1. Kinematikai alapmennyiségek: elmozdulás, sebesség, gyorsulás, út

A kinematika a mozgás matematikai leírása, az ok feltárása nélkül. Tekintsünk a

továbbiakban tömegpontokat. A tömegpont olyan test, melynek jellemző méretei kicsik a

pálya méreteihez képest. Egy tömegpont vagy bármely test helyzetét és helyzetváltozását is

csak más (esetleg képzeletbeli) testekhez viszonyítva jellemezhetjük, vagyis minden mozgás

viszonylagos, relatív. A mozgás leírásához választani kell egy vonatkoztatási rendszert:

matematikailag ez egy koordináta-rendszert jelent. A tömegpont helyzetét egy adott t

időpillanatban egy helyvektorral jellemezzük, ami a vonatkoztatási rendszer origójából a

tömegponthoz húzott vektor: .

Az elmozdulás a t1 és a t2 időpillanat között: , ez is vektormennyiség.

Sebesség: , azt jellemzi, milyen gyorsan változik a helyvektor (az irány és a nagyság

is fontos!), pontosabban a helyvektor változási gyorsasága, vagyis idő szerinti deriváltja

Gyorsulás: , a sebességvektor változási gyorsasága, azaz idő szerinti deriváltja.

Ezekből az összefüggésekből leolvasható, hogy a sebesség-idő függvény a gyorsulás-idő

függvényből integrálással kapható meg:

,

a hely-idő függvény pedig ebből további integrálással adódik:

A megtett út - amely a mozgás során leírt pályavonal hosszát jelenti (tehát skalár, és nem

vektormennyiség) - kiszámításánál is a sebesség fontos, az viszont mindegy, milyen irányban

haladt a test. Tegyük fel, hogy a vonat 80km/h-val halad, ekkor mindegy, hogy észak felé

megy egy órát, vagy kelet felé, a megtett úgyis 80km lesz, tehát csak a sebességvektor

nagysága számít, vagyis csak az abszolút-értékét kell integrálni. Tehát az út

kiszámításának módja:

.

2. Koordináta-rendszerek

Derékszögű Descartes koordináta rendszer

Koordináták: x, y, z; Ezek az adott pontot jellemzik. Ha a pont mozog, általában függnek az

időtől.

Egységvektorok: , , , merőlegesek egymásra, egységnyi hosszúak, jobbsodrású

rendszert alkotnak. Ezek a koordináta-rendszert jellemzik, nem függnek az időtől. A pont

helye a t időpillanatban:

(t)= x(t) + y(t) + z(t) ,

tehát pl. az x koordináta adja az irányban az origótól mért távolságot. A Pitagorasz-tétellel

kapjuk, hogy és pl. .

A sebesség: (t)= + + , ebből a sebesség nagysága: . A változó

fölé tett pont idő szerinti deriválást jelöl, tehát , , a sebességvektor koordinátái.

A gyorsulás: (t)= + + , ebből a gyorsulás nagysága:

Síkpolár koordináta rendszer

Kétdimenziós mozgások leírására alkalmas koordináta rendszer. A koordináták: r és (r az

origótól mért távolság, a tengelytől mért szög).

Példa polár koordináta rendszerre

A síkpolár koordináta rendszer különösen körmozgás leírásánál előnyös, ha az origót a kör

közepén vesszük fel, mivel ekkor csak egy koordináta változik.

Határozzuk meg a Descartes-koordinátákkal való kapcsolatot. Ha adva van x és y, akkor a

síkpolár koordinátákat a következőképp számítjuk ki:

és

Fordítva, ha r és van megadva, a Descartes-koordinátákat az

,

formulákkal kapjuk.

A szögsebesség definíciója: , a szög változási gyorsasága (a szöget radiánban mérve).

Szöggyorsulás: azaz milyen gyorsan változik a szögsebesség.

Henger-koordináta rendszer

Három dimenzióban lehet vele megadni a pontok helyzetét, ezért három koordinátára van

szükség: Koordináták: r és (ugyanaz, mint a síkpolárnál) és h, ami a harmadik dimenziót

adja. Különösen csavarszerű mozgások leírásánál előnyös. Ugyanis ha a tömegpont egy

hengerpaláston mozog, akkor az r koordináta állandó. Ha emellett és h egyenletesen

változnak, akkor egy csavarszerű spirális pályán mozog a test.

3. Példák (egyenletesen változó mozgás, ferde hajítás stb.)

Példa 1. – Egyenes vonalú egyenletes mozgás

A sebességvektor állandó, a pálya egyenes, ezért egy dimenzióban tárgyaljuk.

A gyorsulás nulla, mivel konstans deriváltja nulla. A megtett út kiszámítása:

,

(felhasználtuk, hogy a sebesség nem függ az időtől, ezért kiemelhető az integráljel elé).

Látható, hogy visszakaptuk a kisiskolás képletet: , most már tudjuk, hogy ez csak

állandó sebesség esetén igaz. Az út ekkor az idővel lineárisan nő: , vagyis az utat

ábrázolva egy olyan egyenest kapunk, amelynek meredeksége, változási gyorsasága

konstans v, azaz . Ha a sebességet ábrázoljuk az idő függvényében, a görbe

(ami most egyenes) alatti terület lesz a megtett út.

Példa 2. – Egyenletesen változó mozgás egy dimenzióban

Akkor beszélünk egyenletesen változó mozgásról, ha a gyorsulásvektor konstans. Ez

esetben akkor alakul ki egy dimenziós mozgás, ha a kezdősebesség-vektor és a

gyorsulásvektor egy egyenesbe esik. Példa a szabadesés. Tegyük fel pl., hogy a

gyorsulásnak és a kezdősebességnek is csak z komponense van. A sebesség-idő függvény

kiszámítása:

.

Tehát az középiskolás képlet csak akkor érvényes, ha a gyorsulás állandó.

Az elmozdulás kiszámítása:

,

Ha az origóból indultunk:

Vagyis a sebesség lineárisan változik, az egyenes meredeksége a. Ha felrajzolnánk a z

koordináta változását, az egy parabola lenne.

Megjegyezzük, hogy az v-t grafikon alapján tényleges integrálás nélkül is kiszámolhatjuk

a megtett utat, hiszen csak egy derékszögű trapéz területét kell kiszámolni. A világoszöld

téglalap területe , a sötétebb zöld háromszögé pedig ,

a kettő összege tényleg a fentebb megadott függvény.

Példa 3. – Ferde hajítás

A gyorsulás itt is állandó ( a nehézségi gyorsulás). A kezdősebesség most nem esik

egy egyenesbe a gyorsulással. Tegyük fel, hogy a pont az origóból indul, a koordináta

rendszer x tengelye mutasson a kezdősebesség vízszintes komponense irányába, a z tengely

felfelé mutat. Először fel kell bontani a kezdősebesség-vektort vízszintes és függőleges

komponenseire. Az x komponense , a függőleges

z komponens .

y irányban nincs elmozdulás, tehát a egységvektor mindig nullával szorzódik.

A gyorsulás: , mivel csak z irányban és lefelé gyorsul a test, végig a mozgás során.

A sebesség-idő függvény:

A helyvektor koordinátái:

A test akkor ér földet, ha az függvény z komponense nulla, azaz ott a egységvektor

együtthatója nulla:

Ennek két megoldása van de a triviális t=0 megoldás csak azt mutatja, hogy az origóból

dobtuk el a testet. A másik megoldás adja a mozgás teljes időtartamát:

Ha ezt beírjuk az függvénybe, az első tagban az együtthatója adja a hajítás

távolságát:

4. Körmozgás kinematikája

Egyenletes körmozgás

A szögsebesség állandó, azaz . Ekkor a szög lineárisan változik: . Legyen T

az egy kör megtételéhez szükséges idő, tehát T idő alatt a szög -vel változik. Ekkor

A T idő alatt megtett út a kör kerülete, . A sebesség állandó, tehát

kerületi sebességnek is nevezik.

A centripetális gyorsulás , a sebesség irányának megváltozását

jellemzi(ha a pont nem egyenes vonalon mozog, gyorsulása semmiképp nem azonosan

nulla!). A gyorsulás centripetális komponense merőleges a sebességre, ezért normális

gyorsulásnak is hívják.

Egyenletesen változó körmozgás

A szöggyorsulás =állandó (és persze a kör sugara is állandó).

A szögsebesség lineárisan változik: , a sebesség hasonlóan: .

A tangenciális (pályamenti) gyorsulás:

a sebesség nagyságának megváltozását jellemzi, a sebesség irányába mutat, azaz

érintőirányú. (Ha a sebesség csökken, akkor a sebességgel ellentétes irányba mutat.) A

gyorsulás nagyságát, mivel a két komponens merőleges, "pitagorasszal" kapjuk:

A megtett utat hasonlóan számoljuk ki, mint az előző példában:

5. Newton törvényei, erőtörvények, mozgásegyenlet

Newton törvényei a klasszikus mechanika legfontosabb, legalapvetőbb axiómái, 1687-ből.

I. Minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását

mindaddig, amíg más testek ennek megváltoztatására nem kényszerítik. Pontosabb

ennél a kiválasztási axióma: Van olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a magára

hagyott testek megtartják eredeti mozgásállapotukat (azaz a sebességvektor állandó).

Ezeket a vonatkoztatási rendszereket inerciarendszernek nevezzük.

II. Ha egy állandó tömegű testre egyetlen erő hat, akkor az egyenlő a test tömegének és

gyorsulásának szorzatával: , vagyis a gyorsulást úgy számolhatjuk ki, hogy a

testre ható erőt elosztjuk annak tömegével.

III. Akció-reakció vagy hatás-ellenhatás törvénye: Ha az A test a B testre erőt fejt ki,

akkor B test is erőt fejt ki az A testre. Ezen erő azonos nagyságú, de ellentétes

irányú az eredeti erővel:

IV. Szuperpozíció elve: Ha az anyagi pont egyidejűleg több hatásnak is ki van téve, azaz

több erő hat rá, akkor együttes hatásuk egyetlen ún. eredő erővel helyettesíthető. Az

eredő erő az egyes erők vektori összege: . Ebből az következik, hogy a

test gyorsulását megkaphatjuk úgy, ha az egyes erők okozta gyorsulásokat

összeadjuk. Más szavakkal, a testre ható erők külön-külön, egymástól függetlenül

okoznak gyorsulásokat és a tényleges gyorsulás ezek vektori összege.

