kodovi iz hadamardovih matrica reda 48vmikulic/seminar/5_12_2008simcic.pdf · 2011-12-06 · d....

Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48

Loredana Simcic([email protected])

Loredana Simcic ([email protected]) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 1 / 44

mailto:[email protected]


D. Crnkovic, V. Mikulic: Self-orthogonal doubly-even codes fromHadamard matrices of order 48, Advances and Applications inDiscrete Mathematics. 1 (2008), 2; 159-170



Uvod: Kodovi Definicija koda

Uvod: Kodovi

Definicija

Kod K duljine n nad alfabetom Fq velicine q je podskup K ⊂ F nq .

Kod je binaran za q = 2.Elementi koda zovu se rijeci koda.

Primjer

K = {00000, 01101, 10110, 11011} ⊂ F 52



Uvod: Kodovi Hammingova udaljenost

Hammingova udaljenost

Neka je x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ F nq .

Brojd(x , y) = |{i | 1 ≤ i ≤ n, xi 6= yi}|

se naziva Hammingova udaljenost.

Minimalna udaljenost

Minimalna udaljenost koda K je broj

d = {d(x , y) | x , y ∈ K , x 6= y}

Tezina rijeci koda

Za x ∈ F nq , tezina w(x) od x je definirana sa

w(x) = d(x , 0)



Uvod: Kodovi Hammingova udaljenost

Tezinski enumerator

Tezinski enumerator koda K je polinom

A(x) =n∑

i=0

Aixi

gdje je Ai broj rijeci koda tezine i .

Kod je paran ako su sve tezine parne i dvostruko paran ako su sve tezinedjeljive sa 4.

Primjer

K = {00000, 01101, 10110, 11011} ⊂ F 52

d(01101, 10110) = 4

A(x) = x4 + 2x3 + 1



Uvod: Kodovi Ekvivalentni kodovi

Ekvivalentni kodovi

K1 =

0 0 0 0 0

0 1 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 1

K2 =

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1



Uvod: Kodovi Ekvivalentni kodovi

Ekvivalentni kodovi

Dva su koda ekvivalentna ako se jedan moze dobiti iz drugogapermutacijom koordinata u svim rijecima koda ili permutacijom simbolaunutar jedne koordinate.

Izomorfni kodovi

Dva su koda izomorfna ako se jedan moze dobiti iz drugoga permutacijomkoordinata u svim rijecima koda.



Uvod: Kodovi Linearni kodovi

Linearni kodovi

Definicija

Neka je q prim broj i neka je Fq konacno polje reda q.Linearan kod duljine n je linearni podprostor vektorskog prostora F n

q .k-dimenzionalni potprostor od F n

q se naziva linearni [n, k] kod nad Fq.

Za linearni kod K minimalna udaljenost je jednaka minimalnoj tezini,

d = min{w(x)|x ∈ K , x 6= 0}

Linearni [n, k , d ] kod je linearni [n, k] kod s minimalnom udaljenoscu (ilitezinom) d .




Generirajuca matrica linearnog koda

Matrica dimenzije k × n ciji se retci sastoje od vektora baze koda [n, k, d ]zove se generirajuca matrica.

Primjer

K =

0 0 0 0 0

1 1 1 0 0

0 0 1 1 1

1 1 0 1 1

G =

[0 0 1 1 11 1 0 1 1

]




Standardni oblik generirajuce matrice

Za generirajucu matricu G linearnog [n, k , d ] koda kaze se da je ustandardnom obliku ako je G = [Ik |A], gdje je Ik jedinicna matrica reda k iA neka k × (n − k) matrica.

Egzistencija standardnog oblika

Svaka generirajuca matrica G linearnog [n, k , d ] koda moze se operacijamazamjene redaka, zamjene stupaca i dodavanja jednog retka drugom retkusvesti na oblik G = [Ik |A].

