 300 8 5.22 0.005 600 9

5.3 0.004 1000 7 5.13 0.02 200 8 5.23 0.01 400 9

5.4 0.005 1000 7 5.14 0.01 500 8 5.24 0.01 500 9

5.5 0.006 1000 7 5.15 0.02 300 8 5.25 0.01 600 9

5.6 0.007 1000 7 5.16 0.01 700 8 5.26 0.007 1000 9

5.7 0.008 1000 7 5.17 0.02 400 8 5.27 0.008 1000 9

5.8 0.009 1000 7 5.18 0.01 900 8 5.28 0.009 1000 9

5.9 0.01 1000 7 5.19 0.02 500 8 5.29 0.01 1000 9

5.10 0.011 1000 7 5.20 0.011 1000 8 5.30 0.012 1000 9

6 Әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p-ға тең. n

тәжірибесінде А оқиғасы

а) дел k 2 рет;

ә) k 1 -ден k 2 -ге дейін;

б) k 2 -ден артық;

в) k 1 -ден кем

пайда болу ықтималдығы табу керек.

22

6 К е с т е

№ n k 1 k 2 p № n k 1 k 2 p

6.1 100 80 90 0.8 6.16 100 90 95 0.6

6.2 100 85 95 0.8 6.17 100 62 82 0.6

6.3 100 70 95 0.8 6.18 100 50 70 0.8

6.4 100 83 93 0.7 6.19 100 55 75 0.8

6.5 100 50 60 0.7 6.20 100 45 80 0.8

6.6 100 65 75 0.7 6.21 100 40 60 0.8

6.7 100 70 80 0.7 6.22 100 35 70 0.3

6.8 100 40 50 0.6 6.23 100 50 80 0.3

6.9 100 65 80 0.75 6.24 100 40 65 0.3

6.10 100 70 85 0.75 6.25 200 45 75 0.4

6.11 100 78 92 0.75 6.26 200 100 150 0.4

6.12 100 20 60 0.7 6.27 200 80 170 0.4

6.13 100 30 85 0.7 6.28 300 150 180 0.8

6.14 100 40 79 0.7 6.29 400 100 190 0.6

6.15 100 80 95 0.6 6.30 400 200 295 0.7

7 Дискретті кездейсоқ шама Х үлестірім заңдылығымен берілген.

а) оның үлестірім функциясын F(x), оның сызбасын салу керек;

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын,

модасын;

в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.

