Kochi University of Technology

2014 年度「基礎数学」 − 1 −

< 無理関数 1 >√

のついた関数を通常無理関数という。

例 1 y =√xのグラフを描きたい。

√の中は負になってはいけない

ので xは 0以上の数を考える。

xと yの対応表

x 0 0.25 1 4 9

y 0 0.5 1 2 3 1 4 9

3

2

10.5

0.250

y = px

x

y

よりグラフは右図のようになる。無理関数の場合は「√

の中が負になってはいけない」という

制限が自動的につく。このような xの範囲 (x ≧ 0)を定義域という。なお√□の値は常に 0以上

だから yの範囲は y ≧ 0となる。yの範囲を値域という。

(注) 正の定数 aに対し，x2 = a(x > 0)となる数 xのうち正の方を√a，負の方を −

√aで表わす。

例 2 無理関数 y =√x+ 1を考える。

√の中は 0以上だから

x+ 1 ≧ 0 ⇒ x ≧ −1

より

定義域：x ≧ −1

であり，値域は√□ ≧ 0だから

値域：y ≧ 0

となる。グラフは右図のようになる。

1 2 3

1

2

-1 0

0.5

-0.75

y =px+ 1y

x

p3 ; 1:73p2 ; 1:41

問 以下の無理関数の定義域と値域を求め，グラフを描け。

(1) y =√x+ 2

0 x

y

定義域： ，値域：

(2) y =√x− 1

0 x

y

定義域： ，値域：

2014 年度「基礎数学」− 2 −

< 無理関数 2 >

例 1 無理関数 y =√3− x を考える。

√の中は 0以上だから

3− x ≧ 0 ⇒ 3 ≧ x

より

定義域 : x ≦ 3

また√□ ≧ 0 より

値域 : y ≧ 0

である。グラフは右図のようになる。

2

1

2 3-1 0

例 2 無理関数 y = 2−√x+ 1 を考える。

√の中は 0以上だから

x+ 1 ≧ 0 ⇒ x ≧ −1

より

定義域 : x ≧ −1

また 2−√□ ≦ 2より

値域 : y ≦ 2

である。グラフは右図のようになる。

問 次の無理関数の定義域と値域を求め，グラフを描け。

(1) y = −2 +√x− 1 (2) y = 1−

√2− x

2014 年度「基礎数学」 − 3 −

< 分数関数 1 >

例 1 分数関数 y =1

xを考える。

x = 0のときは分母が 0になるから

定義できない。従って定義域は 0以

外の全ての実数となる。

定義域：x ̸= 0

y =1

xを変形すると

xy = 1

より yは 0にはならない。結局

y =1

x̸= 0

となり，yは 0以外のすべての実数の

値を取る。

値域：y ̸= 0

となり，グラフは右図のようになる。

¡13

¡1¡ 2¡ 3 0¡12¡ 1 ¡ 2

12 1 2 3x

y ¡12 2 112

13

¡2

¡1¡12

12

1 2 3¡1 ¡2 ¡3

¡12

1

0

2

y = 1x

y

x

2

1

例 2 分数関数 y =1

x− 2を考える。

分母が 0になってはならないので

x− 2 ̸= 0より

定義域：x ̸= 2

となり，値域は上と同様に

値域：y ̸= 0

であり，グラフは右図のようになる。

このグラフは y =1

xのグラフを x軸方向

に +2だけ平行移動したものである。

y = 1x¡ 2

x

y

1 2 3 40

¡1

¡2

1

2

問 分数関数 y =1

x+ 1の定義域と

値域を求め，グラフを描け。

定義域： , 値域：

2014 年度「基礎数学」− 4 −

< 分数関数 2 >

例 分数関数 y = 3 +1

x− 2を考える。

定義域は分母 ̸= 0より

定義域：x ̸= 2

である。一方逆数1

□̸= 0より

y − 3 = 1x− 2

̸= 0

であるから y − 3 ̸= 0より

値域：y ̸= 3

となる。このグラフは右図の

ように y =1

xのグラフを x軸

方向に +2，y軸方向に +3だけ

平行移動したものである。

1

23

45

y = 3 + 1x¡ 2

x = 2

y = 3

x

y

1 2 3 4 5

このグラフは xの値が 2に近づくほど直線 x = 2に近づき，xの値が 2から

遠ざかるほど直線 y = 3に近づく。

この 2直線 x = 2 , y = 3を分数関数 y = 3 +1

x− 2の

ゼンキンセン

漸近線 という。

問 分数関数 y = 2 +1

x+ 1定義域と値域および漸近線を求め，そのグラフ

を描け。

(漸近線のグラフも描く。)

定義域：

値域：

漸近線：x = , y =

2014 年度「基礎数学」 − 5 −

< 定義域の制限 >

関数の通常の定義域をさらに制限する場合がある。

そのような場合の定義域に対応する値域を考える。

例 1 y = (x+ 1)2 の通常の定義域は実数全体

であり,値域は y ≧ 0である。

(}P)例 2 y = (x+ 1)2 の定義域を x ≧ 0に制限する場合の値域は y ≧ 1である。(図 1)

例 3 y =√x+ 1 の通常の定義域は x ≧ −1で

あり値域は y ≧ 0である。

例 4 y =√x+ 1 の定義域を x ≧ 1に制限する

場合の値域は y ≧√2 である。(図 2) (}Q)

例 5 y = log2 xの通常の定義域は x > 0で

あり値域は実数全体である。

例 6 y = log2 xの定義域を x ≧ 2に制限する

場合の値域は y ≧ 1である (図 3)

(}R)

問 次の関数の ( )内の定義域に対応する値域を求めよ。

(1) y = (x− 1)2 (x ≧ 2) (2) y =√x+ 3 (x ≧ 1)

(3) y = log3 x (x > 0) (4) y = 2x (実数全体)

(5) y = sinx

(0 ≦ x ≦ π

2

)(6) y = cosx

(0 ≦ x ≦ π

3

)

2014 年度「基礎数学」− 6 −

< 単調関数 >

図 1のように関数 f(x)の定義域内の任意の

2点 x1, x2 に対し，

x1 < x2 ならば f(x1) < f(x2)

が常に成り立つとき， f(x)は定義域内で単調増加という。

P²Á

i}1j

図 2のように関数 f(x)の定義域内の任意の

2点 x1, x2 に対し，

x1 < x2 ならば f(x1) > f(x2)

が常に成り立つとき，f(x)は定義域内で単調減少という。

単調増加関数および単調減少関数をまとめて単調関数という。

P²¸

i}2j

例 1 f(x) =1√xの定義域は x > 0 である。

図 3より定義域内で単調減少である。

i}3j例 2 f(x) = x2 の定義域は実数全体である。

図 4より単調関数ではない。

例 3 f(x) = x2 (x ≧ 0) は y = x2 の

定義域を x ≧ 0 に制限した関数

である。図 5より定義域 (x ≧ 0)

内で単調増加である。 i}4j i}5j

問 次の関数が単調関数かどうか判断せよ。もし単調関数であれば， 単調増加

か単調減少かを明記せよ。ただし ( )内は定義域である。

(1) y = 3x− 2 (2) y = 1x

(x ̸= 0)

(3) y = −(x− 1)2 (x ≧ 2) (4) y =√x+ 2 (x ≧ −2)

(5) y = sinx (6) y = sinx

(−π2≦ x ≦ π

2

)

2014 年度「基礎数学」 − 7 −

< 逆関数 1 >

関数 f(x)が単調関数であるとき、yの値 bに対して、

b = f(a)

となるような xの値 aがただ 1つ定まる。このとき

a = f−1(b)

と書く。

例 f(x) = 2x− 1 のとき、

関数 y = f(x)は単調関数である。

b = f(a)

とおくと、f(a) = 2a− 1より

b = 2a− 1

である。これを aについて解くと

a =1

2b+

1

2

となる。a = f−1(b)であるから

f−1(b) =1

2b+

1

2

となる。

問 f(x)が以下の場合に、関数 y = f(x)はすべて定義域内で単調関数である。

このとき f−1(b)を bに関する式で表せ。

(1) f(x) = 2x+ 1 (2) f(x) = 3x− 2 (3) f(x) = 12x+

1

2

(解) (解) (解)