Primjer

G ∗ =

[1 0 1 1 10 1 0 1 1

]



Uvod: Kodovi Kodiranje linearnim kodovima

Kodiranje linearnim kodovima

G =

r1

r2...rk

- generirajuca matrica koda K (ri - vektori baze)

m = [m1m2 . . .mk ] - poruka

x =k∑

i=1

mi · ri = m · G



Uvod: Kodovi Kodiranje linearnim kodovima

Primjer

G nije u standardnom obliku

G =

[0 0 1 1 11 1 0 1 1

]m = 0 1

x = 1 1 0 1 1

G je u standardnom obliku

G =

[1 0 1 1 10 1 0 1 1

]m = 0 1

x = 0 1︸︷︷︸poruka

0 1 1︸︷︷︸zalihost



Uvod: Kodovi Dekodiranje linearnog koda

Dekodiranje linearnog koda

Suskup

Neka je K ⊂ F nq [n, k] kod i neka je x ∈ F n

q . Podskup

x + K = {x + y |y ∈ K}

se naziva suskup od K .

Propozicija

Neka je K [n,k] kod.

Svaki suskup x + K ima 2k elemenata.

Ako je y ∈ x + K , tada je x + K = y + K .

Svaki x ∈ F nq pripada tocno jednom suskupu.

Razlicitih suskupa ima 2n−k .



Uvod: Kodovi Dekodiranje linearnog koda

Standardni niz

K = {00000, 11100, 00111, 11011}

K 00000 11100 00111 11011

00001 + K 00001 11101 00110 11011

00010 + K 00010 11110 00101 11001

00100 + K 00100 11000 00011 11111

01000 + K 01000 10100 01111 10011

10000 + K 10000 01100 10111 01011

10010 + K 10010 01110 10101 01001

10001 + K 10001 01101 10110 01010



Uvod: Kodovi Dualni kod

Dualni kod

Skalarni produkt

Skalarni produkt vektora x = (x1 . . . xn) i y = (y1 . . . yn), x , y ∈ F nq je

skalar 〈x , y〉 =∑n

i=1 xiyi ∈ Fq.Ako je 〈x , y〉 = 0, kazemo da su x i y ortogonalni.

Dualni kod

Za linearni kod K ⊂ F nq definiramo dualni kod K⊥ ⊂ F n

q sa

K⊥ = {x ∈ F nq | (∀y ∈ K ) 〈x , y〉 = 0}

Za [n, k] kod K se kaze da je samoortogonalan ako je K ⊂ K⊥, asamodualan ako je K = K⊥.Za binarni kod se kaze da je samokomplementaran ako sadrzi vektor11 . . . 1.




Primjer dualnog koda

K =

00000

11100

10111

01011

K⊥ =

00000 01110

10100 01101

11010 00011

11001 10111

Primjer samodualnog koda

K =

0000

1100

0011

1111

K⊥ =

0000

1100

0011

1111




Ako je K [n, k] kod, tada je K⊥ [n, n − k] kod.

Paritetna matrica

Neka je K ⊂ F nq kod. Paritetna matrica za kod K je generirajuca matrica

za dualni kod K⊥.

Lema

Neka je G generirajuca i H paritetna matrica koda K . Tada vrijedi

G · HT = 0

Propozicija

Neka je K [n, k] kod i neka je G = [Ik |A] njegova generirajuca matrica ustandardnom obliku. Tada je

H = [AT |In−k ]

paritetna matrica koda K .



Uvod: Kodovi Sindromsko dekodiranje

Sindromsko dekodiranje

Sindromsko preslikavanje

Neka je H paritetna matrica [n, k] koda K . Preslikavanje S : F nq → F n−k

q

definirano saS(y) = y · HT

naziva se sindromsko preslikavanje.Vektor S(y) naziva se sindrom rijeci y .

