ketaksamaan cauchy-schwarz, ketaksamaan bessel, dan
TRANSCRIPT
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan
Kesamaan Parseval di Ruang n-Hasilkali Dalam Baku
Hendra Gunawan
Departemen Matematika, ITB, Bandung 40132
1
Abstrak
Beberapa hasil penelitian terkini tentang ruang n-hasilkali
dalam, di antaranya adalah generalisasi dari ketaksamaan Cauchy-
Schwarz, ketaksamaan Bessel, dan kesamaan Parseval di ruang
n-hasilkali dalam baku, akan disajikan.
2
Pendahuluan
Untuk kemudahan, kita hanya akan bekerja dengan ruanghasilkali dalam real, walaupun sesungguhnya fakta-fakta yangdikemukakan di sini berlaku di ruang hasilkali dalam kompleks.
Misalkan H ruang vektor real yang dilengkapi dengan hasilkalidalam 〈·, ·〉 : H × H → R, yang memenuhi
(1) 〈x, x〉 ≥ 0 ∀x ∈ H; 〈x, x〉 = 0 j.h.j. x = 0,
(2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ∀x, y ∈ H,
(3) 〈αx, y〉 = α〈x, y〉 ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R, dan
(4) 〈x + y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 ∀x, y, z ∈ H.
Dalam perkataan lain, (H, 〈·, ·〉) merupakan ruang hasilkali dalam.
3
Pada (H, 〈·, ·〉), berlaku ketaksamaan Cauchy-Schwarz:
〈x, y〉2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉.
Selanjutnya, kita dapat mendefinisikan norm ‖·‖ : H → R dengan
‖x‖ := 〈x, x〉1/2.
Periksa bahwa ‖ · ‖ memenuhi
(5) ‖x‖ ≥ 0 ∀x ∈ H; ‖x‖ = 0 j.h.j. x = 0,
(6) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ ∀x ∈ H, ∀α ∈ R, dan
(7) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀x, y ∈ H.
Ketaksamaan pada (7) dikenal sebagai ketaksamaan segitiga.
4
Pada (H, 〈·, ·〉), berlaku hukum Pythagoras:
‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2
asalkan 〈x, y〉 = 0, dan kesamaan polarisasi:
‖x + y‖2 − ‖x− y‖2 = 4〈x, y〉,
serta hukum jajarangenjang:
‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2.
Kesamaan terakhir merupakan ciri sebuah norm yang diperoleh
dari hasilkali dalam.
5
Misalkan I suatu himpunan indeks (biasanya merupakan him-
punan terhitung).
Himpunan {ei : i ∈ I}, dengan ei 6= 0 ∀ i ∈ I, dikatakan ortogonal
apabila 〈ei, ej〉 = 0 untuk setiap i 6= j.
Himpunan ortogonal {ei : i ∈ I} dikatakan ortonormal apabila
‖ei‖ = 1 ∀ i ∈ I.
Himpunan ortonormal {ei : i ∈ I} dikatakan lengkap apabila x =∑i∈I〈x, ei〉ei untuk setiap x ∈ H.
6
Jika {ei : i ∈ I} merupakan himpunan ortonormal di H, maka
untuk setiap x ∈ H berlaku ketaksamaan Bessel:∑i∈I
〈x, ei〉2 ≤ ‖x‖2.
Jika himpunan ortonormal {ei : i ∈ I} lengkap, maka untuk setiap
x ∈ H berlaku kesamaan Parseval:∑i∈I
〈x, ei〉2 = ‖x‖2.
Sebaliknya juga benar: jika kesamaan Parseval berlaku, maka
{ei : i ∈ I} lengkap.
7
Ruang n-hasilkali dalam
Misalkan H ruang vektor real berdimensi d ≥ n (n ≥ 2). Se-
barang fungsi bernilai real 〈·, ·|·, . . . , ·〉 pada Hn+1 yang memenuhi
kelima sifat berikut:
H1. 〈x1, x1|x2, . . . , xn〉 ≥ 0; 〈x1, x1|x2, . . . , xn〉 = 0 jhj x1, x2, . . . , xn
bergantung linear;
H2. 〈x1, x1|x2, . . . , xn〉 = 〈xi1, xi1|xi2, . . . , xin〉 untuk tiap permutasi
(i1, . . . , in) dari (1, . . . , n);
H3. 〈x0, x1|x2, . . . , xn〉 = 〈x1, x0|x2, . . . , xn〉;
H4. 〈αx0, x1|x2, . . . , xn〉 = α〈x0, x1|x2, . . . , xn〉, α ∈ R;
8
H5. 〈x0+x′0, x1|x2, . . . , xn〉 = 〈x0, x1|x2, . . . , xn〉+ 〈x′0, x1|x2, . . . , xn〉,
disebut n-hasilkali dalam pada H, dan pasangan (H, 〈·, ·|·, . . . , ·〉)disebut ruang n-hasilkali dalam.
