Ket and Bra

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<p>MECNICA QUNTICAFORMALISMO (Parte 1)Parte de notas de aulas relacionadas disciplina FIS 660-Mecnica Quntica, do curso de Mestrado em Fsica da Universidade Federal de Viosa durante os anos de 2001 a 2005. O contedo equivalente a aproximadamente 6 aulas. O texto baseado no livro Modern Quantum Mechanics de J.J. Sakurai, adotado nessa disciplina durante o perodo acima mencionado.</p> <p>Prof. Afrnio Rodrigues Pereira Departamento de Fsica, Universidade Federal de Viosa, Viosa, 36570-000, Minas Gerais. Email: apereira@ufv.br</p> <p>1</p> <p>MECNICA QUNTICA (Aulas 3 e 4: Introduo ao Formalismo Matemtico da Teoria)Na aula passada vimos, com o exemplo do experimento de SternGerlach em seqncia, que impossvel determinarmos (medirmos) simultaneamente as componentes Sx , Sy ou Sz do spin do eltron. Mais precisamente, podemos dizer que a seleo do feixe Sx (ver figura abaixo) pelo segundo aparato SGx destruir completamente qualquer informao prvia a respeito de Sz . Deve ficar claro na cabea do estudante que a limitao encontrada na determinao de duas componentes do spin ( Sx e Sz por exemplo) no devida incompetncia do Fsico experimental . Tal limitao inerente ao prprio experimento e ao fenmeno microscpico. Sx+ Sz+ Sz+ SGx Forno SGz Sz Sx Fig.1. Experimento SG em seqncia.</p> <p>SGz Sz -</p> <p>Para tratar esse fenmeno (sem anlogo na Fsica clssica) de uma maneira quantitativa, o livro do Sakurai introduz uma matemtica bastante conhecida de soma vetorial aplicada polarizao da luz. Essa analogia entre o problema dos spins apresentado acima e a polarizao da luz apenas matemtica e servir para indicar o caminho a seguir para tratarmos de fenmenos qunticos. A teoria eletromagntica de Maxwell considera a luz , bem como todas as demais radiaes eletromagnticas, uma onda transversal ( isso significa que os campos eltricos e magnticos esto vibrando em uma direo perpendicular direo de propagao da luz ; ver figura 2).</p> <p>Fig. 2. Fotografia instantnea de uma onda plano-polarizada mostrando os vetores campos eltrico (setas azuis) e magntico (setas vermelhas) ao longo de um raio.</p> <p>Um feixe de luz polarizado pode ser obtido deixando-se passar luz no polarizada (ver figura 3) por um filtro polaride (placa polarizadora). Filtro que seleciona um feixe polarizado na direo x, chamado filtrox. Obviamente, se rodarmos o filtro-x por 900 sobre a direo de propagao z, ele se torna um filtro-y (para uma reviso desse assunto, consulte os seus livros de Fsica bsica). Consideremos uma onda de luz se propagando na direo z. Um feixe de luz linearmente polarizado com vetor polarizao na direo x (onda xpolarizada), tem vetor campo eltrico oscilando na direo x dado por2</p> <p>r E = E 0 x cos(kz t ) , (1) e da mesma forma, uma onda de luz y-polarizada , tambm se propagando n direo z tem r E = E 0 y cos(kz t ) . (2)</p> <p>r E</p> <p>**</p> <p>Fig.3. Luz polarizada (esquerda) e luz no polarizada (direita)</p> <p>Um fato bastante conhecido o seguinte : quando deixamos um feixe de luz no polarizada passar atravs de um filtro-x e subseqentemente ele atinge um filtro-y, nenhuma luz resultar atrs das placas, claro, se as placas polarizadoras tiverem 100% de eficincia ( ver fig. 4 ).</p> <p>x</p> <p>y</p> <p>Polarizador 1 (filtro-x)</p> <p>Polarizador 2 (filtro-y)Fig. 4. A luz no polarizada no transmitida atravs de placas cruzadas</p> <p>A situao mais interessante quando inserimos um terceiro filtro entre os filtros x e y . Se chamarmos esse polarizador de filtro-x e considerarmos que ele faz um angulo de 450 com a direo x no plano xy, temos a seguinte representao (Fig. 5):3</p> <p>Luz no polarizada</p> <p>Luz x-polarizada</p> <p>Luz x-polarizada</p> <p>Luz y-polarizada Fig. 5. Um terceiro filtro-x destruir qualquer informao prvia sobre a polarizao da luz.