7 К е с т е

№ Х х 1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 а b

Р р 1 р 2 р 3 р 4 р 5 р 6

7.1

Х 0 1 2 4 6 9 -2 7

Р 0.05 0.15 0.3 0.25 0.15 0.1

7.2 Х -3 -2 -1 0 2 4 -1 3

Р 0.15 0.3 0.02 0.14 0.08 0.31

7.3

Х 1 2 3 5 7 8 -3 6

Р 0.3 0.14 0.16 0.1 0.2 0.1

7.4

Х -4 -3 -2 0 1 2 0 1

Р 0.2 0.08 0.23 0.27 0.12 0.1

7.5

Х 1 2 4 5 7 9 3 8

Р 0.19 0.21 0.06 0.14 0.12 0.28

7.6

Х -1 0 2 3 5 7 -4 4

Р 0.26 0.14 0.07 0.2 0.03 0.3

7.7

Х -2 -1 0 3 5 7 1 6

Р 0.18 0.09 0.01 0.2 0.22 0.3

7.8 Х 1 2 4 5 6 8 0 6

Р 0.3 0.17 0.13 0.1 0.2 0.1

23

7.9 Х 1 2 3 4 7 9 5 8

Р 0.11 0.29 0.06 0.14 0.17 0.23

7.10 Х 0 1 2 3 7 9 4 8

Р 0.06 0.14 0.3 0.25 0.15 0.1

7.11 Х -3 -2 0 1 2 4 -1 3

Р 0.15 0.3 0.01 0.14 0.19 0.21

7.12 Х -1 0 3 5 7 8 1 6

Р 0.25 0.14 0.16 0.1 0.2 0.15

7.13 Х -4 -3 -2 0 2 4 -1 3

Р 0.2 0.07 0.24 0.26 0.13 0.1

7.14 Х -3 -1 0 3 4 7 -2 6

Р 0.12 0.09 0.01 0.2 0.28 0.3

7.15 Х -1 0 1 3 7 8 2 6

Р 0.06 0.14 0.15 0.2 0.3 0.15

7.16 Х -2 -1 0 1 2 7 -3 5

Р 0.17 0.09 0.01 0.3 0.23 0.2

7.17 Х 1 2 3 5 6 7 0 4

Р 0.1 0.14 0.16 0.1 0.2 0.3

7.18 Х -3 -1 0 3 5 6 -2 4

Р 0.16 0.09 0.01 0.3 0.24 0.2

7.19 Х 1 2 5 6 7 8 3 6

Р 0.2 0.15 0.12 0.13 0.3 0.1

7.20 Х -1 0 2 4 7 8 1 5

Р 0.23 0.18 0.12 0.2 0.1 0.17

7.21 Х 1 2 4 5 6 8 0 7

Р 0.3 0.14 0.16 0.03 0.2 0.17

7.22 Х -4 -3 -1 0 1 3 -2 2

Р 0.2 0.03 0.24 0.26 0.17 0.1

7.23 Х 1 2 3 4 7 9 0 8

Р 0.17 0.23 0.09 0.11 0.12 0.28

7.24 Х 0 1 3 5 7 8 2 6

Р 0.2 0.14 0.16 0.12 0.3 0.08

7.25 Х -5 -3 -2 0 1 3 -4 2

Р 0.2 0.06 0.21 0.29 0.14 0.1

7.26 Х 1 2 3 5 8 9 4 7

Р 0.18 0.22 0.05 0.15 0.12 0.28

7.27 Х 1 3 4 5 7 8 2 6

Р 0.3 0.16 0.14 0.01 0.2 0.19

7.28 Х -5 -3 -1 0 1 3 -4 2

Р 0.1 0.03 0.14 0.36 0.17 0.2

7.29 Х 0 2 3 4 6 8 1 7

Р 0.26 0.14 0.05 0.15 0.12 0.28

7.30 Х -1 0 2 3 7 8 1 6

24

Р 0.21 0.16 0.14 0.1 0.2 0.19

8 Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім функциясымен F(x) берілген.

Табу керек:

а) оның үлестірім тығыздығын f(x);


модасын, медианасын;


F(x) және f(x) сызбасын салу керек.

8 К е с т е

№ F(x) А b № F(x) а b

8.1

2

0, 0

,0 525

1, 5

x

xx

x

1 4 8.16

2

0, 0

,0 749

1, 7

x

xx

x

4 5

8.2

2

0, 0

,0 39

1, 3

x

xx

x

1 2 8.17

2

0, 3

0,25( 3) ,3 5

1, 5

x

x x

x

2 4

8.3

3

0, 0

,0 1

1, 1

x

x x

x

0,5 1 8.18

2

0, 0

,0 1

1, 1

x

x x

x

0,2 0,9

8.4 0,

2

cos , 02

1, 0

x

x x

x

4

1

8.19

0, 0

sin ,02

1,2

x

x x

x

-6

6

8.5 2

0, 3

( 3) ,3 4

1, 4

x

x x

x

2 4 8.20

2

0, 1

,1 22 2

1, 2

x

x xx

x

0 1,5

25

8.6

0, 0

2 sin ,04

1,4

x

x x

x

-4

6

8.21 0,

4

cos2 ,4 2

1,2

x

x x

x

3

2

8.7

2

0, 0

14 3 ,0

4

11,

4

x

x x x

x

0,1 0,2 8.22

2

0, 0

13 2 ,0

3

11,

3

x

x x x

x

0,1 0,5

8.8

2

0, 2

0,25( 2) ,2 4

1, 4

x

x x

x

3 4 8.23

2

0, 5

( 5) ,5 6

1, 6

x

x x

x

5,5 6

8.9

2

0, 0

,0 636

1, 6

x

xx

x

1 5 8.24

2

0, 0

,0 24

1, 2

x

xx

x

1 2

8.10

2

0, 1

( 1),1 5

16

1, 5

x

xx

x

3 4 8.25

2

0, 2

( 2),2 7

25

1, 7

x

xx

x

3 6

8.11

2

0, 6

( 6),6 8

4

1, 8

x

xx

x

5 7 8.26 2

0, 7

( 7) ,7 8

1, 8

x

x x

x

7,5 8

8.12

0, 0

2sin ,06

1,6

x

x x

x

-6

6

8.27

2

0, 4

( 4),4 7

9

1, 7

x

xx

x

5 6

26

8.13

2

0, 5

( 5),5 8

9

1, 8

x

xx

x

3,5 6 8.28 0,

2

cos ,2

1,

x

x x

x

0 3

4

8.14

2

0, 2

2,2 3

3

1, 3

x

x xx

x

2,5 3 8.29

2

0, 0

15 4 ,0

5

11,

5

x

x x x

x

0,1 0,3

8.15

2

0, 1

,1 36

1, 3

x

x xx

x

0 2 8.30

0, 0

sin 2 ,04

1,4

x

x x

x

-6

6

9 Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім тығыздығымен f(x) берілген.


а) оның үлестірім функциясын F(x);




F(x) және f(x) сызбасын салу керек.

9 К е с т е

№ f(x) а b № f(x) а b

9.1 0, 0, 4

,0 48

x x

xx

1 3 9.16 0, 0, 3

1(1 ),0 3

3 3

x x

xx

-1 2

9.2

2

0, 3, 2

6, 3 2

x x

xx

-

2,5

0 9.17 0, 0,

6

4sin 2 ,06

x x

x x

0

12

9.3 0, ,

2 2

0,5cos ,2 2

x x

x x

0

4

9.18

2

0, 1, 2

2,1 2

x x

xx

0 1,5

27

9.4

2

0, 0, 1

4,0 1

(1 )

