Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében

Az információtechnika fizikája

VI. Előadás

A klasszikus fizika korlátai – Az új fizika kezdetei

Törzsanyag

Az Európai Szociális Alap támogatásával

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 2

Világkép a XX. század elején• A „tér-idő”-ben mozgó „test-erő” modell – azaz a mechanikai

mozgás az univerzális valóság-modell.• Minden anyag 92 ismert kémiai elem oszthatatlan atomjaiból épül fel.• Az atomok között ható erők határozták meg az anyag szerkezetét és

térbeliidőbeli mozgását.• Oszthatatlan építőkövekből álló testek mozgását a mechanika

törvényei irják le (Newton, Hamilton) • Az erők a szuperpozíció törvényének engedelmeskednek. Gravitációs

erő, az elektro-mágneses erők (Maxwell), kémiai erők, kapilláris erő, Van der Waals erő, stb.

• A fény is elektromágneses hullám ( erőtér)• A hőtan (termodinamika) részecskesokaság mechanikája.

Termodinamikai egyensúlyi állapotban a mozgás minden egyes szabadságfokára 1/2 kT energia esik (ekvipartíció törvénye).

• A ‘TEST’ oszthatatlan atomokból áll. ÜTKÖZÉSKOR érvényesül az ENERGIA és IMPULZUS megmaradás törvénye

• Egy pontban támadó ERŐK vektoriálisan összeadódnak. Hullámszerű erőterek szuperpoziciója: INTERFERENCIÁT eredményez.

• A teljes összhang tapasztalás és a mechanikára épülő elmélet között megbomlik: Olyan kisérleteket hajtanak végre, amelyekre a „tér-idő”-ben mozgó „test-erő” modell nem ad magyarázatot !

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 3

Rejtélyes tapasztalatok1897 Joseph John THOMSON katódsugár kísérletei:

az oszthatatlannak hitt 0,1 nm átmérőjű semleges atomokból negatív töltésű, ~1/2000 tömegű részecskék lépnek ki, és az atom pozitív töltésű marad.

1905 - 1911 Ernest RUTHERFORD: a pozitív töltés az ATOMMAGBANkoncentrálódik, melynek átmérője 10 – 5 nm, tízezerszer kisebb az atomátmérőjénél ! (Hasonlít az atom a Nap-rendszerhez?)

A negatív töltésű keringő elektronnak sugároznia kellene, majd bele kellene zuhannia a magba. A sugárzás frekvenciája folytonosan kellene, hogy változzon.

az atom diszkrét frekvenciákat sugároz, és ha energiája elér egy minimumot, akkortól egyáltalán nem sugároz!

Ezzel szemben a kisérleti tapasztalat azt mutatja, hogy

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 4

A Bohr-féle atommodell (1911) Az atom Bohr elméletének posztulátumai a következők:a) Az atom elektronjai csak meghatározott pályákon keringhetnek

a mag körül. Az ezeken a pályákon keringő elektron – a klasszikus elektrodinamika törvényeivel ellentétben – teljesítményt nem sugároz.

Körpálya esetén az egyes pályák sugarait az határozza meg, hogy a keringő elektron impulzusnyomatéka a h/2 értéknek csak egész számú többszöröse lehet.

,2,1ahol,2

h nnrm nn

v

b) Az atom csak akkor sugároz, ha az elektron az egyik pályáról a másikra átugrik. A kisugárzott fény rezgésszámát ilyenkor a

Bohr-féle frekvencia-feltétel határozza meg.12h nn WW

234Ws10625,6h A Planck-féle állandó

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 5

Az elektron lehetséges energiaszintjei .1

8 2220

4

kinpotkin nh

emWWWW

.h 2

20

2

nme

rn

12h nn WW

Az elektronpályák sugara

A kisugárzott fény spektruma

22

21

320

412 11

h8 nn

me

h

WW nn

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 6

Az atom ellipszismodellje Bohr–Sommerfeld-modell

Egy elektron állapotát az atommag terében négy kvantumszámmal jellemezhetjük. Ez a négy kvantumszám: n, l, m és s.

n főkvantumszám adja az ellipszispálya nagytengelyét és a pálya energiáját

l mellékvantumszám értéke 0, 1, 2, ..., n–1 lehet

az ellipszispálya excentricitását határozza meg és közvetlenül összefüggésben van a pálya mechanikai impulzusnyomatékával.

m mágneses kvantumszám Lehetséges értékei:

.,1,,1,0,1,,1,

s spinkvantumszám értéke +1/2 és –1/2 lehet. Ez az elektron saját impulzusnyomatékával van összefüggésben

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 7

Boltzmann: Termodinamikai paradoxon

maxmaxmax ;82.2

ν

cλ

h

kTν

Ellentmondás volt a „darabolható atom” és a termodinamika ekvipartíció törvénye között!Van belső mozgás, de ezeket az ekvipartíció törvény alkalmazásakor figyelmen kívül kell hagynunk. Az atomok úgy viselkednek, mintha nem volna belső mozgásuk.