2014 年度「基礎数学」− 8 −

< 逆関数 2 >

関数 y = f(x)が単調関数のとき，yの値 bに

xの値 f−1(b)を対応させる関係は関数と考

えられる。この関数を y = f−1(x)と表し

て，関数 y = f(x)の逆関数という。

例 f(x) = 2x+ 1の逆関数を求める。

b = f(a) ⇐⇒ a = f−1(b)

より

b = 2a+ 1 ⇐⇒ a = 12b− 1

2= f−1(b)

より f−1(b) =1

2b− 1

2だから逆関数は

f−1(x) =1

2x− 1

2である。

(別解) y = 2x+ 1とおく

⇓

−2x+ 1 = y

2x = y − 1

⇓

x =1

2y − 1

2ここで x と y を入れ替えて

y =1

2x− 1

2(y = 2x+ 1の逆関数) (答) f−1(x) =

1

2x− 1

2

問 f(x)が以下の場合に，逆関数を求めよ。

(1) f(x) = 3x+ 2

(2) f(x) = −12x+ 3

2014 年度「基礎数学」 − 9 −

< 逆関数 3 >

関数 y = f(x)が定義域内で単調

であるとき，関数 f の値域は逆関数

f−1 の定義域であり，関数 f の定義域は

逆関数 f−1 の値域になっている。

Ìè`æ

Ìè`æ

Ìlæ

Ìlæ

例題 f(x) = x2 + 1 (x ≧ 0)の逆関数を求めよ。

(解) y = x2 + 1 (x ≧ 0)とおく 値域は y ≧ 1

x2 = y − 1

x = ±√y − 1

(x ≧ 0y ≧ 1

)

ここで x ≧ 0だから

x =√y − 1

(x ≧ 0y ≧ 1

)

xと yを入れ替えて

y =√x− 1

(y ≧ 0x ≧ 1

)よって (答) f−1(x) =

√x− 1 (x ≧ 1)

(注) 逆関数を求めたら，定義域も書いておく。定義域が定まれば値域も求まるので，値域は書かなく

ても良い。

問 f(x) = (x+ 1)2 (x ≧ −1)の逆関数を求めよ。

2014 年度「基礎数学」− 10 −

< 逆関数 4 >

例題 次の関数の逆関数を求めよ。

(1) y =√x+ 1 (2) y = 3x

(解) (1) y =√x+ 1の定義域は x ≧ −1であり，値域は y ≧ 0である。

y2 = x+ 1

⇓

x+ 1 = y2

つまり

x = y2 − 1(

x ≧ −1y ≧ 0

)ここで xと yを入れ替えて

y = x2 − 1(

y ≧ −1x ≧ 0

)(答)逆関数は y = x2 − 1 ( x ≧ 0 )

(2) y = 3x の定義域は実数全体であり，値域は y > 0である。

log3 y = log3(3x) = x

⇓

x = log3 y

(x は実数全体

y > 0

)ここで xと yを入れ替えて

y = log3 x

(y は実数全体

x > 0

)(答)逆関数は y = log3 x ( x > 0 )

問 次の関数の逆関数を求めよ。

(1) y =√x− 1

(2) y = 4x

(3) y = log2 x

2014 年度「基礎数学」 − 11 −

< 逆関数 5 >関数 y = f(x)が単調であるとき、y = f(x)

のグラフ上の点の座標を (a, b)とすると

b = f(a) ⇐⇒ a = f−1(b)

より、点 (b, a)は逆関数 y = f−1(x)のグラフ上

の点である。

このことから、逆関数 y = f−1(x)のグラフは，

元の関数 y = f(x)のグラフを、直線 y = xに

関して、対称に折り返したものになっている。

例 f(x) = 3x のとき、前ページの例題より

逆関数は

f−1(x) = log3 x

である。

対数関数 y = log3 xは指数関数 y = 3x の

逆関数である。

y = log3 xの正確なグラフは、指数関数

y = 3x のグラフを直線 y = xを対称軸と

して折り返すことによって求められる。

問 f(x) = 2x の逆関数 f−1(x)を求め, 元の関数 y = f(x)と逆関数 y = f−1(x)の

グラフを同じ座標平面上に描け。

2014 年度「基礎数学」− 12 −

< 練習問題 >

問 1 次の関数の定義域と値域を求めよ。

(1) y =√x+ 1 (2) y = x2 − 3 (3) y = 2−

√1− x

(4) y = sinx　 (5) y = cosx　 (6) y = 2x

(7) y =

(1

2

)x(8) y = log4 x (9) y = log0.5 x

問 2 f(x)が次の各場合に逆関数 f−1(x)を求めよ。ただし ( )内は定義域である。

(1) f(x) = 4x− 3 (2) f(x) =√x− 1 (x ≧ 1)

(3) f(x) = x2 + 1 (x ≧ 0) (4) f(x) = x3 (x ≧ 0)

(5) f(x) = 10x (6) f(x) = log5 x (x > 0)

問 3 f(x)が次の場合に, 逆関数 f−1(x)を求め, 元の関数 y = f(x)と逆関数 y = f−1(x)

のグラフを同じ座標平面上に描け。ただし ( )内は定義域である。

(1) f(x) = x2 − 2 (x ≧ 0)

(2) f(x) =

(1

2

)x

2014 年度「基礎数学」 − 13 −

< 関数の極限 1 >

関数 f(x)において，xが a以外の値をとりながら，aに限りなく近づくとき，f(x)の値が

一定の値 Aに限りなく近づくことを，x → aのとき，f(x)は Aに収束するといい,

次のように表す。

limx→a

f(x) = A または x → aのとき，f(x) → A

このとき，Aを，x → aのときの f(x)の極限値という。

例 1 limx→2

4x− 5x+ 1

= 1

(または x → 2 のとき 4x− 5

x+ 1→ 1

)

問 1 次の極限値を求めよ。

(1) limx→π2

sin(x+ π) (2) limx→π

cosx (3) limx→3

log2(5x+ 1)

例 2 limx→2

x3 − 8x2 − 3x+ 2

= limx→2

(x− 2)(x2 + 2x+ 4)(x− 2)(x− 1)

= limx→2

x2 + 2x+ 4

x− 1= 12

例 3 limx→4

√x− 2x− 4

= limx→4

(√x)2 − (2)2

(x− 4)(√x+ 2)

= limx→4

x− 4(x− 4)(

√x+ 2)

= limx→4

1√x+ 2

=1

4

問 2 次の極限を求めよ。

(1) limx→2

x2 − 4x− 2

(2) limx→0

(3 + x)2 − 9x

(3) limx→2

x3 − 8x− 2

(4) limx→1

x4 − 1x− 1

(5) limx→9

√x− 3x− 9

2014 年度「基礎数学」− 14 −

< 関数の極限 2 >

変数 xの値が限りなく大きくなることを， x → ∞ または x → +∞ で表す。

また変数 xが負であって，絶対値が限りなく大きくなることを x → −∞ で表す。

記号 ∞ を無限大 (+∞を正の無限大)， −∞ を負の無限大という。

例 1 limx→∞

1

x= 0， lim

x→−∞

1

x= 0， lim

x→∞

1

x2= 0， lim

x→−∞

1

x2= 0

例 2 limx→∞

4x2 − 2x+ 75x2 + 3x+ 6

= limx→∞

4− 2x +7x2

5 + 3x +6x2

=4

5

(注) 極限値を求めるとき ,∞∞

, ∞−∞, 00の形になるときがある。

これらの場合 ,極限値は問題によっていろいろな値になるので ,不定形の極限と呼ばれる。

問 次の極限値を求めよ。

(1) limx→∞

2x− 3x+ 1

(2) limx→−∞

3x2 − 4xx2 + 3

(3) limx→∞

3x2 + 4x

x3 + 1

2014 年度「基礎数学」 − 15 −

< 関数の極限 3 >

関数 f(x)において，x → aのとき f(x)の値が限りなく大きくなる場合，f(x)は

正の無限大に発散するといい，次のように表す。

limx→a

f(x) = ∞ または x → aのとき f(x) → ∞

x → aのとき，f(x)の値が負で，その絶対値が限りなく大きくなる場合，f(x)は

負の無限大に発散するといい，次のように表す。

limx→a

f(x) = −∞ または x → aのとき f(x) → −∞

例 1 limx→∞

−√x = −∞

例 2 limx→−∞

x2

x+ 1= lim

x→−∞

x

1 + 1x= −∞

例 3 limx→∞

(x3 − x4) = limx→∞

x4 ×(1

x− 1

)= −∞

例 4 limx→∞

(√x+ 1−

√x)= lim

x→∞

1√x+ 1 +

√x= 0

問 次の極限を求めよ。

(1) limx→∞

(1− x2)