A Newton-axiómák semmit sem mondanak arról, hogy mitől függ az, hogy két konkrét test

között mekkora és milyen irányú erő hat. Azokat a függvényeket, amelyek matematikai

formában megadják az adott testre ható erőket, erőtörvényeknek nevezzük. A különböző

típusú erőkhöz más-más erőtörvény tartozik. Az alábbiakban felsoroljuk a legalapvetőbb

erő-fajtákat és a hozzájuk tartozó erőtörvényeket:

a. Newton-féle gravitációs erő: . ( univerzális

állandó). Megjegyezzük, hogy ugyan ezt az erőtörvényt itt tömegpontokra írtuk fel,

nem csak pontszerű testekre érvényes. Bármilyen gömbszimmetrikus tömegeloszlású

test olyan gravitációs erőt fejt ki mát testekre, mintha az egész tömege a gömb

középpontjába összpontosulna.

b. Speciálisan ha a Newton-féle gravitációs erőtörvényben m1 a Föld tömege, r a Föld

sugara, kapjuk a jól ismert képletet: a súlyerő vagy nehézségi erő.

c. Elektromos töltések között ható Coulomb-erő: .

d. Mágneses Lorentz-erő: , ahol B a mágneses indukció.

e. Rugóerő: , ahol D a rugóállandó, x az egyensúlyi helyzettől való kitérés

f. Súrlódási erő: (lehet csúszási vagy tapadási)

g. Közegellenállás vagy légellenállás: vagy

h. Kényszererők, pl. kötélerő (K), tartóerő (T). Ezek mindig éppen akkorák, hogy a

kényszerfeltétel teljesüljön. Pl. ha két test egy 3m hosszú kötéllel össze van kötve,

akkor az a kényszerfeltétel, hogy a távolságuk nem lehet nagyobb, mint 3m és a

kötélerő pont akkora, amekkora elegendő ennek a biztosításához.

i. Tehetetlenségi erők: Ezek csak akkor lépnek fel, ha a vonatkoztatási rendszerünk

nem inerciarendszer. Később tárgyaljuk őket.

Newton I., II., és IV. axiómájából kapjuk a feladatoknál gyakran használt összefüggést,

amelyet a dinamika alapegyenletének is szoktak nevezni. Inerciarendszerben

Ezt koordinátánként kifejtve, a megfelelő erőtörvényeket beírva kapjuk a konkrét

tömegpontra vonatkozó mozgásegyenleteket, amely egy olyan egyenletrendszer, amely

általánosan három csatolt másodrendű differenciálegyenletből áll. Derékszögű Descartes

koordináta rendszerben:

Megjegyzendő, hogy a mozgásegyenlet jobboldalán nincsenek második deriváltak, azaz az

erő nem függhet a gyorsulástól, mert ez ellentmondana a szuperpozíció elvének. A

mozgásegyenlet(ek) megoldásához általánosan 6 állandót kell megadni, ezek gyakran a

kezdeti és vektorok komponensei. Az egyenletek megoldásával kapjuk az

függvényt, amit mozgástörvénynek is neveznek. Tehát a mozgástörvényből közvetlenül

kiolvasható, hogy hogyan mozog a test, azaz melyik időpillanatban hol tartózkodik.

6. Impulzus és megmaradása tömegpontra

Impulzus és impulzustétel

Az impulzus (lendület) definíciója: . Kérdés, mi szabja meg azt, hogy változik-e az

impulzus, ill. milyen gyorsan változik. A választ a következő tétel adja meg:

Impulzustétel tömegpontra:

azaz tömegpont impulzusának idő szerinti deriváltja egyenlő a rá ható összes erő eredőjével.

Speciálisan, a magára hagyott tömegpont impulzusa állandó.

Bizonyítás:

Newton II. axiómája mellett felhasználtuk, hogy a tömeg állandó. Megjegyezzük, hogy az

impulzustételt is szokták Newton II. axiómájának is nevezni, mivel ugyanazt fejezi ki

(belőle a fenti alak levezethető), sőt, annyival általánosabb, hogy változó tömeg esetén is

érvényes. Az érdekessége az, hogy adott eredő erő esetén a tömegtől független az impulzus-

változás.

7. Munka, munkatétel, kinetikus energia

A munka általános definíciója:

az erő elmozdulás szerinti integrálja. Ha az erő állandó, akkor kiemelhető az integráljel elé,

ekkor

ahol α a közbezárt szög. -ra kapjuk a legegyszerűbb alakot.

Tekintsünk most egy tömegpontot és az egyszerűség kedvéért tegyük fel, kezdetben

nyugalomban van és hogy csak egy állandó F erő hat rá. Ekkor a pont gyorsulása a=állandó,

sebessége t idő múlva , ezalatt utat tesz meg. Ezeket felhasználva:

Ez utóbbi mennyiség a fizikában fontos szerepet játszik, ez a tömegpont kinetikus (vagy

mozgási) energiája: . Vagyis a befektetett munka a test kinetikus (mozgási)

energiájának növelésére fordítódott. Ha pl. az erő ellentétes irányú a pillanatnyi sebességgel,

akkor a munka negatív, ennek megfelelően a tömegpont lassul, mozgási energiája csökken.

A munkatétel általános alakja:

Tehát a test mozgási energiája (végső soron a sebessége) megváltozásának az az oka, hogy

az eredő erő munkát végez a testen.

8. Teljesítmény, teljesítménytétel

A (pillanatnyi) teljesítmény általános definíciója:

az "egységnyi idő alatt közölt energia". Általában ez sokféle energia lehet, a hőtanban pl.

hőenergia. A mechanikában az átlagteljesítmény: , ez tetszőlegesen hosszú

időtartamra értelmezhető.

A mechanikai teljesítménytétel (a munkatételből deriválással kaphatjuk):

azaz a tömegpontra ható erők teljesítménye megegyezik a tömegpont kinetikus energiájának

változási gyorsaságával.

Ezt felhasználva, egy dimenzióban

Általánosan, a pillanatnyi (mechanikai) teljesítmény az erő és a sebesség skaláris

szorzataként is megkapható:

9. Konzervatív erőtér, potenciális energia

Egy időtől (explicite) nem függő erőt konzervatívnak nevezünk, ha az általa a pontszerű

testen A és B pont között végzett munka független az úttól, vagyis attól, hogyan jutottunk A-

ból a B-be. Ez ekvivalens azzal, hogy az erő bármely zárt görbére vett integrálja nulla.

Ekkor, ha kijelölünk egy kitüntetett A kezdőpontot, bármely másik (pl. B) pont jellemezhető

azzal, hogy mekkora munkát végez az erő, ha a B-ből az A-ba megy a test. Ezt a munkát úgy

hívjuk, hogy a test potenciális energiája (vagy helyzeti energiája) a B pontban. Ebből persze

az is következik, hogy a kitüntetett pontban a potenciális energia nulla, azaz

Fontos megjegyezni, hogy a potenciális energiája mindig egy konkrét erőhöz, az adott test

egy másik testtel vagy mezővel történő kölcsönhatáshoz tartozik, ellentétben a mozgási

energiával, amely csak az adott testhez tartozik. Rögzített vonatkoztatási rendszerben adott

időpillanatban egy testnek csak egy mozgási energiája van, potenciális energiája viszont

egyszerre több is lehet, pl. gravitációs és elektrosztatikus.

A fenti képletből látható, hogy a nagyobb erő nagyobb potenciális energia különbséget

jelent. Ezt az állítást meg is fordíthatjuk: minél gyorsabban változik a potenciális energia ,

annál nagyobb erő hat. Egy dimenzióban a következő összefüggést írhatjuk fel:

, általánosabban

A negatív előjel arra utal, hogy az erő a potenciális energia csökkenésének irányába hat

("energiaminimum elve").

Három dimenzióban azt mondhatjuk, hogy amelyik irányban a legnagyobb a potenciális energia

csökkenésének gyorsasága, abba az irányba hat az erő. Más szavakkal: az erő a potenciális energia negatív

gradiense:

, ahol:

Tekintsük most azt a speciális esetet, amelyben csak konzervatív erők hatnak. Ekkor

bármely A és B pontra fennáll, hogy

(itt a második egyenlőségnél a munkatételt használtuk) vagyis

azaz amennyivel csökken a helyzeti energia, annyival nő a mozgási és fordítva.

Ha bevezetjük az mechanikai energiát, akkor látható, hogy ez konzervatív

erőtérben megmarad, vagyis állandó (innen kapta a nevét a konzervatív erőtér). Ez a

mechanikai energia megmaradásának tétele. Konzervatív erőtér pl. a gravitációs és az

elektrosztatikus erőtér. Ha nem-konzervatív erők is hatnak, akkor a munkájuk egyenlő a

mechanikai energia megváltozásával.

10. Rezgőmozgás: harmonikus, csillapított, gerjesztett (kényszer), rezonancia

Harmonikus rezgés

Akkor végez egy tömegpont harmonikus rezgést, ha rá egy erő hat, a rugalmas erő

erőtörvénye: , ahol x az egyensúlyi helyzettől való kitérés (ill. ha az erők eredője a

fenti rugalmas erő). Tehát ez egy visszahúzó erő, ami arányos a kitéréssel, csak ellentétes

irányú. Ebből kapjuk a mozgásegyenletet:

Ez egy másodrendű közönséges differenciál-egyenlet, az általános megoldása, a

mozgástörvény:

ahol a rezgés körfrekvenciájára fennáll, hogy

továbbá A az amplitúdó (a kitérés maximális értéke), pedig a kezdőfázis. Tehát szinuszos

(harmonikus) rezgés jön létre.

A sebesség-idő függvényt deriválással kaphatjuk:

Ha ezt még egyszer lederiváljuk, a gyorsulást kapjuk:

Ha ezt visszahelyettesítjük a mozgásegyenletbe, beláthatjuk, hogy a megadott x(t) függvény

tényleg jó megoldás, de csak akkor, ha a feltétel teljesül. Az A és a δ

konstansokat az x és vx kezdeti értékei határozzák meg, ez utóbbiaknak viszont nincs

hatásuk a frekvenciára. A periódusidő a legkisebb olyan T idő, amelyre

bármely t-re. A körmozgáshoz hasonlóan

Számítsuk ki a rezgő tömegpont kinetikus és a rugalmas erőtér potenciális energiáját:

és

(feltettük, hogy és felhasználtuk definícióját). Látható, hogy a kettő összege

állandó ( ) és egy periódusra kiátlagolva a kettő megegyezik (ennek pl. a hőtanban

lesz szerepe). Egy rezgés során a mozgási és a potenciális energia folyamatosan egymásba

alakul. A mozgási energia akkor a legnagyobb, amikor a tömegpont az egyensúlyi helyzetén

halad át, ekkor a rugó feszítetlen, tehát nincs energiája. Ezután ahogy a test lassul, a mozgási

energia csökken, de pontosan ugyanilyen ütemben növekszik a potenciális energia, és

amikor a test a szélső helyzetben egy pillanatra megáll, akkor nyilván a mozgási energia

nulla, a potenciális pedig maximális.