x x

xx

0 3

3

9.19 0, 2, 3

2, 2 3

5

x x

xx

1 2,5

9.5

2

0, 0, 1

2,0 1

1

x x

xx

0 1

2

9.20

2

10, 0,

3

6 1,0

(1 ) 3

x x

xx

0,1 1

9.6 0, 0,

0,5sin ,0

x x

x x

0

2

9.21

2

0, 1, 2

1( 1) , 1 2

3

x x

x x

0 1

9.7 0, 0, 2

2,0 2

6

x x

xx

1 2 9.22

2

10, 0,

2

6 1,0

21

x x

xx

1

4

1

9.8 0, 4, 5

2, 4 5

9

x x

xx

3 4,5 9.23 50, ,

2 6

52cos ,

2 6

x x

x x

0 2

3

9.9

2

0, 3, 5

7,5,3 5

x x

xx

2 4 9.24 0, 1, 2

2 2,1 2

x x

x x

0 1,5

9.10

2

0, 1, 2

3( 1) ,1 2

x x

x x

1,5 2 9.25 0, 0,

6

6sin3 ,06

x x

x x

0

12

9.11 0, 0,

4

2cos2 ,04

x x

x x

8

4

9.26

2

0, 2, 2

14 , 2 2

2

x x

x x

0 1

9.12 0, 0, 4

1(1 ),0 4

2 4

x x

xx

1 3 9.27 0, 0, 5

2(1 ),0 5

5 5

x x

xx

1 4

9.13 0, 0, 2

1,0 2

4

x x

xx

-1 1 9.28 0, 0,

6

3cos3 ,06

x x

x x

12

9

28

9.14

2

0, 0, 1

3 ,0 1

x x

x x

0,2 1,2 9.29

33,99

23,3,0

2 xx

xx

0 2

9.15 0, 0,

3

2sin ,03

x x

x x

0

6

9.30 0, 1, 4

2,1 4

15

x x

xx

2 3

10 Х дискретті кездейсоқ шамасының үлестірім заңдылығын табу керек.

Ол екі х 1 мен х 2 мәндерін қабылдайды (х 1 <х 2 ). Оның математикалық үміті

М(х), дисперсия D(x) және х 1 мүмкін мәнінің р 1 ықтималдығы белгілі.

10 К е с т е

№ р 1 М(х) D(x) № р 1 М(х) D(x)

10.1 0.9 3.1 0.09 10.16 0.8 3.2 0.16

10.2 0.8 1.4 0.64 10.17 0.9 1.2 0.36

10.3 0.7 2.6 0.84 10.18 0.8 2.4 0.64

10.4 0.6 3.4 0.24 10.19 0.7 3.3 0.21

10.5 0.5 3 1 10.20 0.6 1.8 0.96

10.6 0.4 3.2 0.96 10.21 0.5 2 1

10.7 0.3 3.7 0.21 10.22 0.4 3.6 0.24

10.8 0.2 2.6 0.64 10.23 0.3 2.4 0.84

10.9 0.1 3.8 0.36 10.24 0.2 3.6 0.64

10.10 0.2 3.8 0.16 10.25 0.1 3.9 0.09

10.11 0.3 3.4 0.84 10.26 0.2 3.8 0.16

10.12 0.4 2.2 0.96 10.27 0.3 2.4 0.84

10.13 0.5 3.5 0.25 10.28 0.4 3.6 0.24

10.14 0.6 2.8 0.96. 10.29 0.1 2.8 0.36

10.15 0.7 1.6 0.84 10.30 0.9 2.2 0.36

2.3 Типтік нұсқаның шешуі

1 Сызғыш пен ұштағыштан тұратын 120 кеңсе тауарлары бар, олардың

ішінде 40 сызғыш. Табу керек:

а) сызғыштың қатысты жиілігін;

б) кеңсе тауарларынан алынған барлық 20 өнімнің сызғыш болу

ықтималдығын;

в) кеңсе тауарларынан алынған 20 өнімнің ішінде 9-ы ұштағыш болу

ықтималдығын.

Шешуі:

а) А оқиғасының қатысты жиілігі деп (белгіленуі Р * (А)) А оқиғасы

пайда болған сынақ санының m барлық сынақтың жалпы санына n қатынасы

айтылады: Р * (А) = m/ n.

29

А – кеңсе тауарларындағы сызғыштың пайда болу оқиғасы болсын,

сонда Р * (А) = 40/ 120=1/3.

б) және в) пункттерінде А оқиғасының ықтималдығының классикалық

анықтамасын қолданамыз: Р(А) = m/ n, мұндағы m –А оқиғасының пайда

болуына қолайлы сынақтар саны, n – сынақтардың жалпы саны;

б) А - партиядан кез келген ретпен алынған 20 өнімнің барлығы да

сызғыш болу оқиғасы болсын. Сынақтың жалпы саны 120 өнімнің арасынан

20 өнімді таңдап алудың әртүрлі жолдар саны, яғни n = С 20

120 ; қолайлы

сынақтар саны 40 сызғыштың арасынан 20 сызғышты алудың әртүрлі жолдар

санына тең, яғни m = С 20

40 . Сонымен,

Р(А) = m/ n = С 20

40 / С 20

120 = 4,67910 12 ;

в) А – кез келген ретпен кеңсе тауарларынан алынған 20 өнімнің 9-ы

ұштағыш болу оқиғасы болсын. Жоғарыда айтылғандай, n = С 20

120 ; m қолайлы

сынақтар санын С 9

40 теруін әрбір С 11

80 теруімен қиыстырылғанда аламыз,

мұндағы С 9

40 теруі 40 сызғыштар арасынан 9 сызғышты таңдап алу санын

береді, ал С 11

80 теруі 80 ұштағыштар арасынан 11 ұштағышты таңдап алу санын

береді, яғни m = С 9

40 С 11

80 . Сонымен,

Р(А) = m/ n = С 9

40 С 11

80 / С 20

120 = 0,097.

Теру санын есептегенде Mathcad-та combin функциясы қолданылды.

Төменде combin(Q,R) қолданушының C(Q,R) функциясы ретінде енгізілген

файлдың көшірмесі келтірілген, ол Q мен R-дің кез келген мәндерінде

терудің мәнін есептеуге мүмкіндік береді.