(2) limx→−∞

(x3 + 1)

(3) limx→∞

x− x2

x+ 1

(4) limx→∞

(x3 − x2)

(5) limx→∞

(√x2 + 3x+ 1−

√x2 + 1

)

2014 年度「基礎数学」− 16 −

< 指数関数の極限 >

指数関数 y = ax のグラフは次のようになる。

このグラフから次の極限式が得られる。

(1) a > 1のとき limx→∞

ax = ∞ , limx→−∞

ax = 0

(2) 0 < a < 1のとき limx→∞

ax = 0 , limx→−∞

ax = ∞

例 (1) limx→∞

(4x − 3x) = limx→∞

4x ×{1−

(3

4

)x}= ∞

(2) limx→−∞

3x

4x + 3x= lim

x→−∞

1(43

)x+ 1

= 1

問 次の極限を求めよ。

(1) limx→∞

(0.99)x (2) limx→∞

(1.01)x (3) limx→∞

3x

(4) limx→∞

4−x (5) limx→∞

(2x − 3x) (6) limx→∞

5x

4x + 3x

(7) limx→−∞

5x

4x + 3x

(8) limx→∞

3x − 3−x

3x + 3−x

2014 年度「基礎数学」 − 17 −

< 片側極限 >

変数 xが、aより大きい値をとりながら aに限りなく近づくとき、f(x)の値が A に限りなく

近づくならば、Aを xが aに近づくときの f(x)の右側極限といい、

limx→ax>a

f(x) = A または limx→a+0

f(x) = A

と表す。また変数 xが、aより小さい値をとりながら aに限りなく近づくとき、f(x)の値がBに

限りなく近づくならば、B を xが aに近づくときの f(x)の左側極限といい、

limx→axa

f(x) = A (右側極限)

limx→ax0

1

x= +∞ , lim

x→0x

2014 年度「基礎数学」− 18 −

< 対数関数の極限 >

対数関数 y = loga xは指数関数 y = ax の逆関数であるから、

グラフは直線 y = xに関して対称になる。

このグラフより次の極限式が得られる。

[1] a > 1のとき

limx→∞

loga x = ∞

limx→0x> 0

loga x = limx→+0

loga x = −∞

[2] 0 < a < 1のとき

limx→∞

loga x = −∞

limx→0x> 0

loga x = limx→+0

loga x = ∞

問 次の極限を求めよ。

(1) limx→∞

log2 x (2) limx→0x>0

log3 x (3) limx→∞

log 12x

(4) limx→+0

log0.1 x (5) limx→5+0

log4(x− 1) (6) limx→2−0

log4(x− 1)

(7) limx→1+0

log4(x− 1)

2014 年度「基礎数学」 − 19 −

< 極限の性質 >

極限の性質として 次式が成り立つ。

h，kを定数とする。極限値 limx→a

f(x), limx→a

g(x)が存在するとき次式が成り立つ。

(1) limx→a

{hf(x) + kg(x)

}= h lim

x→af(x) + k lim

x→ag(x)

(2) limx→a

f(x)g(x) =(limx→a

f(x))·(limx→a

g(x))

(3) limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)（ただし，g(x) ̸= 0かつ lim

x→ag(x) ̸= 0）

(4) xが aの近くで常に f(x) ≦ g(x)ならば， limx→a

f(x) ≦ limx→a

g(x)

(5) xが aの近くで常に f(x) ≦ h(x) ≦ g(x)かつ limx→a

f(x) = limx→a

g(x)ならば

limx→a

h(x)が存在し,

limx→a

h(x) = limx→a

f(x) = limx→a

g(x)

(注) 上記極限の性質 (1)～(5)は x → a+ 0，x → a− 0，x → ∞，x → −∞のときにも成り立つ。

問 1 次の極限値を求めよ。

(1) limx→π3

(2 sinx+ 4 cosx) (2) limx→0

2x tan(x+

π

4

)

(3) limx→8+0

log2 x

x+ 1(4) lim

x→∞

(2− 1

x

)(3 +

1

x2

)

問 2 関数 f(x)が x = 0の近くで常に cosx ≦ f(x) ≦ 1であるとき，次の極限値を求めよ。

(1) limx→0

cosx (2) limx→0

f(x)

2014 年度「基礎数学」− 20 −

< 三角関数の極限 1 >

[定理 ] limθ→0

sin θ

θ= 1

[証明の概略 ] 次の不等式が成り立つ。

0 < θ <π

2のとき sin θ < θ < tan θ (∗)

これは右上図のような中心 O，半径 1の円 (OA=OD=1)で，CDの長さ = sin θ，弧 ADの長さ = θ，ABの長さ = tan θであり，CD

2014 年度「基礎数学」 − 21 −

< 三角関数の極限 2 >

前ページの結果より

limx→0

sinx

x= 1

が成り立つ。この極限の応用問題を練習する。

例 1 limx→0

sin (2x)

xを求めたい。θ = 2xとおくと x → 0のとき θ → 0だから

limx→0

sin (2x)

x= lim

θ→0

sin θ12θ

= limθ→0

2× sin θθ

= 2× limθ→0

sin θ

θ= 2× 1 = 2

例 2 limx→0

1− cosxx2

= limx→0

12 − cos2 xx2(1 + cosx)

= limx→0

sin2 x

x2(1 + cosx)

= limx→0

(sinx

x

)2× 1

1 + cosx= 12 × 1

1 + cos 0=

1

2

問 次の極限を求めよ。

(1) limx→0

tanx

x

(2) limx→0

sin (3x)

2x

(3) limx→0

cosx− 1x

2014 年度「基礎数学」− 22 −

< 極限の練習 >

問 次の極限を求めよ。ただし aは正の定数である。

(1) limx→2

x3 − 1x− 1

(2) limx→1

x2 − 4x+ 3x− 1

(3) limx→∞

(0.99)x (4) limx→−∞

(4.5)x

(5) limx→∞

3x

2x + 3x(6) lim

x→−∞

3x

4x + 3x

(7) limx→0x>0

log 12x (8) lim

x→2+0

1

x− 2

(9) limx→0

(a+ x)2 − a2

x

(10) limx→0

√x+ a−

√a

x

(11) limx→0

x

sinx cosx

(12) limx→0

cosx+ sinx− 1x

2014 年度「基礎数学」 − 23 −

< 平均の速さと瞬間の速さ >

平均の速さは移動した距離を移動にかかった時間で割ったものである。

平均の速さ =距離時間

例 1 車が 150kmを 3時間で走れば平均の速さは150(km)

3(h)= 50(km/h) (=平均時速 50km)である。

例 2 静止していた物体が，落下し始めてから x秒間に落ちる距離を ymとすると， yは xの関数で，

y = 4.9x2

で与えられる。1秒後から 3秒後までの平均の速さは

4.9× 32 − 4.9× 12

3− 1=

44.1− 4.92

= 19.6(m/s)

である。また a秒後から b秒後までの平均の速さは

4.9× b2 − 4.9× a2

b− a=

4.9(b2 − a2)b− a

= 4.9(a+ b)(m/s)

である。

例 3 例 1の車は常に 50(km/h)で走っているわけではない。信号があれば止まるし，50(km/h)以上の速さを出すこともある。実際に車に乗ってスピードメーターを見ると，スピードメーターで表示

される速さは刻一刻と変わっている。このようなスピードメーターで表示される各時刻での速さ

を瞬間の速さといい，平均の速さと区別する。

瞬間の速さを直線の上を走る車の例で説明する。出発時点から x秒後までに走った距離を f(x)と

する。

a秒後から a+ h秒後までの平均の速さはf(a+ h)− f(a)

hである，瞬間というのは時間間隔が

ゼロということであるから，時間間隔 hを 0（ゼロ）に近づけたときの平均の速さの極限で瞬間

の速さを計算する。

a秒後の瞬間の速さ = limh→0

(a秒後から a+ h秒後までの平均の速さ) = limh→0

f(a+ h)− f(a)h

例 4 例 2の場合，x秒後の落下距離は f(x) = 4.9x2 である。このとき a秒後の瞬間の速さは

limh→0

f(a+ h)− f(a)h

= limh→0

4.9(a+ h)2 − 4.9a2

h= lim

h→04.9(2a+ h) = 9.8a (m/s)