Propozicija

Neka je S : F nq → F n−k

q sindromsko preslikavanje [n, k] koda K . Tada je

Ker(S) = K




Primjer

Sindrom

00000 11100 00111 11011 00000001 11101 00110 11011 00100010 11110 00101 11001 01000100 11000 00011 11111 10001000 10100 01111 10011 01110000 01100 10111 01011 11110010 01110 10101 01001 10110001 01101 10110 01010 110

Lema

Neka je S : F nq → F n−k

q sindromsko preslikavanje [n, k] koda K ix , y ∈ F n

q . Vrijedi S(x) = S(y) akko x i y pripadaju istom koskupu.




Tablica preslikavanja

ei S(ei )

00000 00000001 00100010 01000100 10001000 01110000 11110010 10110001 110

Sindromsko dekodiranje

Izracunaj sindrom primljene rijeci y

Iz tablice preslikavanja odredi vektor ei

Poslana rijec je x = y − ei



Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Dizajni

Dizajni. Hadamardove matrice

Incidencijska struktura

Incidencijska struktura D je uredena trojka (P,B, I), gdje su P i Bneprazni disjunktni skupovi i I ⊆ P × B.

Matrica incidencije

Neka je D = (P,B, I) konacna incidencijska struktura gdje jeP = {x1, . . . , xv} i B = {B1, . . . ,Bb}. Matrica incidencije incidencijskestrukture D je b × v matrica M = (mij)

mij =

{1, (xj ,Bi ) ∈ I0, (xj ,Bi ) /∈ I



Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Dizajni

Dizajn

Konacna incidencijska struktura D = (P,B, I) je t − (v , k , λ) dizajn akovrijedi sljedece:

1 |P| = v

2 svaki element skupa B incidentan je s tocno k elemenata skupa P3 svakih t elemenata skupa P incidentno je s tocno λ elemenata skupaB

Elementi skupa P nazivaju se tocke, a elementi skupa B blokovi.

2− (v , k , λ) dizajn naziva se blok dizajn. U blok dizajnu svaka je tocka

incidentna s tocno r = λ(v−1)k−1 blokova.

Ako vrijedi |P| = |B| = v i 2 ≤ k ≤ v − 2, tada se 2− (v , k, λ) dizajnnaziva simetrican dizajn.



Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Hadamardove matrice

Hadamardove matrice

Hadamardova matrica reda m je (m ×m) matrica H = (hij),hij ∈ {−1, 1}, takva da vrijedi HHT = HTH = mIm, gdje je Im (m ×m)jedinicna matrica.

Primjer

H =

1 1 1 1 −1 −1 −1 −11 1 1 1 1 1 1 11 1 −1 −1 1 1 −1 −11 1 −1 −1 −1 −1 1 11 −1 1 −1 1 −1 1 −11 −1 1 −1 −1 1 −1 11 −1 −1 1 1 −1 −1 11 −1 −1 1 −1 1 1 −1




Teorem

Postoji Hadamardova matrica reda m ako i samo ako postoji (simetrican)(m − 1, 1

2m − 1, 14m − 1) dizajn.

Hadamardov dizajn

Simetricni dizajn s parametrima (m − 1, 12m − 1, 1

4m − 1) naziva seHadamardov dizajn.

Primjer: Matrica incidencije Hadamardovog (7,3,1) dizajna

M =

1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 0 01 0 0 0 0 1 10 1 0 1 0 1 00 1 0 0 1 0 10 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 1 0




Hadamardov 3-dizajn

Dizajn D∗ = (P∗,B∗, I∗) dobiven iz Hadamardovog(m − 1, 1

2m − 1, 14m − 1) dizajna na sljedeci nacin:

P∗ = P ∪ {∞}B∗ = {B ∪ {∞}|B ∈ B} ∪ {P\B|B ∈ B}

je 3− (m, 12m, 1

4m − 1) i naziva se Hadamardov 3-dizajn.




Neka je S = (P,B, I) incidencijska struktura. Kod od S nad poljem F jepodprostor KF (S) od FP razapet vektorima koji odgovarajukarakteristicnim funkcijama blokova od S.

