khÔng gian s–ĐÓng, ĐẾm ĐƯỢc vÀ khÔng gian compact … file1 mỞ ĐẦu 1. tính cấp...

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN VĂN HOÀNG

KHÔNG GIAN S–ĐÓNG, ĐẾM ĐƯỢC

VÀ KHÔNG GIAN COMPACT YẾU

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 2: PGS. TS. HUỲNH THẾ PHÙNG

Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn thạc sĩ

khoa học, họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 06 năm

2014.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

Trung tâm thông tin học liệu, Đại học Đà Nẵng.

Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Năm 1963, N. Levine giới thiệu khái niệm tập nửa mở, nửa

đóng trong không gian tôpô. Sau đó, năm 1976, T. Thompson

giới thiệu khái niệm không gian S -đóng (S-closed) nhằm mở rộng

nhiều tính chất quan trọng của không gian tôpô compắc. Đến năm

1984, J. R. Porter và R. G. Woods đề xuất khái niệm không gian

compắc yếu (feebly compact) đồng thời đặt ra câu hỏi rằng có hay

không một lớp không gian “nằm giữa” hai lớp không gian S -đóng

và compắc yếu.

Đến năm 1991, trong bài báo Countably S-closed spaces của

K. Dlaska, N. Ergun và M. Ganster, các tác giả đã chỉ ra rằng lớp

không gian S -đóng đếm được (countably S-closed) là lớp không

gian nằm giữa các lớp không gian S-đóng và compắc yếu. Trong

luận văn này, chúng tôi nghiên cứu về không gian S -đóng và S -

đóng đếm được, điều kiện để không gian tôpô trở thành S -đóng,

S -đóng đếm được. Từ đó, tìm hiểu những tính chất cơ bản của

không gian S-đóng đếm được, mối quan hệ giữa không gian S-

đóng đếm được và không gian compắc yếu. Trên cở sở đó, chúng

tôi nghiên cứu các điều kiện đề hai lớp không gian S-đóng đếm

được và không gian compắc yếu trùng nhau. Ngoài ra, luận văn

cũng quan tâm đến một số không gian khác như không gian không

liên thông cực trị (extremally disconnected), không gian s-đóng (s-

closed), không gian s-compắc (s-compact), không gian RC -hoàn

chỉnh (RC -pecfect) và không gian km-hoàn chỉnh (km-pecfect).

Bên cạnh đó, luận văn còn trình bày lớp không gian mới là P -

2

không gian (P -spaces) là lớp không gian nằm giữa không gian

S-đóng đếm được và không gian compắc yếu.

Bởi các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Không gian

S-đóng đếm được và không gian compắc yếu” làm đề tài

luận văn thạc sĩ.

2. Mục đích nghiên cứu

Trong luận văn, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề trong

Tôpô đại cương, các tập hợp suy rộng trong không gian tôpô,

không gian S-đóng và không gian S-đóng đếm được với các mục

đích như sau.

• Tìm hiểu và chứng minh chi tiết các tính chất của các tập

nửa mở, tập nửa đóng, tập mở chính quy, tập đóng chính quy, tập

trù mật địa phương... trong không gian tôpô.

• Trình bày các vấn đề về không gian S-đóng và các khái

niệm về không gian không liên thông cực trị; không gian s-đóng

và không gian s-compắc. Chứng minh chi tiết các mệnh đề mà tài

liệu đưa ra không chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt.

• Nghiên cứu điều kiện để không gian tôpô trở thành không

gian S-đóng đếm được. Mối quan hệ giữa không gian S-đóng đếm

được và không gian compắc yếu. Điều kiện để không gian S-đóng

đếm được và không gian compắc yếu trùng nhau.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Tôpô đại cương, tập nửa mở, tập

nửa đóng, tập mở chính quy, tập đóng chính quy, tập trù mật địa

phương, không gian S-đóng, không gian không liên thông cực trị,

không gian km-hoàn chỉnh, không gian compắc yếu và không gian

3

S-đóng đếm được.

Phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này, chúng tôi nghiên

cứu các tập hợp suy rộng trong không gian tôpô. Bài toán về mối

quan hệ giữa không gian S-đóng và không gian S-đóng đếm được

và bài toán về mối quan hệ giữa không gian S-đóng đếm được và

không gian compắc yếu.

4. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong

quá trình thực hiện đề tài. Bằng cách sử dụng các tính chất của

các tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở chính quy, tập đóng chính

quy... trong không gian tôpô, tính chất của không gian S-đóng và

không gian S-đóng đếm được, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ

giữa không gian S-đóng và không gian S-đóng đếm được cũng như

mối quan hệ của chúng với các không gian khác như không gian

tựa H-đóng, không gian s-đóng, s-compắc, không gian không liên

thông cực trị. Nghiên cứu điều kiện để không gian S-đóng đếm

được và không gian compắc yếu trùng nhau cũng như mối quan

hệ của chúng với không gian không liên thông cực trị, RC-hoàn

chỉnh và km-hoàn chỉnh.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

5.1 Luận văn góp phần giải quyết các bài toán sau trong không

gian tôpô.

(1) Mối quan hệ giữa không gian S-đóng và các không gian

s-đóng, không gian s-compắc, không gian tựa H-đóng và

không gian không liên thông cực trị.

(2) Mối quan hệ giữa không gian S-đóng với không gian S-

đóng đếm được, điều kiện để không gian S-đóng trở thành

4

không gian S-đóng đếm được.

(3) Mối quan hệ giữa không gian S-đóng đếm được và không

gian compắc yếu, điều kiện để không gian S-đóng đếm

được và không gian compắc yếu trùng nhau. Trình bày

về lớp không gian nằm giữa không gian S-đóng đếm được

và không gian compắc yếu.

5.2 Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và

học viên cao học đang nghiên cứu về Tôpô đại cương.

6. Cấu trúc và tổng quan luận văn

6.1 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra,

luận văn có Lời cam đoan, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận,

Tài liệu tham khảo.

Chương 1, trình bày về Tôpô đại cương và các tập hợp suy

rộng trong không gian tôpô, bao gồm 3 mục. Mục 1.1, trình bày

về các kiến thức chuẩn bị; Mục 1.2, trình bày về tập nửa mở, tập

nửa đóng và tập nửa chính quy; Mục 1.3, trình bày về tập mở

chính quy, tập đóng chính quy, tập trù mật địa phương.

Chương 2, trình bày về không gian S-đóng và mối quan hệ

của không gian S-đóng với các không gian khác, bao gồm 2 mục.

Mục 2.1, trình bày về không gian S-đóng; Mục 2.2, trình bày về

không gian không liên thông cực trị, không gian s-đóng, không

gian s-compắc, không gian tựa H-đóng và không gian compắc

yếu.

Chương 3, trình bày về không gian S-đóng đếm được và mối

quan hệ giữa không gian S-đóng đếm được và không gian compắc

yếu, bao gồm 2 mục. Mục 3.1, trình bày về các tính chất của không

5

gian S-đóng đếm được; Mục 3.2, trình bày về mối quan hệ giữa

không gian S-đóng đếm được và không gian compắc yếu.

6.1 Tổng quan luận văn

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa

các tập nửa mở, tập nửa đóng, tập nửa chính quy; mối quan hệ

giữa các tập mở chính quy, tập đóng chính quy, tập trù mật địa

phương và các tính chất của những tập hợp trên; trình bày khái

niệm không gian S-đóng, điều kiện để không gian tôpô trở thành

không gian S-đóng và mối quan hệ của không gian không gian S-

đóng với các không gian khác như s-đóng, s-compắc, không gian

không liên thông cực trị, tựa H-đóng; trình bày khái niệm và tính

chất của không gian S-đóng đếm được, điều kiện để không gian

tôpô trở thành không gian S-đóng đếm được. Chúng tôi nghiên

cứu mối quan hệ giữa không gian S-đóng đếm được và không gian

compắc yếu.

Trong chương thứ nhất của luận văn, chúng tôi trình bày các

vấn đề về Tôpô đại cương và các tập hợp suy rộng trong không

gian tôpô. Kết quả chính trong chương này là Mệnh đề 1.2.12,

Mệnh đề 1.2.13, Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 1.3.9, Mệnh đề 1.3.10,

nhờ các mệnh đề này cho chúng ta mối quan hệ giữa tập mở chính

quy, tập đóng chính quy và mối quan hệ của chúng với tập mở,

tập đóng, tập nửa mở và tập nửa đóng.

