VIA TEHNIKA KOLA SUBOTICA

mr. Rozgonji Endre

MEHANIKA drugi deo

KINEMATIKA

SUBOTICA, 2001. god.

SADRAJ

1. UVOD.................................................................................................................... 1 2. KINEMATIKA TAKE..................................................................................... 2 2.1. Definisanje poloaja take u prostoru................................................ 2 2.1.1.Vektorski postupak................................................................... 2 2.1.2. Analitiki postupak.................................................................. 3 2.1.3. Prirodni postupak..................................................................... 5 2.2. Brzina take........................................................................................... 7 2.2.1. Vektor brzine take.................................................................. 7 2.2.2. Brzina take u Dekartovom koordinatnom sistemu................. 8 2.2.3. Brzina take u prirodnom kooridnatnom sistemu.................... 9 2.2.4. Hodograf brzine.......................................................................10 2.3. Ubrzanje take...................................................................................... 11 2.3.1. Vektor ubrzanja........................................................................ 11 2.3.2. Ubrzanje take u Dekartovom koordinatnom sistemu............. 12 2.3.3. Prirodni koordinatni sitem....................................................... 13 2.4. Posebni sluajevi kretanja take......................................................... 17 2.4.1. Jednoliko pravolinijsko kretanje take.................................... 17 2.4.2. Jednoliko krivolinijsko kretanje take..................................... 19 2.4.3. Jednako promenljivo pravolinijsko kretanje take.................. 19 2.4.3.1. Jednako ubrzano pravolinijsko kretanje take.......... 20 2.4.3.2. Jednako usporeno pravolinijsko kretanje take........ 20 2.4.4. Jednako promenljivo krivolinijsko kretanje take................... 21 2.4.4.1. Jednako ubrzano krivolinijsko kretanje take........... 22 2.4.4.2. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje take......... 23 2.4.5. Kruno kretanje take.............................................................. 24 2.4.5.1. Jednoliko kruno kretanje take............................... 25 2.4.5.2. Jednako ubrzano kruno kretanje take.................... 26 2.4.5.3. Jednako usporeno kruno kretanje take.................. 27 2.4.6. Harmonijsko kretanje take..................................................... 28 3. KINEMATIKA KRUTOG TELA...................................................................... 36 3.1. Translatorno kretanje krutog tela...................................................... 36 3.2. Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose........................................... 39 3.2.1. Ugaona brzina i ugaono ubrzanje............................................ 39 3.2.2. Posebni sluajevi obrtnog kretanja.......................................... 41 3.2.2.1. Ravnomerno (jednoliko) obrtanje............................. 41 3.2.2.2. Ravnomerno promenljivo (jednako promenljivo) obrtanje.................................................................... 41 3.2.3. Brzine taaka tela koje se obre oko nepokretne ose.............. 42 3.2.4. Ubrzanja taaka tela koje se obre oko nepokretna ose.......... 43 3.3. Ravno kretanje krutog tela.................................................................. 47 3.3.1. Putanja taaka tela pri ravnom kretanju................................... 48 3.3.2. Brzine taaka tela koje vri ravno kretanje.............................. 49 3.3.2.1. Teorema o projekcijama brzina................................ 51 3.3.3. Trenutni pol brzina................................................................... 52 3.3.4. Odreivanje brzina taaka pomou trenutnog pola brzina...... 52 3.3.5. Posebni sluajevi odreivanja trenutnog pola brzina.............. 53 3.3.5.1.Ravna figura koja se kotrlja bez klizanja po nepokretnoj povrini drugog tela.............................. 53

3.3.5.2. Vektori brzina Avr i Bv

r su paralelni, a prava AB koja spaja te take nije normalna na vektore bzina........... 54 3.3.5.3. Vektori brzina Av

r i Bvr su paralelni, a prava AB koja

spaja te take normalna je na vektore bzina.............. 54 3.3.6. Ubrzanja taaka pri ravnom kretanju....................................... 58 4. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE TAKE..................... 65 4.1. Jednaine kretanja................................................................................ 65 4.2. Trenutna ugaona brzina....................................................................... 69 4.3. Trenutno ugaono ubrzanje.................................................................. 70 5. OPTE KRETANJE SLOBODNOG KRUTOG TELA.................................. 76 5.1. Jednaine opteg kretanja slobodnog krutog tela.............................. 76 5.2. Brzine tela koje vri opte kretanje..................................................... 76 5.3. Ubrzanje tela koje vri opte kretanje................................................ 77 6. SLOENO KRETANJE TAKE...................................................................... 80 6.1. Relativno, prenosno i apsolutno kretanje take................................. 80 6.2. Apsolutna brzina take......................................................................... 80 6.3. Apsolutno ubrzanje take.................................................................... 84 6.3.1. Konstrukcija Koriolisovog ubrzanja........................................ 86 6.3.2. Primeri odreivanja smera Koriolisovog ubrzanja.................. 87 6.3.3. Posebni sluajevi odreivanja vektora prenosnog ubrzanja.... 87 6.3.4. Odreivanje komponenata apsolutnog ubrzanja...................... 88 7. SLOENO KRETANJE KRUTOG TELA....................................................... 98 7.1. Apsolutna brzina tela............................................................................ 98 7.2. Apsolutno ubrzanje............................................................................... 99 7.3. Osnovni oblici sloenog kretanja......................................................... 99 7.3.1. Translatorna kretanja............................................................... 99 7.3.2. Obrtanje oko paralelnih osa..................................................... 100 7.3.2.1. Sluaj kada su obrtanja tela usmerana u isom smeru 100 7.3.2.2. Sluaj kada su obrtanja tela usmerana u suprotnom smeru........................................................................ 101 7.4. Proraun planetarnih prenosnika....................................................... 103 8. LITERATURA..................................................................................................... 109

1. UVOD U uvodu prvog dela mehanike - statike izneti su osnovni zadaci mehanike, njen razvoj i podela na statiku, kinematiku i dinamiku. Kinematika prouava kretanja tela ne uzimajui u obzir uzroke (masu i sile) koji izazivaju kretanja. Ta kretanja tela pri zadatim geometrijskim uslovima prouavaju se u zavisnosti od vremena. Kinematika predstavlja uvod u dinamiku, jer definie osnovne kinematske zavisnosti, koje su neophodne za prouavanje kretanja tela pod dejstvom sila. Kinematske metode meutim imaju i samostalan praktini znaaj, pri prouavanju kretanja delova raznih mehanizama. Upravo zbog pojave ovih problema u mainskoj tehnici, kinematika se izdvojila u samostalni deo mehanike u prvoj polovini 19. veka. Pod kretanjem se u mehanici podrazumeva promena poloaja, koji jedno materijalno telo vri u odnosu na drugo, u prostoru. Za definisanje poloaja pokretne take, tela u odnosu na tu taku ili tela prema kome se prouava kretanje, koristi se referentni koordinatni sistem, koji je vrsto vezan za taku ili telo u odnosu na koje se prouava kretanje. Ukoliko koordinate taaka izabranog koordinatnog sistema za sve vreme kretanja ostaju konstantne, tada se telo u odnosu na taj koordinatni sistem nalazi u mirovanju. Meutim, ako se koordinate ma koje take tela menjaju tokom vremena, tada se u odnosu na referentni koordinatni sistem telo kree. Prostor se u mehanici smatra trodimenzionalnim Euklidovim prostorom. Za jedinicu duine (L) pri merenju rastojanja u ovom prostoru usvaja se metar [m]. Vreme (t) se u mehanici smatra univerzalnim, tj. da tee na isti nain u svim koordinatnim sistemima. Za jedinicu vremena uzima se jedna sekunda [s]. Svi kinematiki elementi, kao to su: put (trajektorija), brzina i ubrzanje izraavaju se pomou ovih osnovnih jedinica. Na ovaj nain definisan prostor i vreme izraavaju samo priblino realne osobine prostora. Meutim, kako pokazuju razni eksperimenti, za realna kretanja koja se pojavljuju u svakodnevnom ivotu, a koja se vre sa mnogo manjim brzinama od brzine prostiranja svetlosti, takvo pribliavanje je potpuno opravdano, jer za praktine primene daje potpuno zadovoljavajuu tanost. Vreme u mehanici je pozitivna skalarna veliina, koja se neprekidno menja. U problemima kinematike vreme t se uzima za nezavisnu promenljivu veliinu. Sve ostale promenljive veliine u kinematici se posmatraju u funkciji vremena. Vreme se posmatra uvek od nekog poetnog trenutka vremena (t=0), koje se utvruje u svakom konkretnom problemu. Svaki odreeni trenutak vremena t definie se brojem sekundi, raunajui od poetnog trenutka vremena. Svaka razlika izmeu bilo koja dva uzastopna trenutka vremena tokom kretanja, zove se vremenski interval. U kinematici se sva razmatranja utvruju na osnovu praktinih iskustava, dok se zakljuci potvruju eksperimentima. Zbog toga, u kinematici nikakvi dopunski zakoni, ili aksiomi, za prouavanje kretanja nisu potrebni. Za definisanje kinematikih karakteristika nekog kretanja, koje se eli prouiti, neophodno je da kretanja bude bilo kako definisano (zadato). Kinematiki definisati kretanje ili zakon kretanja tela ili take, znai definisati poloaj tog tela ili take u odnosu na dati referentni koordinatni sistem u bilo kojem trenutku vremena. Najvaniji zadatak kinematike je utvrivanje matematikih metoda za definisanje tog kretanja. Po najosnovnijoj podeli kinematika se deli na: - kinematiku take, - kinematiku krutog tela.

2. KINEMATIKA TAKE

U kinematici take reavaju se dva osnovna problema: 1. Ustanovlajavanje analitikih postupaka za definisanje kretanja take u odnosu na utvreni koordinatni sistem. 2. Na osnovu zadatog zakona kretanja take, odreivanje kinematikih karakteristika kretanja take, kao to su: - trajektorija take, - brzina take, - ubrzanje take. Zamiljena neprekidna linija, koju opisuje pokretna taka M u prostoru zove se putanja ili trajektorija take. Deo putanje izmeu dva uzastopna poloaja take M je preeni put. Ukoliko je trajektorija prava linija, taka vri pravolinijsko kretanje, ako je pak kriva linija, taka vri krivolinijsko kretanje. Za definisanje kretanja take u prostoru primenjuju se najee sledea tri postupka: 1. vektorski, 2. analitiki (koordinatni), 3. prirodni postupak. 2.1. DEFINISANJE POLOAJA TAKE U PROSTORU 2.1.1. VEKTORSKI POSTUPAK

Poloaj take M u svakom trenutku vremena moe se odrediti vektorom poloaja rr u odnosu na poetak O Dekartovog koordinatnog sistema, prema slici 2.1. Poto je svaki vektor odreen sa tri podatka, za definisanje poloaja take M potrebno je poznavati intenzitet, pravac i smer vektora poloaja rr . Pri kretanju take M menja se vektor rr i po pravcu i po intenzitetu sa vremenom i predstavlja vektorsku funkciju vremena t : )(trr

rr = . (2.1) Jednaina (2.1) predstavlja zakon kretanja take u vektorskom obliku. Pomou ove jednaine mogua je

konstrukcija vektora rr u svakom trenutku vremena, i na taj nain da se odreuje poloaj pokretne take. Geometrijsko mesto krajeva vektora rr odreuje putanju take M. U posebnom sluaju, kada je rr = const taka se nalazi u mirovanju. 2.1.2. ANALITIKI POSTUPAK (KOORDINATNI)

Slika 2.1. Vektorski postupak

Koordinate take M su skalarni parametri (brojevi) ije vrednosti odreuju poloaj pokretne take. Skup ovih koordinata ini koordinatni sistem. Najee korien koordinatni sistem je pravougli Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije, koji se satoji od tri orijentisane ose Ox, Oy, Oz, koje prolaze kroz taku O i ne lee u istoj ravni. Ako su te ose meusobno normalne, Dekartov koordinatni sistem je pravougli (ortoganalan). Ako smerovi osa odgovaraju palcu, kaiprstu i srednjem prstu desne ruke (sa dlanom navie), koordinatni sistem je desne orijentacije. U ovom sistemu gledajui iz smera ose Oz, obrtanjem ose Ox u obrnutom smeru kretanja skazaljke na satu, dolazi do njenog poklapanja sa osom Oy. Jedinini vektori (ortovi) koordinatnih osa ),,( kji

rrr uzeti u istom smeru sa koordinatnim osama, ine jedinini trijedar, prema slici 2.1.