Teorem

Za svaki prim broj p i svaku klasu ekvivalencije Hadamarovih matricapostoji, do na ekvivalentnost koda, tocno jedan p-narni kod povezan sa3-dizajnom dobivenim iz klase ekvivalencije.

Ako je H Hadamardova matrica, tada je p-narni kod od H (oznaka:Kp(H)) p-narni kod povezan sa bilo kojim 3-dizajnom dobivenim iz H.




Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48

Iz Hadamardovih matrica reda 48 dobivamo (47, 23, 11) Hadamardovedizajne.Postoji 54 takva simetricna dizajna.

D. Crnkovic, S. Rukavina: Some Symmetric (47,23,11) Designs,Glas. Mat. Ser. III 38(58), No. 1 (2003), 1-9




Teorem

Neka je D 2− (v , k, λ) dizajn sa kardinalnostima presjeka blokovas1, . . . , sm. Oznacimo sa K binarni kod razapet incidencijskom matricomdizajna D. Tada vrijedi:

1 Ako su k, s1, . . . , sm svi parni, tada je K samoortogonalan.

2 Ako su v , k, s1, . . . , sm svi parni, tada je K sadrzan u samodualnomkodu duljine v .

3 Ako je v ≡ 0(mod8), k ≡ 0(mod4) i s1, . . . , sm su svi parni, tada jeK sadrzan u dvostruko parnom samodualnom kodu duljine v .

4 Dualni kod K⊥ ima minimalnu udaljenost d⊥ ≥ r + λ

λ.




Lema

Neka je K kod iz Hadamardove matrice reda 48. Tada je Ksamoortogonalan dvostruko parni kod. K je i samokomplementaran kod.Nadalje, K⊥ je paran samokomplementaran kod.

DokazDva bloka 3− (48, 24, 11) dizajna se sijeku u 12 ili 0 tocaka, pa mozemoprimjeniti teorem. Dakle, K je samoortogonalan dvostruko paran kod.Za svaki blok Hadamardovog 3-dizajna, njegov komplement je takoderblok dizajna, pa je binarni kod K samokomplementaran, iz cega slijedi i daje K⊥ paran kod.S obzirom da su sve tezine koda K parne, K⊥ sadrzi vektor 11 . . . 1.




Ekvivalencija Hadamardovih matrica

Matrice A i B su izomorfne ako se B moze dobiti iz A permutacijamaredaka i stupaca.

Hadamardove matrice H1 i H2 su ekvivalentne ako i samo ako su matriceH∗1 i H∗2 izomorfne, pri cemu je

H∗ =

[H −H−H H

]

Iz 54 Hadamardova (47,23,11) dizajna dobije se 27 neekvivalentnihHadamardovih matrica.



Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Rezultati

Rezultati

Iz 27 neekvivalentnih Hadamardovih matrica reda 48 dobije se 15neekvivalentnih binarnih linearnih kodova.