Trong chương thứ hai của luận văn, chúng tôi trình bày các

vấn đề về không gian S-đóng; các khái niệm về không gian không

liên thông cực trị, không gian s-compắc, không gian tựa H-đóng,

không gian s-đóng và mối quan hệ giữa các không gian trên với

không gian S-đóng. Kết quả chính của chương này là Mệnh đề

6

2.1.2, Mệnh đề 2.1.4. Mệnh đề 2.2.6, Mệnh đề 2.2.12, Mệnh đề

1.3.10.

Trong chương thứ ba của luận văn, chúng tôi trình bày khái

niệm và các tính chất của không gian S-đóng đếm được, nghiên

cứu điều kiện để không gian tôpô trở thành không gian S-đóng

đếm được. Chúng tôi, nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian

S-đóng đếm được và không gian compắc yếu. Từ đó, trình bày

câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của J. R. Porter và R. G.

Woods đã đưa ra vào năm 1984, chứng minh các điều kiện để

hai lớp không gian không gian S-đóng đếm được và không gian

compắc yếu trùng nhau. Ngoài ra, chúng tôi còn quan tâm đến

lớp không gian mới đó là P-không gian được K. Dlaska, N. Ergun

và M. Ganster đưa ra vào năm 1991. Nó là lớp không gian “nằm

giữa” không gian S-đóng đếm được và không gian compắc yếu.

Kết quả chính của chương này là Định lý 3.1.5, Mệnh đề 3.1.7.

Định lý 3.2.8, Hệ quả 3.2.9, Mệnh đề 3.2.13.

Trong luận văn, chúng tôi quy ước N = {1, 2, . . . }; ω =

{0, 1, 2, . . . }.

7

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN TÔPÔ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các vấn đề về Tôpô

đại cương và các tập hợp suy rộng trong không gian tôpô. Mối

quan hệ giữa các tập nửa mở, tập nửa đóng, tập nửa chính quy;

mối quan hệ giữa các tập mở chính quy, tập đóng chính quy, tập

trù mật địa phương và các tính chất của những tập hợp trên.

1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là một tập hợp và τ là họ các tập

hợp con nào đó của X. Ta nói τ là một tôpô trên X nếu nó thỏa

mãn các điều kiện sau.

(i) ∅ ∈ τ và X ∈ τ ;

(ii) Nếu U1 ∈ τ, U2 ∈ τ , thì U1 ∩ U2 ∈ τ ;

(iii) Nếu {Ui : i ∈ I} ⊂ τ , thì∪i∈I

Ui ∈ τ .

Khi đó, cặp (X, τ) được gọi là một không gian tôpô. Các phần tử

của X được gọi là các điểm của không gian tôpô, mỗi phần tử của

τ được gọi là một tập mở trong không gian X.

Ví dụ 1.1.2.

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là không gian tôpô và x ∈ X. Ta

nói tập con U ⊂ X là một lân cận của x nếu tồn tại tập mở V

sao cho x ∈ V ⊂ U .

Nhận xét 1.1.4.

8

Định nghĩa 1.1.5.

Định nghĩa 1.1.6. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô và F ⊂ X.

Ta nói F là một tập hợp đóng trong X nếu X \F là một tập hợp

mở trong X.

Định lí 1.1.7. Gọi D là họ tất cả tập đóng trong không gian tôpô

(X, τ). Khi đó,

(i) ∅ ∈ D , X ∈ D ;

(ii) Nếu F1, F2 ∈ D , thì F1 ∪ F2 ∈ D ;

(iii) Nếu {Fi : i ∈ I} ⊂ D , thì∩i∈I

Fi ∈ D .

Định nghĩa 1.1.8. Giả sử A là tập con của không gian tôpô

(X, τ). Khi đó, giao của họ tất cả các tập đóng chứa A được gọi

là bao đóng của A. Kí hiệu là cl(A).

Nhận xét 1.1.9. (i) cl(A) là tập đóng và là tập đóng nhỏ

nhất chứa A.

(ii) A ⊂ cl(A).

(iii) A ⊂ X là tập đóng khi và chỉ khi cl(A) = A.