A testek hőt sugároznak. Minden test hőt sugároz és a környezetéből hőt vesz fel.

4TRT 428

Km

W1067,5

Stefan–Boltzmann törvény

Hősugárzást a Maxwell egyenletek nem magyarázzák meg

Wien törvény

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 8

Max Planck (1900)

1e

8d

k/h3

2

TvT

hv

c

vvv

az üreg energiája nem változhat folytonosan, hanem kizárólag a frekvenciával arányos h energiakvantum egészszámú többszöröseinek értékét veheti fel

W = h, ahol h=6,626·10 – 34 Ws2,

E hipotézis alapján a feketetest spektrumára a következő kifejezést kapta:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 9

Fényelektromos jelenség

WWm 2

2

1h v

Egy fémfelületet fénnyel megvilágítva, abból elektronok lépnek ki.

A kilépő elektronok energiája csak a fény rezgésszámától, tehát színétől függ. Nem függ a fény intenzitásától!

Az áramot lezáró feszültség:W

2 Wm2

1Uq h

maxre v

a fényrészecske nekiütközik az elektronnak, átadja energiáját, tehát mintegy kilöki a fémből.

Einstein magyarázata: Amennyiben a fényenergiát hv energiájú fényrészecskék, „fotonok” alakjában gondoljuk összpontosítva, akkor a jelenség igen egyszerű :

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 10

A Compton-effektusNagy hv energiájú foton mint részecske ütközik elektronnal.

Az ütközés után az eddig nyugalomban levő elektron kinetikus energiára tesz szert, a foton pedig megváltozott irányban, megváltozott hv' energiával vagyis megváltozott frekvenciával folytatja útját.

Az energia megmaradásának törvénye:

2

2

2

020 c

c1

hchv

m

m

Az impulzus megmaradási törvénye az ütközés irányában és arra merőlegesen vett komponensre:

.sinsinc

h0

;coscosc

h

c

h

v

v

m

m

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 11

cos1c

h1

hh

20

m

.

)cos1(h

c1

hhhcc

20

20

2

m

mm

.cos1c

hcc

0

m

Az itt leírt ütközést részleteiben is követni lehet Wilson-kamrában készített felvételeken. Ezek az elmélet helyességét messzemenően igazolják.

A hullámhossz változása a különböző irányokban:

Az elektron kinetikus energiája

Ezekből az összefüggésekből a foton megváltozott energiája

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 12

A fény hol „hullám” hol „részecske”Hullám:

= 2 = 2 /T körfrekvencia

hullámszámnnk

2

c

Hullám: ),( k

Részecske :

W energia ( m tömeg, m = W /c2 )

impulzus

Részecske :

p

vpm

),( p

W

Kapcsolat a hullám és a részecske természet között :

frekvenciájú foton energiája W = h

c sebességgel haladó foton impulzusa

knnnp

2

hh

c

hcm

m = W / c2 tömeg m = h /c2

W

kp

Amikor a foton „részecske” természetű, akkor ütköznie kell !

(Energia és impulzus megmaradás törvényének érvényesülnie kell !)

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 13

A hullám–korpuszkula dualitás: kettős természetű részecskék (testek)

De Broglie

A fény hullámtermészete mellett részecske-tulajdonságokkal is rendelkezik:

Tételezzünk fel az elektronoknál (vagy az atomoknál) is hullámtulajdonságot!

Az elektron – és minden más részecske – mozgását

egy olyan hullám modellezze, amelynek csoportsebessége egyenlő a részecske sebességével, és amely a nulla nyugalmi tömegű foton esetében is érvényes marad.

Ha nulla nyugalmi tömeg esetében vissza akarjuk kapni a foton impulzusa és hullámhossza közötti

p

h kapcsolatot, akkor minden anyagi testhez

ezt a hullámhosszat kell rendeljük.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 14

pλ

h

2

hhW

kknnp

π

h

λ

hp

2

A valóság (foton, elektron, stb.) kettős természetű

Hullám Részecske

(Elektromágneses hullám,Anyaghullám)

(FotonElektron, proton, ...)