</p> <p>Podemos ento concluir que a seleo do feixe x-polarizado feita pelo segundo polarizador (filtro-x) destruir qualquer informao prvia sobre a polarizao da luz. Note que essa situao bastante parecida com a situao encontrada anteriormente com o experimento de Stern-Gerlach, se fizermos a seguinte correspondncia : tomos Sz tomos Sx Y Y y y</p> <p>Luz polarizada x , y Luz polarizada x , y</p> <p>X</p> <p> x xXFig.6. Sistema de coordenadas</p> <p>Usando a figura acima, fcil ver que 1 1 E 0 x cos(kz t ) = E 0 x cos(kz t ) + y cos(kz t ) , 2 2 (3)</p> <p> 1 1 E 0 y cos(kz t ) = E 0 x cos(kz t ) + y cos(kz t ) . (4) 2 2 Assim, no arranjo de trs polarizadores mostrado na figura 5, o feixe saindo do primeiro polarizador um feixe x-polarizado, que pode ser considerado como uma combinao linear de um feixe x-polarizado e um feixe y-polarizado . O4</p> <p>segundo polarizador seleciona um feixe x-polarizado , que novamente pode ser considerado como uma combinao linear de um feixe x-polarizado e um y-polarizado. Finalmente o terceiro polarizador seleciona uma componente ypolarizada. A aplicao da correspondncia para a experincia de Stern-Gerlach em seqncia sugere que podemos ser capazes de representar o estado-spin dos tomos de prata por algum tipo de vetor em um novo tipo de espao vetorial bidimensional, um espao vetorial abstrato. Assim, da mesma forma que x e y so vetores bases unitrios usados para decompor o vetor polarizao x da luz x-polarizada, razovel representar o estado Sx + por um vetor, que chamaremos ket. Tais vetores kets sero nossos instrumentos de trabalho dentro da notao de Dirac que ser desenvolvida mais tarde. Ns denotaremos esse vetor ket pelo smbolo Sx ; + &gt; e o representaremos como uma combinao linear de dois vetores base Sz ; + &gt; e Sz ; &gt; fazendo a seguinte conjectura ? Sx ; + &gt; =1 2</p> <p>Sz ; + &gt; +1</p> <p>1 2</p> <p>Sz ; &gt;,1</p> <p>(5)</p> <p>Sz ; &gt;, (6) 2 2 em analogia com as equaes (3) e (4) para o campo eltrico. Assim, a componente no bloqueada que sai do segundo aparato (que sai de SGx) ser considerada como uma superposio de Sz + e Sz no sentido expresso pelas equaes (5) e (6). Matematicamente, por essa razo que as duas componentes emergem do terceiro aparato (SGz). ?</p> <p>Sx ; &gt; = </p> <p>Sz ; + &gt; +</p> <p>ESPAO BIDIMENSIONAL (X,Y) 1) Vetores da base: x, y 2) Qualquer vetor pode ser escrito como combinao linear dos vetores da base.</p> <p>ESPAO VETORIAL ABSTRATO 2D 1) vetores da base : Sz ; +&gt;, Sz ; &gt; 2) Qualquer vetor nesse espao pode ser escrito como uma combinao linear desses vetores da base.</p> <p>Agora devemos saber como escrever Sy ; +&gt; e Sy ; &gt;. Note que as possibilidades de combinao linear com uma base 2D j foram esgotadas nas equaes (5) e (6). Ser mesmo?! Na realidade, foram esgotadas apenas as possibilidades com coeficientes reais ! Aqui, Sakurai far outra analogia com a polarizao da luz. Vejamos!</p> <p>Polarizao CircularMatematicamente, como podemos representar uma luz circularmente polarizada? Veja a figura 7! Imagine duas ondas plano-polarizadas, uma xpolarizada e outra y-polarizada, defasadas por 900. O campo eltrico resultante pode ser escrito como :</p> <p>5</p> <p>r 1 1 E = E0 x cos(kz t ) + y cos(kz t ) . (7) 2 2 2 Essa equao mais elegantemente escrita empregando a notao complexa: r 1 i E = Re E 0 xe i ( kz t ) ye i ( kz t ) , (8) 2 2 onde usamos i = e i / 2 . X</p> <p>Y</p> <p>1 2 3 4 5 6 7 x</p> <p>y</p> <p>1 2 3 4 5 Fig.7. Uma onda circularmente polarizada direita. Note o giro do vetor campo eltrico representado nos quadrados de 1 a 8 e compare com a figura. Considere que o feixe caminhe em sua direo. 6 7 8</p> <p>Podemos definir :</p> <p>Luz circularmente polarizada direita quando o fim do vetor campo eltrico (se a luz vem em nossa direo) circula no sentido antihorrio.