Hình học 12:CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

§1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN

DẠNG 1: Nhận biết khối đa diện.Phương pháp:

Sử dụng hai điều kiện trong định ngĩa hình đa diện.

Ví dụ: Chứng minh rằng một khối đa diện (H) có ít nhất bốn mặt.Giải

Gọi M1 là một mặt của khối đa diện (H).M1 là một đa giác nên có ít nhất ba cạnh c1, c2, c3.Một mặt M2 (M2 ≠ M1) có chung cạnh c1 với M1. Gọi M3 là mặt có chung cạnh c2 với M1 (M3 ≠ M1). Ta có c1 thuộc M2 và không thuộc M3 nên M3 ≠ M2.Gọi M4 (M4 ≠ M1) là mặt có chung cạnh c3 với M1. Ta có c1 và c2 không thuộc M4 nên M4 ≠ M2 và M4 ≠ M3. Vậy khối đa diện (H) có ít nhất 4 mặt.

DẠNG 2: Chứng minh một số tính chất liên quan đến các đỉnh, các cạnh, các mặt của khối đa diện.

Phương pháp:1. Sử dụng ai điều kiện trong định nghĩa hình đa diện.2. Sử dụng định lý Ơ-le đối với hình đa diện lồi:

*Khối đa diện (H) được gọi là lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc (H).*Xét khối đa diện lồi (H). Gọi m là số mặt, c là số cạnh, d là số đỉnh, khi đó ta có mối quan hệ sau được gọi là công thức Ơ-le: d – c + m = 2

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4, 6, 8, 10.

GiảiGọi số cạnh à khối đa diện là c, số mặt là m.Ta có khối đa diện có các mặt là tam giác thì mỗi mặt có 3 cạnh.Mặt khác mỗi cạnh chung cho hai mặt nên 3m = 2c. Mà 2c là số chẵn nên 3m là số chẵn => m là số chẵn.Các khối đa diện có các mặt là tam giác.

(6 mặt)(4 mặt)

(8 mặt) (10 mặt)

DẠNG 3: Phân chia hoặc lắp ghép các khối đa diện.Phương pháp:1. Chọn mặt phẳng để phân chia khối đa diện.2. Khi cần chứng minh có thể lắp ghép các khối đa diện (H1) (H2),… (Hn) thành khối đa diện (H) ta chứng minh có thể chia khối đa diện (H) thành các khối đa diện (H1) (H2),… (Hn)

Ví dụ: Hãy phân chia một khối hộp thành năm khối tứ diện.Giải

- Mặt phẳng (D1AC) cắt khối hộp ABCDA1B1C1D1 thành một khối tứ diện D1ADC và khối đa diện ABCA1B1C1D1

- Mặt phẳng (AB1D1) và (B1AC) cắt khối đa diện ABCA1B1C1D1

thành hai khối tứ diện A.B1D1A1, B1.ABC và khối đa diện AD1CB1C1

- Mặt phẳng (D1B1C) cắt khối đa diện AD1CB1C1 thành hai khối tứ diện C1D1CB1 và A.D1CB1

Vậy, các mặt phẳng (D1AC), (AB1D1), (B1AC), (D1B1C) chia khối hộp ABCA1B1C1D1 thành năm khối tứ diện D1ADC, A.B1D1A1, B1.ABC, C1D1CB1 và A.D1CB1.

khtn.tkkienthuckhtn.blogspot.com