Pada ruang n-hasilkali dalam (H, 〈·, ·|·, . . . , ·〉), berlaku ketaksamaan
Cauchy-Schwarz
〈x0, x1|x2, . . . , xn〉2 ≤ 〈x0, x0|x2, . . . , xn〉〈x1, x1|x2, . . . , xn〉,
dengan kesamaan dipenuhi j.h.j. x0, x1, x2, . . . , xn bergantung
linear (lihat [G1]).
8
Selanjutnya, fungsi ‖·, . . . , ·‖ yang didefinisikan pada Hn oleh
‖x1, x2, . . . , xn‖ := 〈x1, x1|x2, . . . , xn〉1/2
merupakan suatu n-norm pada H, yang memenuhi keempat sifat
berikut:
N1. ‖x1, . . . , xn‖ ≥ 0; ‖x1, . . . , xn‖ = 0 jhj x1, . . . , xn bergantung
linear;
N2. ‖x1, . . . , xn‖ invarian terhadap permutasi;
N3. ‖αx1, x2, . . . , xn‖ = |α| ‖x1, x2, . . . , xn‖, α ∈ R;
N4. ‖x0 + x1, x2, . . . , xn‖ ≤ ‖x0, x2, . . . , xn‖+ ‖x1, x2, . . . , xn‖.
9
Contoh. Jika (H, 〈·, ·〉) merupakan ruang hasilkali dalam, makaH dapat pula dilengkapi dengan n-hasilkali dalam baku
〈x0, x1|x2, . . . , xn〉 :=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈x0, x1〉 〈x0, x2〉 . . . 〈x0, xn〉〈x2, x1〉 〈x2, x2〉 . . . 〈x2, xn〉
... ... . . . ...〈xn, x1〉 〈xn, x2〉 . . . 〈xn, xn〉
∣∣∣∣∣∣∣∣∣dan n-norm baku
‖x1, x2, . . . , xn‖ := 〈x1, x1|x2, . . . , xn〉1/2.
Perhatikan bahwa
‖x1, . . . , xn‖2 = G(x1, . . . , xn),
yang merupakan determinan Gram (lihat [FRG] and [MPF]).
Secara geometris, ‖x1, . . . , xn‖ menyatakan volume paralelpipedi-um berdimensi n yang direntang oleh x1, . . . , xn.
10
Catatan. Konsep ruang n-norm dikembangkan lebih dahulu oleh
Gahler pada tahun 1960-an sebagai generalisasi dari konsep pan-
jang, luas dan volume di ruang vektor real (lihat [Ga1], [Ga2]
and [Ga3]).
Konsep ruang n-hasilkali dalam dikembangkan belakangan oleh
Diminnie, Gahler dan White [DGW1] dan [DGW2] (untuk n = 2)
pada tahun 1970-an, serta Misiak [M1] (untuk n ≥ 2) pada akhir
tahun 1980-an.
11
Seperti halnya ruang hasilkali dalam, ruang n-hasilkali dalam
(H, 〈·, ·|·, . . . , ·〉) mempunyai sejumlah sifat yang bagus.
Selain ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita juga mempunyai ke-
samaan polarisasi:
‖x0+x1, x2, . . . , xn‖2−‖x0−x1, x2, . . . , xn‖2 = 4〈x0, x1|x2, . . . , xn〉,
dan hukum jajarangenjang:
‖x0 + x1, x2, . . . , xn‖2 + ‖x0 − x1, x2, . . . , xn‖2 =
2(‖x0, x2, . . . , xn‖2 + ‖x1, x2, . . . , xn‖2),
yang merupakan ciri sebuah n-norm yang diperoleh dari n-hasilkali
dalam.
12
Kemudian, dari kesamaan polarisasi dan sifat (H2), kita peroleh
〈x0, x1|x2, . . . , xn〉 = 〈x0, x1|xi2, . . . , xin〉
untuk tiap permutasi (i2, . . . , in) dari (2, . . . , n).