Projekcijom vektora poloaja rr na ose Dekartovog koordinatnog sistema, poloaj take M odreen je sa tri broja x,y,z, koji predstavljaju algebarske projekcije vektora pokretne take na koordinatne ose prema: kzjyixr

rrrr ++= . (2.2) gde su: - kji

rrr,, jedinini vektori,

- x,y,z koordinate take M. Poto se taka kree, sve tri koordinate se menjaju tokom vremena, pa jednaina (2.2) postaje: ktzjtyitxtr

rrrr ++= )()()()( . (2.3) Za poznavanje zakona kretanja take, tj.da bi se mogao odrediti u svakom trenutku vremena poloaj take u prostoru, potrebno je poznavati promene koordinate take sa vremenom, definisane jednainama:

).(),(),(

tzztyytxx

===

(2.4)

Jednaine (2.4) predstavljaju jednaine kretanja u analitikom obliku, ili skalarni oblik parametarske jednaine putanje. U ovim jednainama parametar je vreme t. Eliminacijom parametra t iz jednaina (2.4) dobija se jednaina linije putanje. U posebnom sluaju, pri kretanju take u ravni, kretanje e biti odreeno sa samo dve jednaine kretanja, prema: ).(;)( tyytxx == (2.5) Primer 2.1. Kretanje take odreeno je jednainama (x,y - u metrima, t - u sekundama): .36,48 22 ttyttx == Potrebno je odrediti liniju putanje take. Reenje: Za odreivanje putanje, potrebno je eliminisati parametar, tj. vreme t iz navedenih jednaina. Mnoenjem prve jednaine sa 3 , a druge sa 4, i oduzimanjem druge jednaine od prve, dobie se:

043 = yx , ili

xy43= .

Na osnovu ove jednaine se vidi da je putanja prava linija, koja sa osom Ox zalkapa ugao a, pri emu je 43=tg (slika 2.2). Primer 2.2.

Kretanje take je dato sledeim jednainama:

.t52sin10y,t

52cos10x ==

Potrebno je odrediti liniju putanje. Reenje: Iz gornjih jednaina potrebno je eliminisati vreme t. Delei obe strane jednaina sa 10, zatim dizanjem na kvadrat i sabiranjem se dobija jednaina:

100yx 22 =+ .

to predstavlja krunu liniju sa poluprenikom R=10. Primer 2.3. Kretanje take u ravni Oxy dato je vektorskom jednainom oblika:

t2cosct2sinbr rrr += .

Gde su vektori cib r

rvektori odreeni koordinatama )4;3(c),3;2(b r

r.

Odrediti liniju putanje. Reenje: Gore navedeni vektori predstavljeni pomou komponenata imaju oblike:

j4i3c;j3i2b;jyixrrrrrrrrrr +=+=+= ,

gde su: - j,i

rrjedinini vektori koordinatnih osa.

Izjednaavajui vrednosti pored istih jedininih vektora, kretanje je definisano sistemom jednaina:

t2cos4t2sin3y,t2cos3t2sin2x +=+= . Iz ovih jednaina potrebno je eliminisati vreme, izraavajui vrdenosti:

y2x3t2cos,x4y3t2sin == . Dizanjem na kvadrat i sabiranjem jednaina, dobije se linija putanje u obliku:

01y13xy36x251)y2x3()x4y3( 2222 =+=+ .

to predstavlja jednainu elipse. Primer 2.4.

Slika 2.2. Ilustracija primera

2.1

Odrediti putanju sredine M klipne poluge klipnog mehanizma prema slici 2.3, ako je a2ABOA == , i ako pri okretanju krivaje

ugao u toku vremena raste proporcionalno vremenu: =t. Reenje: Za oznaene koordinatne ose prema slici 2.3. koordinate take M (x i y) iznosie:

sinay,cosacosa2x =+= . Zamenom ugla sa njegovom vrednou, jednaine kretanja take M iznosie: tsinay,tcosa3x == .

Za odreivanje putanje take M jednaine kretanja se mogu napisati u obliku:

tsinay,tcos

a3x == .

Dizanjem na kvadrat i sabiranjem ovih jednaina se dobije:

1ay

a9x

2

2

2

2

=+ . to predstavlja elipsu sa poluosama 3a i a. 2.1.3. PRIRODNI POSTUPAK Prirodni postupak definisanja kretanja take upotrebljava se u onim sluajevima, kada je putanja

take unapred poznata. Tako je za poznatu putanju l po kojoj se kree taka M, mogue odrediti poloaj take tako, to se izabere poetna taka O za referentnu taku, a putanja take se usvoji za krivolinijsku koordinatnu osu, prema slici 2.4. Krivolinijskom koordinatom OMs = , koja je jednaka rastojanju take M od referentne take O, odreen je poloaj take na putanji. Rastojanje s mereno na jednu stranu se usvaja za pozitivno, a na drugu stranu za negativno (kao i kod drugih "obinih" koordinatnih osa), to je potrebno kod referentne take obavezno i oznaiti. Krivolinijska koordinata s pri kretanju take M po putanji se menja tokom vremena, i bie neka funkcija vremena prema:

)t(ss = . (2.6) Jednaina (2.6) izraava zakon kretanja (zakon puta) take po putanji. Za odreivanje kretanja take prirodnim postupkom, potrebno je poznavati: 1. putanju take, 2. poetak koordinatnog sistema na putanji sa utvrenim pozitivnim i negativnim smerom,

Slika 2.3. Ilustracija primera 2.3

Slika 2.4. Prirodni postupak

3.zakon kretanja take du putanje oblika )t(ss = , gde rastojanje s odreuje krivolinijsku koordinatu take. Krivolinijsku koordinatu )t(ss = treba razlikovati od preenog puta take M po putanji, jer se krivolinijskom koordinatom odreuje poloaj take M na putanji u datom trenutku vremena od referentne take. 0M (poetni poloaj take), kada je vreme t=t0=0 (slika 2.4). Za prouavanje kretanja take po liniji esto se primenjuje prirodni trijedar, koji e se izloiti u daljnjem.

U taki M putanje, prvo se nacrta tangenta sa jedininim vektorom Tr

, zatim normala na tangentu sa jedininim vektorom N

r, koja je

usmerena prema centru krivine trajektorije take. Ovi vektori formiraju ravan, koji se zove oskulatorna ravan (ravan koji se priljubljuje na krivu ds), prema slici 2.5. Trea koordinatna osa je normalna na oskulatorni ravan u taki M, sa jedininim vektorom Br

. Navedeni jedinini vektori zovu se: T

r- tangenta,

Nr

- glavna normala, B

r- binormala.

Pravougli koordinatni sistem, konstruisan u pokretnoj taki M sa koordinatnim osama usmerenim du tangente (T

r), glavne normale ( N

r) i binormale ( B

r), zove se prirodni trijedar. Koordinate koje

odreuju poloaj take na liniji u odnosu na ovaj sistem zovu se prirodne koordinate. Jedinini vektori T

r i Nr

odreuju oskulatornu ravan, jedinini vektori Nr

i Br

odreuju normalnu ravan, a vektori T

r i Br

definiu rektifikacionu (tangentnu) ravan (slika 2.5). Ovaj prirodni trijedar pri kretanju take kree se zajedno sa njom, pa se i orijentacija osa trijedra stalno menja i svakom poloaju take odgovara poseban prirodni trijedar. U ovom koordinatnom sistemu vae sledee relacije: NTB

rrr = - uslov normalnosti, )s(rr rr = - vektor poloaja ma koje take na trajektoriji, je funkcija krivolinijske koordinate,

dsrdTrr = - tangenta je izvod vektora poloaja po krivolinijskoj koordinati s,

NR1NK

dsTd

k

rrr == - izvod tangente po koordinati s je jednak proizvodu krivine K i glavne normale, ili proizvodu reciprone vrednosti poluprenika krivine Rk i glavne normale.

Slika 2.5. Prirodni trijedar

2.2. BRZINA TAKE 2.2.1. VEKTOR BRZINE TAKE Brzina je jedna od osnovnih kinematikih parametara kretanja take. Za pokretnu taku M, koja se kree po odreenoj putanji u prostoru, poloaj take u trenutku vremena t bie odreen vektorom poloaja )t(rr . U sledeem trenutku t1 = t+t, taka e se nalaziti u poloaju M1, odreeno vektorom poloaja rrr1

rrr += . Vektor rr odreuje pomeranje take za vremenski period t i zove se vektor pomeranja take. Iz trougla OMM1 sa slike 2.6 vidi se da je vektor pomeranja take odreen razlikom vektora poloaja:

rrrMM 11

rrr == . Odnos vektora pomeranja take prema odgovarajuem vremenskom intervalu odreuje po intenzitetu, pravcu i smeru vektor srednje brzine i pokazuje kako se tokom vremena vri pomeranje take M iz jednog poloaja u drugi.

tr

tMMv 1SR

rv == . (2.7) Vektor srednje brzine ima isti pravac i isti smer sa

vektorom rr u smeru kretanja, jer je vreme t uvek pozitivna skalarna veliina (delenjem sa t pravac vektora SRv

r se ne menja, dok se menja samo intenzitet u poreenju sa intenzitetom vektora rr , slika 2.6).

Ako se vremenski interval t tako menja da tei nuli, dobije se vektor brzine vr take M u datom trenutku vremena:

trlimvlimv 0tSR0t

rrr == .

Granina vrednost odnosa t

r r

kada t0 predstavlja prvi izvod vektora rr po vremenu t, koji se oznaava sa:

rdtrd &rr= .

I na kraju, u konanom obliku se dobije:

rdtrdv &rrr == . (2.8)

Vektor brzine take u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora poloaja take po vremenu. Vektor brzine take u svakom trenutku vremena ima pravac tangente na putanju i usmeren je u smeru kretanja. Osobine vektora brzine su:

Slika 2.6.Vektor brzine

1. Ako vektor brzine menja svoj pravac, kretanje je krivolinijsko. 2. Ako je konstantnog pravca, kretanje je pravolinijsko. 3. Ako je vektor brzine konstantnog intenziteta, kretanje je ravnomerno. 4. Ako se intenzitet vektora brzine menja sa vremenom, kretanje je promenljivo.

Dimenzija brzine je

sm .

2.2.2. BRZINA TAKE U DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU Poloaj take M u Dekartovom koordinatnom sistemu odreen je na osnovu jednaine (2.3) izrazom: k)t(zj)t(yi)t(x)t(r

rrrr ++= . Vektor brzine take je jednak prvom izvodu vektora poloaja po vremenu i na osnovu (2.8) iznosi:

kvjvivkzjyixdtrdv zyx

rrrr&r&r&rr ++=++== .

Sa slike 2.7 se vidi da projekcije vektora brzine vr iznose:

zdtdzv,y

dtdyv,x

dtdxv zyx &&& ======

(2.9) Projekcije vektora brzine take na ose Dekartovog koordinatnog sistema jednake su prvim izvodima koordinata po vremenu. Za poznate projekcije brzine njen intenzitet se odreuje po izrazu:

2222z

2y

2x zyxvvvvv &&&

r ++=++== . (2.10) Pravac vektora brzine definisan je uglovima ,,, koje vektor vr zalkapa sa koordinatnim osama (slika 2.7). Kosinusi tih uglova su:

,zyx

zvv

cos)k,v(cos

,zyx

yv

vcos)j,v(cos

,zyx

xvv

cos)i,v(cos

222

z

222

y

222

x

&&&&rr

&&&&rr

&&&&rr

++===

++===

++===

. (2.11)

Slika 2.7. Projekcije brzine take

Za sluaj ravanskog kretanja z=0, izrazi (2.10 i 2.11.) imaju sledee oblike: 22 yxv && += ,

v

vcos,

vv

cos yx == . 2.2.3. BRZINA TAKE U PRIRODNOM KOORDINATNOM SISTEMU Zakon kretanja take u prirodnom koordinatnom sistemu, na osnovu (2.6) iznosi: )t(ss = . Vektor poloaja take na trajektoriji je takoe poznat i ima oblik: )s(rr rr = . Vektor brzine je po definiciji prvi izvod vektora poloaja po vremenu i dat je u sledeem obliku:

dtds

dsrd

dtrdv ==

rrr , dge su:

- prvi lan dtrdr je jedinini vektor tangente na trajektoriju tj. T

r,

- drugi lan dtds predstavlja izvod puta po vremenu tj. s& .