である。

2014 年度「基礎数学」− 24 −

< 微分係数 >

関数 y = f(x)において，xの値が aから bまで変

化するとき，yの変化量 f(b)− f(a)の，xの変化量 b− aに対する割合

f(b)− f(a)b− a

· · · (1)

を， xが aから bまで変化するときの関数 f(x)の平均変化率という。

平均変化率は平均の速さを一般化したものである。

この平均変化率 (1)において，aの値を定め， bを aに限りなく近づけるとき， (1)がある一定

の値αに限りなく近づく場合，この値αを，関数 f(x)の x = aにおける微分係数といい，f ′(a)で

表す。

f ′(a) = limb→a

f(b)− f(a)b− a

· · · (2)

ここで b− a = hとおくと b = a+ hとなり，b → aと h → 0は同値であるから (2)は次のように表すことができる。

f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)h

· · · (3)

微分係数 (3)は瞬間の速さを一般化したものである。

例 f(x) = x2 のとき

f ′(1) = limh→0

f(1 + h)− f(1)h

= limh→0

(1 + h)2 − 12

h= lim

h→0

1 + 2h+ h2 − 1h

= limh→0

(2 + h) = 2

問 f(x) = x2 のとき f ′(a) を求めよ。

2014 年度「基礎数学」 − 25 −

< 微分係数の図形的な意味 >

関数 f(x)において，xが aから bまで変化するときの

平均変化率

f(b)− f(a)b− a

· · · (1)

は、曲線 y = f(x)上の 2点 A(a, f(a))，B(b, f(b))を結

ぶ直線 ABの傾きを表している。

ここで bを aに限りなく近づけると，点 Bは曲線上を移

動しながら，点 Aに限りなく近づく。

このとき，直線ABの傾き，すなわち (1)の値は f ′(a)に

限りなく近づくから，直線 ABは，点 Aを通り，傾きが

f ′(a)である直線ATに限りなく近づく。この直線ATを，

曲線 y = f(x)上の点 Aにおける曲線の接線といい，A

をこの接線の接点という。

曲線 y = f(x)上の点 A(a, f(a))における接線の傾きは関数 f(x)の x = aにお

ける微分係数 f ′(a)で表される。

例 f(x) = x2 のとき、前ページの結果よりf ′(a) = 2a

である。よって f ′(1) = 2, f ′(2) = 4だから

点 (1, 1)における接線の傾きは 2

点 (2, 4)における接線の傾きは 4

である。(右図参照)

問 f(x) = x2 のとき、f ′(3) , f ′(0) , f ′(−1)

f ′(−2) , f ′(−3)

の値を求め,右図の□内に

接線の傾きの値を入れよ。

2014 年度「基礎数学」− 26 −

< 接線の傾き >

曲線 y = f(x)上の点 (a, f(a))における接線の傾きは微分係数 f ′(a)で表される。

(a, f(a))における接線の傾き = f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)h

例 21ページの結果より

1⃝ limh→0

sinh

h= 1 , 2⃝ lim

h→0

cosh− 1h

= 0

が成り立つ。

(注) 1⃝ より f(x) = sinxのとき f ′(0) = limh→0

f(0 + h)− f(0)h

= limh→0

sinh− sin 0h

= limh→0

sinh

h= 1

であるから, y = sinxのグラフ上の点 (0, 0)における接線の傾きが f ′(0) = 1であることを意味する。

(図 1)

2⃝ より f(x) = cosxのとき f ′(0) = limh→0

f(0 + h)− f(0)h

= limh→0

cosh− cos 0h

= limh→0

cosh− 1h

= 0

であるから, y = cosxのグラフ上の点 (0, 1)における接線の傾きが f ′(0) = 0であることを意味する。

(図 2)

例題 曲線 y = sinx上の点(π3 , sin

π3

)における接線の傾きを求めよ。

解 f(x) = sinxとおくと, 点(π3 , sin

π3

)における接線の傾きは f ′(π3 )だから, 次の極限式で求められる。

f ′(π3 )= limh→0

f(π3 + h

)− f

(π3

)h

= limh→0

sin(π3 + h

)− sin

(π3

)h

= limh→0

sin π3 cosh+ cosπ3 sinh− sin

π3

h

= limh→0

(sin π3 )(cosh− 1) + (cosπ3 )(sinh)

h= lim

h→0

{(sin π3

)(cosh− 1)h

+

(sin π3

)(sinh)

h

}

= limh→0

{(sin

π

3

)×(cosh− 1

h

)+(cos

π

3

)× sinh

h

}=

(sin

π

3

)×(limh→0

cosh− 1h

)+(cos

π

3

)×(limh→0

sinh

h

)

=(sin

π

3

)× 0 +

(cos

π

3

)× 1 = cos π

3=

1

2

問 曲線 y = sinx上の点 (a, sin a)における接線の傾きを求めよ。

2014 年度「基礎数学」 − 27 −

< 導関数 1 >

関数 f (x)の定義域内の値 aに対して，関数 y = f (x)の x = aにおける微分係数

f ′ (a) = limh→0

f (a+ h)− f (a)h

を対応させる関数を，f (x)の導関数といい，f ′ (x)で表す。

導関数 f ′ (x)は次式で定義される。

f ′ (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)h

（導関数の定義）

例 1 f(x) = 1のとき

f ′ (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)h

= limh→0

1− 1h

= 0

例 2 f (x) = x3 のとき

f ′ (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)h

= limh→0

(x+ h)3 − x3

h= lim

h→0

x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3

h

= limh→0

3x2h+ 3xh2 + h3

h= lim

h→0

(3x2 + 3xh+ h2

)= 3x2

問 f (x)が次の各場合に，導関数の定義に従って (極限の計算で)導関数 f ′ (x)を求めよ。

(1) f (x) = 2

f ′ (x) =

(2) f (x) = x

f ′ (x) =

(3) f (x) = x2

f ′ (x) =

2014 年度「基礎数学」− 28 −

< 導関数 2 >(a+ b)n の展開公式の係数を右のように並べたものをパスカルの三角形という。

問 1 f (x)が次の場合に，導関数の定義 f ′ (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)h

にしたがって，

導関数 f ′ (x)を求めよ。

f (x) = x4

f ′ (x) =

問 2 自然数 nに対し f (x) = xn とする。2項定理

(a+ b)n =n∑

k=0

nCkan−kbk = nC0a

n + nC1an−1b+ · · ·+ nCnbn

を用いて f ′(x)を求めよ。

2014 年度「基礎数学」 − 29 −

< 導関数 3 >

例 f(x) =√xの導関数を定義に従って求める。

f ′ (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)h

= limh→0

√x+ h−

√x

h

= limh→0

(√x+ h−

√x)×

(√x+ h+

√x)

h×(√

x+ h+√x) = lim

h→0

(x+ h)− xh(√

x+ h+√x)

= limh→0

h

h(√

x+ h+√x) = lim

h→0

1√x+ h+

√x=

1

2√x

(注) 関数 f (x)からその関数 f ′ (x)を求めることを、f (x)を微分するという。

問 次の関数を、定義に従って微分せよ。

(1) f (x) =√x+ 1

(2) f (x) = sinx

(3) f (x) = cosx

2014 年度「基礎数学」− 30 −

< 導関数 4 >例 28ページで示したように f (x) = xn の導関数は f ′ (x) = nxn−1 である。これを

(∗) (xn)′ = nxn−1と略記する。

また 2つの微分可能な関数 f (x) , g (x)および定数 kに対して次の式が成立する。

1. {kf (x)}′ = kf ′ (x) (kは定数)

2. {f (x) + g (x)}′ = f ′ (x) + g′ (x)

3. {f (x)− g (x)}′ = f ′ (x)− g′ (x)

< 1の証明 >

{kf (x)}′ = limh→0

{kf (x+ h)} − {kf (x)}h

= limh→0

k × f (x+ h)− f (x)h

= k × limh→0

f (x+ h)− f (x)h

= k × f ′ (x)

< 2の証明 >

{f (x) + g (x)}′ = limh→0

{f (x+ h) + g (x+ h)} − {f (x) + g (x)}h

= limh→0

{f (x+ h)− f (x)

h+

g (x+ h)− g (x)h

}= lim

h→0

f (x+ h)− f (x)h

+ limh→0

g (x+ h)− g (x)h

= f ′ (x) + g′ (x)

問 1 公式 3を証明せよ。

例 y = 4x3 + 5y′ = {4x3 + 5}′ =

(4x3

)′+ (5)