</p> <p>Luz circularmente polarizada esquerda quando o fim do vetor campo eltrico (se a luz vem em nossa direo) circula no sentido horrio.</p> <p>6</p> <p>(observao: no existe unanimidade na definio de luz circularmente polarizada esquerda e direita. A conveno adotada aqui segue o padro usado em fsica de partculas). Da equao (8) podemos fazer a seguinte analogia com os tomos de prata : tomos Sy + tomos Sy Feixe circularmente polarizado direita Feixe circularmente polarizado esquerda,</p> <p>Pois dessa forma temos mais uma maneira de escrever um vetor em termos de x, y , s que dessa vez os coeficientes so complexos. Assim, os vetores Sy ; &gt; podem ser facilmente escritos usando a equao (8) Sz ; &gt; (9) 2 2 Logo, a analogia com um problema fsico concreto, nos deu um importante discernimento sobre como tratar matematicamente os incrveis resultados da experincia de Stern-Gerlach, e ainda mostrou que para descrevermos os estados de spin dos tomos de prata, devemos trabalhar em um espao vetorial complexo. ESPAO VETORIAL BIDIMENSIONAL ABSTRATO (ESPAO SPIN) 1- Vetores da base : Sz ; + &gt; , Sz ; &gt; 2- Qualquer vetor arbitrrio nesse espao vetorial escrito como uma combinao linear desses vetores da base com coeficientes complexos em geral. O fato de ser necessrio o uso de nmeros complexos nesse exemplo elementar bastante notvel e j demonstra que a nossa matemtica daqui para frente estar contida no conjunto dos nmeros complexos. Vocs devem estar lembrados do curso de estrutura da matria, que a equao de Schrdinger uma equao diferencial com a presena nmeros complexos e que apenas o quadrado da funo de onda (soluo da equao) tem um significado fsico, j que o quadrado de um nmero complexo um nmero real. Sy ; &gt; =1</p> <p>Sz ; + &gt; </p> <p>i</p> <p>7</p> <p>FSICA QUNTICA I (Aulas 5 e 6: Conceitos Fundamentais) 4. INTODUOJ vimos atravs de um exemplo simples relacionado ao sistema de spins que temos que mudar radicalmente nossa maneira de pensar se quisermos nos aventurar no mundo microscpico. A Fsica clssica no consegue dar conta desses novos fenmenos e necessariamente precisamos de uma nova teoria. Comearemos nessa aula o estudo detalhado da teoria quntica no relativstica. Como o prprio nome indica, essa teoria no pode tratar de fenmenos microscpico relativsticos e portanto seu alcance de aplicao limitado. Uma unio entre teoria quntica e relatividade leva a uma teoria muito mais satisfatria da natureza com um poder de previso fantstico de forma que podemos dizer que o todo (teoria quntica relativstica) maior que a soma das partes ( Fsica quntica e relatividade). Mas existem muitos fenmenos em que as partculas qunticas se movem a baixas velocidades e assim a teoria desenvolvida aqui se aplica e com grande preciso. Quando se fala em uma teoria, pensamos de inicio sobre os seus postulados (um postulado uma sentena aceita sem demonstrao. claro que ele pode ser testado atravs da comparao entre suas conseqncias e os fatos experimentais). Aqui, ns no colocaremos todos os postulados da mecnica quntica de uma s vez e depois apresentaremos os teoremas (proposio cientfica que pode ser demonstrada. Formulao fechada de uma teoria, que pode ser obtida a partir dos postulados desta teoria atravs de uma seqncia finita de aplicao das regras de deduo) e corolrios (proposio que se deduz imediatamente de outra j conhecida. Conseqncia necessria e evidente). Iremos apresentando os postulados e alguns teoremas medida que formos familiarizando com os novos conceitos e com a nova matemtica de espaos vetoriais abstratos.</p> <p>4.2 KETS E OPERADORESJ vimos a necessidade de considerarmos um espao vetorial complexo. Agora vamos formular as bases matemticas de espaos vetoriais como so usadas na mecnica quntica. Usaremos a notao de Dirac. 