Vektor brzine ima oblik: Tsv

r&r = , ili Tvv

rr = . (2.12) Intenzitet projekcije vektora brzine vr (brojana vrednost brzine -v ) take, koja spada u pravac tangente na putanju, jednak je prvom izvodu krivolinijske koordinate po vremenu. Brzina ima znak + ili - u zavisnosti od smera kretanja take.

Ako je dtdsv = >0 (+), taka se kree u pozitivnom smeru (u stranu porasta krivolinijske

koordinate),

ako je dtdsv =

2.2.4. HODOGRAF BRZINE Brzina pokretne take menja se po vremenu i za proizvoljno krivolinijsko kretanje take M, za nekoliko poloaja taaka vektori brzine imaju odreene veliine i pravce. Ako se svi vektori brzina prenesu u zajedniku taku Ov prema slici 2.9, tada geometrijsko mesto krajeva vektora brzina odreuju krivu, koja se zove hodograf vektora brzine pokretne teke.

Primer 2.5. Odrediti brzinu take za kretanje iz primera 2.1. Reenje: Komponente brzine take se odreuju kao prvi izvodi odgovarajuih koordinata taaka po vremenu prema:

( ) ( )t16ydtdyv,t18x

dtdxv yx ====== && ,

a ukupna brzina prema: )t1(10yxv 22 =+= && [m/s]. Vektor brzine vr usmeren je niz putanju, tj.liniju AB (slika 2.2). Projekcije brzine su u vremenskom intervalu 0< t < 1 pozitivne, prema tome u tom vremenskom intervalu brzina je usmerena od take O ka taki B. U trenutku vremena t = 0 v = 10 [m/s], a u trenutku t = 1[s] v = 0. Pri daljem kretanju take, kada je t>1 [s], obe projekcije brzine su negativne, to znai, da je brzina usmerena od B ka A. Na kraju, moe da se primeti i to, da je u trenutku t = 0 [s] x = 0 i y = 0; u trenutku t = 1 [s] x = 4, y = 3 (taka B); u trenutku t = 2 [s] x = 0, y = 0; za t> 2 [s] veliine x i y se poveavaju po apsolutnoj vrednosti i ostaju za sve vreme kretanja negativne. Jednaine date u uslovu primera 2.1, pokazuju tok kretanja take. Kretanje poinje iz take O poetnom brzinom v0 = 10 [m/s] i vri se du prave AB, koja zaklapa sa osom Ox ugao . Na delu puta OB taka stigne za jednu sekundu u poloaj B (4,3), u kom poloaju je brzina take jednaka nuli. Od ovog trenutka taka se kree u suprotnu stranu. U trenutku t = 2 [s] taka se ponovo nalazi na koordinatnom poetku i nastavlja da se kree du prave OA. Primer 2.6. Odrediti hodograf brzine za kretanje iz primera 2.2. Reenje: Komponente brzina su:

Slika 2.9. Hodograf brzine

x5

2t52cos4y,y5

2t52sin4x ==== && .

Intenzitet brzine je: 4yxv 22 =+= && . Ukoliko se iz gornjih jednaina ( x& i y& ) eliminie vreme t dobie se hodograf brzine. Odmah se vidi, da je hodograf brzine kruna linija poluprenika 4, sa polom koji se poklapa sa sreditem putanje. Primer 2.7. Odrediti brzinu sredine M klipne poluge iz primera 2.4. Reenje: Komponente brzine take M su: tcosayv,tsina3xv yx ==== && . Intenzitet brzine je jednak: tcostsin9av 22 += . Brzina je promenljiva veliina, koja se u toku vremena menja u granicama od vmin=a do vmaks=3a.. 2.3. UBRZANJE TAKE 2.3.1. VEKTOR UBRZANJA Ubrzanje take pri proizvoljnom krivolinijskom kretanju karakterie promenu intenziteta i pravca vektora brzine u toku vremena. Neka se u trenutku vremena t taka nalazi u poloaju M i ima brzinu vr , u trenutku t+t se nalazi u

poloaju M1 sa brzinom vvrr + ,

gde vr karakterie promenu vektora brzine (slika 2.10). Delei prirataj brzine vr sa vremenskim intervalom t, njihov odnos odreuje vektor srednjeg ubrzanja take za dati vremenski interval:

tvaSR

rr = . (2.13) Vektor vr se najjednostavnije

odreuje konstrukcijom paralelograma vektora vr i vv rr + , kako je to prikazano na slici 2.10. Povlaei vektore vr i vv rr + iz zajednike take O1, zbir vektora vr i vr definisae vektor

vv rr + tj. dijagonalu paralelograma, koja je ujedno i vektor brzine u taki M1.

Slika 2.10. Vektor ubrzanja

Vektor vr je uvek usmeren u konkavnu (izdubljenu) stranu putanje. Vektor srednjeg ubrzanja takoe ima isti pravac kao i vektor vr i usmeren je u konkavnu stranu trajektorije. Ubrzanje take u datom trenutku vremena t je vektorska veliina ar kojoj tei vektor srednjeg ubrzanja SRa

r kada vremenski interval t tei nuli:

dtvd

tvlimalima 0tSR0t

rrrr ===

, ili

rdt

rdvdtvda 2

2 &&rr

&rrr ==== . (2.14)

Vektor ubrzanja ar take u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora brzine po vremenu ili drugom izvodu vektora poloaja take po vremenu. Vektor ubrzanja karakterie promenu vektora brzine tokom vremena po intenzitetu i pravcu. Bitno je odrediti kakav poloaj zauzima vektor ubrzanja ar u odnosu na putanju take. Poloaj vektora ar , ako je putanje take ravna kriva linija (taka se stalno kree u istoj ravni), tada vektor ubrzanja ar , (kao i vektor srednjeg ubrzanja SRa

r ) lei u ravni krive i usmeren je u konkavnu stranu te krive. Ako je putanje take prostorna kriva linija, tj. ne lei u jednoj ravni, tada e vektor srednjeg ubrzanja SRa

r biti usmeren u konkavnu stranu putanje i leae u ravni, koja prolazi kroz tangentu u taki M i pravu, koja je paralelna tangenti u susednoj taki M1, prema prikazu na slici 2.10. U graninom sluaju, kada se take M i M1 poklapaju, ravan e zauzeti poloaj koji se priljubljuje uz krivu, koja za prostorne krive linije definie oskulatornu ravan. Prema tome, u optem sluaju vektor ubrzanja ar lei u oskulatornoj ravni i usmeren je u konkavnu stranu putanje.

Dimenzija ubrzanja je

2s

m .

2.3.2. UBRZANJE TAKE U DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU U vektorskim jednainama koje sadre izvode, prelaz od zavisnosti izmeu vektora na zavisnost izmeu njihovih projekcija moe se izvesti korienjem teoreme koja glasi: projekcija izvoda na bilo koju nepominu osu jednaka je izvodu projekcije vektora na istu osu. Vektor poloaja take u Dekartovom koordinatnom sistemu prema (2.2) iznosi: kzjyixr

rrrr ++= . Vektor brzine iste take na osnovu (2.8) definisan je:

dtrdvrr = .

Vektor ubrzanja dat je zavisnou (2.14) prema:

dtvdarr = ,

i na osnovu teoreme o projekciji izvoda vektora moe se napisati:

kzjyix)kzjyix(dtda

r&&r&&r&&

r&r&r&r ++=++= ,

ili kajaiaa zyx

rrrr ++= , gde su:

zdt

zddt

dva,y

dtyd

dtdv

a,xdt

xddt

dva 2

2z

z2

2y

y2

2x

x &&&&&& ========= . (2.15) Projekcije vektora ubrzanja na ose Dekartovog koordinarnog sistema jednake su drugim

izvodima koordinata pokretne tae po vremenu. Intenzitet vektora ubrzanja na osnovu slike 2.11 odreuje se prema:

2222z

2y

2x zyxaaaa &&&&&& ++=++= .(2.16)

Pravac vektora ubrzanja definie se uglovima, koje vektor ubrzanja zaklapa sa koordinatnim osama. Kosinusi ovih uglova se odreuju prema:

.zyx

zaa

cos

,zyx

ya

acos

,zyx

xaa

cos

222

za

222

ya

222

xa

&&&&&&&&

&&&&&&&&

&&&&&&&&

++==

++==

++==

. (2.17)

Ako je kretanje definisano u Dekartovom koordinatnom sistemu jednainama (2.2) i (2.3), tada se brzina take odreuje prema obrascima (2.9) i (2.10) a ubrzanje prema (2.15) i (2.16). Ukoliko se kretanje take vri u ravni u navedenim jednainama trea projekcija otpada, jer je koordinata z=0. 2.3.3. PRIRODNI KOORDINATNI SISTEM Po definiciji vektor ubrzanja moe se napisati:

dtvdarr = .

Vektor brzine take u prirodnom koordinatnom sistemu definisan je na osnovu (2.12) i vektor ubrzanja postaje:

TsTs)Ts(dtda &

r&

r&&

r&r +== .

Kao to se vidi vektor ubrzanje take odreen je vektorskim zbirom dve komponente ubrzanja.

Slika 2.11. Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom

sistemu

Izvod vektora tangente Tr

moe da se transformie na sledei nain (mnoei brojitelj i imenitelj sa ds):

sRN

dtds

dsTd

dsds

dtTd

dtTd

K

&rrrr=== ,

gde su: - N

rglavna normala,

- Rk poluprenik krivine - s& brzina kretanja take. Drugi izvod krivolinijske koordinate po vremenu je:

dtdv)s(

dtds == &&& .

I na osnovu gore navedenog, vektor ubrzanja postaje:

NRsT

dtdv

RNssT

dtdva

K

2

K

r&rr&&rr +=+= . (2.18) Ubrzanje take je odreeno vektorskim zbirom dveju komponenata, od kojih je jedna usmerena du tangente a druga du glavne normale. Poto jedinini vektori tangente i glavne normale definiu oskulatornu ravan sledi, da vektor ubrzanja uvek lei u oskulatornoj ravni.

Komponente ubrzanja kako je prikazano na slici 2.12. su:

Tdtdvat

rr = - zove se tangencijalno ubrzanje,

NRsa

K

2

n

r&r = - zove se normalno ubrzanje. Vektorski zbir ovih komponenti daje vektor ubrzanje take:

NaTaa ntrrr += . (2.19)

Projektovanjem vektora ubrzanja na ose prirodnog trijedra, tj. komponente ubrzanja su:

s)s(dtd

dtdvat &&& === . (2.20)

Projekcija vektora ubrzanja na tangentu tj. tangencijalno ubrzanje karakterie promenu brzine po intenzitetu i jednako je prvom izvodu projekcije brzine na pravac tangente (brojane - algebarske veliine brzine) ili drugom izvodu krivolinijske koordinate (rastojanja) po vremenu.

Slika 2.12. Prirodne komponente ubrzanja

K

2

K

2

n Rv

Rsa == & . (2.21)

Projekcija vektora ubrzanja na glavnu normalu tj. normalno ubrzanje karakterie promenu pravca vektora brzine, jednako je koliniku kvadrata brzine i poluprenika krivine putanje u datoj taki krive i usmereno je u konkavnu stranu putanje ka centru krivine. Poto se ubrzanje take nalazi u oskulatornoj ravni, trea komponenta projekcije ubrzanja je: 0aB = . Ovaj rezultat izraava jednu od veoma znaajnih teorema u kinematici take.