Csillapított rezgés

A valóságban a makroszkopikus testek ritkán végeznek időben állandósult harmonikus

rezgést, mivel a rezgés gyorsan vagy lassan, de csillapodik. Ezt úgy vesszük fegyelembe,

hogy a rugalmas erőn kívül hat még egy sebességgel arányos fékező erő is, ennek

erőtörvénye: , ezzel a mozgásegyenlet:

Ennek megoldása (a levezetést lásd lentebb) gyenge csillapítás ( ) esetére

,

ahol , és . A maximális kitérés tehát exponenciálisan

csökken az idővel (a mozgási energia is csökken, ezért a fékező erőt disszipációnak is

hívjuk), a frekvencia pedig kisebb, mint ha nem lenne disszipáció. A folyamatot a

csillapodás miatt kváziperiódikusnak nevezzük. Az alábbi ábrákon két csillapított rezgés

kitérés-idő függvénye látható, a másodiknál kb. négyszer akkora, mint az elsőnél.

Kényszerrezgés

Ahhoz, hogy ne csillapodjon a rezgés, a disszipált energiát valamilyen módon pótolni kell.

Legegyszerűbb esetben egy periodikus gerjesztő erő hat: .

Ezzel a mozgásegyenlet:

.

Ennek megoldása az előző, exponenciálisan lecsengő (1) függvény és az

függvény összegéből áll. Mivel az előbbi nullához tart, hosszú távon ez utóbbi, a

stacionárius megoldás a lényeges, vagyis a frekvencia egyenlő a gerjesztő erő

frekvenciájával. Itt azt jellemzi, mekkora a kitérés fáziskésése a gerjesztő erőhöz képest.

függ az , az és az mennyiségektől. Látható, hogy ha a disszipáció kicsi (

kicsi) és a rendszer sajátfrekvenciája közel van a gerjesztő erő ω

frekvenciájához, akkor a nevező igen kicsivé, vagyis a maximális kitérés igen naggyá válik:

rezonancia következik be. Tehát a rezonancia azt jelenti, hogy a rezgés amplitúdója, mint a

gerjesztés frekvenciájának függvénye maximális értéket vesz fel. Az alábbi ábrán két,

különböző disszipációhoz tartozó rezonanciagörbét láthatunk.

Tehát minél kisebb a csillapítás, annál élesebb, hegyesebb a rezonanciagörbe. Csillapítatlan

rendszernél az helyen az amplitúdó a végtelenhez tartana, ezt nevezik rezonancia-

katasztrófának.

11. Hullámok (terjedési sebesség levezetése, transzverzális és longitudinális hullámok)

Hullámok

Tekintsünk egy haladó hullámot, pl. vízhullámot, a hullám forrásától elég távol. Ha egy

konkrét időpillanatban lefényképeznénk, azt látnánk, hogy térben (megközelítőleg)

periodikus, a terjedés irányában. Ha viszont egy adott pontban vizsgáljuk az időbeli

viselkedést, akkor láthatjuk, hogy hullámvölgyek és hullámhegyek haladnak át az adott

ponton, időben periodikusan. Legyen A az a mennyiség, amelyik hullámszerűen változik,

vízhullámoknál pl. a vízfelszín nyugalmi helyzethez képesti magassága. Tegyük fel, hogy a

hullám x irányban terjed, a többi iránnyal nem foglalkozunk. A legegyszerűbb

hullámfüggvény a síkhullám, amelynek alakja:

ahol k a hullámszám, a körfrekvencia. Rögzített x-re A idő szerint periodikus,

pontosabban harmonikus rezgőmozgást végez periódusidővel. Hasonlóan, rögzített

t-re pedig a térben periodikus a függvényalak.

Vizsgáljuk meg a térbeli periodicitást. Tegyük fel, hogy egy adott -hez van olyan ,

hogy bármely időpillanatban, azaz

Ebből következik, hogy az argumentumok egymástól többszörösével térnek el. Ebből

minket az érdekel, hol van az -hez legközelebbi , ahol , tehát az

argumentumok legkisebb különbségét vesszük: , amiből .

Tehát az x változása szerint periodikus, a mennyiség neve: hullámhossz,

mértékegysége a méter. Ezeket beírva kapjuk:

A fenti ábrán látható példán , ebből kapjuk, hogy . A második ábráról ,

vagyis és . A függőleges tengelyen a kitérés van, ennek maximális

értéke, az amplitúdó , ez mindkét ábrából leolvasható.

Ez a hullám az x tengely pozitív irányába terjed, kérdés, milyen sebességgel. Ha dx

távolságot megteszünk a haladás irányában (jobbra), ott dt-vel később zajlik le minden (pl.

ugyanaz a hullámvölgy dt idővel később ér oda), vagyis ha x-hez hozzáadunk dx-et és t-hez

hozzáadunk dt-t, az argumentum nem változik:

ebből , azaz , vagyis kaptunk egy fontos összefüggést a hullám

terjedési sebességének nagyságára:

Ezzel

Hanghullám esetén c a hangsebesség, fényhullám esetén a fénysebesség. Ismeretes, hogy az

emberi fül számára (közelítően, kortól is függően) a 20Hz és 20kHz közötti frekvenciájú

hangok hallhatóak. Az alacsonyabb frekvenciájú hangokat infrahangnak, a magasabbat

ultrahangnak nevezzük.

Ha A vektormennyiség, a hullámokat két csoportba oszthatjuk: transzverzális hullámnál

merőleges a terjedés irányára (ilyenek pl. a vízhullámok), longitudinális hullámnál egy

egyenesbe esnek. Utóbbira példa, ha egy vékony rúd végére ráütünk a rúd hossztengelye

irányába mutató sebességgel, ekkor az mennyiségnek a részecskék egyensúlyi helyzetétől

való kitérése felel meg, ez pedig a rúd hossztengelyének irányába mutat, emellett a hullám is

a rúd megütött végétől a másikig terjed, a két irány megegyezik.

Ha a síkhullám közeghatárhoz ér, azon visszaverődhet. Ekkor a visszavert hullám ez

eredetivel interferál. Bizonyos feltételek fennállása esetén a két hullám eredője állóhullám

lehet. Ezekben a hely- és az időfüggés szétcsatolódik: a harmonikus rezgés amplitúdója

helyfüggővé válik, egyes helyeken zérus (csomópont), máshol maximális (duzzadóhely)

lesz. A fázisából viszont eltűnik a helyfüggés, abban csak az időtől való függés marad meg.

Ezzel megszűnik a hullámban a fázisállapot terjedése, állóhullám alakul ki (ekkor a

képlet értelmetlenné válik).

Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy egy pozitív és egy negatív irányba haladó,

egyébként ugyanolyan hullám találkozik: és . Ekkor a

kitérések minden pontban és minden időpillanatban összeadódnak. A

és a azonosságok

felhasználásával kapjuk, hogy az eredő hullámot a függvény írja le,

tehát állóhullámot kaptunk.

12. A körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolata

Induljunk ki abból, hogy egyenletes körmozgásnál a szögsebesség állandó: . Ekkor

az x koordinátát az , az y-t pedig az formula adja meg. Beírva helyére -

t, kapjuk, hogy és , tehát mindkét koordináta harmonikus

rezgőmozgást végez.

Más szavakkal, az egyenletes körmozgás felbontható két egymásra merőleges harmonikus

rezgőmozgásra, amelyek fáziskülönbsége (hisz ).

Emiatt a hasonlóan jelölt mennyiségek nemcsak formailag hasonlóak, hanem tartalmilag is

megfelelnek egymásnak: T a keringési vagy periódusidő, a szögsebesség vagy a

körfrekvencia.

13. Körmozgás dinamikája, impulzusmomentum-tétel és megmaradás

Egyenletes körmozgás

A körmozgást végző test sebességvektora folyamatosan a középpont felé igyekszik fordulni,

azaz a gyorsulásának van a sebességre merőleges komponense is. Ezt a gyorsulást

centripetális gyorsulásnak nevezzük (lásd a kinematikánál). Ennek dinamikai feltétele az,

hogy a testre ható erők eredőjének legyen a körpálya középpontja felé mutató komponense

is. Ezt az erőkomponenst szokás centripetális erőnek is nevezni, amely kiszámítási módja

tehát:

Ez az erő szükséges ahhoz, hogy a testet az adott körpályán tartsa, vagyis hogy a sebesség

irányát folyton változtassa, azaz centripetális gyorsulást okozzon.

A centripetális erő eredete lehet gravitációs vagy elektromos (Coulomb) erő, kötélerő, stb.

Mivel a centripetális erő merőleges a sebességre, nem végez munkát, nem változtatja meg a

test mozgási energiáját. Ez összhangban van a kinematikában tanultakkal, konkrétan hogy a

centripetális gyorsulás csak a sebesség irányát változtatja meg.

A szögsebességet vektorként is értelmezhetjük, ehhez meg kell mondanunk, milyen irányba

mutat. Ha egy tömegpont egyenletes körmozgást végez pl. az x-y síkban, akkor a

szögsebesség-vektor iránya merőleges erre a síkra, vagyis a z tengely pozitív vagy negatív

irányába mutat. Hogy a kettő közül melyikbe, azt a jobbkéz-szabállyal állapíthatjuk meg: ha

jobb kezünk behajlított ujjai mutatnak a pont haladási irányába, akkor hüvelykujjunk mutatja

meg irányát.

Változó körmozgás

Forgatónyomaték

Először tetszőleges irányú erőre definiáljuk az origóra vonatkoztatott forgatónyomaték

vektort:

ahol az origóból az erő támadáspontjához húzott helyvektor.

A forgatónyomaték-vektor iránya merőleges az és által meghatározott síkra, ami most

az ábra síkja, pedig kifele vagy befele mutat. Hogy a kettő közül melyikbe, azt a

jobbkéz-szabállyal állapíthatjuk meg: ha a hüvelykujjunk mutat az , a mutatóujjunk az

irányába, a középső ujjunkat az irányába tudjuk beállítani. Az ábrán látható esetben

befelé mutat.