′= 4×

(x3

)′+ 0 = 4× 3x2 = 12x2

(注) 定数を微分すると 0になる。

問 2 公式 (∗)と 1～3を用いて次の関数を微分せよ。

(1) y = x5 + 4 (2) y = 2x6 − 3x3

(3) y = (x− 1)2 (4) y = (x+ 1)(x2 − x)

2014 年度「基礎数学」 − 31 −

< 積の微分 1 >

f (x) , g (x)が共に微分可能であるとき,次の公式が成り立つ。

{f (x)× g (x)

}′= f ′ (x)× g (x) + f (x)× g′ (x) （積の微分）

{f (x)× g (x)}′ = limh→0

f (x+ h) g (x+ h)− f (x) g (x)h

= limh→0

f (x+ h) g (x+ h)− f (x) g (x+ h) + f (x) g (x+ h)− f (x) g (x)h

= limh→0

[{f (x+ h)− f (x)

h

}× g (x+ h) + f (x)×

{g (x+ h)− g (x)

h

}]

=

{limh→0

f (x+ h)− f (x)h

}×{limh→0

g (x+ h)

}+ f (x)×

{limh→0

g (x+ h)− g (x)h

}

= f ′ (x)× g (x) + f (x)× g′ (x) (証明終)

例 1 y = x3 sinx

y′ ={x3 sinx

}′=

(x3

)′ × sinx+ x3 × (sinx)′ = 3x2 sinx+ x3 cosx例 2 y = (x+ 1)2

y′ ={(x+ 1)2

}′={(x+ 1)(x+ 1)

}′= (x+ 1)′ × (x+ 1) + (x+ 1)× (x+ 1)′ = 2(x+ 1)

問 次の関数を微分せよ。

(1) y = (x− 1) sinx (2) y =(x2 + 1

)cosx

(3) y = sinx cosx (4) y = (x+ 1)4

2014 年度「基礎数学」− 32 −

< 積の微分 2 >

問 1 29ページ例の結果より(√

x)′

=1

2√xである。これと積の微分を用いて

次式を微分せよ。ただし kは定数とする。

(1) y = x√x

(2) y = k√x

問 2 積の微分公式(f(x)× g(x)

)′= f ′(x)× g(x) + f(x)× g′(x)を用いて，

定数倍の微分公式(k × f(x)

)′= k × f ′(x)を証明せよ。ここで kは定数とする。

問 3 f(x) , g(x) , h(x)がともに微分可能であるとき，3つの積の導関数を

f ′(x) , g′(x) , h′(x) , f(x) , g(x) , h(x)を用いて表せ。

(f(x)g(x)h(x)

)′=

2014 年度「基礎数学」 − 33 −

< 商の微分 >

微分可能な 2つの関数 f(x) , g(x)の商の導関数について,次の公式が成り立つ。

1.

{1

g(x)

}′= − g

′(x)

{g(x)}2

2.

{f(x)g(x)

}′= f

′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2

{f(x)

g(x)

}′= lim

h→0

f(x+h)g(x+h) −

f(x)g(x)

h= lim

h→0

f(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)g(x+h)g(x)

h= lim

h→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x+ h)hg(x+ h)g(x)

= limh→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x) + f(x)g(x)− f(x)g(x+ h)hg(x+ h)g(x)

= limh→0

{f(x+ h)− f(x)}g(x)− f(x){g(x+ h)− g(x)}hg(x+ h)g(x)

= limh→0

{f(x+h)−f(x)}g(x)h −

f(x){g(x+h)−g(x)}h

g(x+ h)g(x)= lim

h→0

(f(x+h)−f(x)

h

)g(x)− f(x)

(g(x+h)−g(x)

h

)g(x+ h)g(x)

=

limh→0

(f(x+ h)− f(x)

h

)× g(x)− f(x)× lim

h→0

(g(x+ h)− g(x)

h

)limh→0

g(x+ h)g(x)=

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x){g(x)}2

(証明終)

問 1 公式 2を用いて公式 1を証明せよ。

例 (1) y =1

x3, y′ = − (x

3)′

(x3)2= −3x

2

x6= − 3

x4

(2)

(x2

x− 1

)′=

(x2)′ × (x− 1)− x2 × (x− 1)′

(x− 1)2=

2x(x− 1)− x2 × 1(x− 1)2

=x2 − 2x(x− 1)2

問 2 次の関数を微分せよ。

(1) y =1

x(2) y =

1

x2

(3) y =x3

x+ 1(4) y =

x

sinx

2014 年度「基礎数学」− 34 −

< 三角関数の微分 >

次が成り立つ.

1. (sinx)′ = cosx 2. (cosx)′ = − sinx

3. (tanx)′ =1

cos2 x

問 1 1と 2の結果と商の微分公式を用いて，3を証明せよ。

問 2 次の関数を微分せよ.

(1) y = 3 sinx+ 4 cosx (2) y = −3 cosx+ 5 tanx

(3) y = (x+ sinx) cosx (4) y = sin2 x

(5) y = cos2 x (6) y = x tanx

(7) y =sinx

x(8) y =

cosx

x

問 3 次の導関数を計算し，結果を sinxまたは cosxを用いてあらわせ。

(1) y = cosecx =1

sinx

(2) y = secx =1

cosx

(3) y = cotx =1

tanx

2014 年度「基礎数学」 − 35 −

< 微分の練習 1 >

問 1 次の関数を導関数の定義に従って微分せよ。

(1) f (x) = 4

(2) f (x) = x3

(3) f (x) =√3x

(4) f (x) = 2 sinx

(5) f (x) = 3 cosx

問 2 次の関数を微分せよ。

(1) y = 4x3 − 6x5 − 18 (2) y = 3x5 − 7x4 + 6x+ 10

(3) y = 5 sinx+ 6 cosx (4) y = 3 sinx− 4 tanx

(5) y = x2 sinx (6) y = x3 cosx

(7) y = sinx tanx (8) y =x

x+ 1

(9) y = x4 tanx (10) y =sinx

1 + cosx

2014 年度「基礎数学」− 36 −

< 微分記号 >

関数 y = f(x)の導関数の定義は

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)h

である。導関数を

y′ = f ′(x) =dy

dx=

df

dx=

d

dxf(x)

等の記号で表す (全て同じ意味である)。dy

dx，

df

dx等の記号は，変数が xである関数の

導関数 (xについての微分)であることを明記するためにある。変数が x以外の文字で

も同様である。例えば変数 uの関数 y = f(u)の導関数を

y′ = f ′(u) = limh→0

f(u+ h)− f(u)h

=dy

du=

df

du=

d

duf(u)

等の記号で表す。

例 1

y = x5 − 3x2 のとき dydx

= 5x4 − 6x

s = u5 − 3u2 のとき dsdu

= 5u4 − 6u

k = t5 − 3t2 のとき dkdt

= 5t4 − 6t

例 2 ddx

sinx = cosx

d

dusinu = cosu

d

dtsin t = cos t

問 1 次の関数の導関数を求めよ。

(1) y = x3 − 4x2 + 5 dydx

= (2) y = cosudy

du=

(3) ℓ = 3t2 − 2t dℓdt

= (4) S = πr2dS

dr=

(5) V =4

3πr3

dV

dr=

問 2 次の導関数を求めよ。

(1)d

dxx5 (2)

d

dt(t7 − 5t4)