Ukoliko se nanesu komponente vektora ta

r i nar vektora ubrzanja

du tangente Tr

i glavne normale N

r,

koje su po veliini (brojano) jednake at i an prema slici 2.13, komponenta

nar e uvek biti

usmerena prema konkavnoj strani krive (veliina an je uvek pozitivna), dok komponenta ta

r moe biti usmerena ili prema pozitivnom, ili prema negativnom smeru tangente T

r u zavisnosti od

znaka projekcije at . Ukoliko je: 0at > kretanje je ubrzano, 0at < kretanje je usporeno. Intenzitet ubrzanja, poto su komponente meusobno normalne iznosi:

2

K

222n

2t R

vdtdvaaa

+

=+= . (2.22)

Poloaj ubrzanja definisan je uglom n u odnosu na glavnu normalu, koji je dat izrazom:

n

tn a

atg = . (2.23)

Ako je kretanje take definisano u prirodnim koordinatama, poznavajui zakon putanje (2.6) to podrazumeva i poznavanje poluprenika krivine u bilo kojoj taki, korienjem formula (2.8) i (2.18) do (2.23), mogu biti odreeni vektor brzinii vektor ubrzanja u bilo kom trenutku vremena. Primer 2.8.

Slika 2.13. Smer tangencijalnog ubrzanja

Odrediti ubrzanje take iz primera 2.1. Reenje: Komponente ubrzanja take se odreuju po formuli (2.15) i iznose:

6ydt

yda,8xdt

xda 22

y2

2

x ====== &&&& , ubrzanje iznosi:

( ) ( )

=+=+= 2222y2x sm1068aaa .

Ubrzanje take za razliku od brzine koja se menja po odreenom zakonu, je konstantno i iznosi 10 [m/s2]. Primer 2.9. Odrediti ubrzanje take iz primera 2.4. Reenje: Komponente ubrzanja take M iznose: 22y

22x ytsinaya,xtcosa3xa ====== &&&& ,

ubrzanje take: ( ) 2224 ryxa =+= , gde r predstavlja duinu OM tj. vektor poloaja take M. Veliina ubrzanja take se menja proporcionalno njenom rastojanju od centra elipse. Za odreivanje smera vektora ubrzanja ar koristie se izrazi (2.17):

ry

ay

aa

cos,rx

ax

aa

cos yax

a ====== &&&& . Ubrzanje take M za sve vreme kretanja usmereno je du prave OM prema centru elipse. Primer 2.10.

Teret klatna za male oscilacije kree se po krugu poluprenika l prema slici 2.14. Zakon kretanja je s=Csint za koordinatni poetak u taki O, pri emu su veliine C i konstante. Odrediti brzinu, tangencijalno i normalno ubrzanje tereta i one poloaje u kojima ove veliine postaju nula. Reenje: Traene veliine se odreuju pomou odgovarajuih formula i iznose:

Slika 2.14. Ilustracija primera 2.10.

.tcosl

Cl

va

,tsinCdtdva

,tcosCdtdsv

2222

n

2t

==

==

==

Na osnovu zakona kretanja se vidi da teret vri du puta harmonijsku oscilaciju sa amplitudom C. U krajnjim takama A i B je sint= 1, pa je zato cost=0. U ovim takama (take A i B) brzina i normalno ubrzanje postaju nula, ali u ovim poloajima tangencijalno ubrzanje ima najveu vrednost koje iznosi atmaks=C2. Kada teret prolazi kroz koordinatni poetak O, bie s=0, pa je sint=0 a cost=1. U ovom poloaju je at=0, a v i an imaju maksimalne vrednosti:

l

Ca,Cv22

nmaksmaks == .

U ovom primeru se vidi da pri krivolinijskom neravnomernom kretanju u pojedinim takama putanje ubrzanja at i an mugu da budu jednaka nuli. Tangencijalno ubrzanje at=0 u onim takama u

kojima je 0dtdv = , tj. tamo, gde v ima maksimum ili minimum. Normalno ubrzanje an=0 je u onim

takama gde je v=0 ili gde je RK= - prevojna taka putanje. 2.4. POSEBNI SLUAJEVI KRETANJA TAKE 2.4.1. JEDNOLIKO PRAVOLINIJSKO KRETANJE TAKE Pravolinijsko kretanje take moe se smatrati specijalnim sluajem krivolinijskog kretanja, kad

vai da je Rk=, pa je normalno ubrzanje 0Rva

k

2

n == . Ukoliko je kretanje jednoliko, brzina take je stalna (konstantna) pa vai, da je:

0a0

dtdva

constvv

t

0

=

====

. (2.24)

Potrebno je naglasiti, da je samo u sluaju jednolikog pravolinijskog kretanja ubrzanje jednako nuli.

Pravolinijsko kretanje take prikazano ja na slici 2.15. Ukoliko je poznata brzina take v, koja je jednolika:

,ivvv

,constvvs

00

0 rrr&

=====

tada se zakon kretanja take odreuje:

,vdtds

0=

Slika 2.15. Pravolinijsko kretanje take

dtvds 0 = . Integriranjem obe strane jednaine se dobije: +== Ctvsdtvds 00 , integraciona konsranta C se odreuje iz poetnih uslova koji su: 00 sCss0tza === , pa konano, zakon puta ima oblik: tvss 00 += . (2.25) Veliina preenog puta, koju taka prelazi od poetnog poloaja prema slici 2.15. (s-s0=x) bie: tvx 0 = Brzina take je odreena izrazom:

txvv0 == .

Kinematike veliine se grafiki predstavljaju kinematikim dijagramima. Ovi dijagrami se crtaju u Dekartovom koordinatnom sistemu tako, to se na apscisu nanosi vreme (t) a na ordinatu odreena kinematika veliina. Osnovni kinematiki dijagrami su : a) Dijagram puta i vremena (x;t) dijagram, b) Dijagram brzine i vremana (v;t) dijagram, c) Dijagram ubrzanja i vremena (a;t) dijagram. Odgovarajui kinematiki dijagrami jednolikog pravolinijskog kretanja prikazani su na slici 2.16. Dijagram pod a) predstavlja dijagram puta i vremena, koji je jedna prava linija pod uglom u odnosu na apscisu. Dijagram pod b) predstavlja dijagram brzine i vremena, koji je jedna paralelna linija sa apscisom. Dok dijagram pod c) predstavlja dijagram ubrzanja i vremena, koji je sama osa apscise, jer je ubrzanje a=0.

Slika 2.16. Kinematiki dijagrami jednolikog pravolinijskog kretanja

2.4.2 JEDNOLIKO KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAKE Osnovna karakteristika jednolikog krivolinijskog kretanja take je stalna veliina brzine kretanja tj.:

K

2

nt

0

Rvaa

0dtdva

,constsv==

==== &

. (2.26)

Ukupno ubrzanje kretanja je jednako normalnoj komponenti ubrzanja. Vektor ubrzanja ar je za sve vreme kretanja usmeren u pravcu glavne normale na putanju, kako je to prikazano na slici 2.17. Zakon kretanja se odreuje na osnovu poznate brzine kretanja:

0vdtds = ,

dtvds 0 = . Integrirajui obe strane jednaine se dobije: +== Ctvsdtvds 00 ,

integraciona konstanta se odreuje na osnovu poetnih uslova, tako da se u poetku kretanja (t=0) taka nalazila na udaljenju s0 : 0sC = , zakon puta ima oblik: tvss 00 += . (2.27) Bitno je jo jednom da se naglasi, da ubrzanje nije jednako nuli, ve je jednako normalnom ubrzanju koje karakterie promenu pravca vektora brzine pokretne take. 2.4.3. JEDNAKO PROMENLJIVO PRAVOLINIJSKO KRETANJE TAKE Karakteristika jednako promenljivog pravolinijskog kretanja je, da je ubrzanje kretanja konstantno: consta = . (2.28) Pri tome se razlikuju dva sluaja. Ukoliko je ubrzanje vee od nule (a>0) i ima isti znak sa brzinom, kretanje je jednako ubrzano. Ukoliko je ubrzanje negativan (a

2.4.3.1. Jednako ubrzano pravolinijsko kretanje take Kako je ve ranije navedeno, ubrzanje jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja je konstantna i pozitivno:

0constxa >== && . (2.29) Vektor ubrzanja ar i vektor brzine vr imaju iste smerove, kako je to prikazano na slici 2.18. Zakon brzine se dobija integriranjem jednaine (2.29) u odgovarajuim granicama:

=== dtaxddtxxddtxdx &&&&&&& , tavx 0 +=& . (2.30) Brzina pri ovom kretanju raste proporcionalno sa vremenom (ravnomerno) i ima isti smer sa ubrzanjem. Jednaina (2.30) moe da se napie u obliku:

dtatdtvdxtavdtdxx 00 +=+==& .

Drugom integracijom jednaine (2.30) se dobije zakon puta jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja:

2tatvxx

2

00++= . (2.31)

Iz jednaine se vidi, da put raste sa kvadratom vremena.

Kinematiki dijagrami jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja prikazani su na slici 2.19. 2.4.3.2. Jednako usporeno pravolinijsko kretanje take Ubrzanje pri ovom kretanju je takoe konstantno, ali ima negativan znak:

0constxa

Zakon brzine se dobija integriranjem jednaine (2.32) u odgovarajuim granicama: tavxv 0 == & . (2.33) Brzina pri ovom kretanju stalno opada po linearnom zakonu sa vremenom, tj jednako usporeno kretanje uvek mora imati poetnu brzinu. Drugom integracijom jednaine (2.33) se dobije zakon puta jednako usporenog pravolinijskog kretanja oblika:

2tatvxx

2

00+= . (2.34)

Poto brzina stalno opada tokom vremena, postoji vremenski trenutak (t1) kada brzina postaje

jednaka nuli, kao to je prikazano na kinematikom dijagramu brzine slika 2.21: 0vttza 1 == , pa sledi:

av

t0tavv 0110 === . Ukoliko se kretanje nastavlja, ona ima suprotan smer. U vremenskom trenutku t1 dijagram puta ima ekstremnu vrednost. Uvrtavajui vrednost za t1 u jednainu (2.34) dobija se ekstremna veliina puta pri kretanju (x1):

200

00

21

1001 av

a21

av

vx2tatvxx

+=+=

te vrednost za x1 iznosi:

a2

vxx

20

01 += . Prikazujui kinematiki dijagram puta (slika 2.21) vidi se da se u poetku kretanja taka nalazila na

rastojanju x0 i udaljava se sve do veliine puta x1, koju dostie u vremenskom trenutku t1, gde ima ekstremnu vrednost. Pri daljem kretanju, taka menja smer kretanja (brzina postaje negativna) i kretanje se nastavlja u suprotnom smeru. 2.4.4. JEDNAKO PROMENLJIVO KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAKE Pri krivolinijskom kretanju ubrzanje karakterie promenu intenziteta i pravca vektora brzine u toku vremena za razliku od pravolinijskog kretanja, gde postoji samo jedno ubrzanje, jer je pravac kretanja prava linija (an=0). Pri krivolinijskom kretanju tangencijalno ubrzanje karakterie promenu intenziteta brzine take, a normalno ubrzanje karakterie promenu pravca brzine take.

Slika 2.21. Kinematiki dijagrami jednako

usporenog pravolinijskog kretanja

Za sluaj jednako promenljivog krivolinijskog kretanja, (slino kao i u sluaju jednako promenljivog pravolinijskog kretanja) za sve vreme kretanja ubrzanje je konstantno. Pri emu se za sluaj krivolinijskog kretanja to odnosi na tangencijalno ubrzanje. Prema tome krivolinijsko kretanje take je jednako promenljivo, ako je za sve vreme kretanja tangencionalno ubrzanje konstantno:

constsdtdvat === && . (2.35)

I ovde se razlikuju dva sluaja. Ukoliko je tangencijalno ubrzanje vee od nule (at>0) i ubrzanje ima isti znak sa brzinom, kretanje je jednako ubrzano. Ukoliko je tangencijalno ubrzanje negativan (at=== && . (2.36)

Vektor ubrzanja ta

r i vektor brzine vr imaju iste smerove, kako je to prikazano na slici 2.22.