Rögzített tengely esetén, ha az erő a tengelyre merőleges síkban van, akkor az egyszerűbb

képletet használhatjuk: , itt k az erőkar, vagyis az erő hatásvonalának a

(rögzített) tengelytől való távolsága. Az ábrán az erő hatásvonala szaggatott, az erőkar

pontozott vonallal van feltüntetve.

Impulzusmomentum

Az impulzusmomentum (perdület) általános definíciója: . Sok esetben

kiszámolhatjuk a vektor nagyságát az képletekkel. Az impulzusmomentum-

vektor irányítását a szövegsebességéhez hasonlóan adjuk meg: ha egy tömegpont egyenletes

körmozgást végez az x-y síkban, akkor az impulzusmomentum-vektor iránya merőleges erre

a síkra, vagyis a z tengely pozitív vagy negatív irányába mutat, a jobbkézszabálynak

megfelelően. Az impulzusmomentum-vektor csak akkor változhat, ha a tömegpontra

forgatónyomaték hat:

,

vagyis a tömegpont impulzusmomentumának idő szerinti deriváltja egyenlő a tömegpontra

ható forgatónyomatékkal. Ez az impulzusmomentum-tétel, nem csak körmozgásra igaz.

Tehát ha az eredő erő forgatónyomatéka nulla, akkor a perdület állandó. Az ábrán látható

esetben a test az óramutatóval megegyező irányban gyorsulva forog, tehát az vektor

befelé mutat és növekszik, összhangban azzal, amit a forgatónyomaték irányáról mondtunk.

14. A haladó és a forgó mozgás összehasonlítása

Tehetetlenségi nyomaték

Ha feltesszük, hogy a pont rögzített tengely körül rögzített távolságban mozoghat, akkor

ebben a speciális esetben . Ezt deriválva,

ahol a szöggyorsulás. Ha az mennyiséget elnevezzük a tömegpont tehetetlenségi

nyomatékának:

(a görög betű, ejtsd: "teta") ahol r a tengelytől való távolság, akkor az

impulzusmomentum-tétel felhasználásával a feladatmegoldások során is gyakran használt

formulához jutunk, amit a forgó mozgás alapegyenletének is neveznek:

Ez a képlet teljesen hasonló szerkezetű az képlethez, csak körmozgásnál a gyorsulás

helyett a szöggyorsulás, a tömeg helyett a tehetetlenségi nyomaték, az erő helyett a

forgatónyomaték játszik szerepet.

A tömegpont mozgási energiája:

Itt is teljesen hasonló szerkezetű a két mozgási energiára vonatkozó képlet.

Hasznos lehet a következő analógia-táblázat:

Haladó mozgás

(1 dimenzió)

Forgó mozgás

változó x

(szög)sebesség vx

(szög)gyorsulás ax

tehetetlenség m

A (szög)gyorsulás oka

Impulzus(momentum)

Kinetikus energia

munka

teljesítmény

15. Kepler törvényei

Keplerről nevezték el a bolygómozgás három törvényét. Ezek bármely olyan testre

vonatkoznak, amely egy másik test gravitációs erőterében kötött állapotban mozog, tehát pl. a

Föld körül keringő Holdra is.

I. törvény: A bolygók pályája ellipszis, és annak egyik gyújtópontjában a Nap áll.

II. törvény: (Felületi törvénynek is szokták nevezni) A bolygók napközelben

gyorsabban mozognak, mint a Naptól távol. A bolygók vezérsugara (a bolygót a

Nappal összekötő szakasz) azonos idők alatt azonos területet súrol. (Az ábrán

ha ugyanannyi ideig tartott a megfelelő íveken végighaladni)

III törvény: Az ellipszispályák nagytengelyeinek (a) köbei úgy aránylanak

egymáshoz, mint a keringési idejük (T) négyzetei, vagyis az hányados minden

naprendszerbeli bolygó esetén ugyanakkora. (Körpálya esetén a nagytengely helyett

természetesen átmérőt kell érteni.)

Mind a három törvény bebizonyítható a Newton axiómákból és a Newton-féle gravitációs

erőtörvényből. A valóságban a leszármaztatás inkább fordítva történt, Kepler hamarabb

alkotta meg a törvényeit, mint Newton.

A II. törvény az impulzusmomentum-megmaradásból következik, de csak egy durva

magyarázatot adunk rá. Az origót a nap középpontjában felvéve a napból a bolygóhoz húzott

helyvektor és a nap által a bolygóra kifejtett erő közötti szög nulla, így a forgatónyomaték is

nulla, tehát a perdület állandó. Ez viszont egyenesen arányos a vezérsugárral és az arra

merőleges sebességkomponenssel, vagyis ha az egyik nő, a másiknak csökkennie kell.

Csak a III. törvényt bizonyítjuk, azt is csak körmozgásra. Azt használjuk ki, hogy a

centripetális erőt a (Newton féle) gravitációs vonzóerő adja. Az első bolygóra:

azaz

Ezt felírva a 2. bolygóra is:

és a két egyenletet elosztva egymással adódik, hogy

ami körpályára ekvivalens az állítással.

16. A sűrűség elemi és általános (lokális) definíciója. Tömegközéppont helyének kiszámítása

A valóságos testek nem csak egy pontból állnak, általában nem lehet elhanyagolni a

kiterjedésüket. Pl. egy fogaskerék általában egy helyben áll, de forgó mozgást végez, amit, ha

meg akarjuk érteni a gép működését, nem hanyagolhatunk el.

Általánosan, a tömegközéppont (súlypont) helyvektora (diszkrét) tömegpontrendszerre:

Folytonos tömegeloszlású testre úgy kaphatunk pontos eredményt, ha a szummázás helyett

integrálunk. Ehhez először be kell vezetni a sűrűség fogalmát a kisiskolás sűrűségdefiníció

általánosításaként. Mivel a testek pl. többféle anyagból állhatnak, sűrűségük nem mindenhol

ugyanaz, vagyis a sűrűség nem az egész testet, csak annak egy pontját jellemzi.

A sűrűség általános (lokális) definíciója:

ahol m(V) a V térfogatban található anyag tömege. Ezzel egy folytonos tömegeloszlású test

tömege .

Egy ilyen test tömegközéppontja:

Példa

Tegyük fel, hogy az x tengelyen van két pont, az egyik, m1=4kg tömegű x1=1-nél, a másik,

m2=2kg tömegű az x2=7-nél. Kérdés, hogy hol van a tömegközéppontjuk. Nyilván, a kétszer

akkora tömegű ponttól fele akkora távolságra lesz,

tehát xt=3.

Ezt úgy is megkaphatjuk (az előző egyenlet átrendezésével), hogy a két pont x

koordinátájának a tömegekkel súlyozott átlagát vesszük:

17. Impulzustétel tömegpontrendszerre, tömegközépponti tétel

Impulzustétel

Vizsgáljuk most egy tömegpontrendszer mozgását. Legyen az i-edik tömegpontra ható

külső erők eredője, a j-edik pont által az i-edikre kifejtett erő. Írjuk fel a dinamika

alapegyenletét az i-edik tömegpontra:

összegezve i-re:

Newton III. miatt ( ) az utolsó tag nulla, így a belső erők kiesnek. Emellett

, ezzel egy fontos tételt kapunk:

Impulzustétel tömegpontrendszerre

azaz tömegpontrendszer impulzusának idő szerinti deriváltja egyenlő az összes külső erő

eredőjével. Speciálisan, zárt rendszer impulzusa állandó (ez az impulzusmegmaradás

tömegpontrendszerre).

Tömegközépponti tétel

Az előző egyenletbal oldalát tovább alakítva és felhasználva a súlypont definícióját

ezzel megkaptuk a tömegközépponti tételt:

Tömegközépponti tétel: Pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer egész

tömege a tömegközéppontban lenne egyesítve és az összes külső erő erre a pontra hatna.

18. Impulzusmometum-tétel és munkatétel tömegpontrendszerre

Impulzusmomentum-tétel

Hasonlóan levezethető az impulzusmometum-tétel tömegpontrendszerre:

tömegpontrendszer impulzusmomentumának idő szerinti deriváltja egyenlő az összes külső

erő forgatónyomatékának eredőjével.

Munkatétel tömegpontrendszerre

Munkatétel tömegpontrendszerre: tömegpontrendszer kinetikus energiájának megváltozása

egyenlő az összes külső és belső erők munkájával: .

19. Ütközések: teljesen rugalmas és teljesen rugalmatlan

Csak két pontszerűnek tekintett test ütközését tárgyaljuk a legegyszerűbb esetben (egy

dimenzió). Legyen a két tömegpont A és B, tömegük mA és mB, sebességük kezdetben vA(1)

és vB(1), az ütközés után vA(2) és vB(2). A sebességek itt előjeles mennyiségek.

Mindig teljesül az impulzusmegmaradás:

Rugalmas és rugalmatlan ütközés

Az energiamegmaradás szempontjából két határeset van. Az egyik a teljesen rugalmas

ütközés, amikor az összes mozgási energia megmarad, ekkor:

A másik határeset a teljesen rugalmatlan ütközés, ekkor a lehető legnagyobb mozgási

energia-csökkenés következik be, a két test összetapad és közös (esetleg nulla) sebességgel

haladnak tovább: . Mindkét esetben két egyenletünk van, így a tömegek és a

kezdeti sebességek ismeretében meg tudjuk határozni az ütközés utáni sebességeket.

20. Merev testek egyensúlya és forgó mozgása, tehetetlenségi nyomaték

Merev testek egyensúlya

Definíció: Akkor nevezünk egy testet merev testnek, ha bármely két pontjának távolsága

állandó.

Merev test pontosan akkor van egyensúlyban, ha a testre ható

összes külső erők eredője nulla és

a külső erők (tetszőleges pontra, ill. tengelyre vonatkozó) forgatónyomatékainak

eredője nulla.

Egyensúly alatt most nem csak a nyugalmi állapotot vagy az egyenes vonalú, egyenletes

(tehát forgás nélküli) mozgást értjük, hanem a tömegközéppont körüli egyenletes forgást is.

A fenti tételben megfogalmazott két feltétel független egymástól. Példaként tekintsünk egy

merev testet, amelynek kezdetben minden pontja nyugalomban van. Ha csak az első feltétel

igaz, tehát a külső erők eredője nulla, viszont a forgatónyomatékok eredője nem nulla, akkor

a test egy helyben gyorsulva forog. Ha csak a második feltétel igaz, tehát a testre ható eredő

erő nem nulla, a forgatónyomatékok eredője pedig nulla, akkor a test gyorsuló haladó

mozgást végez forgás nélkül, vagyis minden pontja ugyanazzal a (növekvő) sebességgel

mozog.