4.2.1 ESPAO KET Consideraremos um espao vetorial complexo. Dessa forma, precisamos saber qual a dimenso desse espao e os tipos de vetores presentes. Com relao dimenso de nosso espao, podemos fazer algumas consideraes se lembrarmos do experimento de Stern-Gerlach discutido nas aulas passadas. Vimos naquele caso particular dos tomos de prata, que quando um feixe de tomos saindo de um forno passava atravs de um campo magntico, emergiam apenas dois feixes que denotamos de spin-up e spin-down. Um8</p> <p>breve raciocnio nos indica que o feixe original deva ser alguma combinao dos dois feixes emergentes. Assim, podemos escrever o feixe original como uma combinao linear dos feixes emergentes e devemos estabelecer as regras para essa combinao. Vimos que a idia de um espao vetorial se encaixa perfeitamente bem nessa histria dos spins. Logo, se o feixe original de tomos de prata, que deve ser o feixe mais geral possvel (pois apareceu de circunstncias onde no havia qualquer controle com relao aos spins), pode ser escrito como uma combinao linear de apenas dois feixes vetores (up e down), ento conclumos que esse espao vetorial deva ter dimenso 2. Mas experimentos com outros tipos de tomos ou partculas levam a apenas um feixe emergente, ou trs feixes emergentes etc, de maneira que fcil concluir que em cada situao a dimenso do espao vetorial deva ser diferente. De fato, a dimenso do espao vetorial complexo em mecnica quntica especificada de acordo com a natureza do sistema fsico em questo. Podemos ento fazer o seguinte resumo: ESPAO VETORIAL COMPLEXO EM MECNICA QUNTICA 1. DIMENSO : depende da natureza do sistema fsico em considerao. 2. UM VETOR NESSE ESPAO : representa um estado fsico (por exemplo, um tomo de prata com orientao de spin definida). chamado vetor estado e na notao de Dirac denominado KET e simbolizado por &gt; .</p> <p>Em nosso curso no iremos mais simbolizar um vetor por uma seta ou negrito. Estamos em um espao vetorial abstrato e o vetor ser simbolizado por um ket tal como &gt; . Com as definies acima estamos pronto para enunciarmos o primeiro postulado. Primeiro Postulado: O estado KET contm toda a informao sobre o estado de um sistema fsico.</p> <p>Mas, j que estamos tratando com um espao vetorial abstrato, precisamos estabelecer as regras que relacionam os diferentes vetores que formam esse espao, isto , precisamos de uma lgebra para esses vetores kets. LGEBRA a) soma : &gt; + &gt; = &gt; b) produto por um nmero (complexo) : c &gt; = &gt; , c &gt; = &gt;c. Se c = 0, temos o KET NULO. Aqui cabe mais um postulado, relacionado ao primeiro e que concerne lgebra dos kets. Portanto, no acho conveniente enumera-lo e assim apenas o enunciarei e o sublinharei com cor diferente do que foi feito com o primeiro postulado. Postulado : Os KETS fsico. &gt; e c &gt; , c 0 representam o mesmo estado</p> <p>9</p> <p>Em outra palavras, somente a direo nesse espao vetorial de significado. Devido a essa falta de importncia do tamanho do vetor na teoria, e para distingui-los das situaes ordinrias, os matemticos preferem dizer que estamos tratando com raios em vez de vetores. Para continuarmos estabelecendo a lgebra dos kets, precisamos de mais algumas definies e postulados. Como estamos tratando de sistemas fsicos, precisamos encaixar os observveis (grandezas a serem medidas no laboratrio) dentro dessa nova notao. Aqui eu introduzo o segundo postulado da mecnica quntica. Segundo Postulado: Toda quantidade fsica mensurvel descrita por um operador, tal como A, atuando no espao vetorial em questo; esse operador um observvel. Devemos frisar aqui um pouco da notao a ser empregada. Um observvel (posio, momento, componentes do spin etc) ser sempre representado por um operador cujo smbolo , em geral, uma letra latina maiscula tal como A. Estamos prontos para continuarmos a lgebra do nosso...</p>