)2

,2( nkλ

ππνω

),( vpmW

h

Wν

ThomsonRutherfordBohrPlanckEinsteinComptonDe Broglie

Interferencia Ütközés

Lineáris szuperpozició

pot

2

pot2

22

1W

m

pWmvW

Összenergia megmarad

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 15

Induktív úton SCHRÖDINGER egyenlethez

Erwin Schrödinger 1926-ban megtalálta azt a hullámegyenletet, amelynek a de Broglie által bevezetett hullámok eleget tesznek.

Négy feltételt kellett kielégítenie:1. A keresett hullámegyenlet elégítse ki

a Planck és de Broglie-feltételeket h,

h W

p

2. A részecske W összenergiája a kinetikus és a potenciális energia összege pot

2

2W

m

pW

3. A modell a hullámfüggvényben legyen lineáris (szuperpozíció), és így helyesen adja vissza a kísérletekben megfigyelt interferencia jelenséget.

4. Ha a részecske erőmentes térben mozog, akkor

állandó hullámhosszú és frekvenciájú szinuszos

és koszinuszos haladó hullám írja le a részecskét

tkxtkxtx sincos,

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 16

SCHRÖDINGER egyenletA négy feltételből adódik a hullámegyenlet (egy dimenzióban)

t

txtxtxW

x

tx

m

,j,,

,

2 pot2

2

A kvantummechanika „időfüggő” Schrödinger-egyenlete

Egyenletünkhöz a potenciál állandóságának feltételezésével jutottunk, így szigorúan csak erre az esetre mutattuk meg, hogy egyenletünk teljesíti mindazt, amit de

Broglie, Planck és Einstein korábban megmutatott.

Látni fogjuk, hogy az időfüggő Schrödinger-egyenlet helytől és időtől függő potenciál esetén is széleskörűen érvényes alaptörvénynek bizonyul.

Relativisztikus hatásokat nem tud leírni, így igen nagy sebességű részecskékre nem érvényes !

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 17

Egy részecske Schrödinger egyenlete

t

tψtψtWtψ

m

,

j,,,2 pot

2 rrrr

2 2 2

2 2 2

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )ahol ( , , , ) ( , )

x y z t x y z t x y z tx y z t t

x y z

r

Vezessük be a pot

2

2W

m

H jelölést

t

tt

,

j,r

r

H

Keressük a megoldást csak helytől függő és csak időtől függő függvények szorzataként

tt rr

,

t

t

t d

d1j

1

rr

H

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 18

t

t

t d

d1j

1

rr

H

Vegyük észre, hogy az egyenlőség baloldala csak a helykoordinátáktól jobboldala csak az időtől függ.

Ez csak úgy lehetséges, ha

Wkonstanst

t

t d

d1j

1

rr

H

rr

WH tW

t

t

jd

d

Az időtől függő közönséges differenciálegyenlet megoldása :

.e h2j tW

At

A teljes megoldás tW

t h2je, rr

ahol r

a rr

WH sajátértékporbléma megoldása.

rr

WH IDŐFÜGGETLEN SCHRÖDINGER EGYENLET

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 19

Adott probléma esetén

tWm

tW ,2

, pot

2

pot rHr

CSAK az összenergiát jelentő W paraméter egészen meghatározott értékei esetén van megoldása.

adott,

rr

WH IDŐFÜGGETLEN SCHRÖDINGER EGYENLETNEK

,,,, 21 nWWW

,...,;; h2j

h2j

2h

2j

1

21 tW

n

tW

tW n

eee

rrr

...),(...,),(),( 21 rrr

n

„sajátértékek”

„sajátfüggvények”

MEGOLDÁSOK

Schrödinger dolgozatának címe : Quantisierung als Eigenwertproblem, vagyis: A kvantálás mint sajátértékprobléma.

De mit jelent a

tW

n

n

e h2j

r

?

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 20

Milyen a hullámfüggvény?

a konfigurációs térben ( - ben) FOLYTONOS,

általában a DERIVÁLTJA is FOLYTONOS,

KORLÁTOS,

és NEGYZETESEN INTEGRÁLHATÓ függvény.

n

tW

n

n

et h2j

),(

rr

Komplex szám értékű,

r

A *dV kifejezés adja meg annak a valószínűségét, hogy az elektront a tetszés szerinti (x, y, z) kiragadott pont környezetében levő dV térfogat-

elemben találjuk-e..

V

V 1d*

A teljes konfigurációs térben mindig teljesül, hogy