kobayashi 20140409
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第30回数理助教の会(2014年4月10日,担当:小林)TRANSCRIPT
小林 佑輔
円板形領域損傷モデルにおける 最大流最小カット定理と高速アルゴリズム
joint work with 大槻 兼資
東京大学 情報理工学系研究科
助教の会, 2014年 4月9日
(東大 情報理工 M2,ERATO 理論グループRA)
辺連結度 ~信頼性の指標~
グラフが k 辺連結 どの k-1 辺を取り除いても連結
def
2辺連結 だが
3辺連結でない
ネットワークの信頼性の指標
グラフの基本的な特徴量
辺連結度 ~信頼性の指標~
ネットワークの信頼性の指標
グラフの基本的な特徴量 最大 s-t 辺素パス = 最小 s-t 辺カット
高速なアルゴリズム
s t
[Menger 1927]
[Ford-Fulkerson 1956] 以来 多数の研究
グラフが k 辺連結 どの k-1 辺を取り除いても連結
def
s と t が
s と t が
2辺連結 だが
3辺連結でない
円板形領域損傷モデル Neumayer-Efrat-Modiano (INFOCOM 2012)
辺連結度: リンクの故障に対する信頼性 点連結度: ノードの故障に対する信頼性
地理的な情報を考慮
円板形領域損傷モデル: 円板 中の辺・頂点がすべて損傷
地震や電磁パルス攻撃による影響
集積回路の物理的損傷
通信ネットワークの電波干渉回避
円板形領域損傷モデルにおける 「最大流・最小カット問題」
研究対象
円板形領域損傷モデル
円板最小カット問題 (Min-Cut)
入力: 平面グラフ G=(V, E)
s, t ∈ V , 長さ rb, rp
出力: s と t を分離する 最小個数の円板
s t
rp
rb
中心は の外側
円板最大流問題 (Max-Flow)
出力: 最大本数の s-t パス s.t. どの2本のパスも同じ円板 で損傷しない
【参考】 通常の最大流・最小カット
円板最小カット問題 (Min-Cut)
入力: 平面グラフ G=(V, E)
s, t ∈ V , 長さ rb, rp
出力: s と t を分離する 最小個数の 辺
s t
円板最大流問題 (Max-Flow)
出力: 最大本数の s-t パス s.t. どの2本のパスも同じ 辺 を通らない
円板形領域損傷モデル
円板最小カット問題 (Min-Cut)
入力: 平面グラフ G=(V, E)
s, t ∈ V , 長さ rb, rp
出力: s と t を分離する 最小個数の円板
s t
rp
rb
中心は の外側
円板最大流問題 (Max-Flow)
出力: 最大本数の s-t パス s.t. どの2本のパスも同じ円板 で損傷しない
本研究の成果
最大最小定理
Max-Flow = min 𝑙(𝐶)
𝑤(𝐶) C : 閉曲線
アルゴリズム
Max-Flow + 1 ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow
Max-Flow と Min-Cut を求める高速アルゴリズム
cf. 辺素パスなら Max-Flow = Min-Cut
初の多項式アルゴリズム Neumayer et al. (2012) より高速
計算機実験
頂点数1万程度のグラフで Max-Flow, Min-Cut を高速に計算
本研究の成果
最大最小定理
Max-Flow = min 𝑙(𝐶)
𝑤(𝐶) C : 閉曲線
アルゴリズム
Max-Flow + 1 ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow
Max-Flow と Min-Cut を求める高速アルゴリズム
cf. 辺素パスなら Max-Flow = Min-Cut
初の多項式アルゴリズム Neumayer et al. (2012) より高速
計算機実験
頂点数1万程度のグラフで Max-Flow, Min-Cut を高速に計算
計算機実験 1000 頂点 (ランダム)
: 半径7 , : 半径30
計算環境 Core i7, 2.8 GHz メモリ 8GB
Max-Flow, Min-cut を 1 秒程度で計算
本研究の成果
最大最小定理
Max-Flow = min 𝑙(𝐶)
𝑤(𝐶) C : 閉曲線
アルゴリズム