2 Жәшікте төрт түрлі жеміс бар. Алма саны 3, алмұрт - 4, апельсин - 2,

мандарин - 1. Кез келген ретпен 5 жеміс алдынды. Алынған жемістердің

арасында 5-і алма, 2 - алмұрт, 1- апельсин, 0 - мандарин болу ықтималдығын

табу керек.

Шешуі:

А - кез келген ретпен алынған 5 жемістің арасында 2-і алма, 2- алмұрт,

1- апельсин, 0 - мандарин болу оқиғасы болсын. Есепті шығару үшін А

оқиғасының ықтималдығының классикалық анықтамасын қолданамыз: Р(А) =

m/ n, мұндағы n барлық 10 (3+4+2+1=10) бұйымның ішінен бесеуін таңдап

алудың барлық мүмкін жағдайлардың саны, яғни n = С 5

10 =252. Ал А

C Q R( ) combin Q R( )

C 120 20( ) 2.946 1022

, C 40 20( ) 1.378 1011

,

C 40 9( ) 2.734 108

, C 80 11( ) 1.048 1013

.

C 40 9( ) C 80 11( )

C 120 20( )0.097

,

30

оқиғасының пайда болуына қолайлы мүмкін элементар жағдайлардың саны m

былай есептелінеді: m = С 2

3 С 2

4 С 1

2 С 0

1 = 36.

Бұдан Р(А) = 36/252=1/7.

Атап өтелік, кіші сандар берілгенде теруді

m

mnnn

mnm

nmn

C

...21

)1...()1(

)!(!

!

формуласымен қолмен есептеген қолайлы. Бөлшекті есептегенде

бөлімінен бастаған жөн, себебі алымында көбейткіштер саны бөліміндегімен

бірдей.

3 Дүкенге үш зауыттан 1000 құралдар келіп түсті: 100 құрал бірінші

зауыттан, 300 - екіншіден, қалғаны үшіншіден. Бірінші зауыттың

құралдарының ішінде 5% жарамсыз, екіншіде - 4% жарамсыз, үшіншіде - 6%

жарамсыз. Бір құрал сатып алынды.

а) оның жарамсыз болу оқиғасының ықтималдығын табу керек;

б) сатып алынған құрал жарамсыз болып шықты. Оның 2–ші зауытта

жасалыну оқиғасының ықтималдығын табу керек ( i =1,2,3).

Шешуі:

А – жарамсыз құрал сатып алынған оқиғасы болсын, ал В1 , В 2 , В 3 –

құрал сәйкес бірінші, екінші, үшінші зауыттан келіп түскен оқиғалары болсын

(бұл оқиғалар гипотезалар деп аталады).

а) А оқиғасының ықтималдығы толық ықтималдықтар формуласымен

есептелінеді:

Р(А) = Р(В 1 )Р(А/ В 1 )+Р(В 2 )Р(А/ В 2 )+Р(В 3 )Р(А/ В 3 ),

мұндағы Р(А/ В i ) – сатып алынған құрал i– ші зауыттан келіп түскен

оқиғасының шартты ықтималдығы (i=1,2,3). Есептің шарты бойынша:

Р(В 1 ) = 100/1000 = 0,1; Р(В 2 ) = 300/1000 = 0,3; Р(В 3 ) = 600/1000 = 0,6;

Р(А/ В 1 )=0,05; Р(А/ В 2 )=0,04; Р(А/ В 3 )=0,06.

Сондықтан Р(А) = 06,06,004,03,005.01.0 = 0,053;

б) бұл пунктте Р(В 2 /А) шартты ықтималдығын табу керек. Ол үшін

Байеса формуласын қолданамыз:

nin

kk

BAPk

BP

iBAPiBPA

iBP ,...,2,1,

1

)/()(

)/()()/(

,

біздің есеп үшін ол былай жазылынады

)3

/()3

()2

/()2

()1

/()1

(

)2

/()2

()/

2(

BAPBPBAPBPBAPBP

BAPBPABP

= =

053,0

04,03,0 = 0,226.

4 n тәжірибе жүргізілді. Әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу

ықтималдығы 0,8-ге тең. А оқиғасы:

а) 8 рет;

31

б) 9 реттен кем емес;

в) 2 реттен артық емес;

г) ең болмағанда бір рет пайда болу оқиғаларының ықтималдығын табу

керек.

Шешуі:

А оқиғасының ықтималдығын анықтау үшін Бернулли формуласын

қолданамыз: knkk

nnqpCkP )( , мұндағы )(kP

n– қандай да бір оқиғаның n

тәуелсіз оқиғалар арасынын k рет пайда болуы ),...2,1,0( nk , pq 1 .

В және С оқиғаларының ықтималдығы ықтималдықтардың қосындысы

ретінде анықталады: )(...)1()( nPkPkPnnn

– бұл n тәуелсіз оқиғалар

арасынын k реттен кем емес пайда болу оқиғаларының ықтималдығы, яғни

немесе k рет, немесе k +1 рет,…, немесе n рет; )(...)1()0( kPPPnnn

– бұл

n тәуелсіз оқиғалар арасынын k реттен артық емес пайда болу оқиғаларының

ықтималдығы, яғни немесе 0 рет, немесе 1 рет, немесе 2 рет,…, немесе k рет.

Бұл оқиғалар комулятивті (жинақталған) деп аталады. Сонымен,

а) )(AP = 288

10102,08,0)8( CP =0,302.

б) )(BP )10()9(1010

PP 0,376.