A egyenletet a konkrét rendszerre felírva nyomatékegyenletnek is nevezik.

Megjegyzés: Deformálható testre a fenti tétel nem igaz, több feltétel kellene. Ha egy

acélrugót megnyújtunk, majd elengedünk, rezegni fog, vagyis az egyes pontjainak gyorsulása

általában nem nulla. Ez akkor is igaz, ha elengedés után már nem hat rá külső erő vagy

forgatónyomaték.

Merev test mozgása

Azt, hogy egy merev test tömegközéppontja hogy mozog, a tömegközépponti tétellel

számíthatjuk ki. Emellett a test még forgó mozgást végezhet. Ennek leírásához a

forgómozgás alapegyenlete ad segítséget:

Megjegyzés

Egy merev test különböző pontjainak általában különböző a sebessége és a gyorsulása, de

szögsebessége és szöggyorsulása adott tengelyre nézve csak egy van. Ha egy merev test forgó

mozgást végez, mozgási energiáját és impulzusmomentumát nem számolhatjuk ki az

és az képletekkel, hanem a korábban felírt analógia táblázatban

összefoglalt formulákat érdemes használni. A test impulzusát akkor adja meg az

képlet, ha a tömegközéppont sebessége.

Tehetetlenségi nyomaték

Tömegpontrendszer tehetetlenségi nyomatéka az egyes tömegpontok tehetetlenségi

nyomatékának az összege:

ahol ri az i-edik tömegpont távolsága a forgástengelytől. Tehát a tehetetlenségi nyomaték a

tömeghez hasonlóan additív. Látható, hogy a tömegpontok tengelytől való távolságának

négyzete számít, az, hogy milyen irányban vannak, nem. Matematikailag: egy skalárt kell

integrálni és az eredmény is skalár.

Folytonos tömegeloszlású test tehetetlenségi nyomatéka:

ahol r a tengelytől mért távolság.

Descartes koordinátákban, ha a forgástengely a z tengely:

21. Steiner-tétel

Ha ismerjük a tehetetlenségi nyomatékot egy, a súlyponton átmenő tengelyre (legyen ez ),

a Steiner-tétellel könnyen kiszámíthatjuk azt bármilyen, az előzővel párhuzamos tengelyre,

csak -hez hozzá kell adni a test tömegének és a két tengely távolsága négyzetének

szorzatát:

ahol a súlyponttól d távolsága lévő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték.

Bizonyítás: legyen az (x,y) koordináta-rendszer origója a tömegközéppontban, a z tengely a

forgástengely, a másik tengely az előzőtől d távolságra a -x irányban. Ezzel

A másik rendszerben az y koordináták ugyanazok, így

De a súlypont x koordinátája az (x,y) rendszerben , vagyis a második tag kiesik.

Ami marad, , ez pedig a tétel állítása.

22. Hidrosztatikai nyomás

A nyomás definíciója: , ahol F(A) az A felületre merőlegesen ható erő

nagysága, vagyis a nyomás skalármennyiség. Nehézségi erőtérben lévő álló folyadékban a

nyomás csak attól függ, milyen magasságban van a felület, a felület irányításától nem.

Legyen az A felület vízszintes és legyen felette h magasságú folyadék, ekkor a folyadék

térfogata Ah, a tömege ρAh, a súlya ρgAh, tehát a folyadék súlyából származó hidrosztatikai

nyomás:

.

Nyugvó folyadékban lévő tárgyakra vagy az edény falára a folyadék csak a felületre

merőleges erőt fejthet ki.

23. Felhajtóerő, levezetése a hidrosztatikai nyomásból

Arkhimédész törvénye kimondja, hogy a folyadékba mártott testre felhajtóerő hat, amely

nagysága egyenlő a test által kiszorított, (azaz a test bemerülő részével egyenlő térfogatú)

folyadék súlyával.

Bizonyítás teljesen bemerülő téglatestre: legyenek a téglatest vízszintes oldalai a és b, a

függőleges c. A függőleges oldallapokra vízszintesen ható erők kiegyenlítik egymást, a felső

vízszintes lapnál a nyomás legyen ρgh (ρ a folyadék sűrűsége) az alsó lapnál ρg(h+c). A fenti

lapot eszerint ρghab erő nyomja lefelé, a lentit ρg(h+c)ab felfelé. Az eredő erő ρgcab. Mivel

abc a téglatest térfogata, ρabc a kiszorított folyadék tömege, ρgabc a súlya, q.e.d.

Ha a test a folyadéknál nagyobb sűrűségű, lemerül az aljára, ha egyenlő sűrűségű, akkor

lebeg, ha kisebb sűrűségű, akkor úszik (persze csak ha elég mély a folyadék és nem "fut

zátonyra").

24. Felületi feszültség

Ha egy borotvapengét lapjával óvatosan nyugvó vízfelszínre helyezünk, az nem süllyed el.

Ha erővel lenyomjuk a vízfelszín alá, akkor viszont nem jön fel, hanem elmerül, vagyis a

sűrűsége nagyobb, mint a vízé. Mi az oka, hogy az első esetben nem süllyedt el?

Ha egy olyan drótkeretet, amelynek egyik oldala elcsúsztatható, mosószeres vízbe mártunk, a

folyadék hártyaként feszül rá a keretre, és ha elég könnyű a drót, akár fel is emelheti.

A drótdarabra ható erő csak a drót hosszától és a folyadék minőségétől függ, független a

hártya felületének nagyságától. Képlettel: , ahol a folyadékot jellemző állandó,

amit felületi feszültségnek is nevezünk. A 2-es faktor indoka pedig az, hogy a

szappanhártyának két felülete van. Ez utóbbiból az is következik, hogy ha a drótdarab s utat

tesz meg, a felület megváltozása . A szappanhártya által kifejtett erő által végzett

munka, miközben s-sel magasabbra emelte a drótot:

vagyis a felület-változással arányos.

Következésképp a folyadéknak a felületével arányos energiát kell tulajdonítanunk: .

Ennek oka, hogy a folyadék részecskéi között rövid hatótávolságú erők hatnak. Ezért

igyekeznek a folyadékok minimalizálni a felületüket, pl. a cseppek gömb alakot felvenni

(súlytalanságban). A borotvapenge is azért nem süllyed el, mert a süllyedés növelné a felület

energiáját és a penge helyzeti energiája erre kezdetben (amíg át nem szakad a hártya) nem

lenne elegendő.

Előfordul, hogy az edény fala és a folyadék részecskéi közötti vonzóerők (itt nem elsősorban

a gravitációs erőre kell gondolni!) erősebbek, mint a folyadék részecskéi által egymásra

gyakorolt erő. Ekkor a folyadék "nedvesíti" az edény falát. Ezen alapszanak a

hajszálcsöveknél megfigyelhető jelenségek is.

25. Kontinuitási egyenlet

A folyadékok és a gázok is részecskékből (atomokból, molekulákból) állnak. Nem ezek

pályáját követjük nyomon, hanem azt vizsgáljuk, hogy a tér egy adott pontjában mennyi az

ott áramló részecskék sebessége, mennyi a nyomás, a sűrűség, stb. Stacionáriusnak hívjuk az

áramlást akkor, ha a tér bármely pontjában ezek a jellemzők függetlenek az időtől. (Tehát

nem arról van szó, hogy egy adott részecske sebessége lenne állandó, ez egy görbe csőben

lehetetlen lenne!)

Kontinuitási egyenlet

Az anyag- ill. tömegmegmaradásból következik, hogy ha egy csőben stacionárius módon

áramlik a folyadék, akkor a cső bármely keresztmetszetén másodpercenként ugyanannyi

tömegű folyadék áramlik át. Tegyük fel, hogy az áramcső vékony, azaz egy adott

keresztmetszetnél a sebesség minden pontban ugyanakkora. Az első keresztmetszet legyen

A1, a második A2, a megfelelő sűrűségek, ill. sebességek ρ1 és ρ2, ill. v1 és v2. Egy kis idő

alatt a folyadékrészecskék utat tesznek meg, így az átáramlott folyadék térfogata ,

a tömege . A két keresztmetszeten egységnyi idő alatt átáramlott tömeg (stacionárius

esetben) egyenlő, tehát

Ezt úgy hívják, hogy kontinuitási egyenlet vékony áramcsőre. Ha azt is feltesszük, hogy a

folyadék összenyomhatatlan, akkor ρ1=ρ2 vagyis

(1)

Ezt általánosíthatjuk tetszőleges térfogatra. A térfogatban található folyadék tömege

Ez csak akkor változhat, ha a térfogatot határoló felületen nem ugyanannyi folyadék lép be,

mint amennyi ki. A felület normálisa kifelé mutat, tehát a nettó kiáramlás . Ezzel a

kontinuitási egyenlet általános alakja:

Stacionárius áramlás esetén a baloldal nulla. Összenyomhatatlan folyadékra a (konstans)

sűrűséget kiemelhetjük az integrál elé, vagyis . Ennek speciális alakja a

kontinuitási egyenlet (1).

26. Bernoulli-egyenlet

Próbáljuk meghatározni, hogyan függ a nyomás a sebességtől. Tegyük fel, hogy egy vékony

csőben súrlódásmentes és összenyomhatatlan folyadék stacionáriusan áramlik. Tekintsük

ebben a csőben a folyadéknak azt a részét, amelyet az 1. és 2. helyeken a A1, ill. A2

keresztmetszetű AB és CD felületek határolnak. A sebesség és a nyomás az 1. és 2. helyeken

legyen v1, p1, ill. v2, p2. Alkalmazni fogjuk az ABCD folyadékoszlop kicsiny elmozdulására a

munkatételt (energia-megmaradás!), amely szerint a kinetikus energia megváltozása egyenlő

a rendszerre ható összes erők munkájával.

Az ABCD folyadékoszlop (halványkékkel ábrázolva) az igen kicsiny idő alatt az

helyzetbe (lilával ábrázolva) jut: az 1. helyről a folyadékoszlop

térfogatú része eltávozik, a 2. helyen pedig az összenyomhatatlanság

(konkrétan a kontinuitási egyenlet) miatt ugyanekkora ( ) térfogatú

folyadék megjelenik. Emiatt, és amiatt, hogy az térben az áramlás stacionárius

voltából kifolyólag semmi sem változott, a munkatétel alkalmazásánál úgy járhatunk el,

mintha a kicsiny tömegű folyadék egyszerűen az 1. helyről a 2.-re jutott volna.