Zakon brzine se dobija integriranjem jednaine (2.36) prema:

dtsdvsadtdv

t === &&&& . Integriranjem leve i desne strane jednaine u odgovarajuim granicama (za t=0, put s=s0, a brzina v=v0) se dobija zakon brzine: tavs t0 +=& . (2.37) Jo jednim integriranjem jednaine (3.37) se dobije zakon puta jednako ubrzanog krivolinijskog kretanja, sledeeg oblika:

2

tatvss

2t

00++= . (2.38)

Normalno ubrzanje odreeno je izrazom:

( )

K

2t0

K

2

n Rtav

Rsa

+== & . (2.39)

slika 2.22. Jednako ubrzano krivolinijsko kretanje

Vektor ubrzanja ar jednak je vektorskom zbiru vektora tangencijalnog tar i vektora normalnog

ubrzanja nar . Poto su vektori tangencijalnog ubrzanja ta

r i vektora brzine vr istog znaka, ugao izmeu ovih vektor bie otar (slika 2.22). 2.4.4.2. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje take

Karakteristika kretanja je konstantno tangencijalno ubrzanje koje je manje od nule (negativno): 0constsat

- pri jednako promenljivom krivolinijskom kretanju ubrzanje je takoe konstantno ali je odreeno vektorskim zbirom dveju komponenti ubrzanja - tangencijalnom i normalnom:

2n2t aaa += .

2.4.5. KRUNO KRETANJE TAKE U sluaju da se taka kree takvim kretanjem, pri kojem postoje obe komponente ubrzanja (at i an) tj. kretanje je krivolinijsko, pri emu poluprenik krivine RK ima konstantnu vrednost, tada se taka M kree po krunoj putanji, prema slici 2.24. Dakle osnovni pokazatelji krunog kretaja su:

constR,0Rva,0

dtdva k

K

2

nt === .

Put take (slika 2.24) moe da se izrazi u funkciji ugla pomeranja i poluprenika putanje RK (poluprenika onog kruga po kojem se taka kree) prema: = Rs . (2.44) Ukoliko je poznat zakon promene ugla po vremenu tj. zakon kretanja =(t), brzina kretanja je definisana izrazom: && == Rsv . (2.45) Brzina definisan izrazom (2.45) se zove obimna brzina krunog kretanja, iji vektor vr pada u pravac tangente na putanju. Izvod ugla po vremenu (& ) se zove ugaona brzina krunog kretanja i obeleava se sa ( =& ).

Komponente ubrzanja se definiu po poznatim izratima (2.20) i (2.21), pa tangencijalno ubrzanje krunog kretanja ima oblik: &&&& == Rsat . (2.46) Gde se drugi izvod ugla po vremenu (&& )zove ugaono ubrzanje krunog kretanja i obeleava se sa (=&& ). Normalno ubrzanje krunog kretanja definisano je izrazom:

K

2

n Rsa&= ,

uzimajui u obzir izraz (2.45) normalno ubrzanje postaje:

R

Ra22

n&= ,

Slika 2.24. Kruno kretanje

ili u konanom obliku: 2n Ra &= . (2.47) Ukupna vrednost ubrzanja se odreuje kao vektorski zbir komponenti, prema: nt aaa += , i na osnovu (2.46) i (2.47) ima oblik:

42Ra &&& += . (2.48) Pravac ubrzanja je definisan uglom n u odnosu na pravac normalne komponente ubrzanja (slika 2.24), koji iznosi:

n

tn a

atg = ,

i na osnovu (2.46) i (2.47) ima oblik:

2n RRtg

&&&

= ,

ili u konanom obliku:

2ntg &&&= . (2.49)

U zavisnosti od karaktera ugaone brzine () i tangencijalnog ubrzanja, odnosno ugaonog ubrzanja () kruno kretanje moe imati oblik jednolikog (ravnomernog) krunog kretanja ili neravnomernog (jednako ubrzanog ili jednako usporenog) krunog kretanja. 2.4.5.1. Jednoliko kruno kretanje take

Kruno kretanje se naziva jednolikim ako je brzina kretanja (obimna brzina) konstantna ( constsv == & ). Poto je poluprenik R konstantan, na osnovu (2.45) moe se zakljuiti da je i

ugaona brzina () konstantna veliina (slika 2.25). Ugaona brzina jednolikog krunog kretanja zove se jo i kruna frekvencija. Tangencijalno ubrzanje zbog konstantnosti brzine kretanja i na osnovu (2.46) je jednako nuli. Dakle osnovne karakteristike jednolikog krunog kretanja su:

0a,const

t ==

. (2.50)

Ugaona brzina kretanja po definiciji ima oblik:

dtd == & ,

ili dtd = . Iz ove jednaine, smatrajui da je u trenutku t = 0, ugao = 0, integriranjem leve i desne strane, uzimajui u obzir poetne uslove kretanja, dobije se zakon puta oblika:

( )tRs

ilit

0

0

+=

+=

. (2.51)

U sluaju da taka obie ceo krug ( = 2), moe se napisati: T2 = ,

gde je 2T = vreme obilaska punog kruga.

Normalno ubrzanje na osnovu (2.47) i (2.50) ima oblik: constRa 2n == . (2.52) 2.4.5.2. Jednako ubrzano kruno kretanje take Kruno kretanje je jednako ubrzano, ako je tangencijalno ubrzanje konstantno i pozitivno: 0constRsat >=== &&&& . (2.53) Na osnovu gornje zavisnosti sledi da je ugaono ubrzanje konstantno i pozitivno: 0const >== && . (2.54)

Slika 2.25. Jednoliko kruno kretanje

Ugaono ubrzanje moe se napisati u obliku:

dtd

dtd === &&& ,

ili dtd = , Iz ove jednaine, smatrajui da je u trenutku t = 0, ugaona brzina = 0, integriranjem leve i desne strane, uzimajui u obzir poetne uslove kretanja, dobije se zakon brzine oblika: t0 +== & . (2.55) Iz jednaine (2.55) smatrajui da je u trenutku t = 0, ugaona brzina =0, a poloaj take po krunoj putanji odreen uglom = 0, jo jednim itegriranjem leve i desne strane, uzimajui u obzir poetne uslove, zakon puta ima oblik:

2tt

2

00++= . (2.56)

Obimna brzina i komponente ubrzanja jednako ubrzanog krunog kretanja imaju oblike:

( )

( ) .tRRa,RRa

,tRRv

20

2n

t

0

+==

==

+==

&

&&

&

2.4.5.3. Jednako usporeno kruno kretanje take Kruno kretanje je jednako usporeno, ako je tangencijalno ubrzanje konstantno i negativno: 0constRsat

2tt

2

00+= . (2.60)

Obimna brzina, tangencijalno i normalno ubzanje jednako usporenog krunog kretanja imaju oblike:

( )

( ) .tRRa,RRa

,tRRv

20

2n

t

0

==

==

==

&

&&

&

Moe se zakljuiti, da ukoliko ugaona brzina i ugaono ubrzanje imaju iste znake (2.55), obrtanje e biti jednako (ravnomerno) ubrzano, a ako su suprotnog znaka (2.59) obrtanje e biti jednako (ravnomerno) usporeno. Takoe postoji analogija izmeu zakona pravolinijskog i krunog kretanja take. Uporeujui formule kojima su definisane kinematike karaktaristike pravolinijskog kretanja (2.25), (2.30), (2.31),(2.33) i (2.43) u kojima su figurisali x,v i a, zamenom sa , i se dobijaju formule za definisanje kinematikih karaktaristika krunog kretanja (2.51), (2.55),(2.56), (2.59) i (2.60). 2.4.6. HARMONIJSKO KRETANJE TAKE Ukoliko se taka kree po pravolinijskoj putanji po zakonu kretanja koja ima oblik: ( )0tsinRx += , (2.61) gde su: - R, i 0 konstante, takvo kretanje take zove se harmonijsko kretanje.

Rastojanje x od koordinatnog poetka O se menja po gore navedenom zakonu (2.61), pri emu taka M vri oscilatorno kretanje izmeu poloaja +R i -R , prikazano na slici 2.26. Oscilovanje po zakonu (2.61) u tehnici ima veoma vanu ulogu, koja se zove i prosto harmonijsko oscilovanje.Veliina R, koja predstavlja najvee udaljenje take od

koordinatnog poetka (centra oscilovanja), zove se amplituda oscilovanja. Taka koja poinje kretanje u trenutku t = 0 iz poloaja M0 (gde je =0) ponovo e doi u isti poloaj za vreme t1, za koji je sin(t1+0)=0 tj. t1 = 2. Vremenski interval T=t1=2/, u kome taka izvri jednu punu oscilaciju, zove se period oscilacije. Reciprona vrednost perioda oscilacije f=1/T=/2 se zove frekvencija oscilacije.Merna jedinica frekvencije oscilacije je Herc [Hz], koja oznaava broj oscilovanja u jednoj sekundi. Harmonijsko kretanje se moe veoma efikasno ilustrovati kao projekcija jednolikog krunog kretanja take, prikazano na slici 2.27. Zakon puta jednolikog krunog kretanja prema (2.51) iznosi:

Slika 2.26.Harmonijsko kretanje

t0 += . Projektujui poloaj take na x oxu ona iznosi: ( )0tsinRx += , to predstavlja jednainu harmonijskog kretanja (2.61). Za sluaj da taka polazi iz koordinatnog poetka O, kada vai da je za t=0, 0=0, projekcija take na x osu definisano je jednainom: tsinRx = . Projektujui poloaj take na y osu, ona iznosi: tcosRy = . Obe ove jednaine predstavljaju harmonijska kretanja, sa faznom razlikom od /2. Eliminisanjem parametra (t) iz gornjih jednaina, dobie se linija putanje tj.krug poluprenika R: 222 Ryx =+ , pa se dve harmonijske oscilacije, sa faznom razlikom od /2, mogu smatrati komponentnim kretanjem take M po krunoj liniji. Brzina take, koja vri harmonijsko kretanje iznosie: ( )0tcosRxv +== & . (2.62) Ubrzanje take pri harmonijskom kretanju iznosie: ( )02 tsinRxa +== && . (2.63) Prema tome, pri ovakvom kretanju i brzina i ubrzanje take tokom vremena, menjaju se po harmonijskom zakonu. Kinematiki dijagrami kretanja predstavljaju sinusoidu i kosinusoidu, prikazane na slici 2.28.

Slika 2.27. Ilustracija harmonijskog kretanja

Dijagram puta i vremena odreen izrazom: )tsin(Rx 0 += , za t =0, 00 sinRx = . Dijagram brzine i vremena ima oblik: )tcos(Rv 0 += , maksimalna brzina je: Rvmaks = Dijagram ubrzanja i vremena dat je izrazom: )tsin(Ra 0

2 += , sa maksimalnom vrednou: 2maks Ra =

Treba ovde istai, da dijagram kretanja (dijagram puta i vremena) treba razlikovati od putanje, koja je prava linija. Pri reavanju zadataka u okviru kinematike take, oni se najee odnose na odreivanje brzine i ubrzanja take, kao i u odreivanju duine puta koji taka prelazi u izvesnom vremenskom intervalu. U prvom koraku neophodno je odrediti zakon kretanja take. Zakon kretanja moe biti dat neposredno uslovima zadatka, i to definasan jednainom kretanja ili karakteristikama, koje odreuju dato kretanje ("taka se kree jednoliko", "taka se kree jednako usporeno"). U ovom sluaju se koriste izvedene formule za reavanje. U drugom sluaju zakon kretanja take nije dat, ali zavisi od kretanja neke druge take. U ovom sluaju reavanje zadatka treba poeti odreivanjem jednaine kretanja posmatrane take. Primer 2.11. Voz, koji se kretao brzinom v0=54 [km/h], zaustavio se za t1=2[min] posle poetka koenja. Smatrajui da se voz za vreme koenja kretao jednako usporeno, odrediti put za vreme koenja. Reenje: Iz uslova zadatka kretanje voza moe da se posmatra kao jednako usporeno pravolinijsko kretaje take, iji zakon je kretanja (puta) odreen jednainom (2.34):

2tatvx

2

0= ,

gde se x meri od onog mesta, odakle je voz poeo koenje (prema tome x0=0). Brzina kretanja na osnovu (2.33) bie jednaka: tavv 0 = ,

Slika 2. 28. Kinematiki dijagrami harmonijskog

kretanja

Poto se voz u trenutku vremena t=t1 zaustavio, to je u ton trenutku brzina v1=0. Smenjivanjem ove vrednosti u gornju jednainu, ona postaje: 10 tav0 = , ili

1

0

tv

a = . Sada je ovu vrednost ubrzanja potrebno zameniti u jednainu zakona kretanja i ako se stavi da je t=t1, dobije se traeni put:

[ ]m9002

tvx 101 == .