в) )(CP )2()1()0(101010

PPP 0,000078.

Е оқиғасына қарама қарсы D оқиғасын енгіземіз – бұл n тәуелсіз

сынықтарда кейбір оқиғаның мүлдем пайда болмауы. Онда

г) )(1)( EPDP = )0(110

P 1.

Төменде Mathcad-тан есетеулермен файлдың көшірмесі келтірілген.

5 Құрылғыны әрбір іске қосқанда оның «жаңылу» ықтималдығы 0,003-

ге тең. Құрылғыны 1000 рет іске қосты. Оның ішінде 6 «жаңылу» болу

ықтималдығын табу керек.

Шешуі:

n үлкен шама, p кіші шама, ал көбейтіндісі pn үлкен емес сан

болғандықтан, Бернулли формуласының орнына Пуассон формуласы

!/)( kekP k

n

қолданылады. Ол n тәуелсіз сынықтар арасында кейбір

оқиғаның k рет пайда болу ықтималдығы )(kPn

–ны анықтауға мүмкіндік

береді.

C Q R( ) combin Q R( ) ,

C 10 8( ) 0.88

0.22

0.302 ,

C 10 9( ) 0.89

0.21

C 10 10( ) 0.810

0.20

0.376 ,

C 10 0( ) 0.80

0.210

C 10 1( ) 0.81

0.29

C 10 2( ) 0.82

0.28

7.793 105

1 C 10 0( ) 0.80

0.210

1 .

32

Біздің есепте n =1000, k =6, p =0,003, 3003,01000 . Сондықтан

!6/3)6( 36

1000

eP =0,05.

Есептеулер кезінде !/),( kekp k функциясының кестелік мәнін

немесе Mathcad-тан dpois функциясын қолдануға болады. Төменде Mathcad-

тан есетеулермен файлдың көшірмесі келтірілген.

6 Әрбір тәжірибеде қандай да бір оқиғаның пайда болу ықтималдығы

0,8-ге тең. 100 тәжірибесінде оқиғаның

а) дәл 80 рет (А оқиғасы);

ә) 70-тен 80-ге дейін (В оқиғасы);

б) 80-нен артық (С оқиғасы);

в) 70-тен кем (D оқиғасы)

пайда болу ықтималдығы табу керек.

Шешуі:

тәуелсіз сынықтар саны n үлкен болғандықтан, n сынықтар арасында

кейбір оқиғаның k рет пайда болу )(kPn

ықтималдығын Муавр-Лаплас

аймақтық теоремасы бойынша есептейміз, ол жуық шамамен

)(1

)( xnpq

kPn

тең, мұндағы npq

npkx

, 10 p , )2/exp(

2

1)( 2xx

(бұл функцияның мәнін кестеден немесе Mathcad-тан dnorm функциясын

қолдануға болады).

В, С және D оқиғаларының ықтималдығын Муавр-Лаплас интегралдық

теоремасын қолданамыз: кейбір оқиғаның k пайда болу саны ),(21

kkPn

1

k мен

2k аралығына түсу ықтималды жуық шамамен )()(),(

1221xxkkP

n тең,

мұндағы npq

npkx

2

2,

npq

npkx

1

1, dttx

x

)2/exp(2

1)(

0

2

– Лаплас

функцияы, бұл функцияның мәнін кестеден немесе Mathcad-тан pnorm

функциясы арқылы есептеуге болады.

а) 2,08,0100

8,010080

x =0, 399,0)0(

2,08,0100

1)80(

100

P ;

б) 02x , 5,2

1x , 494,0)()()80,70(

12100 xxP ;

в) 53x , 5,0)()()100,80()80(

23100100 xxPkP ;

г) 204

x , 006,0,0)()()70,0()70(41100100 xxPkP .


p k ( ) dpois k ( ) ,

p 6 3( ) 0.05 .

n 100 k1 70 k2 80

p 0.8 q 1 p

x1k1 n p

n p q x2

k2 n p

n p q x3

n n p

n p q x4

0 n p

n p q

33

немесе басқа жолы

7 Дискретті Х кездейсоқ шамасы үлестірім заңдылығымен берілген.

Х 0 10 20 30 40 50

Р 0,05 0,15 0,3 0,25 0,2 0,05


а) оның үлестірім функциясын F(x), оның сызбасын салу керек;


модасын;

в) Х –тің (15;45) интервалына түсу ықтималдығын.

Шешуі:

а) Х кездейсоқ шамасының F(x) үлестірім функциясы (интегралдық

үлестірім функциясы) Х<х оқиғасының ықтималдығын анықтайды. Дискретті

кездейсоқ шамасы

xx

i

i

pxXPxF )()( = )(

xx

i

i

xXP формуласымен

есептелінеді, мұндағы xxi үшін қосу барлық i бойынша жүргізіледі.

Сонымен, 1) егер 0x , онда 0)0()( XPxF ;

2) егер 100 x , онда 05,0)0()( XPxF ;

3) егер 2010 x , онда 2,015,005,0)10()0()( XPXPxF ;

4) егер 3020 x , онда

)20()10()0()( XPXPXPxF 5,03,02,0 ;

5) егер 4030 x , онда )30()20()10()0()( XPXPXPXPxF =

75,025,05,0 ;

6) егер 5040 x , онда )30()20()10()0()( XPXPXPXPxF +

+ )40( XP 95,02,075,0 ;

dnorm x2 0 1( ) 0.399 x2 0 x1 2.5

pnorm x2 0 1( ) pnorm x1 0 1( ) 0.494 pnorm x2 0 1( ) 0.5

pnorm x1 0 1( ) 6.21 103

x( ) pnorm x 0 1( ) 0.5

P k1 k2( ) x2( ) x1( )

x1( ) 0.494 x2( ) 0

P k1 k2( ) 0.494 x3 5 x4 20

x3( ) 0.5 x4( ) 0.5

x1( ) x4( ) 6.21 103

x3( ) x2( ) 0.5

34

7) егер 50x , онда )30()20()10()0()( XPXPXPXPxF +

+ )50()40( XPXP 105,095,0 .