Ennél az elmozdulásnál az összes munka – súrlódás hiányában – a nehézségi erő és a

nyomóerők munkájából tevődik össze. A nehézségi erő munkája, lényegében a potenciális

energia megváltozása, , a nyomóerők munkája pedig a A1 és A2

keresztmetszetnek -vel, ill. -vel való eltolásánál: , ill.

. A munkatétel szerint tehát

Ebből V-vel való egyszerűsítés után adódik a Bernoulli-egyenlet:

azaz súrlódásmentes és összenyomhatatlan folyadék stacionárius áramlására

.

Ez az egyenlet az energia megmaradását fejezi ki. Emellett álló folyadék (v=0) esetén

visszaadja a hidrosztatikai nyomás képletét.

27. Kvázisztatikus térfogati munka

A hőtanban (idegen szóval: termodinamikában) csak olyan rendszerekkel foglalkozunk,

amelyek igen nagy számú részecskéből (pl. gázmolekulából) állnak. Csak ezekre a

makroszkopikus rendszerekre értelmezünk pl. nyomást, hőmérsékletet, néhány molekulára

nem.

A valóságban, ha pl. egy tartályban lévő gázt elkezdünk melegíteni, először a gáznak a

melegítéshez közel eső részein nő a hőmérséklet, a távolabbi helyeken ezt kissé lemaradva

követi. Ekkor viszont nem mondhatjuk azt, hogy a gáz hőmérséklete egyértelműen meg van

határozva, hiszen ez helyről helyre változik, még nem állt be az egyensúlyi állapot.

Az alábbiakban főként olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyekben már egyensúly van,

illetve olyan folyamatokkal, amelyek egyensúlyi állapotok sorozatán vezetnek át. Ez utóbbit

elvileg úgy lehet elérni, hogy végtelenül lassan változtatjuk a rendszer állapotát, hogy legyen

ideje e hőmérsékletnek, nyomásnak, stb. kiegyenlítődni, felvenni az egyensúlyi értékeket. Az

ilyen folyamatokat kvázisztatikusnak ("majdnem állónak", "majdnem egyensúlyinak")

nevezzük.

A térfogati munka értelmezése: tegyük fel, hogy egy hengeres edényben (keresztmetszete A)

gáz van, és a gáz kitágul, a gázt határoló dugattyú utat tesz meg.

A gáz nyomást fejt ki a dugattyúra, ez nagyságú erőt jelent. Ennek munkáját -gal

jelöljük:

mivel a térfogatváltozás .

Általában is igaz a gáz által végzett ún. térfogati munkára, hogy , vagyis a

folyamatot a p-V diagramon ábrázolva a munka a görbe alatti terület.

Általában a hőtanban munkán térfogatváltozásból adódó munkát értünk.

Ha pl. a fejünk fölé emeljük akorábban említett gázpalackot, akkor ugyan munkát végzünk

rajta, de ez nem térfogati munka. Nem a gáz belső energiáját növeli, hanem csak a Földdel

való gravitációs potenciális energiáját, ami nem tartozik a belső energiához.

Tehát a környezet által a gázon végzett munka (ezt jelöljük -vel) a gáz által végzett

munka (-1)-szerese. A fenti példában ez abból következik, hogy amekkora erőt a gáz kifejt a

dugattyúra, akkora erőt fejt ki a dugattyú is a gázra, csak ellentétes irányút (Newton III, erő-

ellenerő).

Ha a gáz tágul, és a (külső) nyomás nem nulla, akkor a gáz végez pozitív munkát. Ha viszont

a gázt a környezete összenyomja, akkor a gázon végzett a környezete pozitív munkát, tehát a

gáz által végzett munka negatív.

28. Belső energia, ekvipartíció, első főtétel

Belső energia

Egy termodinamikai rendszer belső energiáján ( ) a részecskék egymáshoz képesti (relatív)

mozgásához tartozó kinetikus energiát és a részecskék egymással való kölcsönhatásához

tartozó potenciális energiát értjük.

Ekvipartíció

Az ekvipartíció tétele kimondja, hogy egyensúlyi rendszerben adott hőmérsékleten minden

egyes szóba jöhető szabadsági fokra időátlagban ugyanannyi energia jut:

ahol a Boltzmann állandó (1,38·10-23J/K).

A hőtan első főtétele

A hőtan első főtétele kimondja, hogy a termodinamikai rendszer belső energiájának

megváltozása egyenlő a rendszerrel közölt hő és a rendszeren végzett munka összegével.

Munka alatt itt térfogati munkát értünk, mint ahogy azt korábban jeleztük.

Tehát – nyilvánvalóan – ha a rendszeren pozitív munkát végez a környezet, ill. (pozitív) hőt

közlünk, akkor növekszik a belső energiája, míg ha a rendszer végez (pozitív) munkát, ill.

közöl hőt a környezetével, akkor csökken a belső energiája.

A rendszert egy adott A állapotából általában sokféleképp eljuttathatjuk egy másik, mondjuk

B állapotba, és az összes ilyen folyamatra a belső energia megváltozása ugyanaz, csak az A

és a B pontoktól függ. A munkavégzés és a közölt hő viszont a konkrét folyamattól függően

mindig más és más lehet, de az összegük azonos bármely A és B közötti folyamatra.

Az első főtételt nemcsak véges, hanem végtelenül kicsiny (más szóval: infinitezimális)

megváltozásokra is felírhatjuk: . Ezt úgy is nevezik, hogy a tétel

differenciális alakja.

Megjegyezzük, hogy a belső energia általában nem csak hőközléssel és térfogati munkával

növelhető, hanem pl. elektromágneses kölcsönhatás segítségével végzett munkával is. Ez

esetben ezt a W-be bele kell számítani, ám itt ilyesmivel nem foglalkozunk.

29. Ideális gáz állapotegyenlete és speciális állapotváltozásai (izobár, izochor, izoterm, ábrázolás a p-V, V-T és a p-T diagrammokon.)

A tapasztalat szerint a gáz melegítésekor nő a térfogata és/vagy nyomása. Ideális gáznak

nevezzünk a gázt, ha érvényes rá a következő állapotegyenlet (az egyesített gáztörvény):

azaz

ahol a mólszám, az egyetemes gázállandó (8,31 J/K). Ekkor a belső energiát

kiszámolhatjuk a következőképpen:

Hangsúlyozzuk, hogy a fenti összefüggések a valóságban létező gázokra csak közelítőleg

érvényesek. Az ideális-gáz közelítés annál érvényesebb, minél kisebb a gáz sűrűsége és minél

távolabb vagyunk annak forráspontjától.

30. Minden az izobár/izochor/izoterm folyamatról (munka, hőközlés, stb.)

Izobár állapotváltozás

Izobár állapotváltozás során a gáz nyomása állandó (p=állandó). Ha az egyesített

gáztörvényben egyszerűsítünk a nyomással, kapjuk, hogy

A gáz által végzett térfogati munka

de , így

.

A gáz belső energiájának megváltozása , így a gázzal közölt hő a hőtan első

főtételének felhasználásával . Ahhoz, hogy mól gáz hőmérsékletét 1

fokkal megemeljük, hő kell, vagyis az izobár mólhő .

Izochor állapotváltozás

A térfogat állandó, tehát

A gáz által végzett munka nulla, vagyis a gáz belső energiájának megváltozása egyenlő a

gázzal közölt hővel:

Ebből az izochor (állandó térfogaton mért) mólhő . Az állandó nyomáson és az

állandó térfogaton mért mólhő különbsége láthatóan . A két mólhő hányadosa

(ejtsd: kappa), ezt adiabatikus kitevőnek is nevezik. Látható, hogy azért kell több hőt közölni

a gázzal ugyanakkora hőmérsékletnövekedéshez állandó nyomáson, mert a gáz tágulása

során térfogati munkát végez, amivel energiát ad le. Ez állandó térfogaton definíció szerint

ki van zárva.

Izoterm állapotváltozás

A hőmérséklet állandó, vagyis is állandó,

A gáz belső energiája változatlan, így a gázzal közölt hő teljes egészében a térfogati

munkára fordítódik:

Az alábbi ábrán a p-V diagramon ábrázoltuk az eddig elemzett folyamatokat. A kék vonalak

egy-egy izotermát jelölnek, azaz olyan görbét, amely mentén haladva a hőmérséklet állandó.

Mivel az állapotegyenlet szerint a hőmérséklet arányos a szorzattal, az is világos, hogy

. A piros vonal egy izobár expanziót (tágulást) jelöl. Ha jobbról balra haladnánk,

akkor izobár kompresszióról beszélhetnénk. A zöld vonal izochor hűtést ábrázol.

31. Mólhők, fajhők, kalorimetria

Általában egy adott rendszer hőmérsékletváltozása arányos a vele közölt hővel. Az

arányossági tényező a rendszer hőkapacitása: . Ha a rendszer egy anyagból áll,

bevezethetjük a fajhő (jele: c) fogalmát a következőképpen: , vagyis a fajhő az

egységnyi tömegű anyag hőmérsékletének egy fokkal való növeléséhez szükséges

hőmennyiség. Tehát a hőkapacitás egy konkrét (esetleg többfajta anyagból álló) rendszerre, a

fajhő pedig egy anyagra vonatkozik (amely nem csak elem, hanem vegyület, ötvözet, stb., is

lehet). A hőkapacitás és a fajhő közti kapcsolat: .

Ha nem az anyag tömege, hanem a mólszáma ismert, akkor a fentiekhez hasonló egyenlet

írható fel az ún. mólhőre (ezt többféleképp szokták jelölni, mi maradjunk a C-nél):

, vagyis a mólhő azt fejezi ki, hogy egy mólnyi anyag egy fok hőmérséklet-

változásához mennyi hő(energia) kell.

Kalorimetria

A hőmennyiség és fajhő mérésére szolgáló eljárásokat közös néven kalorimetriának

nevezzük. Ennek alapeszköze a kaloriméter. Ez egy hőszigetelt edény, amelyben ismert

fajhőjű, tömegű és hőmérsékletű folyadék van, tehát együttes hőkapacitásuk ( ) ismert. A

kaloriméterbe ismert tömegű és hőmérsékletű, ismeretlen fajhőjű anyagot tesznek. Utóbbi

által leadott hő megegyezik a kaloriméter által felvett hővel, a közös hőmérsékletet jelöljük

-val. A egyenletből meghatározható az ismeretlen fajhő.