(iv) Nếu A ⊂ B, thì cl(A) ⊂ cl(B).

Định lí 1.1.10.

Định lí 1.1.11. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô và A,B ⊂ X.

Khi đó,

(i) cl(∅) = ∅; cl(X) = X;

9

(ii) cl(A ∩B) ⊂ cl(A) ∩ cl(B);

(iii) cl(A ∪B) = cl(A) ∪ cl(B);

(iv) cl(cl(A)

)= cl(A).


(X, τ). Khi đó, hợp tất cả các tập mở nằm trong A được gọi là

phần trong của A. Kí hiệu là int(A).

Nhận xét 1.1.13.

Định lí 1.1.14. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô và A ⊂ X. Khi

đó,

int(A) = X \ cl(X \A)

Định lí 1.1.15. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô (X, τ) và A,B ⊂X. Khi đó,

(i) int(X) = X; int(∅) = ∅;

(ii) int(A ∩B) = int(A) ∩ int(B);

(iii) int(int(A)

)= int(A);

(iv) int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪B).

Định nghĩa 1.1.16. Tập con A của không gian tôpô (X, τ) được

gọi là trù mật trong X nếu cl(A) = X.

Ví dụ 1.1.17.

Nhận xét 1.1.18. Tập con A trù mật trong X khi và chỉ khi mỗi

tập mở khác rỗng trong X đều có điểm chung với A.

10

Định nghĩa 1.1.19. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô và U là

họ các tập hợp con nào đó của X.

(i) Ta nói U là một phủ của X nếu X =∪{U : U ∈ U }.

(ii) U được gọi là một phủ mở của X nếu nó là phủ của X

và mỗi U ∈ U là tập con mở trong X.

(iii) V được gọi là một phủ con hữu hạn của U nếu V ⊂ U ,

V hữu hạn và

X =∪{U : U ∈ V }.

Ví dụ 1.1.20.

Định nghĩa 1.1.21. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó,

(X, τ) được gọi là không gian Hausdorff nếu với x, y ∈ X mà

x ̸= y tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U∩V = ∅.

Ví dụ 1.1.22.

Định nghĩa 1.1.23. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô và A ⊂ X.

Khi đó, tập A được gọi là một tập compắc nếu với mọi phủ mở

của A đều có một phủ con hữu hạn.

Định nghĩa 1.1.24. Giả sử (X, τ) không gian tôpô. Khi đó,

(X, τ) được gọi là một không gian compắc nếu với mọi phủ mở U

của X có phủ con hữu hạn.

Ví dụ 1.1.25.

Định lí 1.1.26. Giả sử (X, τ) là không gian Hausdorff. Khi đó,

mọi tập compắc đều là tập đóng.

11

Định lí 1.1.27. Giả sử (X, τ) là không gian compắc và A là tập

con đóng của X. Khi đó, A là một tập compắc.

Mệnh đề 1.1.28. (i) Giả sử A1, A2 là hai tập compắc trong

không gian tôpô (X, τ). Khi đó, A1 ∪A2 là tập compắc.

(ii) Giả sử (X, τ) là không gian Hausdorff. Khi đó, giao một

số hữu hạn các tập compắc là compắc.

Định nghĩa 1.1.29. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô và A là

tập con khác rỗng của X. Đặt τA = {V : V = A ∩ U, U ∈ τ}.Khi đó, τA là môt tôpô trên A và không gian (A, τA) được gọi là

không gian con của (X, τ), τA được gọi là tôpô cảm sinh của tôpô

τ trên X lên tập hợp A.

1.2 TẬP NỬA MỞ VÀ TẬP NỬA ĐÓNG


gọi là nửa mở (semi-open) nếu tồn tại tập mở U sao cho U ⊂A ⊂ cl(U).

Kí hiệu SO(X, τ) là họ tất cả các tập nửa mở trong (X, τ).

Ví dụ 1.2.2.

Nhận xét 1.2.3. (i) Nếu A là tập mở trong không gian tôpô

(X, τ), thì A là tập nửa mở.

(ii) Nếu x ∈ X và {x} là tập nửa mở, thì {x} là tập mở.

Mệnh đề 1.2.4. Hợp của một họ tùy ý các tập nửa mở là tập

nửa mở.