Сонымен,

0, 0

0,05, 0 10

0,2, 10 20

( ) 0,5, 20 30

0,75, 30 40

0,95, 40 50

1, 50

егер x

егер x

егер x

F x егер x

егер x

егер x

егер x

;

Сызба Mathcad жүйесінде сызылған (төменде).

б) сандық сипаттамаларын табайық. Дискретті кездейсоқ шама үшін

математикалық үміт кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерін оның

ықтималдықтарына көбейтіп қосқанға тең: i

iipxXM )( . Сондықтан

05,0502,04025,0303,02015,01015,00)(XM 25,5.

Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы 2)]([)( XMXMXD

формуласымен немесе 22 )]([)()( XMXMXD формуласымен есептелінеді.

Дискретті кездейсоқ шама үшін бұл формулалар мына түрде қолданылады:

ii

ipXMxXD

2))(()( немесе 22

)()(i

iii

ii

pxpxXD . Орта

квадраттық ауытқу )()( xDx санына тең; дискретті кездейсоқ шаманың

модасы (белгіленуі 0

M ) – осы кездейсоқ шаманың ең үлкен ықтималдықты

қабылдайтын мәні; Х –тің (а;b) интервалына түсу ықтималдығы

)()();( aFbFbaP формуласымен есептелінеді. Біздің есеп үшін бұл

шамалар:

D(x)=154,75; 44,1275,154)( x ; 0

M =20;

)15()45()45;15( FFP =0,75.

Төменде Mathcad-тан есетеулермен файлдың көшірмесі келтірілген,

дисперсия екі формуламен де есептелінген.

s 0 10 20 30 40 50( ) , ORIGIN 1

p 0.05 0.15 0.3 0.25 0.2 0.05( ) ,

M sT

pT

, M 25.5 ,

s0 sT

M ,

35

s0

25.5

15.5

5.5

4.5

14.5

24.5

D s0 s0( )

T

pT

,

D 154.75 ,

s2 02

102

202

302

402

502 ,

D1 s2T

pT

M2

,

D1 154.75 ,

D 12.44 ,

F x( ) 0 x 0if

0.05 0 x 10if

0.2 10 x 20if

0.5 20 x 30if

0.75 30 x 40if

0.95 40 x 50if

1 x 50if

,

0 20 40 60 800

0.5

1

1.5

F x( )

x

F 45( ) F 15( ) 0.75 .

36

8 Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім функциясымен

2

0, 2

( ) ( 2) , 2 3

1, 3

егер x

F x x егер x

егер x

берілген. Табу керек:

а) оның үлестірім тығыздығын f(x);



в) Х –тің (1; 2,5) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.

F(x) және f(x) сызбаларын салу керек.

Шешуі:

а) үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы оның үлестірім

функциясының туындысына тең: )()( xFxf , Сондықтан

3,0

32),2(2

2,0

)()(

xесли

xеслиx

xесли

xFxf ;

б) үзіліссіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары мына

формулалармен табылады: математикалық үміт -

)(

)(

)()(b

a

dxxxfxM ;

дисперсия -

)(

)(

2 )())(()(b

a

dxxfxMxxD немесе

)(

)(

22 )()()(b

a

xMdxxfxxD

(интегралдау шектері кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері Ох осінің барлық

немесе (a;b) интервалының мәндерін қабылдауына байланысты); орта

квадраттық ауытқуы - )()( xDx ; X кездейсоқ шаманың модасы деп

үлестірім тығыздығы максималды болатын o

M мәні айтылады; X кездейсоқ

шаманың медианасы деп кездейсоқ шама e

M -ден кем немесе артық болғанда

ықтималдығы бірдей болатын e

M мәні айтылады, яғни

5,0)()( ee

MXPMXP .

Сонымен, біздің есепте 3

2

)2(2)( xxxM =8/3;

18/1)3/8()2(2)(3

2

22

dxxxxD ; 18/1)( X = 0,236. Моданы

анықтау үшін [2; 3] кесіндісіндегі функцияның максимумын табу керек

)2(2)( xxf . Бұл функция монотонды болғандықтан, оның максимумы

кесіндінің шеткі нүктелерінде табылады, яғни 2)3(max

ff . Сонымен,

oM =3. Медиананы 5,0)(

eMXP шартынан табуға болады, мұндағы

)(e

MXP = )(e

MXP )2(e

MXP ықтималдығы

b

a

dxxfbXaP )()(

37

формуласы немесе )()()( aFbFbXaP формуласы (кездейсоқ

шаманың (a; b) аралығына түсу ықтималдығы) бойынша табылады.

eM

edxxMXP

2

)2(2)2( = 2)2( e

M болғандықтан, 2)2( e

M =0,5 теңдеуін

шеше отырып, екі түбір 1,29 және 2,71 аламыз, олардың біреуі (2,3)

аралығында жатады: e

M = 2,71.