Kalorimétereket nem csak fajhő, hanem pl. olvadáshő vagy égéshő meghatározására is

használnak. Utóbbi esetben mLé az égés során felszabaduló hő, ez egyenlő a kaloriméter által

felvett hővel. Ezt szemlélteti az alábbi ábra.

Kaloriméter

A kaloriméterbe ismert tömegű és hőmérsékletű,

ismeretlen fajhőjű anyagot tesznek, melyet elégetve a

keletkezett hőmennyiség a környezetének átadódik, így

mérhető.

32. Adiabatikus állapotváltozás, Poisson-egyenletek (levezetéssel*)

Az adiabatikus definíció szerint azt jelenti, hogy a rendszer (itt a gáz) nem cserél hőt a

környezetével, pl. mert el van szigetelve, .

A hőtan első főtételének differenciális alakjából indulunk ki:

Ebben , , és mivel , . Ezzel:

Tudjuk, hogy , azaz , egyszerűsítés után

ez egy szétválasztható differenciálegyenlet:

integráljuk mindkét oldalt

elvégezve az integrálást

ebből:

Kihasználva, hogy , kapjuk, hogy

vagyis

azaz

Az is igaz, hogy , ebből

Ezek a Poisson-egyenletek. Ezekből , és esetére visszakapjuk az

izobár, izoterm és izochor állapotváltozásokat jellemző értékeket.

Az alábbi ábrán a pV diagramon ábrázoltunk különböző értekekkel jellemzett gázok

adiabatikus folyamatait. A kék vonal összehasonlításként egy izoterma, egyenlete

. A ponton átmenő adiabaták egyenlete , ahol

33. Entrópia, második főtétel (levezetésekkel*)

Entrópia

mennyiséget entrópiának nevezzük. (a mikroállapotszám logaritmusa, ez az entrópia

statisztikus fizikai definíciója. Az összefüggést Boltzmann képletnek is nevezik.)

Ezt a fenti egyenletbe behelyettesítve:

másképpen: (ez lehet az entrópia termodinamikai definíciója). Ez azt jelenti, hogy

a termodinamikai folyamatokat a T-S diagramon ábrázolva a görbe alatti terület a közölt hőt

adja meg.

Ha az összes energia egy adott szabadsági fokra koncentrálódna, az egy maximálisan

rendezett állapot lenne. Ez csak egyféleképp valósulhat meg, tehát a mikroállapotszám 1,

ennek logaritmusa (és ezzel az entrópia) nulla. Ha az energia szétszóródik, a rendszer

rendezetlenné válik, a mikroállapotszám és ezzel az entrópia nő. Ilyen értelemben az

entrópia a rendezetlenség mértéke.

A II. főtétel matematikai alakja:

azaz zárt rendszerben az entrópia nem csökkenhet.

Ha az entrópia növekszik, a folyamat irreverzibilis, hiszen visszafelé nem játszódik le, mivel

az az entrópia csökkenésével járna. Ha az entrópia állandó, reverzibilis folyamatról

beszélünk, ez azonban szigorúan véve inkább csak ideális határeset, legalábbis

makroszkopikus rendszerekben.

Fontos, hogy a hőtan második főtétele egy statisztikus jellegű törvény, csak makroszkopikus,

nagyszámú részecskéből álló rendszerekre értelmezhető. Pl. ha a fenti levezetésben és

nem sokkal nagyobbak, mint 1, akkor a közelítések érvényüket vesztik. Más szavakkal,

mindig vannak kicsiny véletlen ingadozások, fluktuációk, pl. egy-egy gázmolekula a kisebb

nyomású hely felől a nagyobb nyomású hely felé mozog ("széllel szemben").

Makroszkopikus rendszerben az ilyen fluktuációk általában elhanyagolhatóak,

mikroszkopikus rendszerekben sokszor nem.

Ha a rendszerben nincsenek energiakvantumok, akkor ezek csak egyféleképp oszolhatnak el a

szabadsági fokok között, ti. minden szabadsági fokra nulla kvantum jut. Ezt a hőtan III.

főtételének is szokták nevezni: a (kémiailag homogén) rendszerek entrópiája a hőmérséklet

abszolút zéruspontjához való közeledéssel a nullához tart.

Az entrópia termodinamikai értelmezése az 1850-es, a statisztikus fizikai pedig az 1870-es

években jelent meg. A XX. század közepén aztán Shannon egy általánosabb entrópia-

fogalmat vezetett be az információelméletbe.

A formális definíció a következő: ha egy adott állapot n számú mikroállapottal valósulhat

meg, amelyek valószínűsége , akkor az állapotban a bizonytalanság, a hiányzó információ,

a rendezetlenség vagy más néven entrópia . Ezt a definíciót használják a

geoinformatikában is. Ebből könnyen megkapható a statisztikus fizikai definíció lényege,

elég csak arra gondolni, hogy a fizikában minden mikroállapot egyenlő valószínűségű, tehát

, azaz

vagyis a mikroállapotszám logaritmusa (a fizikában a Boltzmann állandóval még szorozni

kell).

34. Körfolyamatok, Carnot-ciklus (a hatásfok kiszámítása*)

Bármely (reverzibilis) körfolyamat végére a rendszer visszakerül abba az állapotba, ahonnan

elindult. A részfolyamatok során változhat a hőmérséklete, belső energiája, stb., de az egész

körfolyamatra nézve a változás nulla. Ebből persze nem következik, hogy a rendszeren

végzett összes munka, ill. a rendszerrel közölt összes hő nulla, csak az, hogy az összegük

nulla.

Tehát végeredményben két eset van:

1. hőt vesz fel a rendszer és ezt munka formájában leadja (hőerőgép), vagy

2. munkát végez rajta a környezete és ezt hő formájában adja le (hűtőgép).

Meg fogjuk látni, (a II. főtétel miatt) hogy az 1. esetben kell lennie olyan szakasznak is,

amikor hőt ad le a gáz, mivel a felvett hőt lehetetlen 100%-ban munkává alakítani.

Ha a p-V diagramon ábrázolva a körfolyamatot, vagy az óramutató járásával megegyező

irányban, vagy ellentétesen irányítjuk a görbét. Előbbi esetben nagyobb nyomáson tágul a gáz

és kisebb nyomáson húzódik össze, tehát a gáz által végzett munka nagyobb, mint a gázon

végzett. Ekkor a fenti 1. eset áll fent.

Hőerőgép

Hűtőgép

A Carnot-ciklus egy speciális körfolyamat, amely két izoterm (legyenek A és C) valamint

két adiabatikus (B és D) szakaszból áll. Tehát a gáz az A szakaszban nagyobb nyomáson és

hőmérsékleten tágul, aztán a B szakaszban hőközlés nélkül tovább tágul, és ezért lehűl, a C

szakaszban alacsonyabb hőmérsékleten összenyomódik, a D-ben pedig a további

összenyomás hatására melegszik.

Carnot-körfolyamat a pV diagramon

Számoljuk ki, melyik szakaszon mennyi hőt vett fel a gáz és mennyi munkát végzett.

"A" szakasz: , -t felvesz a hőmérsékletű hőtartályból (kazánból), azt le is

adja munka formájában: .

A "C" szakaszban -t lead a hőtartálynak (hűtő, mert , vagyis negatív).

Ebben a szakaszban a környezet végez a gázon munkát, azaz (ez

negatív, a rendszer "visszaveszi" a korábban elvégzett munka egy részét).

A "B" és "D" szakaszon a hőközlés nulla ( ), a hőmérséklet-változásokra ,

ezért vagyis . Vagyis amikor az egész folyamatra

összegezzük a munkát és a felvett hőt, az adiabatikus szakaszok kiesnek.

A termikus hatásfok a hasznos munka és a kazánból ( ) felvett hő hányadosa

Használjuk a Poisson-egyenletet: felírva a "B" és a "D" szakaszra

ebből , azaz tehát . Ezzel a hatásfok:

vagyis a veszteséghányad . Minél nagyobb a kazán és a hűtőközeg

hőmérsékletkülönbsége, annál nagyobb a hatásfok. Ez sohasem 100%, ahhoz -es

hőtartály kellene!

A T-S diagramon a Carnot-ciklus egy téglalap, mivel a két adiabatikus szakaszon nincs

entrópiaváltozás, a két izotermikus szakaszon pedig és

, és az állandó hőmérsékleten érvényes

összefüggésből

vagyis a két entrópiaváltozás nagysága megegyezik.

Megjegyzés: általában is igaz, hogy a TS diagramon a hurok területe megadja a

körfolyamatban a gáz által felvett/leadott hőt (körüljárástól függően).

Számítsuk ki a Carnot-ciklus hatásfokát most a TS-diagramból:

vagyis ugyanezt kapjuk, mint fent.

Bebizonyítható, hogy nemcsak ideális gázzal, hanem bármilyen más közeggel végeztetve a Carnot-

körfolyamatot, ugyanazt kapjuk hatásfokra. Azt is be lehet bizonyítani, hogy ez a hatásfok maximális,

azaz bármilyen termodinamikai körfolyamattal valósítunk meg egy hőerőgépet, annak hatásfoka nem

lehet nagyobb, mint , ahol a legnagyobb, a legkisebb hőmérséklet, amit a gáz a

folyamat során felvesz. Mivel ez a hatásfok kisebb, mint 1, visszakaptuk a II. főtétel állítását:

semmilyen periódikusan működő hőerőgép nem tud hőt teljes egészében munkává alakítani. Ezen

felül, ha a körfolyamat reverzibilis, a rendszer entrópia-változása nulla, ha irreverzibilis, akkor

pozitív.

35. Reális gázok, Van der Waals egyenlet*

A valóságos gázok térfogata és nyomása nem tart nullához a hőmérséklettel. A molekuláknak

tetszőleges hőmérsékleten van saját térfogatuk. Legyen egy mol gázmolekula térfogata

(tehát ebbe a molekulák között lévő tér nincs beleszámolva). Emellett ha a gázmolekulák

közel kerülnek egymáshoz, köztük vonzóerők hatnak, amelyek a mért nyomás csökkenését

okozzák. Ha a moltérfogatot -vel jelöljük ( ), a nyomás csökkenéséhez vezető

korrekciós tag fordítottan arányos -tel, így az eredeti ideális gázra vonatkozó

egyenlet helyett pontosabb eredményt ad a Van der Waals egyenlet:

Reális gázoknál a belső energia nem csak a kinetikus energiát tartalmazza (mint ideális

gázoknál), ezért nem csak a hőmérséklettől függ. A térfogat növelésével a molekulák

távolabb kerülnek egymástól, potenciális energiájuk nő, ezért is nő.