C1 - [48, 13, 8] kod dobiven iz dizajna D1,D2,D5 i D8

A(x) = x0 + 66x8 + 494x16 + 7068x24 + 495x32 + 66x40 + x48

C2 - [48, 23, 4] kod dobiven iz dizajna D3,D4,D6,D7,D12,D13,D15 i D16

A(x) = x0 + 132x4 + 5346x8 + 67188x12 + 367983x16 + 980232x20+

5546844x24+980232x28+367983x32+67188x36+5346x40+132x44+x48

C3 - [48, 13, 12] kod dobiven iz dizajna D9 i D18

A(x) = x0+66x12+275x16+1342x20+4824x24+1342x28+275x32+66x36+x48




C4 - [48, 23, 4] kod dobiven iz dizajna D10,D11 i D17

A(x) = x0 + 66x4 + 90x8 + 29018x12 + 283679x16 + 1733732x20+

4293812x24 +1733732x28 +283679x32 +29018x36 +902x40 +66x44 +x48

C5 - [48, 13, 16] kod dobiven iz dizajna D14

A(x) = x0 + 759x16 + 6672x24 + 759x32 + x48


A(x) = x0+136x12+495x16+2904x20+9312x24+2904x28+495x32+136x36+x48


A(x) = x0 + 66x4 + 1254x8 + 55642x12 + 546975x16 + 3581028x20+

8407284x24+3581028x28+546975x32+55642x36+1254x40+66x44+x48





A(x) =x0 + 66x8 + 4x12 + 759x16 + 1980x20 + 10764x24 + 1980x28

+ 759x32 + 4x36 + 66x40 + x48

C9 - [48, 24, 4] kod dobiven iz dizajna D24,D25,D28,D29,D30,D31,D32 iD34

A(x) = x0 + 132x4 + 5346x8 + 71284x12 + 638319x16 + 3007752x20+

9331548x24+3007752x28+638319x32+71284x36+5346x40+132x44+x48


A(x) =x0 + 4x12 + 1023x16 + 1980x20 + 10368x24 + 1980x28

+ 1023x32 + 4x36 + x48





A(x) = x0 + 12x4 + 66x8 + 220x12 + 495x16 + 792x20

+ 13212x24 + 792x28 + 495x32 + 220x36 + 66x40 + 12x44 + x48

C12 - [48, 24, 4] kod dobiven iz dizajna D38,D39,D42,D43,D46,D49,D52 iD53

A(x) = x0 + 276x4 + 10626x8 + 134596x12 + 735471x16 + 1961256x20+

11092764x24+1961256x28+735471x32+134596x36+10626x40+276x44+x48


A(x) =x0 + x4 + 11x8 + 121x12 + 451x16 + 3014x20 + 9186x24

+ 3014x28 + 451x32 + 121x36 + 11x40 + x44 + x48





A(x) =x0 + x4 + 77x12 + 1111x16 + 946x20 + 12112x24

+ 946x28 + 1111x32 + 77x36 + x44 + x48


A(x) =x0 + 78x4 + 2046x8 + 58102x12 + 564927x16 + 3474108x20

+ 8578692x24 + 3474108x28 + 564927x32 + 58102x36 + 2046x40

+ 78x44 + x48



Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Jako regularni grafovi

Jako regularni grafovi

Regularan graf

Regularan graf je graf u kojem svaki vrh ima isti stupanj.Regularan graf sa vrhovima stupnja k naziva se k-regularan graf iliregularan graf stupnja k .




Jako regularan graf

Neka je G graf sa n vrhova. Graf G je jako regularan graf s parametrima(n, k , λ, µ) ako vrijedi:

1 G je jednostavan k-regularan graf

2 svaka dva susjedna vrha imaju tocno λ zajednickih susjednih vrhova

3 svaka dva nesusjedna vrha imaju tocno µ zajednickih susjednih vrhova

Slika: Payleyjev graf reda 13 (jako regularan graf s parametrima (13,6,2,3))Loredana Simcic ([email protected]) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 37 / 44



Linijski graf

Linijski graf grafa G je graf dobiven pridruzivanjem vrha svakom bridugrafa G i povezivanjem dva vrha bridom ako i samo ako odgovarajucibridovi grafa G imaju barem jednu krajnju tocku zajednicku.




Triangularan graf

Triangularan graf Tm je linijski graf potpunog grafa Km.Triangularan graf Tm je jako regularan graf s parametrima(m(m−1)

2 , 2(m − 2),m − 2, 4).

Vrhovi grafa Tm se mogu identificirati sa 2−podskupovima skupa{1, 2, . . . ,m}. Vrhovi su susjedni ako i samo ako 2−podskupovi imajuneprazan presjek.