в) Х кездейсоқ шамасының (1; 2,5) интервалына түсу ықтималдығы

жоғарыда келтірілген формулалар бойынша табылады

)5,22()21()5,21( XPXPXP 25,0)2(205,2

2

dxx немесе

)1()5,2()5,21( FFXP = 25,00)25,2( 2 .

F(x) және f(x) функцияларының сызбаларын Mathcad жүйесінде

саламыз:

Атап өтелік, интегралдарды анықтау және басқа есептеулерді Mathcad

жүйесінде жүргізуге болады, мысалы,

F x( ) 0 x 2if

x 2( )2

2 x 3if

1 x 3if

.

f x( ) 0 x 2if

2 x 2( )[ ] 2 x 3if

0 x 3if

,

4 2 0 2 4

4

2

2

4

f x( )

x ,

2 0 2 4

2

2

F x( )

x .

2

3

x2 x x 2( )

d8

3 2.667

,

2

3

x2 x2

x 2( )

d8

3

2

1

18 0.056

,

1

180.236

,

2

y

x2 x 2( )

d y 2( )2

,

38

9 Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім тығыздығымен

2

0, 0

2( ) (3 ), 0 3

9

0, 3

егер x

f x x x егер x

егер x

берілген. Табу керек

а) оның үлестірім функциясын F(x);



в) Х –тің (1;4) интервалына түсу ықтималдығын табу керек.

F(x) және f(x) сызбаларын салу керек.

Шешуі:

а) үлестірім функциясын

x

dxxfxF )()( формуласы бойынша табамыз.

Сонымен, егер 0x болса, онда 0)( xf , Сондықтан 00)(0

dxxF ;

егер 30 x болса, онда dxxxdxxFx

)3(9

20)(

0

2

0

=-27

)92(2 xx;

егер 3x болса, онда 10)3(9

20)(

3

3

0

2

0

x

dxdxxxdxxF .

Сонымен, үлестірім функциясының түрі

2

0, 0

(2 9)( ) , 0 3

27

1, 3

егер x

x xF x егер x

егер x

.


модасын, медианасын алдыңғы есептегідей табамыз

3

0

2 )3(9/2)( dxxxxxM =1,5; 3

0

222 5,1)3(9/2)( dxxxxxD 0,45;

45,0)( X = 0,671.

Моданы анықтау үшін )3(9/2)( 2xxxf функциясының [0; 3] кесін-

дісінде максимумын табамыз. Ол үшін функцияның туындысын тауып, нөлге

теңестіреміз: 9/43/2)( xxf , х=3/2 мәнінде 0)( xf болады, бұл нүкте

кризистік нүкте болады. Оны экстремумге тексереміз: 0)2(,0)1( ff ,

y 2( )2

0.5 solve1.2928932188134524756

2.7071067811865475244

.

39

Сонымен, х=3/2 нүктесінен ауысқанда таңба плюстен минуске өзгерген-

діктен, х=3/2 максимум нүктесі. Сондықтан o

M =3/2.

Медиананы 5,0)( e

MXP шартынан табамыз, мұндағы

)(e

MXP = = )(e

MXP )0(e

MXP .

)0(e

MXP eM

dxxx0

2 )3(9/2 =- 27/)92(2

ee

MM

болғандықтан, - 27/)92(2

ee

MM =0,5 теңдеуін шешіп, үш түбір аламыз, бізге

керегі біреуі ғана: e

M = 1,5.

Төменде Mathcad-тан есептеулермен файлдың көшірмесі келтірілген.

в) Х –тің (1;4) интервалына түсу ықтималдығы

)3()31()41( XPXPXP 0)3(9/23

1

2 dxxx 0,741

немесе )41( XP )3()31( XPXP = )1()3( FF =

= 27/)912(127/)932(3 22 = 741,0259,01 .

f x( )2

93 x x

2

,

9

200.671

,

0

3

xx2

f x( )

d3

2

2

9

20 0.45

,

0

3

xx f x( )

d3

2 1.5

,

xf x( )

d

d

2

3

4 x

9

,

f1 x( )xf x( )

d

d

,

0

y

xf x( )

dy

22 y 9( )

27

,

f1 2( ) 0.222 ,

f1 1( ) 0.222 ,

f1 x( ) solve3

2

,

y2

2 y 9( )

27 0.5 solve

4.0980762113533159403

1.0980762113533159403

1.5

4.098

1.098

1.5

.

40


F(x) және f(x) функцияларының сызбаларын Mathcad жүйесінде

саламыз:

10 Х дискретті кездейсоқ шамасының үлестірім заңдылығын табу

керек. Ол екі х 1 мен х 2 мәндерін қабылдайды (х 1 <х 2 ). Оның математикалық

үміті М(х)=1,4, дисперсия D(x)=0,24 және х1 мүмкін мәнінің р 1 =0,6

ықтималдығы белгілі.

Шешуі:

1

3

xf x( )

d20

27 0.741

,

f2 x( )x2

2 x 9( )

27

,

f2 1( ) 0.259 ,

f2 3( ) 1 ,

1 0.259 0.741 .

f x( ) 0 x 0if

2

93 x x

2

0 x 3if

0 x 3if

,

F x( ) 0 x 0if

x2

9 2 x( )

270 x 3if

1 x 3if

.

2 0 2 4

2

1

1

2

f x( )

x

2 0 2 4

2

1

1

2

F x( )

x

41

дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының қосындысы бірге

тең болғандықтан, онда кездейсоқ шама х 2 мәнін қабылдау ықтималдығы

р2= 1- 0,6 = 0,4.