A molekulák (és pl. nemesgázatomok) közti vonzóerőt Van der Waals kölcsönhatásnak

nevezik, amely végső soron a Coulomb kölcsönhatásra vezethető vissza.

A potenciál konkrét alakja pl. , ezt Lennard-Jones féle (empirikus)

formulának is nevezik. Itt a vonzás erősségét adja meg, ami elsősorban a fenti -t

befolyásolja, a pedig a taszító tag együtthatója, a fenti -t határozza meg. Tehát ha a

molekulák közti távolság nagy, vonzzák egymást, de ha közelítjük őket, egy bizonyos

egyensúlyi távolság átlépésekor a taszítás válik erősebbé.

A Lennard-Jones potenciál alakulása a távolság függvényében

36. Szilárd testek és folyadékok hőtágulása

Lineáris hőtágulás kis hőmérsékletváltozásokra: Ha egy rúd eredeti hossza , akkor ez

-vel növekszik hőmérsékletváltozás hatására, ahol az anyagra jellemző

állandó. Ezzel az új hossz:

A hőtágulás oka a részecskék közti potenciál aszimmetriája. Alacsony hőmérsékleten ( ) kis

rezgési amplitúdó mellett az atomok közötti átlagos távolság kisebb, mint magasabb

hőmérsékleten ( , ).

A hőtágulás magyarázata az atomok közötti potenciál aszimmetriájával

Térfogati hőtágulás: Tekintsünk egy h oldalélű kockát, ennek kezdeti térfogata , ez

-re változik. A fentebb kapott összefüggést behelyettesítve

Mivel kicsi, magasabb hatványai elhanyagolhatóak, vagyis a zárójelben az utolsó két

tag elhanyagolható. Így felírhatjuk, hogy

azaz , ahol . Ez bármilyen izotróp szilárd testre, ill. a folyadékokra is

érvényes. Az együttható az anyagokra jellemző állandó, értéke szilárd testekre

nagyságrendileg , folyadékokra pedig .

A hőtágulás esetén a linearitás természetesen ismét csak közelítés. Látványosan rossz

eredményt ad a vízre 4oC közelében, ui. ezen hőmérséklet alatt a víz térfogata nem a

melegítéssel, hanem a hűtéssel növekszik. Ezzel kapcsolatos, hogy a jég sűrűsége kisebb,

mint a vízé, a jég úszik a vízen. Ha zárt üvegben lévő víz megfagy, tágulása során

szétrepesztheti az üveget.

Ideális gázokra az állapotegyenletből állandó nyomáson: , ebből kis hőmérséklet-

változásokra . Az ideális gáz tehát nulla Kelvin hőmérsékleten nulla térfogattal

rendelkezne, de ez természetesen lehetetlen.

Alacsony hőmérsékleten az ideális-gáz közelítés érvényét veszti, ezért jelöltük szaggatott

vonallal az origóhoz közeli részt.

37. Halmazállapot-változások, latens hő, fázisdiagram, Clausius-Clapeyron

egyenlet*

Ha szilárd anyagot (pl. jeget) egyenletesen melegítünk, a hőmérséklete a befektetett hő

függvényében az alább látható módon változik.

Víz halmazállapotai a hőmérséklet és befektetett hő függvényében

A két vízszintes szakasz jelenti az olvadást (LO) és a forrást (Lf), ekkor az anyag hőmérséklete

nem változik. Azt a hőmennyiséget, amelyet a halmazállapot-változások alatt a rendszer

hőmérsékletváltozás nélkül felvesz vagy lead, látens hőnek nevezik.

A ferde szakaszokra igaz, hogy , vagyis egy kilogramm (ill. egy mol) anyagra az

egyenesek meredeksége a fajhő (ill. a mólhő) reciprokát adja:

Fázisdiagram

A bal oldali ábrán egy tipikus anyag, a jobb oldalin a nem tipikus víz fázisdiagramja látható.

H: hármaspont: Ebben az egy pontban, ezen az egy konkrét kőmérsékleten és nyomáson

lehet egyensúlyban a 3 fázis. A hármasponti nyomás alatt folyadék nem létezhet. Ha a

szilárd anyagot ilyen nyomáson melegítjük, nem megolvad, hanem szublimál, közvetlenül

gázzá alakul.

K: kritikus pont: a folyadék és a gáz lényegében ugyanaz, sűrűségük és más fizikai

jellemzőik megegyeznek. A kritikus pont fölött a rendszert gázhalmazállapotúnak tekintjük,

összhangban azzal, amit a pV diagram tárgyalásánál mondtunk.

A görbék meredekségét a Clausius-Clapeiron egyenlet adja meg:

Ebben a jobb oldalon a számlálóban az átalakulási hő szerepel, a nevezőben az

átalakulási hőmérséklet és a térfogatugrás szorzata. Az első két mennyiség mindig pozitív,

így a harmadik, a térfogatugrás dönti el, hogy az átalakulási hőmérséklet a nyomás

növelésével nő vagy csökken.

Az anyagok döntő többségére a szilárd fázis a legkisebb térfogatú, ennél nagyobb a folyadék

és legnagyobb térfogata a gáznak van. Ekkor a derivált pozitív, minden görbe

emelkedik. Erre láthatunk példát a bal oldali ábrán. A legfontosabb kivétel a víz: a jég

sűrűsége kisebb a vízénél (a jégtáblák, jéghegyek úsznak a vízen). Ekkor az olvadási görbét

leíró derivált negatív, a nyomás növelésével az olvadáspont csökken.

38. A hő terjedése, hővezetés (Fourier törvény differenciális alak*)

A hővezetés során a hőenergia valamely anyagban úgy jut el a melegebb helyről a

hidegebbre, hogy közben makroszkopikus anyagáramlás nem történik.

Vizsgáljunk meg két A nagyságú felületet, közöttük valamilyen anyaggal. Legyen a két

felület hőmérséklete és ( ), távolságuk . A két felületet állandó

hőmérsékleten tartjuk, így stacionárius áramlás jön létre, bármely adott pontban a

hőmérséklet időben állandó.

Ekkor az 1. (az ábrán bal oldalt elhelyezkedő, pirossal jelölt) felületről a 2.-re áramlott hő

egyenesen arányos a felületek nagyságával, az eltelt idővel, a hőmérsékletkülönbséggel (ez

utóbbi a nem triviális), és fordítottan arányos a felületek távolságával:

Itt a az anyagi minőségtől függő állandó, a két felület közötti teret kitöltő anyag hővezető-

képességét jellemzi (pontosabban megvizsgálva kismértékben a hőmérséklettől is függ). A

törvény differenciális alakját úgy kapjuk, hogy bevezetjük a hőáramsűrűség-vektort, amely

az egységnyi felületen egységnyi idő alatt átáramlott hőenergiát adja meg (mértékegysége

J/m2s), iránya pedig minden pontban megegyezik az ottani hőáramlás irányával. A fenti

egyenletet osztjuk az idővel és a felülettel, majd határértéket veszünk. Ekkor, ha a hő az

x tengely irányában terjedt, a hőáramsűrűség nagyságára azt kapjuk, hogy

A negatív előjel azért jelenik meg, mert a hő az alacsonyabb hőmérsékletű hely felé, vagyis

a hőmérséklet növekedésével ellentétes irányba áramlik. A törvényt úgy nevezik, hogy a

hővezetés első Fourier törvénye, általános alakja:

Vizsgáljunk olyan elrendezést, ahol a két lemez távolsága sokkal kisebb, mint a lemezek

átmérője. Ily módon feltehetjük, hogy a széleken oldalirányban (y és z) nem terjed hő, csak

x irányban. Ekkor viszont stacionárius esetben a két lemez között lévő bármely, a

lemezekkel párhuzamos felületen időegység alatt ugyanannyi hő áramlik át, vagyis a jQ

áramsűrűség (esetleg a szélektől eltekintve) mindenhol ugyanannyi. Ebből viszont az

következik, hogy a hőmérséklet hosszegységre eső megváltozása is mindenhol

ugyanannyi, vagyis az x függvényében ábrázolva a hőmérsékletet, lineárisan csökkenő

függvényt kapunk (ennek konstans a deriváltja). Ezt láthatjuk az ábra alsó részén.

Eredményünk nem csak arra az esetre vonatkozik, amikor a lemezek felülete nagy, hanem

arra is, amikor oldalirányban nagyon jó hőszigetelő veszi körül a közeget, pl. egy fémrúdra,

amelynek egyik végét magas, másik végét alacsony hőmérsékleten tartjuk.

A fémek hővezető-képessége általában nagyobb, mint más szilárd testeké. Folyadékok

hővezető-képessége általában kisebb a szilárd testekénél, a gázok pedig a legrosszabb

hővezetők közé tartoznak. A legjobb hőszigetelő ebből a szempontból a vákuum.

A hő vezetéses terjedésekor lényegében arról van szó, hogy a test magasabb hőmérsékletű

helyén levő és nagyobb kinetikus energiával rendelkező molekulák érintkezés folytán

energiát adnak át a velük szomszédos, alacsonyabb hőmérsékletű helyen levő, kisebb

energiával rendelkező molekuláknak.

Minél szorosabb a kapcsolat a molekulák között, annál gyorsabb az energiaátadás. Ezért jó

hővezetők a szilárd testek, és rossz hővezetők a gázok. Fémeknél az energia-továbbításban

lényeges szerepet játszanak a szabad elektronok, amelyek egyébként a fémek jó elektromos

vezetőképességéért is felelősek. Ezzel magyarázható, hogy a fémek hő- és elektromos

vezetőképessége között jó közelítéssel egyenes arányosság áll fenn.

Konvekció

Ha vízzel töltött edényt a főzőlapra helyezünk, az edény aljával érintkező vízréteg vezetés

útján hőt vesz fel. A felmelegedett víz kisebb sűrűsége folytán felszáll, és helyét a lesüllyedő

nagyobb sűrűségű, hidegebb víz foglalja el, amely ugyancsak felmelegszik, felszáll és így

tovább.

A hő terjedésének ezt a módját konvekciónak nevezzük. Hővezetéskor a test nyugalomban

van, és csak a hőenergia áramlik, konvekció esetén az anyag atomjai, ill. molekulái is

áramlásban vannak, és ezek az áramló részecskék viszik magukkal az energiát.