Max-Flow + 1 ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow
Max-Flow と Min-Cut を求める高速アルゴリズム
cf. 辺素パスなら Max-Flow = Min-Cut
初の多項式アルゴリズム Neumayer et al. (2012) より高速
計算機実験
頂点数1万程度のグラフで Max-Flow, Min-Cut を高速に計算
Max-Flow アルゴリズム
s と t が同一平面上にある場合 (+ 付加条件)
s t
「上」 から順に 貪欲に パスを選べば良い
同じ で損傷しない中で一番「上」
出力: 最大本数の s-t パス s.t. どの2本のパスも同じ円板 で損傷しない
Max-Flow アルゴリズム
s と t が同一平面上にある場合 (+ 付加条件)
一般の場合
「上」 から順に 貪欲に パスを選べば良い
同じ で損傷しない中で一番「上」
s t
貪欲に パスを選ぶことを繰り返す
Max-Flow アルゴリズム
s と t が同一平面上にある場合 (+ 付加条件)
一般の場合
「上」 から順に 貪欲に パスを選べば良い
同じ で損傷しない中で一番「上」
s t
貪欲に パスを選ぶことを繰り返す
十分な回数繰り返せば Max-Flow
本研究の成果
最大最小定理
Max-Flow = min 𝑙(𝐶)
𝑤(𝐶) C : 閉曲線
アルゴリズム
Max-Flow + 1 ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow
Max-Flow と Min-Cut を求める高速アルゴリズム
cf. 辺素パスなら Max-Flow = Min-Cut
初の多項式アルゴリズム Neumayer et al. (2012) より高速
計算機実験
頂点数1万程度のグラフで Max-Flow, Min-Cut を高速に計算
最大最小定理 (円板形領域損傷モデル)
t s
Max-Flow = 1 Min-Cut = 2
Neumayer et al. (2012) の例
最大最小定理
Max-Flow = min 𝑙(𝐶)
𝑤(𝐶) C : 閉曲線
Max-Flow + 1 ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow
cf. 辺素パスなら Max-Flow = Min-Cut
証明は [McDiarmid, Reed, Schrijver, Shepherd, 1994] のアイディアを利用
最大最小定理 (≤ の証明)
t s
Max-Flow = 1 Min-Cut = 2
最大最小定理
Max-Flow = min 𝑙(𝐶)
𝑤(𝐶) C : 閉曲線
s t
Max-Flow = 1 Min-Cut = 2
C
w(C) : 回転数 C が s と t を分離する回数
l(C) : 長さ
同じ面
最大最小定理 (≤ の証明)
最大最小定理
Max-Flow = min 𝑙(𝐶)
𝑤(𝐶) C : 閉曲線
s t
Max-Flow = 1 Min-Cut = 2
C
w(C) : 回転数 C が s と t を分離する回数
l(C) : 長さ
同じ面
最大最小定理 (≤ の証明)
最大最小定理
Max-Flow = min 𝑙(𝐶)
𝑤(𝐶) C : 閉曲線
w(C) ・ Max-Flow ≤ l(C)
2 3
Max-Flow ≤ 𝑙(𝐶)𝑤(𝐶)
1
関連研究: 最大誘導パス
最大誘導パス問題 入力: 平面グラフ G=(V, E)
s, t ∈ V
出力: 最大本数の 誘導 (induced) s-t パス
s t s t
隣りあう頂点を通らない
Not induced Induced
McDiarmid, Reed, Schrijver, Shepherd: Induced Circuits in Planar Graphs, JCTB, 1994.
最大誘導パス問題に対する
最大最小定理 アルゴリズム
McDiarmid et al., 1994
円板形領域損傷モデルに応用
本研究
まとめ
• 最大最小定理
• アルゴリズム
• 計算機実験
円板形領域損傷モデルの 「最大流・最小カット問題」 に対する
今後の課題
実問題への適用
「最先端の理論的結果」 と 「現実に近いモデル」 との融合
そもそもゴールをどこに設定? 応用側との共同研究? ソースの公開?
現状: INFOCOM 等の論文紹介 → 適用できる手法を考える