(3)d

du

√u (4)

d

dtcos t

(5)d

dutanu (6)

d

dusinu cosu

2014 年度「基礎数学」 − 37 −

< 微分と極限 1 >

関数 f(x)の導関数の極限による定義式は

f ′(x) =d

dxf(x) = lim

h→0

f(x+ h)− f(x)h

である。変数が xでなく，他の文字でも同様である。

f ′(t) =d

dtf(t) = lim

h→0

f(t+ h)− f(t)h

f ′(u) =d

duf(u) = lim

h→0

f(u+ h)− f(u)h

例

limh→0

(x+ h)3 − x3

h=

d

dx(x3) = 3x2

limh→0

(t+ h)4 − t4

h=

d

dt(t4) = 4t3

limh→0

sin(u+ h)− sinuh

=d

du(sinu) = cosu

問 次の極限値を微分の公式を使って求めよ。

(1) limh→0

(x+ h)5 − x5

h

(2) limh→0

sin(t+ h)− sin th

(3) limh→0

cos(u+ h)− cosuh

(4) limh→0

tan(r + h)− tan rh

2014 年度「基礎数学」− 38 −

< 微分と極限 2 >

関数 f(x)の導関数の極限による定義式は次式で与えられる。

d

dxf(x) = lim

h→0

f(x+ h)− f(x)h

= limℓ→0

f(x+ ℓ)− f(x)ℓ

ここで，0へ収束する変数は hだけでなく ℓでも良いし，他の文字を使っても良い。

例

(1) limℓ→0

sin(x+ ℓ)− sinxℓ

=d

dx(sinx) = cosx

(2) limh→0

cos(t+ h)− cos th

=d

dt(cos t) = − sin t

(3) limr→0

tan(u+ r)− tanur

=d

du(tanu) =

1

cos2 u

問 次の極限値を微分の公式を使って求めよ。

(1) limℓ→0

cos(x+ ℓ)− cosxℓ

(2) limh→0

sin(u+ h)− sinuh

(3) limr→0

(u+ r)4 − u4

r

(4) limv→0

(t+ v)6 − t6

v

(5) limℓ→0

tan(t+ ℓ)− tan tℓ

2014 年度「基礎数学」 − 39 −

< 合成関数 >

2つの関数 f(x) , g(x)について，関数 f(g(x))や関数 g(f(x))を考えることが

できる。これらの関数を f(x)と g(x)の合成関数という。

例 1 f(x) = x3 , g(x) = sinxのとき

g(f(x)) = g(x3) = sin(x3)

f(g(x)) = f(sinx) = (sinx)3 = sin3 x

注) sin(x3) ̸= sin3 x である。一般に f(g(x))と g(f(x))は一致しない。

問 1 関数 f(x)と g(x)が以下の場合に，合成関数 g(f(x))と f(g(x))を求めよ。

(1) f(x) = x2 + 1 , g(x) = 3x , g(f(x)) = , f(g(x)) =

(2) f(x) = tanx , g(x) = x+ 2 , g(f(x)) = , f(g(x)) =

(3) f(x) =√x , g(x) = x2 − 1 , g(f(x)) = , f(g(x)) =

(4) f(x) = x2 + 2 , g(x) = log2 x , g(f(x)) = , f(g(x)) =

例 2 複雑な式の関数を簡単な関数の合成関数として表すことができる。

例えば

y = log10(x2 + 3x)

は

f(x) = x2 + 3x , g(x) = log10 x

とおくと

y = log10(f(x)) = g(f(x))

問 2 以下の関数を f(g(x))の形にしたい。関数 f(x)と g(x)の式を求めよ。

(1) y = (x2 − x+ 2)7 , f(x) = , g(x) =

(2) y = cos(2x+ 3) , f(x) = , g(x) =

(3) y =√1− x2 , f(x) = , g(x) =

2014 年度「基礎数学」− 40 −

< 合成関数の微分 1 >

2つの関数 f(x)と g(x)の合成関数 f(g(x))の導関数は u = g(x)とおくと

d

dxf(g(x)) =

{d

duf(u)

}×

{d

dxg(x)

}

で計算される。

u = g(x) , g(x+ h)− g(x) = ℓ とおくと g(x+ h) = g(x) + ℓ = u+ ℓでありh → 0のとき ℓ → 0より

d

dxf(g(x)) = lim

h→0

f(g(x+ h))− f(g(x))h

= limh→0

f(u+ ℓ)− f(u)ℓ

× ℓh= lim

h→0ℓ→0

f(u+ ℓ)− f(u)ℓ

× g(x+ h)− g(x)h

= limℓ→0

f(u+ ℓ)− f(u)ℓ

× limh→0

g(x+ h)− g(x)h

=

{d

duf(u)

}×{

d

dxg(x)

}(証明の概略終)

(注) 厳密な証明は p.51を参照。

例 sin(x3)の導関数を求めたい。u = x3 とおくと

d

dxsin(x3) =

{d

dusinu

}×{

d

dxx3

}= cos(u)× 3x2 = 3x2 cos(x3)

問 次を求めよ。

(1)d

dxcos(x4)

(2)d

dxtan(x5)

2014 年度「基礎数学」 − 41 −

< 合成関数の微分 2 >

d

dxf(g(x)) =

{d

duf(u)

}×{

d

dxg(x)

} (ただし u = g(x)

)

例 1 sin(4x+ 3)の導関数を求めたい。u = 4x+ 3とおくと

d

dxsin(4x+ 3) =

{d

dusinu

}×{

d

dx(4x+ 3)

}= cos(u)× 4

= 4 cosu = 4 cos(4x+ 3)

例 2 cos(x2 + x3)の導関数を求めたい。u = x2 + x3 とおくと

d

dxcos(x2 + x3) =

{d

ducosu

}×

{d

dx(x2 + x3)

}= − sin(u)× (2x+ 3x2)

= −(2x+ 3x2) sinu = −(2x+ 3x2) sin(x2 + x3)

問 次を求めよ。

(1)d

dxsin(5x)

(2)d

dxcos(7x)

(3)d

dxsin(4x− 5)

(4)d

dxcos(2x+ 3)

(5)d

dxtan(8x− 7)

(6)d

dxsin(x3 + 2x4)

2014 年度「基礎数学」− 42 −

< 合成関数の微分 3 >

合成関数 f(g(x))の微分公式

(∗) ddx

f(g(x)) =

{d

duf(u)

}×{

d

dxg(x)

}(ただし u = g(x))

は y = f(g(x)), u = g(x)とおくと y = f(u) より

d

dxf(g(x)) =

dy

dx,

d

duf(u) =

dy

du,

d

dxg(x) =

du

dx

と書ける。従って，公式 (∗)は

(∗)′ dydx

=dy

du× du

dx

と書きなおせる。この (∗)′ 式の方がおぼえやすい。

例 y = (x3 + 5x2)7 の導関数dy

dxを求めたい。u = x3 + 5x2 とおくと，y = u7 より

dy

dx=

dy

du× du

dx=

{d

duy

}×{

d

dxu

}=

{d

du(u7)

}×

{d

dx(x3 + 5x2)

}= (7u6)× (3x2 + 10x)

= 7(3x2 + 10x)u6 = 7(3x2 + 10x)(x3 + 5x2)6

問 次の関数を微分せよ。

(1) y = (3x+ 4)5dy

dx=

(2) y = (4x− 5)10 dydx

=

(3) y = (x2 + 3x)6dy

dx=

(4) y = cos(x2 − 3x) dydx

=

2014 年度「基礎数学」 − 43 −

< 微分の練習 2 >

問 1 次の導関数を求めよ。ただし nは自然数である。

(1)d

dx(4x5 − 7x9 + 12) (2) d

dt(4t2 − 8t+ 5)

(3)d

du(sinu) (4)

d

du(cosu)

(5)d

du(tanu) (6)

d

du(un)

問 2 次の導関数を求めよ。

(1) y = sin(x2) (2) y = cos(x3)

(3) y = tan(x4) (4) y = sin(2x− 3)

(5) y = cos(3x+ 5) (6) y = tan(7x+ 6)

(7) y = sin(x2 + 2x) (8) y = (3x+ 4)6

(9) y = (4x− 3)7 (10) y = (5x+ 8)10

(11) y = (x2 − 3x)5 (12) y = (1 + sinx)8

(13) y = (2 + cosx)9

問 3 次の関数を微分せよ。

(1) y = x2 sin(4x) (2) y = x3 cos(5x) (3) y = sin(2x) cos(3x)

問 4 3つの関数 f(x) , g(x) , h(x)に対し，次式の導関数を求めよ。

(1) f(x) {g(x)− h(x)} (2) f(g(h(x)

))(3)

f(x)h(x)

g(x)

2014 年度「基礎数学」− 44 −

< 付録 1.式と計算 >

分数式の計算

任意の数 x, y と 0でない数 a, b, c に対し，次が成

立する。

　x

a× y = xy

a,

x

a÷ b = x

ab,

x

a=

xb

ab

x

a+

y

b=

bx+ ay

ab,

x

cb

a

=

ax

cb

=ax

bc

指数の計算

　m, n を正の整数とすると

am × an = am+n, (am)n = am·n

(ab)n

= an · bn

展開 ↔ 因数分解(a+ b)

2= a2 + 2ab+ b2

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

(a+ b)(a− b) = a2 − b2

(x+ α)(y + β) = x2 + (α+ β)x+ αβ

(ax+ b)(cy + d) = acx2 + (ad+ bc)x+ bd

(a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3

(a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3

(a+ b)3= a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

(a+ b+ c)2= a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2bc+ 2ca

実数の分類

絶対値

実数 aを数直線上の点と考えたとき，数直線上で aと

0(ゼロ)との距離を |a|と書き，aの絶対値という。

a > 0のとき |a| = a, a < 0のとき |a| = −a, |0| = 0

平方根

正数 aに対し，x2 = aとなる正数 xを aの正の平方

根といい，x =√aと書く。また

√0 = 0と定める。

−√aを aの負の平方根という。

　 a ≧ 0のとき√a2 = a

　 a < 0のとき√a2 = −a

より√a2 = |a|である。

a > 0, b > 0, c > 0のとき

　√a√b =

√ab, 　

√a√b=

√a

b,√c2a = c

√a√

a+ b+ 2√ab =

√a+

√b

a ≧ bのとき√

a+ b− 2√ab =

√a−

√bである.