Potrebno je skrenuti panju, da je pri proraunima neophodno sve merne jedinice izraziti u istim jedinicama. Obino rastojanje se izraava u metrima a vreme u sekundama. U ovom primeru je:

[ ] [ ]s120t,s/m156,3

543600

100054v 10 ==== . Primer 2.12. ovek visine h udaljava se brzinom v1 od lampe, koja se nalazi na visini H, prikazano na slici 2.29. Odrediti kojom brzinom se kree oveja senka? Reenje: Da bi se mogao reiti ovaj zadatak, potrebno je najpre da se nae zakon po kome se kree oveja senka. Ako se uzima za koordinatni poetak taka O, koja se nalazi na istoj vertikali sa lampom, sa osom x u desno (slika 2.29). Ako se ovek nalazi na proizvoljnom rastojanju x1 na toj osi od take O, u tom sluaju kraj njegove senke bie udaljen za x2 od take O.

Iz slinosti trouglova OAM i DAB moe se napisati:

12 xhHHx = .

Ova jednaina izraava zakon kretanja kraja senke M, ako je poznat zakon kretanja oveka, tj x1=x1(t).

Ako se odredi izvod obe strane jednaine po vremenu, pri emu se uzima u obzir da je 11 v

dtdx = , a

22 v

dtdx = , gde je v2 traena brzina, dobie se:

12 vhHHv = .

Slika 2.29. Ilustracija primera 2.12.

Ako se ovek kree konstantnom brzinom (v1=const), onda e i brzina v2 biti konstantna, ali u

odnosu hH

H vea od brzine oveka.

Neophodno je skrenuti panju, da jednaine kretanja treba postaviti za telo (ili mehanizam) koje se nalazi u proizvoljnom poloaju. Jedino u tom sluaju se mogu odrediti jednaine kretanja koje odreuju poloaj pokretne take u proizvoljnom trenutku vremena. Primer 2.13. Klizai A i B mehanizma prikazanog na slici 2.30, koji su spojeni polugom AB duine l=30 [cm], kreu se pri obrtanju krivaje OD, po meusobno upravnim osama. Krivaja OD duine l/2 vezana je zglobom za sredinu poluge AB. Odrediti zakone kretanja klizaa A i B ako se krivaja obre tako da se ugao poveava proporcionalno vremenu (takvo obrtanje naziva se jednoliko), inei dva obrtaja u minutu. Koliko iznose brzine i ubrzanja klizaa u trenutku kada je ugao =30 ? Reenje: Zakon kretanja taaka A i B mogu se nai, ukoliko se zna kretanje krivaje OD. Prema uslovima zadatka =t, gde je konstantni koeficijent. Poznato je da je u trenutku t=60 [s] ugao =4 (dva obrtaja); prema tome 4=60 odatle je =/15 [s-1]. Za koordinatne ose x i y po slici, odreuju se sada zakoni kretanja klizaa. Poto je ADOD = , sledi da =OAB . Tada je sinly,coslx BA == , odnosno: tsinly,tcoslx BA == . Ove jednaine odreuju zakone kretanja svakog klizaa. Kao to se vidi klizai vre harmonijske oscilacije. Diferencirajui izraze za xA i yB po vremenu, odreuju se brzine i ubrzanja klizaa, koje iznose:

.tsinlya,tcoslyv,tcoslxa,tsinlxv

2BBBB

2AAAA

========

&&&&&&

Kada je ugao =30, veliina t=/6. U tom trenutku vremena bie:

[ ] [ ]

[ ] [ ].s/cm66,0l2/1ya,s/cm44,53l2/1yv,s/cm14,13l2/1xa,s/cm14,3l2/1xv

22BBBB

22AAAA

===========

&&&&&&

Znaci pokazuju smerove vektora brzine i ubrzanja. Kliza A se iz posmatranog poloaja kree ubrzano, a kliza B usporeno. Primer 2.14. Kretanje take M odreeno je jednainama tuz,tcosRy,tsinRx === ,gde su R, i u konstantne veliine. Odrediti putanju, brzinu i ubrzanje take. Reenje:

Slika 2.30. Ilustracija primera 2.13.

Diui prve dve jednaine na kvadrat i posle sabiranja, s obzirom da je 1tcostsin 22 =+ , se dobija: 222 Ryx =+ . Putanje take se nalazi na krunom cilindru poluprenika R, ija se osa poklapa sa osom z, prema

slici 2.31. Izraavajui vreme t iz tree jednaine, i zamenom u prvu se dobije:

= zu

sinRx . Putanja take e biti linija koja se nalazi u preseku cilindra sa poluprenikom R i sinusoidalne povrine, ija je izvodnica paralelna sa osom y. U stvari ova linija je jedna zavojnica. Iz jednaina kretanja se vidi da jedan zavojak zavojnice taka pree za vreme t1, koji se odreuje iz jednaine 2t1 = . Za to vreme taka e se pomeriti du ose z za veliinu

u2tuh 1 == , koja se zove hod (korak) zavojnice. Brzine se odreuju diferenciranjem jednaine kretanja po vremenu, koje iznose:

uz,tsinRy,tcosRx === &&& , odakle je: ( ) 22222222222 uRutsintcosRzyxv +=++=++= &&& . Sve veliine pod kvadratnim korenom su konstantne to zani, da se taka kree brzinom konstantnog intenziteta, koja je usmerena po tangenti putanje. Komponente ubrzanja se dobijaju diferenciranjem izraza brzine po vremenu, koje iznose: 0z,tcosRy,tsinRx 22 === &&&&&& , odakle je: 222 Ryxa =+= &&&& . Kretanje se vri sa ubrzanjem konstantnog intenziteta. Pravac vektora ubrzanja se odreuje pomou uglova pravaca prema (2.17), koji iznose:

0az

aa

cos,Rytcos

ay

aa

cos,Rxtsin

ax

aa

cos zay

ax

a =========== &&&&&& . Sa slike se vidi da je:

cosRy,cos

Rx == ,

gde su uglovi i uglovi koje zaklapa poluprenik R sa osama x i y . Kako se uglovi a i a razlikuju od kosinusa uglova i samo po znaku, moe se zakljuiti, da je ubrzanje take usmereno, za sve vreme kretanja po polupreniku cilindra, prema njegovoj osi.

Slika 2.31. Ilustracija primera 2.14.

U ovom primeru se vidi da ubrzanje take nije jednako nuli, mada se ona kree brzinom konstantnog intenziteta. Poto se kretanje take odvija po povrini cilindra po zavojnici, njen pravac se stalno menja, to znai da postoji normalno ubrzanje take. Primer 2.15. Voz poinje da se kree jednako ubrzanim kretanjem po krivini poluprenika R = 800 [m], dostigne brzinu od v1 = 36 [km/h]. Odrediti brzinu i ubrzanje voza na sredini tog puta. Reenje: Poto se voz kree jednako ubrzano i kako je v0 = 0, to se zakon njegovog kretanja odreuje prema izrazu (2.38), pri emu je s0 = 0:

2ta

s2

t = , a brzina prema (2.37) iznosi:

tav t = .

Ukoliko se eliminie vreme t iz ovih jednaina, dobija se: sa2v t

2 = . Prema uslovima zadatka, kada je s = s1, tada je v = v1.Odatle se dobije:

1

21

t s2v

a = . Na sredini puta, pri s2 = 1/2s1, brzina v2 bie jednaka:

11t2t2 v21sasa2v === .

Normalno ubrzanje na tom mestu putanje je jednako:

R2

vRv

a21

22

2n == . Ukupno ubrzanje voza na sredini puta iznosi:

221

21

2n

2t R

1s1v

21aaa +=+= .

Smenjivanjem brojane vrednosti se dobije:

[ ] [ ]222 s/m1,0485a,s/m1,7v = . Primer 2.16. Taka izbaena horizontalnom brzinom kree se po zakonu, koji je odreen jednainama:

20 tg21y,tvx == ,

dge su v0 i g neke konstante. Odrediti putanju, brzinu i ubrzanje take, kao i tangencijalno i normalno ubrzanje i poluprenik krivine putanje u proizvoljnom poloaju, s tim da se sve ove veliine izraze preko brzine take u tom poloaju. Reenje: Iz prve jednaine, odreeno vreme kada se smeni u drugu jednainu dobije se:

220

xv2gy = .

Putanja take je parabola, prema slici 2.32. Diferenciranjem jednaina kretanja po vremenu, se dobija:

tgydtdyv,vx

dtdxv y0x ====== && ,

odakle je 2220

2y

2x tgvvvv +=+= . (a)

U poetku kretanja (t = 0) brzina take je v = v0 , a zatim se u toku vremena brzina take neprekidno poveava. Komponente ubrzanja take iznosi:

gydt

yda,0xdt

xda 22

y2

2

x ====== &&&& , Pa i ukupno ubrzanje take iznosi: ga = . Taka se kree konstantnim ubrzanjem koje je usmereno du ose y. Bez obzira na to, da je ubrzanje konstantno a = const, ipak taka se ne kree jednako promenljivim krivolinijskim kretanjem, jer za jednako promenljivo krivolinijsko kretanje treba da bude ispunjem uslov (2.35) tj. da je at = const, a ne a = const. Pri ovom kretanju, at nije konstantno. Znajui zavisnost v od t, prema (a), tangencijalno ubrzanje iznosi:

v

tgtgv

tgdtdva

2

2220

2

t =+== ,

Iz jednaine (a) sledi da je 2220

2 tgvv += , pa prema tome vreme t iznosi:

202 vv

g1t = .

Smenjujui vrednost za t u jednainu za at ono se dobija u funkciji v prema:

Slika 2.32. Ilustracija primera

2.16.

220

t vv

1ga = . Iz ove jednaine se moe zakljuiti, da je u poetnom trenutku kada je v = v0 ,at = 0. Zatim, sa poveanjm v, vrednost at raste i pri v, atg ,to znai, da e u graninom sluaju tangencijalno ubrzanje teiti totalnom ubrzanju g. Normalno ubrzanje an se dobija iz zavisnosti: 2n

2t

2 aaa += . Odavde je:

2202

2

20222

t22

n vv

gvv

1ggaaa =

== ,

odnosno

v

gva 0n

= . U poetnom trenutku vremena (v = v0) an = g, a zatim se sa poveanjem v vrednost an smanjuje i u graninom sluaju tei nuli. Poluprenik krivine se odreuje iz izraza:

K

2

n Rva = .

Odavde je:

gv

vavR

0

2

n

2

k == . U poetku kretanja poluprenik krivine ima najmanju vrednost:

gv

R20

minK = , zatim sa poveanjem v poluprenik krivine raste, pa se krivina putanje K stalno smanjuje. Kada v i RK, a krivina K tei nuli.