Selanjutnya, jika x0 atau x1 merupakan kombinasi linear dari
x2, . . . , xn, maka
〈x0, x1|x2, . . . , xn〉 = 0,
dan dalam hal ini kita peroleh
‖x0 + x1, x2, . . . , xn‖2 = ‖x0, x2, . . . , xn‖2 + ‖x1, x2, . . . , xn‖2.
13
Sebelumnya kita telah mengetahui bahwa pada ruang hasilkali
dalam (H, 〈·, ·〉), kita dapat mendefinisikan n-hasilkali dalam baku.
Sebaliknya, pada ruang n-hasilkali dalam (H, 〈·, ·|·, . . . , ·〉), kita
juga dapat mendefinisikan suatu hasilkali dalam.
Persisnya, ambil sebarang himpunan bebas linear {a1, . . . , an} di
H. Lalu, untuk setiap x, y ∈ H, definisikan
〈x, y〉 :=∑
{i2,...,in}⊆{1,...,n}〈x, y|ai2, . . . , ain〉.
Maka 〈·, ·〉 merupakan hasilkali dalam pada H. Pengamatan lebih
lanjut tentang hal ini dapat dilihat di [G2] dan [G3].
14
Catatan. Walaupun ruang n-hasilkali dalam ternyata merupakan
ruang hasilkali dalam, generalisasi dari ketaksamaan Cauchy-
Schwarz, ketaksamaan Bessel, dan kesamaan Parseval di ruang
n-hasilkali dalam baku, yang berupa ketaksamaan/kesamaan de-
terminantal, cukup menarik untuk dibahas. Di samping mem-
berikan kemudahan dalam penyajian, konsep n-hasilkali dalam
ternyata membuka jalan bagi penemuan baru.
15
Ketaksamaan dan kesamaan
di ruang n-hasilkali dalam baku
Misalkan (H, 〈·, ·〉) ruang hasilkali dalam yang juga dilengkapi
dengan n-hasilkali dalam baku 〈·, ·|·, . . . , ·〉. Maka kita mempunyai
teorema berikut tentang ketaksamaan Cauchy-Schwarz di H:
Teorema 1. Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
〈x0, x1|x2, . . . , xn〉2 ≤ ‖x0, x2, . . . , xn‖2‖x1, x2, . . . , xn‖2
ekivalen dengan ketaksamaan determinantal∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈x0, x0〉 〈x0, x1〉 . . . 〈x0, xn〉〈x1, x0〉 〈x1, x1〉 . . . 〈x1, xn〉
... ... . . . ...〈xn, x0〉 〈xn, x1〉 . . . 〈xn, xn〉
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0.
16
Catatan. Kebenaran masing-masing ketaksamaan dalam Teo-
rema 1 merupakan hal yang trivial. Untuk n = 1 atau 2, eki-
valensi di antara kedua ketaksamaan tersebut mudah dilihat.
Teorema 1 merupakan konsekuensi dari fakta berikut:
Fakta. Setiap matriks A1 = [aij] berukuran N ×N (N ≥ 3), de-
ngan determinan submatriks Am = [aij]i,j=m,...,N (m = 3, . . . , N)
bernilai tak nol, mestilah memenuhi
|A1||A3| = |A11||A22| − |A12||A21|
dimana Aij adalah matriks (N − 1)× (N − 1) yang diperoleh dari
A1 dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j. (Khususnya,
jika A1 simetris, maka |A1||A3| = |A11||A22| − |A12|2.)
17
Teorema 2. Jika {ek} merupakan himpunan ortonormal di H,
maka untuk setiap x1, . . . , xn ∈ H berlaku ketaksamaan Bessel:
∑k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈ek, x1〉 〈ek, x2〉 . . . 〈ek, xn〉〈x2, x1〉 〈x2, x2〉 . . . 〈x2, xn〉
... ... . . . ...〈xn, x1〉 〈xn, x2〉 . . . 〈xn, xn〉
∣∣∣∣∣∣∣∣∣2
≤
∣∣∣∣∣∣∣〈x1, x1〉 . . . 〈x1, xn〉
... . . . ...〈xn, x1〉 . . . 〈xn, xn〉
∣∣∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣∣∣〈x2, x2〉 . . . 〈x2, xn〉
... . . . ...〈xn, x2〉 . . . 〈xn, xn〉
∣∣∣∣∣∣∣ . (1)
Jika, sebagai tambahan, {ek} lengkap, maka kesamaan berlaku.
18
Catatan. Untuk n = 1, ruas kanan disepakati terdiri dari suku
pertama saja: ketaksamaan di atas tak lain merupakan ketak-
samaan Bessel di ruang hasilkali dalam, sementara kesamaannya
dikenal sebagai kesamaan Parseval.