恒等式

f(x) = g(x)が恒等式であるとは，すべての実数 xに

ついて等式 f(x) = g(x)が成立することである。

　 ax2 + bx+ c = αx2 + βx+ γ

が恒等式であれば a = α, b = β, c = γ である。

方程式

方程式 f(x) = 0の解を求めるとは等式 f(x) = 0を

満たす数 xを求めることである。

2次方程式の解法

(1)　たすきがけによる因数分解

　acx2 + (ad+ bc)x+ bd = 0

(ax+ b)(cx+ d) = 0 ⇒ x = − ba, −d

c

(2)　解の公式

　 ax2 + bx+ c = 0 ⇒ x = −b±√b2 − 4ac2a

因数定理　 xの多項式 f(x)について

　 f(a) = 0 ⇒ f(x)は x− aで割り切れる。

　すなわち f(x) = (x− a)× g(x)と書ける。

2014 年度「基礎数学」 − 45 −

< 付録 2.関数と不等式 >

定義域と値域　関数 y = f(x)において　定義域…変数 xのとる値の範囲

　値　域…定義域の xの値に対応して yがとる　　　

　　　　　値の範囲

１次関数 y = ax+ bのグラフ　傾きが aで y軸上の切片が bの直線

　 a > 0ならば右上がり，a < 0ならば右下がり

２次関数のグラフ(1) y = a(x− p)2 + qのグラフ　 y = ax2 のグラフを

　　 x軸方向に p,

　　 y軸方向に q

　だけ平行移動した放物線

　　 頂点は点 (p, q)

　　 軸は直線 x = p

(2) y = ax2 + bx+ cのグラフ

　 y = a(x+

b

2a

)2− b

2 − 4ac4a

と変形できる

　　頂点は(− b2a

, −b2 − 4ac4a

)　　軸は x = − b

2a

平行移動　 x軸方向に p, y軸方向に qの平行移動で

　　点 (a, b) −→ (a+ p, b+ q)　　グラフ y = f(x) −→ y = f(x− p) + q

2次関数のグラフと x軸の位置関係　 2次関数 y = ax2 + bx+ cの係数について

　D = b2 − 4acとすると　D > 0 ⇐⇒ 異なる 2点で交わる　D = 0 ⇐⇒ 1点で接する　D < 0 ⇐⇒ 共有点を持たない不等式の性質　 (1) a < bならば

　　　 a+ c < b+ c, a− c < b− c　 (2) a < bならば

　　　 c > 0のとき　 ac < bc,a

c<

b

c

　　　 c < 0のとき　 ac > bc,a

c>

b

c　（注) 上記の性質は等号付の不等号 ≦,≧でも同様　　　　に成り立つ。

1次不等式の解き方不等式を ax > b, ax ≦ b等の形にし，aで割る。

2次不等式の解 (a > 0の場合)

D = b2 − 4ac D > 0 D = 0 D < 0

y = ax2+ bx+ cのグラフと

x軸の位置関係

ax2 + bx+ c = 0の解 x = α, β x = α ない

ax2 + bx+ c > 0の解 x < α, β < x α以外のすべての実数 すべての実数

ax2 + bx+ c ≧ 0の解 x ≦ α , β ≦ x すべての実数 すべての実数ax2 + bx+ c < 0の解 α < x < β ない ない

ax2 + bx+ c ≦ 0の解 α ≦ x ≦ β x = α ない

(注意) a < 0の場合は，不等式の両辺に −1をかけて 2次の係数を正にして解けばよい。

2014 年度「基礎数学」− 46 −

< 付録 3.指数・対数 >

累乗根　自然数 nと正数 aに対して xn = aとなる正数

xを aの n乗根といい，x = n√aと書く。

a > 0, b > 0, c > 0と自然数 n,m, pに対し，次

式が成り立つ。n√an = a, n

√a n√b = n

√ab,

n√a

n√b= n

√a

b

( n√a)m = n

√am,

m

√n√a = nm

√a,

n√am = np

√amp

有理数指数

　 a > 0,m, n :自然数　 r :正の有理数

　 a1n = n

√a, a

mn = ( n

√a)m = n

√am, a−r =

1

ar

指数法則 a > 0, b > 0, r, sは有理数

　 ar × as = ar+s, (ar)s = ars, (ab)r = arbr

　ar

as= ar−s,

(ab

)r=

ar

br

対数の定義

　a > 0, a ̸= 1 と M > 0 に対して ap = M を満たす実数 pを aを底とするM の対数といい，

p = loga M と書く。すなわち

ap = M ⇐⇒ p = loga M

対数の性質

　a > 0, a ̸= 1,M > 0, N > 0, k :実数

loga a = 1, loga 1 = 0, loga1

a= −1

loga(MN) = loga M + loga N

logaM

N= loga M − loga N

loga Mk = k · loga M

底の変換公式

　 a > 0, b > 0, c > 0, a ̸= 1, b ̸= 1, c ̸= 1

　 loga b =logc b

logc a, loga b =

1

logb a

指数関数 y = axの性質 (a > 0, a ̸= 1)

　(1) 定義域は実数全体，値域は正の数全体

(2) a > 1のとき xが増加すると yも増加

　　　 p < q → ap < aq

　 0 < a < 1のとき xが増加すると yは減少

　　　 p < q → ap > aq

軸が漸近線

対数関数 y = loga xの性質 (a > 0, a ̸= 1)

　(1) 定義域は正の数全体，値域は実数全体

(2) a > 1のとき xが増加すると yも増加

　 0 < p < g → loga p < loga q0 < a < 1のとき xが増加すると yは減少

　 0 < p < g → loga p > loga q

軸が漸近線

2014 年度「基礎数学」 − 47 −

< 付録 4.三角関数 >

弧度法　半径 1 の円の弧の長さ l で

中心角 θ の大きさを表す。

360◦ = 2π, 180◦ = π

一般角　 OX を固定した線とし，点 O を中心に

　 OP が回転する。反時計回りをプラス方向，

　時計回りをマイナス方向として，OX に対する

　 OP の回転の大きさと向きを表す角を一般角という。

三角関数の定義　原点を中心とする半径 1 の円

の周上を点 P が点 A(1, 0) から

出発して反時計回りに ∠AOP= θの位置まで動いたとき，

点 P の座標が (X,Y ) であれば

　cos θ = X, sin θ = Y , tan θ =Y

X

と定める。ただし X = 0(θ = ±

π

2, ±

3π

2, · · ·

)の場合，tan θ は定義できない。

例

三角関数のグラフ 縦軸に三角関数の値，横軸に角度(弧度法 180◦ = π = 3.14 · · · ) としたグラフでは，x 軸と交わるときの接線の傾きが 1 または −1 となる。

三角関数の定義域と値域　 y = cosx の定義域は実数全体，値域は −1 ≦ y ≦ 1　 y = sinx の定義域は実数全体，値域は −1 ≦ y ≦ 1　 y = tanx の定義域は x ̸=

π

2± nπ (n = 0, 1, 2, · · · )

　　　　　　 値域は実数全体

三角関数の相互関係

　 tan θ =sin θ

cos θ, 1 + tan2 θ =

1

cos2 θ

　 cos2 θ + sin2 θ = 1

三角関数の性質　 n は整数とする。　 cos(θ + 2nπ) = cos θ cos(−θ) = cos θ　 sin(θ + 2nπ) = sin θ sin(−θ) = − sin θ　 tan(θ + nπ) = tan θ tan(−θ) = − tan θ

　 sin(π2± θ)= cos θ sin(π ± θ) = ∓ sin θ

　 cos(π2± θ)= ∓ sin θ cos(π ± θ) = − cos θ

　 tan(π2∓ θ)= ∓

1

tan θtan(π ± θ) = ± tan θ

(復号同順)