12


(X, τ). Khi đó, hợp của tất cả các tập nửa mở nằm trong A được

gọi là nửa phần trong (semi-interior) của A và kí hiệu là sint(A).

Mệnh đề 1.2.6. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ).

Khi đó, sint(A) là tập nửa mở lớn nhất nằm trong A.


gọi là tập nửa đóng (semi-closed) nếu X\A là tập nửa mở.

Kí hiệu SC(X, τ) là họ tất cả các tập nửa đóng trong (X, τ).

Ví dụ 1.2.8.

Nhận xét 1.2.9. Nếu A là tập đóng trong không gian tôpô (X, τ),

thì A là tập nửa đóng.


(X, τ). Khi đó, giao của tất cả các tập nửa đóng chứa A được gọi

là bao nửa đóng (semi-closure) của A và kí hiệu là scl(A).


Khi đó, scl(A) là tập nửa đóng bé nhất chứa A.

Mệnh đề 1.2.12. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, các

khẳng định sau đây là tương đương.

(i) A là tập nửa mở trong (X, τ);

(ii) sint(A) = A;

(iii) A ⊂ cl(int(A)

);

(iv) A ⊂ scl(sint(A)

).

13


Khi đó,

(i) X \ scl(A) = sint(X \A);

(ii) X \ sint(A) = scl(X \A).

Hệ quả 1.2.14. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, các

khẳng định sau là tương đương.

(i) A là tập nửa đóng trong (X, τ);

(ii) Tồn tại tập đóng F trong (X, τ) sao cho int(F ) ⊂ A ⊂ F ;

(iii) scl(A) = A;

(iv) int(cl(A)

)⊂ A;

(v) sint(scl(A)

)⊂ A.


gọi là nửa chính quy (semi-regular) nếu A vừa là tập nửa đóng,

vừa là tập nửa mở.

Kí hiệu SR(X, τ) là họ tất cả các tập nửa chính quy trong (X, τ).

Ví dụ 1.2.16.

Mệnh đề 1.2.17. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó,

(i) int(cl(A)

)⊂ scl(A) với mọi A ⊂ X;

(ii) scl(A) = A ∪ int(cl(A)

)với mọi A ⊂ X;

(iii) scl(A) ∈ SR(X, τ) với mọi A ∈ SO(X, τ).

14

1.3 TẬP MỞ CHÍNH QUY VÀ TẬP ĐÓNG CHÍNH

QUY


gọi là một tập mở chính quy (regular open) nếu A = int(cl(A)

).

Kí hiệu RO(X, τ) là họ các tập mở chính quy trong (X, τ).

Nhận xét 1.3.2. Nếu A là tập mở chính quy trong không gian

tôpô (X, τ), thì A là tập mở.

Ví dụ 1.3.3.

Mệnh đề 1.3.4. Nếu A1, A2 ∈ RO(X, τ), thì A1∩A2 ∈ RO(X, τ).


gọi là tập đóng chính quy (regular closed) nếu X \ A là tập mở

chính quy.

Kí hiệu RC(X, τ) là họ tất cả các tập đóng chính quy trong

(X, τ).

Mệnh đề 1.3.6. Tập con A của không gian tôpô (X, τ) là tập

đóng chính quy nếu và chỉ nếu A = cl(int(A)

).

Ví dụ 1.3.7.

Nhận xét 1.3.8. Nếu A là tập đóng chính quy trong không gian

tôpô (X, τ), thì A là tập đóng.

Mệnh đề 1.3.9. Nếu F1, F2 ∈ RC(X, τ), thì F1∪F2 ∈ RC(X, τ).

Mệnh đề 1.3.10. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó,

15

(i) Nếu A ∈ RO(X, τ) hoặc A ∈ SO(X, τ), thì cl(A) ∈RC(X, τ).

(ii) Nếu A ∈ RC(X, τ) hoặc A ∈ SC(X, τ), thì int(A) ∈RO(X, τ).

Hệ quả 1.3.11. Giả sử F là tập con của không gian tôpô (X, τ).

Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương.

(i) F là tập đóng chính quy;

(ii) Tồn tại tập mở chính quy U sao cho F = cl(U);

(iii) Tồn tại tập mở U sao cho F = cl(U);

(iv) Tồn tại tập nửa mở U sao cho F = cl(U).

