kls xi bab 1

KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

1.1. Posisi Partikel pada Suatu Bidang:Posisi suatu benda yang bergerak dalam bidang dinyatakan dengan

persamaan :

r = xi + yj

1.2. Perpindahan:Jika suatu benda mula-mula berada pada posisi r1 kemudian setelah

t detik bergerak sehingga berada pada posisi r1 maka benda tersebut melakukan perpindahan ∆r :

∆r = r2 – r1

= (x2i + y2j) – ( x1i + y1j) = (x2 – x1) i + (y2-y1)j ∆r = ∆x i + ∆yj

Besar atau panjang vektor │∆r│= Arah perpindahan

tan θ =

ContohDiketahui vektor posisi r = 4t2i – (6t2 + 2t)j. Tentukan besar dan arah perpindahan dari t = 1 ssampai dengan t = 2 s

Jawabt1=1 r1 = 4i + 8jt2=2 r2 = 16i + 28j , maka ∆r = r2 – r1

= 12i -20jBesar atau panjang vektor │∆r│= √122 + 202 = √544Arah perpindahan tan θ = y/x = -5/3 = 301o

1.3. Kecepatan

Kecepatan rata-rata: - Pada garis lurus v = =

- Pada bidang r = =

Kecepatan sesaat adalah limit kecepatan rata-rata jika selang waktu mendekati nol (∆t 0)

v =

Kecepatan sesaat merupakan deferensial (turunan) pertama fungsi posisi terhadap t, ditulis :

Created by : [email protected]

r1r2

∆rθ

X

Y

v = ; vx = ; vy =

ContohSebuah benda bergerak vertikal keatas dengan persamaan y = 20t - 5t2. Tentukan :a) kecepatran awal bendab) kecepatan pada saat t = 1,5 sc) tinggi maksimum

JawabDiket. Y = 20t – 5t2

Pers.kecepatan V = dy/dt = 20 – 10ta) Kec.awal (Vo), artinya t=0 V = 20 – 0 = 20 m/sb) Kec.pada saat t=1,5 adalah V = 20 – 10 (1,5) = 5 m/sc) Syarat tinggi maks V=(dy/dt)=0, 0 = 20 – 10t t = 2s, maka Y = 20(2) – 5(2)2 = 20 m

1.3. PercepatanPercepatan adalah perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentuPercepatan rata-rata

= =

Percepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata dalam selang waktu mendekati nol (∆t 0)

a = =

Percepatan sesaat adalah deferensial (turunan) pertama fungsi kecepatan v terhadap t atau turunan kedua dari fungsi kedudukan r terhadap waktu t

a = atau a =

1.4. Menentukan posisi dari fungsi kecepatanApabila pada saat t0 benda berada pada posisi r0 kemudian bergerak

dengan kecepatan v sehingga pada saat t posisinya berada di rt maka posisi akhir benda rt dapat ditentukan berdasarkan metode integral sebagai berikut :

rt = r0 +

Jika vektor posisi dan kecepatan dinyatakan dalam komponen-komponen akan diperoleh :

xt = x0 + ; yt = y0 + ; zt = z0 +

1.5 Menentukan Kecepatan dari fungsi percepatan


Apabila pada saat t0 kecepatan awal benda v0 dan kemudian bergerak dipercepat dengan percepatan a maka kecepatan benda setelah t detik dapat ditentukan berdasarkan metode integral sebagai berikut :

vt = v0 +

Jika benda berada dalam ruang maka komponen-komponen vektor kecepatan dinyatakan:

vxt = vxt + ; vyt = vy0 + ; vzt = vz0 +

1.6.Gerak ParabolaGerak Parabola merupakan perpaduan 2 gerak sekaligus,yaitu GLB (Sb.X) dan GLBB (Sb.Y)

α

1. komponen vektor kecepatan awal ( Vo )komponen vekor kecepatan awal pada sumbu x dan sumbu y adalah :v0x = v0 cos αv0y = v0 sin α

2. Kecepatan benda setiap saat ( v)Gerak dalam arah mendatar ( GLB )vx = v0x= v0 cos αdalam arah sumbu y atau gerak dalam arah vertikal ( GLBB )vy = v0y – gt = v0 sin α- gt ,maka : v =

dengan arah terhadap sumbu x adalah θ dan θ = arc tan

3. Posisi benda setiap saatGerak dalam arah horisontalx = v0x t = (v0 cos α) tGerak dalam arah vertikal

y = v0y t - = (v0 sin α)t -

besar perpindahan r =

Arah perpindahan, θ = arc tan

4. ketinggian maksimum ( H )pada saat benda mencapai ketinggian maksimum, kecepatan arah vertikal sama dengan nol vy = 0vy = v0 sin α- gtH

0 = v0 sin α- gtH

v0 sin α = gtH


Voy

= V

o sin

α

Vox= Vo cosα

Vo

X

Y

α

tH =

tH = waktu yang diperlukan untuk sampai ketinggian maksimum.

y = (v0 sin α)t -

Jika ketinggian maksimum yang dicapai adalah H maka :

H = (v0 sin α)tH -

H = (v0 sin α)( ) - ( )2

H = - ( )

H = ( )

H =

5. Jarak jangkauan ( R )Jarak dapat dihitung dengan meninjau bahwa posisi vertikal benda adalah nol.

y = (v0 sin α)t -

0 = (v0 sin α)t -

(v0 sin α)t =

t =

R = (v0 cos α) ( )