加法定理　 sin(α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ　 cos(α± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ

　 tan(α± β) =tanα± tanβ1∓ tanα tanβ

(復号同順)

倍角・半角

　 sin 2α = 2 sinα cosα, tan 2α =2 tanα

1− tan2 α

　 cos 2α = cos2 α− sin2 α = 2 cos2 α− 1 = 1− 2 sin2 α

　 sin2α

2=

1

2(1− cosα), cos2

α

2=

1

2(1 + cosα)

　 tan2α

2=

1− cosα1 + cosα

2014 年度「基礎数学」− 48 −

< 付録 5. 極限 >

定理 次の (1), (2)は同値である。

(1) limx→a

f(x) = A

(2) limx→ax>a

f(x) = A かつ limx→axa

f(x) = A」は「xが aより大きい値をとりながら Aに限りなく近づくとき,

f(x)は Aに限りなく近づく」ことを意味する。「 limx→ax a」かまたは

「x < a」より (1)と (2)は同値になる。厳密な証明は極限の ε− δ

方式による定義が必要となる。

例 1 P.20から 0 < θ <π

2のとき cos θ <

sin θ

θ< 1だから

1 = limθ→0θ>0

cos θ ≦ limθ→0θ>0

sin θ

θ≦ 1より lim

θ→0θ>0

sin θ

θ= 1 · · · 1⃝

一方 −π2< θ < 0のとき, −θ = φとおくと

limθ→0θ0

sin(−φ)−φ

= limφ→0φ>0

sinφ

φ= 1より lim

θ→0θ0

|x|x

= limx→0x>0

x

x= 1 , lim

x→0x

2014 年度「基礎数学」 − 49 −

< 付録 6. 連続関数 >

x1 < x2 のとき，不等式

x1 ≦ x ≦ x2 , x1 < x < x2 , x1 < x , x ≦ x2

などを満たす実数 xの集合を区間といい，

[x1, x2] , (x1, x2) , (x1, +∞) , (−∞, x2]

などで表す。[x1, x2] = {x：x1 ≦ x ≦ x2}を閉区間，(x1, x2) = {x：x1 < x < x2}を開区間という。

x = a を含む区間で定義された関数 f(x) に対し,

極限 limx→a

f(x) が存在して,等式

limx→a

f(x) = f(a)

が成立するとき,「 f(x) は x = a で連続である」という。

例

例 (1)は x = a で連続である。 例 (2), (3)は x = a で連続ではない。 その理由として,

(2)は極限 limx→a

f(x) は存在するが f(x) と一致しない。 (3)は左極限 limx→a−0

f(x) と

右極限 limx→a+0

f(x) の値が異なるので,極限 limx→a

f(x) が存在しない。

関数 f(x) が x = a で連続であるということは,幾何学的にはグラフ{ (x, f(x)

): x ∈ D

}( D は f(x) の定義域)が点 (a, f(a)) でつながっていることを意味する。

閉区間 [a, b] で定義された関数 f(x) が, [a, b] の任意の点 x で連続

であるとき,「 f(x) は [a, b] で連続である」という。定義域内の全ての点 x

で連続である関数を単に連続関数という。次の性質が成立する。

＜ 1. (中間値の定理)＞

f(x) を [a, b] で連続とする。 [a, b] 内の任意の 2点 x1, x2 において, f(x) のとる値 f(x1), f(x2)

に対し,この中間の任意の値 λ をとれば, f(x) = λ となる x が x1, x2 の間に少なくとも 1つ存在

する。

＜ 2. (最大値の定理)＞

f(x) を [a, b] で連続とする。このとき { f(x) : a ≦ x ≦ b }には最大値と最小値が共に存在する。

2014 年度「基礎数学」− 50 −

< 付録 7. 微分可能性 >

定義 x = aを含む開区間で定義された関数 f(x)に対し，極限

limh→0

f(a+ h)− f(a)h

が存在するとき，「f(x)は x = aで微分可能である」という。また,その極限値を f ′(a)で表わす。

定理 関数 f(x)が x = aで微分可能であれば，x = aで連続である。

(証明) limh→0

f(a+ h)− f(a)h

= limx→a

f(x)− f(a)x− a

= A とおくと

limx→a

{f(x)− f(a)} = limx→a

(f(x)− f(a)

x− a

)× (x− a) = A× 0 = 0 より

limx→a

f(x) = f(a) だから x = aで連続である。 (証明終)

例 f(x) = |x|は x = 0で連続である。しかし x = 0で微分可能ではない。なぜならば

limh→0h>0

f(0 + h)− h(0)h

= limh→0h>0

|h|h

= limh→0h>0

h

h= 1 · · · 1⃝

limh→0h

2014 年度「基礎数学」 − 51 −

< 付録 8. 合成関数の微分 >

定理 関数 g(x)が x = aで微分可能であり, 関数 f(x)が x = g(a)で微分可能であれば ,

合成関数 r(x) = f(g(x)

)は x = aで微分可能であり, r′(a) = f ′

(g(a)

)× g′(a) が成り立つ

(証明) g(x)は x = aで微分可能であるから

g(a+ h) = g(a) +A1h+ ε1(h)h ,

(limh→0

ε1(h) = 0

)

をみたす定数 A1 と関数 ε1(h)が存在する。b = g(a)とおくと ,

f(x)は x = bで微分可能だから ,

f(b+ k) = f(b) +A2k + ε2(k)k ,

(limk→0

ε2(k) = 0

)

をみたす定数 A2 と関数 ε2(k)が存在する。今 h > 0に対して

k =(A1 + ε1(h)

)hとおくと

r(a+ h) = f(g(a+ h)

)= f

(g(a) +

(A1 + ε1(h)

)h)= f(b+ k)

= f(b) +A2k + ε2(k)k

= r(a) +A2(A1 + ε1(h)

)h+ ε2

((A1 + ε1(h)

)h)(

A1 + ε1(h))h

と表される。ここで

ε(h) = ε1(h) + ε2((A1 + ε1(h)

)h)(A1 + ε1(h)

)とおくと lim

h→0ε(h) = 0となる。また ,

r(a+ h) = r(a) +A2A1h+ ε(h)h

と表される。よって r(x) = f(g(x)

)は x = aで微分可能であり

r′(a) = A2A1 = f′(b)× g′(a) = f ′

(g(a)

)× g′(a)

と表される。 (証明終)

2014 年度「基礎数学」− 52 −

< 付録 9. 平均値の定理 >

関数 f(x) が閉区間 [x1, x2] で連続であるとは，[x1, x2] 内の任意の数 x0 (x1 ≦ x0 ≦ x2) で f(x)が連続であることをいう。また f(x)が開区間 (x1, x2)で微分可能であるとは，(x1, x2)内の任意の数

x0 (x1 < x0 < x2)で微分可能であることをいう。

� �f(x)は [a, b]で連続，(a, b)で微分可能とする。f(a) = f(b)ならば

f ′(c) = 0となる cが (a, b)内に少なくとも 1つ存在する。� �(証明) f(x)が定数のときは f ′(x) = 0より明らか。f(x)が定数でない場合，f(x)の [a, b]で

の最大値・最小値のうちで少なくとも 1つは両端の値と異なる。例えば最大値が f(a)

より大とする。最大値をとる xの 1つを cとする。a < c < bである。x = cでの左右

の微分係数は

1⃝ f ′(c− 0) = limk→0k>0

f(c− k)− f(c)−k

, 2⃝ f ′(c+ 0) = limk→0k>0

f(c+ k)− f(c)k

であり，f(c)が最大値であるから f ′(c− 0) ≧ 0, f ′(c+ 0) ≦ 0となる。

x = cで微分可能であるから f ′(c − 0) = f ′(c + 0)となるので f ′(c) = 0である。f(c)が最小値の場合も同様である。 (証明終)

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Èü

(証明) F (x) = f(x)− f(a)− f(b)− f(a)g(b)− g(a)

(g(x)− g(a))とおくと F (a) = F (b) = 0 である。

Rolleの定理より F ′(c) = 0となる c (a < c < b)が少なくとも 1つ存在する。

0 = F ′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)g(b)− g(a)

g′(c) であり g′(c) ̸= 0より

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(c)

g′(c)が得られる。 (証明終)