Hệ quả 1.3.12. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ).

Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương.

(i) A là tập mở chính quy;

(ii) Tồn tại tập đóng chính quy F sao cho A = int(F );

(iii) Tồn tại tập đóng F sao cho A = int(F );

(iv) Tồn tại tập nửa đóng F sao cho A = int(F ).


gọi là nửa mở chính quy nếu tồn tại tập mở chính quy U sao cho

U ⊂ A ⊂ cl(U).

Nhận xét 1.3.14. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó,

16

(i) Mỗi tập mở chính quy hoặc đóng chính quy trong (X, τ)

là tập nửa mở chính quy.

(ii) Mỗi tập nửa mở chính quy trong (X, τ) là tập nửa mở.

Ví dụ 1.3.15.


gọi là trù mật địa phương (locally dense) nếu A ⊂ int(cl(A)

).

Ví dụ 1.3.17.

Nhận xét 1.3.18. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, tập

con A của X là trù mật địa phương, nếu thỏa mãn một trong các

tính chất sau.

(i) A là tập mở chính quy;

(ii) A là tập mở;

(iii) A là tập trù mật trong X.

Mệnh đề 1.3.19. Nếu A là tập trù mật địa phương và U là tập

mở trong không gian tôpô (X, τ), thì A ∩ U là tập trù tập địa

phương.

Mệnh đề 1.3.20. Tập con A của không gian tôpô (X, τ) là trù

mật địa phương nếu và chỉ nếu scl(A) = int(cl(A)

).

17

CHƯƠNG 2

KHÔNG GIAN S-ĐÓNG VÀ KHÔNG

GIAN COMPẮC YẾU

Trong chương này, chúng tôi trình bày các vấn đề về không

gian S-đóng; các khái niệm về không gian không liên thông cực trị,

không gian s-compắc, không gian tựa H-đóng, không gian s-đóng

và mối quan hệ giữa các không gian trên với không gian S-đóng.

2.1 KHÔNG GIAN S-ĐÓNG

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó, (X, τ)

được gọi là S-đóng (S-closed) nếu với mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} của

X bởi các tập nửa mở, tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho

X =∪{cl(Uα) : α ∈ ∧0}.

Mệnh đề 2.1.2. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, các

khẳng định sau đây là tương đương.

(i) (X, τ) là không gian S-đóng;

(ii) Mọi phủ của (X, τ) bởi các tập đóng chính quy có phủ con

hữu hạn;

(iii) Mọi phủ V = {Vα : α ∈ ∧} của (X, τ) bởi các tập nửa mở

chính quy, tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho

X =∪{cl(Vα) : α ∈ ∧0}.

Bổ đề 2.1.3.

18

Mệnh đề 2.1.4. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô và tồn tại

không gian con là S-đóng trù mật trong X. Khi đó, X là không

gian S-đóng.

2.2 KHÔNG GIAN KHÔNG LIÊN THÔNG CỰC

TRỊ, s-ĐÓNG, TỰA H-ĐÓNG và s-COMPẮC

Định nghĩa 2.2.1. Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không

gian liên thông nếu trong không gian (X, τ) chỉ có hai tập ∅ và X

là tập vừa mở, vừa đóng.

Ngược lại, không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian không

liên thông nếu trong không gian (X, τ) tồn tại tập con A khác ∅và X là tập vừa mở, vừa đóng.

Ví dụ 2.2.2.

Định nghĩa 2.2.3. Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian

không liên thông cực trị (extremally disconnected) nếu cl(U) ∈ τ

với mọi U ∈ τ.

Ví dụ 2.2.4.

Định lí 2.2.5.

Mệnh đề 2.2.6.


(X, τ) được gọi là không gian s-compắc (s-compact) nếu mọi phủ

của X bởi các tập nửa mở có phủ con hữu hạn.

Nhận xét 2.2.8.

19

Định nghĩa 2.2.9. Cho (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, (X, τ) được gọi

là không gian tựa H-đóng (quasi-H-closed) nếu với mọi phủ {Uα :

α ∈ ∧} của X bởi các tập mở, tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧sao cho

X =∪{cl(Uα) : α ∈ ∧0}.