R = ; R = Jarak jangkauan

Contoh :Sebuah bola ditendang dengan kecepatan 6,5 m/s dengan sudut elevasi α

(Sinα= ). Jika g = 10 m/s2. Hitunglah:

a. Waktu bola sampai kembali ke tanahb. Berapa tinggi maksimumc. Jarak terjauh

Jawaba. Waktu bola sampai kembali ke tanah

tx =

tx = =1,2 s

b. Berapa tinggi maksimum

H =


=

= 1,8 mc. Jarak terjauh

R = ; sin α = maka sin 2α = 0,71

R =

R = 3 m1.7.Posisi sudut, kecepatan sudut dan Percepatan sudut

Dalam gerak lurus telah dikenal tiga besaran dasarnya, yaitu posisi (x), kecepatan (v), dan percepatan (a). Analogi dengan rerak lurus pada gerakmelingkar juga terdapat tiga besaran dasar yaitu Posisi sudut (θ), kecepatan sudur (ω), dan percepatan sudut (α).1.7.1. Posisi sudut.

Posisi suatu titik dalam gerak melingkar dinyatakan dalam koordinat kartesius ( x;y ) atau oleh koordinat polar ( r,θ ),dengan r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah perpindahan sudut. Karena r tetap,maka yang menentukan vektor posisi partikel yang bergerakmelingkar adalah koordinat θ.

1.7.2. Perpindahan sudut:Jika suatu benda mula-mula berada pada posisi θ0 kemudian setelah t detik bergerak melingkar sehingga berada pada posisi θ1

maka benda tersebut melakukan perpindahan sudut ∆θ : ∆θ = θ1 – θ0

1.7.3. Kecepatan Sudut.1. Kecepatan sudut rata-rata

Kecepatan sudut rata-rata ( ) merupakan hasil bagi perpindahan sudut (∆θ) dengan selang waktu (∆t)

Kecepatan sudut rata-rata ( ) =

Kecepatan sudut dinyatakan dalam SI adalah

Satuan kecepatan sudut yang lain adalah derajar per sekon atau putaran per menit ( rpm)

1 rpm =


P,t = 0(x0;y0)

(x;y)Q,t

θ0

θ

x

y Selama t sekon,posisi partikel di (x;y) atau (r;θ). Jika pada koordinat kartesius (x;y), maka x dan y merupakan fungsi dari waktu t, ditulis θ = θ(t) jadi sudut ditempuh selama t sekon dinyatakan θ = at2 + bt3 dengan a dan b adalah konstanta.

2. Kecepatan sudut sesaat.Kecepatan sudut sesaat (ω) adalah kecepatan sudut rata-ratadalam selang waktu mendekati nol.

ω =

ω =

1.7.4 Percepatan sudut.

1. Percepatan sudut sesaat (ω) Percepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan selang waktu.

α = → α =

2. Percepatan sudut sesaat.

Percepatan sudut sesaat adalah percepatan sudut rata-rata dalam selang waktu mendekati nol.

α =

α =

1.7.5. Menentukan kecepatan sudut dari fungsi percepatan sudut

Kecepatan sudut adalah turunan pertama dari fungsi percepatan sudut terhadap waktu.

α = maka dθ = α dt sehingga :

ωt – ω0 = αt

ωt = ω0 + αt

1.7.6. Menentukan posisi sudut dari fungsi kecepatan sudutPosisi sudut adalah merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut terhadap waktu atau turunan kedua dari fungsi percepatan sudut terhadap waktu.

ω = maka dθ = ω dt sehingga :


θt – θ0 =

θt – θ0 = [ ω0t + αt2]

θt = θ0 +{[ ω0t + αt2]- 0}

θt = θ0 + ω0t + αt2

Uji Kompetensi

1. Persamaan benda bergerak dinyatakan X=t2 – 2t2 + 3 dengan satuan SI. Berapakah kecepatan benda pada saat t = 5 sekon?

2. Posisi partikel adalah r = (15t√3)i + (15t-5t2)j m. Tentukan kelajuan partikel setelah 1,5 sekon!

3. Benda bergerak dengan persamaan kecepatan v={4i+(2t+7/3)j} m/s. Jika posisi awal benda di pusat koordinat,tentukan perpindahan selama 3 s

4. Bola dilempar mencapai tinggi maksimum 90 m dan jatuh ke tanah sejauh 180 m. Jika g=10m/s2. Berapa kecepatan awal pelemparan?

5. Sebuah peluru dengan massa 20 gram ditembakkan dengan sudut elevasi 30o dan kecepatan awal 40 m/s. Jika gesekan udara diabaikan, berapa ketinmggian maksimum peluru yang dapat dicapai?

6. Sebuah peluru ditembakkan dengan sudut elevasi α. Jarak terjauh peluru sama dengan tinggi maksimumnya. Berapa nilai tan α?

7. Posisi sudut benda berotasi dinyatakan oleh persamaan θ = 2t2 - 9t + 4 dengan satuan SI. Tentukan kecepatan sudut pada saat t = 1 s

8. Benda berotasi dengan persamaan kecepatan ω = t2 + 5 dengan satuan SI. Hitung percepatan sudut pada saat t = 1 s !


kls xi bab 1

Documents