Х-тің үлестірім заңын жазамыз:

Х х 1 х 2

р 0,6 0,4

х 1 және х 2 мәндерін табу үшін дискретті кездейсоқ шаманың математи-

калық үмітін, дисперсиясын есептейтін формулаларды қолданып, екі теңдеулі

жүйе құрамыз: i

iipxXM )( и 22

)()(i

iii

ii

pxpxXD . Бұл жүйе мына

түрде болады:

24,04,14,06,0

4,14,06,022

2

2

1

21

xx

xx.

Оны Mathcad-та шешеміз:

Сонымен, жүйенің екі шешімі бар х 1 =1, х 2 =2 және х1 =1,8, х 2 =0,8.

Шарт бойынша х 1 < х 2 , Сондықтан шешімнің біріншісі шартты

қанағаттандырады. Шешуі х 1 =1, х 2 =2. Сонымен, бізге қажетті үлестірім заңы:

Х 1 2

р 0,6 0,4

0.61.4 0.4 x( )

0.6

2

0.4 x2

1.42

0.24 solve2.0

0.8

.

1.4 0.4 x1( )

0.61.8

.

1.4 0.4 x2( )

0.61

,

x2 2 , x1 0.8 ,

42

Әдебиеттер тізімі

1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. –

М.: ИНФРА-М, Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002

2. Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических

занятий.-СПб.:БХВ-Петербург, 2006.

3. Жетпісов Қ. Математикалық логика және дискретті математика. Алматы,

2011

4. Досанбай П.Т. Математикалық логика. Оқулық. Алматы, 2011

5. Сағынтаева С.С., Тұрысбаева Ү. Дискретті математика элементтері. Оқу

құралы.- Астана: ҚазЭСХСУ БПО. - 2014. -164 б.

6. Жаңбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы және математикалық

статистика элементтері. Алматы. 2006 – 184 бет.

7. Қазешев А. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика.

– Алматы, 2011.

8. Қазешев А. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика

бойынша есептер жинағы. – Алматы, 2005.

9. Байсалова М.Ж Дискрет математика: оқу құралы – Алматы, АЭжБИ. 2007.

- 76 бет.

10. Астраханцева Л.Н. , Байсалова М.Ж. Дискретті математика. 5В070300

«Ақпараттық жүйелер» мамандығының студенттері үшін дәрістер жинағы-

Алматы: АЭжБУ, 2014. - 35 б.

11. Астраханцева Л.Н., Байсалова М.Ж. Ықтималдықтар теориясы және

математикалық статистика. 5В070400 – Есептеу техникасы және

бағдарламалық қамтамасыз ету, 5В070300 – Ақпараттар жүйесі

мамандықтарының студенттері үшін дәрістер жинағы. - Алматы: АЭжБу,

2013.- 49 б.

12. Астраханцева Л.Н., Байсалова М.Ж. Дискретті математика. 5В070300 –

Ақпараттық жүйелер мамандығы студенттері үшін есептеу-сызба

жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулықлар мен тапсырмалар.

- Алматы: АЭжБУ, 2017.- 40 б.

13. Астраханцева Л.Н., Байсалова М.Ж. Ықтималдықтар теориясы және

математикалық статистика. 5В070400- Есептеу техникасы және

бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы студенттері үшін есептеу-сызба

жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар.

1 бөлім. - Алматы: АЭжБУ, 2018. - 32 б.

14. Дулэпо В.М., Абдулланова Ж.С. Операциялық есептеулерді қолдана

отырып дифференциалдық теңдеулерді шешу. 5В071800 Электр энергетикасы

мамандығының студенттері үшін зертханалық жұмыстарды орындау бойынша

әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар. – Алматы, АЭжБУ, 2014. – 77 б.

43

Мазмұны

1 Есептеу-сызба жұмыс №1. Математикалық логика элементтері... 3

1.1 Теориялық сұрақтар ……………………………………………… 3

1.2 Есептік тапсырмалар …………………………………………… 3

1.3 Типтік варианттың шешуі ………………………………………… 11

1.4 Анықтама материалы ………………………………………………. 17

2 Есептеу-сызба жұмыс №2. Типтік үлестірімдер………………… 18

2.1 Теориялық сұрақтар ……………………………………………… 18

2.2 Есептік тапсырмалар …………………………………………….. 19

2.3 Типтік варианттың шешуі ………………………………………… 29

Әдебиеттер тізімі………………………………………………….. 43

44

2020 ж. жиынтық жоспары, реті 96

Астраханцева Людмила Николаевна

Байсалова Мәншүк Жұмамұратқызы

КОМПЬЮТЕРЛІК МАТЕМАТИКА

6В07111 - «Ғарыштық техника және технологиялар»

мамандығы студенттеріне арналған есептеу-сызба жұмыстарды

орындау бойынша әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар

Редактор Ж.Изтелеуова

Стандарттау бойынша маман

Басуға 04.11.2020 қол қойылды Пішімі 60х84 1/16

Таралымы 25 дана Баспаханалық қағаз №1

Көлемі 2,5 баспа табақ Тапсырыс 15 Бағасы 1250тг.


университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының

көшірме-көбейткіш бюросы

050013, Алматы, Байтұрсынұлы көшесі, 126

Коммерциялық емес ДАУКЕЕВ АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ …

Documents