Nhận xét 2.2.10.

Mệnh đề 2.2.11. Giả sử (X, τ) là không gian S-đóng. Khi đó,

(X, τ) là không gian tựa H-đóng.

Mệnh đề 2.2.12. Giả sử (X, τ) là không gian không liên thông

cực trị và tựa H-đóng. Khi đó, (X, τ) là không gian S-đóng.


(X, τ) được gọi là s-đóng (s-closed) nếu với mọi phủ {Uα : α ∈ ∧}bởi các tập nửa mở, tồn tại tập con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho

X =∪{scl(Uα) : α ∈ ∧0}.

Mệnh đề 2.2.14. Giả sử (X, τ) là không gian s-đóng. Khi đó,

(X, τ) là không gian S-đóng.


(X, τ) được gọi là không gian compắc yếu (feebly compact) nếu với

mọi phủ đếm được {Un : n ∈ N} của X bởi các tập mở, tồn tại

tập con hữu hạn I của N sao cho X =∪{cl(Un) : n ∈ I}.

Nhận xét 2.2.16. Giả sử (X, τ) là không gian compắc. Khi đó,

(X, τ) là không gian compắc yếu.

20

CHƯƠNG 3

KHÔNG GIAN S-ĐÓNG ĐẾM ĐƯỢC

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và các tính

chất của không gian S-đóng đếm được, chỉ ra điều kiện để không

gian tôpô trở thành không gian S-đóng đếm được. Chúng tôi,

nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian S-đóng đếm được và

không gian compắc yếu, điều kiện để hai lớp không gian không

gian S-đóng đếm được và không gian compắc yếu trùng nhau.

Ngoài ra, chúng tôi còn quan tâm đến lớp không gian mới đó là

P-không gian.

3.1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN S-ĐÓNG

ĐẾM ĐƯỢC

Định nghĩa 3.1.1. Không gian tôpô (X, τ) được gọi là S-đóng

đếm được (countably S-closed) nếu mọi phủ đếm được của X bởi

các tập đóng chính quy có phủ con hữu hạn.

Nhận xét 3.1.2. Mọi không gian S -đóng là không gian S -đóng

đếm được.



Định lí 3.1.5.

Mệnh đề 3.1.6.

Mệnh đề 3.1.7. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô có không gian

con là S-đóng đếm được trù mật trong X. Khi đó, (X, τ) là S-đóng

đếm được.

21

Mệnh đề 3.1.8.

Định nghĩa 3.1.9. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, tập

con A của (X, τ) được gọi là Gδ-tập (Gδ-set) nếu A là giao của

một họ đếm được các tập mở.


điểm x ∈ X được gọi là điểm cô lập (isolated point) của X nếu

tập {x} là mở.


(X, τ) được gọi là compact địa phương nếu với mỗi x ∈ X có một

lân cận U của x mà cl(U) là compắc.

Ví dụ 3.1.12.

Mệnh đề 3.1.13.



(X, τ) được gọi là không gian chính quy nếu với mọi tập đóng

F ⊂ X và với x /∈ F tồn tại các tập mở U, V sao cho F ⊂ U, x ∈ V

và U∩

V = ∅.

3.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÔNG GIAN S-ĐÓNG

ĐẾM ĐƯỢC VÀ KHÔNG GIAN COMPẮC YẾU

Mệnh đề 3.2.1. Giả sử (X, τ) là không gian S-đóng đếm được.

Khi đó, (X, τ) là không gian compắc yếu.

22

Mệnh đề 3.2.2. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, tồn

tại một không gian compắc yếu không phải là không gian S-đóng

đếm được.

Mệnh đề 3.2.3. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, nếu

(X, τ) là không gian không liên thông cực trị và compắc yếu, thì

(X, τ) là không gian S-đóng đếm được.


(i) (X, τ) được gọi là hoàn chỉnh (perfect) nếu mỗi tập mở

trong (X, τ) là hợp của môt họ đếm được các tập đóng.

(ii) (X, τ) được gọi là RC-hoàn chỉnh (RC-perfect) nếu mỗi

tập mở chính quy trong (X, τ) là hợp của môt họ đếm được

các tập đóng chính quy.

Nhận xét 3.2.5. Mọi không gian RC -hoàn chỉnh là không gian

hoàn chỉnh.