Dengan menggunakan notasi n-hasilkali dalam baku, ketaksamaan
(1) dapat dituliskan sebagai∑k
〈ek, x1|x2, . . . , xn〉2 ≤ ‖x1, x2, . . . , xn‖2‖x2, . . . , xn‖2n−1,
dengan ‖·, . . . , ·‖n−1 menyatakan (n− 1)-norm baku pada H.
Seperti halnya Teorema 1, Teorema 2 dapat dibuktikan pula
dengan menggunakan fakta tadi. Sketsa buktinya adalah sebagai
berikut.
19
Sketsa Bukti Teorema 2 (untuk n ≥ 2). Pertama catat jika
x1, x2, . . . , xn bergantung linear, maka kedua ruas (1) bernilai 0
dan karenanya tak ada yang harus dibuktikan. Jadi, untuk selan-
jutnya asumsikan bahwa x1, x2, . . . , xn bebas linear. Untuk setiap
k, tinjau (n + 1)× (n + 1) matriks simetris berikut〈ek, ek〉 〈ek, x1〉 . . . 〈ek, xn〉〈x1, ek〉 〈x1, x1〉 . . . 〈x1, xn〉
... ... . . . ...〈xn, ek〉 〈xn, x1〉 . . . 〈xn, xn〉
.
Maka, dengan menggunakan fakta tentang determinan matriks,
kita mempunyai
〈ek, x1|x2, . . . , xn〉2 = ‖ek, x2, . . . , xn‖2‖x1, x2, . . . , xn‖2−
‖ek, x1, x2, . . . , xn‖2n+1‖x2, . . . , xn‖2n−1.
20
Sekarang bagi kedua ruas dengan ‖x1, x2, . . . , xn‖2‖x2, . . . , xn‖2n−1untuk memperoleh
〈ek, x1|x2, . . . , xn〉2
‖x1, x2, . . . , xn‖2‖x2, . . . , xn‖2n−1
=
‖ek, x2, . . . , xn‖2
‖x2, . . . , xn‖2n−1
−‖ek, x1, x2, . . . , xn‖2n+1
‖x1, x2, . . . , xn‖2.
Selanjutnya kita tinggal menunjukkan bahwa, dengan mengge-
rakkan nilai k, jumlah dari suku-suku di ruas kanan lebih ke-
cil daripada 1 (atau, dalam kasus di mana {ek} lengkap, sama
dengan 1). Semua ini dapat dilakukan dengan bantuan intuisi
geometris dari n-norm baku, proyeksi ortogonal, proses Gram-
Schmidt, dan hukum Pythagoras, serta ketaksamaan Bessel (dan
kesamaan Parseval) di ruang hasilkali dalam (lihat [G4]).
21
Rujukan
[DGW1] C. Diminnie, S. Gahler and A. White, “2-inner productspaces”, Demonstratio Math. 6 (1973), 525-536.
[DGW2] C. Diminnie, S. Gahler and A. White, “2-inner productspaces. II”, Demonstratio Math. 10 (1977), 169-188.
[Ga1] S. Gahler, “Lineare 2-normietre Raume”, Math. Nachr.28 (1965), 1-43.
[Ga2] S. Gahler, “Untersuchungen uber verallgemeinerte m-met-rische Raume. I”, Math. Nachr. 40 (1969), 165-189.
[Ga3] S. Gahler, “Untersuchungen uber verallgemeinerte m-met-rische Raume. II”, Math. Nachr. 40 (1969), 229-264.
22
[FRG] F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Vol. I, ChelseaPubl. Co., New York (1960), 247–256.
[G1] H. Gunawan, “On n-inner products, n-norms, and the Cau-chy-Schwarz inequality”, Sci. Math. Japon. 55 (2002), 53–60.
[G2] H. Gunawan, “On n-inner product spaces”, preprint.
[G3] H. Gunawan, “An inner product that makes a set of vectorsorthonormal, Austral. math. Soc. Gaz. 28 (2001), 194-197.
[G4] H. Gunawan, “A generalization of Bessel’s inequality andParseval’s identity”, akan terbit di Per. Math. Hungar.
[M1] A. Misiak, “n-inner product spaces”, Math. Nachr. 140(1989), 299-319.
[MPF] D.S. Mitrinovic, J.E. Pecaric and A.M. Fink, Classicaland New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic Publishers,Dordrecht (1993), 595–603.
22