3. KINEMATIKA KRUTOG TELA

U prirodi su sva tela vrsta, koja su pri kretanju podvrgnuta deformacijama, to znai da se rastojanja dveju taaka tela menja pod uticajem sila i spregova, i telo menja svoj oblik. Predmet prouavanja kinematike su kretanja krutih tela. Pod krutim telom se podrazumeva ono telo, kod koga se tokom kretanja meusobno rastojanje taaka tela ne menja. Takva tela u prirodi ne postoje, ona su samo zamiljena. Pri ispitivanju kretaja krutih tela u kinematici, zanemaruje se i njihova materijalnost tj. ispituju se kretanja samo geometrijskih oblika. Pod krutim telom se podrazumeva skup geometrijskih taaka rasporeenih u prostoru, koje obrazuju sistem taaka. Poloaj krutog tela u prostoru u optem sluaju se odreuje generalisanim koordinatama. Generalisane koordinate su nezavisni parametri pomou kojih se jednoznano moe odrediti poloaj tela u svakom trenutku vremena u odnosu na izabrani koordinatni sistem. Broj generalisanih koordinata je identian sa brojem stepeni slobode kretanja. O pojmu generalisanih koordinata i broju stepeni slobode kretanja, bilo je ve rei u prvom delu mehanike, u analitikoj statici. Kretanje krutog tela u optem obliku, tj osnovna kretanja slobodnog krutog tela su translatorno i obrtno kretanje. Iz ovih osnovnih kretanja sastoje se sva ostala kretanja, koja se odnose na delimino vezana (neslobodna) kruta tela, koje su: 1. Translatorno kretanje krutog tela (ista translacija), 2. Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose (ista rotacija), 3. Ravno kretanje krutog tela (translacija + rotacija u ravni), 4. Obrtanje krutog tela oko nepokretne take, 5. Opte kretanje slobodnog krutog tela, 6. Sloeno kretanje krutog tela. U daljem delu prouie se sva navedena kretanja. 3.1. TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TELA Kretanje krutog tela naziva se translatornim, pri kojem u toku kretanja, linija koja spaja dve take krutog tela uvek ostaje sama sebi paralelna. Pri translatornom kretanju sve take krutog tela opisuju istovetne putanje. Translatorno kretanje ne treba meati sa pravolinijskim kretanjem. Pri translatornom kretanju

putanje taaka tela mogu da budu proizvoljne krive linije. Prema tome translacija moe da bude pravolinijska i krivolinijska, kako je prikazano na slici 3.1. Na ovoj slici proizvoljna prava AB tela premeta se u poloaj A1B1 tako da ostaje sama sebi uvek paralelna. Ova translacija moe da bude izvedena po pravoj liniji (puna linija) ili pak po proizvoljnoj krivoj liniji (takasta linija). Poloaj taaka A i B u trenutku vremena t odreen je vektorima poloaja Ar

r i Brr . Vektror r koji

odreuje poloaj take A u odnosu na taku B je konstantan, jer je telo kruto.

Isto tako ni pravac vektora r se ne menja, jer se telo kree translatorno. Pa se moe zapisati:

Slika 3.1. Translatorno kretanje

constAB == r , rrr += AB rr . (3.1) Pri kretanju tela vektori poloaja Ar

r i Brr se menjaju tokom vremena. Brzine taaka A i B se

odreuju diferenciranjem obe strane jednaine (3.1) po vremenu, to daje:

( )dtd

dtrd

rdtd

dtrd

v AAB

Brrrrrr +=+== ,

gde su:

- dtrd Ar

brzina take A,

- 0dtd =r

jer je vektor r konstantna veliina. Konano, sledi da je: BA vv

rr = . (3.2) to znai, da su brzine taaka A i B u bilo kom trenutku vremena jednake po intenzitetu, pravcu i smeru. Diferenciranjem obe strane jednaine (3.2) po vremenu se dobija:

dtvd

dtvd BA

rr= ,

ili BA aa

rr = . (3.3.) Prema tome i ubrzanja taaka A i B u bilo kom trenutku vremena su jednaka po intenzitetu, pravcu i smeru. Iz dobijenih rezultata moe se zakljuiti, da se pri translatornom kretanju krutog tela sve take tela kreu na isti nain, imaju istovetne putanje, vektore brzina i vektore ubrzanja. Translatorno kretanje krutog tela je potpuno odreeno kretanjem samo jedne njegove take, na pr. teita. Translatorno kretanje ima tri stepena slobode kretanja n = 3 i jednaine kretanja u analitikom obliku su jednake:

).t(zz),t(yy),t(xx

CC

CC

CC

===

Neki primeri translatornih kretanja su: 1. Klipovi u motoru sa unutranjim sagorevanjem, ili karoserija automobila na pravom i ravnom putu. Oba ova kretanja su pravolinijska, jer putanje svih taaka su prave linije. 2. tap AB prikazan na slici 3.2. pri obrtanju poluge O1A i O2B se kree translatornim kretanjem pod uslovom da su poluge jednake duine ( RAOAO 21 == ). Za poznat zakon promene ugla po vremenu, tj. zakon kretanja oblika:

tk = , gde je: - k konstanta. Projekcije take A za oznaen koordinatni sistem iznose:

.tksinRsinRy,tkcosRcosRx

A

A

====

Izraavajui trigonometrijske funkcije iz gornjih jednaina se dobija:

.

Ry

tksin

,Rx

tkcos

A

A

=

=

Dizanjem jednaina na kvadrat i sabiranjem se eliminie parametar t pa se dobija putanja oblika:

1Ry

Rx

tksintkcos 22A

2

2A22 =+=+ ,

ili 222 Ryx =+ . to predstavlja krunu putanju. Zakon puta bie jednak: tkRRs A == . Brzina kretanja:

constkRdt

dsv AA === ,

pri emu su vektori brzina svih taaka iste: CBA vvv

rrr == . Komponente ubrzanja (poto se radi o krivolinijskom kretanju) iznose:

0dt

dva AAt == ,

22

An kRRva == .

Na osnovu gornjih jednaina moe se zakljuiti, da se take tapa AB kreu po krunim linijama sa jednolikim krunim kretanjem. Vektori brzina imaju pravac tangente na putanju, a vektori ubrzanja (postoji samo normalno ubrzanje) imaju pravac glavne normale na putanju. U ovom primeru prikazano je krivolinijsko translatorno kretanje.

Slika 3.2. Translatorno kretanje tapa AB

Bitno je jo jednom napomenuti, da je pri translatornom kretanju brzina vr svih taaka ista i zove se brzina translatornog kretanja, ubrzanje ar je takoe zajedniko za sve take tela i zove se ubrzanje translatornog kretanja. Vektori vr i ar mogu biti ucrtani u bilo koju taku tela pri translatornom kretanju. Brzina i ubrzanje tela ima smisla samo pri translatornom kretajnu. U svim ostalim sluajevima kretanja tela, pojedine take tela kreu se razliitim brzinama i razliitim ubrzanjima. 3.2. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE OSE

Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose je takvo kretanje, pri kome bilo koje dve take tela ostaju za vreme kretanja nepokretne. Ako su te dve take tela A i B nepokretne, onda se kroz njih moe postaviti prava, koja se zove nepokretna osa. Sve take krutog tela koje se nalaze na ovoj osi ostaju nepokretne, dok ostale take tela pri ovom obrtanju opisuju krune putanje u ravnima normalnim na nepokretnu osu obrtanja prema slici 3.3. Na ovoj slici nepokretna osa sa jednim krajem se nalazi u sferni zglob, drugim krajem u voici. Postoje i takvi sluajevi obrtaja tela oko ose, pri kojima nijedna taka tela ne pripada obrtnoj osi, na pr. guma automobilskog toka. Poloaj tela pri obrtanju, poto take tela opisuju krune putanje odreen je uglom , koji se meri u odnosu na referentnu, nepominu ravan O. To znai, da ovo kretanje ima samo jedan stepen slobode kretanja, za ega je potrebno imati samo jedan podatak. Da bi poloaj tela u svakom vremenskom trenutku bio odreen, potrebno je poznavati zavisnost ugla od vremena t oblika:

)t( = . (3.4) Jednaina (3.4) definie zakon obrtnog kretanja krutog tela. 3.2.1. UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJE Kinematike karakteristike krutog tela pri njegovom obrtanju oko nepokretne ose su: - ugaona brzina - , - ugaono ubrzanje -. Obe ove kinematike karakteristike proizilaze zbog promene ugla obrtanja po vremenu. Ako se telo obrne iz poloaja M1 u M2 za ugao = 2 - 1 u vremenu t = t2 - t1, tada se odnos prirataja ugla obrtanja i intervala vremena t zove srednja ugaona brzina tela, koja iznosi:

12

1122sr tt

)t()t(t

== .

Slika 3.3. Obrtanje krutog tela oko

nepokretne ose

Ugaona brzina tela u datom trenutku vremena t je veliina kojoj tei srednja ugaona brzina sr, kada interval vremena tei nuli, dakle:

tlim 0t

= , ili

&==dtd

. (3.5)

Na taj nain, ugaona brzina krutog tela, koje se obre oko nepokretne ose jednaka je po intenzitetu prvom izvodu ugla obrtanja po vremenu. Dimenzija ugaone brzine je:

[ ]1ss1

sekundaradijan

vremeugao ==== .

Pri neravnomernom obrtanju ugaona brzina se menja tokom vremena. Veliina koja karakterie promenu ugaone brzine tokom vremena je ugaono ubrzanje. Ako u trenutku vremena t1 ugaona brzina iznosi 1 a u trenutku t2 = t1+t iznosi 2, tada se kolinik prirataja ugaone brzine = 2 - 1 i intervala vremena t zove srednje ugaono ubrzanje, koje iznosi:

12

1122sr tt

)t()t(t

== .

Ugaono ubrzanje tela u datom trenutku vremena t, je veliina kojoj tei srednje ugaono ubrzanje sr, kada interval vremena tei nuli, dakle:

t

limlim 0tsr0t == ,

ili

&&& ==== 22

dtd

dtd

. (3.6)

Ugaono ubrzanje krutog tela, koje se obre oko nepokretne ose u datom trenutku vremena, po intenzitetu je jednako prvom izvodu ugaone brzine po vremenu ili drugom izvodu ugla obrtanja po vremenu. Dimenzija ugaonog ubrzanja je jednaka [s-2]. Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja su vektori u pravcu ose obrtanja (slika 3.4) : k,k

rrrr == . Intenzitet ovih vektora (brojana vrednost) se odreuje na osnovu zavisnosti (3.5) i (3.6). Smer vektora ugaone brzine r je u onu stranu ose, iz koje se vidi obrtanje tela u smeru suprotnom od kretanja skazaljke na satu. za >0 obrtanje je pozitivno, za

vektora ugaone brzine r , ako je kretanje ubrzano, tj. >0 (veliine i su istog znaka), odnosno razliitog su smera ako je kretanje usporeno tj.

1

Ctdtddtd +=== , integraciona konstanta se odreuje iz poetnih uslova, pri emu se smatra da je u trenutku t =0, ugaona brzina = 0, vrednost integracione konstante iznosie C1 =0 , pa zakon ugaone brzine ravnomerno promenljivog obrtanja ima oblik: t0 += . (3.12) Jo jednim integriranjem jednaine (3.12) se dobije zakon puta ravnomerno promenljivog obrtnog kretanja:

22

000 Ct21tdttdtddttdtdtd

dtd ++=+=+=== ,

integraciona konstanta C2 se odreuje iz poetnih uslova, koji su t =0, = 0 i =0 iz kojih sledi vrednost za C2 =0, i konaan oblik zakona puta ravnomerno promenljivog obrtanja:

200 t21t ++= . (3.13)

Obrtanja za sluaj da je : =const >0 je jednako ubrzano ( i imaju iste znake), =const

Bitno je napomenuti, da je ugaona brzina jednaka za sve take tela koje se obre, a obimne brzine vi pojedinih taaka tela su proporcionalne rastojanjim tih taaka od obrtne ose. Obimne brzine taaka su usmerene du tangente na krune putanje, i lee u ravni koja je normalna na obrtnu osu, kao to je prikazano na slici 3.5. Za rastojanje r take M od koordinatnog poetka sistema (slika 3.4), obimna brzina take iznosi:

= Rv , ili sinrv = , gde je: - ugao izmeu obrtne ose i rastojanja r. Ako se rr smatra vektorom poloaja take M, naznai se vektor ugaone brzine, koja se nalazi u osi obrtaja (slika 3.6), tada vektor obimne brzine (s obzirom na definiciju vektorskog proizvoda) ima oblik: rv

rrr = . (3.15) Dakle, vektor obimne brzine take tela pri obrtnom kretanju, jednak je vektorskom proizvodu vektora ugaone brzine i vektora poloaja take. 3.2.4. UBRZANJA TAAKA TELA KOJE SE OBRE OKO NEPOKRETNE OSE Kao to je ve reeno take tela se kreu po krunim putanjima, tj. po krivim linijama i ubrzanje taaka sastojae se iz dve komponente ubrzanja (tangencijalnog i normalnog). Intenzitet tangencijalnog ubrzanja prema (2.20) iznosi:

dtdR)R(

dtd

dtdvat

=== , ili konano = Rat . (3.16) Intenzitet normalnog ubrzanja na osnovu (2.21) ima oblik:

R

RRva

22

K

2

n== ,

ili konano 2n Ra = . (3.17) Tangencijalno ubrzanje at usmereno je u pravcu tangente na putanju (u smeru kretanja, ako se telo obre ubrzano, ili u suprotnom smeru, ako je obrtanje usporeno). Normalno ubrzanje an uvek je usmereno u pravcu poluprenika R prema obrtnoj osi, kako je prikazano na slici 3.7. Ukupno ubrzanje take M na osnovu (2.22) ima oblik:

Slika 3.5. Obimne brzine taaka pri obrtanju tela oko nepokretne ose

Slika 3.6. Vektor obimne brzine

42222n2t RRaaa +=+= ,

odnosno

42Ra += . (3.18) Pravac vektora ubrzanja u odnosu na poluprenik, koji odreuje poloaj take tela na krunoj putanji odreen je uglom n, koji na osnovu (2.23) iznosi:

2n

tn R

Raa

tg == ,

ili

2ntg = . (3.19)

Poto u jednom datom trenutku vremena sve take tela imaju istu ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje , iz formula (3.18) i (3.19) proizilazi, da e ukupno ubrzanje taaka tela koje se obre oko nepokretne ose, biti proporcionalno njihovim rastojanjima od obrtne ose i zaklapati jedan isti ugao n sa poluprenikom krune putanje take (slika 3.7). Vektor ubrzanja proizvoljne take M tela, moe da se dobije i diferenciranjem vektorske jednaine (3.15) po vremenu, koja ima oblik:

dtrdr

dtd)r(

dtd

dtvda

rrrrrrrr +=== , gde su:

- dtdr vektor ugaonog ubrzanja (r ),

- dtrdr vektor ugaone brzine ( rv rrr = ).

Pa se moe napisati: )r(ra

rrrrrr += . (3.20) U izrazu (3.20) prvi lan ( rrr ) predstavlja vektor tangencijalnog ubrzanja ( ta

r ), a drugi lan [ )r( rrr ] predstavlja vektor normalnog ubrzanja ( na

r ) take M. Vektor normalnog ubrzanja uvek je usmerena

prema centru krune putanje (osi obrtanja). Smer tangencijalnog ubrzanja zavisi od vrste kretanja, i to za sluaj jednako ubrzanog obrtanja smer vektora tangencijalnog ubrzanja je identian sa smerom vektora obimne brzine (slika 3.8.a), a za jednako usporeno obrtanje ima suprotan smer od vektora obimne brzine (slika 3.8.b). Primer 3.1. Vratilo koje se obre sa n =90 [obrtaja/min] posle iskljuenja motora poinje da se obre ravnomerno usporeno i zaustavi se posle t1 = 40 [s]. Odrediti koliko je obrtaja izvrilo vratilo za to vreme. Reenje: Poto se vratilo obre ravnomerno usporenim obrtanjem, na osnovu (3.13) i (3.12) moe se napisati:

Slika 3.7. Vektor ubrzanja pokretne take

Slika 3.8. Smerovi vektora ubrzanja za jednako

ubrzano i jednako usporeno kretanje

20 t21t = , (a)

t0 = . (b) Poetna ugaona brzina vratila pri usporenom obrtanju bie ona, koju je vratilo imalo u momentu iskljuenja motora. Prema tome:

30

n0

= . U trenutku zaustavljanja t = t1 ugaona brzina (obrtanje) vratila je 1 =0. Ako se ova vrednost unese u jednainu (b) dobie se:

,t30

n0 1= i

1t30

n= .

Ako se oznai broj obrtaja koji vratilo izvri za vreme t1 sa N (pri emu ne sme se meati sa n, jer n je ugaona brzina!) onda e ugao obrtanja, koji e vratilo uiniti za ovo vreme biti 1 = 2N. Smenjujui vrednosti za i 1 u jednainu (a), dobija se:

111 t60nt

60nt

30nN2 == ,

odakle je

[ ]obrtaja30120

tnN 1 == .

Primer 3.2. Zamajac poluprenika R = 1,2 [m] obre se ravnomerno sa n = 90 [obrtaja/min]. Odrediti brzinu i ubrzanje take, koja se nalazi na obimu zamajca. Reenje: Brzina take na osnovu (3.14) je v =R, gde je ugaona brzina, koju obavezno treba izraziti u radijanima u sekundi. U ovom sluaju je:

[ ]1s330

n == . Tada je

[ ]s/m3,11R30

nv = . Poto je = const, to je =0, pa e ubrzanje take imati samo normalnu komponentu:

[ ]2222n s/m6,106R900nRaa === . Ubrzanje take usmereno je prema obrtnoj osi. Primer 3.3. U poetku kretanja zamajac se obre po zakonu:

3t

329= .

Odrediti brzinu i ubrzanje take koja se nalazi na rastojanju R = 0,8 [m] od obrtne ose, u onom trenutku, kada tangencijalno ubrzanje te take bude jednako sa normalnim ubrzanjem. Reenje: Ugaona brzina i ugaono ubrzanje zamajca na osnovu (3.5) i (3.6) bie jednako:

t1627

dtd

dtd,t

3227

dtd

2

22 ===== .

Tangencijalno i normalno ubrzanje prema (3.16) i (3.17) imaju oblike: 2nt Ra,Ra == . Ako se vremenski trenutak kada at = an, oznai sa t1, u tom trenutku bie 1 = 12 ili:

41

2

1 t3227t

1627

= ,

odakle je

2764t 31 = , odnosno [ ]s3

4t1 = . Smenjujui ovu vrednost za t1 u izraze za i , dobija se da je u trenutku vremena t1:

[ ] [ ]2111 s49,s23 == . Odavde su traene veliine jednake:

[ ] [ ]22121111 s/m54,228,1Ra,s/m2,1Rv =+=== .

Vektor 1ar usmeren je pod uglom od 45 prema polupreniku R.

Primer 3.4. Teret B prema slici 3.9, dovodi u obrtanje vratilo poluprenika r i zupanik 1 poluprenika r1, koji je vrsto vezan za vratilo. Kretanje tereta poinje iz stanja mirovanja i vri se sa konstantnim ubrzanjem a. Odrediti po kom e se zakonu obrtati u tom sluaju zupanik 2, poluprenika r2, koji je spregnut sa zupanikom1. Reenje: Poto teret poinje da se kree bez poetne brzine, to e njegova brzina vB u proizvoljnom trenutku vremena t biti jednaka at (vB =at).Tu istu brzinu e imati i taka na obimu vratila. Sa druge strane, brzina te take.

Slika 3.9. Ilustracija primera 3.4.

jednaka je r1, gde je 1 zajednika ugaona brzina obrtanja vratila i zupanika 1. Prema tome : r

tatarv 11B=== .

Potrebno je sada odrediti 2. Kako se u taki C dodiruju zupanici, brzina na obimu oba zupanika u toj taki mora biti ista, pa je vC =r11 =r22, odakle je :

trrar

rr

2

11

2

12

== . Prema tome, ugaona brzina obrtanja zupanika 2 se poveava proporcionalno sa vremenom.Poto

je dt

d 22

= , gde je 2 obrtni ugao zupanika 2, dobie se:

tdtrrard

2

12

= . I iz ove jednaine posle integriranja obe strane, smatrajui da je u trenutku t = 0 obrtni ugao 2 =0 , odreuje se zakon jednako ubrzanog obrtanja zupanika 2 u obliku:

2

2

12 trr2

ar = . 3.3. RAVNO KRETANJE KRUTOG TELA Ravno kretajne krutog tela je takvo kretanje, pri kome se sve take tela kreu paralelno prema nekoj nepokretnoj ravni , prikazno na slici 3.10. Ravnim kretanjem se kree na pr. poluga klipnog mehanizma, kotur koji se kotrlja na pravolinijskom putu i sl. Za prouavanje ravnog kretanja tela kao celine, dovoljno je da se proui kretanje preseka S tela sa ravni xy, koji u kinematikom smislu u potpunosti zamenjuje itavo kruto

telo. Poloaj preseka S u ravni xy u potpunosti je odreen poloajem taaka A (xA ,yA) i B(xB ,yB), tj. sa etiri podataka (slika 3.11). Zbog krutosti tela (pa i preseka S) rastojanje taaka lAB = je nepromenjeno i moe se napisati jednaina veze oblika:

( ) ( )2AB2AB2 yyxxl += , iz ega sledi da su samo tri koordinate nezavisne, pa je ravno kretanje odreeno sa tri nezavisna parametra, tj. ima tri stepeni slobode kretanja. To su dve translacije du osa x i y i jedna rotacija oko upravne ose ( osa z) na presek S. Poloaj preseka S moe da se odredi poloajem

Slika 3.10. Ravno kretanje tela

Slika 3.11. Poloaj preseka S u ravni

proizvoljne take A sa koordinatama xA i yA i uglom koji obrazuje proizvoljno povuena a du AB u preseku S, sa osom x. Taka A koji je proizvoljno izabran u preseku S zove se pol. Pri kretanju tela tokom vremena se menjaju xA , yA i . Kretanje tela je poznato, ukoliko su poznate promene ovih generalisanih koordinata po vremenu:

( )( )

( ).tf,tfy,tfx

3

2A

1A

===

(3.21)

Jednaine (3.21) definiu zakon ravnog kretanja tela.

Razmatrajui dva uzastopna poloaja I i II, koje zauzima presek S pri ravnom kretanju tela, prema slici 3.12. To pomeranje moe se izvesti najpre jednim translatornim kretanjem, pri kojem prava 11BA zauzima poloaj

'12 BA , zatim okretanjem preseka S oko

pola A2 za ugao do poloaja B2. Odavde moe se zakljuiti, da se ravno kretanje krutog tela sastoji iz dva komponentna kretanja, to su: translatorno kretanje, pri kome se sve take tela kreu isto tako kao i pol A i obrtno kretanje oko pola A. Pri prouavanju ravnog kretanja moe se za pol izabrati bilo koja taka. Ako se

pri pomeranju iz poloaja I i II (slika 3.12.) izabere taka B za pol, tada e se telo pomeriti translatornim kretanjem prvo do take B2 ( pri tom pomeranju prava 11 AB zauzee poloaj

'12 AB ),

zatim okretanjem tela oko take B2 za ugao zauzee konani poloaj II. Vidi se da se translatorno pomeranje B1B2 razlikuje od translatornog pomeranja A1A2, dok obrtni deo ostaje isti, jer je

'12

'12 BAAB (ugao je isti). Prema tome, obrtni deo kretanja ostaje isti i ne menja se kada se za

polove biraju druge take. Prve dve jednaine (3.21) karaktariu translatorni deo kretanja a trea obrtanje krutog tela oko pola. Osnovne kinematike karakteristike ravnog kretanja su brzina i ubrzanje translatornog dela kretanja, koje su jednake brzini i ubrzanju pola ( Av

r i Aar ) i ugaona brzina i ugaono ubrzanje ( i )

obrtnog dela kretanja oko pola. Ove veliine u bilo kom trenutku vremena t mogu se odrediti iz jednaina (3.21). Promenom pola menjaju se karakteristike translatornog dela kretaja, dok karaktaristike obrtnog dela kretanja ostaju nepromenjene. 3.3.1. PUTANJA TAAKA TELA PRI RAVNOM KRETANJU Za odreivanje putanje pojedinih taaka tela, dovoljno da se odredi putanja take koja lei u preseku S. Ukoliko je poloaj take M tela koji se nalazi u preseku S odreen ratojanjem AM =l i uglom prema slici 3.13, a kretanje tela odreeno jednainama (3.21), onda e koordinate take M biti odreene sa:

( )( ),sinlyy

,coslxx

AM

AM

++=++=

(3.22)

Slika 3.12. Komp