(X, τ) được gọi là km-hoàn chỉnh (km-perfect) nếu với mỗi tập

đóng chính quy U và mỗi x /∈ U tồn tại một dãy {Gn : n ∈ N}các tập mở sao cho∪

{Gn : n ∈ N} ⊂ U ⊂∪{cl(Gn) : n ∈ N}

và x /∈∪{cl(Gn) : n ∈ N}.

Mệnh đề 3.2.7. Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, nếu

(X, τ) thỏa mãn một trong các tính chất sau, thì (X, τ) là km-

hoàn chỉnh.

23

(i) không gian không liên thông cực trị;

(ii) không gian RC-hoàn chỉnh.

(iii) không gian chính quy và hoàn chỉnh.

Định lí 3.2.8. Giả sử (X, τ) là không gian S-đóng đếm được

và km-hoàn chỉnh. Khi đó, (X, τ) là không gian không liên thông

cực trị.

Hệ quả 3.2.9. (i) Giả sử (X, τ) là không gian S-đóng đếm

được. Khi đó, (X, τ) là không gian không liên thông cực trị

nếu và chỉ nếu (X, τ) là km-hoàn chỉnh.

(ii) Giả sử (X, τ) là không gian km-hoàn chỉnh. Khi đó, (X, τ)

là không gian S-đóng đếm được nếu và chỉ nếu (X, τ) là com-

pắc yếu và không liên thông cực trị.

Mệnh đề 3.2.10.

Định lí 3.2.11. Không gian tôpô là S-đóng đếm được khi và chỉ

khi nó là không gian compắc yếu và thỏa mãn tính chất: Nếu {Fn :

n ∈ N} là một dãy giảm các tập con đóng chính quy khác rỗng

trong (X, τ) với∩{Fn : n ∈ N} ̸= ∅, thì

∩{int(Fn) : n ∈ N} ̸= ∅.


(X, τ) được gọi là P-không gian (P-spaces) nếu mọi tập con Gδ-tập

trong (X, τ) đều mở.

Mệnh đề 3.2.13. Một P -không gian là S-đóng đếm được nếu và

chỉ nếu mọi không gian con trù mật của (X, τ) là compắc yếu.

24

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa

các tập hợp trong không gian tôpô suy rộng; đặc trưng của không

gian S-đóng; đặc trưng của không gian S-đóng đếm được và mối

quan hệ của chúng với không gian tựa H-đóng, s-compắc, s-đóng,

không gian không liên thông cực trị, RC-hoàn chỉnh và km-hoàn

chỉnh; mối quan hệ giữa không gian S-đóng đếm được và không

gian compắc yếu. Các kết quả chính của luận văn như sau.

(1) Hệ thống lại một số tính chất của Tôpô đại cương.

(2) Tìm hiểu và chứng minh chi tiết các tính chất của tập

nửa mở, tập nửa đóng, tập mở chính quy, tập đóng chính quy, tập

trù mật địa phương... Tự chứng minh một số tính chất mà các tài

liệu đưa ra nhưng không chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt,

thể hiện ở Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 1.3.9, Mệnh đề 1.3.10, Hệ quả

1.3.11 và Hệ quả 1.3.12.

(3) Trình bày các vấn đề về không gian S-đóng và các khái

niệm về không gian không liên thông cực trị, không gian tựa H-

đóng, không gian s-đóng và không gian s-compắc như đã nói ở

phần mở đầu. Chứng minh chi tiết các Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề

2.1.4, Mệnh đề 2.2.11 và Mệnh đề 2.2.12, mà tài liệu đưa ra không

chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt.

(4) Trình bày khái niệm và tính chất của không gian S-

đóng đếm được. Mối quan hệ giữa S-đóng đếm được và không

gian compắc yếu, điều kiện để không gian S-đóng đếm được và

không gian compắc yếu trùng nhau. Chứng minh chi tiết các Mệnh

đề 3.1.8, Định lí 3.2.8 và Mệnh đề 3.2.13, mà tài liệu đưa ra không

chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt.

khÔng gian s–ĐÓng, ĐẾm ĐƯỢc vÀ khÔng gian compact … file1 mỞ ĐẦu 1. tính cấp...

Documents