Dizajn nositelj

Nositelj ne-nul vektora x = (x1, . . . , xn) ∈ F nq je skup indeksa njegovih

ne-nul koordinata,supp(x) = {i | xi 6= 0}

Dizajn nositelj koda duljine n za danu tezinu w 6= 0 je dizajn cije su tockeindeksi koordinata, a blokovi nositelji svih rijeci koda tezine w .

Primjer

K = {000000, 001110, 010101, 011011, 100011, 101101, 110110, 111000}w = 3

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}B = {345, 246, 156, 123}




Jako regularni grafovi dobiveni iz kodova

S1 - dizajn nositelj koda C1 za w = 8S1 ima 48 tocaka i 66 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0 ili 4 tockeG1 - graf ciji su vrhovi blokovi dizajna S1, pri cemu su dva vrha susjednaakko odgovarajuci blokovi u presjeku imaju 4 tockeG1 je jedinstven jako regularan graf s parametrima (66, 20, 10, 4), odnosnotriangularan graf

(122

)kojemu je grupa automorfizama simetricna grupa S12

S2 - dizajn nositelj koda C1 za w = 16S2 ima 495 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0, 4, 8 ili 12 tocakaG2 - graf ciji su vrhovi blokovi dizajna S2, pri cemu su dva vrha susjednaakko odgovarajuci blokovi u presjeku imaju 0 ili 8 tocakaG2 je jedinstven jako regularan graf s parametrima (495, 238, 109, 119)kojemu je grupa automorfizama ortogonalna grupa O−10(2).




S3 - dizajn nositelj koda C3 za w = 12S3 ima 66 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 2,4 ili 6 tocakaGraf ciji su vrhovi blokovi dizajna S3, pri cemu su dva vrha susjedna akkoodgovarajuci blokovi u presjeku imaju 6 tocaka, je izomorfan grafu G1

Iz dizajna nositelja kodova C4, C7 i C8 za minimalne tezine mogu sekonstruirati jako regularni grafovi izomorfni grafu G1.

S4 - dizajn nositelj koda C11 za w = 8S4 ima 66 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0 ili 4 tockeGraf ciji su vrhovi blokovi dizajna S4, pri cemu su dva vrha susjedna akkoodgovarajuci blokovi u presjeku imaju 4 tocke, je izomorfan grafu G1

S5 - dizajn nositelj koda C11 za w = 16S5 ima 495 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0, 4, 8 ili 12 tocakaGraf ciji su vrhovi blokovi dizajna S5, pri cemu su dva vrha susjedna akkoodgovarajuci blokovi u presjeku imaju 0 ili 8 tocaka, je izomorfan grafu G2




S6 - dizajn nositelj koda C12 za w = 4S6 ima 276 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0 ili 2 tockeG3 - graf ciji su vrhovi blokovi dizajna S6, pri cemu su dva vrha susjednaakko odgovarajuci blokovi u presjeku imaju 2 tockeG3 je jako regularan graf s parametrima (276, 44, 22, 4), odnosnotriangularan graf

(242


S7 - dizajn nositelj koda C14 za w = 12S7 ima 77 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0 ili 4 tockeG4 - graf ciji su vrhovi blokovi dizajna S7, pri cemu su dva vrha susjednaakko su odgovarajuci blokovi disjunktniG4 je jedinstven jako regularan graf s parametrima (77, 16, 0, 4), kojemu jegrupa automorfizama grupa Aut(M22) ∼= M22 : Z2




S8 - dizajn nositelj koda C15 za w = 4S8 ima 78 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0 ili 2 tockeG5 - graf ciji su vrhovi blokovi dizajna S8, pri cemu su dva vrha susjednaakko odgovarajuci blokovi u presjeku imaju 2 tockeG5 je jako regularan graf s parametrima (78, 22, 11, 4), odnosnotriangularan graf

(132




kodovi iz hadamardovih matrica reda 48vmikulic/seminar/5_12_2008simcic.pdf · 2011-12-06 · d....

Documents